11.3.2 达朗贝尔公式的物理意义 由上面的讨论我们得到了自由弦振动泛定方程 的通解(11.3.4)为
u(x,t) F1(x at) F2(x at)
即定解问题的解可以表示为两个函数 F1(x at), F2(x at) 之 和,而这两个函数的具体形式完全由初始条件来确 定.为了阐述达朗贝尔公式的物理意义, 实际上只需 阐明这两个函数 F1(x at), F2(x at) 的物理意义就行了.
u(x,t) 1 [(x at) (x at)] 1
xat
( )d
2
2a xat
(11.3.9)
当函数(x) 是二次连续函数,函数 (x) 是一次连续可微
的函数时,(11.3.9)式即为无界弦自由振动定解问题的
解,表达式(11.3.9)称为达朗贝尔(D.Alembert)公式.
无界弦自由振动定解问题的解称为达朗贝尔解.
uut(t
a x,0)
2u
xx
0, 0 x x,ut x,0
x,
0
x
u0,t 0
(13.4.4) (13.4.5) (13.4.6)
由于端点固定,所以有u(0,t) 0. 为了使用无界的达
朗贝尔公式,故需要把半无界问题延拓为无界问题来
处理,即必须把 u(x,t) 、 (x) 和(x) 延拓到整个无界区
假设方程的行波解具有下列形式
u(x, y) F(y x)
(11.2.2)
代入方程即得
a2F(y x) bF(y x) cF(y x) 0
需要求方程的非零解,故
F(x x) 0
a2 b c 0
(11.2.3)
(i) b2 4ac 0,对应于双曲型方程,式(11.2.3)有两