宿迁市2019届高三第一次调研测试数学学科参考答案及评分建议

高三下学期第一次调研测试数学试卷-带参考答案和解析考生注意：1.试卷分值：150分 考试时间：120分钟.2.考生作答时 请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后 用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答 超出答题区域书写的答案无效 在试题卷､草稿纸上作答无效.3.所有答案均要答在答题卡上 否则无效.考试结束后只交答题卡.一､单选题（本大题共8小题 每小题5分 共40分.在每小题给出的四个选项中 只有一个选项是符合题目要求的.）1.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,2,3,2,U A B xx k k ====∈Z ∣，则U B A ⋂=（ ）A.{}4B.{}2,4C.{}1,2D.{}1,3,5 2.复数31i i ⎛⎫- ⎪⎝⎭的虚部为（ ）A.8B.-8C.8iD.8i -3.已知向量()()0,2,1,a b t =-= 若向量b 在向量a 上的投影向量为12a -，则ab ⋅=（ ） A.2 B.52-C.-2D.1124.在ABC 中 “π2C =”是“22sin sin 1A B +=”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则cos α=（ ）A.4B.14-C.4D.14 6.,,,,A B C D E 五人站成一排 如果,A B 必须相邻 那么排法种数为（ ）A.24B.120C.48D.607.若系列椭圆()22*:101,n n n C a x y a n +=<<∈N 的离心率12nn e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则n a =（ ）A.114n ⎛⎫- ⎪⎝⎭B.112n ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 8.已知等差数列{}n a （公差不为0）和等差数列{}n b 的前n 项和分别为n n S T ､ 如果关于x 的实系数方程21003100310030x S x T -+=有实数解 那么以下1003个方程()201,2,,1003i i x a x b i -+==中 有实数解的方程至少有（ ）个A.499B.500C.501D.502 二､多选题（本大题共3小题 每小题6分 共18分.在每小题给出的选项中 有多项符合题目要求 全部选对得6分 部分选对得部分 有选错的得0分）9.已知一组数据：12,31,24,33,22,35,45,25,16 若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比 下列结论正确的是（ ）A.中位数不变B.平均数不变C.方差不变D.第40百分位数不变10.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> 左､右顶点分别为,,A B O 为坐标原点 如图 已知动直线l 与双曲线C 左､右两支分别交于,P Q 两点 与其两条渐近线分别交于,R S 两点，则下列命题正确的是（ ）A.存在直线l 使得AP ∥ORB.l 在运动的过程中 始终有PR SQ =C.若直线l 的方程为2y kx =+ 存在k 使得ORB S取到最大值D.若直线l 的方程为(),22y x a RS SB =--=，则双曲线C 11.如图所示 有一个棱长为4的正四面体P ABC -容器 D 是PB 的中点 E 是CD 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A.直线AE 与PB 所成的角为π2B.ABE 的周长最小值为4C.如果在这个容器中放入1D.如果在这个容器中放入4个完全相同的小球(三､填空题（本大题共3小题 每小题5分 共15分）12.小于300的所有末尾是1的三位数的和等于__________.13.已知函数()()ln 11ax f x x x =+-+ 若()0f x 恒成立，则a =__________. 14.已知抛物线2:2(0)C y px p => 点P 为抛物线上的动点 点4,02p A ⎛⎫- ⎪⎝⎭与点P 的距离AP 的最小值为2，则p =__________.四､解答题（本大题共5小题 共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）15.（13分）在ABC 中 ,,A B C 的对边分别为,,a b c 已知4,cos 0b c a C b ==+=. （1）求a（2）已知点D 在线段BC 上 且3π4ADB ∠= 求AD 长. 16.（15分）甲､乙两人进行射击比赛 每次比赛中 甲､乙各射击一次 甲､乙每次至少射中8环.根据统计资料可知 甲击中8环､9环､10环的概率分别为0.7,0.2,0.1 乙击中8环､9环､10环的概率分别为0.6,0.2,0.2 且甲､乙两人射击相互独立.（1）在一场比赛中 求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率（2）若独立进行三场比赛 其中X 场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数 求X 的分布列与数学期望. 17.（15分）如图 圆台12O O 的轴截面为等腰梯形11111,224A ACC AC AA AC === B 为底面圆周上异于,A C 的点.（1）在平面1BCC 内 过1C 作一条直线与平面1A AB 平行 并说明理由.（2）设平面1A AB ⋂平面11,,C CB l Q l BC =∈与平面QAC 所成角为α 当四棱锥11B A ACC -的体积最大时 求sin α的取值范围.18.（17分）已知函数()()ln 1f x x ax x =--.（1）当0a <时 探究()f x '零点的个数（2）当0a >时 证明：()22328af x a a +-+. 19.（17分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家 他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一 指的是已知动点M 与两定点,Q P 的距离之比(0,1),MQ MP λλλλ=>≠是一个常数 那么动点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆 圆心在直线PQ 上.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆其方程为224x y += 定点分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点F 与右顶点A 且椭圆C 的离心率为12e =.（1）求椭圆C 的标准方程（2）如图 过右焦点F 斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 相交于,B D （点B 在x 轴上方） 点,S T 是椭圆C 上异于,B D 的两点 SF 平分,BSD TF ∠平分BTD ∠.①求BS DS 的取值范围②将点S F T ､､看作一个阿波罗尼斯圆上的三点 若SFT 外接圆的面积为81π8求直线l 的方程.。

2019-2020 年高三第一次调研测试数学试题一、选择题（本大题共8 小题，每题 3 分，满分24 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）1． 9 的算术平方根是A．－ 9B．9C． 3D．±32．据有关报导， 2011 年江苏省 GDP 总值达到 5.3 万亿元．将这个数据用科学记数法表示为A ．5.3 ×103亿元B． 5.3 ×104亿元C． 5.3 ×105亿元D． 5.3 ×106亿元3．以下四个图形中，不可以由右侧的图 1 经过平移或旋转获得的图形是A B C D图 14．某班抽取 6 名同学参加体能测试，成绩以下:80，90，75，75，80，80.以下表述错误的是．．A ．众数是 80B ．中位数是 75C．均匀数是 80 D ．极差是 155．已知抛物线 y=x2+x-1 经过点 P(m， 5)，则代数式 m2+m+2006 的值为A ．2012B ． 2013C． 2014 D ．20156．只用以下正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（）．．yA ．正十边形B．正八边形3 C．正六边形D．正五边形7．一次函数 y=kx+b 的图象以下图，当x>4 时， y 的取值范围是xO24A ．y<-3B ． y<3C． y>3 D ．y>-3(第 7题图 )8．如图 1 所示，一只关闭的圆柱形水桶内盛了半桶．．水（桶的厚度忽视不计），圆柱形水桶的底面直径与母线长相等，现将该水桶水平搁置后如图 2 所示，设图1、图 2 中水所形成的几何体的表面积分别为 S1、 S2，则 S1与 S2的大小关系是图1图2 A．S1≤S2B．S1< S2C．S1> S2D． S1≥S2(第 8题图 )二、填空题（本大题共 10小题，每题 3分，共 30分）9．函数 y＝x 2 的自变量x 的取值范围是_______________.10．已知两圆的半径分别为 3 和 4，圆心距为5，则这两圆的地点关系是______．11．分解因式： 3a2-27=．12．在一个袋子中装有除颜色外其余均同样的 3 个红球和 4 个白球，从中随意摸出一个球，则摸到红球的概率是．13．假如对于x 的方程x22x m 0 （m为常数）有两个相等实数根，那么m＝______．14．在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD相互均分，交点为O ．在不增添任何协助线的前提下，要使四边形 ABCD 成为矩形，还需增添一个条件，这个条件能够是．15．某书店把一本新书按标价的九折销售，仍可赢利20%．若该书的进价为21 元，则标价为．16．为方便行人，打算修筑一座高 5 米的过街天桥 (以下图 )，若天桥的斜面的坡度为 i=1:1.5 ，则两个斜坡的总长度为 ______________米（结果保存根号） .．．17．如图， AB、AC 都是圆 O 的弦， OM ⊥AB ，ON⊥ AC，垂足分别为M、N，假如 MN＝ 3，那么 BC＝ _________．Ci=1∶NO5mA M B(第 16题图 )(第17题图)18．数学家们在研究 15、12、10这三个数的倒数时发现：1111 ．所以就将拥有12151012这样性质的三个数称之为调解数，如 6、3、2 也是一组调解数．现有一组调解数： x、5、3（ x>5），则 x 的值是．三、解答题19．计算与化简： (每题 5分，共10 分)（ 1） tan60 °＋( 2)22 1(34)（ 2）2a2(a1)a2a2 1．a12a120.（ 8 分）如图，在菱形 ABCD 中， E 是 AB 的中点，且 DE ⊥AB．(1) 求∠ ABD 的度数；D C(2)若菱形的边长为2，求菱形的面积．AE B21. （ 8 分）“校园手机”现象愈来愈遇到社会的关注．小丽在“统计实习”活动中随机检查了学校若干名学生家长对“中学生带手机到学校”现象的见解，统计整理并制作了以下的统计图：家长对“中学生带手机到学校”态度统计图人数200200不同意160120无所谓特别同意8026%基本同意401650%选项特别基本无所谓不同意同意图②图①（1）求此次检查的家长总数及家长表示“无所谓”的人数，并补全图①；（2）求图②中表示家长“无所谓”的圆心角的度数；（3）从此次接受检查的家长中，随机抽查一个，恰巧是“不同意”态度的家长的概率是多少522．（ 8 分）如图4，在梯形ABCD 中， AD ∥ BC， AC⊥ AB， AD =CD， cosB=，BC=26．求： (1)cos∠ DAC 的值；(2)线段 AD 的长．A DB C23．（ 8 分）有 3 张扑克牌，分别是红桃3、红桃 4 和黑桃 5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张．⑴先后两次抽得的数字分别记为s 和 t，则︱ s－ t︱≥1的概率．⑵甲、乙两人做游戏，现有两种方案． A 方案：若两次抽得同样花色则甲胜，不然乙胜． B 方案：若两次抽得数字和为奇数则甲胜，不然乙胜．请问甲选择哪一种方案胜率更高？24．（ 8 分）如图， BD 为⊙ O 的直径， AB =AC ，AD 交 BC 于点 E．(1) ①求证：△ ABE∽△ ADB；②若 AE =2， ED =4，求⊙ O 的面积；A F(2)延伸 DB 到 F，使得 BF =BO ，连结 FA，若 AC ∥FD ，试判断直线 FA 与⊙ O 的地点关系，并说明原因．B EOCD25．（ 10 分）以下图，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y＝－ x2＋ bx＋ c 过点 A(4,0) 、B(1,3) .（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和极点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点 P(m,n)在第四象限，点 P 对于直线 l 的对称点为 E，点 E 对于 y 轴的对称点为 F ，若四边形OAPF 的面积为 20，求 m、 n 的值 .y4321O1 2 3 4x26．某土产企业组织 20 辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120 吨去外处销售．按计划20辆车都要装运，每辆汽车只好装运同一种土特产，且一定装满．依据下表供给的信息，解答以下问题：土特产种类甲乙丙每辆汽车运载量（吨）865每吨土特产赢利（百元）121610（1）设装运甲种土特产的车辆数为x ，装运乙种土特产的车辆数为y ，求 y 与x之间的函数关系式．（2）假如装运每种土特产的车辆都许多于 3 辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案．（3）若要使此次销售赢利最大，应采纳（2）中哪一种安排方案？并求出最大收益的值．27．（ 12 分）以下图，在直角坐标平面内，函数m， m是常数 ) 的图象经过A(1，y=x(x>04)，B(a，b)，此中 a>1．过点 A 作 x 轴垂线，垂足为C，过点 B 作 y 轴垂线，垂足为 D ，连结 AD、 DC、CB ．y（ 1）若△ ABD 的面积为 4，求点 B 的坐标；（ 2）求证： DC∥ AB；（ 3）四边形 ABCD 可否为菱形？假如能，恳求出四边形ABCDA 为菱形时，直线AB 的函数分析式；假如不可以，请说明原因．BDO C x28． (12 分 )已知：如图， M 是线段 BC 的中点， BC=4，分别以MB、MC 为边在线段BC 的同侧作等边△ BAM、等边△ MCD ，连结 AD．(1)求证：四边形 ABCD 是等腰梯形；(2)将△ MDC 绕点 M 逆时针方向旋转α(60o<α<120o)，获得△ MD ′C′，MD ′交 AB 于点 E，MC ′C′A 交 AD 于点 F，连结 EF．D F①求证： EF∥ D′C′；D ′E ②△ AEF 的周长能否存在最小值?假如不存在，请说明原因；假如存在，请计算出△ AEF 周长的BM C最小值 .2012 年大丰市第一次调研测试数学参照答案一、C B B B A C A B二、9．x2,10．订交 ,11．3(a 3)( a 3)，12．3，13．m=1，14．不确立，如：AC = BD，715． 28， 16．513 ，17．6，18．15三、（分步得分）119、（ 1）原式 =（ 3+2 分）（2） -1 （ 3+2 分）220． (1) ∠ABD=60o ------ 4 分(2)2 3------ 4 分21．：（ 1）家长总数：200 ÷50%=400 人家长表示“无所谓”的人数： 400-200-16-40026%=80×人．并补全图形 ---- 1+2+1分（ 2）表示家长“无所谓”的圆心角的度数：72o； ------ 2 分（ 3）恰巧是“不同意”态度的家长的概率是：， ------ 2 分522（ 1）由 cosB= 13和 BC=26 ，可求得， AB=10------2 分可证得：∠ ACB= ∠ACD= ∠DAC ，由勾股定理可求得 AC=24 ，12∴cos∠ DAC=cos ∠ ACB= 13 . ------ 3 分（2）取 AC 中点 E，连结 DE ，AE=12 ， cos∠DAC= 12. 13由等腰△ ADC 三线合一得 DE ⊥AC ，∴ Rt△AED 中 AD=AE/cos ∠ DAC=13.. ------ 3 分23．解：（ 1）列表：红桃 3红桃 4黑桃 5红桃 3（红 3，红 3）（红 3，红 4）（红 3，黑 5）红桃 4（红 4，红 3）（红 4，红 4）（红 4，黑 5）黑桃 5（黑 5，红 3）（黑 5，红 4）（黑 5，黑 5）∴一共有 9 种等可能的结果，|s-t|≥l的有（ 3，4），（ 3， 5），（ 4， 3），（ 4， 5），（ 5，3），（ 5，4）共 6 种，∴ |s-t|2------ 4 分≥l的概率为：3（2）∵两次抽得同样花色的有 5 种，两次抽得数字和为奇数有 4 种，54A 方案： P（甲胜） =9；B 方案： P（甲胜） =9；∴甲选择 A 方案胜率更高． ------ 4 分24．（ 1）①略 ---2 分；② 12π(平方单位 )-----2 分(2)相切 -----1 分，说明原因--------3 分25．（ 1）二次函数的关系式为y=-x 2+4x ，对称轴为： x=2 ，极点坐标为：（2， 4）----5 分（ 2）由题可知， E、 F 点坐标分别为（4-m， n），（ m-4， n）。

宿迁市2018~2019学年度第一学期市直高三期末测试数学参考公式：锥体的体积公式 13V Sh =，其中S 是锥体的底面面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1． 已知集合{|10,}A x x x =+>∈R ，{|230,}B x x x =-<∈R ，则A B =I▲ ． 2． 已知复数z 满足()12i 3i z +=-（其中i 为虚数单位），则||z 的值为 ▲ ． 3． 交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度不小于50km/h 的汽车中抽取200辆汽车进行测速分析，得到如图所示的时速的频率分布直方图，则时速 不低于80km/h 的汽车有 ▲ 辆．4． 如图是一个算法的伪代码，运行后输出S 的值为 ▲ ．5．春节将至，三个小朋友每人自制1张贺卡，然后将3张贺卡装在一盒子中，再由三人依次任意抽取1张，则三人都没抽到自己制作的贺卡的概率为 ▲ ．6. 设圆锥的轴截面是一个边长为2cm 的正三角形，则该圆锥的体积为 ▲ cm 3．（第3题） 51While 121End While Pr int n S S S S n n n S ←← < ←+ ←-（第4题）7. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，右焦点与抛物线216y x =的焦点重合，则双曲线C 的顶点到渐近线的距离为 ▲ .8. 已知数列{}n a 前n 项和为n S ，121n n a a +-=，11a =，则9S 的值为 ▲ ． 9． 已知正实数,a b 满足22a b +=，则1+43a bab+的最小值为 ▲ ． 10. 已知点(1,0),(1,0)A B -，若圆22(1)(2)1x a y a -++--=上存在点M 满足3MA MB ⋅=u u u r u u u r,则实数a 的取值范围是 ▲ .11. 对于函数()y f x =，如果()f x 是偶函数，且其图象上的任意一点都在平面区域,y x y x⎧⎨-⎩≥≥内，则称该函数为“V 型函数”.下列函数：①1y x x =+；②1||y x x =-； ③||e x y =； ④ππ|tan |((,))22y x x =∈-.其中是“V 型函数”的是 ▲ .（将符合条件 的函数序号都填在横线上）.12. 如图所示，矩形ABCD 的边AB =4，AD =2，以点C 为圆心，CB 为半径的圆与CD 交于点E ，若点P 是圆弧»EB(含端点B 、E )上 的一点，则PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围是 ▲ . 13.已知函数()(cos sin ))f x x x x x =⋅+-∈R ，设点111222(,),(,),P x y P x y …， (,)n n n P x y ，…都在函数()y f x =图象上，且满足1π6x =，*1π()4n n x x n +-=∈N ， 则122019y y y +++L 的值为 ▲ .14. 已知函数1,12,()12(),2,2x x f x f x x -<⎧⎪=⎨⎪⎩≤≥ 如果函数()()(3)g x f x k x =--恰有2个不同的零 点，那么实数k 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15. （本小题满分14分）已知三角形ABC 的面积是S，3AB AC ⋅=u u u r u u u r ． （1）求sin A 的值；（2）若BC =，当三角形ABC 的周长取得最大值时，求三角形ABC 的面积S ．(第12题)在四棱锥S ABCD -中，SA ABCD ⊥面，底面ABCD 是菱形．（1）求证：SAC SBD ⊥面面；（2）若点M 是棱AD 的中点，点N 在棱SA 上，且12AN NS =，求证：SC BMN 面∥．17．（本小题满分14分）如图所示，桌面上方有一盏电灯A ，A 到桌面的距离AO 可以变化，桌面上有一点B 到点O 的距离为a （a 为常数），设ABO θ∠=，灯A 对B 点的照度J 与sin θ成正比、与AB 长的平方成反比，且比例系数为正常数k . （1）求灯A 对B 点的照度J 关于θ的函数关系式；（2）问电灯A 与点O 多远时，可使得灯A 对B 点的照度J 最大？18．（本小题满分16分）如图所示，椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>，右准线方程为4x =，过点(0,4)P 作关于y 轴对称的两条直线12,l l ，且1l 与椭圆交于不同两点,A B ，2l 与椭圆交于不同两点,D C .（1）求椭圆M 的方程；（2）证明：直线AC 与直线BD 交于点(0,1)Q ；（3）求线段AC 长的取值范围.(第17题) ABC DS MN(第16题) (第18题)已知数列{}n a 各项均为正数，n S 是数列{}n a 的前n 项的和，对任意的*n ∈N 都有2232n n n S a a =+-.数列{}n b 各项都是正整数，11b =，24b =，且数列12b b a ,a ,3n b b a ,,a ⋅⋅⋅是等比数列．（1）证明：数列{}n a 是等差数列；（2）求数列{}n b 的通项公式n b ； （3）求满足124n n S b <+的最小正整数n ． 20．（本小题满分16分）已知函数()ln xf x x=，()(,)g x kx b k b =+∈R . （1）求函数()y f x =的定义域和单调区间；（2）当2e =4b 且1x >时，若直线()y g x =与函数()y f x =的图象相切，求k 的值；（3）当=b k -时，若存在2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，使得1()()2f xg x +≤，求k 的取值范围.数学Ⅱ(附加题)本卷共4小题，每小题10分，共计40分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21．（本小题满分10分）已知矩阵121⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a M 的一个特征值为3λ=，其对应的一个特征向量为11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r ， 求直线1l ：210x y ++=在矩阵M 对应的变换作用下得到的曲线2l 的方程.22. （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C的参数方程为,()sin ,x y t ααα⎧⎪⎨=⎪⎩为参数．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l的方程为πsin()4ρθ-．(1)求直线l 的直角坐标方程和椭圆C 的普通方程； (2)若直线l 与椭圆C 有公共点，求t 的取值范围．23．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC AC BC ⊥==，，12BB =，点D 在棱1BB 上，且11C D AB ⊥． （1）求线段1B D 的长；（2）求二面角11D A C C --的余弦值．DC C 1BA24．（本小题满分10分）已知12012()(1)n n n f x ax a a x a x a x =+=+++⋅⋅⋅+，若对于任意*n ∈N ，都有2()3nnii a ==∑． （1）求实数a 的值；（2）若[]2220122()n n f x b b x b x b x =+++⋅⋅⋅+，求232123211113333nnb b b b +++⋅⋅⋅+的值．高三数学参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．3(1,)2-； 2； 3．20； 4．13； 5.13;；8. 1013 9．252； 10. [2,1]-；11. ③④；12. [8-；13. 14. 168(1,0)[,)2913-U .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15解：（1）由2AB AC S ⋅=u u u r u u u r得1cos sin 2AB AC A AB AC A ⋅⋅=⋅⋅，所以cos A A =. ………… …………………………2分 在三角形ABC 中()0A ,π∈得tan A =4分所以3A π∠=,sin A =， ……………………………7分 （2）在三角形ABC 中，2222cos a b c bc A =+-，所以()21222cos3b c bc bc π=+--，即()2212332b c b c bc +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，…………………………10分当且仅当b c =时取等号，所以b c +≤所以周长的最大值为b c ==所以面积1sin 2S AB AC A =⋅⋅=……………………………14分 解法二：在三角形ABC 中sin sin sin AB AC BCC B A==得4sin sin 3ABAC CC π===⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以周长4sin 4sin 3l BC AB CA C C π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭6C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……………………………10分由203C ,π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，当3C π=时，周长l取得最大值为此时AC AB ==所以面积1sin 2S AB AC A =⋅⋅=……………………………14分16解：（1）因为SA ABCD ⊥面，BD ABCD ⊂面，所以SA BD ⊥， ………………………………2分又因为底面ABCD 是菱形，得AC BD ⊥， 由SA ，AC 都在面SAC 内，且SA AC A ⋂=， 所以BD SAC ⊥面，………………………………5分AD SMN由BD SAC ⊂面，得SAC SBD ⊥面面；…………7分 （2）由底面ABCD 是菱形，得AD BC ∥所以12AE AM AM EC BC AD ===………………9分 又因为12AN NS =，所以12AE AN EC NS == ，所以NE SC ∥…，………………………11分因为NE BMN ,SC BMN ⊂⊄面面，所以SC BMN 面∥.………………………………14分17解：（1）因为2sin ()J kk AB θ=为正常数，………………3分 又0<<π()cos 2θθ=a AB ，所以2222sin cos =sin 1-sin 2k J k a a θθπθθθ⋅=⋅（）（0<<），…………6分 （2）令sin ,t t θ=∈则（0,1），232=1--1k J t t t t t a⋅因为（）=（0<<）， 由2=1-30J t '=得-33t =（舍），………………………0t J '∈>所以,,则J 单调递增； 10t J '∈<所以）,,则J 单调递减，…………………12分 t J 所以当取得最大值，此时sin 33θθ==， sin =tan cos OA OB a θθθ=所以时，J 取得最大值，答：当电灯A 与点O 时，可使得灯A 对B 点的照度最大. ……14分18解：（1）由24c e a a c⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2a c ==，2224b a c ∴=-=，所以椭圆M 的方程22184x y +=.………………………………………………4分 （2）设直线14l y kx =+：，11221122(,),(,),(,),(,)A x y B x y D x y C x y --则，联立221844x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得221+2)16240k x kx ++=（， 1212221624,1+21+2k x x x x k k -∴+=⋅=， …………………………………6分 又212111,BQ DQ y y k k x x --==-， 212121211133BQ DQ y y kx kx k k x x x x --++∴-=-=+-212122483()122+=2+2202412k x x k k k k k x x k -++==-=+，………8分=BQ DQ k k ∴，故点,,B D Q 三点共线，即直线BD 经过点(0,1)Q同理可得直线AC 经过点(0,1)Q ，所以直线AC 与直线BD 交于点(0,1)Q . …………………………10分（3）由（2）可知22222212121212()()()()AC x x y y x x k x x =++-=++-222121212()(+)4x x k x x x x ⎡⎤=++-⋅⎣⎦2222222222161624+41+21+21+2k k k k k k ⎡⎤⋅⋅=-⨯⎢⎥⎣⎦（）（）42424+10164+4+1k k k k ⋅=⨯24261161+4+4+1k k k ⎡⎤-=⨯⎢⎥⎣⎦…………………………12分 令22161,6t t k k ==+-则 又由222=16424(12)0k k ∆-⨯⨯+>得23,2k >所以8t > 221616+114+4+166tAC t t ∴=++⎛⎫⎪⎝⎭29161++8+16t t t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦9161+16++8t t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ……………………………………14分21616++810t t t '⎛⎫=-> ⎪⎝⎭Q 在8+t ∈∞（，）上恒成立 16++8t t∴在8+t ∈∞（，）上单调递增 16++818t t ∴>， 910162++8t t ∴<<，9311+162++8t t∴<< 21624AC ∴<<4AC ∴<< …………………………………………………16分19解：（1）当1n =时，2111232a a a =+-，即211320a a --=，()()113210a a +-=，由10a >得11a =； …………………………………………………1分当2n ≥时，由2232n n n S a a =+-得2111232n n n S a a ---=+-， 所以两式相减得2211233n n n n n a a a a a --=+--，所以()()1113n n n n n n a a a a a a ----+=+， …………………………3分 由0n a >知10n n a a -+> 所以113n n a a --=所以数列{}n a 是首项11a =，公差13d =的等差数列. …………………5分 (2)由（1）得()11211333n a n n =+-=+，由121412b b a a ,a a ,====所以数列{}n b a 是首项为1，公比为2的等比数列所以12n n b a -=， …………………………………………………7分又1233n b n a b =+， 所以112233n n b n a b -=+=，即1322n n b -=⨯-.…………………………10分（3）由()()121526n n n a a S n n +==+， 所以22155623292n n nn n nS n n b -++==+⨯⨯，……………………………………12分 设()25292n nn S n n f n b +==+⨯， 则()()()()22122215117612692152102592n nn n f n n n n n n f n n n n n ++++++++⎛⎫⨯===+ ⎪+++⎝⎭⨯，令()()11f n f n +>得222761360210n n ,n n n n ++>+-<+即， 由*n N ∈得1n =，所以()()()()()1234f f f f f n <>>>⋅⋅⋅>>⋅⋅⋅，………………14分 又因为()11611121834S f b ===>+， ()2214712236184S f b ===>+， ()332411327234S f b ===>+， ()44361421444S f b ===+，()5550251522881444S f b ===<+， 所以当5n ≥时，()14f n <， 所以满足124n n S b <+的最小正整数n 为5. …………………………16分 20解（1）由ln 0x x ≠⎧⎨>⎩得()y f x =的定义域()()0,11+x ∈∞U ，，2ln 1()=ln x f x x -'∴ ，………………………………………………2分由2ln 1()=0ln x f x x -'>得()+x e ∈∞，， 由2ln 1()=0ln x f x x-'<得()()0,11,x e ∈U ， 所以()y f x =的单调增区间为()+x e ∈∞，，单调减区间为()0,1x ∈和()1,e ；………………………………………4分（2）设24e y kx =+与()y f x =相切于点0000,1ln x x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭（）， 0020ln 1()=ln x k f x x -'∴=，且2000ln 4=0x e x k x --，2000200ln 4ln 1=0ln x e x x x x --∴-，化简得2200ln =4e x x ，………………………6分001,ln x x >∴Q令()ln 1)h x x x =>，1()h x x '∴==， 由()0h x '>得)2x e ∈1,，由()0h x '<得()2+x e ∈∞，，()y h x ∴=在()2x e ∈1,单调递增，在()2+x e ∈∞，单调递减，………8分2()=()=0y h x h e ∴=极大值，0ln x ∴方程01+)x ∈∞（，上有唯一解20=x e ， 2222ln 11()=ln 4e kf e e -'∴==.………………………………………10分（3）令2()()()ln x x f x g x kx k e x e x ϕ=-=-+≤≤（），依题意知min 1()2x ϕ≤， 22ln 1111()=ln ln 24x x k k x x ϕ-⎛⎫'∴-=--+- ⎪⎝⎭的值域为1,4k k ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，………12分①当0k -≥，即0k ≤时，()0x ϕ'∴≥，2()x e e ϕ⎡⎤∴⎣⎦在，单调递增，min 1()=()(1)2x e e k e ϕϕ∴=--≤， 解得12(1)e k e -≥-，不合题意， ②当104k -≤，即14k ≥时，()0x ϕ'∴≤，2()x e e ϕ⎡⎤∴⎣⎦在，单调递减，222min 1()=()(1)22e x e k e ϕϕ∴=--≤，解得12k ≥，满足题意，………………………………………14分③当104k <<时，存在唯一()20,x e e ∈满足0()=0x ϕ'，()0x e x ∴∈,时，()0x ϕ'<；()20x x e ∈,时，()0x ϕ'>，()x ϕ∴在()0x e x ∈,单调递减，在()20x x e ∈,单调递增，0min 0001()=()(1)ln 2x x x k x x ϕϕ∴=--≤， 解得0000011111))(1)ln 2(1)222x x k x x x ≥->-=--(( ， 这与104k <<矛盾，不合题意，综上所述，k 的取值范围为12k ≥.………………………………………16分数学Ⅱ(附加题)参考答案与评分标准21解：由M αλα=u r u r得12113111a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以2a =，1221M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， ……………………………2分 设()111P x ,y 是直线1C 上任意一点，在矩阵M 对应的变换作用下得到点()222P x ,y ，且2P 在曲线2C 上，由12121221x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦得21121122x x y y x y =+⎧⎨=+⎩，…………………………4分所以12212212332133x x y y x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， …………………………6分代入曲线1C 的方程得210x +=，所以曲线2C 的方程10x +=. ……………………………10分 22解:(1)2sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭20y x --=，…………………2分由()sin x y t ααα⎧=⎪⎨=⋅⎪⎩为参数，得(22213x y t t+=≠. ……………………………………5分(2)由2222013y x x y t--=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()3223121230t x x t +++-=.因为直线l 与椭圆C 有公共点,所以()()22212431230t t ∆=-+-≥,即420t t -≥．……………7分 所以t 的取值范围是11t t ≥≤-或，所以t的取值范围是((1][1+),-∞-∞U U U .………10分23解：在直三棱柱111ABC A B C -中，由AC BC ⊥，则以{}11111C A ,C B ,C C u u u u r u u u u r u u u u r为基底构建如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()11102010000012002A ,,,B ,,,C ,,,B ,,,C ,,,所以()1112AB ,,=--u u u r, 设1B M t =，则()101C D ,,t =u u u u r,（1）由11DC AB ⊥得110C D A B ⋅=u u u u r u u u r,所以11202t t -=⇒=, 所以1B M =12．……………………………………………3分 （2）由111B C AC C ⊥面，取11AC C 面的一个法向量为()11010C B ,,=u u u u r , 设1ACD 面的一个法向量()n x,y,z =r, 由（1）知()111111022A D ,,,AC ,,,⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭u u u u r u u u r又因为1100n A D n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u u r r u u u r ,所以10220x y z x z ⎧-++=⎪⎨⎪-+=⎩，取2z =， 则34y ,x ==,…………………6分所以()432n ,,=r,所以11129n C C cos n,C C |n||C C |⋅<>==r u u u u rr u u u u r r u u u u r ．所以二面角111D AC B --的余弦值为29．…………………………10分A 1 D1(第23题)24解（1）由012(1)(1)=nn f a a a a a =+=+++⋅⋅⋅+04()3nnii a ==∑, 所以13a =-,………………………………………………………………2分（2）[]2220122()nn f x b b x b x b x =+++⋅⋅⋅+2211=(1)=(1)33n n x x ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,所以21=3k kk n b C （-），令23(1)k k kk n b C =-，1,2,3,2k n =⋅⋅⋅，首先考虑1 C k 2n ＋1＋1C k ＋12n ＋1＝k !(2n +1－k )!(2n ＋1)!＋(k ＋1)!(2n －k )!(2n ＋1)! ＝k !(2n －k )!(2n ＋1－k ＋k ＋1)(2n ＋1)!＝k !(2n －k )!(2n ＋2)(2n ＋1)!＝2n ＋2(2n ＋1) C k 2n，则1 C k 2n ＝2n ＋12n ＋2(1 C k 2n ＋1＋1C k ＋12n ＋1)， 因此1 C k 2n －1 C k ＋12n ＝2n ＋12n ＋2(1 C k 2n ＋1－1 C k ＋22n ＋1)． ………………………………6分 故232123211113333n nb b b b +++⋅⋅⋅+ 123222222(1)k k n n n n n n C C C C C =-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+＝- 2n ＋12n ＋2(1 C 12n ＋1－1 C 32n ＋1＋1 C 32n ＋1－1 C 52n ＋1＋…＋1 C 2n －12n ＋1－1C 2n ＋12n ＋1) ＝- 2n ＋12n ＋2(1 C 12n ＋1－1 C 2n ＋12n ＋1)＝2n ＋12n ＋2(12n ＋1－1) ＝nn ＋1． ………………………………………………………………………10分。

数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． 已知集合{}13=A ，，{}01=B ，，则集合A B U = ▲ ． 【答案】{}013，，2． 已知复数2i 3i 1iz --=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ▲ . 【答案3．则平均每人参加活动的次数为 ▲ .【答案】34． 如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为 ▲ ．【答案】75． 有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为 ▲ ．【答案】236． 已知正四棱柱的底面边长是3 cm ，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积为 ▲ cm 3．【答案】547． 若实数x y ，满足2+3x y x ≤≤，则x y +的最小值为 ▲．【答案】6-8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)=>y px p 的准线为l ，直线l 与双曲线2214x y -= 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，AB =p 的值为 ▲ ．【答案】9． 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线3y x t =+与曲线()sin cos y a x b x a b t =+∈R ，，相切于 点()01，，则()a b t +的值为 ▲ ． 【答案】410．已知数列{}n a 是等比数列，有下列四个命题：①数列{}n a 是等比数列； ②数列{}1+n n a a 是等比数列；③数列1⎧⎫⎨⎬⎩⎭n a 是等比数列； ④数列{}2lg n a 是等比数列．（第4题）其中正确的命题有 ▲ 个．【答案】311．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)()f x f x +=．当01<x ≤时，()=f x 31x ax -+，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】212．在平面四边形ABCD 中，1AB DA DB ==，，32AB AC AC AD ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，，则2AC AD +u u u r u u u r 的最小值为 ▲ ．【答案】13．在平面直角坐标系xOy 中，圆221O x y +=：，圆()2244C x y -+=：．若存在过点()0P m ，的直线l ，l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 【答案】()443-， 14．已知函数()()()2|||2|(0)f x x a x a x a a =+-++<．若(1)(2)(3)f f f +++…(672)0f +=，则满足()2019f x =的x 的值为 ▲ ．【答案】337二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别为棱P A ，PD 的中点．已知侧面P AD ⊥底面ABCD ，底面ABCD是矩形，DA =DP ． 求证：（1）MN ∥平面PBC ；（2）MD ⊥平面P AB ． 【证明】（1）在四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别为棱P A ，PD 的中点，所以MN ∥AD ．……………………2分 又底面ABCD 是矩形， 所以BC ∥AD ．所以MN ∥BC ．…………………………………………………………………4分 又⊂⊄BC PBC MN PBC 平面，平面，所以MN ∥平面PBC ． ………………………………………………………6分（2）因为底面ABCD 是矩形，所以AB ⊥AD ．又侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧面P AD ∩底面ABCD =AD ，AB ⊂底面ABCD ， 所以AB ⊥侧面P AD ．…………………………………………………………8分 又MD ⊂侧面P AD ，所以AB ⊥MD ． ………………………………………………………………10分 因为DA =DP ，又M 为AP 的中点，从而MD ⊥PA ． ……………………………………………………………12分（第15题） A B C D P M N又PA ，AB 在平面P AB 内，=I PA AB A ，所以MD ⊥平面P AB ．………………………………………………………14分16．（本小题满分14分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C所对边的长，cos cos a B A，cos A （1）求角B 的值；（2）若a =ABC 的面积．【解】（1）在△ABC中，因为cos A =，0π<<A ，所以sin ==A 2分因为cos cos a B A ，由正弦定理sin sin =a b A B，得sin cos cos A B B A ． 所以cos sin =B B ． ………………………………………………………………… 4分若cos =0B ，则sin =0B ，与22sin cos 1B B +=矛盾，故cos 0B ≠． 于是sin tan 1cos ==B B B． 又因为0π<<B ，所以π4B =． ……………………………………………………………………7分 （2）因为a =sin A =， 由（1）及正弦定理sin sin =a b A B=，所以=b ……………………………………………………………………9分 又()()sin sin πsin C A B A B =--=+sin cos cos sin =+A B A B=12分 所以△ABC的面积为11sin 22===S ab C ……14分 17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221y x a b+=(0)a b >>的左焦点为F ，右顶点为A ， 上顶点为B ．（1）已知椭圆的离心率为12，线段AF，求椭圆的标准方程； （2）已知△ABF 外接圆的圆心在直线y x -=上，求椭圆的离心率e 的值．【解】（1）因为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的离心率为12， 所以12c a =，则2a c =． 因为线段AF，所以2a c -=．所以c 28a =，2226b a c -==． 所以椭圆的标准方程为22186x y +=． …………………………………………………4分 （2）因为(0)(0)A a F c -，，，，所以线段AF 的中垂线方程为：2a c x -=． 又因为△ABF 外接圆的圆心C 在直线y x -=上， 所以()22a c a c C ---，．………………………………………………………………6分 因为(0)(0)A a Bb ，，，， 所以线段AB 的中垂线方程为：()22b a a y x b --=． 由C 在线段AB 的中垂线上，得()2222a c b a a c a b -----=， 整理得，2()b a c b ac -+=，…………………………………………………………10分 即()()0b c a b -+=．因为0a b +>，所以b c =．…………………………………………………………12分所以椭圆的离心率2c e a ===． ………………………………………14分 18．（本小题满分16分）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD ，AB AD ，的长分别为m 和 4m ，上部是圆心为O 的劣弧CD ，=3COD 2π∠． （1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B 点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD 所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设BC 与地面水平线l 所成的角为θ．记拱门上的点到地面 的最大距离为h ，试用θ的函数表示h ，并求出h 的最大值．O O OD D DC CAA A C DO（第17题）【解】（1）如图，过O 作与地面垂直的直线交AB CD ，于点12O O ，，交劣弧CD 于点P ，1O P 的长即为拱门最高点到地面的距离． 在2Rt O OC △中，23O OC π∠=，2CO = 所以21OO =，圆的半径2R OC ==． 所以11122=5O P R OO R O O OO +=+-=．答：拱门最高点到地面的距离为5m ． …………………4分（2）在拱门放倒过程中，过点O 作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P ．当点P 在劣弧CD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于圆O 的半径长与圆心O 到地面距离之和；当点P 在线段AD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于点D 到地面的距离．由（1）知，在1Rt OOB △中，OB ．以B 为坐标原点，直线l 为x 轴，建立如图所示的坐标系．（2.1）当点P 在劣弧CD 上时，ππ62θ<≤． 由π6OBx θ∠=+，OB =由三角函数定义，得O ππ))66()θθ++，则π2)6h θ=++．……………………8分 所以当ππ62θ+=即π3θ=时，h 取得最大值2+ ………………………………………………10分（2.2）当点P 在线段AD 上时，06θπ≤≤． 设=CBD ϕ∠，在Rt BCD △中，DB =sin cos ϕϕ===．由DBx θϕ∠=+，得))()D θϕθϕ++，．所以)h θϕ=+4sin θθ=+．………………………………14分 又当06θπ<<时，4cos 4cos 066h θθππ'=->-．所以4sin h θθ=+在[0]6π，上递增．θO D C B A x y所以当6θπ=时，h 取得最大值5．因为25+>，所以h的最大值为2+答：4sin 06π2)662h θθθθθπ⎧+⎪⎪=⎨ππ⎪++<⎪⎩，≤≤，，≤；艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为（2+m ． ………………………………………16分19．（本小题满分16分）已知函数()()ln a f x x a x =+∈R ． （1）讨论()f x 的单调性；（2）设()f x 的导函数为()f x '，若()f x 有两个不相同的零点12x x ，．① 求实数a 的取值范围；② 证明：1122()()2ln 2x f x x f x a ''+>+． 【解】（1）()f x 的定义域为()0+∞，，且2()x a f x x-'=． （1.1）当0a ≤时，()0f x '>成立，所以()f x 在()0+∞，为增函数； …2分 （1.2）当0a >时，（i ）当x a >时，()0f x '>，所以()f x 在()+a ∞，上为增函数； （ii ）当0x a <<时，()0f x '<，所以()f x 在()0a ，上为减函数．…4分 （2）①由（1）知，当0a ≤时，()f x 至多一个零点，不合题意；当0a >时，()f x 的最小值为()f a ，依题意知()=f a 1ln 0a +<，解得10e a <<．……………………………6分一方面，由于1a >，()10f a =>，()f x 在()+∞a ，为增函数，且函数()f x 的图 象在()1a ，上不间断． 所以()f x 在()a +∞，上有唯一的一个零点． 另一方面， 因为10e a <<，所以210e <<<a a ．2211()ln 2ln f a a a a a =+=+，令()12ln =+g a a a，当10e a <<时，()2212210-'=-+=<a g a a a a，所以()()211()2ln 20f a g a a g e a e==+>=->又()0f a <，()f x 在()0a ，为减函数，且函数()f x 的图象在()2a a ，上不间断．所以()f x 在()0a ，有唯一的一个零点． 综上，实数a 的取值范围是()10e，．………………………………………10分 ② 设()()1122121211=2+a a a a p x f x x f x x x x x ⎛⎫''=+=-+-- ⎪⎝⎭．又1122ln 0ln 0a x x a x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，， 则()122ln p x x =+．…………………………………12分 下面证明212x x a >．不妨设12x x <，由①知120x a x <<<． 要证212x x a >，即证212a x x >．因为()2120a x a x ∈，，，()f x 在()0a ，上为减函数， 所以只要证()212a f f x x >⎛⎫ ⎪⎝⎭． 又()()12==0f x f x ，即证()222a f f x x >⎛⎫ ⎪⎝⎭．………………………………14分 设函数()()()()22ln 2ln a x a F x f f x x a x a x a x=-=--+>．所以()()220x a F x ax -'=>，所以()F x 在()+a ∞，为增函数. 所以()()20F x F a >=，所以()222a f f x x >⎛⎫ ⎪⎝⎭成立． 从而212x x a >成立.所以()122ln 2ln 2p x x a =+>+，即()()11222ln 2''+>+x f x x f x a 成立. …16分20．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 满足44a =，前8项和836S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()()212123(21)nn k n k n k b a a n *+-=+=-∈∑N ，．① 证明：{}n b 为等比数列；② 求集合*3()=p m m p a a m p m p b b ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭N ，，，． 【解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ．因为等差数列{}n a 满足44a =，前8项和836S =，所以1134878362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，，解得111a d =⎧⎨=⎩，． 所以数列{}n a 的通项公式为n a n =． ………………………………………3分（2）①设数列{}n b 前n 项的和为n B ．由（1）及()()212123(21)nn k n k n k b a a n *+-=+=-∈∑N ，得，()()()()()()21211121213212321212nnk n k k n n k n k k b a n b an n +-=----=⎧-=+⎪⎪⎨⎪-=+-⎪⎩∑∑，③≥， ④ 由③-④得()()()1121223131321321+2n n n n n n b a b a b a b a n -------=++++L()12322511+22n n n b a b a b a n ----+++-L[]123225111(2)(2)+(2)2n n n n b a b a b a b a n ---=+++++++L ()12322511+22n n n b a b a b a n ----+++-L()()1212+222n n n n n b b b b B b b -=++++=-++L ． 所以13222n n n B b -⋅=-+()2n n *∈N ≥，， 又()1113212b a -=+，所以11b =，满足上式． 所以()12232n n n B b n -*-+=⋅∈N ⑤…………………………………………6分 当2n ≥时，2112232n n n B b ----+=⋅⑥由⑤-⑥得，2132n n n b b --+=⋅．…………………………………………………8分()12122n n n n b b ----=--=L ()()11120n b -=--=，所以12n n b -=，12n nb b +=， 所以数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列．…………………………10分 ②由3=p m m p a a b b ，得11322m p p m --=，即32p mp m -=． 记n n nac b =，由①得，12n n n n a n c b -==，所以1112n n cn c n++=≤，所以1n n c c +≥（当且仅当1n =时等号成立）．由3=p m m pa ab b ，得3m p pc c c =>， 所以m p <．……………………………………………………………………12分设t p m =-()*m p t ∈N ，，，由32p m pm -=，得323t t m =-．当1t =时，3m =-，不合题意；当2t =时，6m =，此时8p =符合题意； 当3t =时，95m =，不合题意；当4t =时，12113m =<，不合题意．下面证明当4t t *∈N ≥，时，3123t t m =<-． 不妨设()233x f x x =--()4x ≥，()2ln 230x f x '=->，所以()f x 在4+[)∞，上单调增函数， 所以()(4)10f x f =>≥，所以当4t t *∈N ≥，时，3123tt m =<-，不合题意．综上，所求集合*3()=p m m p a a m p m p b b ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭N ，，，(){}=68，．……………16分 21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在．．．．．．．．．答题卡．．．相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦M ，10=102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦N ，且()110402-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦MN ，求矩阵M ． 【解】由题意，()110402-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦MN ，则40102⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦MN ． ………………………………4分 因为10=102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦N ，则110=02-⎡⎤⎢⎥⎣⎦N ．………………………………………………6分 所以矩阵401040=1020102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦M ．…………………………………………10分B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是2x t y t =⎧⎨=⎩，（t 为参数）．以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是sin()4ρθπ-=求：（1）直线l 的直角坐标方程；（2）直线l 被曲线C 截得的线段长．【解】（1）直线l的极坐标方程可化为(sin cos cos sin )44ρθθππ-即sin cos 2ρθρθ-=．又cos sin x y ρθρθ==，，所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=． ……………………4分 （2）曲线C : 2x t y t =⎧⎨=⎩，（t 为参数）的普通方程为2x y =． 由220x y x y ⎧=⎨-+=⎩，，得220x x --=，所以直线l 与曲线C 的交点()11A -，，()24B ，． ……………………8分所以直线l 被曲线C 截得的线段长为AB ．……10分C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知实数a b c ，，满足222a b c ++≤1，求证：22211191114a b c +++++≥． 【证明】由柯西不等式，得()()()222222111111111a b c ++a b c ⎛⎫⎡⎤+++++ ⎪⎣⎦+++⎝⎭29=≥，…………………………5分 所以2222221119991113134++a b c a b c =+++++++≥≥． ……………………10分 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位 “回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4， 其结果记为X ；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y ． （1）求X 为“回文数”的概率；（2）设随机变量ξ表示X ，Y 两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望()E ξ．【解】（1）记“X 是‘回文数’”为事件A ．9个不同2位“回文数”乘以4的值依次为：44，88，132，176，220，264，308， 352，396．其中“回文数”有：44，88．所以，事件A 的概率2()9P A =．………………………………………………3分（2）根据条件知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2．由（1）得2()9P A =．……………………………………………………………5分设“Y 是‘回文数’”为事件B ，则事件A ，B 相互独立．根据已知条件得，()29205=9P B C =． ()()()()()2528=0=119981P P A P B ξ=--=；()()()()()()()252543=1=11999981P P A P B P A P B ξ+=-+-=；()()()2510=2=9981P P A P B ξ=⋅= ………………………………………………8分 所以，随机变量ξ的概率分布为所以，随机变量ξ的数学期望为2843107()0128181819E ξ=⨯+⨯+⨯=．………10分23．(本小题满分10分)设集合B 是集合{123n A =，，，…，32313}n n n n *--∈N ，，，的子集．记B 中所有元素的 和为S （规定：B 为空集时，S =0）．若S 为3的整数倍，则称B 为n A 的“和谐子集”． 求：（1）集合1A 的“和谐子集”的个数；（2）集合n A 的“和谐子集”的个数．【解】（1）集合{}1=123A ，，的子集有：φ，{}1，{}2，{}3，{}12，，{}13，，{}23，，{}123，，． 其中所有元素和为3的整数倍的集合有：φ，{}3，{}12，，{}123，，． 所以1A 的“和谐子集”的个数等于4．………………………………………3分 （2）记n A 的“和谐子集”的个数等于n a ，即n A 有n a 个所有元素和为3的整数倍的子集；另记n A 有n b 个所有元素和为3的整数倍余1的子集，有n c 个所有元素和为3的整数 倍余2的子集．由（1）知，111=4=2=2a b c ，，．集合()+1{12332313313231}n A n n n n n n =--+++L ，，，，，，，，，的“和谐子集” 有以下四类（考察新增元素()313231n n n +++，，）：第一类 集合{123n A =，，，…，32313}n n n --，，的“和谐子集”，共n a 个； 第二类 仅含一个元素()31n +的“和谐子集”，共n a 个；同时含两个元素3132n n ++，的“和谐子集”，共n a 个； 同时含三个元素()313231n n n +++，，的“和谐子集”，共n a 个；第三类 仅含一个元素31n +的“和谐子集”，共n c 个；同时含两个元素()313+1n n +，的“和谐子集”，共n c 个；第四类 仅含一个元素32n +的“和谐子集”，共n b 个；同时含有两个元素()3231n n ++，的“和谐子集”，共n b 个，所以集合+1n A 的“和谐子集”共有1422n n n n a a b c +=++个．同理得1422n n n n b b c a +=++，1422n n n n c c a b +=++．…………………………7分 所以+112()n n n n a b a b +-=-，112a b -=，所以数列{}n n a b -是以2为首项，公比为2 的等比数列． 所以=2n n n a b -．同理得=2n n n a c -．又3=2n n n n a b c ++，所以()321=2233n n n a n *⨯+⨯∈N ，． ………………10分。

0.0005300035000.00030.0004200015000.00020.0001400025001000月收入（元）频率/组距江苏省2019届高三百校联合调研测试（一）数学试题本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.选修测试历史的而考生仅需做第I 卷，共160分，考试用时120分钟.选修测物理的考生需做第I 卷和第II 卷，共200分考试用时150分钟.第I 卷（必做题 共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上。

1．已知集合{|21}x A x =>,{|1}B x x =<,则A B = ．2．复数iia 212+-(i 是虚数单位)是纯虚数,则实数a 的值为 ． 3．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出 人．4．某算法的伪代码如图所示,若输出y 的值为1,则输入x 的值为 ．5．已知双曲线2214x y b-=的右焦点为(3,0)，则该双曲线的渐近线方程为________.6．已知2sin 3cos 0θθ+=，则tan 2θ=________.7.已知正三棱柱底面边长是2，，外接球的表面积是16π，则该三棱柱的侧棱长 ．8. 在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则不等式x ⊙(x －2)＜0的解集是 ． 9．投掷一枚正方体骰子(六个面上分别标有1,2,3,4,5,6),向上的面上的数字记为a ,又()n A 表示集合的元素个数,{}2||3|1,A x x ax x R =++=∈,则()4n A =的概率为10．函数1()2sin(),[2,4]1f x x x xπ=-∈--的所有零点之和为 ．11．如图，PQ 是半径为1的圆A 的直径，△ABC 是边长为1的正三角形，则Read xIf x ≤0 Then y ←x ＋2 Elsey ←log 2014x End If Print y （第4题）CQ BP ∙的最大值为 ．12. 已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 和为n S ，且满足213(2)n n S S n n -+=≥．若对任意的*n N ∈，1n n a a +<恒成立，则a 的取值范围是 ．13. 已知圆22:(2)1C x y -+=，点P 在直线:10l x y ++=上，若过点P 存在直线m 与圆C 交于A 、B 两点，且点A 为PB 的中点，则点P 横坐标0x 的取值范围是 ．14．记实数12,,,n x x x 中的最大数为12max{,,,}n x x x ，最小数为12min{,,,}n x x x .已知实数1x y ≤≤且三数能构成三角形的三边长，若11max ,,min ,,x x t y y x y x y ⎧⎫⎧⎫=⋅⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则t 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)已知(3,cos())a x ω=-，(sin(b x ω=，其中0ω>，函数()f x a b =⋅的最小正周期为π.(1)求()f x 的单调递增区间；(2)在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．且()2A f =，a =，求角A 、B 、C 的大小．16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥P ABC -中，PA PC ⊥，AB PB =，,E F 分别是PA ，AC 的中点． 求证：（1）EF ∥平面PBC ； （2）平面BEF ⊥平面PAB ．17. (本小题满分14分)某音乐喷泉喷射的水珠呈抛物线形，它在每分钟内随时间t （秒）的变化规律大致可用22(14sin )20(sin )6060t t y x x ππ=-++（t 为时间参数，x 的单位：m ）来描述，其中地面可作为x 轴所在平面，泉眼为坐标原点，垂直于地面的直线为y 轴。

宿迁市2018~2019学年度第一学期市直高三期末测试数 学参考公式：锥体的体积公式 13V Sh =，其中S 是锥体的底面面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合{|10,}A x x x =+>∈R ，{|230,}B x x x =-<∈R ，则AB = ▲ ．答案：3(1,)2-考点：集合的运算。

解析：{|10,}A x x x =+>∈R ＝{|1,}x x x ∈R ＞－，3{|,}2B x x x =∈R ＜ 所以，AB =3(1,)2-2． 已知复数z 满足()12i 3i z +=-（其中i 为虚数单位），则||z 的值为 ▲ ． 答案：2考点：复数的概念及运算。

解析：3i (3)(12)1712555i i z i i ---===-+，149||22525z =+=3． 交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度不小于50km/h 的汽车中抽取200辆汽车进行测速分析，得到如图所示的时速的频率分布直方图，则时速 不低于80km/h 的汽车有 ▲ 辆．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将答题卡交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

答案：20考点：频率分布直方图。

解析：时速不低于80km/h的频率为：0.01×10＝0.1，时速不低于80km/h的汽车有：0.1×200＝20辆4．如图是一个算法的伪代码，运行后输出S的值为▲ ．答案：13考点：算法初步。