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第5章_量纲分析与Π定理

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量纲分析方法的基本原理是定理

量纲分析方法的基本原理是定理

量纲分析方法的基本原理是Π定理。

设所选取的单位制中基本量的数目为m，它们是，物理量Q的量纲式为（1）对上式取对数，则有（2）若是m维空间的“正交基矢”，则就是“矢量”ln[Q]在基矢量上的投影，或者说是它的“分量”。

于是，量纲式可以简写为。

所谓几个物理量的量纲独立，是指无法用它们幂次的乘积组成无量纲量。

用矢量语言表达，就是代表它们量纲的“矢量”线性无关。

在m维的空间内最多有m个彼此线性无关的矢量。

m个矢量（i =1,2, …,m）线性无关的条件是它们组成的行列式不等于0：（3）P定理表述为设某物理问题内涉及n个物理量(包括物理常量,而我们所选取的单位制中有m个基本量（n>m），则由此可组成（n-m ）个无量纲的量，在物理量之间存在的函数关系式（4）可表示成相应的无量纲形式（5）或者把解出来：（6）n=m的情况下，有两种可能：若的量纲彼此独立，则不能由它们组成无量纲的量；若不独硫还可能组成无量纲的量。

运用P定理作量纲分析示范如下：在力学问题中，选取质量（M）、长度（L）、和时间（T）作为基本物理量，故m=3。

例1:设一均匀细棒，长度为l，质量为m。

求绕过中点O的转轴的转动惯量 J(如右图)。

解：转动惯量的量纲式为,任意形状的转动惯量可写为, 代表一组能确定其几何形状的无量纲参量，如长方形的两边长之比；三角形的底与高之比，对于几何形状相似的物体，函数是等同的，对于那些只用一个特征长度即可完全确定的几何形体，如正方体，长方体，立方体，圆，球……等，退化为一个未知常数，用k表示。

所以,对细棒,转动惯量J可以写成（7）已知平行轴定理（8）(这里是物体对通过其质心的某个特定轴的转动惯量，d是将此转轴平行移动距离。

)设式（7）中的J代表细棒的，即过质心o并垂直于棒的转轴的转动惯量。

将转轴移至端点，则, 按（8）式（9）设想棒平均分成两段，每段质量为，长度为 ,按（9）式, 两段绕同一转轴的转动惯量之和应等于总转动惯量,即: ,∴∴ 由（7）式得, 由（9）式得例2.; 由开普勒第三定律推论万有引力的性质。

流体力学第五章b5-相似原理与量纲分析分解

流体力学第五章b5-相似原理与量纲分析分解

特征速度 V
特征压强 p0 特征密度 ρ0
uv w
无量纲速度 u ,v ,w
无量纲压强 无量纲密度
p Vp
p0
V
V
0
有量纲的特征量T , L,G,V , P, 0, 0
无量纲量 t , x, y, z, g,u,v, w, p,
t Tt ,x Lx, y Ly,z Lz,g Gg , 0 u Vu ,v Vv ,w Vw, p p0 p, 0
对于非定常流，只有三个数是独立的
St=0,雷诺数Re ,弗汝德数Fr ,欧拉数Eu ,只有2个是独立的
流体力学与流体机械
第三节 相似准则
B5 量纲分析与相似原理 23
1雷诺数（Reynolds Number）Re 粘性力相似：Re1＝ Re2
Re
VL
VL
惯性力 对流惯性力=V2/L
粘性力 粘性力=μV/ρL2
流体力学与流体机械
相似的基本概念
B5 量纲分析与相似原理
4
流动相似性 几何相似
形状相似
尺度成比例
流动相似
同类现象 相似现象
遵循同一方程 物理量成比例
几何相似
尺度成比例
时间相似
时间成比例
运动相似
速度成比例
动力相似
力成比例
流体力学与流体机械
1
相似的基本概念
B5 量纲分析与相似原理
5
几何相似—模型与原型流场的几何形状相似，即相应线段
vp tp
/ vm / tm
cv ct
cl ct 2
l t2
um3
加速度比例尺:
ka
a' a
'

第5章_量纲分析与Π定理

第5章_量纲分析与Π定理

O
⎡ ⎣
V ⋅∇
O(g)
w⎤⎦
=
U2 g
L
=
Fr
物理意义：反映重力作用在运动方程中的相对重要性。
>> Fr ＝
<<
重力相对于惯性力很小（不重要），大Fr数流动,高速流 1 重力作用跟惯性力同等重要
重力对流体运动的影响很大重要，小Fr数流动,低速流,如大气运动
3）欧拉（Euler）数：
Eu
=
∆Ρ ρ0U2
=
v (Q2 ) v (Q1 )
=
w(Q2 ) w(Q1 )
=
const
(5.2)
即：两流场对应点上速度方向相同、大小成常数比例。
1
编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：地球信息系统软件工作室 徐进明、李国平
1.3 动力相似：在两流场相应点上各动力学变量成同一常数比例。如力，加速度，ζ，D。即要求：
已知涡度扩散规律满足方程：
∂Ω ∂t
=
υ r
∂ ∂r
⎛ ⎜⎝
r
∂Ω ∂r
⎞ ⎟⎠
r：各空间点离涡线的垂直距离；Ω：涡度；υ：运动学粘性系数υ = µ ρ
8
编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：地球信息系统软件工作室 徐进明、李国平
应用π定理，可将解偏微分方程化为求解常微分方程。从物理关系的分析知：与涡度Ω有关的
rn−m ,2
rn−m ,3
n
1
2
3
a rn−m,m m
由量纲齐次性原理，则有：
（5.18）
a = π a a a a m+1
r11 r12 r13 11 2 3

量纲分析与π定理

量纲分析与π定理

量纲分析与π定理量纲分析法是与相似原理密切相关的另一通过实验去探索流动规律的重要方法，特别是对那些很难从理论上进行分析的复杂流动，更能显示出该方法的优越性。

一、 物理方程量纲一致性原则物理量单位的种类叫量纲。

例如，小时、分、秒是时间的不同单位，但这些单位属于同一种类，即皆为时间单位，它们的量纲为T ；米、厘米、毫米同属长度单位，它们的量纲为L ；吨、千克、克同属质量单位，它们的量纲为M 。

物理量的量纲分为基本量纲（独立量纲）和导出量纲（非独立量纲）。

通常流体力学中取长度、时间和质量的量纲L 、T 、M 为基本量纲；它们之中任何一个量纲都不可能由其余两个基本量纲组合或转换而成。

而其他物理量则可以用这三个基本量纲来组合或推导而得到，故称为导出量纲。

如流速的量纲1LT -，可以用长度和时间两个基本量纲组合而成，所以它属于导出量纲。

在与温度有关的流体力学问题中，还要增加温度的量纲Θ为基本量纲。

流体力学中常遇到的用基本量纲表示的导出量纲有：速度1dim v LT -=，加速度2dim a LT -=，密度3dim MT ρ-=，力2dim F MLT -=，压强12dim p ML T --=，表面张力2dim MT σ-=，体积模量12dim K ML T --=，动力粘度11dim ML T μ--=，运动粘度21dim L Tυ-=，比定压热容dim p C =比定容热容221dim v C L T --=Θ，气体常数221dim R L T --=Θ等。

自然界中的一切物理过程都可以用物理方程来表示。

任何一个物理方程中各项的量纲必定相同，用量纲表示的物理方程必定是齐次性的，这便是物理方程量纲一致性原则。

既然物理方程中各项的量纲相同，那么，用物理方程中的任何一项去通除整个方程，便可将该方程转化为零量纲方程。

例如，伯努力方程22v p z H g gαρ++= 每一项的量纲都是L 。

如果用H 去通除整个方程，则该方程便转化为零量纲方程212v z p H gH gHαρ++= 量纲分析法正是依据物理方程量纲一致性原则，从量纲分析入手，找出流动过程中的相似准则数，并借助实验找出这些相似准则数之间的函数关系式，即准则方程式。

单位与量纲（五）量纲分析

单位与量纲（五）量纲分析

单位与量纲（五）量纲分析【单位与量纲】系列文章之（五）假如一个物理量只需要用长度和时间表达，那么它的单位将会是长度（Length）和时间(Time)的一定幂次，记为[L]a[T]b，这样的表达式就称为该物理量的量纲，其中的a和b称为量纲指数，可以为正负数。

比如力=质量(Mass)乘以加速度，所以单位为kgm/s^2，其量纲表达就为[MLT-2]。

假如所有的幂次为零时，这个物理量就被称为无量纲数。

量纲可以用于快速检验公式的正确性，只有等式两端的量纲相同，公式才合理。

也只有量纲一致的条件下，物理量之间才可能进行加减操作。

量纲分析是考场上记不清公式时的一根救命稻草。

自由落体公式中，s=gt2/2，假如记不得了，我们可以猜测自由落体与地球重力加速度有关，与时间有关，跟别的事情无关。

s的量纲是长度[L]，重力加速度的量纲是[LT-2]，时间的量纲是[T]，所以[L]= [LT-2]a[T]b=[L]a [T]b-2a，以[L]和[T]两个量纲分别列方程，对[L]，推出a=1，对[T]，推出b=2，所以s跟gt2成比例关系。

这个例子比较简单，我们接下来利用量纲分析推出开普勒第三定律。

开普勒定律的是牛顿力学建立的重要基础，其中开普勒第三定律又称为周期定律，指行星绕太阳转动周期的平方与椭圆轨道长轴立方成正比。

我们现在忽略历史，假设我们处在牛顿的年代，刚被苹果砸了脑袋，意识到了引力的存在，想到了万有引力常数G。

那么，量纲分析将帮助我们最快地验证自己的理论。

首先，我们知道行星绕太阳转动，那么转动有周期T，涉及时间[T]，行星跟太阳有距离r，涉及长度[L]，如果引力有作用，需要太阳质量m，涉及[M]，为什么行星质量可以不出现？因为既然称为定律，那么对不同质量的行星都必须成立。

假如周期的表达式写为T=f(m,r,G)，G为万有引力常数，量纲为[M-1L3T-2]（详细推导见说明）。

我们将写下如下等式：[T]=[M]a[L]b[M-1L3T-2]c=[T]-2c[M]a-c[L]b+3c我们分别对[T]、[M]、[L]列方程：1=-2c0=a-c0=b+3c这时候，这样简单的方程组可以解出c=-1/2，a=-1/2，b=3/2。

工程流体力学 第五章 量纲分析与相似原理

工程流体力学 第五章 量纲分析与相似原理

单值条件中的物理量所组成的相似准则在数值上相等时， • 单值条件中的各物理量称为定性量。由定性量组成
的相似准则称为定性准则或定型准则；包含被决定量的
相似准则称为非定性准则或非定型准则。雷诺准则，傅 鲁德准则由定性量组成（几何条件、物理条件、边界条 件、初始条件等单值条件中的量）。欧拉准则中有被决 定量p，故它是非定性准则。
F f i ( d , d ,...... d )
• 即任一非定性准则可表示为定性准则的函数。 • 对于粘性不可压缩流体的定常流动，定性准则有Re， Fr，非定性准则为Eu，故：Eu=f(Re，Fr)
i 1 2 m
•
相似三定理解决模型试验中必须解决的一系列问题， 可归纳为：
（1）设计模型和选择介质必须使单值条件相似，而且由 定性量所组成的定性准则在数值上要相等。（如何设计 模型和选择介质） （2）试验中应测定各相似准则中所包含的一切物理量， 并把它们整理成相似准则。（测定哪些物理量） （3）把试验结果整理成相似准则之间的关系式，便可推
• 5.4 模型试验
•
• • • •
在进行流体动力学的模型试验时，为保证模型与 原型中的现象相似，应按相似原理去设计模型、安排试 验，必须做到： (1)模型与原型流体通道的几何相似。 (2)模型与原型流体的密度和粘度具有固定的比值。 (3)模型与原型进口截面的速度分布相似。 (4)模型与原型进口处按平均流速计算的Re数, Fr数相等。
π2
a+b-3d+1=0 a=1
d-1=0
-a+1=0
d=1
b=1
π3
a+b-1-3d=0 a= -2 1+d=0 d=-1
π1→Fr ; π2→Re ; π 3 → Eu -a-2=0

量纲分析法

步骤 4：用独立变量的待定幂指数乘积形式与其余变量中的每个变量组成无
量纲数 j j n k , n，并代入变量的量纲组成量纲关系式。
如在该问题中，有：
4 h A1 d A2 A3
5

g B1
d B2 B3
步骤 5：对量纲关系式中的每一个基本量纲令等式两边的幂
量纲分析法
一、量纲
1. 量纲的定义 是用来描述物体或系统物理状态的可测量性质，如长度、质量、速度、 加速度。 2. 基本量纲
彼此无关的量纲，如长度、质量和时间。 3. 导出量
最终要用基本量纲的组合来确定的量纲，如速度、加速度、动量等。 国际单位制中基本量纲为：
[L]、[t]、[M]、[T]。
二、量纲分析法—π定理
为无量纲的量，所以有
ML1T 2 L x LT 1 y ML3 z M z Lx y3zT y
z 1, y 2, x 0


p
2
同理有，分别有：
ML1T 1 L x4 LT 1 y4 ML3 z4 M L T z4 x4 y4 3z4 y4
2
2g
hf

P
g
2
g
f 1 , l , Re d d
莫迪图
hf
Re ， l
dd
2
2g
例题： 在层流情况下，流过一小等边三角形截面的孔（边长为 b
，孔长为 L )的体积流量 Q 为动力粘性系数 、单位长度上的压降
p / L 及 b 的函数。试将此关系写成无因次式。在其他条件不变的
z4 1, y4 1, x4 1
4

量纲分析法jk

量纲分析法——π定理1、π定理的内容：任一物理过程包含有n 个有量纲的物理量，如果选择其中的m 个作为基本物理量，则这一物理过程可由n 个物理量组成的n -m 个无量纲量所组成的关系式描述。

因这些无量纲数是用π表示的，故称为π定理。

以数学形式可表示如下。

设n 个物理量为1x 、2x ……n x ，则这一物理过程可表示为一般函数关系式 0),,,(21=⋅⋅⋅n x x x f利用π定理可将此函数关系式简化为0),,,(21=⋅⋅⋅-m n F πππ其中，1π、2π、…n π为独立参数。

每个π数都是由上述各变量组成的无量纲量。

至于函数F 的具体形式则必须由实验确定。

2、π定理的意义：π定理指出，由于方程中各项的量纲是一致的，函数f 与其作为n 个独立自变量x 之间的关系，不如改为(n-m )个互相独立的无量纲π之间的关系，即函数F 。

因为后者所包含的变量数目较前者减少了m 个，而且是无量纲的，这样就具有了如下两个优点：①无量纲参数图较之有量纲参数坐标中绘制的图应用范围更广泛。

②无量纲关系通常可以根据模型试验绘制，而且无量纲关系式可以指导如何组织试验、简化试验、整理试验成果，可以使试验工作量大为减少。

3、π定理的应用步骤（1）根据对所研究现象的认识，确定影响这个现象的各个物理量，并写出一般函数关系式),,,(21=⋅⋅⋅nxxxf。

这里所讲的影响物理现象的物理量是指对所研究的现象其作用的所有各种独立因素，可以是变量，也可以是常量。

对于水流现象来说，影响水流现象物理量主要有：①水的物理特性；②流动边界的几何特性；③流动的运动特性。

影响因素列举是否全面，将直接影响到分析结果，这就要求我们对水流现象有比较深刻的认识，否则很难得到正确结论。

这也就是说，π定理只能是一种分析问题的工具，并非是解决问题的万能工具。

如果影响因素分析不正确，及时量纲分析正确，也不能得到正确的结论。

（2）选取基本量纲。

可以选[L,T,M]，也可选[L,T,F]，基本量纲选择不同，不会影响到最后的分析结果。

对量纲分析法与π定理的理解与应用


题具有重要指导作用 。量纲 分析 法又称 为因次分析法 （ ｃ ｒ ｎ ｌｓ ｔｏ ），是２ 世纪初提出 Ａ ｔ ａ ｉ Ｍｅ ｄ ｏＡ ｙ ｓ ｈ ０
的一 种 数 学分 析 方 法 。它 是 在 经 验 和 实 验 的基 础 上 ，根据 物 理 定律 的量 纲 齐 次 原 则 ，确 定 生产 过程
时，要求每次只改变一个变量 ，而将其它变量固定。如果变量很多 ，工作量必然很大 ，而且将实验 结果 关 联 成 便 于应 用 的 公式 也很 困难 。利 用 量 纲 分 析法 就 可 以使 实 验 和 关 联 工 作 都 能简 化 。所 以 ， 量纲 分析 在 化 学工 程 中得 到 了广 泛 的应 用 。 《 工 原 理 》 作 为 化 学 化 工 专 业 的 一 门重 要 的专 业 基 础 课 ，是 以 化 工 过 程 单 元 操 作 为研 究 对 化 象 ，研 究 化 工 生产 过 程 中 的 实 际工 程 问题 。被 加 工 的物 料 质 千 差 万 别 ，过 程 设 备 的几 何 形 状 各 不相 同 ，操 作 条件 千 变 万 化 。面 临这 样 一 个 复 杂 真 实 的过 程 ，采 用 一 般 的 数 学 关 联 法 处理 这 些 单 元技 术 问题 ，显 然 是太 复杂 而 且低 效 ，甚 至 是 不 可 能 的 。解 决 这 些 复 杂 工 程 问题 就 要 求 工程 技 术 人 员采 用 不 同于 基 础 学科 的研 究 方 法 ，简 便 有 效 地 处 理 这 些 实 际工 程 问题 ，如 量 纲 分 析法 、数 学 模 型 等就 是 些很 好 的工 程 处 理 方 法 ｐ。 本 文 的 目的 就 是 介 绍和 阐述 量 纲 分 析 方 法 ， 并 结 合 《 工 原理 》 中 对 化 流传 热 中 的对 流给 热 系 数 计 算 的 实 际工 程 实 例 ，剖 析和 示 例 量纲 分 析 法 的 实 际应 用 。

第五章量纲分析与相似原理

第五章量纲分析与相似原理在长期的生产实践中，人们总结出两种方法去研究、解决各种工程流体力学问题。

一种是数学分析方法，通过求解描述流动过程的微分方程式，获得各量之间的规律性关系。

另一种是实验方法，通过实验获取流体的流动规律。

然而，能够用数学分析方法求解的流体力学问题是有限的。

在许多情况下，流体流动的现象很复杂，往往难以用微分方程式加以描述；而且即使能够建立微分方程式，由于不能确定初始条件和边界条件，也难以求解。

所以日前大量的流体力学问题只能用实验方法求解。

本章介绍的量纲分析(Dimensional analysis)和相似原理(law of similarity)就是指导实验的理论。

§5-1量纲分析当某一流动过程尚不能用微分方程描述时，量纲分析法是确定物理量间关系的有效方法。

一. 量纲分析的基本知识“量纲”(或“因次”)是用以度量物理量单位的种类的。

以小时、分、秒为例，它们是不同的时间测量单位，但这些单位都属于同一时间种类。

若将这些属于同一种类的单位用[t]表示，则[t]就是上述时间单位的“量纲”。

因此，量纲是代表被测物理量单位种类的一种符号，从符号可以看出它们的属性。

例如[t]表示时间量纲,[L]—表示长度量纲。

SI 制中的基本量纲：dim m = M , dim l = L , dim t = T 物理量大小类别导出量纲工程单位制国际单位制英制单位制量纲基本量纲量纲幂次式§5-1量纲分析导出量纲可用三个基本量纲的指数乘积形式表示。

例如B 为任一物理量，其量纲可用下式表示：[][]a b cB L M t上式称为量纲公式，式中a 、b 、c 可正、负、整数、分数，它取决于物理量的定义和本质。

例如密度的量纲是，动力黏度的量纲是。

流体力学中常用量的量纲见下表。

3[][]ML ρ-=11[][]ML t μ--=导出量物理方程量纲速度V力F压强p密度ρ动力黏度µ运动黏度dlV dt=22d lF ma mdt==dFp dA=dmdvρ=FdVAdlμ=μνρ=1[][]V Lt-=2[][]F MLt-=12[][]p ML t--=11[][]ML tμ--=3[][]MLρ-=21[][]L tν-=在上式中，若a、b、c三个数中有一个不为零，则表明该物理量B是有量纲的量，当“a、b、c”全部为零时，则表明物理量B是无量纲的量，或称无量纲数(Non-dimensional number)。

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1）雷诺（Reynolds）数：
Re
=
UL υ
=
ρ UL µ
（5.8）
2
编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：地球信息系统软件工作室 徐进明、李国平
其中υ = µ ，µ：粘性系数，ν：运动学粘性系数。 ρ
来源：特征惯性力/特征粘性力＝Re，即：
( ) O ⎡⎣ V ⋅ ∇ w⎤⎦
ρ0u 2 r0
⋅ µL ρ0ur0
=
C
uµL r02
原先确定 ∆p 的函数有 5 个自变量，应用π定理使未知函数ϕ2只含有一个自变量，大大减少
了用实验确定函数关系时所作实验的次数。
2. 可用π定理来简化实验数据的处理 作 a（f）曲线改为作π（ϕ）曲线。
３． 可用π定理来简化方程，求解析解
例 2：设初始时刻（t=0）有一强度为Γ的无限长的直涡线，求以后各时刻涡度的空间分布（即无 界粘性流体中直涡线的扩散问题）。
编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：地球信息系统软件工作室 徐进明、李国平
第五章 量纲分析与π定理
§1. 相似概念与相似判据
§2. 量纲分析，π定理 §3. π定理的应用
本章重点: 量纲分析，Π 定理及其应用
§1.相似概念与相似判据
1. 流体相似 流体力学实验多在实验室条件下进行，模型流动与原型流动要求相似（物理本质完全一样），流体
由量纲齐次性原理，则有：
（5.18）
a = π a a a a m+1
r11 r12 r13 11 2 3
r1m m
（5.19）
π = a 其中 a a a 1
m+1
r11 r12 r13 12 3
a r1m m
（5.20）
5
编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：地球信息系统软件工作室 徐进明、李国平
流运动（划分层流和湍流）：Re<Rec，运动是层流；Re>Rec，运动是湍流。
另外，Re数 还用来讨论流 动不稳定和湍
2）弗劳德（Froude）数：
Fr
=
U2 gL
（5.10）
( ) 来源：Fr＝特征惯性力/特征重力，即是：
O
⎡ ⎣
V ⋅∇
O(g)
w⎤⎦
=
U2 g
L
=
Fr
物理意义：反映重力作用在运动方程中的相对重要性。
2. 动力相似判据
2.1 定义 由特定方程进行无量纲化，得到的一组特征无量纲数，只有无量纲数相等时，两流场才相似，
故将这些无量纲数称为（动力）相似判据。因为等式的两端皆为无量纲（没有物理单位），称为无 量纲数。
2.2 常见的动力学相似判据
流体力学中常见的动力学相似判据有：
St
=
l tu
——斯特劳哈勒（Strouhal）数
∆p
L r0
ρ0u
2
=
ϕ1
⎛ ⎜
பைடு நூலகம்
⎝
µ ρ0ur0
⎞ ⎟ ⎠
令阻力系数 CD
=
1 2
∆p ρ0u 2
（=
压力梯度力，或＝ 压力能
水平惯性力
水平动能
），则有：
CD
=
2ϕ1
⎛ ⎜ ⎝
1 Re
⎞ ⎟ ⎠
= ϕ2
(Re
)
进一步，可根据实验结果设： CD
∝
1 Re
即：
CD
=
C
⋅
1 Re
（其中 C 为常数）
∆p
=C
2. π定理
设有物理关系式：
a = f (a1, a2, , an )
（5.15）
其中 a 为待定量， a1, a2 , , an 为主定量。对应常见习惯的函数形式 y = f ( x1, x2 , , xn ) 。
π定理的主要思路：根据量纲分析的原理，可以将物理关系式化为无量纲形式，并减少函数中自
Fr = u2 gl ——弗劳德（Froude）数 Eu = ∆p ρu2 —欧拉（Euler）数
Re
=
ul υ
——雷诺（Reynolds）数
(5.4) (5.5) (5.6) (5.7)
3. 特征无量纲参数
除作为动力相似判据外，特征无量纲数还有很多应用。流体力学中常见的、具有特定物理意义的无
量纲参数有：
1. 量纲分析 1.1 基本概念：
1）物理量：有量纲量（与测量单位有关），无量纲量（与测量单位无关）。 2）物理单位：①基本单位；②导出单位。 3）量纲是由用一个或几个基本量或其幂次式的乘积来表示的。
4
编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：地球信息系统软件工作室 徐进明、李国平
π 同理有：
am+2
= 2
r21 r22 r23
a a a 1 2 3
a r2m m
…………
π = a a aa n−m
rn−m ,1 1
rn−m ,2 2
n rn−m ,3 3
a rn−m,m m
（5.21）
设待定量 a 的量纲也可以用 a1, a2 , , an 的量纲来表示，故有：
π=
a
a a a r1 r2 r3 12 3
已知涡度扩散规律满足方程：
∂Ω ∂t
=
υ r
∂ ∂r
⎛ ⎜⎝
r
∂Ω ∂r
⎞ ⎟⎠
r：各空间点离涡线的垂直距离；Ω：涡度；υ：运动学粘性系数υ = µ ρ
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编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：地球信息系统软件工作室 徐进明、李国平
应用π定理，可将解偏微分方程化为求解常微分方程。从物理关系的分析知：与涡度Ω有关的
4）马赫（Mach）数：
Ma
=
U Cs
＝特征风速/声速
反映空气可压缩性对流动过程的影响。
(5.12）
<<
亚音速运动，空气近似为不可压流体
Ma
1
>>
超音速运动，必须考虑空气的压缩性
5）努森数：
Kn
=
l L
＝分子自由程/宏观线尺度
Kn<<1 时，连续介质假设成立。
（5.13）
6）理查逊数：
Ri
=
g T
⎛ ∂T ⎜⎝ ∂z
基本量的量纲以规定的符号来表示。 导出量的量纲以基本量的量纲的幂次式的乘积来表示。 4） 有量纲量又分为： ①量纲独立量（其中任一量的量纲不能以其它各量的量纲的幂次项组合而成）； ②量纲不独立量（可以由其它各量(量纲独立量)的量纲的幂次项组合而成）。
1.2 量纲分析原则： 1）最大量纲独立量的数目不超过基本（单位）量的数目； 2）量纲齐次性原理：物理方程中各项的量纲必须相同；不同量纲的量，不能作为单项同列于物理 方程中；以物理方程中任意一项除其它各项，则方程化为无量纲形式。
a rm m
（5.22）
其中π1,π 2 , π n−m，π 均为无量纲数
将（5.15）式代入（5.22）式有：
π = f (a1, a2 ,
a a a r1 r2 r3 12 3
) , an ( a rm
m
=
f1
a1, a2 ,
, am;π1,π 2 ,
) π n−m
（5.23）
左端为无量纲数，根据量纲齐次性原理，其右边也应为无量纲数，故函数f1中不应含有量纲量的
r11 1
r12 2
r13 3
a r1m m
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] a = a a a m+2
r21 1
r22 2
r23 3
a r2m m
……………
（5.16） （5.17）
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] a = a a a rn−m,1
rn−m ,2
rn−m ,3
n
1
2
3
a rn−m,m m
力学中的相似分为：
Q
P b
a
c
图 5.1 模拟实验
1.1 几何相似：模型流场跟原型流场的“边界”几何形状要求相似，即它们各对应的夹角相等，尺寸 大小成常数比例。
a2 = b2 = c2 = const a1 b1 c1
（5.1）
1.2 运动（流场）相似：在模型流场与原型流场之间相对应点（如 P、Q），两者的流速分量满足关系
L r0
则由π定理：
π = ϕ (π1,π2 )
∆p ρ0u 2
=
ϕ
⎛ ⎜
⎝
µ ρ0ur0
,L r0
⎞ ⎟ ⎠
根据经验或实验， ∆p 与L成正比、与粘性系数µ成正比，即π与π2成正比，则;
∆p ρ0u 2
=
L r0
ϕ1
⎛ ⎜ ⎝
µ ρ0ur0
⎞ ⎟ ⎠
即：
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编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：地球信息系统软件工作室 徐进明、李国平
（主定）变量的数目（即尽量用基本量表示），从而有利于实验处理和求分析解。
设在 n 个主变定量中，最多可用 m 个量纲独立的量 a1, a2 , , am 表示（m<n），则其余各量(n-m) 个
均可用这 m 个量纲独立的量的量纲表示，即
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] a = a a a m+1
1.3 动力相似：在两流场相应点上各动力学变量成同一常数比例。如力，加速度，ζ，D。即要求：
ζ ( P2 ) ζ ( P1 )
=
D ( P2 ) D ( P1 )
=ζ ζ