高考数学常考知识点之函数不等式

1. 已知f (x )是定义在［－1，1］上的奇函数，且f (1)=1，若m 、n ∈［－1，1］，m +n ≠0时nm n f m f ++)()(＞0 (1)用定义证明f (x )在［－1，1］上是增函数； (2)解不等式 f (x +21)＜f (11-x )； (3)若f (x )≤t 2－2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，求实数t 的取值范围2 设不等式x 2－2ax +a +2≤0的解集为M ，如果M ⊆［1，4］，求实数a 的取值范围3. 解关于x 的不等式2)1(--x x a ＞1(a ≠1)4. 设函数f (x )=a x 满足条件 当x ∈(－∞，0)时，f (x )＞1；当x ∈(0，1]时，不等式f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)恒成立，求实数m 的取值范围5. ），的解集是的不等式，关于且已知0(110-∞>≠>x a x a a ，求关于的x 不等式0)1(log >-xx a 的解集。

6. 解关于)0(11)1(2>>+-+a x ax x a x 的不等式。

7.已知。

，，11222=++=++>>c b a c b a c b a求证：（1）341<+<b a ；（2）19822<+<b a 。

8.某种商品原来定价每件p 元，每月将卖出n 件。

假若定价上涨)10010≤<x x x x ，成即成（注：，每月卖出数量将减少y 成，而售货金额变成原来的z 倍。

（1） 若来表示当售货金额最大的常数，用是满足，其中a a a ax y 131<≤=时的x 值；（2） 若x y 32= ，求使售货金额比原来有所增加的x 的取值范围。

9.已知函数)(x f 在R 上是增函数，R b a ∈，。

（1） 求证：如果)()()()(0b f a f b f a f b a -+-≥+≥+，那么；（2） 判断（1）中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论；（3） 解不等式)2()11(lg )2()11(lg -+-+≥++-f xx f f x x f 。

高考不等式知识点汇总不等式是高考数学中的重要知识点，是解决数学问题中常用的一种工具。

它不仅涉及到基本的不等式性质，还包括不等式的求解、图像表示以及应用等方面。

下面将对高考中常见的不等式知识点进行汇总。

一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性：若a < b，且b < c，则有a < c。

传递性是不等式推导中常用的重要性质。

2. 不等式的加减性：若a < b，则有a±c < b±c，其中c为实数。

加减性运算是在不等式两边同时加减一个数时成立的性质。

3. 不等式的倍乘性：若a < b，且c > 0，则有ac < bc；若a < b，且c < 0，则有ac > bc。

倍乘性是在不等式两边同时乘以一个正数或负数时成立的性质。

二、不等式的求解1. 一元一次不等式：例如ax + b < c或ax + b > c，其中a、b、c 为已知实数，x为未知数。

求解一元一次不等式时，可以采用移项和分段讨论等方法。

2. 一元二次不等式：例如ax^2 + bx + c < 0或ax^2 + bx + c > 0，其中a、b、c为已知实数，x为未知数。

求解一元二次不等式时，可以利用函数图像、判别式、因式分解等方法来进行求解。

3. 绝对值不等式：例如|ax + b| < c或|ax + b| > c，其中a、b、c为已知实数，x为未知数。

求解绝对值不等式时，可以利用绝对值的性质，将其转化为对应的复合不等式进行求解。

三、不等式的图像表示1. 不等式的区间表示：例如a < x < b或a ≤ x ≤ b，其中a、b为已知实数，x为未知数。

不等式的区间表示可以通过画数轴，标示出解集所在的区间。

2. 不等式的图像表示：例如y < ax + b或y > ax + b，其中a、b 为已知实数，x、y为未知数。

高考数学知识点之不等式考试内容：不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明．（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法．（5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │§06. 不 等 式 知识要点1. 不等式的基本概念（1） 不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a <⇔<-=⇔=->⇔>- （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式.（4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质（1）a b b a <⇔>（对称性）（2）c a c b b a >⇒>>,（传递性）（3）c b c a b a +>+⇒>（加法单调性）（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >⇒>>0,.（7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性）（8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）(9)0,0a b a b c d c d>><<⇒>（异向不等式相除）11(10),0a b ab ab>>⇒<（倒数关系）（11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b ann且（开方法则）3.几个重要不等式 （1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）)2||2(2,2222ab ab baab ba Rb a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号）（3）如果a ,b 都是正数，那么.2a b +（当仅当a=b 时取等号）极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：○1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.,3a b ca b c R +++∈≥(4)若、、则a=b=c 时取等号） 0,2b a ab ab>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）2222(6)0||;||a x a x a x a x a x a x a a x a>>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时，或（7）||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若 4.几个著名不等式（1）平均不等式： 如果a ,b 都是正数，那么2112a b a b +≤≤+（当仅当a=b 时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数）： 特别地，222()22a b a b ab ++≤≤（当a = b 时，222()22a b a b ab ++==）),,,(332222时取等c b a R c b a c b a cb a ==∈⎪⎭⎫⎝⎛+++≥++⇒幂平均不等式：22122221)...(1...n n a a a na a a +++≥+++注：例如：22222()()()ac bd a b c d +≤++. 常用不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1n nn n n nn n n n-==-≥++--②1)n ==≥（2）柯西不等式： 时取等号当且仅当（则若nn nn n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论；②一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩（3）无理不等式：转化为有理不等式求解1()0()0()()f xg x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬>≥⎨⎭⎪>⎩定义域○2⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ○3⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f （4）.指数不等式：转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a aa f x g x aaa f x g x ab a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>（5）对数不等式：转化为代数不等式()0()0log ()log ()(1)()0;l og ()log ()(01)()0()()()()aa aa f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩（6）含绝对值不等式○1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○3应用化归思想等价转化 ⎩⎨⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为注：常用不等式的解法举例（x 为正数）： ①231124(1)2(1)(1)()22327x x x x x -=⋅--≤=②2222232(1)(1)124(1)()223279x x x y x x y y --=-⇒=≤=⇒≤类似于22sin cos sin (1sin )y x x x x ==-，③111||||||()2x x x xx x+=+≥与同号，故取等。

高考数学中如何处理不等式和函数不等式高中生的一大考验就是高考。

而在高考数学中，不等式和函数不等式是必考的考点。

然而，相较于直观的解题方法，不等式和函数不等式常常需要一定的技巧和灵活的思维方式。

本文将从解不等式和函数不等式的基本方法、案例分析和解题技巧等几个方面来探讨高考数学中如何处理不等式和函数不等式。

一、解不等式和函数不等式的基本方法1、将不等式化为一般形式。

处理不等式的第一步是把它化为一般形式，并且尽量把不等式的系数整理规范化。

然后，要对系数进行讨论来确定解不等式的范围。

举个例子：解不等式 $x-1\ge2x+3$。

我们可以移项化简得到$x\le-4$。

这样，我们就得出了不等式的解，也就是 $(-\infty，-4]$。

2、降低不等关系的阶数。

减少不等式中的绝对值、分式、开方等带有异于一次的函数形式，能促进求根工作。

有时还可以利用平方、移项等方法，将含有不等关系的式子处理为左式和右式的关系，即分成两个简单的不等式。

举个例子：解不等式 $|x+2|+|x+3|\ge5$。

我们可以使用等效方法将不等式处理为两个不等式的和，即 $|x+2|\ge1$ 或$|x+3|\ge4$。

最后的解集为 $x\le-3$ 或 $x\le-2$ 或 $x\ge2$。

3、分类讨论解不等式。

不同的不等式形式需要采用不同的解题方法。

没有一个万能的方法。

因此，我们需要根据特点和个别情况，考虑选择合适的解题方法。

举个例子：解不等式 $\frac{3}{1-x}+\frac{x+1}{x-3}\le0$。

我们可以把不等式的解划分为 $x\le-2$，$-2\lt x\lt1$ 和$x\ge1$ 三个区间来分别进行讨论。

二、案例分析1、绝对值不等式绝对值不等式是高中数学中非常重要的一个概念。

例如： $|x-2|<5$ 。

这里，我们可以先把不等式转化成两种不等式：$x-2<5$ 和 $x-2>-5$，再分别求解，得:x<7 和 x>-3。

完整版高中数学不等式知识点总结高中数学中的不等式是学习数学中非常重要的一部分，在中高考中，不等式占据了较多的分数比重。

本文将对高中数学中的不等式进行全面的总结，内容涵盖了不等式的概念、基础知识、理论与定理、解题思路、常用不等式以及与其他章节的联系等方面。

一、不等式的概念与基础知识不等式是指含有不等关系的算式，一般表示成 a<b 或a>b，其中 a、b 可以是实数、分数或代数式等。

当 a<b 时，称 a 小于 b，也可以写成 b 大于 a；当 a>b 时，称 a 大于b，也可以写成 b 小于 a。

在不等式中，表示关系的符号“<”和“>”称为不等号。

解不等式可以用图像法、正推反证法和直接法等方法。

图像法：绘制不等式所代表的曲线或图形，在图形中表示不等关系所代表的区域，最终得出解不等式的集合。

正推反证法：通过推理判断得出不等式的解，其中正推法是根据不等式的性质进行推导和运算，而反证法则是通过推翻假设得出结论。

直接法：对不等式进行变形、化简和运算，得出解的过程。

不等式的基础知识：1. 加减法原则：若 a<b，则 a+c<b+c，a-c<b-c（c 为任意实数）。

2. 乘除法原则：若 a<b 且 c>0，则 ac<bc，a/c<b/c；若 a<b 且 c<0，则 ac>bc，a/c>b/c。

3. 平均值不等式：对于任意两个正数 a 和 b，有(a+b)/2>=√ab，等号当且仅当 a=b 时取到。

二、不等式的理论与定理1. 不等式传递性：若 a<b，b<c，则 a<c。

2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意两个实数序列a1,a2,...,an 和 b1,b2,...,bn，有(a1b1+a2b2+...+anbn)^2<=((a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^ 2+...+bn^2))，等号当且仅当 a1/b1=a2/b2=...=an/bn 时取到。

高考数学常考知识点整理高考数学是每个高中生都不可避免要面对的考试科目之一。

而在数学知识点众多的情况下，我们不可避免会漏掉一些常考的、最基本的知识点，因此我整理了一些高考数学常考知识点，希望能对广大考生有所帮助。

1. 不等式题型不等式是每年高考都会涉及到的知识点之一，一般考察的都是一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式等题型。

在解此类题目时，我们需要先化简，再套用对数性质、平方性质、加减法反证法等方法进行求解。

2. 矩阵与行列式高考数学中矩阵与行列式的考察问法一般不会很复杂，但牵涉到的基本概念和运算法则却非常重要。

熟记行列式的性质，掌握矩阵的基本运算法则，尤其是矩阵乘法的计算方法十分必要。

3. 函数高考数学中函数是必考的知识点之一，不仅考查函数的基本概念和性质，还考查函数的图像，函数的解析式等内容。

因此，我们要对常见函数的概念及图像进行熟练掌握，对解法进行归纳总结，尤其是对函数的构造和分段函数的构造要进行深入理解。

4. 三角函数三角函数是高考数学中难度较大的知识点之一，考查角度的概念及角度的计算，考查各种三角函数的性质，基本变化等。

在备考过程中，我们要熟记三角函数的基本公式,和各种三角函数的性质及变化规律，并掌握套路性的解法和推导的方法。

5. 导数与微分高考数学中的导数与微分是比较重要的知识点之一，考查计算函数的导数，求函数的极值点和凹凸区间等问题。

在备考中，我们需要熟悉导数的定义、导数的计算法则、函数的极值及函数的单调性等内容，并掌握各种解法和证明的方法。

6. 不定积分与定积分高考数学中的不定积分与定积分也是比较重要的知识点之一，考查函数的原函数，计算函数的不定积分与定积分等知识。

备考时我们需要熟悉不定积分与定积分的计算公式，掌握积分中的一些基本技巧和方法，如换元法、分部积分法等。

总之，高考数学中的知识非常多，但是只有掌握了其中的常考知识点，才能提高我们的成绩。

我们要认真理解这些知识点，重点刻画这些知识点的本质、特点、规律等。

高考数学最常考知识点总结数学作为高考的一门必考科目，考察的内容涵盖了代数、几何、概率统计等多个方面。

在高考中，数学作为一门综合性强的学科，常考的知识点也多种多样。

下面就对高考数学常考的知识点进行总结，希望对大家复习备考有所帮助。

一、代数1. 一次函数一次函数是高考中常考的知识点。

它的一般式是y=kx+b，其中k是斜率，b是常数。

考生需要熟练掌握一次函数的性质、图像、平行于坐标轴的线段等相关知识。

2. 二次函数二次函数是高考数学中一种重要的函数形式。

其一般式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。

考生需要熟练掌握二次函数的性质，如开口方向、顶点坐标、对称轴等。

3. 不等式在高考数学中，不等式也是一种常考的知识点。

考生需要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式等不等式的解法和性质。

4. 分式方程分式方程也是高考数学中常考的知识点。

考生需要熟练掌握分式方程的解法、性质和应用。

5. 幂函数幂函数也是高考数学中常考的知识点。

考生需要熟练掌握幂函数的性质、图像、增减性等相关知识。

6. 对数函数对数函数是高考数学中常考的知识点。

考生需要熟练掌握对数函数的性质、定义域、值域、图像等相关知识。

7. 序列与数列序列与数列是高考数学中常考的知识点。

考生需要熟练掌握常数列的概念、性质、通项公式、前n项和等相关知识。

8. 绝对值绝对值是高考数学中常考的知识点。

考生需要熟练掌握绝对值的性质、解法以及不等式中的应用等相关知识。

二、几何1. 平面向量平面向量是高考数学中常考的知识点。

考生需要熟练掌握平面向量的定义、性质、数量积、向量的共线条件等相关知识。

2. 直线与圆直线与圆是高考数学中常考的知识点。

考生需要熟练掌握直线与圆的位置关系、性质、切线方程、切点坐标等相关知识。

3. 三角形三角形是高考数学中常考的知识点。

考生需要熟练掌握三角形的性质、中线定理、高线定理、角平分线定理、外角定理等相关知识。

高考数学必考知识点归纳全高考数学是高中阶段学生面临的一次重要考试，它涵盖了多个数学领域的基础知识点。

以下是高考数学必考知识点的归纳：一、集合与函数- 集合的概念：集合的表示、子集、并集、交集、补集。

- 函数的概念：函数的定义、值域、定义域、单调性、奇偶性。

- 函数的表示：函数的图象、函数的解析式。

二、代数基础- 指数与对数：指数函数、对数函数、对数运算法则。

- 幂运算：幂的运算法则、根式。

- 代数方程：一元一次方程、一元二次方程、高次方程、方程组的解法。

三、不等式与不等式组- 不等式的基本性质：不等式的基本解法、不等式组的解集。

- 绝对值不等式：绝对值的定义、绝对值不等式的解法。

四、数列- 等差数列：等差数列的定义、通项公式、求和公式。

- 等比数列：等比数列的定义、通项公式、求和公式。

- 数列的极限：数列极限的概念、极限的运算。

五、三角函数与解三角形- 三角函数：正弦、余弦、正切等基本三角函数的性质和图像。

- 解三角形：正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式。

六、解析几何- 直线：直线的方程、直线的位置关系。

- 圆：圆的方程、圆与直线的位置关系。

- 椭圆、双曲线、抛物线：圆锥曲线的性质和方程。

七、立体几何- 空间直线与平面：空间直线的方程、平面的方程、线面关系。

- 多面体与旋转体：多面体的体积、旋转体的表面积和体积。

八、概率与统计初步- 随机事件的概率：概率的定义、概率的计算方法。

- 统计初步：数据的收集、整理、描述。

九、导数与微分- 导数的概念：导数的定义、几何意义。

- 基本导数公式：常见函数的导数公式。

- 微分的概念：微分的定义、微分的应用。

十、积分与应用- 不定积分：不定积分的概念、基本积分公式。

- 定积分：定积分的概念、定积分的计算方法。

- 积分的应用：面积、体积、物理量等的计算。

十一、复数- 复数的概念：复数的定义、复数的运算。

- 复数的几何表示：复平面、复数的模和辐角。

十二、逻辑推理与证明方法- 逻辑推理：命题逻辑、逻辑运算。

常见的几个函数不等式及其应用在近几年的高考中，无论是国家考试中心的数学命题，还是一些独立命题省市的数学命题，有一些函数不等式在命题中出现的频率很高，它们在函数的性质的应用中和函数不等式的证明中发挥着很重要的作用，下面分别介绍这些函数不等式.一、函数不等式的介绍（1）)1()1ln(1->≤+≤+x x x xx①证明：令x x x f -+=)1ln()(，则xxx x f +-=-+='1111)(.当01<<-x 时，0)(>'x f ；当0>x 时，0)(<'x f .所以)(x f 在0=x 时取得极大值，故0)0()(=≤f x f ，所以)1()1ln(->≤+x x x .令x x x x g +-+=1)1ln()(，则22)1()1()1(11)(x xx x x x x g +=+-+-+='.当01<<-x 时，0)(<'x f ；当0>x 时，0)(>'x f .所以)(x f 在0=x 时取得极小值，故0)0()(=≥g x g ，)1)(1ln(1->+≤+∴x x xx.综上可知，)1()1ln(1->≤+≤+x x x xx.变式：)0(1ln >-≤x x x ，②)0(11ln >≥+x xx .③（2）)1)(1(21ln ≥-≤x xx x ④)10)(1(21ln ≤<-≥x xx x ⑤证明：令)1(21ln )(x x x x f --=，则02)1()11(211)(22≤--=+-='x x xx x f .所以函数)(x f 在),0(+∞单调递减.所以，当1≥x 时，0)1()(=≤f x f ；当10≤<x 时，0)1()(=≥f x f .所以，不等式④，⑤成立.变式：)0(1)1ln(≥+≤+x x x x ⑥（3）)1(1)1(2ln ≥+-≥x x x x ⑦)10(1)1(2ln ≤<+-≤x x x x ⑧证明：令1)1(2ln )(+--=x x x x f ，则0)1()1()(22≥+-='x x x x f .所以函数)(x f 在),0(+∞单调递增.当1≥x 时，0)1()(=≥f x f ；当10≤<x 时，0)1()(=≤f x f .所以，不等式⑦，⑧成立.（4）)10(211)1ln(112ln 1≤<<-+≤-x x x ⑨证明：令x x x f 1)1ln(1)(-+=，则221)1(ln )1(1)(xx x x f +++-='，而)1(ln ]1)1][ln(1)1[ln()1(ln 1)1(ln )(222222x x x x x x x x x x x x x x f ++-++++=++-+='，由⑥式)0(1)1ln(≥+≤+x x x x 知，0)(<'x f ，所以)(x f 在10≤<x 上为减函数，12ln 1)1()(-=≥f x f .由⑦式)1(1)1(2ln ≥+-≥x x x x 知211)1ln(1<-+x x .综上可知，不等式⑨成立.（5）)0(1)211()1ln(≥++≤+x x x x x ⑩证明：令1)211()1ln()(++-+=x x x x x f ，则0)1(2)(22≤+-='x x x f .故0)0()(=≤f x f .所以，不等式⑩成立.变式：)0)(111(21)11ln(>++≤+x x x x ⑪利用上述类似构造函数方法，还可以得到以下一些重要不等式：（6）贝努尼不等式：当1->x 时，)0,1(1)1(<≥+≥+αααα或x x ，⑫)10(1)1(<<+≤+αααx x ⑬（7）)0(21)1ln(2≥-≥+x x x x ⑭二、常见的函数不等的作用利用上述介绍的函数不等式，无论是去研究函数性质，还是去证明函数不等式或证明数列不等式都会带来许多便利.下面分别联系近几年高考的命题进行说明。