一笔画(奥数)

第一讲一笔画问题小朋友们，你们能把下面的图形一笔画出来吗？如果用笔在纸上连续不断又不重复，一笔画成某种图形，这种图形就叫一笔画。

那么是不是所有的图形都能一笔画成呢？这一讲我们就一起来学习一笔画的规律。

典型例题例【 1】下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？（ 1）（2）（3）（4）分析图（1）一笔画出，可以从图中任意一点开始画该图，画到同一点结束。

经过尝试后，可以发现图（2）不能一笔画出。

图（3）不是连通的，显然也不能一笔画出。

图（4）也可以一笔画出，且从任何一点出发都可以。

通过观察，我们可以发现一个几何图形中和一点相连通的线的条数不同。

由一点发出有偶数条线，那么这个点叫做偶点。

相应的，由一点出发有奇数条数，则这个点叫做奇点。

再看图（ 1）、（4），其中每一点都是偶点，都可以一笔画，且可以从任意一点画起。

而图（2）有 4 个奇点， 2 个偶点，不能一笔画成。

这样我们发现，一个图形能否一笔画和这个图形奇点，偶点的个数有某种联系，到底存在什么样的关系呢，我们再看一个例题。

例【 2】下面各图能否一笔画成？（1）（2）（3）分析图（1）从任意一点出都可以一笔画成，因为它的每一个点都是与两条线相连的偶点。

关于图（2），经过反复试验，也可找到画法：由 A B C AD C。

图中 B、D 为偶点， A、C 为奇点，即图中有两个奇点，两个偶点。

要想一笔画，需从奇点出发，回到奇点。

经过尝试，图（ 3）无法一笔画成，而图中有 4 个奇点， 5 个偶点。

解图（ 1）、（2）可以一笔画。

这样我们可以发现能否一笔画和奇点、偶点的数目有着紧密的关系。

如果图形只有偶点，可以以任意一点为起点，一笔画出。

如果只有两个奇点，也可以一笔画出，但必须从奇点出发，由另一点结束。

如果图形的奇点个数超过两个，则图形不能一笔画出。

例【 3】下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？分析图（ 1）有两个奇点，两个偶点，可以一笔画，须由 A 开始或由 B 开始到 B 结束或到 A 结束。

一笔画【知识要点】1．概念：一笔画是指笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复而画成的图形。

2．分类：图中的点可分两大类：（1）双数点：从这点出发的线的数目是双数的，叫双数点。

（2）单数点：从这点出发的线的数目是单数的，叫单数点。

3．规律：一个图形能否一笔画成，关键在于图中单数点的多少。

（1）凡是图形中没有单数点的一定可以一笔画成。

（2）凡是图形中只有两个单数点，一定可以一笔画成，画时必须从一个单数点为起点，最后以另一单数点为终点。

（3）凡是图形中单数点的个数多于两个时，此图肯定是不能一笔画成。

【题目】1 判断下面图形中哪些点是单数点哪些点是双数点。

2 下列图形中各有几个单数点？能一笔画成吗？3 判断下面图形能不能一笔画成？如果能，应该怎样画？ADBEABACAB A DE F ACBBCA5 如图是一个大型花池中小路的平面图，你能否不重复地一次走完所有的小路？进出口应设在什么地方？6 将下图加上最少的线改成一笔画的图形。

7．将下图去掉最少的线改成一笔画图形。

8．下图中的线段代表小路，请小朋友想一想，能够不重复地爬遍小路的甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该怎么爬？9．为迎接2008年奥运会在北京召开，你能一笔画出奥运会的五环图案吗？10．下图是一个公园的平面图，应怎样走才能使游客走通每条路而不重复，设计一条最佳路线。

A B H C G F E D11 一个公园的平面图如下，请你设计好入口、出口，并给出一条浏览路线，要求走遍每一条路且不重复。

12．如图，是一个公园的平面图，请你设计好入口、出口，并给出一种游玩路线，要求走遍每一条路且不重复。

13．如图，是一个名画展厅的平面图，要使参观者不重复地走遍每一条画廊，问：出口、入口应设在哪里？14．黑色的鱼与白色的鱼所能游动的河道如下图所示。

黑色的鱼在A 点位置，白色的鱼在B点位置。

哪条鱼能不重复地游遍所有的河道？15．能用一根铁丝弯成下面的图形吗？16．一个邮递员投递信件要走的街道如图，为节约时间，他想自己设计一条线路，可以不重复的走遍每一条街道，你能帮帮他吗？17．一只蚂蚁要想不重复的爬遍每一条线路，应从哪里出发，到哪里结束？18．你能用一笔画成4条线段把下图的9个点都连起来吗？A B A BA B CFEA BC EF H IAB19．下图能否一笔画成？如果能，应怎样画？20．如图，在一个六面体的顶点A 和B 处各有一只蜗牛，它们比赛看谁能不重复地爬遍每一棱线到达C点。

一笔画【知识要点】1．概念：一笔画是指笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复而画成的图形。

2．分类：图中的点可分两大类：（1）双数点：从这点出发的线的数目是双数的，叫双数点。

（2）单数点：从这点出发的线的数目是单数的，叫单数点。

3．规律：一个图形能否一笔画成，关键在于图中单数点的多少。

（1）凡是图形中没有单数点的一定可以一笔画成。

（2）凡是图形中只有两个单数点，一定可以一笔画成，画时必须从一个单数点为起点，最后以另一单数点为终点。

（3）凡是图形中单数点的个数多于两个时，此图肯定是不能一笔画成。

【题目】1 判断下面图形中哪些点是单数点哪些点是双数点。

2 下列图形中各有几个单数点？能一笔画成吗？3 判断下面图形能不能一笔画成？如果能，应该怎样画？A4下面图形能不能一笔画成？这什么？5 如图是一个大型花池中小路的平面图，你能否不重复地一次走完所有的小路？进出口应设在什么地方？6 将下图加上最少的线改成一笔画的图形。

7．将下图去掉最少的线改成一笔画图形。

8．下图中的线段代表小路，请小朋友想一想，能够不重复地爬遍小路的甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该怎么爬？9．为迎接2008年奥运会在北京召开，你能一笔画出奥运会的五环图案吗？10．下图是一个公园的平面图，应怎样走才能使游客走通每条路而不重复，设计一条最佳路线。

11 一个公园的平面图如下，请你设计好入口、出口，并给出一条浏览路线，要求走遍每一条路且不重复。

12．如图，是一个公园的平面图，请你设计好入口、出口，并给出一种游玩路线，要求走遍每一条路且不重复。

13．如图，是一个名画展厅的平面图，要使参观者不重复地走遍每一条画廊，问：出口、入口应设在哪里？14．黑色的鱼与白色的鱼所能游动的河道如下图所示。

黑色的鱼在A点位置，白色的鱼在B点位置。

哪条鱼能不重复地游遍所有的河道？15．能用一根铁丝弯成下面的图形吗？16．一个邮递员投递信件要走的街道如图，为节约时间，他想自己设计一条线路，可以不重复的走遍每一条街道，你能帮帮他吗？17．一只蚂蚁要想不重复的爬遍每一条线路，应从哪里出发，到哪里结束？18．你能用一笔画成4条线段把下图的9个点都连起来吗？19．下图能否一笔画成？如果能，应怎样画？20．如图，在一个六面体的顶点A和B处各有一只蜗牛，它们比赛看谁能不重复地爬遍每一棱线到达C点。

四年级奥数：一笔画问题小朋友们,你们能把下面的图形一笔画出来吗？如果用笔在纸上连续不断又不重复,一笔画成某种图形,这种图形就叫一笔画.那么是不是所有的图形都能一笔画成呢？这一讲我们就一起来学习一笔画的规律.典型例题例【1】下面这些图形,哪个能一笔画？哪个不能一笔画？（1）（2）（3）（4）分析图（1）一笔画出,可以从图中任意一点开始画该图,画到同一点结束.经过尝试后,可以发现图（2）不能一笔画出.图（3）不是连通的,显然也不能一笔画出.图（4）也可以一笔画出,且从任何一点出发都可以.通过观察,我们可以发现一个几何图形中和一点相连通的线的条数不同.由一点发出有偶数条线,那么这个点叫做偶点.相应的,由一点出发有奇数条数,则这个点叫做奇点.再看图（1）、（4）,其中每一点都是偶点,都可以一笔画,且可以从任意一点画起.而图（2）有4个奇点,2个偶点,不能一笔画成.这样我们发现,一个图形能否一笔画和这个图形奇点,偶点的个数有某种联系,到底存在什么样的关系呢,我们再看一个例题.例【2】下面各图能否一笔画成？（1）（2）（3）分析图（1）从任意一点出都可以一笔画成,因为它的每一个点都是与两条线相连的偶点.关于图（2）,经过反复试验,也可找到画法：由A B C AD C.图中B、D为偶点,A、C为奇点,即图中有两个奇点,两个偶点.要想一笔画,需从奇点出发,回到奇点.经过尝试,图（3）无法一笔画成,而图中有4个奇点,5个偶点.解图（1）、（2这样我们可以发现能否一笔画和奇点、偶点的数目有着紧密的关系.如果图形只有偶点,可以以任意一点为起点,一笔画出.如果只有两个奇点,也可以一笔画出,但必须从奇点出发,由另一点结束.如果图形的奇点个数超过两个,则图形不能一笔画出.例【3】 下面的图形,哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？分析 图（1）有两个奇点,两个偶点,可以一笔画,须由A 开始或由B 开始到B 结束或到A 结束.图（2）有10个奇点,大于2,不能一笔画成.图（3）有4个奇点,1个偶点,因此也不能一笔画成.解 图（1）的画法见下图.例【4】 下图中,图（1）至少要画几笔才能画成？分析 图（1）有4个奇点,所以不能一笔画出.如果把它分成几个部分,而每个部分是一笔画图形,则我们就可以用最少的几笔画出这个图形.按照这样的要D （1）求,每个部分最多含有两个奇点,可以采用再两个奇点之间增加一条或者去掉一条线的方法,该奇点就变成偶点.经观察,图（1）可以切分成图（A ）、（B ）两个图形.这两部分都可以一笔画出,所以图（1）至少用两笔画出.解 将图（1）分成图（A ）、（B ）,则图（A ）可由A-B-O-D-A-C-D 一笔画成,图（B ）由B-C 一笔画成,所以图（1）至少要两笔画完.小结 能否一笔画成,关键在于判别奇点、偶点的个数.一、 只有偶点,可以一笔画,并且可以以任意一点作为起点.二、 只有两个奇点,可以一笔画,但必须以这两个奇点分别作为起点和终点.三、 奇点超过两个,则不能一笔画.对于一些比较复杂的路线问题,可以先转化为简单的几何图形,然后根据判定是否能一笔画的方法进行解答.D （1） A O B C D（A ） B C （B ）。

第28讲一笔画(一)如果一个图形可以用笔在纸上连续不断而且不重复地一笔画成，那么这个图形就叫一笔画。

显然，在下面的图形中，(1)(2)不能一笔画成，故不是一笔画，(3)(4)可以一笔画成，是一笔画。

同学们可能会问：为什么有的图形能一笔画成，有的图形却不能一笔画成呢？一笔画图形有哪些特点？关于这个问题有一个著名的数学故事——哥尼斯堡七桥问题。

哥尼斯堡是立陶宛共和国的一座城市，布勒格尔河从城中穿过，河中有两个岛，18世纪时河上共有七座桥连接A，B两个岛以及河的两岸C，D(如下图)。

所谓七桥问题就是：一个散步者要一次走遍这七座桥，每座桥只走一次，怎样走才能成功？当时的许多人都热衷于解决七桥问题，但是都没成功。

后来，这个问题引起了大数学家欧拉(1707-1783)的兴趣，许多人的不成功促使欧拉从反面来思考问题：是否根本就不存在这样一条路线呢？经过认真研究，欧拉终于在1736年圆满地解决了七桥问题，并发现了一笔画原理。

欧拉是怎样解决七桥问题的呢？因为岛的大小，桥的长短都与问题无关，所以欧拉把A，B两岛以及陆地C，D用点表示，桥用线表示，那么七桥问题就变为右图是否可以一笔画的问题了。

我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点。

如下图中，A，B，C，E，F，G，I是偶点，D，H，J，O是奇点。

欧拉的一笔画原理是：(1)一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起)；(2)没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点；(3)只有两个奇点的连通图形是一笔画，画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇点为终点；(4)奇点个数超过两个的图形不是一笔画。

利用一笔画原理，七桥问题很容易解决。

因为图中A，B，C，D都是奇点，有四个奇点的图形不是一笔画，所以一个散步者不可能不重复地一次走遍这七座桥。

顺便补充两点：(1)一个图形的奇点数目一定是偶数。

因为图形中的每条线都有两个端点，所以图形中所有端点的总数必然是偶数。

第一讲一笔画问题小朋友们，你们能把下面的图形一笔画出来吗？如果用笔在纸上连续不断又不重复，一笔画成某种图形，这种图形就叫一笔画。

那么是不是所有的图形都能一笔画成呢？这一讲我们就一起来学习一笔画的规律。

典型例题例【1】下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？（1）（2）（3）（4）分析图（1）一笔画出，可以从图中任意一点开始画该图，画到同一点结束。

经过尝试后，可以发现图（2）不能一笔画出。

图（3）不是连通的，显然也不能一笔画出。

图（4）也可以一笔画出，且从任何一点出发都可以。

通过观察，我们可以发现一个几何图形中和一点相连通的线的条数不同。

由一点发出有偶数条线，那么这个点叫做偶点。

相应的，由一点出发有奇数条数，则这个点叫做奇点。

再看图（1）、（4），其中每一点都是偶点，都可以一笔画，且可以从任意一点画起。

而图（2）有4个奇点，2个偶点，不能一笔画成。

这样我们发现，一个图形能否一笔画和这个图形奇点，偶点的个数有某种联系，到底存在什么样的关系呢，我们再看一个例题。

例【2】下面各图能否一笔画成？（1）（2）（3）分析图（1）从任意一点出都可以一笔画成，因为它的每一个点都是与两条线相连的偶点。

关于图（2），经过反复试验，也可找到画法：由A B C AD C。

图中B、D为偶点，A、C为奇点，即图中有两个奇点，两个偶点。

要想一笔画，需从奇点出发，回到奇点。

经过尝试，图（3）无法一笔画成，而图中有4个奇点，5个偶点。

解图（1）、（2）可以一笔画。

这样我们可以发现能否一笔画和奇点、偶点的数目有着紧密的关系。

如果图形只有偶点，可以以任意一点为起点，一笔画出。

如果只有两个奇点，也可以一笔画出，但必须从奇点出发，由另一点结束。

如果图形的奇点个数超过两个，则图形不能一笔画出。

例【3】 下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？分析 图（1）有两个奇点，两个偶点，可以一笔画，须由A 开始或由B 开始到B 结束或到A 结束。

三年级奥数专题：一笔画(一)如果一个图形可以用笔在纸上连续不断而且不重复地一笔画成，那么这个图形就叫一笔画.显然，在下面的图形中，(1)(2)不能一笔画成，故不是一笔画，(3)(4)可以一笔画成，是一笔画.同学们可能会问：为什么有的图形能一笔画成，有的图形却不能一笔画成呢?一笔画图形有哪些特点?关于这个问题有一个著名的数学故事——哥尼斯堡七桥问题.哥尼斯堡是立陶宛共和国的一座城市，布勒格尔河从城中穿过，河中有两个岛，18世纪时河上共有七座桥连接A，B两个岛以及河的两岸C，D(如下图).所谓七桥问题就是：一个散步者要一次走遍这七座桥，每座桥只走一次，怎样走才能成功?当时的许多人都热衷于解决七桥问题，但是都没成功.后来，这个问题引起了大数学家欧拉(1707-1783)的兴趣，许多人的不成功促使欧拉从反面来思考问题：是否根本就不存在这样一条路线呢?经过认真研究，欧拉终于在1736年圆满地解决了七桥问题，并发现了一笔画原理.欧拉是怎样解决七桥问题的呢?因为岛的大小，桥的长短都与问题无关，所以欧拉把A，B两岛以及陆地C，D用点表示，桥用线表示，那么七桥问题就变为右图是否可以一笔画的问题了.我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点.如下图中，A，B，C，E，F，G，I是偶点，D，H，J，O是奇点.欧拉的一笔画原理是：(1)一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起)；(2)没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点；(3)只有两个奇点的连通图形是一笔画，画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇点为终点；(4)奇点个数超过两个的图形不是一笔画.利用一笔画原理，七桥问题很容易解决.因为图中A，B，C，D都是奇点，有四个奇点的图形不是一笔画，所以一个散步者不可能不重复地一次走遍这七座桥.顺便补充两点：(1)一个图形的奇点数目一定是偶数.因为图形中的每条线都有两个端点，所以图形中所有端点的总数必然是偶数.如果一个图形中奇点的数目是奇数，那么这个图形中与奇点相连接的端点数之和是奇数(奇数个奇数之和是奇数)，与偶点相连的线的端点数之和是偶数(任意个偶数之和是偶数)，于是得到所有端点的总数是奇数，这与前面的结论矛盾.所以一个图形的奇点数目一定是偶数.(2)有K个奇点的图形要K÷2笔才能画成.例如：下页左上图中的房子共有B，E，F，G，I，J六个奇点，所以不是一笔画.如果我们将其中的两个奇点间的连线去掉一条，那么这两个奇点都变成了偶点，如果能去掉两条这样的连线，使图中的六个奇点变成两个，那么新图形就是一笔画了.将线段GF和BJ去掉，剩下I和E两个奇点(见右下图)，这个图形是一笔画，再添上线段GF和BJ，共需三笔，即( 6 ÷2)笔画成.一个K(K＞1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢?我们知道K笔画有2K个奇点，如果在任意两个奇点之间添加一条连线，那么这两个奇点同时变成了偶点.如左下图中的B，C两个奇点在右下图中都变成了偶点.所以只要在K笔画的2K个奇点间添加(K-1)笔就可以使奇点数目减少为2个，从而变成一笔画.到现在为止，我们已经学会了如何判断一笔画和多笔画，以及怎样添加连线将多笔画变成一笔画.练习281.下列图形分别是几笔画?怎样画?2.能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形?3.从A点出发，走遍右上图中所有的线段，再回到A点，怎样走才能使重复走的路程最短?4.如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸.问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥?答案与提示练习281.(1)(3)是一笔画，(2)是两笔画.2.能，因为是一笔画.3.见右图，走法不唯一.4.能.例如下图的走法.第29讲一笔画(二)利用一笔画原理，我们可以解决许多有趣的实际问题.例1右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门?如果不能，请说明理由.如果能，应从哪开始走?分析与解：我们将每个展室看成一个点，室外看成点E，将每扇门看成一条线段，两个展室间有门相通表示两个点间有线段相连，于是得到右图.能否不重复地穿过每扇门的问题，变为右图是否一笔画问题.右图中只有A，D两个奇点，是一笔画，所以答案是肯定的，应该从A或D展室开始走.例1的关键是如何把一个实际问题变为判断是否一笔画问题，就像欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题时做的那样.例2一个邮递员投递信件要走的街道如下页左上图所示，图中的数字表示各条街道的千米数，他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局.怎样走才能使所走的行程最短?全程多少千米?分析与解：图中共有8个奇点，必须在8个奇点间添加4条线，才能消除所有奇点，成为能从邮局出发最后返回邮局的一笔画.在距离最近的两个奇点间添加一条连线，如左上图中虚线所示，共添加4条连线，这4条连线表示要重复走的路，显然，这样重复走的路程最短，全程30千米.走法参考右上图(走法不唯一).例3右图中每个小正方形的边长都是100米.小明沿线段从A点到B 点，不许走重复路，他最多能走多少米?分析与解：这道题大多数同学都采用试画的方法，实际上可以用一笔画原理求解.首先，图中有8个奇点，在8个奇点之间至少要去掉4条线段，才能使这8个奇点变成偶点；其次，从A点出发到B点，A，B两点必须是奇点，现在A，B都是偶点，必须在与A，B连接的线段中各去掉1条线段，使A，B成为奇点.所以至少要去掉6条线段，也就是最多能走1800米，走法如下页上图.或例2与例3的图中各有8个奇点，都是通过减少奇点个数，将多笔画变成一笔画的问题，但它们采用的方法却完全不同.因为例2中只要求走遍所有的线段，没有要求不能重复，所以通过添加线段的方法(实际是重复走添加线段的这段路)，将奇点变为偶点，使多笔画变成一笔画.而在例3中，要求不能走重复的路，所以不能添加线段，只能通过减少线段的方法，将奇点变为偶点，使多笔画变成一笔画.区别就在于能否重复走！能“重复”就“添线”，不能“重复”就“减线”. 例4在六面体的顶点B和E处各有一只蚂蚁(见右图)，它们比赛看谁能爬过所有的棱线，最终到达终点D.已知它们的爬速相同，哪只蚂蚁能获胜?分析与解：许多同学看不出这是一笔画问题，但利用一笔画的知识，能非常巧妙地解答这道题.这道题只要求爬过所有的棱，没要求不能重复.可是两只蚂蚁爬速相同，如果一只不重复地爬遍所有的棱，而另一只必须重复爬某些棱，那么前一只蚂蚁爬的路程短，自然先到达D点，因而获胜.问题变为从B到D与从E到D哪个是一笔画问题.图中只有E，D两个奇点，所以从E到D可以一笔画出，而从B到D却不能，因此E点的蚂蚁获胜.练习291.邮递员要从邮局出发，走遍左下图(单位：千米)中所有街道，最后回到邮局，怎样走路程最短?全程多少千米?2.有一个邮局，负责21个村庄的投递工作，右上图中的点表示村庄，线段表示道路.邮递员从邮局出发，怎样才能不重复地经过每一个村庄，最后回到邮局?3.一只木箱的长、宽、高分别为5，4，3厘米(见右图)，有一只甲虫从A点出发，沿棱爬行，每条棱不允许重复，则甲虫回到A点时，最多能爬行多少厘米?答案与提示练习291.50千米，走法见左下图.2.见右上图.3.最多爬行34厘米.提示：8个点都是奇点，故至少要少爬4条棱.少爬3厘米的棱和4厘米的棱各两条是最合理的(见右图).。

第三讲神奇的一笔画（一）【本讲知识点】一笔画是一种有名是数字游戏。

所谓一笔画，就是从图形的某一点出发，沿着图上线路，笔不离纸，连续不断而又不重复地经过所有线段画成的图形。

总所周知，任何图形都是由点和线组成的，根据从某点出发的线的多少，图形中的点可以分为两类：1、从一点出发的线的条数是双数，这点称为双数点，也叫偶点。

2、从一点出发的线的条数是单数，这点称为单数点，也叫奇点。

一个图形能否一笔画成，关键在于图中单数点（奇点）的多少。

1、图形中没有单数点（奇点），可一笔完成。

画时，任意一个双数点（偶点）既是起点，又是终点。

2、图形中有两个单数点（奇点），可一笔完成。

画时，以一个单数点（奇点）为起点，另一个单数点（奇点）为终点。

其他情况的图形都不能一笔完成。

【例题】1、判断下列图中的点，哪些是奇点？哪些是偶点？2、下面的图形如果能一笔画出，请试一试；如果不能，请说明理由。

3、黑色的鱼和白色的鱼所能游动的河道如下图所示。

黑色的鱼在A点位置，白色的鱼在B点位置。

哪条鱼能不重复地游遍所有的河道？4、某儿童公园游乐场平面图如下图所示，其中A、B、C、…、I、J表示园中的十处景色。

为了方便游客，今打算修出（入）口两处。

为了让游客可以从某入（出）口进去后，可以不重复地走完图中所有通道后从另一出（入）口出园。

问游乐场的两个出（入）口应修在何处？5、下图至少要画几笔才能画成？6、邮递员从邮局出发，走遍下图（单位：千米）中所示的所有街道，最后回到邮局，怎样走路程最短？全程有多少千米？【课堂练习】1、判断下列图中的点，哪些是奇点？哪些是偶点？2、下图的图形如果能一笔画出，请试一试；如果不能，请说明理由。

3、下图是某居民住宅小区的平面图。

甲、乙两人分别从P、Q两处出发，沿途参观小区的建设。

问甲、乙两人谁先游览完所有的景色？4、下图是某新区花圃平面图。

如果你想带领客人不重复地参观新区内路旁的每一处的鲜花。

你应该带领客人从哪一点开始参观？5、下列各图至少要用几笔画完？【课后练习】1、下面的图形中，奇点有（），偶点有（）。

一笔画(奥数)一笔画【知识要点】1．概念：一笔画是指笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复而画成的图形。

2．分类：图中的点可分两大类：（1）双数点：从这点出发的线的数目是双数的，叫双数点。

（2）单数点：从这点出发的线的数目是单数的，叫单数点。

3．规律：一个图形能否一笔画成，关键在于图中单数点的多少。

（1）凡是图形中没有单数点的一定可以一笔画成。

（2）凡是图形中只有两个单数点，一定可以一笔画成，画时必须从一个单数点为起点，最后以另一单数点为终点。

（3）凡是图形中单数点的个数多于两个时，此图肯定是不能一笔画成。

【题目】1 判断下面图形中哪些点是单数点哪些点是双数点。

2 下列图形中各有几个单数点？能一笔画成吗？3 判断下面图形能不能一笔画成？如果能，应该怎样画？4下面图形能不能一笔画成？这什么？ADEA B CC A B A B C DE F ADCBB C A5 如图是一个大型花池中小路的平面图，你能否不重复地一次走完所有的小路？进出口应设在什么地方？6 将下图加上最少的线改成一笔画的图形。

7．将下图去掉最少的线改成一笔画图形。

8．下图中的线段代表小路，请小朋友想一想，能够不重复地爬遍小路的甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该怎么爬？9．为迎接2008年奥运会在北京召开，你能一笔画出奥运会的五环图案吗？10．下图是一个公园的平面图，应怎样走才能使游客走通每条路而不重复，设计一条最佳路线。

11 一个公园的平面图如下，请你设计好入口、出口，并给出一条浏览路线，要求走遍每一条路且不重复。

12不重复。

A BHCG FE D13．如图，是一个名画展厅的平面图，要使参观者不重复地走遍每一条画廊，问：出口、入口应设在哪里？14．黑色的鱼与白色的鱼所能游动的河道如下图所示。

黑色的鱼在A 点位置，白色的鱼在B 点位置。

哪条鱼能不重复地游遍所有的河道？15．能用一根铁丝弯成下面的图形吗？16．一个邮递员投递信件要走的街道如图，为节约时间，他想自己设计一条线路，可以不重复的走遍每一条街道，你能帮帮他吗？17．一只蚂蚁要想不重复的爬遍每一条线路，应从哪里出发，到哪里结束？18．你能用一笔画成4条线段把下图的9个点都连起来吗？19．下图能否一笔画成？如果能，应怎样画？20．如图，在一个六面体的顶点A 和B 处各有一只蜗牛，它们比赛看谁能不重复地爬遍每一棱线到达C点。

课题一笔画教学目标重点难点如果一个图形可以用笔在纸上连续不断而且不重复地一笔画成，那么这个图形就叫一笔画。

为什么有的图形能一笔画成，有的图形却不能一笔画成呢？一笔画图形有哪些特点？关于这个问题有一个著名的数学故事——哥尼斯堡七桥问题。

哥尼斯堡是立宛国的一座城市，布勒格尔河从城中穿过，河中有两个岛，18世纪时河上共有七座桥连接A，B两个岛以与河的两岸C，D(如以下图)。

所谓七桥问题就是：一个散步者要一次走遍这七座桥，每座桥只走一次，怎样走才能成功？我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点。

欧拉的一笔画原理是：(1)一笔画必须是连通的(图形的各局部之间连接在一起)；(2)没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点；(3)只有两个奇点的连通图形是一笔画，画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇点为终点；(4)奇点个数超过两个的图形不是一笔画。

根据一笔画原理，说一说奥运会的“会标〞图9.11是一笔画吗?一辆摩托车从A站出发，能经过所有线路并且不重复走完所有的路吗？最后会到哪个站例1：有三个“小山〞，山脚下有B,C,D,E,F 五个点，如果要一次走完全部路段，且不重复，应以哪点为“出发点〞?哪点为“终点〞?(可提出二个不同方案)练一练：图中是一个社区公园的平面图，要使社区群众走遍公园每一条路，且不重复，出人口应设在哪个交点上?请你在这个位置标上字母A和B.例2：六面体的顶点B和E处各有一只蚂蚁(见右图)，它们比赛看谁能爬过所有的棱线，最终到达终点D。

它们的爬速一样，哪只蚂蚁能获胜？再回头看看七桥问题，能否转换成一笔画问题呢例3：有三个小岛，分别有七座桥相通请回答，能不能一次不重复走完这七座桥呢?利用一笔画原理，我们可以解决许多有趣的实际问题。

例4：右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由。

如果能，应从哪开始走？提示:关键是如何把一个实际问题变为判断是否一笔画问题，就像欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题时做的那样。