南京市2017届高三年级三模数学卷(第三稿)

2017-2018学年江苏省南京市高考数学三模试卷一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．已知集合M={0，2，4}，N={x|x=，a∈M}，则集合M∩N=______．2．已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是______．3．若直线l1：x+2y﹣4=0与l2：mx+（2﹣m）y﹣3=0平行，则实数m的值为______．4．某校有A，B两个学生食堂，若a，b，c三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为______．5．如图是一个算法流程图，则输出的S的值是______．6．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出______人．7．已知l是直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中的真命题是______．（填所有真命题的序号）①若l∥α，l∥β，则α∥β②若α⊥β，l∥α，则l⊥β③若l∥α，α∥β，则l∥β④若l⊥α，l∥β，则α⊥β8．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4m时，测得拱桥内水面宽为16m；当水面升高3m 后，拱桥内水面的宽度为______m．9．已知正数a，b，c满足3a﹣b+2c=0，则的最大值为______．10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=，b=3，sinC=2sinA，则△ABC的面积为______．11．已知s n是等差数列{a n}的前n项和，若s2≥4，s4≤16，则a5的最大值是______．12．将函数f（x）=sin（2x+θ）（﹣＜θ）的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则φ的值为______．13．如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB=60°，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则的最小值是______．14．用min{m，n}表示m，n中的最小值．已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），若h（x）有3个零点，则实数a的取值范围是______．二、解答题（共6小题，满分88分）15．在平面直角坐标系xOy中，点A（cosθ，sinθ），B（sinθ，0），其中θ∈R．（Ⅰ）当θ=，求向量的坐标；（Ⅱ）当θ∈[0，]时，求||的最大值．16．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．（1）求证：DE∥平面ACF；（2）若AB=CE，在线段EO上是否存在点G，使得CG⊥平面BDE？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由．17．如图，某水域的两直线型岸边l1，l2成定角120°，在该水域中位于该角角平分线上且与顶点A相距1公里的D处有一固定桩．现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网BC（B，C分别在l1和l2上），围出三角形ABC养殖区，且AB和AC都不超过5公里．设AB=x公里，AC=y公里．（1）将y表示成x的函数，并求其定义域；（2）该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区？18．已知点P是椭圆C上的任一点，P到直线l1：x=﹣2的距离为d1，到点F（﹣1，0）的距离为d2，且=．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，直线l与椭圆C交于不同的两点A，B（A，B都在x轴上方），且∠OFA+∠OFB=180°．（i）当A为椭圆C与y轴正半轴的交点时，求直线l的方程；（ii）是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总过该定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．19．已知函数g（x）=2alnx+x2﹣2x，a∈R．（1）若函数g（x）在定义域上为单调增函数，求a的取值范围；（2）设A，B是函数g（x）图象上的不同的两点，P（x0，y0）为线段AB的中点．（i）当a=0时，g（x）在点Q（x0，g（x0））处的切线与直线AB是否平行？说明理由；（ii）当a≠0时，是否存在这样的A，B，使得g（x）在点Q（x0，g（x0））处的切线与直线AB平行？说明理由．20．已知数列{a n}，{b n}满足b n=a n+1﹣a n，其中n=1，2，3，…．（Ⅰ）若a1=1，b n=n，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n+1b n﹣1=b n（n≥2），且b1=1，b2=2．（ⅰ）记c n=a6n﹣1（n≥1），求证：数列{c n}为等差数列；（ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．求a1应满足的条件．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，△ABC内接于圆O，D为弦BC上一点，过D作直线DP∥AC，交AB于点E，交圆O在A点处的切线于点P．求证：△PAE∽△BDE．[选修4-2：矩阵与变换]22．变换T1是逆时针旋转角的旋转变换，对应的变换矩阵是M1；变换T2对应的变换矩阵是M2=．（1）点P（2，1）经过变换T1得到点P′，求P′的坐标；（2）求曲线y=x2先经过变换T1，再经过变换T2所得曲线的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设点A，B分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：ρ=1上，求AB的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知：a≥2，x∈R．求证：|x﹣1+a|+|x﹣a|≥3．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过M的直线与抛物线交于A，B两点．设A（x1，y1）到准线l的距离为d，且d=λp（λ＞0）．（1）若y1=d=1，求抛物线的标准方程；（2）若+λ=，求证：直线AB的斜率为定值．26．设f（n）=（a+b）n（n∈N*，n≥2），若f（n）的展开式中，存在某连续3项，其二项式系数依次成等差数列，则称f（n）具有性质P．（1）求证：f（7）具有性质P；（2）若存在n≤2016，使f（n）具有性质P，求n的最大值．2016年江苏省南京市高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．已知集合M={0，2，4}，N={x|x=，a∈M}，则集合M∩N={0，2} ．【考点】交集及其运算．【分析】把M中元素代入x=确定出N，求出两集合的交集即可．【解答】解：把a=0，代入得：x=0；把a=2代入得：x=1；把a=4代入得：x=2，∴N={0，1，2}，∵M={0，2，4}，∴M∩N={0，2}，故答案为：{0，2}2．已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是（1，）．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由复数z的实部为a，虚部为1，知|z|=，再由0＜a＜2，能求出|z|的取值范围．【解答】解：∵复数z的实部为a，虚部为1，∴|z|=，∵0＜a＜2，∴1＜|z|=＜．故答案为：（1，）．3．若直线l1：x+2y﹣4=0与l2：mx+（2﹣m）y﹣3=0平行，则实数m的值为．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】直线l1：x+2y﹣4=0与l2：mx+（2﹣m）y﹣3=0平行，直线l1的斜率存在，因此直线l2的斜率也存在．化为斜截式，利用直线相互平行的充要条件即可得出．【解答】解：∵直线l1：x+2y﹣4=0与l2：mx+（2﹣m）y﹣3=0平行，直线l1的斜率存在，∴直线l2的斜率也存在．∴两条直线的方程可以化为：y=﹣x+2；y=x+．∴，2≠．解得：m=．故答案为：．4．某校有A，B两个学生食堂，若a，b，c三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件的总数，再找出所要求的事件包括的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式即可得出【解答】解：甲学生随机选择其中的一个食堂用餐可有两种选法，同理乙，丙也各有两种选法，根据乘法原理可知：共有23=8中选法；其中他们在同一个食堂用餐的方法只有两种：一种是都到第一个食堂，另一种是都到第二个食堂，则他们不同在一个食堂用餐的选法有8﹣2=6；他们不同在一个食堂用餐的概率为=．故答案为：5．如图是一个算法流程图，则输出的S的值是20．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序，可得a=5，S=1满足条件a≥4，执行循环体，S=5，a=4满足条件a≥4，执行循环体，S=20，a=3不满足条件a≥4，退出循环，输出S的值为20．故答案为：20．6．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出25人．【考点】分层抽样方法．【分析】直方图中小矩形的面积表示频率，先计算出[2500，3000）内的频率，再计算所需抽取人数即可．【解答】解：由直方图可得[2500，3000）（元）月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分层抽样应抽出人故答案为：257．已知l是直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中的真命题是④．（填所有真命题的序号）①若l∥α，l∥β，则α∥β②若α⊥β，l∥α，则l⊥β③若l∥α，α∥β，则l∥β④若l⊥α，l∥β，则α⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用线面平行、面面平行线面垂直的判定定理和性质定理对四个命题逐一分析解答．【解答】解：对于①若l∥α，l∥β，则α与β可能相交；故①错误；对于②若α⊥β，l∥α，则l与β可能平行；故②错误；对于③若l∥α，α∥β，则l可能在β内，故③错误；对于④若l⊥α，l∥β，由线面垂直和线面平行的性质定理，以及面面垂直的判定定理，可得α⊥β，故④正确；故选：④8．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4m时，测得拱桥内水面宽为16m；当水面升高3m 后，拱桥内水面的宽度为8m．【考点】椭圆的应用．【分析】先根据题目条件建立直角坐标系，设出抛物线的方程，然后利用点在曲线上，确定方程，求得点的坐标，也就得到水面的宽．【解答】解：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系设其方程为x2=2py（p≠0），∵A（8，﹣4）为抛物线上的点∴64=2p×（﹣4）∴2p=﹣16∴抛物线的方程为x2=﹣16y设当水面上升3米时，点B的坐标为（a，﹣1）（a＞0）∴a2=（﹣16）×（﹣1）∴a=4故水面宽为8米．故答案为：8．9．已知正数a，b，c满足3a﹣b+2c=0，则的最大值为．【考点】基本不等式．【分析】消去b，结合基本不等式的性质求出最大值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设t=，由3a﹣b+2c=0可得3a+2c=b，则t===≤==；当且仅当a=c时“=”成立，则t≤，即的最大值为；故答案为：．10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=，b=3，sinC=2sinA，则△ABC的面积为3．【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可求c的值，利用余弦定理即可求得cosB的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：在△ABC中，∵sinC=2sinA，a=，b=3，∴由正弦定理可得：c=2a=2，∴由余弦定理可得：cosB===，可得：sinB==，=acsinB==3．∴S△ABC故答案为：3．11．已知s n是等差数列{a n}的前n项和，若s2≥4，s4≤16，则a5的最大值是9．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由s2≥4，s4≤16，知2a1+d≥4，4a1+6d≤16，所以16≥4a1+6d=2（2a1+d）+4d≥8+4d，得到d≤2，由此能求出a5的最大值．【解答】解：∵s2≥4，s4≤16，∴a1+a2≥4，即2a1+d≥4a1+a2+a3+a4≤16，即4a1+6d≤16所以16≥4a1+6d=2（2a1+d）+4d≥8+4d，得到d≤2，所以4（a1+4d）=4a1+6d+10d≤16+20，即a5≤9∴a5的最大值为9．故答案为：9．12．将函数f（x）=sin（2x+θ）（﹣＜θ）的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则φ的值为．【考点】正弦函数的图象．【分析】由f（x）的图象经过点P（0，），且﹣＜θ，可得θ=，又由g（x）的图象也经过点P（0，），可求出满足条件的φ的值【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+θ）（﹣＜θ）的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位长度后，得到函数g（x）=sin[2（x﹣φ）+θ]=sin（2x﹣2φ+θ）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），∴sinθ=，sin（﹣2φ+θ）=，∴θ=，sin（﹣2φ）=，∴﹣2φ=2kπ+，k∈Z，此时φ=kπ，k∈Z，不满足条件：0＜φ＜π；或﹣2φ=2kπ+，k∈Z，此时φ=﹣kπ﹣，k∈Z，故φ=，故答案为：．13．如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB=60°，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则的最小值是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，可以得到△OAB为等边三角形，则AB=1，设BP=x，则AP=1﹣x，（0≤x≤1），利用向量加法的三角形法则，将则向已知向量转化，运用向量数量积的定义，即可得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质，即可求得答案．【解答】解：∵OA=OB=1，∠AOB=60°，∴△OAB为等边三角形，则AB=1，设BP=x，则AP=1﹣x，（0≤x≤1），∴=（+）=+=||•||cos+||•||cos＜，＞=1+（1﹣x）•x•cosπ==（x﹣）2﹣，∵0≤x≤1，∴当x=时，取得最小值为﹣．故答案为：﹣．14．用min{m，n}表示m，n中的最小值．已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），若h（x）有3个零点，则实数a的取值范围是（，）．【考点】函数零点的判定定理．【分析】由已知可得a＜0，进而可得若h（x）有3个零点，则＜1，f（1）＞0，f（）＜0，解得答案．【解答】解：∵f（x）=x3+ax+，∴f′（x）=3x2+a，若a≥0，则f′（x）≥0恒成立，函数f（x）=x3+ax+至多有一个零点，此时h（x）不可能有3个零点，故a＜0，令f′（x）=0，则x=±，∵g（1）=0，∴若h（x）有3个零点，则＜1，f（1）＞0，f（）＜0，即，解得：a∈（，），故答案为：（，）二、解答题（共6小题，满分88分）15．在平面直角坐标系xOy中，点A（cosθ，sinθ），B（sinθ，0），其中θ∈R．（Ⅰ）当θ=，求向量的坐标；（Ⅱ）当θ∈[0，]时，求||的最大值．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】（Ⅰ）把θ=代入，求出向量的坐标表示；（Ⅱ）由向量，求出||的表达式，在θ∈[0，]时，求出||的最大值．【解答】解：（Ⅰ）当θ=时，向量=（sin﹣cos，0﹣sin）=（+，﹣×）=（，﹣）；（Ⅱ）∵向量=（sinθ﹣cosθ，﹣sinθ），∴||====；∴当θ∈[0，]时，2θ+∈[，]，∴sin（2θ+）∈[﹣，1]，∴sin（2θ+）∈[﹣1，]，∴≤，即||的最大值是．16．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．（1）求证：DE∥平面ACF；（2）若AB=CE，在线段EO上是否存在点G，使得CG⊥平面BDE？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）利用正方形的性质以及中线性质任意得到OF∥DE，利用线面平行的判定定理可证；（2）取EO的中点G，连接CG，可证CG⊥EO，由EC⊥BD，AC⊥BD，可得平面ACE⊥平面BDE，从而利用面面垂直的性质即可证明CG⊥平面BDE．【解答】（本题满分为14分）证明：（1）连接OF由四边形ABCD是正方形可知，点O为BD的中点，又F为BE的中点，所以OF∥DE．…又OF⊂平面ACF，DE⊄平面ACF，所以DE∥平面ACF．…（2）在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE，证明如下：取EO的中点G，连接CG，在四棱锥E﹣ABCD中，AB=CE，CO=AB=CE，所以CG⊥EO．…又由EC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以EC⊥BD．…由四边形ABCD是正方形可知，AC⊥BD，又AC∩EC=C，所以BD⊥平面ACE，而BD⊂平面BDE，…所以，平面ACE⊥平面BDE，且平面ACE∩平面BDE=EO，因为CG⊥EO，CG⊂平面ACE，所以CG⊥平面BDE．…17．如图，某水域的两直线型岸边l 1，l 2 成定角120°，在该水域中位于该角角平分线上且与顶点A 相距1公里的D 处有一固定桩．现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网BC （B ，C 分别在l 1和l 2上），围出三角形ABC 养殖区，且AB 和AC 都不超过5公里．设AB=x 公里，AC=y 公里．（1）将y 表示成x 的函数，并求其定义域；（2）该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区？【考点】基本不等式在最值问题中的应用． 【分析】（1）由S △ABD +S △ACD =S △ABC ，将y 表示成x 的函数，由0＜y ≤5，0＜x ≤5，求其定义域；（2）S=xysinA=sin120°=（≤x ≤5），变形，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：（1）由S △ABD +S △ACD =S △ABC ，得，所以x +y=xy ，所以y=又0＜y ≤5，0＜x ≤5，所以≤x ≤5， 所以定义域为{x |≤x ≤5}；（2）设△ABC 的面积为S ，则结合（1）得：S=xysinA=sin120°=（≤x ≤5）=（x ﹣1）++2≥4，当仅当x ﹣1=，x=2时取等号．故当x=y=2时，面积S 取最小值\平方公里．答：该渔民总共至少可以围出平方公里的养殖区．18．已知点P 是椭圆C 上的任一点，P 到直线l 1：x=﹣2的距离为d 1，到点F （﹣1，0）的距离为d 2，且=．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，直线l与椭圆C交于不同的两点A，B（A，B都在x轴上方），且∠OFA+∠OFB=180°．（i）当A为椭圆C与y轴正半轴的交点时，求直线l的方程；（ii）是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总过该定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设P（x，y），则d1=|x+2|，d2=，由此利用=，能求出椭圆C的方程．（2）（i）由（1）知A（0，1），又F（﹣1，0），从而k AF=1，k BF=﹣1，直线BF的方程为：y=﹣（x+1）=﹣x﹣1，代入=1，得3x2+4x=0，由此能求出直线AB的方程．（ii）k AF+k BF=0，设直线AB的方程为y=kx+b，代入=1，得，由此利用韦达定理、椭圆性质，结合已知条件能推导出直线AB总经过定点M（﹣2，0）．【解答】解：（1）设P（x，y），∵点P是椭圆C上的任一点，P到直线l1：x=﹣2的距离为d1，到点F（﹣1，0）的距离为d2，且=，∴d1=|x+2|，d2=，==，化简，得=1．∴椭圆C的方程为=1．（2）（i）由（1）知A（0，1），又F（﹣1，0），∴k AF==1，∵∠OFA+∠OFB=180°，∴k BF=﹣1，∴直线BF的方程为：y=﹣（x+1）=﹣x﹣1，代入=1，得3x2+4x=0，解得x1=0，，代入y=﹣x﹣1，得（舍），或，∴B（﹣，），k AB==，∴直线AB的方程为y=．（ii）∵∠OFA+∠OFB=180°，∴k AF+k BF=0，设直线AB的方程为y=kx+b，代入=1，得，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴k AF+k BF=+=+==0，∴（kx1+b）（x2+1）+（kx2+b）（x1+1）=2kx1x2+（k+b）（x1+x2）+2b=2k×﹣（k+b）×+2b=0，∴b﹣2k=0，∴直线AB的方程为y=k（x+2），∴直线AB总经过定点M（﹣2，0）．19．已知函数g（x）=2alnx+x2﹣2x，a∈R．（1）若函数g（x）在定义域上为单调增函数，求a的取值范围；（2）设A，B是函数g（x）图象上的不同的两点，P（x0，y0）为线段AB的中点．（i）当a=0时，g（x）在点Q（x0，g（x0））处的切线与直线AB是否平行？说明理由；（ii）当a≠0时，是否存在这样的A，B，使得g（x）在点Q（x0，g（x0））处的切线与直线AB平行？说明理由．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出g（x）的导数，由题意可得g′（x）≥0对x＞0恒成立，即为a≥x﹣x2对x＞0恒成立，求出右边函数的最大值，即可得到a的范围；（2）（i）a=0时，求出g（x）的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，化简整理，结合中点坐标公式，即可得到结论；（ii）当a≠0时，假设存在这样的A，B，使得g（x）在点Q（x0，g（x0））处的切线与直线AB平行．由两直线平行的条件：斜率相等，化简整理，结合中点坐标公式，化为ln=，设t=（0＜t＜1），记函数h（t）=lnt﹣，求出导数，判断单调性，即可得到结论．【解答】解：（1）函数g（x）的定义域为（0，+∞），g（x）的导数为g′（x）=+2x﹣2=，若函数g（x）在定义域上为单调增函数，可得g′（x）≥0对x＞0恒成立，即为a≥x﹣x2对x＞0恒成立，由h（x）=x﹣x2=﹣（x﹣）2+，当x=时，h（x）取得最大值，则a≥；（2）（i）a=0时，g（x）=x2﹣2x，g′（x）=2x﹣2，g′（x0）=2x0﹣2，设A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2）），（0＜x1＜x2），可得x0=，k AB====x1+x2﹣2=2x0﹣2，则g（x）在点Q（x0，g（x0））处的切线与直线AB平行；（ii）当a≠0时，假设存在这样的A，B，使得g（x）在点Q（x0，g（x0））处的切线与直线AB平行．可得g′（x0）=，即+2x0﹣2=，由x0=，可得+x1+x2﹣2=+x1+x2﹣2，即ln =，设t=（0＜t ＜1），记函数h （t ）=lnt ﹣，则h ′（t ）=﹣=≥0，可得h （t ）在（0，1）递增，可得当0＜t ＜1时，h （t ）＜h （1）=0， 即方程lnt=在区间（0，1）上无解，故不存在这样的A ，B ，使得g （x ）在点Q （x 0，g （x 0））处的切线与直线AB 平行．20．已知数列{a n }，{b n }满足b n =a n +1﹣a n ，其中n=1，2，3，…． （Ⅰ）若a 1=1，b n =n ，求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若b n +1b n ﹣1=b n （n ≥2），且b 1=1，b 2=2． （ⅰ）记c n =a 6n ﹣1（n ≥1），求证：数列{c n }为等差数列；（ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．求a 1应满足的条件．【考点】数列递推式；等差关系的确定． 【分析】（Ⅰ）根据数列的基本性质以及题中已知条件便可求出数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）（ⅰ）先根据题中已知条件推导出b n +6=b n ，然后求出c n +1﹣c n 为定值，便可证明数列{c n }为等差数列；（ⅱ）数列{a 6n +i }均为以7为公差的等差数列，然后分别讨论当时和当时，数列是否满足题中条件，便可求出a 1应满足的条件．【解答】解：（Ⅰ）当n ≥2时，有a n =a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+…+（a n ﹣a n ﹣1） =a 1+b 1+b 2+…+b n ﹣1=．又因为a 1=1也满足上式，所以数列{a n }的通项为．（Ⅱ）由题设知：b n ＞0，对任意的n ∈N *有b n +2b n =b n +1，b n +1b n +3=b n +2得b n +3b n =1， 于是又b n +3b n +6=1，故b n +6=b n∴b 6n ﹣5=b 1=1，b 6n ﹣4=b 2=2，b 6n ﹣3=b 3=2，b 6n ﹣2=b 4=1，（ⅰ）c n +1﹣c n =a 6n +5﹣a 6n ﹣1=b 6n ﹣1+b 6n +b 6n +1+b 6n +2+b 6n +3+b 6n +4=（n ≥1），所以数列{c n }为等差数列． （ⅱ）设d n =a 6n +i （n ≥0），（其中i 为常数且i ∈{1，2，3，4，5，6}），所以d n+1﹣d n=a6n+6+i﹣a6n+i=b6n+i+b6n+i+1+b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4+b6n+i+5=7（n≥0）所以数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列．设，（其中n=6k+i（k≥0），i为{1，2，3，4，5，6}中的一个常数），当时，对任意的n=6k+i有=；由，i∈{1，2，3，4，5，6}知；此时重复出现无数次．当时，=①若，则对任意的k∈N有f k+1＜f k，所以数列为单调减数列；②若，则对任意的k∈N有f k+1＞f k，所以数列为单调增数列；（i=1，2，3，4，5，6）均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多各出现一次，即数列中任意一项的值最多出现六次．综上所述：当时，数列中必有某数重复出现无数次．当a1∉B时，数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，△ABC内接于圆O，D为弦BC上一点，过D作直线DP∥AC，交AB于点E，交圆O在A点处的切线于点P．求证：△PAE∽△BDE．【考点】相似三角形的判定．【分析】由题意，根据相似三角形的判定方法，找出两组对应角分别相等，即可证明△PAE ∽△BDE．【解答】证明：∵PA是圆O在点A处的切线，∴∠PAB=∠C．∵PD∥AC，∴∠EDB=∠C，∴∠PAE=∠PAB=∠C=∠BDE．又∵∠PEA=∠BED，∴△PAE∽△BDE．[选修4-2：矩阵与变换]22．变换T1是逆时针旋转角的旋转变换，对应的变换矩阵是M1；变换T2对应的变换矩阵是M2=．（1）点P（2，1）经过变换T1得到点P′，求P′的坐标；（2）求曲线y=x2先经过变换T1，再经过变换T2所得曲线的方程．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】（1）变换T1对应的变换矩阵M1==，M1=，即可求得点P在T1作用下的点P′的坐标；（2）M=M2•M1=，由=，求得，代入y=x2，即可求得经过变换T2所得曲线的方程．【解答】解：（1）T1是逆时针旋转角的旋转变换，M1==，M1=，所以点P在T1作用下的点P′的坐标是（﹣1，2）；（2）M=M2•M1=，设是变换后图象上任一点，与之对应的变换前的点是，则M=，=，也就是，即，所以所求的曲线方程为y﹣x=y2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设点A，B分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：ρ=1上，求AB的最大值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】把曲线C1的参数方程化为普通方程，把曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心距离，即可得出最大值．【解答】解：曲线C1：（θ为参数），消去参数θ化为曲线C1：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，曲线C1是以（3，4）为圆心，1为半径的圆；曲线C2：ρ=1，化为直角坐标方程：x2+y2=1，是以（0，0）为圆心，1为半径的圆，可求得两圆圆心距|C1C2|==5，∵AB≤5+2+1=8，∴AB的最大值为8．[选修4-5：不等式选讲]24．已知：a≥2，x∈R．求证：|x﹣1+a|+|x﹣a|≥3．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】利用|m|+|n|≥|m﹣n|，将所证不等式转化为：|x﹣1+a|+|x﹣a|≥|2a﹣1|，再结合题意a≥2即可证得．【解答】证明：∵|m|+|n|≥|m﹣n|，∴|x﹣1+a|+|x﹣a|≥|x﹣1+a﹣（x﹣a）|=|2a﹣1|．又a≥2，故|2a﹣1|≥3．∴|x﹣1+a|+|x﹣a|≥3（证毕）．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过M的直线与抛物线交于A，B两点．设A（x1，y1）到准线l的距离为d，且d=λp（λ＞0）．（1）若y1=d=1，求抛物线的标准方程；（2）若+λ=，求证：直线AB的斜率为定值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）由题意可知x1=1﹣，A点坐标为（1﹣，1），将A点坐标代入抛物线方程求得p的值，写出抛物线的标准方程；（2）直线AB过M（﹣，0），设直线AB的方程为y=k（x+），代入抛物线方程y2=2px，消去y，整理得，解出x1、x2，将d=x1+，代入d=λp，得， +λ=，可知，，将x1、x2代入，即可解得，可证直线AB的斜率为定值．【解答】解：（1）由条件知，x1=1﹣，则A点坐标为（1﹣，1），代入抛物线方程得p=1，∴抛物线方程为y2=2x，（2）证明：设B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x+），将直线AB的方程代入y2=2px，消去y得：，解得：x1=，x2=．∵d=λp，∴，+λ=，，∴p=x2﹣x1=，∴，∴直线AB的斜率为定值．26．设f（n）=（a+b）n（n∈N*，n≥2），若f（n）的展开式中，存在某连续3项，其二项式系数依次成等差数列，则称f（n）具有性质P．（1）求证：f（7）具有性质P；（2）若存在n≤2016，使f（n）具有性质P，求n的最大值．【考点】二项式定理的应用．【分析】（1）利用二项式定理计算可知f（7）的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为7、21、35，通过验证即得结论；（2）通过假设+=2，化简、变形可知（2k﹣n）2=n+2，问题转化为求当n≤2016时n取何值时n+2为完全平方数，进而计算可得结论．【解答】（1）证明：f（7）的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为=7、=21、=35，∵+=2，即、、成等差数列，∴f（7）具有性质P；（2）解：设f（n）具有性质P，则存在k∈N*，1≤k≤n﹣1，使、、成等差数列，所以+=2，整理得：4k2﹣4nk+（n2﹣n﹣2）=0，即（2k﹣n）2=n+2，所以n+2为完全平方数，又n≤2016，由于442＜2016+2＜452，所以n的最大值为442﹣2=1934，此时k=989或945．2016年9月28日。

2017年江苏省南京市、淮安市高三三模数学试卷一、填空题（共14小题；共70分）1. 已知全集，集合，，则．2. 甲盒子中有编号分别为，的两个乒乓球，乙盒子中有编号分别为，，，的四个乒乓球．现分别从两个盒子中随机地各取出个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于的概率为．3. 若复数满足，其中为虚数单位，为复数的共轭复数，则复数的模为．4. 执行如下所示的伪代码，若输出的值为，则输入的值为．Read xIf x≥0 Theny←Elsey←End IfPrint y5. 如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为．6. 在同一直角坐标系中，函数的图象和直线的交点的个数是．7. 在平面直角坐标系中，双曲线的焦距为，则所有满足条件的实数构成的集合是．8. 已知函数是定义在上且周期为的偶函数，当时，，则的值为．9. 若等比数列的各项均为正数，且，则的最小值为．10. 如图，在直三棱柱中，，，，，点为侧棱上的动点，当最小时，三棱锥的体积为．11. 函数在区间上单调递增，则实数的最大值为．12. 在凸四边形中，，且，，则四边形的面积为．13. 在平面直角坐标系中，圆，圆（为实数）．若圆和圆上分别存在点，，使得，则的取值范围为．14. 已知，，为正实数，且，，则的取值范围为．二、解答题（共6小题；共78分）15. 如图，在三棱锥中，，分别为，上的点，且 平面．（1）求证： 平面；（2）若平面，，求证：平面平面．16. 已知向量，，，为实数．（1）若，求的值；（2）若，且，求的值．17. 在水域上建一个演艺广场，演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域，及矩形表演台四个部分构成（如图），看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以，为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的倍，矩形表演台中，米，三角形水域的面积为平方米，设．（1）求的长（用含的式子表示）；（2）若表演台每平方米的造价为万元，求表演台的最低造价．18. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的右顶点和上顶点分别为点，，是线段的中点，且．（1）求椭圆的离心率；（2）若，四边形内接于椭圆，，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值．19. 已知常数，数列满足，．（1）若，，①求的值；②求数列的前项和；（2）若数列中存在三项，，（，）依次成等差数列，求的取值范围．20. 已知，函数的导数为．（1）求曲线在处的切线方程；（2）若函数存在极值，求的取值范围；（3）若时，恒成立，求的最大值．答案第一部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.【解析】将直三棱柱展开成矩形，如图，连接，交于，此时最小，因为，，，，点为侧棱上的动点，所以当最小时，，此时三棱锥的体积：11.12.【解析】因为，所以，因为，所以所以，所以．所以四边形的面积．13.14.第二部分15. （1） 平面，平面，平面平面，，又平面，平面，平面．（2）平面，平面，，由（）可知，又，，又，平面，平面，平面，又平面，平面平面．16. （1）向量，，，为实数．若，则，可得，平方可得，即为，由，解得即有，．则；（2）若，且，即有，即有，由为锐角，可得，即有，则，．17. （1）因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的倍，所以，所以，因为，所以，所以，在中，由余弦定理得，所以．（2）设表演台的造价为万元，则，设，则，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值，所以的最小值为，即表演台的最小造价为万元．18. （1），，线段的中点．，．因为．所以，化为：．所以椭圆的离心率．（2）由，可得，所以椭圆的标准方程为：，，．直线的方程为：，联立化为：，解得，所以．即．直线的方程为：，联立化为：，所以，解得，，可得．所以，化为：．所以，所以．19. （1）①因为，所以，，．②因为，，所以当时，，当时，，即从第二项起，数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以数列的前项和（），显然当时，上式也成立，所以．（2）因为，所以，即单调递增．（i）当时，有，于是，所以，所以．若数列中存在三项，，（，）依次成等差数列，则有，即（），因为，所以，因此（）不成立．因此此时数列中不存在三项，，（，）依次成等差数列．（ii）当时，有．此时．于是当时，，从而，所以．若数列中存在三项，，（，）依次成等差数列，则有，同（i）可知：，于是有，因为，所以．因为是整数，所以，于是，即，与矛盾．故此时数列中不存在三项，，（，）依次成等差数列．（iii）当时，有，．于是，．此时数列中存在三项，，依次成等差数列．综上可得：．20. （1）的定义域为．，，又．曲线在处的切线方程为．（2）因为（），．函数存在极值，即方程有正实数根，（），令，在恒成立．时，，所以函数存在极值，的取值范围为．（3）由（），（）可知，，结合（）时，，可得（），，则在恒成立．所以单调递增，从而．所以时，，在递增，．故在递增，所以．当时，存在，使，所以时，，即时，递减，而，所以时，，此时递减，而，所以在，，故当时，不恒成立；综上时，恒成立，的最大值为．。

2017年江苏省南京市高三一模数学试卷一、填空题（共14小题；共70分）1. 若集合，，则 ______．2. 复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为______．3. 已知命题：，是真命题，则实数的取值范围是______．4. 从长度为，，，的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率为______ .5. 某个容量为的样本的频率分布直方图如下，则在区间上的数据的频数为______．6. 在如图所示的算法流程图中，若输出的的值为，则输入的的值为______ .7. 在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，则点到双曲线的渐近线的距离为______．8. 已知，为实数，且，，则 ______ ．（填“”、“”或“”）9. 是直角边等于的等腰直角三角形，是斜边的中点，，向量的终点在的内部（不含边界），则的取值范围是______．10. 已知四数，，，依次成等比数列，且公比不为．将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数的取值集合是______．11. 已知棱长为的正方体，是棱的中点，是线段上的动点，则与的面积和的最小值是______．12. 已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为______．13. 若，均有成立，则称函数为函数到函数在区间上的“折中函数”．已知函数，，，且是到在区间上的“折中函数”，则实数的取值范围为______．14. 若实数，满足，则的取值范围是______．二、解答题（共10小题；共130分）15. 如图，在平面直角坐标系上，点，点在单位圆上，．（1）若点，求的值；（2）若，，求．16. 如图，六面体中，面面，面．（1）求证： 面；（2）若，，求证：．17. 如图，某城市有一条公路正西方通过市中后转向北偏东角方向的，位于该市的某大学与市中心的距，且，现要修筑一条铁路，在上设一站，在上设一站，铁路在部分为直线段，且经过大学，其中，，．（1）求大学在站的距离；（2）求铁路段的长．18. 设椭圆的离心率，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切．（1）．求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于不同的两点，，以线段为直径作圆，若圆与轴相交于不同的两点，，求的面积；（3）如图，，，，是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点，直线交于点，设的斜率为，的斜率为，求证：为定值．19. 已知数列的前项和为，且满足．（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为．求满足不等式的的最小值．20. 已知函数，，其中．设．（1）若在处取得极值，且，求函数的单调区间；（2）若时，函数有两个不同的零点，．①求的取值范围；②求证：．21. 已知点，先对它作矩阵对应的变换，再作对应的变换，得到的点的坐标为，求实数，值．22. 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，若直线的极坐标方程为．（1）把直线的极坐标方程化为直角坐标系方程；（2）已知为椭圆：上一点，求到直线的距离的最小值．23. 抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有，，，的正四面体，其底面落于桌面，记所得数字分别为，．设为随机变量，若为整数，则；若为小于的分数，则；若为大于的分数，则．（1）求概率；（2）求的分布列，并求其数学期望．24. 已知．（1）求及；（2）试比较与的大小，并说明理由．答案第一部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.第二部分15. （1）由点，所以，，，所以．（2）因为，所以．，所以，解得，因为，所以．所以16. （1）过点作，为垂足.面面，又面面，面，所以面．又面，则．又面，面，故 面．（2）由（1）知面，面，所以．又，且，平面，则面．因为面，所以．又，，面，则面．又面，故可得．17. （1）在中，，，且，，由余弦定理可得：所以可得：，大学在站的距离为．（2）因为，且为锐角，所以，在中，由正弦定理可得：，即，所以，所以，所以，因为，所以，，所以，又因为，所以．在中，，由正弦定理可得：，即，所以解得，即铁路段的长为．18. （1）因为直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切．，化为．因为离心率，，联立解得，．所以椭圆的方程为；（2）把代入椭圆方程可得：，解得．所以的方程为：．令，解得，所以，所以．（3）由（1）知：，，，所以直线的方程为，由题意，直线的方程为，，且，由解得．设，则由得．所以，所以，．所以．设，则由，，三点共线得，．即，所以，所以．所以的斜率．所以为定值．19. （1）当时，，所以．因为，，所以，，两式相减得，，即，，所以数列为以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，．（2），所以，所以，两式相减可得，所以，所以可化为，因为，，所以满足不等式的的最小值为．20. （1）因为，所以，由可得．又在处取得极值，所以，所以，，所以，其定义域为，，，令，得，当时，；当时，；所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．（2）当时，，其定义域为，①由得，记，由题意得与函数的图象有两个不同的交点，又，，令，且，得；令，且，得；所以在上单调递减，在上单调递增；所以当时，取得最小值，又，所以当时，，而当时，，当时，，因为与函数的图象有两个不同的交点，所以的取值范围是．②由题意得，，所以，，所以，则，不妨设，要证，只需要证，即证，设（），则，令（），所以，所以函数在上单调递增，所以，即，所以，即．21. 由题意，，由逆矩阵公式得，，所以，即有，．22. （1）直线的极坐标方程为，整理得：即，则直角坐标系中的方程为，即；（2）设，所以点到直线的距离则到直线的距离的最小值为．23. （1）依题意，数对共有种，其中使为整数的有以下种：，，，，，，，，所以；（2）随机变量的所有取值为，，，有以下六种：，，，，，，故，有以下种：，，故，所以，所以的分布列为：的数学期望为．24. （1）令，则，令，则，所以．（2）要比较与的大小，只要比较与的大小．当时，，当或时，，当或时，．猜想：当时，．下面用数学归纳法证明：①由上述过程可知，当时，结论成立．②假设当时结论成立，即，两边同乘以，得，而所以，即时结论也成立．由①②可知，当时，成立．综上所述，当时，；当或时，，；当时，．。

2020届江苏省南京市2017级高三三模考试
数学参考答案
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分．
3．解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数,填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸
的指定位置上）
1．{x |1＜x ＜4} 2．2 3．60 4．10 5．23
6． 3 7．2n ＋1－2 8． 62 9．83
10．[2,4] 11．6 12． [－2,＋∞) 13．－94 14．38 二、解答题（本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．(本小题满分14分)
证明：(1)取PC 中点G ,连接DG 、FG ．
在△PBC 中,因为F ,G 分别为PB ,PC 的中点,所以GF ∥BC ,GF ＝12
BC ． 因为底面ABCD 为矩形,且E 为AD 的中点,
所以DE ∥BC ,DE ＝12BC , ················· 2分。

2017年普通高等学校招生全国统一考试3卷模拟试题（理科数学)一．选择题（共12小题）1．已知集合A=｛x｜x2﹣x＞0},,则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B2．已知i为虚数单位，则z=i+i2+i3+…+i2017=（）A．0 B．1 C．﹣i D．i3．已知数列｛an }满足：=,且a2=2，则a4等于（）A．﹣B．23 C．12 D．114．已知向量=（1,2）,=(﹣2,x）．若+与﹣平行,则实数x的值是( ）A．4 B．﹣1 C．﹣45．一算法的程序框图如图所示，若输出的,则输入的x可能为( ）A．﹣1 B．1 C．1或5 D．﹣1或16．如图所示,由直线x=a,x=a+1(a＞0），y=x2及 x 轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即 a2＜x2dx＜(a+1）2．类比之，若对∀n∈N*,不等式＜A＜++…+恒成立,则实数A等于( )A．ln B．ln 2 C．ln 2 D．ln 57．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在截面A1DB上，则线段AP的最小值等于（）A．B．C． D．8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b，c，若，bcosA+acosB=2，则△ABC的外接圆的面积为( ）A．4π B．8π C．9π D．36π9．如图所示的阴影部分是由x轴,直线x=1及曲线y=e x﹣1围成,现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（）A．B．C．D．10．已知函数y=f（x)和函数y=g（x）的图象如下：则函数y=f（x）g（x）的图象可能是（）A．B．C．D．11．已知F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（，1）B．（，1）C．（0,）D．（0，）12．设定义域为R的函数f（x）=，则关于x的方程f2（x)+bf（x)+c=0有7个不同的实数解得充要条件是（）A．b＜0且c＞0 B．b＞0且c＜0 C．b＜0且c=0 D．b≥0且c=0二．填空题(共4小题）13．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数,且当x＞0时，，则f(﹣2+log35）= ．14．已知（2x﹣）n展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中常数项是．15．如图，边长为2的正方形ABCD中,点E、F分别是AB、BC的中点，将△ADE、△EBF、△FCD分别沿DE、EF、FD折起，使得A、B、C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为．16．已知等差数列｛an ｝的公差为d，等比数列｛bn｝的公比为q,设｛an｝，{bn｝的前n项和分别为Sn ，Tn，若,n∈N＊，则d= ,q= ．三．解答题（共6小题)17．已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边．(1）若△ABC面积S△ABC=，c=2，A=60°，求a、b的值；(2)若a=ccosB，且b=csinA，试判断△ABC的形状．18．已知某校5个学生的数学和物理成绩如下表学生的编号i12345数学xi8075706560物理yi7066686462（1）假设在对这5名学生成绩进行统计时，把这5名学生的物理成绩搞乱了，数学成绩没出现问题，问:恰有2名学生的物理成绩是自己的实际分数的概率是多少？（2)通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系的,在上述表格是正确的前提下,用x表示数学成绩，用y 表示物理成绩，求y 与x 的回归方程;（3）利用残差分析回归方程的拟合效果,若残差和在（﹣0。

2017年江苏省高考数学模拟应用题大全（三）1、（江苏省连云港、徐州、宿迁2017届高三年级第三次模拟考试）某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E 为上切点)，与左右两边相交(F ，G 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m ，且12AB AD ≥．设EOF θ∠=，透光区域的面积为S ．（1）求S 关于θ的函数关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值 越大越好．当该比值最大时，求边AB 的长度．2、（江苏省南京、淮安市2017届高三第三次模拟考试数学试题）在一水域上建一个演艺广场．演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC ，及矩形表演台BCDE 四个部分构成（如图）．看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB ，AC 为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍；矩形表演台BCDE 中，CD ＝10米；三角形水域ABC 的面积为4003平方米．设∠BAC ＝θ．（1）求BC 的长（用含θ的式子表示）；（2）若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．3、（江苏省南京师范大学附属中学2017届高三考前模拟考试数学试题）园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为r 米，圆心角为θ（弧度）的扇形观景水池，其中O 为扇形AOB 的圆心，同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24万元，水池造价为每平米400元，步道造价为每米1000元.（1）当r 和θ分别为多少时，可使得广场面积最大，并求出最大面积；A BCDFEO(第1题)G θ（第2题图）（2）若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少.4、（江苏省南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB ，BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a ≥b ．（1）当a ＝90时，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a ，b ，x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．5、（江苏省南通、扬州、泰州2017届高三第三次调研考试数学试题）如图，半圆AOB 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA 的长为1百米．为了保护景点，基地管理部门从道路l 上选取一点C ，修建参观线路C -D -E -F ，且CD ，DE ，EF 均与半圆相切，四边形CDEF 是等腰梯形．设DE ＝t 百米，记修建每1百米参 观线路的费用为()f t 万元，经测算150()118 2.3t f t t t ⎧<⎪=⎨⎪-<<⎩，，≤，（1）用t 表示线段EF 的长； （2）求修建该参观线路的最低费用．（第4题图）DCB AO（第5题）6、（江苏省南通、扬州、泰州、徐州、淮安、宿迁2017届高三二模数学试题）一缉私艇巡航至距领海边界线l （一条南北方向的直线）3.8海里的A 处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最 大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行． （1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截 成功；（参考数据：sin17°≈5.7446）（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．7、（江苏省如皋市2017届高三下学期语数英学科联考（二）数学试题）如图所示，在一半径等于1千米的圆弧及直线段道路AB 围成的区域内计划建一条商业街，其起点和终点均在道路AB 上，街道由两条平行于对称轴l 且关于l 对称的两线段EF 、CD ，及夹在两线段EF 、CD 间的弧组成．若商业街在两线段EF 、CD 上收益为每千米2a 元，在两线段EF 、CD 间的弧上收益为每千米a 元．已知2AOB π∠=，设2EOD θ∠=，(1) 将商业街的总收益()f θ表示为θ的函数； (2) 求商业街的总收益的最大值．北(第6题)8、（江苏省苏州大学2017届高考数学考前指导卷 1）如图，某地区有一块（百米），植物园西侧有一块荒地，现计划利用该荒地扩大植物园面积，使得新的植物园为.（1（2，若计划9、舞，试求这块圆形广场的最大面积．(10、（江苏省泰州市2017届高三考前参考题数学试题）甲、乙分别位于扇形居民区弧⌒AB合）处建造一个大型快件集散中心，经过前期的调查，发现可以分别用抗拒系数⌒AB的中点时，（1（211、（上海市崇明区2017届高三第二次（4月）模拟考试数学试卷）某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲．若点Q在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．E为A B中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比（1AD足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结（2）如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，甲？12、（江苏省学大教育2017届高考数学密2）13、（江苏省学大教育2017届高考数学密1）某单位为端正工作人员仪容，在单位设置一面仪容镜（仪容镜为平面镜），如图，仪容2米，（1（2答案1、（12分分，所以定义域为10分12分所以，所以，故有最大，此时（2）1m ．………16分2、（1）因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，所以AB ＝3AC ．在△ABC 中，S △ABC ＝12AB •AC •sin θ＝4003，所以AC 2＝800sin θ ． …………………… 3分由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB •AC •cos θ，＝4AC 2－23AC 2 cos θ．＝(4－23cos θ) 800sin θ ，即BC ＝(4－23cos θ)•800sin θ ＝402－3cos θsin θ．所以 BC ＝402－3cos θsin θ ，θ∈(0，π)． …………………… 7分（2）设表演台的总造价为W 万元．因为CD ＝10m ，表演台每平方米的造价为0.3万元，所以W ＝3BC ＝1202－3cos θsin θ ，θ∈(0，π)． …………………… 9分记f (θ)＝2－3cos θsin θ，θ∈(0，π)．则f ′(θ)＝3－2cos θsin 2θ． …………………… 11分由f ′(θ)＝0，解得θ＝π6．当θ∈(0，π6)时，f ′(θ)＜0；当θ∈(π6，π)时，f ′(θ)＞0．故f (θ)在(0，π6)上单调递减，在(π6，π)上单调递增，从而当θ＝π6 时，f (θ)取得最小值，最小值为f (π6)＝1．所以W min ＝120(万元)．答：表演台的最低造价为120万元． …………………… 14分34、解：（1）因为矩形纸板ABCD 的面积为3600，故当a ＝90时，b ＝40，从而包装盒子的侧面积S ＝2×x (90－2x )＋2×x (40－2x )＝－8x 2＋260x ，x ∈(0，20) ． ………………… 3分因为S ＝－8x 2＋260x ＝－8(x －654)2＋42252，故当x ＝654 时，侧面积最大，最大值为 42252 平方厘米．答：当x ＝654 时，纸盒的侧面积的最大值为42252平方厘米． ………………… 6分（2）包装盒子的体积V ＝(a －2x )(b －2x ) x ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]，x ∈(0，b 2)，b ≤60．…………… 8分V ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]≤x (ab －4abx ＋4x 2)＝x (3600－240x ＋4x 2)＝4x 3－240x 2＋3600x ． ………………… 10分当且仅当a ＝b ＝60时等号成立．设f (x )＝4x 3－240x 2＋3600x ，x ∈(0，30)．则f ′ (x )＝12(x －10)(x －30)．于是当0＜x ＜10时，f ′ (x )＞0，所以f (x )在(0，10)上单调递增；当10＜x ＜30时，f ′ (x )＜0，所以f (x )在(10，30)上单调递减．因此当x ＝10时，f (x )有最大值f (10)＝16000， ……………… 12分 此时a ＝b ＝60，x ＝10．答：当a ＝b ＝60，x ＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．……………… 14分5、【解】设DE 与半圆相切于点QDQ＝QE，以OF所在直线为x轴，OQ所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy．（1）方法一：由题意得，点E……1分设直线EF，因为直线EF与半圆相切，所以圆心O到直线EF (3)分F……5分即．……7分方法二：切圆所以Rt△EHF≌Rt△OGF，……3分……5分所以．……7分（2①所以当时，取最小值为……11分②……13分且当时，；当时，调递增．由①②知，取最小值为……15分答：（1（2）修建该参观线路的最低费用为万元．……16分6、解：（1，……2分．……5分又B到边界线l……8分（2AB C图甲走私……12分1.55所以缉私艇能在领海内截住走私船．……14分答：（1（2）缉私艇总能在领海内成功拦截走私船．……16分18.7、1）①3分②6分由①②8分（2）①列表：11分所以在时单调递减所以…………………14分10分的面积最大值为分⌒AB（2由（119.11、解：（1分分.....................................................6分（2）以所在直线为轴，中垂线为分分6为半径的上半圆在矩形区域人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲...........................................14分12、13由正弦定理，)2,21(tan 2321sin )32sin(sin sin ∈+=-==C C C C B AB AC π即的取值范围为AB AC 的取值范围为（2,21）（2）易知AD A A 2='、又由三角形ABC 的面积A AC AB AD BC S sin 2121⋅=⋅=,可得AC AB AD ⋅=43由余弦定理，AC AB AC AB AC AB A AC AB AC AB BC ⋅=⋅-⋅≥⋅⋅-+==2cos 24222, 解得4≤⋅AC AB ，当且仅当2==AC AB 时。

南京市2017届高三期初模拟考试数学 2016.09一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知集合 A {0,1,2}，B {x|x 2 x 0}，则 AI B2. 设复数z 满足（z i ）i 3 4i （ i 为虚数单位），则z 的模为 .3. 为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的 200辆汽车的 时速，所得数据均在区间［40,80］中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的 200辆汽车中，时速在区间［40,60）内的汽车有 __________ 辆.GO4 G 03 a C2 a oi（第 3JS ）0）的最小正周期为 ，则f （E ）的值是k 的值是 .4& 50 60 70 804. 若函数 f （x ） sin （ x -）（5. 下图是一个算法的流程图，则输出是 _____ . ___10. 已知圆柱M 的底面半径为2,高为2，圆锥N 的底面直径和母线长相等，若圆柱 M 和 圆锥N 的体积相同，则圆锥 N 的高为.11. 各项均为正数的等比数列 ｛a n ｝，其前n 项和为S n ，若a 278，S 3 13，则数列｛a n ｝的通项公式a n12.已知函数f(x) 12x x 3 x 0'，当x (, m ］时，f (x)的取值范围为［16,)，2x,x 0则实数m 的取值范围是6.设向量 a (1,4)， b ( 1,x)， c a 3b ，若a//c ，则实数x 的值是7.某单位要在四名员工(含甲乙两人) 中随机选两名到某地出差，则甲乙两人中，至少有一人被选中的概率是8.2 x 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线C : -ya 2—1(a0)的一条渐近线与直线4 9. (x2x 1平行，则实数a 的值是在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax y2 21) (y a) 16相交于A, B 两点，且2 0与圆心为C 的圆ABC 为直角三角形，则实数 a 的值umr i uuu uuur uuu 13. 在ABC 中，已知AB 3, BC 2 , D 在AB 上，AD —AB，若DB ? DC 3 ,3则AC的长是.114. 已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f (x) g(x) ^)x，若存在1x0[ ,1]，使得等式af(x o) g(2x。

2017-2018学年一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知全集U ＝{－1，2，3，a }，集合M ＝{－1，3}．若∁U M ＝{2，5}，则实数a 的值为 ▲ ． 【答案】5 【解析】试题分析：因为{1,3,2,5}U U M C M ==- ,所以 5.a = 考点：集合补集2.设复数z 满足z (1＋i)＝2＋4i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数为 ▲ ． 【答案】3－i 【解析】试题分析：因为24(24)(1)(12)(1)3i,12i i i z i i i ++-===+-=++所以复数z 的共轭复数为3－i 考点：复数概念3.甲、乙两位选手参加射击选拔赛，其中连续5轮比赛的成绩（单位：环）如下表：则甲、乙两位选手中成绩最稳定的选手的方差是 ▲ ．【答案】0.02考点：方差4.从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出两个球，则取出的两球中恰有一个红球的概率是 ▲ ． 【答案】35【解析】试题分析：从5个球中随机取出两个球，共有10种基本事件，其中取出的两球中恰有一个红球包含有236⨯=种基本事件，其概率为63.105= 考点：古典概型概率5.执行如图所示的伪代码，输出的结果是 ▲ ．【答案】8 【解析】试题分析：第一次循环：4,4I S ==，第二次循环：6,24I S ==，第三次循环：8,192100I S ==>，输出8.I = 考点：循环结构流程图6.6．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同直线，l ⊥α，m ⊂β．给出下列：①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ； ③m ∥α⇒l ⊥β； ④l ⊥β⇒m ∥α．其中正确的是 ▲ ． (填．写所有正确的．．．．．．序号．．)． 【答案】①④考点：线面关系判定7.设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －2，则86a a ＝ ▲ ． 【答案】4（第5题图）【解析】试题分析：由S n ＝2a n －2，得S n-1＝2a n-1－2，(n 2)≥所以a n ＝2a n －2a n-1 ，a n ＝2a n-1(n 2)≥，数列{a n }为等比数列，公比为2，2862 4.a a == 考点：等比数列定义及性质8.设F 是双曲线的一个焦点，点P 在双曲线上，且线段PF 的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为 ▲ ．【解析】试题分析：不妨设22221,(c,0)x y F a b-=，则点P(c,2b)-±，从而有222222415c b c e a b a-=⇒=⇒= 考点：双曲线离心率9.如图，已知A ，B 分别是函数f (x )ωx (ω＞0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB ＝2π，则该函数的周期是 ▲ ．【答案】4 【解析】试题分析：由题意可设3((,22A B ππωω，又∠AOB ＝2π，所以324222T ππππωωωω⨯⇒=⇒== 考点：三角函数性质10.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x－2，则不等式f (x －1)≤2的解集是 ▲ ． 【答案】 【解析】试题分析：因为当x ≥0时，f (x )＝2x－2，所以当0≤x ≤2时，f (x ) ≤f (2)＝2，而f (x )是定义在R 上的偶函数，所以当－2≤x ≤2时，f (x ) ≤2，因此不等式f (x －1)≤2等价于－2≤x －1≤2，即－1≤x ≤3，解集是 考点：利用函数性质解不等式11.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，2AM MD = ．若AC BM ⋅＝－3，则AB AD ⋅＝ ▲ ．【答案】32【解析】试题分析：因为122()()23233AC BM AD AB AB AD AB AD ⋅=+⋅-+=--⋅=-，所以3.2AB AD ⋅=考点：向量数量积12.在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a )2＋(y ＋a －3)2＝1(a ＞0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为 ▲ ． 【答案】3考点：两圆位置关系（第11题图）13.设函数f (x )＝1,1,x x x a e x x a-⎧≥⎪⎨⎪--<⎩，g (x )＝f (x )－b ．若存在实数b ，使得函数g (x )恰有3个零点，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 【答案】(－1－21e ，2) 【解析】 试题分析：令1x x y e -=，则2x x y e-'=，所以当2x ≤时，211(,]x x y e e -=∈-∞，当2x ≥时，211(0,]x x y e e -=∈ 因此要使函数g (x )恰有3个零点，须2a <且211a e --<，即实数a 的取值范围为(－1－21e ，2)考点：利用导数研究函数零点14.若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2＝1，则222522x yx xy y --+的最大值为 ▲ ．【解析】试题分析：由题意得(2)()1x y x y -+=，令12,x y t x y t -=+=，则1112(t ),y (t ),33x t t=+=-+因此2222212||52222t x y m m t x xy y m m t t--==≤≤-++++，其中1=m t t-，当且仅当|m 222522x yx xy y --+考点：基本不等式求最值二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(本小题满分14分)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．若向量m ＝(a ，cos A )，向量n ＝(cos C ，c )，且m ²n ＝3b cos B ． （1）求cos B 的值；（2）若a ，b ，c 成等比数列，求11tan tanCA +的值．【答案】（1）13（2【解析】试题分析：（1）先由向量数量积得a cos C ＋c cos A ＝3b cos B ，再由正弦定理将边化角，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝3sin B cos B ，即得cos B ＝13．（2）由等比数列性质得b 2＝ac ，再由正弦定理将边化角，得sin 2B ＝sin A ²sinC ．利用同角三角函数关系、两角和正弦公式化11tan tanCA +得11tan tanC A +1sin B== 试题解析：解：（1）因为m ²n ＝3b cos B ，所以a cos C ＋c cos A ＝3b cos B ． 由正弦定理，得sin A cos C＋sin C cos A＝3sin B cos B ，²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²3分所以sin(A ＋C )＝3sin B cos B ，所以sin B ＝3sin B cos B ． 因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B ＝13．²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²7分（2）因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac ． 由正弦定理，得sin 2B＝sin A ²sin C ． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²9分因为cos B ＝13，B 是△ABC 的内角，所以sin B ＝3．²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²11分又11cos cos cos sin cos sin sin()tan tanC sin sin sin sin sin sin A C A C C A C A A A C A C A C +++=+==2sin sin 1sin sin sin sin B B A C B B ====²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²14分考点：向量数量积、正弦定理、同角三角函数关系16.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱BC 上一点．（1）若AB ＝AC ，D 为棱BC 的中点，求证：平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1； （2）若A 1B ∥平面ADC 1，求BDDC的值．【答案】（1）详见解析（2）1 【解析】试题分析：（1）证明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，一般需多次利用线面垂直判定与性质定理（2）已知线面平行，一般利用线面平行性质定理，将其转化为线线平行：连结A 1C ，交AC 1于O ，则可得A 1B ∥OD ．再结合平面几何性质确定线段比值.试题解析：证明：（1）因为AB ＝AC ，点D 为BC 中点，所以AD ⊥BC ． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²2分因为ABC －A 1B 1C 1 是直三棱柱，所以BB 1⊥平面ABC ． 因为AD ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AD ． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²4分 因为BC ∩BB 1＝B ，BC ⊂平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B 1， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1． 因为AD ⊂平面ADC 1，所以平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²6分(2)连结A 1C ，交AC 1于O ，连结OD ，所以O 为AC 1中（第16题图）ABCDA 1B 1C 1点． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²8分因为A 1B ∥平面ADC 1，A 1B ⊂平面A 1BC ，平面ADC 1∩平面A 1BC ＝OD ， 所以A 1B ∥OD ． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²12分因为O 为AC 1中点，所以D 为BC 中点， 所以BDDC＝1． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²14分考点：面面垂直判定定理，线面平行性质定理 17.(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b += (a ＞b ＞0)点(2，1)在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝2相切，与椭圆C 相交于P ，Q 两点．①若直线l 过椭圆C 的右焦点F ，求△OPQ 的面积； ②求证： OP ⊥OQ ．【答案】（1）22163x y +=（2（第17题图）【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般利用待定系数法，即列出两个独立条件，解方程组即可：由2c a =，22411a b+=，解得a 2＝6，b 2＝3．（2）①直线过一定点，又与圆相切，因此可先利用直线与圆位置关系确定直线方程yx．再根据弦长公式求底长PQ＝②研究直线与椭圆位置关系，一般联立方程组，利用韦达定理求解：因为OP OQ ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2而直线PQ 方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2) x 2＋4kmx ＋2m2－6＝0.则有x 1＋x 2＝－2412kmk +，x 1x 2＝222612m k -+=m 2＝2k 2＋2．代入化简得OP OQ ⋅＝由方程组22163y y x x ⎧+=⎪⎨⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩所以PQ＝． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²6分因为O 到直线PQO PQ． 因为椭圆的对称性，当切线方程为y(x时，△O PQ综上所述，△O PQ的面积为． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²8分②解法二 消去y 得5x 2－＋6＝0．设P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2．由椭圆定义可得，PQ ＝PF ＋FQ ＝2a －e( x 1＋x 2)＝2³－³＝．²²²²²²²²²²²²²²²6分② (i)若直线PQ 的斜率不存在，则直线PQ 的方程为x x当x P ，Q ．因为OP OQ ⋅＝0，所以OP ⊥OQ ．当x ＝－时，同理可得OP ⊥OQ ． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²10分(ii) 若直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋m ，即kx －y ＋m ＝0．=m 2＝2k 2＋2．将直线PQ 方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2) x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. 设P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－2412km k +，x 1x 2＝222612m k -+．²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²12分因为OP OQ ⋅ ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m2＝(1＋k 2)³222612m k -+＋km ³(－2412km k +)＋m 2．将m 2＝2k 2＋2代入上式可得OP OQ ⋅ ＝0，所以OP ⊥OQ ．综上所述，OP ⊥OQ ． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²14分考点：椭圆标准方程，直线与圆相切，直线与椭圆位置关系18.(本小题满分16分)如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝5千米，BC＝8千米，CD＝3千米．现甲、乙两管理员同时从A地出发匀速前往D地，甲的路线是AD，速度为6千米/小时，乙的路线是ABCD，速度为v千米/小时．（1）若甲、乙两管理员到达D的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v的取值范围；（2）已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到达D，且乙从A到D的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v的取值范围．【答案】（1）646497v≤≤（2）8＜v≤394．【解析】试题分析：（1）由路程、速度、时间关系可得关系式：12161||64v-≤，解简单含绝对值不等式即可，注意单位统一（2）首先乙先到达D地，故16v＜2，即v＞8．然后乙从A到D的过程中与甲最大距离不超过5千米：分三段讨论①当0＜vt≤5，由余弦定理得甲乙距离(6t)2＋(vt)2－2³6t³vt³cos∠DAB≤25，②当5＜vt≤13，构造直角三角形得甲乙距离(vt－1－6t)2＋9≤25，②当5＜vt≤13，由直角三角形得甲乙距离(12－6t)2＋(16－vt)2≤25，三种情况的交集得8＜v≤394．试题解析：解：(1)由题意，可得AD＝12千米．（第18题图）C BD所以(v2－48vv＋36)³(5v)2≤25，解得v≥154．²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²9分②当5＜vt≤13，即5v＜t≤13v时，f(t)＝(vt－1－6t)2＋9＝(v－6) 2 (t－16v-)2＋9．因为v＞8，所以16v-＜5v，(v－6) 2＞0，所以当t＝13v时，f(t)取最大值，所以(v－6) 2(13v－16v-)2＋9≤25，解得39 8≤v≤394．²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²13分③当13≤vt≤16，13v≤t≤16v时，f(t)＝(12－6t)2＋(16－vt)2，因为12－6t＞0，16－vt＞0，所以当f(t)在(13v，16v)递减，所以当t＝13v时，f(t)取最大值，(12－6³13v)2＋(16－v³13v)2≤25，解得398≤v≤394．因为v＞8，所以 8＜v≤394．²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²16分考点：实际应用题，分段函数求函数最值19.(本小题满分16分)设函数f(x)＝－x3＋mx2－m(m＞0)．（1）当m＝1时，求函数f(x)的单调减区间；（2）设g(x)＝|f(x)|，求函数g(x)在区间上的最大值；（3）若存在t≤0，使得函数f(x)图象上有且仅有两个不同的点，且函数f(x)的图象在这两点处的两条切线都经过点(2，t)，试求m的取值范围．【答案】（1）(－∞，0)和(23，＋∞)（2）y max＝3,0427m m mm m≥<<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩－，（3）(0，83]∪∪∪≥(52，即得函数f(x)＝试题解析：解：函数定义域为，且f(x)≥0．由柯西不等式得≥(5²＋2，²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²5分即27³4≥(52，所以x＝10027时，取等号．所以，函数f(x)＝²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²10分考点：利用柯西不等式求最值【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X为所组成的三位数各位数字之和．（1）求X是奇数的概率；（2）求X 的概率分布列及数学期望． 【答案】（1）712（2）254【解析】试题分析：（1）因为X 是奇数，所以三个数字必是一奇二偶：按是否取0讨论，有11232223(2)28C C A A ⨯+=而能组成的三位数的个数是223424248C A A ⨯+=，因此所求概率为P (A )＝287=4812．（2）先确定随机变量取法3，4，5，6，7，8，9．再分别求对应概率，最后利用公式求数学期望，注意按是否取0讨论 试题解析：解：（1）记“X 是奇数”为事件A ，能组成的三位数的个数是48． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²2分X 是奇数的个数有28，所以P (A )＝287=4812． 答：X 是奇数的概率为712． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²4分（2） X 的可能取值为3，4，5，6，7，8，9．当 X ＝3时，组成的三位数只能是由0，1，2三个数字组成，所以P (X ＝3)＝41=4812； 当 X ＝4时，组成的三位数只能是由0，1，3三个数字组成，所以P (X ＝4)＝41=4812；当 X ＝5时，组成的三位数只能是由0，1，4或0，2，3三个数字组成，所以P (X ＝5)＝81=486当 X ＝6时，组成的三位数只能是由0，2，4或1，2，3三个数字组成，所以P (X ＝6)＝105=4824； 当 X ＝7时，组成的三位数只能是由0，3，4或1，2，4三个数字组成，所以P (X ＝7)＝105=4824； 当 X ＝8时，组成的三位数只能是由1，3，4三个数字组成，所以P (X ＝8)＝61=488；当 X ＝9时，组成的三位数只能是由2，3，4三个数字组成，所以P (X ＝9)＝61=488； ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²8分所以X 的概率分布列为：E (X )＝3³112＋4³112＋5³16＋6³524＋7³524＋8³18＋9³18＝254．²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²10分 考点：概率分布，数学期望 23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，点P (x 0，y 0)在曲线y ＝x 2(x ＞0)上．已知A (0，－1)，00(x ,y )n nn P ，n ∈N *．记直线AP n 的斜率为k n ．（1）若k 1＝2，求P 1的坐标； （2）若k 1为偶数，求证：k n 为偶数． 【答案】（1）(1，1)（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）由两点间斜率公式得20000112y x x x ++==，解方程得P 1的坐标（2）先求出k n ＝2000000111n nnn n ny x x x x x ++==+ ，再利用k 1为偶数表示x 0，设k 1＝2p (p ∈N *)，则x 0＝p k n 为偶数 试题解析：解：（1）因为k 1＝2，所以20000112y x x x ++==，①当n ＝2m (m ∈N *)时， k n ＝22220(p 1)mk n k k nk C p -=-∑，所以 k n 为偶数． ②当n ＝2m ＋1(m ∈N )时，k n ＝22220(p 1)mk n k k nk C p -=-∑，所以 k n 为偶数． 综上， k n 为偶数． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²10分 考点：二项式展开定理应用。