第三章磁场
第1 节磁现象和磁场
、磁现象磁性：能吸引铁质物体的性质叫磁性。
磁体：具有磁性的物体叫磁体磁极：磁体中磁性最强的区域叫磁极。
、磁极间的相互作用规律：同名磁极相互排斥，异名磁极相互吸引. （与电荷类比）
三、磁场 1.磁体的周围有磁场
2.奥斯特实验的启示：——电流能够产生磁场，运动电荷周围空间有磁场
导线南北放置
3.安培的研究：磁体能产生磁场，磁场对磁体有力的作用；电流能产生磁场，那么磁场对电流也
应该有力的作用
性质：①磁场对处于场中的磁体有力的作用。
②磁场对处于场中的电流有力的作用。
第2 节磁感应强度
F 跟电流I 和导线长度L 的乘积IL 、定义：当通电导线与磁场方向垂直时，通电导线所受的安培力
的比值叫做磁感应强度．
对磁感应强度的理解
1．描述磁场的强弱
2．公式B＝F/IL 是磁感应强度的定义式，是用比值定义的，磁感应强度B的大小只决定于
磁场本身的性质，与F、I、L 均无关．
3．单位：特，符号T 1T=1N/AM
4.定义式B＝FIL 成立的条件是：通电导线必须垂直
于磁场方向放置．因为磁场中某点通电导线受力的大小，除
了与磁场强弱有关外，还与导线的方向有关．导线放入磁场
中的方向不同，所受磁场力也不相同．通电导线受力为零的
地方，磁感应强度B 的大小不一定为零，这可能是电流方
向与B 的方向在一条直线上的原因造成的．
5．磁感应强度的定义式也适用于非匀强磁场，这时L
应很短，IL 称作“电流元”，相当于静电场中的试探电
荷．
6．通电导线受力的方向不是磁场磁感应强度的方
向．
7. 磁感应强度与电场强度的区别磁感应强度B 是描述
磁场的性质的物理量，电场强度E 是描述电场的性质的物
理量，它们都是矢量，现把它们的区别列表如下：
磁感应强度是矢量，其方向为该处的磁场方向遵循平行四边形定则。如果空间同时存在两个或两个以上的磁场时，某点的磁感应强度B 是各磁感应强度的矢量和．
二、匀强磁场： 如果磁场的某一区域里，磁感应强度的大小和方向处处相同，这个区域的磁场叫做匀强磁场．在 匀强磁场中，在通电直导线与磁场方向垂直的情况下，导线所受的安培力
F ＝ BIL.
1）．公式 F ＝BLI 中 L 指的是“有效长度”．当 B 与 I 垂直时， F 最大， F ＝BLI ；当 B 与I 平行时， F ＝0.
2）．弯曲导线的有效长度 L ，等于连接两端点直线的长度，如图 3－3－4；相应的电流沿 L 由始
三、磁通量： 匀强磁场中，一个磁场方向垂直的平面，面积为 通量，简称磁通 BS 单位：韦伯 1Wb=1TM2
第 3 节 几种常见的磁场
、磁场的方向 物理学规定： 在磁场中的任一点，小磁针北极受力的方向，亦即小磁针静止时北极所指的方向，就 是该点的磁场方向。
二、磁感线 ——在磁场中假想出的一系列曲线 ①磁感线上任意点的切线方向与该点的磁场方向一致； （小磁针静止时 N
极所指的方向） ②磁感线的疏密程度表示磁场的强弱。 三、常见磁场的磁感线
1. 永久性磁体的磁场：条形，蹄形
2. 直线电流的磁场剖面图（注意“ . ”和“×”的意思）箭头从纸里到纸外看 到的是点，从纸外到纸里看到的是叉
（右手螺旋定则 ：用右手握住导线，大拇指所指的方向与电流方向一致，弯曲的四 指所指的方向就是磁感线的方向）
3. 环形电流的磁场（ 安培定则 ：让右手弯曲的四指和环形电流的方向一致， 伸直的大拇指所
指的方向就是环形导线中心轴线上磁感线的方向。 ） 螺线管电流的磁场（安培定则：用右手握住螺旋管，让弯曲的四指所指的方向跟 电流方向一致，大拇指所指的方向就是螺旋管内部磁感线的方向。 ） 常见的图示：
磁感线的特点：
1、磁感线的疏密表示磁场的强弱 2 、磁感线上的切线方向为该点的磁场方向 3、在磁体外部，磁感线从 N 极指向 S 极；在磁体内部，磁感线从 S 极指向 N 极
4、磁感线是闭合的曲线（与电场线不同）
5、任意两条磁感线一定不相交
6、常见磁感线是立体空间分布的 7 、磁场在客观存在的， 磁感线是人为画出的， 实际不存在
四、安培分子电流假说
F = ILB
S ，B 与 S 的乘积叫做穿过这个面的磁
端流向末端．
1. 当电流与磁场方向垂直时，
2. 当电流与磁场方向夹θ角时， F = ILBsin θ
1. 分子电流假说任何物质的分子中都存在环形电流——分子电流，分子电流使每个分子都成为一个微小的磁体。
2.安培分子环流假说对一些磁现象的解释：未被磁化的铁棒：内部分子电流的取向是杂乱无章的，磁场相互抵消磁化后的铁棒：各分子电流取向变的大致相同永磁体之所以具有磁性，是因为它内部的环形分子电流本来就排列整齐. 永磁体受到高温或猛烈的敲击会失去磁性，这是因为在激烈的热运动或机械振动的影响下，分子电流的取向又变得杂乱无章了。
2. 磁现象的电本质：内部分子电流的取向变的大致相同。
第4 节通电导线在磁场中受到的力
一、安培力的方向
安培力——磁场对电流的作用力称为安培力。
左手定则：——伸开左手，使拇指与四指在同一个平面内并跟四指垂直，让磁感线垂直穿入手心，使四指指向电流的方向，这时拇指所指的就是通电导体所受安培力的方向。
二、安培力方向的判断1．安培力的方向总是垂直于磁场方向和电流方向所决定的平面，在判断安培力方向时首先确定磁场和电流所确定的平面，从而判断出安培力的方向在哪一条直线上，然后再根据左手定则判断出安培力的具体方向．2．已知I 、B的方向，可唯一确定F 的方向；已知F、B的方向，且导线的位置确定时，可唯一确定I 的方向；已知F、I 的方向时，磁感应强度B 的方向不能唯一确定．
3．由于B、I 、F的方向关系在三维立体空间中，所以解决该类问题时，应具有较好的空间想像力．如果是在立体图中，还要善于把立体图转换成平面图．
三、安培力的大小
实验表明：把一段通电直导线放在磁场里，当导线方向与磁场方向垂直时，导线所受到的安培力最大；当导线方向与磁场方向一致时，导线所受到的安培力等于零；当导线方向与磁场方向斜交时，所受到的安培力介于最大值和零之间．导线受到的安培力F＝BIL. 1）公式F＝BIL中L指的是“有效长度”．当B与I 垂直时，F最大，F＝BIL；当B与I 平行时，F＝
0. 2）弯曲导线的有效长度L，等于连接两端点直线的长度，
1.当电流与磁场方向垂直时，F = ILB
2. 当电流与磁场方向夹θ角时，F = ILBsin θ
第 5 、6 节 运动电荷在磁场中受到的力和带电粒子匀强磁场中的运动
磁场对运动电荷有力的作用 ——这个力叫洛仑兹力。
磁场对电流有安培力的作用 ，而电流是由电荷定向运动形成的。所以磁场对电流的安培力可能是磁场 对运动电荷的作用力的宏观表现 。即：
1. 安培力是洛伦兹力的 宏观表现．
2. 洛伦兹力是安培力的 微观本质。
一、洛伦兹力的方向 洛伦兹力的方向符合左手定则：——伸开左手，使大拇指跟其余四指垂直，且处于同一平面内， 把手放入磁场中，磁感线垂直穿过手心，四指指向正电荷运动的方向，那么，拇指所指的方向就是正 电荷所受洛伦兹力的方向． 若是负电荷运动的方向，那么四指应指向其反方向 。 关于洛仑兹力的说明：
1. 洛仑兹力的方向垂直于 v 和 B 组成的平面。 洛仑兹力永远与速度方向垂直。
2. 洛仑兹力对电荷不做功
3. 洛仑兹力只改变速度的方向，不改变速度的大小。
——洛仑兹力对电荷只起向心力的作用，故只在洛仑兹力的作用下，电荷将作匀速圆周运动。
（ V ⊥B ）
V ∥B 匀速直线
任意角 ：螺旋运动
、洛伦兹力的大小
1. 安培力是洛伦兹力的宏观表现；
2. 洛伦兹力是安培力的微观本质
带电粒子在磁场中运动问题专题
一、基本公式 带电粒子在匀强磁场中仅受洛伦兹力而做匀速圆周运动时，洛伦兹力充当向心力，原始方程： mv 2 qvB mv ，推导出的半径公式和周期公式： r mv ,T 2 m 或 T r Bq Bq
二、基本方法 解决带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的问题，物理情景非常
简单，难点在准确描绘出带电粒子的运动轨 迹。可以说画好了图就是成功的 90%。因此基本方法是作图，而作图的关键是找轨迹圆的圆心、轨迹圆的半径、充
分利用直线与圆、圆与圆相交（相切）图形的对称性。作图时先画圆心、半径，后画轨迹圆弧。 上，根据几何关系列方程求解。
例 1．如图，直线 MN 上方有磁感应强度为 B 的匀强磁场。正、负电子同时从同一
点 O 以与 MN 成 30o 角的同样速度 v 射入磁场（电子质量为 m ，电荷为 e ），它们从磁场 中射出时相距多远？射出的时间差是多少？（不考虑正、负电子间的相互作用）
2r 。
v 2m
在准确作图的基础
分析：正、负电子的轨道半径和周期相同，只是偏转方向相反。先分析正电子：由左手定则知它的轨迹顺时针，半径与速度垂直，与 MN成60o，圆心一定在这条半径上；经过一段劣弧从磁场射出，由对称性，射出时速度方向也与 MN成30o角，因此对应的半径也与 MN成60o，由这两个半径方向就可以确定圆心 O1 的位置；射入、射出点和圆心 O1 恰好组成正三角形。再分析电子：由对称性，电子初速度对应的半径方向与正电子恰好反向，它的射入、射出点和圆心 O2 组成与Δ O1ON全等的正三角形Δ
O2OM，画出这个三角形，最后画出电子的轨迹圆弧。由几何关系不难得出：两个射出点相距2r，经历时间相差2T/3 。
三、带电粒子射入条形匀强磁场区
⑴质量m，电荷量q 的带正电粒子，以垂直于边界的速度射入磁感应强度为B，宽度为L 的匀强磁场区。讨论各种可能的情况。
①速率足够大的能够穿越该磁场区(临界速度对应的半径为L)。需画的辅助线如图中虚线MN、O′M所示。轨迹半径R mv，偏转角由sin L解得；侧Bq R 移y 用勾股定理R2=L2+( R-y) 2解出；经历时间由t= θm/ Bq计算。
②速率v 较小的未能穿越磁场区，而是从入射边射出。根据对称性，粒子在磁场中的轨迹一定是半圆，如图中虚线所
示，该半径的最大值为磁场宽度L 。无论半径多大，只要从入射边射出，粒子在磁场中经历的
时间都一定相同，均为T/2 。
⑵质量m，电荷量q 的带正电粒子，以与边界夹角为θ的速度射入磁感应强度为B，宽
度为L 的匀强磁场区。为使粒子不能穿越该磁场区，求速度的取值范围。
画出与初速度对应的半径方向，该射线上有且仅有一个点O′到O 和磁
场上边界等距离，O′就是该临界圆弧的圆心，R满足R(1+cos θ )= L。与R对应的速度就
是临界速度，速度比它小的都不能穿越该磁场。轨迹对应的圆心角均为2( π- θ) ，在磁场中经
历的时间均为t=2(π-θ)m/ Bq。
⑶质量m，电荷量q 的带正电粒子，以与边界成任意角度的相同速率射入磁感应强度为
B，宽度为L 的匀强磁场区。为使所有粒子都不能穿越该磁场，求粒子的最大速度。
速率相同的条件下，最容易穿越磁场的是沿磁场下边界向左射入的粒子，如果它对应的
半径r=L/2
对应的轨迹圆弧如图中实线所示)将恰好到达磁场上边界，那么沿其他方向射入磁场的粒子必
然不
能穿越该磁场。如果以垂直于下边界的速度射入的粒子恰好到达磁场上边界，对应的半径
r′ =L(其轨迹圆弧如图中虚线所示) ，那么入射方向比它偏左的粒子将穿越磁场。
四、带电粒子射入圆形匀强磁场区
⑴质量 m，电荷量 q的带正电粒子，沿半径方向射入磁感应强度为B半径为 r 的圆形
匀强磁场区。
磁场区边界和粒子轨迹都是圆，由两圆相交图形的对称性知：沿半径方向射入的粒子，必然沿
半径延长线方向射出。需画的辅助线有轨道半径、与射入、射出点对应的磁场圆半径，两轨道半径的
交点就是轨道圆的圆心O′，画出两圆的连心线OO′。偏角θ
可由tan r求出。粒子在磁场中经历时间由t= θm/ Bq计算。
2R
圆形匀强磁场区，已知mv r ，为使粒子在磁场中经历的时间最长，入射点qB
离应是多少？
⑵质量 m，电荷量 q 的带正电粒子，以速度v 沿与磁场的水平直径 MN平行的方向射入磁感应强度为
O
N
B
O
O
′
B 半径为 r 的
设粒子在磁场中轨迹弧长为 l ，粒子运动经历的时间 t=θm /Bq ∝θ，θ=l /R ∝l ，由于轨道半径 R 大于磁场半径 r ， 粒子在磁场中的轨迹是劣弧，在同圆中，劣弧越长对应的公共弦也越长。因此射入、射出点的连线应是磁场圆的直 径。做出辅助线如图，
sin sin
r
，P 到 MN 的距离 h=r sin α可求。
2R
⑶一束水平向右发射的平行带正电粒子束射向圆形匀强磁场区， 若粒子在磁场中的轨道半径恰好等于磁场圆的半径， 试证明所有进入磁场的粒子将从同一点射出圆形磁场区，并确定该点的位置。
证明：以任意一个入射点 P 1 为例，设轨道圆圆心为 O 1，射出点为 Q 1，磁场圆和 轨道圆的半径均为 r ，由已知， O 1P 1=O 1Q 1=OP 1=OQ 1=r ，由几何知识，四边形 O 1P 1OQ 1 为 菱形。 P 1O 1 是洛伦兹力方向，跟初速度方向垂直，菱形的对边平行，因此 OQ 1也跟初
速度方向垂直， Q 1 是圆周的最高点。
反之也可以证明：只要粒子在磁场中的轨道半径恰好等于磁场圆的半径，那么从磁场圆周上同一点沿各个方向 射入圆形磁场的粒子，射出后一定形成宽度为磁场圆直径的平行粒子束。
五、带电粒子以同样的水平分速度射入匀强磁场区
如图所示， 平行板 P 、Q 关于 x 轴对称放置， 两板间接有正弦交变电压， y 轴右侧有方向垂直于纸面向里的匀强磁场。从 P 、Q 左侧中点 S 向右连接
发射初速度相同的带正电粒子。不考虑粒子间相互作用，每个粒子穿越极 板过程时间
极短，可认为电压恒定。试证明：所有粒子从 y 轴进入、穿3 4 5
出
磁场的两点间距离相等。
证明：设粒子射入磁场的速度为 v ，与水平方向夹角为 θ，无论两板间电 压多大，都有 v 0=v cos θ，射入、穿出点间距离
d 2
mv cos
2mv
0 与偏转电压高低无关。
Bq Bq
六、练习题
1．空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，
图中的正方形为其边界。 一细束 由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁
场的方向从 O 点入射。这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速 率的粒子。不计重力。下列说法正确的是
A ．入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同 O
B ．入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹可能不同
C ．在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同
D ．在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越大
3 一匀强磁场，磁场方向垂直于 xy 平面，在 xy 平面上，磁场分布在以 O 为 中心的一 4
个圆形区域内。 一个质量为 m 、电荷为 q 的带电粒子， 由原点 O 开始运动，
初速为 v ，方向沿 x 正方向。后来，粒子经过 y 轴上的 P 点，此时速度方向与 y 轴的夹角为 30o ，P 到 O 的距离为 L ，如图所示。不计重力的影响。求磁场的 磁感强度 B 的大小和 xy 平面上磁场区域的半径 R 。
v
r
v
B
2．一个质量为 m，电荷量为 q的带电粒子从 x轴上的 P（a，0）点以速度 v，沿与 x 正方向成60o的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于 y 轴射出第一象限。求磁感应强度 B 和射出点 S 的坐标。
6．⑴ v 3BqR1（提示：轨迹如下左图。轨道半径r 3R1）m
⑵R2=（2+ 3 ）R1，T= 11 m
3Bq 时间是一又六分之五周期。）提示：如下左图
4．如图所示，半径为 R的圆形区域内存在着磁感应强度为 B 的匀强磁场，方向垂直于纸面向里，一带负电的粒子（不计重力）沿水平方向以速度 v 正对着磁场圆的圆心 O 入射，通过磁场区域后速度方向偏转了60o角。求：⑴该粒子的比荷q/ m；⑵该粒子在磁场中的运动时间；⑶若入射方向仍然沿水平方向，为使粒子通过该磁场区域后速度方向的偏转角最大，粒子的入射点向上平移的距离 d 是多少？
5．如图所示，在 x-O-y 坐标系中，以（ r ，0）为圆心、 r 为半径的圆形区域内存在匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向里。在 y > r 的足够大的区域内，存在沿 y 轴负方向的匀强电场，场强大小为E。从O点以相同速率向不同方向发射质子，质子的运动轨迹均在纸面内，且质子在磁场中运动的轨迹半径也为r 。已知质子的电荷量为 q，质量为 m，不计质子所受重力及质子间相互作用力的影响。⑴求质子射入磁场时速度的大小；⑵若质子沿 x 轴正方向射入磁场，求质子从 O 点进入磁场到第二次离开磁场经历的时间；⑶若质子沿与 x 轴正方向成夹角θ 的方向从 O点射入第一象限的磁场中，求质子在磁场中运动的总时间。
6．如图所示，平面上有半径分别为R1、R2 的两个同心圆，圆心为 O。小圆内和
两圆之间均有垂直于该平面的匀强磁场，两部分磁场的磁感应强度都为B，
方向如图。小圆边界上的 A 点有一个电荷量为+q，质量为 m的带电粒子，沿 OA
延长线方向射出。粒子只受磁场力作用。⑴若R2 足够大，粒子运动过程
第二次进入小圆的位置恰好是 A 点，求该带点粒子的速率 v；⑵上一问中的 R2至少是
R1 的多少倍？粒子从 A点射出到回到 A点经历的时间 t 是多少？⑶ 为使粒子在磁场
中运动过程中，粒子所处位置与圆心 O连线顺时针旋转一周时恰好能回到 A，求该
带点粒子速率的所有可能值。
练习题答案
1．D 2 ．B3mv，（0，3a）3 ． B 3mv，R3L
2aq qL 3
4．⑴ q 3v⑵t 3πR⑶d3 R
m 3BR 3v 3
5．⑴v qBr⑵t t1t2= m+2Br⑶t 总=T m（示意图如右。无论θ取何值，
m 1 2qB E 2 qB
从磁场边缘 A射出时必然沿 y轴正向，在电场中往返后，又从 A沿 y轴负向返回磁场，从
C射出。从几何关系可以判定，图中 O2OO1A 和 O3CO1A都是边长为 r 的菱形，因此 OA
弧和 OC弧对应的圆心角∠ O2 和∠ O3之和为180o，质子在磁场中经历的总时间是半周
期。）
R2=(2+ 3) R1，总v
⑶
v=
BqR 1tan （ n=3，4，5??）（提示：只要小圆圆周被 n 等分，就能回到 A点。如右下图所示，2，mn 2n n 对应的轨道半径r R1 tan ）n
带电粒子在复合场中的运动练习题
1.如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，S1、S2 为板上正对的小孔，N板右侧有两个宽度均为d 的
匀强磁场区域，磁感应强度大小均为B，方向分别垂直于纸面向外和向里，磁场区域右侧有一个荧光屏，取屏上与
S1、S2共线的O点为原点，向上为正方向建立 x 轴．M板左侧电子枪发射出的热电子经小孔S1进入两板间，电子的质
量为m，电荷量为e，初速度可以忽略．
（1）当两板间电势差为U0时，求从小孔S2 射出的电子的速度 v0
（2）求两金属板间电势差U在什么范围内，电子不能穿过磁场区域而打到荧光屏上．
（3）若电子能够穿过磁场区域而打到荧光屏上，试在答题卡的图上定性地画出电子运动的轨迹．
（4）求电子打到荧光屏上的位置坐标 x 和金属板间电势差U的函数关系．
2.）如图所示，在 y< 0 的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy 平面并指向纸里，磁感应强度为 B. 一带负电的
粒子（质量为 m、电荷量为 q）以速度 v0从 O点射入磁场，入射方向在 xy 平面内，与 x 轴正向的夹角为θ.求：
（1）该粒子射出磁场的位置；
（2）该粒子在磁场中运动的时间.（粒子所受重力不计）
3.如图所示， abcd 是一个正方形的盒子，在 cd 边的中点有一小孔 e，盒子中存在着沿 ad 方向的匀强电场，场强大小为 E. 一粒子源不断地从 a 处的小孔沿 ab 方向向盒内发射相同的带电粒子，粒子的初速度为 v0，经电场作用后恰好从 e 处的小孔射出，现撤去电场，在盒子中加一方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为 B（图中未画出），粒子仍恰好从 e 孔射出. （带电粒子的重力和粒子之间的相互作用力均可忽略）
（1 ）判断所加的磁场方向.
（2）求分别加电场和磁场时，粒子从 e 孔射出时的速率.
（3）求电场强度 E与磁感应强度 B的比值.
4.如图所示，一宽度D=8cm 的横向有界区域内，同时存在着相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁
场方向垂直纸面向外，一束带电粒子（不计重力）以速度v0 垂直射入时恰好不改变运
动方向。若粒子射入时只有电场，可测得粒子穿过电场时沿竖直方向向上偏移 则离开磁场时偏离原方向的距离为多大？
5. 汤姆生在测定阴极射线的荷质比时采用的方法是利用电场、 磁场偏转法， 即通过测出阴极射线在给定匀强电场和 匀强磁场中穿
过一定距离时的速度偏转角来达到测定其荷质比的目的。利用这种方法也可以测定其它未知粒子的荷 质比，反过来，知道了某种粒子的荷质比，也可以利用该方法了解电场或者磁场的情况。 假设已知某种带正电粒子（不计重力）的荷质比（
q ／m ）为 k ，匀强电场的电场强度为
E ，方向竖直向下。先让粒
子沿垂直于电场的方向射入电场，测出它穿过水平距离 L 后的速度偏转角 （ 很小，可认为 ≈ tan ）（见图 甲）；接着用匀强磁场代替电场，让粒子以同样的初速度沿垂直于磁场的方向射入磁场，测出它通过一段不超过 l ／ 4 圆周长的弧长 S 后的速度偏转角 （见图乙）。试求出以 k 、E 、 L 、S 、 和 所表示的测定磁感应强度 B 的关系式。
6.
如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强 度的大小 B=0.60T ，磁场内有一块平面感光板 ab ，板面与磁场方向平行，
a
在距 ab 的距离 l 16cm 处，有一个点状的
放射源 S ，它向各个方向发
b
射 粒子， 粒子的速度都是 v 3.0 106 m/s ，已知 粒子的电荷
l
与质量之比 q 5.0 107C / kg ，现只 m
考虑在图纸平面中运动的 粒子，求
S
ab 上被 粒子打中的区域的长度。
y
P 1
7. 如图所示，在 y> 0 的空间中存在匀强电场，场强沿 y 轴负方向；在 y<0 的
空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直 xy 平面（纸面）向外。一电量为 q 、质
量为 m 的带正电的运动粒子，经过 y 轴上 y ＝h 处的点 P 1 时速率为 v 0，方向沿 x 0
x
P
轴正方向；然后，经过 x 轴上 x ＝2h 处的 P 2点进入磁场，并经过 y 轴上 y ＝ 2h 处的 P 3 点。不计重力。求 （ l ）电场强度的大小。
（ 2）粒子到达 P 2时速度的大小和方向。 （3）磁感应强度的大小。 8
h=3.2cm 。若粒子入射时只有磁场，
中，A2A4与 A1A3的夹角为60o。一质量为 m、带电量为+q 的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点
9 图12
A 1处沿与 A 1A 3成 30o 角的方向射入磁场， 随后该粒子以垂直于 A 2A 4 的方向经过圆心 O 进入Ⅱ区， 最后再从 A 4处射出磁 场。已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为 t ，求Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小（忽略粒子重力） 。 1
1. （ 1）根据动能定理， 得 eU 0 1 mv 02 由此 可解得 v 0 2 eU
0 m （ 2）欲使电子不能穿过磁场区域而打到荧光屏上， 应有 r mv d 而 eU 1 mv 2
由此即可解得 U d eB eB 2 2m
（3）电子穿过磁场区域而打到荧光屏上时运动的轨迹如 图所示 4）若电子在磁场区域做圆周运动的轨道半径为 r ， mv 穿过磁场区域打到荧光屏上的位置坐标为 x ，则由（ 3）中的
轨迹图可得 x 2r 2 r 2 d 2 注意到 r eB 和eU 12
mv
2
，所以，电子打到荧光屏上的位置坐标 x 和金属板间
电势差 U 的函数关系为 x 2 （ 2emU 2emU d 2e 2B 2 ） eB 2. （ 1）带负电粒子射入磁场后，由于受到洛伦兹力的 作用，粒子将沿图示的轨迹运动，从 O 、A 间的距离为 L ， 向与 x 轴的夹角仍为 2 v
0 得： qv 0B =m 0 R
A 点射出磁场，设
射出时速度的大小仍为 v ，射出方
θ，由洛伦兹力公式和牛顿定律可 解得： R = mv0
qB 圆轨道的圆心位于 OA 的中垂线上，由几何关系可得：
式中 R 为圆轨道半径， L =R sin 所以粒子离开磁场的位置坐标为 所以粒子在磁场中运动的时间， （- 2 mv 0 sin ， 0） qB t ＝ 2 2
T 2 1 分）
（ 2） 22 d 2eB
2
U ） 2m
θ ② 联解①②两式，得：
因为 T =2 R = 2 m （2 分） 2m （ ） （4 分） qB 1）根据粒子在电场中的偏转方向，可知粒子带正电，根据左手定则判断， 2）设带电粒子的电量为 q ，质量为 m ，盒子的边长为 L L ，在电场中： L =1 Eq t 2
2 2 m v = 17 v 0⑤ （
3 3. 面向外 （
4 分 ） 方向的位移为 L ，沿 ab 方向的位移为 E = 8mv 2
qL
磁场中做匀速圆周运动，轨道半径为 （L －R ） 2+（ L ）2=R 2 ⑨解得轨道半径为 v 0 qB L =
2mv 0 sin
（ 3分）
磁场方向垂直纸 L ，粒子在电场中沿 EqL = 1 2 3） L =v 0t 2 分 ） 在磁场中 v =v 0 ⑥ （3 分） 2 出磁场的
磁感应强度 B =8mv 0 ○11 由④、 ○11得： 5qL
qvB =m v R
R = 5
L ⑩ （2 分）
8 E =5v 0 （ 2 分） B 4. 当粒子沿直线穿过电、磁场区域时，粒子所受的电场力和洛仑兹力大小相等，即 qE qv 0 B v 0 E B 当该区域只有电场时，粒子向上偏，说明粒子带负电，其运动轨迹类似于平抛。
2 分）
2 1 2 mv － mv 0 2 带电粒子在
2 分）根 R =mv 0 ⑧ Bq
15
h 1 qE （ E ）2 （4 分）
2 m v 0
5. 设粒子的初速度为 v ，在电场中粒子做类平抛运动 有 L ＝ vt ① （2分） v y ＝at ② （2分） a ＝qE / m ＝ kE ③ （2分） 解得 v 2 kEL/ ⑤ （2分） 在磁场中粒子做匀速圆周运动 有 qvB mv 2/R
当该区域只有磁场时，粒子做匀速圆周运动，洛仑兹力提供向心力，有： r D
2
0.1 m （2 分）带电粒子进入磁场运动，轨迹如图所示，设所求距离为 r 2 h 0.1 m
22 r D 2 （r h'）2，即 h' r
r 2 D 2 0.04m （3分）
2
mv 0 mv 0
qv 0B 0 , r 0 （ 2 分） r qB
，由几何关系得：
解得：
h' S ＝R ⑦（ 2分）解得 v qBS/m kBS/ ⑧（ 2分） 联立⑤⑧两式解得 EL Sk 2分） 6. 粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动， 2 用 R 表示轨道半径，有 qvB m v ① R
由此得 R v , 代入数值得 R=10cm R
（q / m ）B
可见， 2R>l >R. 因朝不同方向发射的 粒子的圆轨迹都过 S ，由此可知，某一圆轨迹在图中 N 左侧与 ab 相切，则此切点 P 1 就是 粒 子能打中的左侧最远点 . 为定出 P 1点的位置， 可作平行于 ab 的直线 cd ，cd 到 ab 的距离为 R ，以 S 为圆心， R 为半径， 作弧交 cd 于 Q 点，过 Q 作 ab 的垂线，它与 ab 的交点即为 P 1. NP 1 R 2 （l R ） 2 ②再考虑 N 的右侧。任何 粒 子在运动中离 S 的距离不可能超过 2R ，以 2R 为半径、 S 为圆心作圆，交 ab 于 N 右侧的 P 2点，此即右侧能打到的最 远点. 由图中几何关系得 : NP 2 （2R ）2 l 2 ③所求长度为 P 1P 2 NP 1 NP 2 ④ 代入数值得 P 1P 2=20cm ⑤ 7. （1）粒子在电场、磁场中运动的轨迹如图所示。设粒子从 P 1到 P 2的时间为 t ，电 场强度的大小为 E ，粒子在电场中的加速度为 a ，由牛顿第二定律及运动学公式有 1 mv 2 qE ＝ ma, v 0t ＝ 2 h, 1 at 2 h 解得 : E mv 0 2 2qh
（2）粒子到达 P 2时速度沿 x 方向的分量仍为 v 0，以 v 1表示速度沿 y 方向分量的大小， v 表示速度的大小， θ 表示速度和 x 轴的夹角，则有 v 12 2ah ⑤ v v 12 v 02 ⑥ tan v 1 ⑦ ,由②、③、⑤式得 v 1＝v 0 ⑧ 由⑥、⑦、⑧式得 : v 2v 0 ⑨ 45
v 0
⑩ 2
3）设磁场的磁感应强度为
B ，在洛仑兹力作用下粒子做匀速圆周运动，由牛顿第二定律 v
qvB m ⑾ r
r
是圆周的半径。此圆周与 x 轴和 y 轴的交点分别为 P 2、 P 3。因为 OP 2＝ OP 3，θ＝ 45°，由几何关系可知， 连线 P 2P 3为圆轨道的直径， 由此可求得 r ＝ 2h ⑿ 由 ⑨、⑾、⑿可得 : B mv 0 ⒀ qh
25．锤自由下落，碰桩前速度 v 1 向下， v 1 2gh ①碰后，已知锤上升高度为 （h －l ），故刚碰后向上的速度为 : v 2 2g （h l ） ② 设碰后桩的速度为 V ，方向向下，由动量守恒， mv 1 MV mv 2 ③ 桩下降的过程中，根据功能关系， 1 MV 2 Mgl Fl ④ 2 由①、②、③、④式得 : F Mg mg （ m ）［2h l 2 h （h l ）］ ⑤ lM
代入数值，得 : F 2.1 105
N ⑥
8. 设粒子的入射速度为 v ，已知粒子带正电，故它在磁场中先顺时针做圆周运动，再逆时针做圆周运动，最后从 A 4
点射出，用 B 1、B 2、 R 1、 R 2、 T 1、T 2分别表示在磁场Ⅰ区Ⅱ磁感应强度、轨道半径和周期
有
h
D 1
2
12 at 2
，得： v 0
t
qE
m
＝ tan ＝ v y /v ④ ⑥（ 2分）
2分）
知带电粒子过圆心且垂直 A 3A 4进入Ⅱ区磁场，连接 A 1A 2，△ A 1OA 2为等边三角形， A 2为带电粒子在Ⅱ区磁场中运动
轨迹的圆心，其半径
R 1 A 1A 2 OA 2 r 圆心角 A 1A 2O 60 ，带电粒子在Ⅰ区磁场中运动的时间为
专题训练
1、在平面直角坐标系 xOy 中，第Ⅰ象限存在沿 y 轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在 垂直于坐标
平面向外的匀强磁场，磁感应强度为 B 。一质量为 m 、电荷量为 q 的带正电
的粒子从 y 轴正半轴上的 M 点以速度 v 0垂直于 y 轴射入电场，经 x 轴上的 N 点与 x 轴正 方向成 θ＝60°角射入磁场， 最后从 y 轴负半轴上的 P 点垂直于 y 轴射出磁场， 如图所 示。不计粒子重力，求
（ 1）M 、N 两点间的电势差 U MN ； （2）粒子在磁场中运动的轨道半径 r ； （3）粒子从 M 点运动到 P 点的总时间 t 。
2、如图所示 ,直角坐标系在一真空区域里 ,y 轴的左方有一匀强电场 ,场强方向跟 y 轴负方 向成θ=30o 角, y 轴右方有一垂直于坐标系平面的匀强磁场 , 在x 轴上的 A 点有一质子发射
器,它向 x 轴的正方向发射速度大小为 v =2.0 ×106m/s 的质子,质子经磁场在 y 轴的 P 点射 出磁场 ,射出方向恰垂直于电场的方向 , 质子在电场中经过一段时间 , 运动到 x 轴的 Q 点. 已知 A 点与原点 O
的距离为 10cm,Q 点与原点 O 的距离为 （20 3 -10）cm, 质子的比荷为 q 1.0 108
C/kg .求: （1）磁感应强度的大小和方向； m （2）质子在磁场中运动的时间；
（ 3 ）电场强度的大小 .
3、如图所示 , 在 x-o-y 坐标系中 , 以 （r,0） 为圆心、 r 为半径的圆形区域内存在匀强磁场 , 磁场的磁
感应强度大小为 B, 方向垂直于纸面向里 . 在 y>r 的足够大的区域内 , 存在沿 y 轴负方向的匀强电场 , 场强大小为 E. 从 O 点以相同速率向 不同方向发射质子 , 质子的运动轨迹均在纸面内 , 且质子在磁场中运动的轨迹半径也为 r. 已知质子的电荷量为 q, 质
量为 m,不计质子所受重力及质子间相互作用力的影响 . ⑴求质子射入磁场时速度的大小；
⑵若质子沿 x 轴正方向射入磁场 , 求质子从 O 点进入磁场到第二次离开磁场经历的时间；
⑶若质子沿与 x 轴正方向成夹角θ的方向从 O 点射入第一象限的磁场中 , 求质子在磁场中运动的总时间 .
2 v qvB 1 m 1
R 1 2
v
qvB 2 m
2
R 2
2 R 1 2 m T 1
v qB 1
T 2 2 R2 2 m 设圆形区域的半径为 r ，如答图 5所示，已 v qB 2
t
1
T
1
带电粒子在Ⅱ区磁场中运动轨迹的圆心在
1 OA 4 的中点，即 R= 1 r 在Ⅱ区磁场中运动时间为
2 t
2
12
T
2 带电粒子从射入到射出磁场所用的总时间
5M
t t 1 t 2 由以上各式可得
B 1
B 2=
6 qt
5. 如图所示，矩形区域 I 和 II 内分别存在方向垂直于纸面向外和向里的匀强磁场 （AA ′、 BB ′、 CC ′、 DD ′为磁
场
边界， 四者相互平行 ） ，磁感应强度大小均为 B ，矩形区域的长度足够长，两磁场宽度及 BB ′与 CC ′之间的距离均
相同。某种带正电的粒子从 AA ′上 O 1处以大小不同的速度沿与 O 1A 成α=30°角进入磁场 （ 如图所示，不计粒子所受 重力 ） ，当粒子的速度小于某一值时，粒子在区域 I 内 的运动时间均为 t 0，当 速度为 v 0 时，粒子在区域 I 内的运动时间为 t 0/5 。求： 粒子的比荷 q/m
磁场区域 I 和 II 的宽度 d ； 速度为 v 0的粒子从 O l 到 DD ′所用的时间。
6．如图所示，竖直平面 xOy 内存在水平向右的匀强电场，场强大小
E=10N ／c ，在 y ≥ 0 的区域内还存在垂直于坐标
附：答案
1【解析】 带电粒子的运动轨迹如图乙所示．由题意知，带电粒子到达
y 轴时的速度 v ＝ 2v 0，这一过程的时间
(1) (2) (3) 平面向里的匀强磁场， 磁感应强度大小 B=0.5T 一 挂于 P 点小球可视为质点，现将小球拉至水平位置 突然断裂，此后小球又恰好能通过 O 点正下方的 （1） 小球运动到 O 点时的速度大小；
（2） 悬线断裂前瞬间拉力的大小； （3） ON 间的距离
电量 q 0.2C 、质量 m 0.4kg 的小球由长 l
的坐标原点 O
带 A 无初速释放，小球运动到悬点
2
N 点.（g=10m ／ s 2
） ，求： P 正下方 0.4m 的细线悬
时，悬线 7. 已知质量为 m 的带电液滴，以速度 平面内做匀速圆周运动，如图所示，求：
（ 1）液滴在空间受几个力的作用； （ 2）液滴电性及电荷量 （3）液滴做匀速圆周运动的半径多大？
v 射入互相垂直的匀强电场 E 和匀强磁场 B 中，液滴在此空间中刚好能在竖直
3.8 ．解答：解 : （1）设质子在磁场中做圆运动的半径为 r . 过 A 、P 点作速度 v 的垂线 ,交点即为质子在磁场中作圆周运动的圆心 O 1.由几何关系得 α=θ=30o,所以:r =2OA =20cm.
（ 2 分） 设磁感应强度为 2 B ,根据质子的运动方向和左手定则 ,可判断磁感应强度的方向为垂直于纸面向里 . （2分） B
mv 2.0 106
0.1T
（2分）（2）设质子在磁场中运动的时间为 t ,如图所示 ,质子在磁场中
qr 1.0 10 8 0.2
转过的圆周角为 x
v qvB m r
7
, 设质子在磁场中运动的周期为 T T
2m Bq
由几何关系得 :
7
t67 T 2 12 2r vt
1
2
at
qE m
4 10
12
mv
2
t
7 10 7 s （6 分 ） 6
（ 4 分）
E
8
2rq 2 0.2 1.0 10 8
1.0 10 5 N/C （4 分）
（3）如图所示 ,过 Q 点做平行于 P 点速度方向的平行线 , 交 AM 于 N 点, 在三角形 QAN 中, 边长 QA =20 3cm .由几 何关系可知 β=θ=30o,AN =20cm,所以,N 点与 O 1点是重合 的. 质子在平行于电场方向上做匀速直线运动 电场方向做匀加速直线运动 , , 在垂直于 4．解答：⑴质子射入磁场后做匀速圆周运动 了 1 个圆周后 , 以速度υ逆着电场方向进入电场 4 2
,有 q B m
r , 原路径返回后 , 再射入磁场 , 在磁场中运动了 1 个圆周后离开磁场 . 4 得 qBr ⑵质子沿 x 轴正向射入磁场后 , 在磁场中运动 m 在磁场中运动周期 T 2 r 2 m qB 质子在磁场中运动的时间 t 1 T 2 m 进入电场后做匀变速直线运动 , 加速度 qB 2 2Br t 2
大小 a qE 质子在电场中运动的时间 m a E ⑶当质子沿与 x 轴正方向成夹角θ的方向从第一象限射 入磁场时 ,设质子将从 A 点射出磁场 ,如图所示 ,其中 O 1、 O 2分别为磁场区域圆和质子轨迹圆的圆心 . 由于轨迹圆 的半径等于磁场区域圆的半径 , 所以 OO 1AO 2为菱形 , 即 AO 2平行 x 轴, 说明质子以平行 y 轴的速度离开磁场 沿 y 轴负方向的速度再次进入磁场 . ∠ O 2=90°－θ
, 也以 2Br
E 所以,质子第一次在磁场中运动的时间 t 1 90 o
o T
360 o
此后质子轨迹圆的半径依然等于磁场区域圆的半径 , 设质 子将从 C 点再次射出磁场 .如图所示 ,其中 O 1、O 3分别为磁场区域圆和质子轨迹圆的圆心 ,AO 3平行 x 轴.由于 O 1AO 3C 为 菱形,即 CO 1平行 AO 3,即平行 x 轴,说明 C 就是磁场区域圆与 x 轴的交点 .这个结论与θ无关 . 所以,OO 2O 3C 为平行四边形 , ∠O 3=90° 质子第二次在磁场中运动的时间 t 2 90 o T 360 o
质子在磁场中运动的总时间 t ′=t 1′+t 2′=T m 2 qB
5.13 ．解答：解： （1） 若速度小于某一值时粒子不能从 BB ′离开区域 I ，只能从 大小，在区域 I 中运动的时间相同。轨迹如图所示 （ 图中只画了一个粒子的轨迹 圆心角为φ＝ 300 °，由 AA ′边离开区域 I 。则无论粒子速
度 ） 。则粒子在区域 I 内做圆周运动的
得：粒子做圆周运动的周期 由 2。由 解得：
（2） 速度为 v 0时粒子在区域 I 内运动时间为 t 0/5 ，设轨迹所对圆心角为φ 所以其圆心在 BB ′上，穿出 BB ′时速度方向与 BB ′垂直，其轨迹如图所示，设轨道半径为
R ，由
得：
得：
间均为t 0/5 ，穿过中间无磁场区域的时间为(3) 区域I 、II 宽度相同，则粒子在区域
则粒子从O1 到DD′所用的时间
I 、II 中运动时