新课标版数学(理)高三总复习：题组层级快练10

第3讲 数学归纳法1．用数学归纳法证明：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n ＋1)(n ∈N *)，从“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”左端需乘的代数式是( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1)C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋12．用数学归纳法证明：12＋22＋…＋n 2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3，第二步证明由“k 到k ＋1”时，左边应加( )A ．k 2B ．(k ＋1)2C ．k 2＋(k ＋1)2＋k 2D ．(k ＋1)2＋k 23．对一切正整数n ，n 2与2n 的大小关系为 ( )A ．对一切n ∈N *，恒有n 2<2nB ．对一切n ∈N *，恒有n 2≤2nC ．当n ＝1或n ≥5时，n 2<2n ，n ＝2,3,4时，n 2≥2nD ．以上都不对4．f (n )和g (n )都是定义在正整数集上的函数，满足：①f (1)＝g (1)；②对n ∈N *，f (n )－f (n －1)＝g (n )－g (n －1)．那么猜想对n ∈N *时，有( )A ．f (n )>g (n )B ．f (n )<g (n )C ．f (n )＝g (n )D ．f (n )与g (n )大小关系不能确定5．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋25n －1是31的整数倍时，当n ＝1时，上式等于( )A ．1＋2B ．1＋2＋22C ．1＋2＋22＋23D ．1＋2＋22＋23＋246．已知S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k (k ＝1,2,3，…)，则S k ＋1＝( ) A ．S k ＋12k ＋1 B ．S k ＋12k ＋2－1k ＋1C ．S k ＋12k ＋1－12k ＋2D ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋27．若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n >m 2013对于一切n ∈N *成立，则正整数m 的最大值为__________．8．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则下列说法有误的是________． ①f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13； ②f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14； ③f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13； ④f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14.9．(2014年广东深圳一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4(n ＋1)(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2的值；(2)求a n ；(3)设b n ＝n ＋1a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <34.10．已知数列{a n }满足a 1＝25，且对任意n ∈N *，都有a n a n ＋1＝4a n ＋2a n ＋1＋2. (1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列； (2)试问数列{a n }中a k ·a k ＋1(k ∈N *)是否仍是{a n }中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由；(3)令b n ＝23⎝⎛⎭⎫1a n ＋5，证明：对任意n ∈N *，都有不等式2n b >b 2n 成立．第3讲 数学归纳法1．B 2.D 3.C 4.C5．D 解析：原等式共有5n 项，当n ＝1时，25－1＝24，选D.6．C 解析：S k ＋1＝1k ＋1＋1＋1k ＋1＋2＋…＋12k ＋1＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1 ＝S k ＋12k ＋1－12k ＋2. 7．1006 解析：记f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ， 则f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2>0，数列{f (n )}是递增数列，则f (n )min ＝f (1)＝12，∴m ≤1006. 8．①②③9．(1)解：当n ＝1时，有4×(1＋1)(a 1＋1)＝(1＋2)2a 1，解得a 1＝8.当n ＝2时，有4×(2＋1)(a 1＋a 2＋1)＝(2＋2)2a 2，解得a 2＝27.(2)解：方法一：当n ≥2时，有4(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n n ＋1， ① 4(S n －1＋1)＝(n ＋1)2a n －1n. ② ①－②，得4a n ＝(n ＋2)2a n n ＋1－(n ＋1)2a n －1n ， 即a n a n －1＝(n ＋1)3n 3. ∴a n (n ＋1)3＝a n －1n 3＝a n －2(n －1)3＝…＝a 233＝1. ∴a n ＝(n ＋1)3(n ≥2)．方法二：根据a 1＝8，a 2＝27，猜想：a n ＝(n ＋1)3.①当n ＝1时，有a 1＝8＝(1＋1)3，猜想成立．②假设当n ＝k 时，猜想也成立，即a k ＝(k ＋1)3.那么当n ＝k ＋1时，有4(k ＋1＋1)(S k ＋1＋1)＝(k ＋1＋2)2a k ＋1，即4(S k ＋1＋1)＝(k ＋1＋2)2a k ＋1k ＋1＋1， ① 又 4(S k ＋1)＝(k ＋2)2a k k ＋1， ② ①－②，得4a k ＋1＝(k ＋3)2a k ＋1k ＋2－(k ＋2)2a k k ＋1＝(k ＋3)2a k ＋1k ＋2－(k ＋2)2(k ＋1)3k ＋1， 解得a k ＋1＝(k ＋2)3＝(k ＋1＋1)3 .∴当n ＝k ＋1时，猜想也成立．因此，由数学归纳法证得a n ＝(n ＋1)3成立．(3)证明：∵b n ＝n ＋1a n ＝1(n ＋1)2<1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n －1＋b n ＝122＋132＋142＋…＋1n 2＋1(n ＋1)2<122＋12×3＋13×4＋…＋1(n －1)n ＋1n (n ＋1)＝14＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝14＋12－1n ＋1<34.10．(1)解：a n a n ＋1＋2a n ＝4a n a n ＋1＋2a n ＋1，即2a n －2a n ＋1＝3a n a n ＋1，所以1a n ＋1－1a n ＝32. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以52为首项，公差为32的等差数列． (2)解：由(1)可得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的通项公式为1a n ＝3n ＋22， 所以a n ＝23n ＋2. a k ·a k ＋1＝23k ＋2·23(k ＋1)＋2＝49k 2＋21k ＋10＝23·3k 2＋7k ＋22＋2. 因为3k 2＋7k ＋22＝k 2＋3k ＋1＋k (k ＋1)2， 当k ∈N *时，k (k ＋1)2一定是正整数，所以3k 2＋7k ＋22是正整数． (也可以从k 的奇偶性来分析)所以a k ·a k ＋1是数列{a n }中的项，是第3k 2＋7k ＋22项． (3)证明：由(2)知：a n ＝23n ＋2， b n ＝23⎝⎛⎭⎫1a n ＋5＝23⎝⎛⎭⎫3n ＋22＋5＝n ＋4. 下面用数学归纳法证明：2n +4>(n ＋4)2对任意n ∈N *都成立．(1)当n ＝1时，显然25>52，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，有2k +4>(k ＋4)2，当n ＝k ＋1时，2(k +1)+4＝2·2k +4>2(k ＋4)2＝2k 2＋16k ＋32＝(k ＋5)2＋k 2＋6k ＋7>(k ＋5)2， 即有：12n b +>b 2n ＋1也成立． 综合(1)(2)知：对任意n ∈N *，都有不等式2n b >b 2n 成立．。

题组层级快练(五十六)(第一次作业)1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB 1→，CM →〉的值等于( ) A.12B.21015 C.23D.1115答案 B解析 分别以DA ，DC ，DD1为x ，y ，z 轴建系，令AD ＝1， ∴DB 1→＝(1，1，1)，CM →＝(1，－12，0)．∴cos 〈DB 1→，CM →〉＝1－123·52＝1515.∴sin 〈DB 1→，CM →〉＝21015.2．已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为正方形，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( ) A.1010B.15C.31010D.35答案 C解析 如图，以D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系． 设AA 1＝2AB ＝2，则B(1，1，0)，E(1，0，1)，C(0，1，0)， D 1(0，0，2)．∴BE →＝(0，－1，1)，CD 1→＝(0，－1，2)． ∴cos 〈BE →，CD 1→〉＝1＋22·5＝31010.3．若正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为( )A.35B.45C.34D.55 答案 B解析 间接法：由正三棱柱的所有棱长都相等，依据题设条件，可知B 1D ⊥平面ACD ，∴B 1D ⊥DC ，故△B 1DC 为直角三角形． 设棱长为1，则有AD ＝52，B 1D ＝32，DC ＝52，∴S △B 1DC ＝12×32×52＝158. 设A 到平面B 1DC 的距离为h ，则有V A －B 1DC ＝VB 1－ADC ，∴13×h ×S △B 1DC ＝13×B 1D ×S △ADC .∴13×h ×158＝13×32×12，∴h ＝25. 设直线AD 与平面B 1DC 所成的角为θ，则sin θ＝h AD ＝45.向量法：如图，取AC 的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系．设各棱长为2，则有A(0，－1，0)，D(0，0，2)，C(0，1，0)，B 1(3，0，2)． 设n ＝(x ，y ，z)为平面B 1CD 的法向量，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·CB 1→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋2z ＝0，3x －y ＋2z ＝0⇒n ＝(0，2，1)．∴sin 〈AD →，n 〉＝AD →·n |AD →|·|n |＝45.4．(2017·山西临汾一模)如图所示，点P 在正方形ABCD 所在平面外，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ，则PB 与AC 所成的角是( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30° 答案 B解析 将其还原成正方体ABCD －PQRS ，显然PB ∥SC ，△ACS 为正三角形，∴∠ACS ＝60°.5．(2017·皖南八校联考)四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其他四个侧面是腰长为3的等腰三角形，则二面角V －AB －C 的余弦值的大小为( )A.23B.24 C.73D.223答案 B解析 如图所示，取AB 中点E ，过V 作底面的垂线，垂足为O ，连接OE ，根据题意可知，∠VEO 是二面角V －AB －C 的平面角．因为OE ＝1，VE ＝32－12＝22，所以cos ∠VEO＝OE VE ＝122＝24，故选B.6．已知点E ，F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则面AEF 与面ABC 所成的锐二面角的正切值为________． 答案23解析 如图，建立空间直角坐标系D －xyz ，设DA ＝1，由已知条件得A(1，0，0)，E(1，1，13)，F(0，1，23)，AE →＝(0，1，13)，AF →＝(－1，1，23)，设平面AEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，面AEF 与面ABC 所成的锐二面角为θ，由图知θ为锐角， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AF →＝0，得⎩⎨⎧y ＋13z ＝0，－x ＋y ＋23z ＝0.令y ＝1，z ＝－3，x ＝－1，则n ＝(－1，1，－3)， 平面ABC 的法向量为m ＝(0，0，－1)， cos θ＝|cos n ，m |＝31111，tan θ＝23. 7．(2014·福建，理)在平面四边形ABCD 中．AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD.将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图所示．(1)求证：AB ⊥CD ；(2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值． 答案 (1)略 (2)63解析 (1)∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，AB ⊂平面ABD ，AB ⊥BD ， ∴AB ⊥平面BCD.又CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD.(2)过点B 在平面BCD 内作BE ⊥BD ，如图所示．由(1)知AB ⊥平面BCD ，BE ⊂平面BCD ，BD ⊂平面BCD ， ∴AB ⊥BE ，AB ⊥BD.以B 为坐标原点，分别以BE →，BD →，BA →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，M ⎝⎛⎭⎫0，12，12，则BC →＝(1，1，0)，BM →＝⎝⎛⎭⎫0，12，12，AD →＝(0，1，－1)． 设平面MBC 的法向量n ＝(x 0，y 0，z 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·BM →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋y 0＝0，12y 0＋12z 0＝0，取z 0＝1， 得平面MBC 的一个法向量n ＝(1，－1，1)． 设直线AD 与平面MBC 所成角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n ，AD →〉|＝|n ·AD →||n |·|AD →|＝63，即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为63. 8.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱B 1C 1，C 1D 1的中点．试求：(1)AD 1与EF 所成角的大小； (2)AF 与平面BEB 1所成角的余弦值； (3)二面角C 1－DB －B 1的正切值．答案 (1)60° (2)223 (3)22思路解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则B 1(0，0，0)，A(1，0，1)，B(0，0，1)，D 1(1，1，0)，E(0，12，0)，F(12，1，0)，D(1，1，1)．(1)因为AD 1→＝(0，1，－1)，EF →＝(12，12，0)，所以cos AD 1→，EF →＝（0，1，－1）·（12，12，0）2×22＝12，即AD 1与EF 所成的角为60°.(2)FA →＝(12，－1，1)，由图可得，BA →＝(1，0，0)为平面BEB 1的一个法向量，设AF 与平面BEB 1所成的角为θ， 则sin θ＝cos BA →，FA→＝（1，0，0）·（12，－1，1）1×（12）2＋（－1）2＋12＝13，所以cos θ＝223.(3)设平面DBB 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，DB →＝(－1，－1，0)，B 1B →＝(0，0，1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥DB →，n 1⊥B 1B →，得⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DB →＝－x －y ＝0，n 1·B 1B →＝z ＝0，令y ＝1，则n 1＝(－1，1，0)．同理，可得平面C 1DB 的一个法向量为n 2＝(－1，1，1)．则cos n 1，n 2＝（－1，1，0）·（－1，1，1）2×3＝63.所以tan n 1，n 2＝22. 9.如图所示，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC. (1)求证：BC ⊥平面PAC ；(2)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的余弦值； (3)是否存在点E 使得二面角A －DE －P 为直二面角？并说明理由． 答案 (1)略 (2)144(3)存在点E 解析 方法一：(1)∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC.又∠BCA ＝90°， ∴AC ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAC.(2)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴DE ＝12BC.又由(1)知，BC ⊥平面PAC ， ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E.∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角． ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AB.又PA ＝AB ，∴△ABP 为等腰直角三角形．∴AD ＝12AB. 在Rt △ABC 中，∠ABC ＝60°.∴BC ＝12AB.∴Rt △ADE 中，sin ∠DAE ＝DE AD ＝BC 2AD ＝24. ∴cos ∠DAE ＝144. (3)∵DE ∥BC ，又由(1)知，BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC. 又∵AE ⊂平面PAC ，PE ⊂平面PAC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE. ∴∠AEP 为二面角A －DE －P 的平面角． ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AC ，∴∠PAC ＝90°.∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC. 这时，∠AEP ＝90°.故存在点E 使得二面角A －DE －P 是直二面角．方法二：如图所示，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz.设PA ＝a ，由已知可得A(0，0，0)，B(－12a ，32a ，0)，C(0，32a ，0)，P(0，0，a)．(1)∵AP →＝(0，0，a)，BC →＝(12a ，0，0)，∴BC →·AP →＝0，∴BC ⊥AP.又∵∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC.又AP ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC. (2)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点． ∴D(－14a ，34a ，12a)，E(0，34a ，12a)．又由(1)知，BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E. ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角． ∵AD →＝(－14a ，34a ，12a)，AE →＝(0，34a ，12a)，∴cos ∠DAE ＝AD →·AE →|AD →|·|AE →|＝144.(3)同方法一．10. (2016·浙江，理)如图，在三棱台ABC －DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB ＝ 90°，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，AC ＝3.(1)求证：BF ⊥平面ACFD ；(2)求二面角B －AD －F 的平面角的余弦值． 答案 (1)略 (2)34解析 (1)延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示．因为平面BCFE ⊥平面ABC ，平面BCFE ∩平面ABC ＝BC ，且AC ⊥BC ，所以AC ⊥平面BCK ，因此，BF ⊥AC.又EF ∥BC ，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，所以△BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF ⊥CK ，又AC ∩CK ＝C ，所以BF ⊥平面ACFD.(2)方法1：过点F 作FQ ⊥AK 于Q ，连接BQ.因为BF ⊥平面ACK ，所以BF ⊥AK ，则AK ⊥平面BQF ，所以BQ ⊥AK.所以∠BQF 是二面角B －AD －F 的平面角．在Rt △ACK 中，AC ＝3，CK ＝2，得AK ＝13，FQ ＝31313.在Rt △BQF 中，FQ ＝31313，BF ＝3，得cos ∠BQF ＝34. 所以二面角B －AD －F 的平面角的余弦值为34. 方法2：如图，延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，则△BCK 为等边三角形．取BC 的中点O ，连接KO ，则KO ⊥BC ，又平面BCFE ⊥平面ABC ，所以KO ⊥平面ABC. 以点O 为原点，分别以射线OB ，OK 的方向为x 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O －xyz.由题意得B(1，0，0)，C(－1，0，0)，K(0，0，3)，A(－1，－3，0)，E(12，032)，F(－12，0，32)． 因此AC →＝(0，3，0)，AK →＝(1，3，3)，AB →＝(2，3，0)．设平面ACK 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面ABK 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧AC →·m ＝0，AK →·m ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3y 1＝0，x 1＋3y 1＋3z 1＝0，取m ＝(3，0，－1)；由⎩⎪⎨⎪⎧AB →·n ＝0，AK →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋3y 2＝0，x 2＋3y 2＋3z 2＝0，取n ＝(3，－2，3)． 于是cos m ，n ＝m ·n |m |·|n |＝34.所以二面角B －AD －F 的平面角的余弦值为34. 11.如图所示，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且MD ＝NB ＝1，E 为BC 的中点．(1)求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值；(2)在线段AN 上是否存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ？若存在，求线段AS 的长；若不存在，请说明理由． 答案 (1)1010 (2)存在，|AS|＝22 思路 (1)建立空间直角坐标系→求出NE →和AM →→求出NE →和AM →的夹角的余弦值的绝对值→得出异面直线NE 与AM 所成角的余弦值(2)假设存在→得出关于变量λ的方程→求出λ的值→验证得出结论解析 (1)如图，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D －xyz.依题意得D(0，0，0)，A(1，0，0)，M(0，0，1)，C(0，1，0)，B(1，1，0)， N(1，1，1)，E(12，1，0)，所以NE →＝(－12，0，－1)，AM →＝(－1，0，1)，因为|cos NE →，AM →|＝|NE →·AM →||NE →|·|AM →|＝1252×2＝1010.所以异面直线NE 与AM 所成角的余弦值为1010. (2)假设在线段AN 上存在点S ，使得ES ⊥平面AMN.连接AE ，如图所示． 因为AN →＝(0，1，1)，可设AS →＝λAN →＝(0，λ，λ)，又EA →＝(12，－1，0)，所以ES →＝EA →＋AS →＝(12，λ－1，λ)．由ES ⊥平面AMN ，得⎩⎪⎨⎪⎧ES →·AM →＝0，ES →·AN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12＋λ＝0，（λ－1）＋λ＝0，解得λ＝12，此时AS →＝(0，12，12)，|AS →|＝22.经检验，当|AS|＝22时，ES ⊥平面AMN. 故线段AN 上存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ，此时|AS|＝22. (第二次作业)1．(2017·沧州七校联考)把边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，则异面直线AD ，BC 所成的角为( ) A ．120°B ．30° C ．90°D ．60° 答案 D解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)， B(0，2，0)，C(0，0，2)，D(0，－2，0)， ∴AD →＝(－2，－2，0)， BC →＝(0，－2，2)． ∴|AD →|＝2，|BC →|＝2，AD →·BC →＝2. ∴cos 〈AD →，BC →〉＝AD →·BC →|AD →|·|BC →|＝22×2＝12.∴异面直线AD ，BC 所成的角为60°.2．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若E ，F 分别是BC ，DD 1的中点，则B 1到平面ABF 的距离为( )A.33B.55 C.53D.255答案 D解析 方法一：由VB 1－ABF ＝VF －ABB 1可得解． 方法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，1)，B 1(1，1，0)．设F(0，0，12)，E(12，1，1)，B(1，1，1)，AB →＝(0，1，0)．∴B 1E →＝(－12，0，1)，AF →＝(－1，0，－12)．∵AF →·B 1E →＝(－1，0，－12)·(－12，0，1)＝0，∴AF →⊥B 1E →.又AB →⊥B 1E →，∴B 1E ⊥平面ABF. 平面ABF 的法向量为B 1E →＝(－12，0，1)，AB 1→＝(0，1，－1)．B 1到平面ABF 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB 1→·B 1E →|B 1E →|＝255. 3．(2017·湖南长沙一模)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为BB 1，CD 的中点，则点F 到平面A 1D 1E 的距离为________． 答案3510解析 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．则A 1(0，0，1)，E(1，0，12)，F(12，1，0)，D 1(0，1，1)．∴A 1E →＝(1，0，－12)，A 1D 1→＝(0，1，0)．设平面A 1D 1E 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1E →＝0，n ·A 1D 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －12z ＝0，y ＝0.令z ＝2，则x ＝1.∴n ＝(1，0，2)．又A 1F →＝(12，1，－1)，∴点F 到平面A 1D 1E 的距离为d ＝|A 1F →·n ||n |＝|12－2|5＝3510.4．(2014·陕西，理)四面体ABCD 及其三视图如图所示，过棱AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面分别交四面体的棱BD ，DC ，CA 于点F ，G ，H.(1)证明：四边形EFGH 是矩形；(2)求直线AB 与平面EFGH 夹角θ的正弦值． 答案 (1)略 (2)105解析 (1)由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1. 由题设，BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ， 平面EFGH ∩平面ABC ＝EH ，∴BC ∥FG ，BC ∥EH ，∴FG ∥EH. 同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG . ∴四边形EFGH 是平行四边形．又∵AD ⊥DC ，AD ⊥BD ，∴AD ⊥平面BDC. ∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG .∴四边形EFGH 是矩形．(2)方法一：如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，DA →＝(0，0，1)，BC →＝(－2，2，0)，BA →＝(－2，0，1)．设平面EFGH 的法向量n ＝(x ，y ，z)，∵EF ∥AD ，FG ∥BC ，∴n ·DA →＝0，n ·BC →＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，－2x ＋2y ＝0，取n ＝(1，1，0)． ∴sin θ＝|cos 〈BA →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →·n |BA →||n |＝25×2＝105. 方法二：如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)． ∵E 是AB 的中点，∴F ，G 分别为BD ，DC 的中点，得 E ⎝⎛⎭⎫1，0，12，F(1，0，0)，G(0，1，0)． ∴FE →＝⎝⎛⎭⎫0，0，12，FG →＝(－1，1，0).BA →＝(－2，0，1)． 设平面EFGH 的法向量n ＝(x ，y ，z)，则n ·FE →＝0，n ·FG →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧12z ＝0，－x ＋y ＝0，取n ＝(1，1，0)，∴sin θ＝|cos 〈BA →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →·n |BA →||n |＝25×2＝105. 5．(2017·河北开滦二中月考)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，PD ＝AB ＝2，E 为PC 中点．(1)求证：DE ⊥平面PCB ； (2)求点C 到平面DEB 的距离； (3)求二面角E －BD －P 的余弦值．答案 (1)略 (2)233 (3)63解析 (1)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥BC.又正方形ABCD 中，CD ⊥BC ，PD ∩CD ＝D ，∴BC ⊥平面PCD. ∵DE ⊂平面PCD ，∴BC ⊥DE.∵PD ＝CD ，E 是PC 的中点，∴DE ⊥PC. 又∵PC ∩BC ＝C ，∴DE ⊥平面PCB.(2)如图①所示，过点C 作CM ⊥BE 于点M ，由(1)知平面DEB ⊥平面PCB ，∵平面DEB ∩平面PCB ＝BE ，∴CM ⊥平面DEB. ∴线段CM 的长度就是点C 到平面DEB 的距离． ∵PD ＝AB ＝CD ＝2，∠PDC ＝90°， ∴PC ＝22，EC ＝2，BC ＝2.∴BE ＝ 6. ∴CM ＝CE·BC BE ＝233.(3)以点D 为坐标原点，分别以直线DA ，DC ，DP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图②所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，P(0，0，2)，B(2，2，0)，E(0，1，1)，DB →＝(2，2，0)，DE →＝(0，1，1)．设平面BDE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DB →＝0，n 1·DE →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，y ＋z ＝0.令z ＝1，得y ＝－1，x ＝1.∴平面BDE 的一个法向量为n 1＝(1，－1，1)．又∵C(0，2，0)，A(2，0，0)，AC →＝(－2，2，0)，且AC ⊥平面PDB ， ∴平面PDB 的一个法向量为n 2＝(1，－1，0)．设二面角E －BD －P 的平面角为α，则cos α＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝23·2＝63.∴二面角E －BD －P 的余弦值为63. 6．(2017·郑州质检)四棱锥A —BCDE 的正视图和俯视图如下，其中俯视图是直角梯形．(1)若正视图是等边三角形，F 为AC 的中点，当点M 在棱AD 上移动时，是否总有BF ⊥CM ，请说明理由；(2)若平面ABC 与平面ADE 所成的锐二面角为45°.求直线AD 与平面ABE 所成角的正弦值．答案 (1)总有BF ⊥CM (2)64解析 (1)由俯视图可知平面ABC ⊥平面EBCD. BC ＝2，O 为BC 中点，BE ＝1，CD ＝2. ∵△ABC 为等边三角形，F 为AC 中点，∴BF ⊥AC. 又平面ABC ⊥平面EBCD ，且DC ⊥BC ， ∴DC ⊥平面ABC ，∴DC ⊥BF.又AC ∩CD ＝C ，∴BF ⊥平面ACD.∴BF ⊥CM. (2)以O 为原点，OC →为x 轴，OA →为z 轴建系．B(－1，0，0)，C(1，0，0)，E(－1，1，0)，D(1，2，0)． 设A(0，0，a)，由题意可知平面ABC 的法向量为(0，1，0)． 设平面ADE 法向量n ＝(x ，y ，z)．ED →＝(2，1，0)，EA →＝(1，－1，a)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋az ＝0，令x ＝1，y ＝－2，z ＝－3a.∴n ＝(1，－2，－3a )．∴22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋4＋9a 2，解得a ＝ 3.∴AD →＝(1，2，－3)，BE →＝(0，1，0)，EA →＝(1，－1，3)． 设平面ABE 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧BE →·m ＝y 1＝0，EA →·m ＝x 1－y 1＋3z 1＝0. 令z 1＝1，∴m ＝(－3，0，1)．设AD 与平面ABE 所成角为θ，则有sin θ＝|cos 〈AD →，m 〉|＝||－3－322·2＝64.∴直线AD 与平面ABE 所成角的正弦值为64. 7.如图，几何体EF －ABCD 中，CDEF 是边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形， AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AD ＝2，AB ＝4，∠ADF ＝90°.(1)求证：AC ⊥FB ；(2)求二面角E －FB －C 的大小． 答案 (1)略 (2)π3解析 (1)证明：由题意得，AD ⊥DC ，AD ⊥DF ，且DC ∩DF ＝D ，∴AD ⊥平面CDEF ，∴AD ⊥FC ，∵四边形CDEF 为正方形，∴DC ⊥FC. ∵DC ∩AD ＝D ，∴FC ⊥平面ABCD ，∴FC ⊥AC.又∵四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AD ＝2，AB ＝4，∴AC ＝22，BC ＝22， 则有AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC ，又BC ∩FC ＝C ，∴AC ⊥平面FCB ，∴AC ⊥FB.(2)由(1)知AD ，DC ，DE 所在直线相互垂直，故以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得D(0，0，0)，F(0，2，2)，B(2，4，0)，E(0，0，2)，C(0，2，0)，A(2，0，0)， ∴EF →＝(0，2，0)，FB →＝(2，2，－2)，设平面EFB 的法向量为n ＝(x ，y ，z)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·EF →＝0，n ·FB →＝0，⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，2x ＋2y －2z ＝0.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋y －z ＝0，令z ＝1，则n ＝(1，0，1)，由(1)知平面FCB 的一个法向量为AC →＝(－2，2，0)， 设二面角E －FB －C 的大小为θ，由图知θ∈(0，π2)，∴cos θ＝|cos n ，AC →|＝12，∴θ＝π3.8．(2015·天津，理)如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AC ，AB ＝1，AC ＝AA 1＝2，AD ＝CD ＝5，且点M 和N 分别为B 1C 和D 1D 的中点．(1)求证：MN ∥平面ABCD ； (2)求二面角D 1－AC －B 1的正弦值；(3)设E 为棱A 1B 1上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段A 1E 的长．答案 (1)略 (2)31010(3)7－2解析 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(2，0，0)，D(1，－2，0)，A 1(0，0，2)，B 1(0，1，2)，C 1(2，0，2)，D 1(1，－2，2)．又因为M ，N 分别为B 1C 和D 1D 的中点，得M(1，12，1)，N(1，－2，1)．(1)证明：依题意，可得n ＝(0，0，1)为平面ABCD 的一个法向量.MN →＝(0，－52，0)．由此可得MN →·n ＝0，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD. (2)AD 1→＝(1，－2，2)，AC →＝(2，0，0)． 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面ACD 1的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AD 1→＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1－2y 1＋2z 1＝0，2x 1＝0.不妨设z 1＝1，可得n 1＝(0，1，1)．设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面ACB 1的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AB 1→＝0，n 2·AC →＝0，又AB 1→＝(0，1，2)，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2z 2＝0，2x 2＝0.不妨设z 2＝1，可得n 2＝(0，－2，1)．因此有cos<n 1，n 2>＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－1010.于是sin<n 1，n 2>＝31010.所以二面角D 1－AC －B 1的正弦值为31010.(3)依题意，可设A 1E →＝λA 1B 1→，其中λ∈[0，1]，则E(0，λ，2)，从而NE →＝(－1，λ＋2，1)．又n ＝(0，0，1)为平面ABCD 的一个法向量，由已知，得cos 〈NE →，n 〉＝NE →·n |NE →|·|n |＝1（－1）2＋（λ＋2）2＋12＝13，整理得λ2＋4λ－3＝0，又因为λ∈[0，1]，解得λ＝7－2. 所以线段A 1E 的长为7－2.9.如图，在五面体ABCDEP 中，PD ⊥平面ABCD ，∠ADC ＝∠BAD ＝90°，F 为棱PA 的中点，PD ＝BC ＝2，AB ＝AD ＝1，且四边形CDPE 为平行四边形．(1)判断AC 与平面DEF 的位置关系，并给予证明；(2)在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的正弦值为36？若存在，请求出QE 的长；若不存在，请说明理由． 答案 (1)平行 (2)不存在解析 (1)AC ∥平面DEF.理由如下：设线段PC 交DE 于点N ，连接FN ，如图所示，因为四边形PDCE 为平行四边形，所以点N 为PC 的中点，又点F 为PA 的中点，所以FN ∥AC ，因为FN ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ，所以AC ∥平面DEF.(2)以D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz.因为PD ＝BC ＝2，AB ＝AD ＝1，所以CD ＝2，所以P(0，0，2)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，F(12，0，22)，E(0，2，2)．所以PB →＝(1，1，－2)，BC →＝(－1，1，0)． 设平面PBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·PB →＝（x ，y ，z ）·（1，1，－2）＝0，m ·BC →＝（x ，y ，z ）·（－1，1，0）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2z ＝0，－x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，z ＝2y ，令y ＝1，则m ＝(1，1，2)． 设存在点Q 满足条件，且FQ →＝λFE →(0≤λ≤1)，∴BQ →＝BF →＋FQ →＝BF →＋λFE →＝(－12，－1，22)＋λ(－12，2，－22)＝(－1＋λ2，2λ－1，2（1－λ）2)．∵BQ 与平面BCP 所成角的正弦值为36， ∴|cos 〈BQ →，m 〉|＝|－1＋λ2＋2λ－1＋1－λ|2·（－1＋λ2）2＋（2λ－1）2＋（2－2λ2）2＝36. ∴4λ2－3λ＋1＝0.∵Δ<0，∴此方程无解．∴点Q 不存在．1．(2014·北京，理)如图所示，正方形AMDE 的边长为2，B ，C 分别为AM ，MD 的中点．在五棱锥P －ABCDE 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD ，PC 分别交于点G ，H.(1)求证：AB ∥FG ；(2)若PA ⊥底面ABCDE ，且PA ＝AE ，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长．答案 (1)略 (2)π6，2解析 (1)证明：在正方形AMDE 中，因为B 是AM 的中点，所以AB ∥DE. 又因为AB ⊄平面PDE ， 所以AB ∥平面PDE.因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF ∩平面PDE ＝FG ， 所以AB ∥FG.(2)因为PA ⊥底面ABCDE ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AE.如图建立空间直角坐标系A －xyz ，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(2，1，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)，BC →＝(1，1，0)．设平面ABF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＋z ＝0.令z ＝1，则y ＝－1，所以n ＝(0，－1，1)．设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则sin α＝|cos 〈n ，BC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·BC →|n ||BC →|＝12.因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为π6.设点H 的坐标为(u ，v ，w)．因为点H 在棱PC 上，所以可设PH →＝λPC →(0<λ<1)，即(u ，v ，w －2)＝λ(2，1，－2)，所以u ＝2λ，v ＝λ，w ＝2－2λ.因为n 是平面ABF 的一个法向量，所以n ·AH →＝0，即(0，－1，1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0，解得λ＝23.所以点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，23，23. 所以PH ＝⎝⎛⎭⎫432＋⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫－432＝2.2. (2015·安徽，理)如图所示，在多面体A 1B 1D 1DCBA 中，四边形AA 1B 1B ，ADD 1A 1，ABCD 均为正方形，E 为B 1D 1的中点，过A 1，D ，E 的平面交CD 1于F.(1)证明：EF ∥B 1C ；(2)求二面角E －A 1D －B 1的余弦值． 答案 (1)略 (2)63解析 (1)证明：由正方形的性质可知A 1B 1∥AB ∥DC ，且A 1B 1＝AB ＝DC ，所以四边形A 1B 1CD 为平行四边形，从而B 1C ∥A 1D.又A 1D ⊂平面A 1DE ，B 1C ⊄平面A 1DE ，于是B 1C ∥平面A 1DE.又B 1C ⊂平面B 1CD 1，平面A 1DE ∩平面B 1CD 1＝EF ，所以EF ∥B 1C.(2)因为四边形AA 1B 1B ，ADD 1A 1，ABCD 均为正方形，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AD ，AB ⊥AD 且AA 1＝AB ＝AD ，以A 为原点，分别以AB →，AD →，AA 1→为x 轴，y 轴和z 轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A 1(0，0，1)，B 1(1，0，1)，D 1(0，1，1)，而E 点为B 1D 1的中点，所以E 点的坐标为(0.5，0.5，1)．设平面A 1DE 的法向量n 1＝(r 1，s 1，t 1)，而该面上向量A 1E →＝(0.5，0.5，0)，A 1D →＝(0，1，－1)，由n 1⊥A 1E →，n 1⊥A 1D →得⎩⎪⎨⎪⎧0.5r 1＋0.5s 1＝0，s 1－t 1＝0，(－1，1，1)为其一组解，所以可取n 1＝(－1，1，1)．设平面A 1B 1CD 的法向量n 2＝(r 2，s 2，t 2)，而该面上向量A 1B 1→＝(1，0，0)， A 1D →＝(0，1，－1)，由此同理可得n 2＝(0，1，1)．所以结合图形知二面角E －A 1D －B 1的余弦值为|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝23×2＝63.3．(2017·河南洛阳模拟)如图(1)所示，在△ABC 中，BC ＝3，AC ＝6，∠C ＝90°，且DE ∥BC ，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1D ⊥CD ，如图(2)所示．(1)求证：BC ⊥平面A 1DC ；(2)若CD ＝2，求BE 与平面A 1BC 所成角的正弦值． 答案 (1)略 (2)45解析 (1)证明：∵DE ⊥AD ，DE ∥BC ，∴BC ⊥AD ，∴BC ⊥A 1D. 又∵BC ⊥CD ，A 1D ∩CD ＝D ，∴BC ⊥平面A 1DC.(2)以D 为原点，分别以DE →，DA 1→，CD →为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D －xyz. 在直角梯形CDEB 中，过E 作EF ⊥BC ，垂足为F ， 则EF ＝2，BF ＝1，BC ＝3.∴B(3，0，－2)，E(2，0，0)，C(0，0，－2)，A 1(0，4，0)． ∴BE →＝(－1，0，2)，CA 1→＝(0，4，2)，BA 1→＝(－3，4，2)． 设平面A 1BC 的法向量为m ＝(x ，y ，z)， 则⎩⎪⎨⎪⎧CA 1→·m ＝0，BA 1→·m ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧4y ＋2z ＝0，－3x ＋4y ＋2z ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧z ＝－2y ，x ＝0.令y ＝1，则m ＝(0，1，－2)．设BE 与平面A 1BC 所成角为θ，则sin θ＝|BE →·m ||BE →||m |＝45·5＝45.4. (2013·湖南)如图所示，在直棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥BD ，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3.(1)证明：AC ⊥B 1D ；(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值． 答案 (1)略 (2)217解析 (1)易知，AB ，AD ，AA 1两两垂直．如图所示，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB ＝t ，则相关各点的坐标为A(0，0，0)，B(t ，0，0)，B 1(t ，0，3)，C(t ，1，0)，C 1(t ，1，3)，D(0，3，0)，D 1(0，3，3)．从而B 1D →＝(－t ，3，－3)，AC →＝(t ，1，0)，BD →＝(－t ，3，0)．因为AC ⊥BD ，所以AC →·BD →＝－t 2＋3＋0＝0，解得t ＝3或t ＝－3(舍去)． 于是B 1D →＝(－3，3，－3)，AC →＝(3，1，0)．因为AC →·B 1D →＝－3＋3＋0＝0，所以AC →⊥B 1D →，即AC ⊥B 1D.(2)由(1)知，AD 1→＝(0，3，3)，AC →＝(3，1，0)，B 1C 1→＝(0，1，0)． 设n ＝(x ，y ，z)是平面ACD 1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝0，3y ＋3z ＝0.令x ＝1，则n ＝(1，－3，3)．设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，B 1C 1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·B 1C 1→|n |·|B 1C 1→|＝37＝217. 即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为217. 5. (2016·山东，理)在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆 O ′的直径，FB 是圆台的一条母线．(1)已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；(2)已知EF ＝FB ＝12AC ＝23，AB ＝BC ，求二面角F －BC －A 的余弦值．解析 (1)设FC 的中点为I ，连接GI ，HI ，在△CEF 中，因为点G是CE 的中点，所以GI ∥EF. 又EF ∥OB ，所以GI ∥OB.在△CFB 中，因为H 是FB 的中点， 所以HI ∥BC.又HI ∩GI ＝I ，OB ∩BC ＝B ，所以平面GHI ∥平面ABC. 因为GH ⊂平面GHI ，所以GH ∥平面ABC. (2)方法一：连接OO ′，则OO ′⊥平面ABC.又AB ＝BC ，且AC 是圆O 的直径，所以BO ⊥AC. 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz. 由题意得B(0，23，0)，C(－23，0，0)． 过点F 作FM 垂直OB 于点M ，所以FM ＝FB 2－BM 2＝3，可得F(0，3，3)．故BC →＝(－23，－23，0)，BF →＝(0，－3，3)． 设m ＝(x ，y ，z)是平面BCF 的法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝0，m ·BF →＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧－23x －23y ＝0，－3y ＋3z ＝0.可得平面BCF 的一个法向量m ＝(－1，1，33)．因为平面ABC 的一个法向量n ＝(0，0，1)，所以cos m ，n ＝m ·n |m |·|n |＝77.所以二面角F －BC －A 的余弦值为77.方法二：连接OO ′.过点F 作FM 垂直OB 于点M ，则有FM ∥OO ′. 又OO ′⊥平面ABC ，所以FM ⊥平面ABC. 可得FM ＝FB 2－BM 2＝3.过点M 作MN 垂直BC 于点N ，连接FN.可得FN ⊥BC ，从而∠FNM 为二面角F －BC －A 的平面角． 又AB ＝BC ，AC 是圆O 的直径，所以MN ＝BMsin45°＝62， 从而FN ＝422，可得cos ∠FNM ＝77.所以二面角F －BC －A 的余弦值为77. 6.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面是直角梯形， ∠ABC ＝90°，且PA ＝AB ＝BC ＝12AD ＝1.(1)求PB 与CD 所成的角；(2)求直线PD 与平面PAC 所成的角的余弦值． 解析 (1)建立如图所示的空间直角坐标系．因为PA ＝AB ＝BC ＝12AD ＝1，所以A(0，0，0)，P(0，0，1)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)， 所以PB →＝(1，0，－1)，CD →＝(－1，1，0)．设PB 与CD 所成的角为θ，所以cos θ＝|cos PB →，CD →|＝|－1＋0＋0|2×2＝12，所以PB 与CD 所成的角为60°.(2)PD →＝(0，2，－1)，AP →＝(0，0，1)，AC →＝(1，1，0)．设m ＝(x ，y ，z)是平面PAC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AP →＝0，m ·AC →＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，x ＋y ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，x ＝－y.取x ＝1，则m ＝(1，－1，0)．设直线PD 与平面PAC 所成的角为α，所以sin α＝|cos PD →，m|＝|PD →·m ||PD →|·|m |＝25×2＝105，因为α∈[0，π2]，所以cos α＝155.7．(2016·天津，理)如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB ＝BE ＝2.(1)求证：EG ∥平面ADF ； (2)求二面角O －EF －C 的正弦值；(3)设H 为线段AF 上的点，且AH ＝23HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值．解析 依题意，OF ⊥平面ABCD ，如图，以O 为原点，分别以AD →，BA →，OF →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O(0，0，0)，A(－1，1，0)，B(－1，－1，0)，C(1，－1，0)，D(1，1，0)，E(－1，－1，2)，F(0，0，2)，G(－1，0，0)．(1)依题意，AD →＝(2，0，0)，AF →＝(1，－1，2)．设n 1＝(x ，y ，z)为平面ADF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AD →＝0，n 1·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝0，x －y ＋2z ＝0.不妨设z ＝1，可得n 1＝(0，2，1)，又EG →＝(0，1，－2)，可得EG →·n 1＝0，又直线EG ⊄平面ADF ，所以EG ∥平面ADF.(2)易证，OA →＝(－1，1，0)为平面OEF 的一个法向量．依题意，EF →＝(1，1，0)，CF →＝(－1，1，2)．设n 2＝(x ′，y ′，z ′)为平面CEF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·EF →＝0，n 2·CF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋y ′＝0，－x ′＋y ′＋2z ′＝0.不妨设x ′＝1，可得n 2＝(1，－1，1)．因此有cos 〈OA →，n 2〉＝OA →·n 2|OA →|·|n 2|＝－63，于是sin 〈OA →，n 2〉＝33.所以二面角O －EF －C 的正弦值为33. (3)由AH ＝23HF ，得AH ＝25AF.因为AF →＝(1，－1，2)，所以AH →＝25AF →＝(25，－25，45)，进而有H(－35，35，45)，从而BH →＝(25，85，45)，因此cos 〈BH →，n 2〉＝BH →·n 2|BH →|·|n 2|＝－721.所以直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值为721.。

题组层级快练(四十四)1．已知a ，b ∈(0，1)且a ≠b ，下列各式中最大的是( ) A ．a 2＋b 2B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b 答案 D解析 只需比较a 2＋b 2与a ＋b.由于a ，b ∈(0，1)，∴a 2<a ，b 2<b ，∴a 2＋b 2<a ＋b. 2．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．y ＝x ＋4x B ．y ＝sinx ＋4sinx (0<x<π)C ．y ＝4e x ＋e －x D ．y ＝log 3x ＋log x 3(0<x<1)答案 C解析 注意基本不等式等号成立的条件是“a ＝b ”，同时考虑函数的定义域，A 中x 的定义域为{x|x ∈R ，且x ≠0}，函数没有最小值；B 中若sinx ＝4sinx 取到最小值4，则sin 2x ＝4，显然不成立．D 中没有最小值．故选C. 3．设0<a<b ，则下列不等式中正确的是 ( ) A. a<b<ab<a ＋b 2B ．a<ab<a ＋b2<bC ．a<ab<b<a ＋b 2 D. ab<a<a ＋b2<b答案 B解析 方法一(特值法)：代入a ＝1，b ＝2，则有0<a ＝1<ab ＝2<a ＋b2＝1.5<b ＝2.方法二(直接法)：我们知道算术平均数a ＋b2与几何平均数ab 的大小关系，其余各式作差(作商)比较即可，答案为B.4．已知函数g(x)＝2x ，且有g(a)g(b)＝2，若a>0且b>0，则ab 的最大值为( ) A.12B.14 C ．2 D ．4 答案 B 解析 ∵2a 2b＝2a ＋b＝2，∴a ＋b ＝1，ab ≤(a ＋b 2)2＝14，故选B.5．(2015·湖南，文)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A.2B ．2 C ．22D ．4 答案 C解析 方法一：由已知得1a ＋2b ＝b ＋2aab ＝ab ，且a>0，b>0，∴ab ab ＝b ＋2a ≥22ab ，∴ab≥2 2.方法二：由题设易知a>0，b>0，∴ab ＝1a ＋2b≥22ab，即ab ≥22，选C. 6．若x<0，则函数y ＝x 2＋1x 2－x －1x 的最小值是( )A ．－94B ．0C ．2D ．4 答案 D解析 y ＝x 2＋1x 2－x －1x≥2x 2·1x2＋2（－x ）（－1x）＝4，当且仅当x ＝－1时取等号．7．已知a>0，且b>0，若2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为( )A.14B ．4 C.12D ．2 答案 C解析 由题中条件知，1ab ＝44ab ＝2a ＋b 4ab ＝12b ＋14a ≥212b ·14a，当且仅当a ＝1，b ＝2时，等号成立，故1a 2b2≥4·12b ·14a ，即1ab ≥12. 8．若x ，y 是正数，则(x ＋12y )2＋(y ＋12x)2的最小值是( ) A ．3 B.72C ．4 D.92答案 C解析 原式＝x 2＋x y ＋14y 2＋y 2＋y x ＋14x 2≥4.当且仅当x ＝y ＝12时取“＝”号．9．(2017·金山模拟)函数y ＝x 2＋2x －1(x>1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．23D ．2 答案 A解析 ∵x>1，∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2（x －1）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2（x －1）（3x －1）＋2＝23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号．10．已知不等式(x ＋y)(1x ＋ay )≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 B解析 (x ＋y)(1x ＋a y )＝1＋a·x y ＋yx ＋a ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2，当且仅当a·x y ＝yx ，即ax 2＝y 2时“＝”成立．∴(x ＋y)(1x ＋ay)的最小值为(a ＋1)2≥9.∴a ≥4.11．设实数x ，y ，m ，n 满足x 2＋y 2＝1，m 2＋n 2＝3，那么mx ＋ny 的最大值是( ) A.3B ．2 C.5D.102答案 A解析 方法一：设x ＝sin α，y ＝cos α，m ＝3sin β，n ＝3cos β，其中α，β∈R . ∴mx ＋ny ＝3sin βsin α＋3cos βcos α＝3cos (α－β)．故选A.方法二：由已知(x 2＋y 2)·(m 2＋n 2)＝3，即m 2x 2＋n 2y 2＋n 2x 2＋m 2y 2＝3，∴m 2x 2＋n 2y 2＋2(nx)·(my)≤3，即(mx ＋ny)2≤3，∴mx ＋ny ≤ 3.12．已知x ，y ，z ∈(0，＋∞)，且满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz 的最小值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12 答案 A13．(2017·四川成都外国语学校)若正数a ，b 满足：1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( )A ．16B ．9C ．6D ．1 答案 C解析 方法一：因为1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ，即(a －1)·(b －1)＝1，所以1a －1＋9b －1≥21a －1×9b －1＝2×3＝6. 方法二：因为1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ，1a －1＋9b －1＝b －1＋9a －9ab －a －b ＋1＝b ＋9a －10＝(b ＋9a)(1a ＋1b)－10≥16－10＝6. 方法三：因为1a ＋1b ＝1，所以a －1＝1b －1，所以1a －1＋9b －1＝(b －1)＋9b －1≥29＝2×3＝6.14．(1)当x>1时，x ＋4x －1的最小值为________；(2)当x ≥4时，x ＋4x －1的最小值为________．答案 (1)5 (2)163解析 (1)∵x>1，∴x －1>0.∴x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥24＋1＝5.(当且仅当x －1＝4x －1.即x ＝3时“＝”号成立)∴x ＋4x －1的最小值为5.(2)∵x ≥4，∴x －1≥3.∵函数y ＝x ＋4x 在[3，＋∞)上为增函数，∴当x －1＝3时，y ＝(x －1)＋4x －1＋1有最小值163.15．若a>0，b>0，a ＋b ＝1，则ab ＋1ab 的最小值为________．答案174解析 ab ≤(a ＋b 2)2＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．y ＝x ＋1x 在x ∈(0，14]上为减函数．∴ab ＋1ab 的最小值为14＋4＝174.16．已知a>b>0，求a 2＋16b （a －b ）的最小值．答案 16思路 由b(a －b)求出最大值，从而去掉b ，再由a 2＋64a 2，求出最小值． 解析 ∵a>b>0，∴a －b>0.∴b(a －b)≤[b ＋（a －b ）2]2＝a 24.∴a 2＋16b （a －b ）≥a 2＋64a 2≥2a 2·64a2＝16. 当a 2＝64a 2且b ＝a －b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立．∴a 2＋16b （a －b ）的最小值为16.17．(2017·江西重点中学盟校联考)设x ，y 均为正实数，且12＋x ＋12＋y ＝13，求xy 的最小值．答案 16解析 由12＋x ＋12＋y ＝13，化为3(2＋y)＋3(2＋x)＝(2＋y)·(2＋x)，整理为xy ＝x ＋y ＋8.∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝x ＋y ＋8≥2xy ＋8，∴(xy)2－2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，当且仅当x ＝y ＝4时取等号，∴xy 的最小值为16.18.如图，在半径为30 cm 的半圆形(O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A ，B 在直径上，点C ，D 在圆周上．(1)怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积；(2)若将所截得的矩形铝皮ABCD 卷成一个以AD 为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接铝耗)，应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积． 答案 (1)取BC 为15 2 cm 时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为900 cm 2. (2)取BC 为10 3 cm 时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为6 0003π cm 3.解析 (1)连接OC.设BC ＝x ，矩形ABCD 的面积为S. 则AB ＝2900－x 2，其中0<x<30. 所以S ＝2x900－x 2＝2x 2（900－x 2）≤x 2＋(900－x 2)＝900.当且仅当x 2＝900－x 2，即x＝152时，S 取最大值900 cm 2.答：取BC 为15 2 cm 时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为900 cm 2. (2)设圆柱底面的半径为r ，高为x ，体积为V.由AB ＝2900－x 2＝2πr ，得r ＝900－x 2π. 所以V ＝πr 2x ＝1π(900x －x 3)，其中0<x<30.由V ′＝1π(900－3x 2)＝0，得x ＝10 3.因此V ＝1π(900x －x 3)在(0，103)上是增函数，在(103，30)上是减函数．所以当x ＝103时，V 取最大值为6 0003πcm 3.答：取BC 为10 3 cm 时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为6 0003πcm 3.1．下列命题中正确的是( ) A ．函数y ＝x ＋1x的最小值为2B ．函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为2 C ．函数y ＝2－3x －4x (x>0)的最小值为2－4 3D ．函数y ＝2－3x －4x (x>0)的最大值为2－4 3答案 D解析 y ＝x ＋1x 的定义域为{x|x ≠0}，当x>0时，有最小值2，当x<0时，有最大值－2，故A 项不正确；y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2， ∵x 2＋2≥2，∴取不到“＝”，故B 项不正确；∵x>0时，3x ＋4x≥2·3x·4x ＝43，当且仅当3x ＝4x ，即x ＝233时取“＝”， ∴y ＝2－(3x ＋4x )有最大值2－43，故C 项不正确，D 项正确．2．(2013·福建，文)若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0，2] B ．[－2，0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] 答案 D解析 ∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)，∴2x ＋y ≤12，∴2x ＋y ≤14，得x ＋y ≤－2，故选D.3．(2014·重庆)若log 4(3a ＋4b)＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋23B ．7＋2 3 C ．6＋43D ．7＋4 3 答案 D解析 因为log 4(3a ＋4b)＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b)＝log 4(ab)，即3a ＋4b ＝ab ，且⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋4b>0，ab>0，即a>0，b>0，所以4a ＋3b ＝1(a>0，b>0)，a ＋b ＝(a ＋b)(4a ＋3b )＝7＋4b a ＋3ab≥7＋24b a ·3a b ＝7＋43，当且仅当4b a ＝3ab时取等号，选择D 项．4．(2016·人大附中月考)设a ，b ，c 均大于0，则“abc ＝1”是“1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A 解析1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ca ＋ab abc， 当abc ＝1时，bc ＋ca ＋ab abc≤12[(b ＋c)＋(c ＋a)＋(a ＋b)]＝a ＋b ＋c. 故abc ＝1⇒1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c. 反过来，若a ＝b ＝1，c ＝4，有1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c ，但abc ≠1， ∴“abc ＝1”是“1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c ”的充分不必要条件． 5．(2017·山东师大附中月考)已知a ，b ，c ∈R ＋，且ab ＋bc ＋ca ＝1，那么下列不等式中正确的是( )A ．a 2＋b 2＋c 2≥2B ．(a ＋b ＋c)2≥3 C.1a ＋1b ＋1c ≥23D ．abc(a ＋b ＋c)≤13 答案 B解析 ∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，三式相加可知2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(bc ＋ab ＋ac)，∴a 2＋b 2＋c 2≥1.∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≥1＋2.∴(a ＋b ＋c)2≥3.6．已知a>0，b>0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 B解析 由题意知ab ＝1，则m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b ＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b)≥4ab ＝4(当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立)．7．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x>－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b ＝( )A ．－3B ．2C ．3D ．8 答案 C解析 y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5，因为x>－1，得x ＋1>0，9x ＋1>0，所以由均值不等式得y ＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2（x ＋1）×9x ＋1－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，等号成立，所以a ＝2，b ＝1，a ＋b ＝3.8．已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，则W ＝3x ＋2y 的最大值为________． 答案 2 5解析 方法一：由a ＋b2≤a 2＋b 22可得3x ＋2y ≤2（3x ）2＋（2y ）2＝23x ＋2y ＝25，当且仅当3x ＝2y ，即x ＝53，y ＝52时等号成立．方法二：易知W>0，W 2＝3x ＋2y ＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x)2＋(2y)2＝10＋(3x ＋2y)＝20，∴W ≤25，当且仅当3x ＝2y ，即x ＝53，y ＝52时等号成立．9．已知三个正数a ，b ，c 成等比数列，则a ＋c b ＋ba ＋c 的最小值为________．答案 52解析 由条件可知a ，b ，c>0且b 2＝ac ，即b ＝ac ，故a ＋c b ≥2acb＝2，当且仅当a ＝b ＝c时取等号，令a ＋c b ＝t ，则y ＝t ＋1t 在[2，＋∞)上单调递增，故其最小值为2＋12＝52，即a ＋c b ＋ba ＋c的最小值为52.10.如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m 的无盖长方体的沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a m ，高度为b m ，已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60 m 2，问a ，b 各为多少m 时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔面积忽略不计)．答案a＝6 m，b＝3 m解析设y为流出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y＝kab，其中k是比例系数且k>0.依题意要使y最小，只需求ab的最大值．由题设，得4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)，即a＋2b＋ab＝30(a>0，b>0)．∵a＋2b≥22ab，∴22·ab＋ab≤30.当且仅当a＝2b时取“＝”号，ab有最大值．∴当a＝2b时有22·ab＋ab＝30，即b2＋2b－15＝0.解之得b1＝3，b2＝－5(舍去)，∴a＝2b＝6.故当a＝6 m，b＝3 m时经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小．。

题组层级快练(三十三)1．若(x ＋i)2是纯虚数(其中i 为虚数单位)，则x ＝( ) A ．±1B ．2 C ．－1 D ．1 答案 A解析 (x ＋i)2＝x 2－1＋2xi ，因为(x ＋i)2是纯虚数，所以x ＝±1.2．(2017·河北辛集中学月考)若复数2－bi 1＋2i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 等于( )A.2B.23C ．－23D ．2答案 C解析 2－bi 1＋2i ＝（2－bi ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝2－2b －（4＋b ）i 5，由题意得2－2b 5－4＋b 5＝0，得b ＝－23.3．(2016·北京)复数1＋2i2－i ＝( )A ．iB ．1＋iC ．－iD ．1－i 答案 A解析 1＋2i 2－i ＝（1＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝5i 5＝i.4．(2015·湖南)已知（1－i ）2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 答案 D解析 由题意得z ＝（1－i ）21＋i ＝－2i1＋i＝－i(1－i)＝－1－i ，故选D.5．(2017·郑州质检)复数z ＝1＋2i 1－i 的共轭复数z －表示的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 C解析 z ＝1＋2i 1－i ＝（1＋2i ）（1＋i ）（1＋i ）（1－i ）＝－1＋3i 2，z －＝－12－32i ，所表示的点在第三象限．6. (2017·湖北黄冈期末)复数z1，z 2在复平面内分别对应点A ，B ，z 1＝3＋4i ，将点A 绕原点O 逆时针旋转90°得到点B ，则z －2＝( ) A ．3－4i B ．－4－3i C ．－4＋3i D ．－3－4i 答案 B解析 由题意知A(3，4)，B(－4，3)，即z 2＝－4＋3i ，z －2＝－4－3i. 7．(2017·沧州七校联考)已知z 是纯虚数，z ＋21－i 是实数，那么z 等于( )A ．2iB ．iC ．－iD ．－2i 答案 D解析 设纯虚数z ＝bi(b ≠0)，代入z ＋21－i＝bi ＋21－i＝（bi ＋2）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝（2－b ）＋（b ＋2）i2，由于其为实数，∴b ＝－2.8．(2014·江西，理)z －是z 的共轭复数，若z ＋z －＝2，(z －z －)i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．1＋i B ．－1－i C ．－1＋i D ．1－i 答案 D9．设a 是实数，且a1＋i＋1＋i 2是实数，则a ＝( )A ．1 B.12C.15D ．－15 答案 A解析 a1＋i ＋1＋i 2＝a （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＋1＋i 2＝（a ＋1）＋（－a ＋1）i 2，由于该复数为实数，故－a ＋1＝0，即a ＝1.10．(2017·郑州质量预测)在复平面内与复数z ＝5i1＋2i 所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为( ) A ．1＋2iB ．1－2iC ．－2＋iD ．2＋i 答案 C解析 依题意得，复数z ＝5i （1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝i(1－2i)＝2＋i ，其对应的点的坐标是(2，1)，因此点A(－2，1)对应的复数为－2＋i ，选C.11．(2017·宜昌调研)设复数z 满足1－z1＋z ＝i(i 是虚数单位)，则|1＋z|＝( )A ．0B ．1 C.2D ．2 答案 C解析 ∵1－z 1＋z ＝i ，∴z ＝1－i1＋i ＝－i ，∴|z ＋1|＝|－i ＋1|＝ 2.12．下面是关于复数z ＝2－1＋i 的四个命题：p 1：|z|＝2, p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i, p 4：z 的虚部为－1. 其中的真命题为( ) A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2 C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4 答案 C解析 ∵z ＝2－1＋i ＝－1－i ，∴|z|＝2，z 2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i ，z 的共轭复数为－1＋i ，z 的虚部为－1，综上可知p 2，p 4是真命题．13．(2016·课标全国Ⅰ)设(1＋i)x ＝1＋yi ，其中x ，y 是实数，则|x ＋yi|＝( ) A ．1 B. 2 C.3D ．2 答案 B解析 因为(1＋i)x ＝x ＋xi ＝1＋yi ，所以x ＝y ＝1，|x ＋yi|＝|1＋i|＝12＋12＝ 2.故选B.14．对任意复数z ＝x ＋yi(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( ) A ．|z －z|＝2y B ．z 2＝x 2＋y 2 C ．|z －z|≥2x D ．|z|≤|x|＋|y| 答案 D 解析 |z|＝x 2＋y 2≤x 2＋2|xy|＋y 2＝（|x|＋|y|）2＝|x|＋|y|，D 正确，易知A ，B ，C 错误．15．已知函数f(x)＝x 2，i 是虚数单位，则在复平面中复数f （1－i ）2＋i对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 C 解析f （1－i ）2＋i＝（1－i ）2（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝－2i （2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝－2－4i5，在复平面内对应的点(－25，－45)位于第三象限，故选C. 16．(2016·北京，理)设a ∈R ，若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝________． 答案 －1解析 (1＋i)(a ＋i)＝(a －1)＋(a ＋1)i ，由已知得a ＋1＝0，解得a ＝－1. 17．(2017·河南许昌高中联考)给出下列四个命题： ①满足：z ＝1z的复数有±1，±i ；②若a ，b ∈R 且a ＝b ，则(a －b)＋(a ＋b)i 是纯虚数； ③复数z ∈R 的充要条件是z ＝z －；④在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示虚数． 其中正确的命题是________． 答案 ③解析 因为i 2＝－1，所以命题①不正确；对于命题②，当a ＝b ＝0时，不成立，命题②不正确；由共轭复数的定义知，命题③正确；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数，命题④不正确．18．i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 015的值是________． 答案 －1解析 原式＝i （1－i 2 015）1－i ＝i （1－i 3）1－i ＝i （1＋i ）1－i ＝i·i ＝－1.19．计算：(1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i；(2)1－i（1＋i ）2＋1＋i（1－i ）2；(3)1－3i（3＋i ）2. 答案 (1)15＋25i (2)－1 (3)－14－34i解析 (1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i2＋i ＝i （2－i ）5＝15＋25i.(2)1－i（1＋i ）2＋1＋i（1－i ）2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i2＝－1.(3)1－3i （3＋i ）2＝（3＋i ）（－i ）（3＋i ）2＝－i 3＋i＝（－i ）（3－i ）4＝－14－34i.20．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1z 2是实数，求z 2.答案 z 2＝4＋2i解析 (z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i ，设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ， 则z 1z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a)i. ∵z 1z 2∈R ，∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i.1．(2017·湖北八校联考)设x ∈R ，则“x ＝1”是“复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋1)i 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 由纯虚数的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x ＋1≠0，所以x ＝1.故选C.2．复数i1＋2i (i 是虚数单位)的实部是( )A.25B ．－25 C.15D ．－15 答案 A解析 i1＋2i＝2＋i 5，实部为25.3．(2015·四川，理)设i 是虚数单位，则复数i 3－2i ＝( )A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i 答案 C解析 i 3－2i ＝－i －2ii2＝－i ＋2i ＝i ，选C.4．(2015·湖南)已知（1－i ）2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 答案 D解析 由题意得z ＝（1－i ）21＋i ＝－2i1＋i＝－i(1－i)＝－1－i ，故选D.5．(2017·江苏阜宁中学调研)若复数z ＝i ＋i 2 016，则z ＋10z 的模等于________．答案 6 2解析 z ＝i ＋i 2 016＝i ＋1，z ＋10z ＝1－i ＋101＋i ＝6－6i ，其模为6 2.6．(2014·课标全国Ⅰ，理)（1＋i ）3（1－i ）2＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i 答案 D解析 先把分子、分母分别计算，再求解，或利用结论1＋i1－i ＝i.方法一：（1＋i ）3（1－i ）2＝（1＋i ）（1＋i ）2－2i ＝（1＋i ）（1＋i 2＋2i ）－2i ＝（1＋i ）2i－2i＝－1－i.故选D.方法二：（1＋i ）3（1－i ）2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2(1＋i)＝i 2(1＋i)＝－(1＋i)． 7．(2014·安徽，理)设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则z i ＋i ·z ＝( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i 答案 C解析 先根据z 求出z 及zi，结合复数的运算法则求解．∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，z i ＝1＋i i ＝i 2＋ii2＝1－i.∴zi＋i ·z ＝1－i ＋i(1－i)＝(1－i)＋(1＋i)＝2.故选C. 8．(2015·湖北，理)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( ) A ．i B ．－i C ．1 D ．－1 答案 A 解析 i 607＝i 4×151·i 3＝－i ，又－i 的共轭复数为i ，选A.。

题组层级快练(一)1．下列各组集合中表示同一集合的是( ) A ．M ＝{(3，2)}，N ＝{(2，3)} B ．M ＝{2，3}，N ＝{3，2}C ．M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}D ．M ＝{2，3}，N ＝{(2，3)} 答案 B2．集合M ＝{x ∈N |x (x ＋2)≤0}的子集个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 ∵M ＝{x ∈N |x (x ＋2)≤0}＝{x ∈N |－2≤x ≤0}＝{0}，∴M 的子集个数为21＝2.故选B.3．(2021·全国高考Ⅱ卷)设集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，3，6}，B ＝{2，3，4}，则A ∩(∁U B )＝( ) A ．{3} B ．{1，6} C ．{5，6} D ．{1，3}答案 B解析 由题设可得∁U B ＝{1，5，6}，故A ∩(∁U B )＝{1，6}，故选B.4．(2022·江苏海安市摸底)若A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x 2∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＋12∈Z ，则A ∪B 等于( ) A ．B B ．A C ．∅ D ．Z答案 D解析 A ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }为偶数集，B ＝{y |y ＝2n －1，n ∈Z }为奇数集，∴A ∪B ＝Z . 5．已知集合A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3 D ．1或3答案 B解析 ∵A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ， ∴m ＝3或m ＝m . ∴m ＝3或m ＝0或m ＝1.当m＝1时，与集合中元素的互异性矛盾，故选B.6．(2022·石家庄二中模拟)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝() A．[0，1] B．(0，1]C．[0，1) D．(－∞，1]答案 A解析集合M＝{0，1}，集合N＝{x|0<x≤1}，所以M∪N＝{x|0≤x≤1}＝[0，1]．7．(2022·湖北八校联考)已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|x≤4，x∈Z}，则A∩B＝() A．(0，2) B．[0，2]C．{0，2} D．{0，1，2}答案 D解析由已知得A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{0，1，…，16}，所以A∩B＝{0，1，2}．8．(2022·广东中山一中模拟)已知i为虚数单位，集合P＝{－1，1}，Q＝{i，i2}，若P∩Q ＝{z i}，则复数z等于()A．1 B．－1C．i D．－i答案 C解析因为Q＝{i，i2}＝{i，－1}，P＝{－1，1}，所以P∩Q＝{－1}，所以z i＝－1，所以z＝i，故选C.9．集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为() A．0 B．1C．2 D．4答案 D10．设集合M＝{y|y＝2sin x，x∈[－5，5]}，N＝{x|y＝log2(x－1)}，则M∩N＝() A．{x|1<x≤5} B．{x|－1<x≤0}C．{x|－2≤x≤0} D．{x|1<x≤2}答案 D解析∵M＝{y|y＝2sin x，x∈[－5，5]}＝{y|－2≤y≤2}，N＝{x|y＝log2(x－1)}＝{x|x>1}，∴M∩N＝{y|－2≤y≤2}∩{x|x>1}＝{x|1<x≤2}．11．(2022·清华附中诊断性测试)已知集合A＝{x|log2(x－2)>0}，B＝{y|y＝x2－4x＋5，x∈A}，则A∪B＝()A．[3，＋∞) B．[2，＋∞)C．(2，＋∞) D．(3，＋∞)答案 C解析 ∵log 2(x －2)>0，∴x －2>1，即x >3，∴A ＝(3，＋∞)，此时y ＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1>2， ∴B ＝(2，＋∞)，∴A ∪B ＝(2，＋∞)．故选C.12．(2022·山东聊城模拟)已知集合M ，N ，P 为全集U 的子集，且满足M ⊆P ⊆N ，则下列结论中不正确的是( ) A ．∁U N ⊆∁U P B ．∁U P ⊆∁U M C ．(∁U P )∩M ＝∅ D ．(∁U M )∩N ＝∅答案 D解析 根据已知条件画出Venn 图结合各选项知，只有D 不正确．13．(2022·西安市经开一中模拟)集合A ＝{x |x <－1或x ≥3}，B ＝{x |ax ＋1≤0}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫－13，1 B.⎣⎡⎦⎤－13，1 C ．(－∞，－1)∪[0，＋∞) D.⎣⎡⎭⎫－13，0∪(0，1) 答案 A 解析 ∵B ⊆A ，∴①当B ＝∅时，即ax ＋1≤0无解，此时a ＝0，满足题意． ②当B ≠∅时，即ax ＋1≤0有解，当a >0时，可得x ≤－1a ，要使B ⊆A ，则需要⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－1a <－1，解得0<a <1.当a <0时，可得x ≥－1a，要使B ⊆A ，则需要⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－1a ≥3，解得－13≤a <0，综上，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－13，1.故选A. 14．集合A ＝{0，|x |}，B ＝{1，0，－1}，若A ⊆B ，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________，∁B A ＝________．答案 {0，1} {1，0，－1} {－1}解析 因为A ⊆B ，所以|x |∈B ，又|x |≥0，结合集合中元素的互异性，知|x |＝1，因此A ＝{0，1}，则A ∩B ＝{0，1}，A ∪B ＝{1，0，－1}，∁B A ＝{－1}．15．设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N *|lg x <1}，若A ∩(∁U B )＝{m |m ＝2n ＋1，n ＝0，1，2，3，4}，则集合B ＝________．答案{2，4，6，8}解析U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A∩(∁U B)＝{1，3，5，7，9}，∴B＝{2，4，6，8}．16．(2022·安徽省示范高中测试)已知集合A＝{x|x－a≤0}，B＝{1，2，3}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．答案[1，＋∞)解析集合A＝{x|x≤a}，集合B＝{1，2，3}，若A∩B≠∅，则1，2，3这三个元素至少有一个在集合A中，若2或3在集合A中，则1一定在集合A中，因此只要保证1∈A即可，所以a≥1.17．已知集合A＝{x|1<x<k}，集合B＝{y|y＝2x－5，x∈A}，若A∩B＝{x|1<x<2}，则实数k 的值为()A．5 B．4.5C．2 D．3.5答案 D解析B＝(－3，2k－5)，由A∩B＝{x|1<x<2}，知k＝2或2k－5＝2，因为k＝2时，2k－5＝－1，A∩B＝∅，不合题意，所以k＝3.5.故选D.18．已知M，N为R的两个不等的非空子集，若M∩(∁R N)＝∅，则下列结论不正确的是() A．∃x0∈N，使得x0∈M B．∃x0∈N，使得x0∉MC．∀x∈M，都有x∈N D．∀x∈N，都有x∈M答案 D解析对于D，∵M∩(∁R N)＝∅，∴M是N的真子集或M，N相等，又M，N不相等且非空，∴M是N的非空真子集．∴不能保证∀x∈N，都有x∈M.【】题组层级快练(二)1．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的( )A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定答案 B解析 命题p ：“正数a 的平方不等于0”可写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题． 2．有下列四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的逆否命题； ③“若x ≤－3，则x 2＋x －6＞0”的否命题； ④“若a b 是无理数，则ab 是无理数”的逆命题． 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 B3．(2022·河南杞县中学月考)命题“若x 2＋3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题及其真假性为( )A ．“若x ＝4，则x 2＋3x －4＝0”为真命题B ．“若x ≠4，则x 2＋3x －4≠0”为真命题C ．“若x ≠4，则x 2＋3x －4≠0”为假命题D ．“若x ＝4，则x 2＋3x －4＝0”为假命题 答案 C解析 根据逆否命题的定义可以排除A 、D 两项，因为x 2＋3x －4＝0，所以x ＝－4或1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．4．命题“若m >－1，则m >－4”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题“若m >－4，则m >－1”为假命题，故否命题也为假命题．故选B. 5．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 B ．命题“若x 2≤1，则x ≤1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2－x ＝0”的否命题 D ．命题“若a >b ，则1a <1b ”的逆否命题答案 A解析 A 中原命题的逆命题是“若x >|y |，则x >y ”，由x >|y |≥y 可知其是真命题；B 中原命题的否命题是“若x 2>1，则x >1”，是假命题，因为x 2>1⇔x >1或x <－1；C 中原命题的否命题是“若x ≠1，则x 2－x ≠0”，是假命题；D 中原命题的逆否命题是“若1a ≥1b ，则a ≤b ”是假命题，举例：a ＝1，b ＝－1.故选A.6．(2020·天津)设a ∈R ，则“a >1”是“a 2>a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 求解二次不等式a 2>a 可得a >1或a <0， 据此可知“a >1”是“a 2>a ”的充分不必要条件．故选A. 7．(2022·苏锡常镇一模)“0<x <π4”是“0<sin x <π4”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A8．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 (m －1)(a －1)>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧m <1，a <1，而log a m >0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，0<a <1，所以条件具有必要性，但不具有充分性，比如m ＝0，a ＝0时，不能得出log a m >0.故选B. 9．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的( ) A ．必要条件 B ．充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 设p ：攻破楼兰，q ：返回家乡，由已知綈p ⇒綈q ，得q ⇒p ，故p 是q 的必要条件．10．(2022·衡水中学调研卷)如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 “x ≠y ”不能推出“cos x ≠cos y ”，但“cos x ≠cos y ”一定有“x ≠y ”． 11．设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 方法一：当a >b >0时，a >b ⇔a |a |>b |b |；当a >0>b 时，a >b ⇔a |a |>b |b |；当b <a <0时，a >b ⇔a |a |>b |b |，∴选C.方法二：构造函数f (x )＝x |x |，则f (x )在定义域R 上为奇函数．因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，所以函数f (x )在R 上单调递增，所以a ＞b ⇔f (a )＞f (b )⇔a |a |＞b |b |.选C.12．(2021·全国甲卷)等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .设甲：q >0，乙：{S n }是递增数列，则( )A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案 B解析 当a 1<0，q >1时，a n ＝a 1q n －1<0，此时数列{S n }递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{S n }递增时，有S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝a 1q n >0，若a 1>0，则q n >0(n ∈N *)，即q >0；若a 1<0，则q n <0(n ∈N *)，不存在．所以甲是乙的必要条件．13．(2022·西安一模)设命题p ：“x 2 ＋x －6＜0”，命题q ：“|x |＜1”，那么p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 p ：－3＜x ＜2；q ：－1＜x ＜1，易知选B. 14．(1)“x >y >0”是“1x <1y ”的________条件．(2)“tan θ≠1”是“θ≠π4”的________条件．(3)在△ABC 中，“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的________条件． 答案 (1)充分不必要 (2)充分不必要 (3)充要 解析 (1)1x <1y⇒xy ·(y －x )<0，即x >y >0或y <x <0或x <0<y ，则“x ＞y ＞0”是“1x ＜1y”的充分不必要条件．(2)题目即判断θ＝π4是tan θ＝1的什么条件，显然是充分不必要条件．(3)△ABC 中，若A ＝B ，则A ，B 只能为锐角，∴tan A ＝tan B ，则充分性成立；若tan A ＝tan B ，则只能tan A ＝tan B ＞0，∴A ，B 为锐角，∴A ＝B ，必要性成立．15．(1)(2022·菏泽模拟)命题“所有无理数的平方都是有理数”的否定是________． (2)若“x >1”是“不等式2x >a －x 成立”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1)存在一个无理数，它的平方不是有理数 (2)(3，＋∞)解析 (1)全称命题的否定为特称命题，可得命题“所有无理数的平方都是有理数”的否定是：存在一个无理数，它的平方不是有理数．(2)2x >a －x ，即2x ＋x >a .设f (x )＝2x ＋x ，则函数f (x )为增函数．由题意知“2x ＋x >a 成立，即f (x )>a 成立”能得到“x >1”，反之不成立．∵当x >1时，f (x )>3，∴a >3.16．(2021·贵阳模拟)下列不等式： ①x <1；②0<x <1；③－1<x <0；④－1<x <1.其中可以作为“x 2<1”的一个充分条件的所有序号为________． 答案 ②③④17．(2022·潍坊一中月考)若a ，b 都是实数，试从①ab ＝0；②a ＋b ＝0；③a (a 2＋b 2)＝0；④ab ＞0中选出适合的条件，用序号填空． (1)“a ，b 都为0”的必要条件是________； (2)“a ，b 都不为0”的充分条件是________； (3)“a ，b 至少有一个为0”的充要条件是________． 答案 (1)①②③ (2)④ (3)①解析 ①ab ＝0⇔a ＝0或b ＝0，即a ，b 至少有一个为0；②a ＋b ＝0⇔a ，b 互为相反数，则a ，b 可能均为0，也可能为一正一负； ③a (a 2＋b 2)＝0⇔a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0； ④ab >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b <0，则a ，b 都不为0.18．设命题p ：2x －1x －1<0，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．答案 ⎣⎡⎦⎤0，12 解析2x －1x －1<0⇒(2x －1)(x －1)<0⇒12<x <1，x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0⇒a ≤x ≤a ＋1， 由题意得⎝⎛⎭⎫12，1[a ，a ＋1]，故⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，且等号不能同时取到，解得0≤a ≤12.【】题组层级快练(三)1．(2022·湖北宜昌一中月考)下列命题中是假命题的是( ) A ．∃x 0∈R ，log 2x 0＝0 B ．∃x 0∈R ，cos x 0＝1 C ．∀x ∈R ，x 2>0 D ．∀x ∈R ，2x >0答案 C解析 因为log 21＝0，cos 0＝1，所以A 、B 项均为真命题，因为02＝0，所以C 项为假命题，因为2x >0，所以D 项为真命题．2．命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是( ) A ．所有奇数的立方都不是奇数 B ．不存在一个奇数，它的立方是偶数 C ．存在一个奇数，它的立方不是奇数 D ．不存在一个奇数，它的立方是奇数 答案 C解析 全称命题的否定是特称命题，即“存在一个奇数，它的立方不是奇数”． 3．命题“∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x>0”的否定是( ) A ．∃x 0∈R ，⎝⎛⎭⎫13x 0<0 B ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x≤0 C ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x <0 D ．∃x 0∈R ，⎝⎛⎭⎫13x 0≤0答案 D解析 全称命题“∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x>0”的否定是把量词“∀”改为“∃”，并把结论进行否定，即把“>”改为“≤”．故选D.4．命题“∃x0∈∁R Q，x03∈Q”的否定是()A．∃x0∉∁R Q，x03∈Q B．∃x0∈∁R Q，x03∉QC．∀x∉∁R Q，x3∈Q D．∀x∈∁R Q，x3∉Q答案 D解析该特称命题的否定为“∀x∈∁R Q，x3∉Q”．5．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是()A．①③B．①④C．②③D．②④答案 C解析若x>y，则－x<－y成立，即命题p为真命题，若x>y，则x2>y2不一定成立，即命题q为假命题，则綈p是假命题，綈q为真命题，故p∨q与p∧(綈q)是真命题，故选C. 6．(2022·河北保定模拟)命题“∀x∈R，f(x)·g(x)≠0”的否定是()A．∀x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0 B．∀x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0C．∃x0∈R，f(x0)＝0且g(x0)＝0 D．∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0答案 D解析根据全称命题与特称命题互为否定的关系可得命题“∀x∈R，f(x)·g(x)≠0”的否定是“∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0”．故选D.7．若命题p：x∈A∩B，则綈p：()A．x∈A且x∉B B．x∉A或x∉BC．x∉A且x∉B D．x∈A∪B答案 B8．(2022·潍坊一模)已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析因为綈p为真，所以p为假，那么p∧q为假，所以“綈p为真”是“p∧q为假”的充分条件；反过来，若“p∧q为假”，则“p真q假”或“p假q真”或“p假q假”，所以由“p∧q为假”不能推出“綈p为真”．综上可知，“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．9．(2022·江南十校联考)已知命题p：复数z满足(1－i)z＝1＋i，则|z|＝1，命题q：复数z＝1－2i 在复平面内对应的点位于第二象限．则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∨q C ．綈p D ．q答案 B解析 由(1－i)z ＝1＋i ，得z ＝i ，从而|z |＝1，故命题p 为真命题；复数z ＝1－2i 在复平面内对应的点位于第四象限，故命题q 为假命题．故p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 为假命题．故选B.10．(2022·湖南邵阳高三大联考)若命题“∃x 0∈R ，x 02＋2mx 0＋m ＋2<0”为假命题，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪[2，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) C ．[－1，2] D ．(－1，2)答案 C解析 命题的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2mx ＋m ＋2≥0”，该命题为真命题，所以Δ＝4m 2－4(m ＋2)≤0，解得－1≤m ≤2.故选C.11．(2022·山东聊城期末)下列命题是真命题的是( ) A ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 B ．∃α0，β0∈R ，使cos(α0＋β0)＝cos α0＋cos β0C ．向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，0)，则a 在b 的方向上的投影为2D ．“|x |≤1”是“x ≤1”的既不充分又不必要条件 答案 B解析 当φ＝π2时，f (x )＝cos 2x ，为偶函数，故A 为假命题；令α0＝π4，β0＝－π2，则cos(α0＋β0)＝cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝22，cos α0＋cos β0＝22＋0＝22，cos(α0＋β0)＝cos α0＋cos β0成立，故B 为真命题；a 在b 的方向上的投影为a ·b |b |＝－2＋01＝－2，故C 为假命题；由|x |≤1，可得－1≤x ≤1，故充分性成立，若x ≤1，|x |≤1不一定成立，故“|x |≤1”是“x ≤1”的充分不必要条件，D 为假命题．12．(2019·课标全国Ⅲ，文)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ，y )∈D ，2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D ，2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题： ①p ∨q ②綈p ∨q ③p ∧綈q ④綈p ∧綈q 这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③B ．①②C．②③D．③④答案 A解析方法一：作出不等式组表示的平面区域D，如图中阴影部分所示，直线2x＋y＝9和直线2x＋y＝12均穿过了平面区域D，不等式2x＋y≥9表示的区域为直线2x＋y＝9及其右上方的区域，所以命题p为真命题；不等式2x＋y≤12表示的区域为直线2x＋y＝12及其左下方的区域，所以命题q为假命题．所以命题p∨q和p∧綈q为真命题．故选A.方法二：在不等式组表示的平面区域D内取点(7，0)，点(7，0)的坐标满足不等式2x＋y≥9，所以命题p为真命题；点(7，0)的坐标不满足不等式2x＋y≤12，所以命题q为假命题．所以命题p∨q和p∧綈q为真命题．故选A.13．已知命题p：∃x0∈R，mx02＋1≤0；命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0.若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为()A．{m|m≥2} B．{m|m≤－2}C．{m|m≤－2或m≥2} D．{m|－2≤m≤2}答案 A解析由p：∃x0∈R，mx02＋1≤0，可得m<0；由q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，可得Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2.因为p∨q为假命题，所以p与q都是假命题，若p是假命题，则有m≥0；若q是假命题，则有m≤－2或m≥2，故实数m的取值范围为{m|m≥2}．故选A.14．已知命题p：1x2－x－2>0，则綈p对应的x的集合为________．答案{x|－1≤x≤2}解析p：1x2－x－2>0⇔x>2或x<－1，∴綈p：－1≤x≤2.15．(1)已知命题“∀x∈R，sin x－a≥0”是真命题，则a的取值范围是________．答案(－∞，－1]解析由题意，对∀x∈R，a≤sin x成立．由于对∀x∈R，－1≤sin x≤1，所以a≤－1. (2)若命题“∃x0∈R，x02＋(a－1)x0＋1≤0”为假命题，则实数a的取值范围为________．答案(－1，3)解析由“∃x0∈R，x02＋(a－1)x0＋1≤0”为假命题，得“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”为真命题，所以Δ＝(a－1)2－4<0，解得－1<a<3，所以a的取值范围为(－1，3)．16．(2014·课标全国Ⅰ)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2； p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2； p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3； p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2 D ．p 1，p 3答案 C解析 画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝x ＋2y 经过可行域内的点A (2，－1)时，z 取得最小值0，故x ＋2y ≥0，因此p 1，p 2是真命题，选C.17．若f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，∀x 1∈[－1，2]，∃x 0∈[－1，2]，使g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎦⎤0，12 解析 由于函数g (x )在定义域[－1，2]内是任意取值的，且必存在x 0∈[－1，2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，因此问题等价于函数g (x )的值域是函数f (x )值域的子集．在[－1，2]上，函数f (x )的值域是[－1，3]，函数g (x )的值域是[2－a ，2＋2a ]，则有2－a ≥－1且2＋2a ≤3，即a ≤12.又a >0，故a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12. 【】题组层级快练(四)1．设集合P ＝{x |0≤x ≤2}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，则图中能表示P 到Q 的函数的是( )答案 D解析 A 、B 中都有一个x 对应2个y 的情形，C 中1<x ≤2时，没有y 与之对应． 2．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x ＋2，x ∈R 与g (x )＝x ＋2，x ∈Z B ．f (x )＝x －1与g (x )＝x 2－1x ＋1C ．f (u )＝1＋u1－u与f (v )＝1＋v1－vD ．y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1) 答案 C3．函数y ＝|x |（x －1） 的定义域为( ) A ．{x |x ≥1} B ．{x |x ≥1或x ＝0} C ．{x |x ≥0} D ．{x |x ＝0}答案 B解析 由题意得|x |(x －1)≥0，∴x －1≥0或|x |＝0. ∴x ≥1或x ＝0.4．已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)等于( ) A ．lg 2 B ．lg 32 C ．lg132D.15lg 2 答案 D 解析 令x 5＝t ，则x ＝t 15(t >0)，∴f (t )＝lg t 15＝15lg t ．∴f (2)＝15lg 2.故选D.5．(2021·皖南八校联考)下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx答案 D解析 y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，而y ＝1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，y ＝ln xx 的定义域为{x |x >0}，y ＝x e x 的定义域为R ，y ＝sin xx的定义域为{x |x ≠0}，故选D.6．(2022·德州一中模拟)已知函数f (x )＝x [x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[－3]＝－3，[2.1]＝2，则f (－2)的值为( ) A ．－2 2 B ．2 2 C ．－ 2 D. 2答案 B解析 ∵[－2]＝－2，∴f (－2)＝－2×(－2)＝2 2.故选B.7．已知函数f (x )对任意实数x 满足f (2x －1)＝2x 2，若f (m )＝2，则m ＝( ) A ．1 B ．0 C ．1或－3 D ．3或－1 答案 C解析 本题考查函数的概念与解析式的求解．令2x －1＝t ，t ∈R ，可得x ＝12(t ＋1)，故f (t )＝2×14×(t ＋1)2＝12(t ＋1)2，故f (m )＝12(m ＋1)2＝2，故m ＝1或m ＝－3.8．(2022·福州模拟)已知函数f (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 2＋f (x －1)的定义域为( ) A ．(－2，0) B ．(－2，2) C ．(0，2) D.⎝⎛⎭⎫－12，0 答案 C9．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝|x |sgn x 的大致图象是( )答案 C解析 函数f (x )＝|x |sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，0，x ＝0，x ，x <0，故函数f (x )＝|x |sgn x 的图象为直线y ＝x .故选C.10．(2022·江南十校模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x －3，x ≤2，log 2（x －1），x >2，则不等式f (x )>2的解集是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1)∪(5，＋∞)C ．(5，＋∞)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)答案 B解析 当x ≤2时，f (x )＝x 2－4x －3>2，即x 2－4x －5>0，解得x <－1或x >5，故x <－1； 当x >2时，f (x )＝log 2(x －1)>2，即log 2(x －1)>log 24，解得x >5，故x >5. 综上所述，不等式f (x )>2的解集是(－∞，－1)∪(5，＋∞)．11．(2022·烟台调研)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －3，x <1，ln x ，x ≥1，则关于函数f (x )的说法不正确的是( )A ．定义域为RB ．值域为(－3，＋∞)C ．在R 上为增函数D ．只有一个零点答案 B解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －3，x <1，ln x ，x ≥1，∴f (x )的定义域为R ，值域为(－3，e －3)∪[0，＋∞)，且e －3<0，∴f (x )在R 上为增函数，且f (1)＝0，∴f (x )只有一个零点．故A 、C 、D 正确，B 不正确．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ，x <1，2x －1，x ≥1，若f (f (－1))＝3，则b ＝________．答案 3解析 ∵f (－1)＝b －1，∴f (b －1)＝3，当b －1≥1即b ≥2时，2b －1－1＝3，解得b ＝3，当b －1<1即b <2时，b －1＋b ＝3，解得b ＝2(舍)，综上有b ＝3. 13．已知f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则f (3)＝________． 答案 11解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2， ∴f (x )＝x 2＋2(x ∈R )，∴f (3)＝32＋2＝11. 14．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：则f (g (1))的值为________；满足f (g (x ))＞g (f (x ))的x 的值是________．答案 1 215．已知f (2x ＋1)＝x 2－2x ，则f (3)＝________，f (x )＝________． 答案 －1 14x 2－32x ＋54解析 令2x ＋1＝3，则x ＝1，∴f (3)＝12－2×1＝－1.令t ＝2x ＋1，∴x ＝t －12，∴f (t )＝⎝⎛⎭⎫t －122－2·t －12＝14(t 2－2t ＋1)－t ＋1＝14t 2－32t ＋54，∴f (x )＝14x 2－32x ＋54. 16．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，求c 和A 的值．答案 c ＝60，A ＝16解析 因为组装第A 件产品用时15分钟，所以c A ＝15①，所以必有4<A ，且c 4＝c2＝30②，联立①②解得c ＝60，A ＝16.17．(名师原创)将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p ×q (p ≤q 且p ，q ∈N *)是正整数n 的最佳分解时，我们规定函数f (n )＝p q ，例如：f (12)＝34.关于函数f (n )有下列叙述：①f (7)＝17；②f (24)＝38；③f (28)＝47；④f (144)＝916，其中正确的为________．(填序号) 答案 ①③解析 对于①，∵7＝1×7，∴f (7)＝17，①正确；对于②，∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，∴f (24)＝46＝23，②不正确；对于③，∵28＝1×28＝2×14＝4×7，∴f (28)＝47，③正确；对于④，∵144＝1×144＝2×72＝3×48＝4×36＝6×24＝8×18＝9×16＝12×12，∴f (144)＝1212＝1，④不正确．18.如图，在矩形ABCD 中，BA ＝3，CB ＝4，点P 在线段AD 上移动，CQ ⊥BP ，Q 为垂足．设BP ＝x ，CQ ＝y ，试求y 关于x 的函数表达式，并画出函数的图象．答案 y ＝12x (3≤x ≤5)，图象见解析解析 由题意，得△CQB ∽△BAP ，所以CQ BA ＝CB BP ，即y 3＝4x .所以y ＝12x .连接BD ，因为BA ≤BP ≤BD ，而BA ＝3，CB ＝AD ＝4，所以BD ＝32＋42＝5，所以3≤x ≤5.故所求的函数表达式为y ＝12x(3≤x ≤5)．如图所示，曲线MN 就是所求的函数图象．【】专题层级快练(五)1．(2022·上海市杨浦区高三期末)下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x 2 B ．y ＝2xC ．y ＝2xD ．y ＝|log 2x |答案 C解析 函数y ＝x 2的值域为[0，＋∞)，故排除A ； 函数y ＝2x 的值域为{y |y ≠0}，故排除B ；函数y ＝2x 的值域为(0，＋∞)，故C 满足条件； 函数y ＝|log 2x |的值域为[0，＋∞)，故排除D.故选C. 2．函数y ＝1－|x |1＋|x |的值域为( )A ．(－1，1)B ．[－1，1)C ．(－1，1]D ．[－1，1]答案 C解析 方法一(分离常数法)： y ＝1－|x |1＋|x |＝－1＋21＋|x |， ∵|x |≥0，∴|x |＋1≥1，∴0<2|x |＋1≤2.∴－1<－1＋21＋|x |≤1.即函数值域为(－1，1]． 方法二(反解法)：由y ＝1－|x |1＋|x |，得|x |＝1－y 1＋y .∵|x |≥0，∴1－y1＋y≥0，∴－1<y ≤1， 即函数值域为(－1，1]．故选C.3．函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是( ) A ．[－2，2] B ．[1，2] C ．[0，2] D ．[－2，2]答案 C解析 要使函数有意义，则有－x 2＋4x ≥0， ∴x 2－4x ≤0，∴0≤x ≤4，即x ∈[0，4]． ∵－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4， ∴0≤－(x －2)2＋4≤4，即0≤－x 2＋4x ≤2，∴－2≤－－x 2＋4x ≤0， ∴0≤2－－x 2＋4x ≤2， ∴0≤y ≤2，即y ∈[0，2]．故选C. 4．函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，32 B.⎝⎛⎦⎤－∞，32 C.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 答案 B解析 设1－2x ＝t ，则t ≥0，x ＝1－t 22，所以y ＝1＋1－t 22－t ＝12(－t 2－2t ＋3)＝－12(t ＋1)2＋2，因为t ≥0，所以y ≤32.所以函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，32.故选B. 5．(2022·昆明第一中学摸底)函数y ＝ln x ＋1ln x 的值域为( )A ．(－∞，－2]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2，2] 答案 C解析 当x >1时，y ＝ln x ＋1ln x≥2ln x ·1ln x＝2，当且仅当x ＝e 时等号成立；当0<x <1时，y ＝ln x ＋1ln x＝－⎣⎡⎦⎤（－ln x ）＋⎝⎛⎭⎫－1ln x ≤－2（－ln x ）·⎝⎛⎭⎫－1ln x ＝－2，当且仅当x ＝1e时等号成立， 所以函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．故选C.6．(2022·山东菏泽模拟)已知函数f (x )＝log 2x 的值域是[1，2]，则函数φ(x )＝f (2x )＋f (x 2)的定义域为( ) A ．[2，2] B ．[2，4] C ．[4，8] D ．[1，2]答案 A解析 ∵f (x )的值域为[1，2]，∴1≤log 2x ≤2， ∴2≤x ≤4，∴f (x )的定义域为[2，4]， ∴φ(x )＝f (2x )＋f (x 2)的自变量x 满足⎩⎪⎨⎪⎧2≤2x ≤4，2≤x 2≤4，解得2≤x ≤2.∴φ(x )的定义域为[2，2]．故选A.7．定义运算a *b ，a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≤b ），b （a >b ），例如1*2＝1，则函数y ＝1*2x 的值域为( )A ．(0，1)B ．(－∞，1)C ．[1，＋∞) D.(]0，1答案 D解析 当1≤2x ，即x ≥0时，函数y ＝1*2x ＝1，当1＞2x ，即x ＜0时，函数y ＝1*2x ＝2x ，由图知，函数y ＝1*2x 的值域为(0，1]．故选D. 8．下列函数中，值域为[2，＋∞)的是( ) A ．y ＝x 2－x ＋94B ．y ＝x ＋1x (x ≥2)C ．y ＝e sin xD ．y ＝(x ＋1)－23答案 A解析 ∵y ＝x 2－x ＋94＝⎝⎛⎭⎫x －122＋2≥2，∴A 满足题意．∵y ＝x ＋1x ，当x ≥2时为增函数，∴y ≥52，∴排除B.∵－1≤sin x ≤1，∴y ＝e sin x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e ，∴排除C. ∵y ＝(x ＋1)－23＝13（x ＋1）2，值域为(0，＋∞)，∴排除D.9．若对函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)作x ＝h (t )的代换，则不能改变函数f (x )的值域的代换是( ) A ．h (t )＝10t B ．h (t )＝t 2 C ．h (t )＝sin t D ．h (t )＝log 2t答案 D10．下列函数中，同一 同的是( ) A ．y ＝x ＋1＋1 B ．y ＝|ln x | C ．y ＝13x －1D ．y ＝x ＋1x －1答案 D解析 对于A ，定义域为[－1，＋∞)，值域为[1，＋∞)，不满足题意；对于B ，定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于C ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D ，y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)． 11．(1)函数y ＝10x ＋10－x10x －10－x的值域为________．(2)(2022·广东梅州市检测)函数y ＝x 2＋41－2x 2的值域是________． 答案 (1)(－∞，－1)∪(1，＋∞) (2)⎣⎡⎦⎤12，4 解析 (1)由y ＝10x ＋10－x 10x －10－x ，得x ≠0，y ＋1y －1＝102x . ∵102x >0且不为1，∴y ＋1y －1>0且不为1.∴y <－1或y >1.即函数值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． (2)令t ＝1－2x 2，则x 2＝1－t 22， 由x 2≥0和二次根式的非负性，得0≤t ≤1， 则y ＝1－t 22＋4t ＝－12t 2＋4t ＋12，易得函数的值域为⎣⎡⎦⎤12，4.12．函数y ＝x 4＋x 2＋1的值域是________；y ＝x 4－x 2＋1的值域是________． 答案 [1，＋∞) ⎣⎡⎭⎫34，＋∞13．(2022·沧衡八校联盟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，x <1，1x ，x >1的值域为________．答案 (0，＋∞) 解析 当x <1时，f (x )＝x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34； 当x >1时，f (x )＝1x∈(0，1)，综上可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，x <1，1x ，x >1的值域为(0，＋∞)．14．函数y ＝x 2＋x ＋1x ＋1的值域为________．答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 方法一(判别式法)：由y ＝x 2＋x ＋1x ＋1，得x 2＋(1－y )x ＋1－y ＝0.∵x ∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，∴Δ＝(1－y )2－4(1－y )≥0.解得y ≤－3或y ≥1. 当y ＝－3时，x ＝－2；当y ＝1时，x ＝0， ∴函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 方法二(分离常数法)：y ＝x 2＋x ＋1x ＋1＝（x ＋1）2－（x ＋1）＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1，当x >－1时，(x ＋1)＋1x ＋1≥2，当且仅当x ＝0时取等号；当x <－1时，(x ＋1)＋1x ＋1≤－2，当且仅当x ＝－2时取等号， ∴y ≥1或y ≤－3.∴函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．15．(2022·江西省顶级名校模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1，2]解析 当x ≤2时，f (x )＝6－x ≥4，当x >2时，f (x )＝3＋log a x ，当a >1时，3＋log a x >3＋log a 2≥4，解得1<a ≤2；当0<a <1时，3＋log a x <3＋log a 2<3，不合题意，故实数a 的取值范围是1<a ≤2. 16．已知函数f (x )＝lg[(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1]． (1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)若f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围． 答案 (1)(－∞，－1]∪⎝⎛⎭⎫53，＋∞ (2)⎣⎡⎦⎤1，53 解析 (1)依题意(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1>0对一切x ∈R 恒成立，当a 2－1≠0时，其充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，Δ＝（a ＋1）2－4（a 2－1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1或a <－1，a ＞53或a <－1. ∴a <－1或a >53.若a 2－1＝0，则a ＝±1，当a ＝－1时，f (x )＝0，满足题意；当a ＝1时，f (x )＝lg(2x ＋1)，不合题意． ∴a ≤－1或a >53.即a 的取值范围为(－∞，－1]∪⎝⎛⎭⎫53，＋∞. (2)当a 2－1＝0时，a ＝1或－1，检验得a ＝1满足题意． 当a 2－1≠0时，若f (x )的值域为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，Δ＝（a ＋1）2－4（a 2－1）≥0，解得1<a ≤53. 综上得a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤1，53.17．(2022·山东枣庄市三中月考)已知函数f (x )＝32x －2·3x ＋2，定义域为M ，值域为[1，2]，则下列说法中不正确的是( ) A ．M ＝[0，log 32] B ．M ⊆(－∞，log 32] C ．log 32∈M D ．0∈M答案 A解析 令t ＝3x (t >0)，则原函数等价于g (t )＝t 2－2t ＋2＝(t －1)2＋1(t >0)， 由g (t )＝1，得t ＝1，即3x ＝1，得x ＝0； 由g (t )＝2，得t ＝0(舍)或2，即x ＝log 32.根据g (t )的图象特征，知0∈M ，log 32∈M ，M ⊆(－∞，log 32]．A 错误，故选A.18．(2022·沧州七校联考)设函数f (x )＝2x 1＋2x －12，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]的值域为( ) A ．{0} B ．{－1，0} C ．{－1，0，1}D ．{－2，0}解析 ∵f (x )＝1－12x ＋1－12＝12－12x ＋1，又2x >0，∴－12<f (x )<12.∴y ＝[f (x )]的值域为{－1，0}．【】题组层级快练(六)1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2 C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5(x ＋1)答案 A解析 A 中，函数y ＝x ＋1在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故正确；B 中，函数y ＝(x －1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故错误；C 中，函数y ＝2－x＝⎝⎛⎭⎫12x在R 上为减函数，故错误；D 中，函数y ＝log 0.5(x ＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故错误．2．若函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数，则实数b 的取值范围是( ) A ．b ≥0 B ．b ≤0 C ．b >0 D ．b <0答案 A3．函数f (x )＝x －2x －1( )A ．在(－1，＋∞)上单调递增B ．在(1，＋∞)上单调递增C ．在(－1，＋∞)上单调递减D ．在(1，＋∞)上单调递减 答案 B 解析 f (x )＝1－1x －1，∴f (x )的图象可由y ＝－1x 的图象沿x 轴向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，如图所示． 4．函数f (x )＝x |x －2|的单调递减区间是( ) A ．[1，2] B ．[－1，0] C ．[0，2]D ．[2，＋∞)解析 f (x )＝x |x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2，其图象如图，结合图象可知函数的单调递减区间是[1，2]．故选A.5．函数f (x )＝log 0.5(x ＋1)＋log 0.5(x －3)的单调递减区间是( ) A ．(3，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，－1)答案 A解析 由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －3>0，即x >3，又0<0.5<1，∴f (x )在(3，＋∞)上单调递减．6．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．1答案 B解析 ∵f (x )＝(x －1)2＋m －1在[3，＋∞)上为增函数，且f (x )在[3，＋∞)上的最小值为1，∴f (3)＝1，即3＋m ＝1，∴m ＝－2.故选B.7．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1，1) B ．(0，1)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 C解析 由已知得⎪⎪⎪⎪1x >1⇒－1<x <0或0<x <1.故选C.8．(2022·广东省佛山市佛山一中月考)已知函数f (x )是定义域为[0，＋∞)的减函数，且f (2)＝－1，则满足f (2x －4)>－1的实数x 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞) B ．(－∞，3) C ．[2，3) D ．[0，3)答案 C解析 f (x )在定义域[0，＋∞)上是减函数，且f (2)＝－1，∴f (2x －4)>－1可化为f (2x －4)>f (2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －4≥0，2x －4<2，解得2≤x <3. 9．(2022·昆明诊断考试)已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，则( ) A ．f (－2)<f (e)<f (5) B ．f (e)<f (－2)<f (5) C ．f (5)<f (e)<f (－2)D ．f (－2)<f (5)<f (e)解析 因为f (x )定义域为R ，且f (－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数．又当x >0时，f ′(x )＝e x －1e x >0，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．因为2<5<e ，所以f (2)<f (5)<f (e)，又f (－2)＝f (2)，所以f (－2)<f (5)<f (e)．故选D.10．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月二氧化碳的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．以下判断正确的是( ) A ．该单位每月二氧化碳的处理量为200吨时，才能使每吨的平均处理成本最低 B ．该单位每月最低可获利20 000元 C ．该单位每月不获利，也不亏损D ．每月需要国家至少补贴40 000元才能使该单位不亏损 答案 D解析 显然x >0，所以每吨的平均处理成本y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x ·80 000x－200＝2×200－200＝200，当且仅当12x ＝80 000x 即x ＝400时，取等号．所以A 错误．设该单位每月获利为S 元，则S ＝100x －y ＝100x －(12x 2－200x ＋80 000)＝－12(x －300)2－35 000，因为400≤x ≤600，所以当x ＝400时，S 有最大值－40 000.所以每月需要国家至少补贴40 000元才能使该单位不亏损．D 正确．B 、C 错误． 11．在给出的下列4个条件中，①⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，x ∈（－∞，0）； ②⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，x ∈（0，＋∞）； ③⎩⎪⎨⎪⎧a >1，x ∈（－∞，0）； ④⎩⎪⎨⎪⎧a >1，x ∈（0，＋∞）. 能使函数y ＝log a 1x 2为减函数的是________(把你认为正确的条件编号都填上)．答案 ①④解析 利用复合函数的性质知①④正确．12．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________． 答案 14解析 令t ＝x ，则t ≥0， 所以y ＝t －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14， 所以当t ＝12，即x ＝14时，y max ＝14.13．函数f (x )＝－ax ＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________，b ＝________． 答案 1 52解析 因为f (x )＝－ax＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (2)＝2. 即⎩⎨⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52.14．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________． 答案 －6解析 画图知函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫－a 2，＋∞，故3＝－a2，解得a ＝－6. 15．(2022·西安五校联考)若函数f (x )＝e x －e －x ，则不等式f (2x ＋1)＋f (x －2)>0的解集为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 解析 由f (x )定义域为R ，且f (－x )＝－f (x )，知f (x )＝e x －e －x 为奇函数，又易证在定义域R 上，f (x )是增函数，则不等式f (2x ＋1)＋f (x －2)>0等价于f (2x ＋1)>－f (x －2)＝f (－x ＋2)，则2x ＋1>－x ＋2，即x >13，故不等式的解集为⎝⎛⎭⎫13，＋∞.16．(2021·《高考调研》原创题)若log 5x ＋log 51y >e －x －e －y ，则( )A ．(x －1)2>(y －1)2B ．(x －1)2<(y －1)2C ．x 2<y 2D ．x 2>y 2答案 D解析 由log 5x ＋log 51y >e －x －e －y ，得log 5x －e －x >log 5y －e －y ，令f (t )＝log 5t －e －t ，∵y ＝log 5t为(0，＋∞)上的增函数，y ＝－e－t为R 上的增函数，∴f (t )为(0，＋∞)上的增函数，∴由f (x )>f (y )，得x >y >0，∴x 2>y 2.故选D.17．(2021·沧州七校联考)已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，34 B.⎣⎡⎭⎫0，34 C.⎝⎛⎦⎤0，34 D.⎣⎡⎦⎤0，34 答案 D解析 当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5， 在(－∞，3)上是减函数； 当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－4（a －3）4a ≥3，得0<a ≤34.综上，a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，34.【】题组层级快练(七)1．(2022·合肥质检)下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝|x |＋1 B ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝ln x 2 D ．y ＝cos x x答案 B2．(2022·唐山市高三测试)设函数f (x )＝x (e x ＋e －x )，则f (x )( ) A ．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增 B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减 D ．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减 答案 A解析 方法一：由条件可知，f (x )定义域为R ，且f (－x )＝－x (e －x ＋e x )＝－x (e x ＋e －x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．f ′(x )＝e x ＋e －x ＋x (e x －e －x )，当x >0时，e x >e －x ，所以x (e x －e －x )>0，又e x ＋e －x >0，所以f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．故选A.方法二：根据题意知f (－1)＝－f (1)，所以排除B 、D.易知f (1)<f (2)，所以排除C.故选A.3．(2022·浙江宁波十校联考)已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )．若f (m )＝2，则f (－m )的值为( ) A ．3 B ．0 C ．－1 D ．－2答案 B解析 把f (x )＝x 3＋sin x ＋1变形为f (x )－1＝x 3＋sin x ．令g (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，x ∈R ，则g (x )为奇函数，有g (－m )＝－g (m )，所以f (－m )－1＝－[f (m )－1]，得到f (－m )＝－(2－1)＋1＝0.4．(2022·南昌市联考)函数f (x )＝9x ＋13x 的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝x 对称答案 B解析 因为f (x )＝9x ＋13x ＝3x ＋3－x ，易知f (x )为偶函数，所以函数f (x )的图象关于y 轴对称．5．已知f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x (1＋x )，那么当x <0时，f (x )＝( ) A ．－x (1－x ) B ．x (1－x ) C ．－x (1＋x ) D ．x (1＋x )答案 B解析 当x <0时，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝x (1－x )． 6．(2022·皖南八校联考)设f (x )是定义在R 上周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2－x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝( ) A ．－14B ．－12C.14D.12答案 C解析 因为f (x )是定义在R 上周期为2的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－52＝－f ⎝⎛⎭⎫52＝－f ⎝⎛⎭⎫12.又当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2－x ，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫122－12＝－14，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝14. 7．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (3－x )＝f (x )，则f (2 019)＝( ) A ．－3 B ．0 C ．1 D ．3答案 B解析 由题意得f (x )为奇函数，f (0)＝0，由f (3－x )＝f (x )，可得f (x ＋3)＝f (－x )＝－f (x )，。

题组层级快练(三十一)1．已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．2 答案 A解析 ∵a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝18cos 〈a ，b 〉＝－12，∴cos 〈a ，b 〉＝－23.∴a 在b 方向上的投影是|a |cos 〈a ，b 〉＝－4.2．已知a ＝(1，2)，2a －b ＝(3，1)，则a ·b ＝( ) A ．2B ．3 C ．4 D ．5 答案 D解析 ∵a ＝(1，2)，2a －b ＝(3，1)，∴b ＝2a －(3，1)＝2(1，2)－(3，1)＝(－1，3)． ∴a ·b ＝(1，2)·(－1，3)＝－1＋2×3＝5.3．(2015·北京，文)设a ，b 是非零向量．“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若a ·b ＝|a ||b |，则a 与b 的方向相同，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ·b ＝|a ||b |，或a ·b ＝－|a ||b |，所以“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分而不必要条件，选A.4．(2016·课标全国Ⅱ)已知向量a ＝(1，m)，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6 D ．8 答案 D解析 由向量的坐标运算得a ＋b ＝(4，m －2)，由(a ＋b )⊥b ，得(a ＋b )·b ＝12－2(m －2)＝0，解得m ＝8，故选D.5．设a ，b ，c 是单位向量，且a ＋b ＝c ，则a ·c 的值为( ) A ．2 B.12C ．3 D.13答案 B解析 由|a|＝|b|＝|c|＝1，b ＝c －a ，两边平方得b 2＝(c －a )2，∴1＝1＋1－2a ·c ，∴a ·c ＝12.6．已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与向量a ＋b 的夹角为( ) A.π2B.π3 C.π6D ．π 答案 B解析 由题意，得|2a ＋b |2＝4＋4a ·b ＋3＝7，所以a ·b ＝0，所以a ·(a ＋b )＝1，且|a ＋b |＝（a ＋b ）2＝2，故cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·（a ＋b ）|a |·|a ＋b |＝12，所以〈a ，a ＋b 〉＝π3，故选B.7．已知|a |＝1，|b |＝3，a ＋b ＝(3，1)，则a ＋b 与a －b 的夹角为( ) A.π6B.π3 C.2π3D.5π6 答案 C解析 由a ＋b ＝(3，1)得|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝4，又|a |＝1，|b |＝3，所以|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1＋2a ·b ＋3＝4，解得2a ·b ＝0，所以|a －b |＝|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝2，设a ＋b 与a －b 的夹角为θ，则由夹角公式可得cos θ＝（a ＋b ）·（a －b ）|a ＋b ||a －b |＝|a |2－|b |22×2＝－12，且θ∈[0，π]，所以θ＝23π，即a ＋b 与a －b 的夹角为23π.8．(2017·人大附中模拟)已知a ，b 是非零向量，且向量a ，b 的夹角为π3，若向量p ＝a |a |＋b|b |，则|p |＝( ) A ．2＋3B.2＋ 3C ．3 D. 3 答案 D解析 ∵|p |2＝1＋1＋2cos π3，∴|p |＝ 3.9．如图所示，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，则下列向量的数量积中最大的是( )A.P 1P 2→·P 1P 3→B.P 1P 2→·P 1P 4→C.P 1P 2→·P 1P 5→D.P 1P 2→·P 1P 6→ 答案 A解析 由于P 1P 2→⊥P 1P 5→，故其数量积是0，可排除C ；P 1P 2→与P 1P 6→的夹角为23π，故其数量积小于0，可排除D ；设正六边形的边长是a ，则P 1P 2→·P 1P 3→＝|P 1P 2→||P 1P 3→|cos30°＝32a 2，P 1P 2→·P 1P 4→＝|P 1P 2→||P 1P 4→|cos60°＝a 2.故选A.10．设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝( ) A ．150°B ．120° C ．60°D ．30° 答案 B解析 设|a |＝m(m>0)，则由a ＋b ＝c 得(a ＋b )2＝c 2，2m 2＋2m 2cos 〈a ，b 〉＝m 2，cos 〈a ，b 〉＝－12.又0°≤〈a ，b 〉≤180°，因此〈a ，b 〉＝120°，选B.11．(2017·沧州七校联考)已知P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)( )A ．有最大值为8B ．是定值6C ．有最小值为2D ．与点的位置有关 答案 B解析 因为点P 在边BC 上，所以存在实数λ，使AP →＝λAB →＋(1－λ)AC →，所以AP →·(AB →＋AC →)＝[λAB →＋(1－λ)AC →]·(AB →＋AC →)＝4＋AB →·AC →＝6.故选B.12．(2016·北京，文)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为________． 答案π6解析 a ·b ＝23，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝232×2＝32，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝π6.13．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，则|a ＋2b |＝________．答案 3解析 |a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝3，则|a ＋2b |＝3，故填 3.14．(2013·江西，理)设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的投影为________． 答案 52解析 向量a 在b 方向上的投影为|a |·cos 〈a ，b 〉＝a·b|b|，又a·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝2e 12＋6e 1·e 2＝2＋6×12＝5，|b |＝|2e 1|＝2，∴|a |·cos 〈a ，b 〉＝52.15．(2017·衡水调研)若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为________． 答案 120°解析 ∵(2a ＋b )·b ＝0，∴2|a ||b |cos θ＋b 2＝0.由|a |＝|b |，可得cos θ＝－12.故填120°.16．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________． 答案 1，1解析 以D 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．则D(0，0)，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)．设E(1，a)(0≤a ≤1)， 所以DE →·CB →＝(1，a)·(1，0)＝1，DE →·DC →＝(1，a)·(0，1)＝a ≤1.故DE →·DC →的最大值为1.17．设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为π3，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围． 答案 (－7，－142)∪(－142，－12) 解析 由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，得（2t e 1＋7e 2）·（e 1＋t e 2）|2t e 1＋7e 2||e 1＋t e 2|<0，即(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，化简即得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t<－12.当夹角为π时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0， 但此时夹角不是钝角．设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，可求得⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝λt ，λ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－14，t ＝－142.∴所求实数t 的范围是(－7，－142)∪(－142，－12)．1．(2015·新课标全国Ⅱ，文)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 C解析 a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，∴(2a ＋b )·a ＝(1，0)·(1，－1)＝1.2．(2017·保定模拟)若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，(a ＋b )·b ＝32，则向量a ，b 的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 答案 C解析 ∵(a ＋b )·b ＝b 2＋a·b ＝1＋a·b ＝32，∴a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝12，cos 〈a ，b 〉＝12，〈a ，b 〉＝60°.故选C.3．已知向量a ＝(1，2)，a ·b ＝5，|a －b |＝25，则|b |等于( ) A.5B ．2 5 C ．5 D ．25 答案 C解析 由a ＝(1，2)，可得a 2＝|a |2＝12＋22＝5. ∵|a －b |＝25，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝20.∴5－2×5＋b 2＝20.∴b 2＝25.∴|b |＝5，故选C.4．(2017·海淀区期末)设向量a ＝(1，0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a ∥bD ．a －b 与b 垂直 答案 D5．(2016·山东，文)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)．若a ⊥(t a ＋b )，则实数t 的值为________． 答案 －5解析 根据已知，a 2＝2，a ·b ＝10.由a ⊥(t a ＋b )，得a ·(t a ＋b )＝t a 2＋a ·b ＝2t ＋10＝0，解得t ＝－5.6．(2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________． 答案233解析 因为b ·e 1＝b ·e 2＝1，|e 1|＝|e 2|＝1，由数量积的几何意义，知b 在e 1，e 2方向上的投影相等，且都为1，所以b 与e 1，e 2所成的角相等．由e 1·e 2＝12，知e 1与e 2的夹角为60°，所以b 与e 1，e 2所成的角均为30°，即|b |cos30°＝1，所以|b |＝1cos30°＝233.7．(2017·辽宁抚顺一中月考)在△ABC 中，C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →＝( ) A ．2 B ．3 C ．－3 D ．6 答案 B解析 ∵BM →＝2MA →，∴BM →＝23BA →＝23(CA →－CB →)，∴CM →·CB →＝(CB →＋BM →)·CB →＝(13CB →＋23CA →)·CB →＝13CB →2＋23CB →·CA →＝3.故选B.8. (2017·山东师大附中模拟)如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则AO →·BC →的值等于( )A ．－8B ．－1C ．1D ．8 答案 D解析 取BC →的中点D ，连接OD ，AD ，则OD →·BC →＝0且AO →＋OD →＝AD →，即AO →＝AD →－OD →.而AD →＝12(AB →＋AC →)，所以AO →·BC →＝AD →·BC →－OD →·BC →＝AD →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝12(52－32)＝8.故选D.9．若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值是________． 答案 －98解析 由|2a －b |≤3可知，4a 2＋b 2－4a ·b ≤9，所以4a 2＋b 2≤9＋4a ·b .而4a 2＋b 2＝|2a |2＋|b |2≥2|2a |·|b |≥－4a ·b ，所以a ·b ≥－98，当且仅当2a ＝－b 时取等号．10．关于平面向量a ，b ，c ，有下列五个命题： ①若a·b ＝a·c ，则b ＝c ；②|a ·b |＝|a |·|b |⇔a ∥b ； ③a ⊥b ⇔|a ＋b |＝|a －b |；④|a |＝|b |⇔|a ·c |＝|b·c |；⑤若非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°. 其中真命题的序号为______．(写出所有真命题的序号) 答案 ②③解析 ①由数量积定义a·b ＝|a |·|b |·cos θ，若a·b ＝a·c ，则|a |·|b |cos θ＝|a |·|c |cos φ.∴|b |·cos θ＝|c |cos φ，即只要b 和c 在a 上的投影相等， 则a·b ＝a·c .②中∵a·b ＝|a |·|b |cos θ，∴由|a·b |＝|a |·|b |及a ，b 为非零向量可得|cos θ|＝1，∴θ＝0或π，∴a ∥b 且以上各步均可逆，故命题②是真命题．③中当a ⊥b 时，将向量a ，b 的起点确定在同一点，则以向量a ，b 为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等．即有|a ＋b |＝|a －b |.反过来，若|a ＋b |＝|a －b |，则以a ，b 为邻边的四边形为矩形，所以有a ⊥b ，因此命题③是真命题． ④中当|a |＝|b |但a 与c 的夹角和b 与c 的夹角不等时，就有|a·c |≠|b·c |，反过来由|a·c |＝|b·c |也推不出|a |＝|b |.故命题④是假命题． ⑤如图所示，∵|a |＝|b |＝|a －b |，∴△OAB 为等边三角形．而a ＋b ＝OC →，∴a 与OC →夹角为30°.失分警示 解决向量问题常常要数形结合，a ·b 等于|a |乘以b 在a 方向上的投影，或等于|b |乘以a 在b 方向上的投影．11．已知向量a ＝(sin θ，3)，b ＝(1，cos θ)，θ∈(－π2，π2)．(1)若a ⊥b ，求θ； (2)求|a ＋b |的最大值． 答案 (1)－π3(2)3解析 (1)因为a ⊥b ，所以sin θ＋3cos θ＝0.得tan θ＝－ 3. 又θ∈(－π2，π2)，所以θ＝－π3.(2)因为|a ＋b |2＝(sin θ＋1)2＋(cos θ＋3)2＝5＋4sin (θ＋π3)，所以当θ＝π6时，|a ＋b |2的最大值为5＋4＝9.故|a ＋b |的最大值为3.12．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |和|a －b |；(3)若AB →＝a ，AC →＝b ，作△ABC ，求△ABC 的面积． 答案 (1)120° (2)13，37 (3)3 3解析 (1)由(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，得4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61. ∵|a |＝4，|b |＝3，代入上式求得a ·b ＝－6. ∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－64×3＝－12.又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°. (2)可先平方转化为向量的数量积．|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a ＋b |＝13.同理，|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝37.(3)先计算a ，b 夹角的正弦，再用面积公式求值． 由(1)知∠BAC ＝θ＝120°，|AB →|＝|a |＝4，|AC →|＝|b |＝3， ∴S △ABC ＝12|AC →|·|AB →|·sin ∠BAC ＝12×3×4×sin120°＝3 3.。

题组层级快练(五十五)1．已知AB →＝(2，4，5)，CD →＝(3，x ，y)，若AB →∥CD →，则( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152答案 D解析 ∵AB →∥CD →，∴32＝x 4＝y 5，∴x ＝6，y ＝152.2．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( ) A ．(33，33，－33) B ．(33，－33，33) C ．(－33，33，33) D ．(－33，－33，－33) 答案 D解析 AB →＝(－1，1，0)，AC →＝(－1，0，1)，设平面ABC 的一个法向量n ＝(x ，y ，z)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0. 令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，∴n ＝(1，1，1)． 单位法向量为：±n |n |＝±(33，33，33)．3．若平面α的一个法向量为(1，2，0)，平面β的一个法向量为(2，－1，0)，则平面α和平面β的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交但不垂直 C ．垂直 D ．重合答案 C解析 由(1，2，0)·(2，－1，0)＝1×2＋2×(－1)＋0×0＝0，知两平面的法向量相互垂直，所以两平面相互垂直．4．已知向量a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)．若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ等于( ) A.627 B.637 C.607D.657答案 D解析 由题意，得c ＝t a ＋μb ＝(2t －μ，－t ＋4μ，3t －2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧7＝2t －μ，5＝－t ＋4μ，λ＝3t －2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝337，μ＝177，λ＝657.故选D.5．已知AB →＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，z)，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( ) A.337，－157，4 B.407，－157，4 C.407，－2，4 D ．4，407，－15答案 B解析 ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4，又BP ⊥平面ABC ，∴BP ⊥AB ，BP ⊥BC ，又∵BC →＝(3，1，4)，则⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）＋5y ＋6＝0，3（x －1）＋y －12＝0，解得⎩⎨⎧x ＝407，y ＝－157.6．若平面α，β的法向量分别为n 1＝(2，4，5)，n 2＝(8，1，－4)，则( ) A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确答案 B7．设平面α与向量a ＝(－1，2，－4)垂直，平面β与向量b ＝(2，3，1)垂直，则平面α与β位置关系是________． 答案 垂直解析 由已知a ，b 分别是平面α，β的法向量． ∵a ·b ＝－2＋6－4＝0，∴a ⊥b ，∴α⊥β.8．下列命题中，全部正确命题的序号为________．①若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β； ②若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n 1·n 2＝0； ③若n 是平面α的法向量，a ∥α，则n ·a ＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面肯定不垂直． 答案 ①②③④9．(2021·东城区练习)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，M 分别是棱AD ，DD 1，D 1A 1，A 1A ，AB 的中点，点N 在四边形EFGH 的四边及其内部运动，则当N 只需满足条件________时，就有MN ⊥A 1C 1；当N 只需满足条件________时，就有MN ∥平面B 1D 1C. 答案 点N 在EG 上 点N 在EH 上解析 以D 点为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则M(1，12，0)，N(x ，0，z)，A 1C 1→＝(－1，1，0)，因此MN →·A 1C 1→＝(x －1，－12，z)·(－1，1，0)＝1－x －12＝0，即x ＝12，故点N 在EG 上，就有MN ⊥A 1C 1.设平面B 1D 1C 的一个法向量为n ＝(－1，1，1)，若MN ∥平面B 1D 1C ，则MN →·n ＝(x －1，－12，z)·(－1，1，1)＝1－x －12＋z ＝0，即x －z －12＝0，故点N 在EH上，应有MN ∥平面B 1D 1C.10.如右图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的全部棱长都为2，D 为CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD. 答案 略证明 方法一：设平面A 1BD 内的任意一条直线m 的方向向量为m .由共面对量定理，则存在实数λ，μ，使m ＝λBA 1→＋μBD →.令BB 1→＝a ，BC →＝b ，BA →＝c ，明显它们不共面，并且|a |＝|b |＝|c |＝2，a ·b ＝a ·c ＝0，b ·c ＝2，以它们为空间的一组基底，则BA 1→＝a ＋c ，BD →＝12a ＋b ，AB 1→＝a －c ，m ＝λBA 1→＋μBD →＝(λ＋12μ)a ＋μb ＋λc ，AB 1→·m ＝(a －c )·[(λ＋12μ)a ＋μb ＋λc ]＝4(λ＋12μ)－2μ－4λ＝0.故AB 1→⊥m ，结论得证． 方法二：基向量的取法同上．∵AB 1→·BA 1→＝(a －c )·(a ＋c )＝|a |2－|c |2＝0，AB 1→·BD →＝(a －c )·(12a ＋b )＝12|a |2＋a ·b －12a ·c －b ·c ＝0，∴AB 1→⊥BA 1→，AB 1→⊥BD →，即AB 1⊥BA 1，AB 1⊥BD ，由直线和平面垂直的判定定理，知AB 1⊥平面A 1BD. 方法三：取BC 的中点O ，连接AO. ∵△ABC 为正三角形，∴AO ⊥BC.∵在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，∴AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，OB →，OO 1→，OA →的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示，则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A(0，0，3)，B 1(1，2，0)．设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，BA 1→＝(－1，2，3)，BD →＝(－2，1，0)．则n ⊥BA 1→，n ⊥BD →，故⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA 1→＝0，n ·BD →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＋3z ＝0，－2x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝2，z ＝－ 3.故n ＝(1，2，－3)为平面A 1BD 的一个法向量，而AB 1→＝(1，2，－3)，∴AB 1→＝n ，即AB 1→∥n ，∴AB 1⊥平面A 1BD.11.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝22AD ，设E ，F 分别为PC ，BD 的中点．(1)求证：EF ∥平面PAD ； (2)求证：平面PAB ⊥平面PDC. 答案 (1)略 (2)略 思路 建立空间直角坐标系(1)求平面法向量线线垂直线面平行(2)求平面法向量线面垂直面面垂直证明 如图，取AD 的中点O ，连接OP ，OF. 由于PA ＝PD ，所以PO ⊥AD.由于侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以PO ⊥平面ABCD.又O ，F 分别为AD ，BD 的中点，所以OF ∥AB. 又ABCD 是正方形，所以OF ⊥AD. 由于PA ＝PD ＝22AD ，所以PA ⊥PD ，OP ＝OA ＝a 2. 以O 为原点，OA ，OF ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A(a 2，0，0)，F(0，a2，0)，D(－a 2，0，0)，P(0，0，a 2)，B(a 2，a ，0)，C(－a2，a ，0)．由于E 为PC 的中点，所以E(－a 4，a 2，a4)．(1)易知平面PAD 的一个法向量为OF →＝(0，a 2，0)，由于EF →＝(a 4，0，－a 4)，且OF →·EF →＝(0，a 2，0)·(a 4，0，－a 4)＝0，所以EF ∥平面PAD.(2)由于PA →＝(a 2，0，－a 2)，CD →＝(0，－a ，0)，所以PA →·CD →＝(a 2，0，－a 2)·(0，－a ，0)＝0，所以PA →⊥CD →，所以PA ⊥CD.又PA ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ，所以PA ⊥平面PDC. 又PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PDC.12.如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面相互垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．(1)求证：AM ∥平面BDE ； (2)求证：AM ⊥平面BDF. 答案 (1)略 (2)略证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC ∩BD ＝N ，连接NE. 则点N ，E 的坐标分别为(22，22，0)，(0，0，1)． ∴NE →＝(－22，－22，1)．又点A ，M 的坐标分别是(2，2，0)，(22，22，1)， ∴AM →＝(－22，－22，1)．∴NE →＝AM →且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM.又∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE. (2)同(1)，AM →＝(－22，－22，1)，∵D(2，0，0)，F(2，2，1)，∴DF →＝(0，2，1)． ∴AM →·DF →＝0.∴AM →⊥DF →.同理AM →⊥BF →.又DF ∩BF ＝F ，∴AM ⊥平面BDF.13.已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝90°，2AB ＝2AD ＝CD ，侧面PAD 是正三角形且垂直于底面ABCD ，E 是PC 的中点．(1)求证：BE ⊥平面PCD ；(2)在PB 上是否存在一点F ，使AF ∥平面BDE? 答案 (1)略 (2)F 为PB 中点时，AF ∥平面BDE解析 (1)以AD 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设AB ＝AD ＝2，则有B(1，2，0)，C(－1，4，0)， D(－1，0，0)，P(0，0，3)，E(－12，2，32)．∴BE →＝(－32，0，32)，PC →＝(－1，4，－3)，CD →＝(0，－4，0)．∴BE →·PC →＝(－32，0，32)·(－1，4，－3)＝0，BE →·CD →＝(－32，0，32)·(0，－4，0)＝0.即BE ⊥PC ，BE ⊥CD.又PC ∩CD ＝C ，∴BE ⊥平面PCD. (2)设平面BDE 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，∵n ⊥BE →，n ⊥DE →，∴n ·BE →＝0，n ·DE →＝0.∴⎩⎨⎧－32x ＋32z ＝0，12x ＋2y ＋32z ＝0.令y ＝－1，则x ＝1，z ＝ 3.∴平面BDE 的一个法向量为n ＝(1，－1，3)． 取PB 中点F ，则有F(12，1，32)．又A(1，0，0)，∴AF →＝(－12，1，32)．∵AF →·n ＝(－12，1，32)·(1，－1，3)＝－12－1＋32＝0，∴AF →⊥n .又n 是平面BDE 的法向量，且AF ⊄平面BDE ， ∴AF ∥平面BDE.故存在PB 中点F 使AF ∥平面BDE.1.如右图所示，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2. (1)求证：EF ∥平面PAB ； (2)求证：平面PAD ⊥平面PDC. 答案 (1)略 (2)略思路 建立空间直角坐标系后，使用向量的共线定理证明EF →∥AB →即可证明第(1)问，第(2)问依据向量的垂直关系证明线线垂直，进而证明线面垂直，得出面面垂直．证明 以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如下图所示，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)，所以E 为(12，1，12)，F 为(0，1，12)．EF →＝(－12，0，0)，PB →＝(1，0，－1)，PD →＝(0，2，－1)，AP →＝(0，0，1)，AD →＝(0，2，0)，DC →＝(1，0，0)，AB →＝(1，0，0)． (1)由于EF →＝－12AB →，所以EF →∥AB →，即EF ∥AB.又AB ⊂平面PAB ，EF ⊄平面PAB ，所以EF ∥平面PAB.(2)由于AP →·DC →＝(0，0，1)·(1，0，0)＝0，AD →·DC →＝(0，2，0)·(1，0，0)＝0，所以AP →⊥DC →，AD →⊥DC →，即AP ⊥DC ，AD ⊥DC.又AP ∩AD ＝A ，AP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以DC ⊥平面PAD.由于DC ⊂平面PDC ，所以平面PAD ⊥平面PDC.2．(2021·衡水中学调研卷)如图所示，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱A 1A ＝2.(1)证明：AC ⊥A 1B ；(2)是否在棱A 1A 上存在一点P ，使得AP →＝λPA 1→且面AB 1C 1⊥面PB 1C 1. 答案 (1)略 (2)点P 不存在解析 以DA ，DC ，DA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，A 1(0，0，3)，B(1，1，0)，D 1(－1，0，3)，B 1(0，1，3)，C 1(－1，1，3)． (1)AC →＝(－1，1，0)，A 1B →＝(1，1，－3)，∴AC →·A 1B →＝0，∴AC ⊥A 1B. (2)假设存在∵AP →＝λPA 1→，∴P(11＋λ，0，3λ1＋λ)．设平面AB 1C 1的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， ∵AB 1→＝(－1，1，3)，AC 1→＝(－2，1，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB 1→＝－x 1＋y 1＋3z 1＝0，n 1·AC 1→＝－2x 1＋y 1＋3z 1＝0.令z 1＝3，则y 1＝－3，x 1＝0. ∴n 1＝(0，－3，3)．同理可求面PB 1C 1的一个法向量为n 2＝(0，3λ＋1，－1)，∴n 1·n 2＝0.∴－331＋λ－3＝0，即λ＝－4.∵P 在棱A 1A 上，∴λ>0冲突． ∴这样的点P 不存在．。

题组层级快练(二十九)1．下列命题中是真命题的是( )①对任意两向量a ，b ，均有：|a |－|b |<|a |＋|b |； ②对任意两向量a ，b ，a －b 与b －a 是相反向量； ③在△ABC 中，AB →＋BC →－AC →＝0；④在四边形ABCD 中，(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →)＝0； ⑤AB →－AC →＝BC →.A ．①②③B ．②④⑤C ．②③④D ．②③答案 D解析 ①假命题．∵当b ＝0时，|a |－|b |＝|a |＋|b |.∴①不成立．②真命题．∵(a －b )＋(b －a )＝a ＋(－b )＋b ＋(－a )＝a ＋(－a )＋b ＋(－b )＝(a －a )＋(b －b )＝0，∴a －b 与b －a 是相反向量．③真命题．∵AB →＋BC →－AC →＝AC →－AC →＝0，∴③成立． ④假命题．∵AB →＋BC →＝AC →，CD →＋DA →＝CA →，∴(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →)＝AC →－CA →＝AC →＋AC →≠0.∴该命题不成立． ⑤假命题．∵AB →－AC →＝AB →＋CA →＝CB →≠BC →，∴该命题不成立． 2．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b ；若a ∥b ，则a ＝λb ，a ＋b ＝0不肯定成立，故前者是后者的充分不必要条件．3．如图所示，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( )A.AB →＝DC →B.AD →＋AB →＝AC →C.AB →－AD →＝BD →D.AD →＋CB →＝0答案 C解析 由AB →－AD →＝DB →＝－BD →，故C 错误．4．(2022·新课标全国Ⅰ，文)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A.AD → B.12AD → C.BC → D.12BC → 答案 A解析 EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →，故选A.5．若a ，b ，a ＋b 为非零向量，且a ＋b 平分a 与b 的夹角，则( ) A ．a ＝b B ．a ＝－b C ．|a |＝|b | D ．以上都不对 答案 C6．设a 是任一向量，e 是单位向量，且a ∥e ，则下列表示形式中正确的是( ) A ．e ＝a|a |B ．a ＝|a |eC ．a ＝－|a |eD ．a ＝±|a |e 答案 D解析 对于A ，当a ＝0时，a|a |没有意义，错误；对于B ，C ，D 当a ＝0时，选项B ，C ，D 都对； 当a ≠0时，由a ∥e 可知，a 与e 同向或反向，选D.7．(2021·安徽毛坦厂中学期中)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，G 为EF 的中点，则AG →＝( )A.23AB →＋13AD →B.13AB →＋23AD →C.34AB →＋34AD → D.23AB →＋23AD → 答案 C解析 连接AF ，AE ，由G 为EF 的中点，得AG →＝12(AF →＋AE →)＝12(AD →＋DF →)＋12(AB →＋BE →)＝12(AD →＋12DC →)＋12(AB→＋12BC →)＝12(AD →＋12AB →)＋12(AB →＋12AD →)＝34AB →＋34AD →.故选C.8．(2021·武汉调研测试)如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝ ( )A.OH →B.OG →C.EO →D.FO →答案 D解析 在方格纸上作出OP →＋OQ →，如图所示，则简洁看出OP →＋OQ →＝FO →，故选D.9．(2022·福建，文)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( ) A.OM → B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM →答案 D解析 利用平面对量的平行四边形法则进行加法运算．由于点M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以点M 是AC 和BD 的中点．由平行四边形法则知OA →＋OC →＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →，故OA →＋OC →＋OB →＋OD →＝4OM →.10．已知向量i 与j 不共线，且AB →＝i ＋m j ，AD →＝n i ＋j ，若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 应当满足的条件是( ) A ．m ＋n ＝1B ．m ＋n ＝－1C ．mn ＝1D ．mn ＝－1答案 C解析 由A ，B ，D 共线可设AB →＝λAD →，于是有i ＋m j ＝λ(n i ＋j )＝λn i ＋λj .又i ，j 不共线，因此⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝1，λ＝m ，即有mn ＝1.11．(2021·湖南常德)已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数k 使得CA →＋CB →＝kCM →成立，则k ＝( ) A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 由向量的运算法则可将CA →＋CB →＝kCM →化成MA →－MC →＋MB →－MC →＋kMC →＝0，所以k －2＝1，即k ＝3.故选B.12．(2022·北京东城)在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23， BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是( ) A ．[0，1] B ．[0，3] C ．[0，12]D ．[12，2]答案 C解析 如图所示，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F.在Rt △BCF 中，∠B ＝30°，BC ＝2，∴CF ＝1，BF ＝ 3.∵AB ＝23，∴AF ＝ 3.由四边形AFCD 是平行四边形，可得CD ＝AF ＝3＝12AB.∵AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋μAB →，∴DE →＝μAB →.∵DE →∥DC →，DC →＝12AB →，∴0≤μ≤12.故选C.13．如图所示，下列结论不正确的是________．①PQ →＝32a ＋32b ；②PT →＝－32a －32b ；③PS →＝32a －12b ；④PR →＝32a ＋b .答案 ②④解析 由a ＋b ＝23PQ →，知PQ →＝32a ＋32b ，①正确；由PT →＝32a －32b ，从而②错误；PS →＝PT →＋b ，故PS →＝32a －12b ，③正确；PR →＝PT →＋2b ＝32a ＋12b ，④错误．故正确的为①③.14．设a 和b 是两个不共线的向量，若AB →＝2a ＋k b ，CB →＝a ＋b ，CD →＝2a －b ，且A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值等于________． 答案 －4解析 ∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →∥BD →.∵AB →＝2a ＋k b ，BD →＝BC →＋CD →＝a －2b ，∴k ＝－4.故填－4. 15．(2021·新课标全国Ⅱ，理)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________． 答案 12解析 由于λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以存在μ∈R ，使得λa ＋b ＝μ(a ＋2b )，即(λ－μ)a ＋(1－2μ)b ＝0，由于向量a ，b 不平行，所以λ－μ＝0，1－2μ＝0，解得λ＝μ＝12.16.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．答案 2解析 AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →.∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1.∴m ＋n ＝2，故填2.17．已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c ＝2e 1－9e 2.问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？ 答案 当λ＝－2μ时共线解析 ∵d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2)＝(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2. 要使d 与c 共线，则应有实数k ，使d ＝k c .即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 1－9k e 2.即⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ. 故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d 与c 共线．1．已知向量e 1，e 2是两个不共线的向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝________． 答案 －12解析 由于a 与b 共线，所以a ＝x b ，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，λx ＝－1，故λ＝－12.2．(2021·唐山统考)在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝( ) A.12AB →＋12AD → B.34AB →＋12AD → C.34AB →＋14AD → D.12AB →＋34AD → 答案 B解析 由于AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB→＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B.3．(2021·河南许昌月考)在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足BD ＝12DC ，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AM →＝mAB →，AN →＝nAC →，则( )A ．m ＋n 是定值，定值为2B ．2m ＋n 是定值，定值为3 C.1m ＋1n 是定值，定值为2 D.2m ＋1n是定值，定值为3 答案 D解析 过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E.由AN →＝nAC →可得AC AN ＝1n ，所以ME AM ＝NC AN ＝n －1n .由BD ＝12DC 得BM ME ＝12，所以AM AB ＝2n 3n －1.由于AM →＝mAB →，所以m ＝2n 3n －1，整理可得2m ＋1n ＝3.故选D. 4．(2021·山东栖霞高中)如图所示，已知△AOB ，点C 是点B 关于点A 的对称点，OD →＝2DB →，DC 和OA 交于点E ，若OE →＝λOA →，则实数λ的值为________．答案 45解析 设OA →＝a ，OB →＝b .由题意知A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则知OB →＋OC →＝2OA →.∴OC→＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .又∵EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，EC →∥DC →，∴2－λ2＝153，∴λ＝45.5．(2021·北京海淀期末)如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.12 B ．－12C ．1D ．－1答案 A解析 由于E 为DC 的中点，所以AC →＝AB →＋AD →＝12AB →＋12AB →＋AD →＝12AB →＋AE →，即AE →＝－12AB →＋AC →，所以λ＝－12，μ＝1，所以λ＋μ＝12.6．(2021·山东胶州期中)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，对角线AC ，DB 相交于点O.若AD →＝a ，AB →＝b ，则OC →＝( )A ．－a 3－b 3B.a 3＋b 6C.2a 3＋b 3D.2a 3－b 3答案 B解析 ∵AB ∥CD ，AB ＝2CD ，∴△DOC ∽△BOA 且AO ＝2OC ， 则AO →＝2OC →＝23AC →，OC →＝13AC →，而AC →＝AD →＋DC →＝AD →＋12AB →＝a ＋12b ，∴OC →＝13AC →＝13(a ＋12b )＝13a ＋16b .7.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝________．答案 b －12a解析 BE →＝BA →＋AD →＋12DC →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a .8．(2021·北京)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________． 答案 12 －16解析 由题中条件得MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →＝xAB →＋yAC →，所以x ＝12，y ＝－16.9．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的外形是( ) A ．矩形 B ．平行四边形 C ．梯形 D ．以上都不对答案 C解析 由已知AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →. ∴AD →∥BC →.又AB →与CD →不平行，∴四边形ABCD 是梯形．10．在△ABC 所在的平面内有一点P ，假如2PA →＋PC →＝AB →－PB →，那么△PBC 的面积与△ABC 的面积之比是( ) A.34B.12C.13D.23答案 A解析 由已知的向量关系式2PA →＋PC →＝AB →－PB →，得2PA →＋PC →＝AP →，即PC →＝3AP →，所以点P 在AC 上，且PC ＝3AP ，由相像的性质知，△PBC 与△ABC 在边BC 上的高的比为3∶4，则△PBC 与△ABC 的面积比为3∶4，选A.11．(2021·衡水中学调研卷)在△ABC 中，P 是BC 边的中点，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cAC →＋aPA →＋bPB →＝0，则△ABC 的外形为( ) A ．等边三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形答案 A解析 如图，由cAC →＋aPA →＋bPB →＝0知，c(PC →－PA →)＋aPA →－bPC →＝(a －c)PA →＋(c －b) PC →＝0，而PA →与PC →为不共线向量，∴a －c ＝c －b ＝0，∴a ＝b ＝c.故选A.12．(2021·江苏)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 答案 12解析 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，∵DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12. 13．设a ，b 是不共线的两个非零向量， (1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ， 求证：A ，B ，C 三点共线；(2)若8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，求实数k 的值． 答案 (1)略 (2)±4解析 (1)∵AB →＝(3a ＋b )－(2a －b )＝a ＋2b ，BC →＝(a －3b )－(3a ＋b )＝－2a －4b ＝－2AB →，∴AB →与BC →共线，且有公共端点B.∴A ，B ，C 三点共线．(2)∵8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，∴存在实数λ，使得(8a ＋k b )＝λ(k a ＋2b )． ∴(8－λk)a ＋(k －2λ)b ＝0.∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧8－λk ＝0，k －2λ＝0⇒8＝2λ2⇒λ＝±2.∴k ＝2λ＝±4.14．如图所示，已知点G 是△ABO 的重心．(1)求GA →＋GB →＋GO →；(2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ， 求证：1m ＋1n＝3.答案 (1)GA →＋GB →＋GO →＝0 (2)略解析 (1)如图所示，延长OG 交AB 于M 点，则M 是AB 的中点．∴GA →＋GB →＝2GM →.∵G 是△ABO 的重心，∴GO →＝－2GM →.∴GA →＋GB →＋GO →＝0. (2)∵M 是AB 边的中点，∴OM →＝12(OA →＋OB →)＝12(a ＋b )．又∵G 是△ABO 的重心，∴OG →＝23OM →＝13(a ＋b )．∴PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝(13－m)a ＋13b .而PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，∵P ，G ，Q 三点共线，∴有且只有一个实数λ，使得PG →＝λPQ →.∴(13－m)a ＋13b ＝λn b －λm a .∴(13－m ＋λm)a ＋(13－λn)b ＝0. ∵a 与b 不共线，∴⎩⎨⎧13－m ＋λm ＝0，13－λn ＝0.消去λ，得1m ＋1n ＝3.。

题组层级快练(八十)1．一枚硬币连掷2次，恰好消灭1次正面的概率是( ) A.12 B.14 C.34 D ．0答案 A解析 列举出全部基本大事，找出“只有1次正面”包含的结果．一枚硬币连掷2次，基本大事有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)共4个，而只有1次消灭正面的包括(正，反)，(反，正)2个，故其概率为24＝12.2．(2021·孝感二模)某天下课以后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学．若他们依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D.15 答案 A解析 方法一：已知2位女同学和2位男同学走出的全部可能挨次有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所以第2位走出的是男同学的概率P ＝36＝12.方法二：第2位走出男同学或女同学的概率相同．∴其概率应为12.事实上，第几位走出男同学的概率都是12.3．(2021·云南统一检测)在2，0，1，5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为( ) A.34 B.58 C.12 D.14 答案 C解析 分析题意可知，共有(0，1，2)，(0，2，5)，(1，2，5)，(0，1，5)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P ＝12.4．现接受随机模拟的方法估量某运动员射击4次，至少击中3次的概率；先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 依据以上数据估量射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( ) A ．0.852 B ．0.819 2 C ．0.8 D ．0.75答案 D解析 由于射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140，1417，0371，6011，7610，共5组，所以射击4次至少击中3次的概率为1－520＝0.75，故选D.5．(2021·长沙雅礼中学质检)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－2为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是( ) A.12 B.35 C.45 D.710 答案 D解析 数列的通项公式为a n ＝(－2)n －1，数列中的偶数项都为负数，小于8，共有5项，奇数项的第1，3项小于8，故小于8的数有7个，因此概率为P ＝710.6．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a ，从{1，2，3}中随机选取一个数为b ，则b>a 的概率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15 答案 D解析 基本大事的个数有5×3＝15，其中满足b>a 的有3种，所以b>a 的概率为315＝15.7．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( ) A.110 B.18 C.16 D.15 答案 D 解析在正六边形中，6个顶点选取4个，种数为15.选取的4点能构成矩形的，只有对边的4个顶点(例如AB 与DE)，共有3种，∴所求概率为315＝15.8．从1，2，…，9这9个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是( ) A.59 B.49 C.1121 D.1021答案 C解析 基本大事总数为C 93，设抽取3个数，和为偶数为大事A ，则A 大事包括两类：抽取3个数全是偶数，或抽取3个数中2个奇数1个偶数，前者有C 43种，后者有C 41C 52种，所以A 中基本大事数为C 43＋C 41C 52，所以符合要求的概率为C 43＋C 41C 52C 93＝1121.故选C.9．(2021·甘肃模拟)投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋ni)2为纯虚数的概率为( ) A.13 B.14 C.16 D.112 答案 C解析 投掷两颗骰子共有36种结果，由于(m ＋ni)2＝m 2－n 2＋2mni ，所以要使复数(m ＋ni)2为纯虚数，则有m 2－n 2＝0，即m ＝n ，共有6种结果，所以复数为纯虚数的概率为636＝16，故选C.10．一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为( ) A.132 B.164 C.332 D.364答案 D解析 基本大事为(1，1)，(1，2)，…，(1，8)，(2，1)，(2，2)，…，(8，8)，共64种．两球编号之和不小于15的状况有三种，分别为(7，8)，(8，7)，(8，8)，∴所求概率为364.11．(2021·惠州调研)设A ，B 两名同学均从两位数学老师和两位英语老师中选择一位老师给自己来补课，若A ，B 不选同一位老师，则同学A 选择数学老师，同学B 选择英语老师的概率为( )A.13B.512 C.12 D.712答案 A解析 设两位数学老师用1，2表示，两位英语老师用3，4表示，不妨让A 先选，B 后选(不重复)，则他们全部的选择结果如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共12种状况，其中同学A 选择数学老师，同学B 选择英语老师(数学在前，英语在后)的结果有(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，共4种状况，所以所求概率P ＝13.12．从集合{a ，b ，c ，d ，e}的全部子集中任取一个，则该子集恰是集合{a ，b ，c}的子集的概率是________． 答案 1413．(2022·新课标全国Ⅱ文)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________． 答案 13解析 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的全部可能状况为(红，白)，(白，红)，(红，蓝)，(蓝，红)，(白，蓝)，(蓝，白)，(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共9种，他们选择相同颜色运动服的全部可能状况为(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．故所求概率为P ＝39＝13.14．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片，从盒中随机抽取一张登记号码后放回，再随机抽取一张登记号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为________． 答案 59解析 对立大事为：两次抽的卡片号码中都为奇数，共有2×2＝4种抽法．而有放回的两次抽了卡片共有3×3＝9种基本大事，因此所求大事概率为1－49＝59.15．(2021·江苏)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n(m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________． 答案2063解析 从正整数m ，n(m ≤7，n ≤9)中任取两数的全部可能结果有C 71C 91＝63个，其中m ，n 都取奇数的结果有C 41C 51＝20个，故所求概率为2063.16．(2021·天津文)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18.现接受分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参与竞赛． (1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，现从这6名运动员中随机抽取2人参与双打竞赛．①用所给编号列出全部可能的结果；②设A 为大事“编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求大事A 发生的概率． 答案 (1)3，1，2 (2)①略 ②35解析 (1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3，1，2.(2)①从6名运动员中随机抽取2人参与双打竞赛的全部可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到的全部可能结果为{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共9种． 因此，大事A 发生的概率P(A)＝915＝35.17．如图所示是某市2021年2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；(2)求此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率． 答案 (1)16 (2)23解析 (1)在2月1日至今2月12日这12天中，只有5日，8日共2天的空气质量优良，所以此人到达当时空气质量优良的概率P ＝212＝16.(2)依据题意，大事“此人在该市停留期间至多有1天空气重度污染”，即“此人到达该市停留期间0天空气重度污染或仅有1天空气重度污染”．“此人在该市停留期间0天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或8日或9日”，其概率为312＝14. “此人在该市停留期间仅有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是3日或5日或6日或7日或10日”，其概率为512.所以此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率为P ＝14＋512＝23.1．(2021·浙江金丽衢十二校二联)4张卡上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为( ) A.12 B.13 C.23 D.34答案 B解析 由于从四张卡片中任取出两张的状况为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6种．其中两张卡片上数字和为偶数的状况为(1，3)，(2，4)共2种，所以两张卡片上的数字之和为偶数的概率为13.2．(2021·武汉调研)同时抛掷两颗均匀的骰子，则向上的点数之差的确定值为4的概率为 ( ) A.118B.112 C.19 D.16 答案 C解析 同时抛掷两颗骰子，基本大事总数为36，记“向上的点数之差的确定值为4”为大事A ，则大事A 包含的基本大事有(1，5)，(2，6)，(5，1)，(6，2)，共4种，故P(A)＝436＝19.3．(2021·合肥二模)从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参与某公益活动，每天一人，则星期六支配一名男生、星期日支配一名女生的概率为( ) A.13 B.512 C.12 D.712答案 A解析 设2名男生记为A 1，A 2，2名女生记为B 1，B 2，任意选择两个在星期六、星期日参与某公益活动，共有A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，B 1B 2，A 2A 1，B 1A 1，B 2A 1，B 1A 2，B 2A 2，B 2B 1 12种状况，而星期六支配一名男生、星期日支配一名女生共有A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2 4种状况，则发生概率为P ＝412＝13，故选A.4．有3个爱好小组，甲、乙两位同学各自参与其中一个小组，若每位同学参与各个小组的可能性相同，则这两位同学参与同一个爱好小组的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34 答案 A解析 由题意得，甲、乙两位同学参与小组的全部可能的状况共3×3＝9种．又两位同学参与同一个爱好小组的种数为3，故概率为39＝13.5．(2022·江苏)从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________． 答案 13解析 从1，2，3，6中随机取2个数，共有6种不同的取法，其中所取2个数的乘积是6的有1，6和2，3，共2种，故所求概率是26＝13.6．一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球与2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、其次次为黑球的概率为 ( ) A.35 B.310 C.12 D.625 答案 B解析 设3个白球分别为a 1，a 2，a 3，2个黑球分别为b 1，b 2，则先后从中取出2个球的全部可能结果为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 3，a 1)，(b 1，a 1)，(b 2，a 1)，(a 3，a 2)，(b 1，a 2)，(b 2，a 2)，(b 1，a 3)，(b 2，a 3)，(b 2，b 1)，共20种．其中满足第一次为白球、其次次为黑球的有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，共6种，故所求概率为620＝310.。