§1-2 晶棱和晶面指数
这一节主要是讨论表示利用晶格的概念来表示晶棱和晶面的方法。
晶棱与晶向：由于晶体结构的周期性，晶格中各格点的周围情况都是一样的，因此通过任意两个格点作一条直线，则在直线上所有格点的周期相同，这样的直线称为晶棱。再通过其它格点还可以做许多与此晶棱平行的直线，这些平行直线组成一个晶棱族，如图1-8所示。同一晶棱族的方向相同，而且能把所有点子包括无遗。此外，通过同一格点还可沿不同方向作无限多晶棱，如图1-9中通过O的晶棱有1、2、3、4、5等等，其中每一个晶棱都有一组晶棱与之对应，就是说，可以做无限多个晶棱族，各族晶棱可以通过取向不同而加以区别。晶棱的取向也简称晶向。只要表出了晶向，该组晶棱的特点也就知道了。
图1-8 一族晶棱示意图
图1-9 通过格点O的部分晶棱示意图
晶向的表示方法：取格点O为原点，a、b、c为晶胞的三个基矢，则其它任一格点A的位置矢量为
式中l1、l2、l3为整数（或有理数）。取l1、l2、l3的互质比，即l1：l2：l3来表示晶棱OA的方向，通常不直接用比例记号，该用方括号[l1l2l3]表示。例如在图1-9中，晶棱1上A点为l1=1，l2=1，l3=0；B点为l1=2，l2=2，l3=0；比值为：l1:l2:l3=1:1:0=2:2:0，由此可得晶棱1的方向为[110]。同理可得晶棱2的方向为[320]，晶棱4的方向为[30]，其中记号“”代表“-1”。三个晶轴a、b、c的方向分别为[100]、[010]、[001]（c轴与图平面垂直，未画出）。
晶面与晶面指数：晶格中，还可以从各个方向上划分成无限多平面，即晶面族，如图1-10所示。同一族晶面中，彼此距离相等，方向相同，格点在晶面上的分布也相同。晶体的表面也是晶面，通常应该是原子面密度比较大的面。现在问题是如何表示这些晶面族的方向。
图1-10 部分晶面族示意图
从立体几何中知道，要描述一个平面的方向，就是表示出这个平面在三个坐标轴上的截距。描写晶面方向的方法也是如此。选取与晶轴平行的基矢a、b、c为坐标轴。假设有一个晶面与此三个坐标轴相交于M1、M2和M3三点（如图1-11所示），截距分别等于：OM1=ra，OM2=sb，OM3=tc，例如在图1-11中晶面的三个截距分别是r=3，s=2，t=1。因为一族晶面一定包含了所有格点，所以截距的长度是一组有理数，或者说截距的倍数是晶格常数的整数倍，如果晶面与某一坐标轴平行，则晶面在此坐标轴的截距为无限大（例如，若晶面与b轴平行，则s=∞）。为了避免使用无限大，常采用截距倒数的互质整数比，即用
晶体结构的分析与计算训练题
1．(2015·全国卷Ⅰ)碳有多种同素异形体，其中石墨烯与金刚石的晶体结构如图所示：
(1)在石墨烯晶体中，每个C原子连接________个六元环，每个六元环占有________个C原子。
(2)在金刚石晶体中，C原子所连接的最小环也为六元环，每个C原子连接______个六元环，六元环中最多有______个C原子在同一平面。
解析：(1)由石墨烯的结构可知，每个C原子连接3个六元环，每个六元环占有的C原子数为13×6＝2。
(2)由金刚石的结构可知，每个C可参与形成4条C—C键，其中任意两条边(共价键)可以构成2个六元环。根据组合知识可知四条边(共价键)任选其中两条有6组，6×2＝12。因此每个C原子连接12个六元环。六元环中C原子采取sp3杂化，为空间六边形结构，最多有4个C原子位于同一平面。
答案：(1)3 2 (2)12 4
2.(2016·全国卷Ⅱ)某镍白铜合金的立方晶胞结构如图所示。
(1)晶胞中铜原子与镍原子的数量比为________。
(2)若合金的密度为d g·cm－3，晶胞参数a＝________nm。
解析：(1)由晶胞结构图可知，Ni原子处于立方晶胞的顶点，Cu原子处于立方晶胞的面心，根据均摊法，每个晶胞中含有Cu原子的个数为6×12＝3，含有Ni原子的个数为8×18＝1，故晶胞中Cu原子与Ni原子的数量比为3∶1。
(2)根据m＝ρV可得， 1 mol晶胞的质量为(64×3＋59)g＝a3×d g·cm－3×NA，则a＝2516.02×1023×d13cm＝2516.02×1023×d13×107 nm。
答案：(1)3∶1 (2)2516.02×1023×d13×107
3．(2017·全国卷Ⅰ)(1)KIO3晶体是一种性能良好的非线性光学材料，具有钙钛矿型的立方结构，边长为a＝0.446 nm，晶胞中K、I、O分别处于顶角、体心、面心位置，如图所示。K与O间的最短距离为______ nm，与K紧邻的O个数为_____。
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1．(2015·全国卷Ⅰ)碳有多种同素异形体，其中石墨烯与金刚石的晶体结构如图所示：
(1)在石墨烯晶体中，每个C原子连接________个六元环，每个六元环占有________个C原子。
(2)在金刚石晶体中，C原子所连接的最小环也为六元环，每个C原子连接______个六元环，六元环中最多有______个C原子在同一平面。
解析：(1)由石墨烯的结构可知，每个C原子连接3个六元环，每个六元环占有的C原子数为13×6＝2。
(2)由金刚石的结构可知，每个C可参与形成4条C—C键，其中任意两条边(共价键)可以构成2个六元环。根据组合知识可知四条边(共价键)任选其中两条有6组，6×2＝12。因此每个C原子连接12个六元环。六元环中C原子采取sp3杂化，为空间六边形结构，最多有4个C原子位于同一平面。
答案：(1)3 2 (2)12 4
2.(2016·全国卷Ⅱ)某镍白铜合金的立方晶胞结构如图所示。
(1)晶胞中铜原子与镍原子的数量比为________。
(2)若合金的密度为d g·cm－3，晶胞参数a＝________nm。
解析：(1)由晶胞结构图可知，Ni原子处于立方晶胞的顶点，Cu原子处于立方晶胞的面心，根据均摊法，每个晶胞中含有Cu原子的个数为6×12＝3，含有Ni原子的个数为8×18＝1，故晶胞中Cu原子与Ni原子的数量比为3∶1。
(2)根据m＝ρV可得， 1 mol晶胞的质量为(64×3＋59)g＝a3×d g·cm－3×NA，则a＝2516.02×1023×d13cm＝2516.02×1023×d13×107 nm。
答案：(1)3∶1 (2)2516.02×1023×d13×107
3．(2017·全国卷Ⅰ)(1)KIO3晶体是一种性能良好的非线性光学材料，具有钙钛矿型的立方结构，边长为a＝0.446 nm，晶胞中K、I、O分别处于顶角、体心、面心位置，如图所示。K与O间的最短距离为______ nm，与K紧邻的O个数为_____。 第
晶体结构 的计算 ______________________
张家港市塘桥高级中学 杨晓东
晶体结构是近几年来咼考考查的重点和热点，特别是晶体结 构的计算更是其中的重中之重，它体现了高考考试说明中提出的“将 化学问题抽象为数学问题，利用数学工具，通过计算推理解决化学问 题的能力”的要求，是高考向“ 3+X”综合发展的趋势。在高考的第二
轮复习中有必要加以归纳整理。晶体结构的计算通常有以下类型:
一. 晶体中距离最近的微粒数的计算：
例1:在氯化钠晶体（图1）中，与氯离子距离最
近的钠离子有—个；与氯离子距离最近的氯离子有
_________ 个。
解析：我们可以选定中心的氯离子作为基准，设立方体的边
长为a,则氯离子与钠离子之间的最近距离为 t ,此钠离子位于立方 体六个面的面心上，即有六个钠离子；氯离子间的最近距离为 a ,
共有12个。（如图标号1-12所示）。
例2: 二氧化碳晶体中，与二氧化碳分
子距离最近的二氧化碳分子有 ___________ 个。
解析：在图2的二氧化碳分子晶体结构中， 8个二氧化碳分子处于正方体的 8个顶点上，还 有6个处于正方体的六个面的面心上。此时可选
定面心的二氧化碳分子为基准，设正方体的边长为 a,则二氧化碳分 • Na+ OC 厂
子间的最近距离为 第a，从图中看有8个，它们分别位于该侧面的四 个顶点及与之相连的四个面的面心上。 此时应注意，图中所给出的结 构仅是晶胞。所谓晶胞，是晶体中最小的重复结构单元，它能全面正 确地表示晶体中各微粒的空间关系。也就是说晶体是以晶胞为核心向 空间延伸而得到的，单个的晶胞不能表示整个晶体的结构。 所以在我 们观察晶体结构时应充分发挥空间想象的能力 ，要将晶胞向各个方
向（上，下，左，右，前，后）扩展。图 2向右扩展 得图3（为容易 观察，用?表示二氧化碳分子），从中可以看出与二氧化碳分子距离最 近的二氧化碳分子有12 个。
