条件概率独立

条件概率和独立事件

一 条件概率

一般地，设A，B为两个事件，且()0PA，则称()()PABPBAPA为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率.对于古典概型的条件概率也可以用：()()nABPABnA计算.

例1 掷红、白两枚骰子3A红骰子出现点，B白骰子出现的点数是奇数，则()PAB____.16

例2 某种原件的使用寿命超过1年的概率为0.6，使用寿命超过2年的概率为0.3，则某种使用寿命超过1年的原件还能继续使用1年的概率为___.12

例3 有一批种子的发芽率为0.9，出牙后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是____.072.

例4 有两个箱子，1号箱中有2两个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则在从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率为______.49

例5 某次测试共有4道选择题，4道填空题，要求从中任意抽取两道题作答，则在第一次抽到选择题的情况下，第二次抽到填空题的概率为____. 47

例6 从混有5张假钞的20张一百元钞票中任意抽取2张，将其中一张在印钞机上检验发现是假钞，则这两张都是假钞的概率为____. 217

练习1 掷一颗骰子，观察出现的点数，B点数是奇数，A点数不超过3，若出现的点数不超过3，则出现的点数是奇数的概率为____.23

练习2若某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它能活到25岁的概率为____.0.5

练习3 一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，则另一个小孩是男孩的概率为____.23

练习4 在某次考试中，要从20到题中随机地抽出6道题，如果考生至少能答对其中4道题即可通过；如果至少能答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，则他获得优秀成绩的概率为____. 1358 练习5在10支铅笔中，有8支正品，2支次品，从中任取2支，则在第一次抽的是次品的条件下，第二次抽的是正品的概率是____. 89

条件概率及全概率专题训练

一、考点梳理

知识点一 条件概率的概念

一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝PABPA为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．

知识点二 概率乘法公式

对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)为概率的乘法公式．

知识点三 条件概率的性质

设P(A)>0，则

(1)P(Ω|A)＝1.

(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．

(3)设B和B互为对立事件，则P(B|A)＝1－P(B|A)．

知识点四．全概率公式

一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，

则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝iniiABPAP1，我们称这个公式为全概率公式．

二、题型归纳

考点一:条件概率公式

【例1】甲､乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为13，乙命中目标的概率为12，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为（ ）

A．14 B．13 C．12 D．23

【考点精练】

1．下面几种概率是条件概率的是（ ）

A．甲､乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率

B．甲､乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率

C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率

D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是25，小明在一次上学途中遇到红灯的概率

2．若随机事件A，B满足1()3PA，1()2PB，3()4PAB，则()PAB（ ）

A．29 B．23 C．14 D．16

3．从某高中2021名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样方法从2021名学生中剔除21名，再从余下的2000名学生中随机抽取50名.则其中学生丙被选取和被剔除的

浅谈独立事件与条件概率　

＠陈浩　

新教材中加入了《独立事件与条件概率》内容，在讲解本部分内容　

中，我发现学生由于对相关公式和定义的理解不够准确，导致出现相互　

混淆的情况．针对这些情况，本文结合例题浅谈二者之间的联系与区别。　

一、理清概念。避免混淆　

例１．在１Ｏ个球中有６个红球和４个白球（各不相同），不放回地依　

次抽出２个球，在第１次摸出红球的条件下，第２次也摸到红球的概率是　

多少？　

学生错解：记事件Ａ为“第１次取出是红球”，事件Ｂ为“第２次取出　

是红球”，事件ＡＢ为“第１次和第２次取出都是红球”。　

由题可得：Ｐ（ＡＢ）＝　§＝÷，Ｐ（Ａ）＝　＝÷，Ｐ（Ｂ）＝÷　

所以Ｐ（ＢＩＡ）＝　＝÷×÷＝手。　

学生由此得到，　：Ｐ（Ｂ　Ｉ　ａ）Ｉ尸（　＝手　Ｐ（ＡＢ）＝　

Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）……①　

所以学生认为事件Ａ与事件Ｂ互为独立事件．可是，第１次摸出红　

球会影响第２次摸出红球事件，即事件Ａ的发生影响事件Ｂ发生的概　

率．这与事件Ａ与事件Ｂ互为独立事件相矛盾．这是为什么呢？学生陷　入了困惑之中。　

针对学生这种定义混淆的情况，我先让学生回顾条件概率与独立事　

件的定义，搞清楚Ｐ（Ａ　ｌ　Ｂ），Ｐ（ＡＢ）以及Ａ与Ｂ互为独立事件的定义．　

Ｐ（Ａ　ｌ　Ｂ）表示在已知事件Ｂ发生的条件下考虑事件Ａ发生的概率，则称　

此概率为Ｂ发生时Ａ发生的条件概率，公式为：　：Ｐ（Ａ　ｌ　Ｂ）；　

Ｐ（ＡＢ）是指ＡＢ同时发生的概率或者事件Ａ与事件Ｂ交的概率；Ａ与Ｂ　互为独立事件是指事件Ａ（或Ｂ）的发生不影响事件Ｂ（或Ａ）的发生的概　

率，即　：Ｐ（Ｂ　Ｉ　ａ）：ＪＰ（Ｂ），则Ａ与Ｂ互为独立事件，公式为：　

Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）．所以在Ｐ（Ｂ　Ｉ　Ａ）＝Ｐ（Ｂ）的情况下，求条件概率　

问题可以转化为求独立事件的概率问题。　

需要注意的是，Ｐ（Ａ　Ｉ　相当于把Ｂ事件看作新的基本空间，ＡＢ发　

生的概率，即Ａ事件面对的对象不是全体而是事件Ｂ，面对的事件变小　

1/7 第五节 事件的独立性、条件概率与全概率公式

一、教材概念·结论·性质重现

1．条件概率

条件概率的定义 设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝PABPA为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率

条件概率的性质 (1)P(Ω|A)＝1；

(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；

(3)设B与B互为对立事件，则P(B|A)＝1－P(B|A)

2.事件的相互独立性

事件A与事件B相互独立 对任意的两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)·P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立

性质 若事件A与事件B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立，P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)

(1)易混淆“相互独立”和“事件互斥”

两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥．

(2)易混淆P(B|A)与P(A|B)

前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．

3．全概率公式

一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，

2/7 且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝i＝1nP(Ai)P(B|Ai)．称上面的公式为全概率公式．

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)相互独立事件就是互斥事件． (×)

(2)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立． (×)

(3)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率． (√)

(4)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)． (√)

2．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们的大小和形状完全相同．甲每次从中任取一个球不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( )