二次根式的概念与性质

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二次根式复习讲义

知识点一：二次根式的概念

【知识要点】

二次根式的定义：

形如√a(a≥0）的式子叫二次根式，其中a叫被开方数，只有当a是一个非负数时，√a才有意义．

【典型例题】

【例1】下列各式1），

其中是二次根式的是_________（填序号）．

举一反三：

1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）

A、a B、10 C、1a D、21a√

2、在、、、、中是二次根式的个数有______个.

【例2】若式子有意义，则x的取值范围是 ．[来源:学*科*网Z*X*X*K]

举一反三：

1、使代数式有意义的x的取值范围是（ ）

A、x>3 B、x≥3 C、 x>4 D 、x≥3且x≠4

2、如果代数式mnm1有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（ ）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

【例3】若y=++2009，则x+y=

解题思路：式子（a≥0）， ，y=2009，则x+y=2014

举一反三：

1、若，则x－y的值为（ ）

A．－1 B．1 C．2 D．3

2、若x、y都是实数，且y=4x233x2，求xy的值 22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153xaaaa2ab1x21x313x43xx5xx5a50,50xx5x11xx2()xy 勤而思教育个性化学习中心

【例4】已知a是5整数部分，b是 5的小数部分，求12ab的值。

举一反三：

1、若3的整数部分是a，小数部分是b，则ba3 。

知识点二：二次根式的性质

【知识要点】

1. 非负性：aa()0是一个非负数．

二次根式

【知识回顾】

1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；

⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：

二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：

（1）（a）2=a （a≥0）； （2）aa2

5.二次根式的运算：

（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．

（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．

（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．

ab=a·b（a≥0，b≥0）； bbaa（b≥0，a>0）．

（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． a（a＞0）

a（a＜0） 0 （a=0）；

【典型例题】

1、 概念与性质

例1、下列各式

1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153xaaa，

其中是二次根式的是_________（填序号）．

例2、求下列二次根式中字母的取值范围

（1）xx315；（2）22)-(x

例3、 在根式1) 222;2);3);4)275xabxxyabc，

最简二次根式是（ ）A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)

例4、已知：的值。求代数式22,211881xyyxxyyxxxy

二次根式的概念及性质练习

一、选择题

1. 当x为任意实数时，下列各式有意义的是（ ）

A．2x B．12x C．23x D．2(3100)x

2. 代数式1334xx有意义，则x的取值范围是（ ）

Ａ．3x≥ Ｂ．4x Ｃ．3x≥且4x Ｄ．4x≥

3. 如果2(1)ax是二次根式，则（ ）

Ａ．0a≤ Ｂ．0a≥ Ｃ．0a Ｄ．0a

4. x取什么值时，45x有意义？（ ）

A．54x B．45x C．45x≥ D．45x≤

5. 若13m有意义，则m能取的最小整数值是（ ）

A．m=0 B．m=1 C．m=2 D．m=3

6. 若41x有意义，则x能取得最小整数是（ ）

A. 0 B. 1 C. -1 D. -4

7. 若33xxxx，则x的取值范围是 （ ）

A．x<3 B．x≤3 C．0≤x<3 D．x≥0

8. 在下列二次根式中，x的取值范围是x≥2的是 （ ）

A．2x B．2x C．2x D．12x

9. 化简1x-1x的结果是 （ ）

A．21x B．-21x C．0 D．无法化简 二、填空题

10. 已知xy，为实数，且331yxx，则xyyx的值为________．

11. 若121123yxx，则x ，y ．

12. 如使x-3是二次根式，则x的取值范围是 ；如使23x是二次根式，则x的取值范围 ．

13. 若二次根式8a有意义，则它的最小值是（ ）

Ａ．8 Ｂ．8 Ｃ．1 Ｄ．0

页脚 二次根式的有关概念及性质

一、二次根式的有关概念：

1.二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式。

2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式；

（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最简二次根式，而，，5，都是最简二次根式。

3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。如, , 就是同类二次根式，因为=2，=3，它们与的被开方数均为2。

4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。如与，a+与a-，-与+，互为有理化因式。

二、二次根式的性质：

1.(a≥0)是一个非负数, 即≥0;

2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)；

3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|= 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即=·（a≥0,b≥0）。

页脚

5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即=（a≥0,b>0）。

三、例题：例1.x为何值时，下列各式在实数围才有意义：

（1） （2）

（3）

（4）+ （5） （6）+ 分析：这是一组考察二次根式基本概念的问题，要弄清每一个数学表达式的含义，根据分式和根式成立的条件去解，即要考虑到分式的分母不能为0并且偶次根号下被开方数要大于或等于零。