【全国百强校】河北省衡水中学2016届高三下学期第一次模拟考试理数试题解析(解析版)

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设命题甲：2210axax的解集是实数集R；命题乙：01a，则命题甲是命题乙成立

的（ ）

A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

考点：必要不充分条件的判定.

2.设,abR且0b，若复数3abi（i为虚数单位）是实数，则（ ）

A．223ba B．223ab C．229ba D．229ab

【答案】A

【解析】

试题分析：由题意得30312223332233333()()()(3)(3)abiCaCabiCabiCbiaababbi，所以2330abb，即223ba，故选A.

考点：复数概念及二项式定理的应用.

3.等差数列na中，2nnaa是一个与n无关的常数，则该常数的可能值的集合为（ ）

A．1 B．11,2 C．12 D．10,1,2

【答案】B

【解析】

试题分析：由题意得，因为数列na是等差数列，所以设数列na的通项公式为1(1)naand，则21(21)naand，所以121(1)(21)nnaandaand，因为2nnaa是一个与n无关的常数，所以10ad或0d，所以2nnaa可能是1或12，故选B. 考点：等差数列的通项公式.

4.ABC中三边上的高依次为111,,13511，则ABC为（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不存在这样的三角形

【答案】C

考点：余弦定理的应用.

5.函数fx是定义在区间0,上可导函数，其导函数为'fx，且满足'20xfxfx，

则不等式201620165552016xfxfx的解集为（ ）

A．|2011xx B．|2011xx

C．|20162011xx D．|20110xx

【答案】C

【解析】

试题分析：由'20xfxfx，则当0,x时，2'20xfxxfx，即2'[()]20xfxxfxxfx，所以函数()xfx为单调递增函数，由201620165552016xfxfx，即222016201655xfxf，所以020165x，所以不等式的解集为|20162011xx，故选C.

考点：函数单调性的应用及导数的运算.

6.已知F是椭圆22:1204xyC的右焦点，P是C上一点，2,1A，当APF周长最小时，其

面积为（ ）

A．4 B．8 C．3 D．22

【答案】A 考点：椭圆的定义的应用.

7.已知等式432432123412341111xaxaxaxaxbxbxbxb，定义映

射12341234:,,,,,,faaaabbbb，则4,3,2,1f（ ）

A．1,2,3,4 B．0,3,4,0 C． 0,3,4,1 D．1,0,2,2

【答案】C

【解析】

试题分析：由43243212341234[(1)1][(1)1][(1)1][(1)1]xaxaxaxaxbxbxbxb

所以4,3,2,1f432[(1)1]4[(1)1]3[(1)1]2[(1)1]1xxxx，

所以102210143243234(1)40,(1)4(1)33,4,1bCCbCCCbb，故选C.

考点：二项式定理的应用.

8.如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD长为2，侧视图是一直

角三角形，俯视图为一直角梯形，且1ABBC，则异面直线PB与CD所成角的正切值是（ ）

A．1 B．2 C．22 D．12

【答案】C 考点：空间几何体的三视图及异面直线所成角的计算.

【方法点晴】本题主要考查了异面直线所成角、异面直线所成角的求法、以及空间几何体的三视图等知识的应用，着重考查了空间想象能力、运算能力和推理论证能力及转化思想的应用，属于基础题，本题的解答中线将三视图转化为空间几何体，取AD的中点E，连接,,BEPECE，将CD平移到BE，根据异面直线所成角的定义可知PBE为异面直线PB与CD所成角，在直角三角形PBE中，即可求解角的正切值.

9.某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某

次考试成绩（百分制）如下表所示：

若数学成绩90分（含90分）以上为优秀，物理成绩85（含85分）以上为优秀.有多少把握认为学生的

学生成绩与物理成绩有关系（ ）

A．99.9% B． 99.5% C．97.5% D．95%

参考数据公式：①独立性检验临界值表

②独立性检验随机变量2K的值的计算公式：22nadbcKabcdacbd

【答案】B 考点：独立性检验的应用.

10.在一个棱长为4的正方体内，你认为最多放入的直径为1的球的个数为（ ）

A．64 B．65 C．66 D．67

【答案】C

【解析】

试题分析：由题意得，底层可以16个，然后在底层每4个球之间放一个，第二层能放9个，依次类推，分别第三、第四、第五层能放16个、9个、16个，一共可放置1691691666个，故选C.

考点：空间几何体的机构特征.

11.定义：分子为1且分母为正整数的分数成为单位分数，我们可以把1分拆为若干个不同的单位

分数之和.如：1111111111111,1,1236246122561220，依次类推可得：

11111111111111++++++26123042567290110132156mn，其中,,mnmnN.设

1,1xmyn，则21xyx的最小值为（ ）

A．232 B．52 C．87 D．343

【答案】C 考点：归纳推理.

【方法点晴】本题主要考查了归纳推理的应用，对于归纳推理是根据事物的前几项具备的规律，通过归纳、猜想可得整个事物具备某种规律，是一种特殊到一般的推理模式，同时着重考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理、计算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据式子的结构规律，得到,mn的值是解答的关键.

12.已知,abR，直线2yaxb与函数tanfxx的图像在4x处相切，设

2xgxebxa，若在区间1,2上，不等式22mgxm恒成立，则实数m（ ）

A．有最小值e B．有最小值e C．有最大值e D．有最大值1e

【答案】D

【解析】

试题分析：由题tanfxx，得21cosfxx，则()24af，将切点(,1)4代入切线方程可得1b，则22xgxex，令2xhxgxex，则2xhxe在1,2上有0hx恒成立，所以hx在1,2上递增，即gx在在1,2上递增，则有120gxge，则gx在1,2上递增，且minmax1,2gxggxg，不等式22mgxm恒成立，即有222112222mgemgemm，解得me或1eme，所以实数m有最大值1e，故选D.

考点：利用导数研究曲线在某点的切线方程.

【方法点晴】本题主要考查了导数的运用：求切线方程和判断函数的单调性，着重考查了函数的单调性的判定及应用、不等式的恒成问题的转化为函数的最值问题，属于中档试题，通知考查了推理、运算能力和转化的数学思想方法的运用，本题的解答中根据题意先求得,ab的值，得出函数gx的解析式，再判断函数gx的单调性与最值，把不等式的恒成转化为函数的最值问题，即可求解m的取值范围.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）

13.已知函数2fxxax的图像在点1,1Af处的切线与直线320xy垂直，执行如

图所示的程序框图，输出的k值是

.

【答案】6

考点：程序框图的计算与输出.

14.在直角坐标系xOy中，已知点0,1A和点3,4B，若点C在AOB的平分线上，且2OC，

则OC

.

【答案】10310(,)55

【解析】

试题分析：由题意得，1,2OAOB，设OC与AB交于(,)Dxy点，则:1:5ADBD，即D分有向线段AB所成的比为15，所以110(3)14)1355,11221155xy，即13(,)22D，因为2OC，所以103102(,)55ODOCOD，即点C的坐标为10310(,)55.

考点：向量的运算. 15.如图，将平面直角坐标系中的纵轴绕原点O顺时针旋转30后，构成一个斜坐标平面xOy.在

此斜坐标平面xOy中，点,Pxy的坐标定义如下：过点P作两坐标轴的平分线，分别交两轴于,MN两

点，则M在Ox轴上表示的数为x，N在Oy轴上表示的数为y.那么以原点O为圆心的单位圆在此斜坐

标系下的方程为

.

【答案】2210xyxy

考点：圆的一般方程.

【方法点晴】本题主要考查了与直角坐标有关的新定义的运算问题，对于新定义试题，要紧紧围绕新定义，根据新定义作出合理的运算与变换，同时着重考查了转化与化归的思想方法的应用，属于中档试题，本题的解答中，设出(,)Pxy在直角坐标下的坐标为11(,)Pxy，建立两个点之间的变换关系，代入单位圆的方程，即可曲解轨迹方程，其中正确得到两点之间的变换关系是解答的关键.

16.已知ABC的面积为S，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，且2sin,sin,cosCBA成等比

数列，2213,218322bacac，则2419216cSa的最小值为

.

【答案】34