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动量(讲义)

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第五讲 动量

知识概要 一、 冲量 IFt 要点：（1）描述力F对作用时间t的累积效果 （2）变力的冲量计算：动量定理、Ft图象面积、微元积分 二、 动量 Pmv  动量的变化p 21ppp

注意：求动量变化时，应利用矢量运算定则——平行四边形定则 三、 动量定理

1．质点动量定理：合外力对质点的冲量等于质点动量的增量。即：

21IPPP 或 21Ftmvmv

如在平面直角坐标系中,可分解为

分量式：0xtxxFtmvmv 0ytyyFtmvmv

2．质点系动量定理：质点系所受外力的总冲量I外等于质点系总动量的增量。即：

0itiIPP外

 质点系中内力仅改变各质点的动量，但不改变质点系的总动量。

3．质心动量定理：质心所受外力的总冲量I外等于质心动量的增量。即：

2121ccccIPPMvMv外 （相当于看做集中在质心的一个质点）

（质心运动定理：cFMa外）

 内力不改变质心的动量。 4.变质量物体（如流体）受力：一般人为选取一段时间或一部分物体做研究。 粒子流垂直撞击障碍物：撞后不反弹 20pnmv平均（n体密度个数，m每一个的质量）

撞后反弹 0()pnmvvv平均 （压强）

连续流体：撞后不反弹 2pv平均（n体密度个数，m每一个的质量）

撞后反弹 ()pvvv平均

 动量定理只能在惯性系中运用。若需要在非惯性系中应用,还需考虑惯性力的冲量。

典型例题

例1.把一个质量不计的盒子放在秤盘上,大量小钢粒从高出盒底h处以每秒n个的速率落至

盒内,设每个钢粒的质量为m,钢粒落到盒底即静止,求经过t秒盒底受到的压力。

答案：2Fnmgtnmgh

例2. 一根光滑的粗绳，长 ，质量为 ，沿着墙壁悬挂在屋檐板下，将绳子的最

下端拾起与上端对齐，然后静止释放让它落下，如图所示，求出作用于屋檐板上的力 随

时间 的函数变化关系。 答案：213()24gtFMgl

例3.一袋面粉沿着与水平面倾斜成角α=60°的光滑斜板上从高H=2m处无初速地滑下落到

水平地板上。袋与地板之间的动摩擦因数μ=0.7。

（1）问面粉袋将停在何处?

（2）如果H=2m,α=45°,μ=0.5,面粉袋又将会停在何处?

（注意，斜面与地面之间不是圆弧连接，而是硬角度连接）

答案： （1）停在转角处 （2）0.5xm

例4.质量分别为1m、2m和3m的三个质点A、B、C位于光滑的水平桌面上，用已拉直的

不可伸长的柔软细绳AB和BC连接，角ABC为，为一锐角，如图所示．今有

一冲量为I的冲击力沿BC方向作用于C质点，求质点A开始运动时的速度．

答案 ：22212313cossinAImvmmmmmm ，方向为沿AB方向

四、动量守恒定律

当系统（质点系）不受外力或者所受外力之和为零或外力总冲量为零时，系统的总动量

保持不变。

矢量式：当0I外 时， 21PP

要点：（1）在合外力为零时，尽管总动量恒定不变，但各个物体的动量却可能不断变化。 （2）合外力的分量在某一方向上为零，则系统在该方向上动量分量守恒。 如若0xI 时，xxPP12；

（3）若内力远大于外力时，动量守恒定律仍成立。如碰撞、爆炸 （4）动量守恒定律是物理学中一条更为基本的规律，在微观、高速情景下仍然成立，它比牛顿定律具有更大的普遍性。

从动量定理及守恒可以看到，质点系的内力不能改变系统质心的运动状态，这里包含了

三层意思：

1、 如果一个质点系的质心原来是静止的，那么在无外力作用的条件下，它的质心仍然

始终不动；

2、 如果一个质点系的质心原来是运动的，那么在无外力作用的条件下，

这个质点系的质心将以原来的速度做匀速直线运动；

3、 如果一个质点系的质心在某一外力作用下做某种运动，那么内力不能改变质心的这

种运动。

例5.如图所示,一排人站在沿x轴的水平轨道旁,原点O两侧的人的序号都记为

n(n=1,2,3……),每人只有一个沙袋,x>0一侧的每个沙袋质量为m=14kg,x<0一侧的每

个沙袋质量为m′=10kg,一质量为M=48kg的小车以某初速从原点出发向正x方向滑行,

不计轨道阻力,当车每经过一人身旁时,此人就把沙袋以水平速度u朝与车速相反的方

向沿车面扔到车上,u的大小等于扔袋之前的瞬间车速大小的2n倍(n是此人的序号数)。

(1)空车出发后,车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行?

(2)车上最终有大小沙袋共多少个？

答案：（1）3个 （2）负向8个，总共11个

五、动量守恒定律应用的典型问题

1. 人船模型 特点：两个（或两个以上）物体组成的系统，原来静止，此后系统的某些部分发生运动，在整个运动过程中任意时刻的动量守恒。 即：11220mvmv 得到： MsLMm船人人船 msLMm人船人船

（质心分析法：系统质心始终静止，人船各自质心相向运动，共走一个船长）

2. 爆炸模型

特点：爆炸过程中，因有其他形式的能转化为动能，故系统的动能增加．但系统动量守

恒。

11220mvmvMv 22211220111222mvmvMvE炸药

3. 反冲模型（火箭）

特点：喷出小部分物体，剩余质量减少。初始系统静止

120()Mmvmv

原物体获得反向速度 12mvvMm

4. 碰撞模型  两质点的正碰——一维  牛顿恢复系数e 物理学中用恢复系数来表征碰撞性质。定义：

212010vvevv

说明：）（12vv碰后分离速度，）（2010vv碰前接近速度

e只与物体材料有关 并且10e 据此分类（恢复系数与碰撞中动能的损失情况是一致的）： ①完全弹性碰撞：1e ②一般碰撞： 01e ③完全非弹性碰撞：0e ①弹性碰撞：1e或者0kE

动量守恒

恢复系数 2120101vvevv

结合解得

211012012221202102112-2-

mmvmvmmvmmvmvmmv



）（）（

讨论：  ，则，，即交换速度。

 若＞＞，且有=0，则，即质量大物速度几乎不

变，小物以二倍于大物速度运动。  若＜＜，且=0，则，，则质量大物几乎不动，2211202101vmvmvmvm

21mm201vv102vv21mm

1m2m20v101vv1022vv

1m2m20v101vv02v而质量小物原速率反弹。 ③完全非弹性碰撞：0e（碰后共速）或者kE最大

动量守恒 碰撞过程中损失的机械能为

②非完全弹性碰撞 动量守恒

恢复系数 212010vvevv

结合解得 1210220112()(1)memvemvvmm

2120110212()(1)memvemvvmm

机械能损失 2201021212)(121Evvmmmme）（

 斜碰（二维） 设两物间的恢复系数为e，设碰撞前、速度为、，其法向、切向分量分

别为、、、，碰后分离速度、，法向、切向速度分量、、

、，则有

显然：法线方向——和一维对心正碰完全一样； 切线方向——若接触处光滑，则有切向速度分量不变 、（若两物接触处有切向摩擦，提供的切向冲量便不可忽略，速度分量会发生变化）

解决碰撞问题的关键在于搞清楚碰撞的类型和碰撞中遵守的规律。

vmmvmvm)(21202101

22010212122122022101

))((21)(212121

vvmmmmvmmvmvmE



2211202101vmvmvmvm

1m2m10v20v

nv10nv2010v20v1v2vnv1nv2

tv1tv2

nnnnvvvve201012

ttvv101202vvt

1m2m

10v

lv10nv10lv20

nv2020v

例6.如图所示，质量为m的小木块，从高为h质量为M的光滑斜面顶端滑下，斜面倾角为

θ，放在光滑桌面上。问：（1）m滑到底端时，M后退的距离；（2）m对M做功多少？

答案： （1） cotMmshmM

（2）222121cos=2sinMmghWMvMmMm

例7.在一根长的水平杆上穿着5个质量相同的珠子，珠

子可以在杆上无摩擦地运动,初始时若各珠子可以

有任意的速度大小和方向，则它们间最多可以碰撞

( )次

A．4 B.5 C.8 D.10

答案：D

例8.光滑的水平面上平放着一个半径为R、内壁光滑的固定圆环,质量分别为m,2m,m的小球

A,B,C在圆环内侧的初始位置和初始速度均在图中示出,注意此时B球静止。已知而后

球间发生的碰撞都是弹性的,试问经多长时间,A,B,C又第一次恢

复到图所示的位置和运动状态。

答案：08RTv

例9.如图所示，木块与箱子质量均为m，且各处均无摩擦，初始时木块以v0的初速向右运动，恢复系数421e。问：（1）要使损失动能不超过系统初动能的40%，最多能碰几次？

（2）从开始运动到上述碰撞中，箱子的平均速度是多少？

答案：（1）4次 （2）012v

例10. 长为2l的轻绳，两端各系有一质量为m的小球，中点系有质量为M的小球，三球

成一直线静止于光滑水平桌面上，绳处于伸直状态，如图4-7-8所示，现对小球M施以

冲力，使其获得与绳垂直的初速度v，求：（1）两小球m相碰时绳中张力T；（2）若从

小球M开始运动到两小球相碰时的时间为t，求在此期间小球M经过的距离s。

答案：（1） .)2(2202mMlvmMT （2）02.2MMvtmlsMm

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第2专题 动量和能量讲义

第2专题 动量和能量讲义

中国教育培训领军品牌 环 球 雅 思 教 育 学 科 教 师 讲 义

副校长/组长签字： 签字日期：

年 级 ： 上 课 次 数 ：

学 员 姓 名 ： 辅 导 科 目 ：物理 学 科 教 师 ：查龙飞

课 题 第2专题 动量和能量

课 型 □ 预习课 □ 同步课 □ 复习课 □ 习题课

授课日期及时段 年 月 日

教 学 目 的

重 难 点

教 学 内 容

知识网络

备注

中国教育培训领军品牌

考点预测

本专题涉及的内容是动力学内容的延续和深化．动量守恒定律、机械能守恒定律、能量守恒定律比牛顿运动定律的适用范围更广泛．它们是自然界中最基本、最普遍、最重要的客观规律，也是高中物理的重点和难点、高考考查内容的重点．其命题形式一般是能量与动量综合起来考，如：2009年全国理综卷Ⅰ第21题、第25题，2008年全国理综卷Ⅰ的第24题“下摆拉动

滑块碰撞问题”，全国理综卷Ⅱ的第23题“子弹射击木块问题”，重庆理综卷的第24题“碰撞后压缩弹簧问题”．但是，由于目前全国的课改形势以及在课程标准中的内容设置，在高考中出现的这类综合题的难点主要在于功能关系的应用上，而不是在于动量守恒定律的应用上．

另外，从2009年各地的高考考卷中也可发现，除了能量与动量的综合题外，单独考查功能原理的试题在卷中出现的概率也较大．

1动量竞赛讲义动量定理

1动量竞赛讲义动量定理

高中物理奥赛讲义·动量与能量

第一讲、动量定理

一．冲量：力对时间的累积效应；I=Ft

变力冲量的求解：重视F-t图的物理意义

二．动量：物体的质量与速度的乘积；P=mv

质点系（系统）的动量：P=iivm

三．动量定理：

1.动量定理的基本形式与表达式：I合=ΔP

2.单方向动量定理的表达式：Ix合=ΔPx ，Iy合=ΔPy …

3.质点系动量定理：I外合=Pt总—P 0总

1.微元模型

例1.一根均匀柔软的链条悬挂在天花板上，且下端正好触地。若松开悬点，让链条自由下落。试证明，在下落过程中，链条对地板的作用力等于已落在地板上的那段链条重力的三倍。

例2.一根均匀柔软的绳子长为l、质量为m，对折后两端固定在一个钉子上。其中一端突然从钉子上脱落。求下落的绳端点离钉子的距离为x时，钉子对绳子另一端的作用力。

2.整体与局部

例3.质量为M的金属球和质量为m的木球以细线相连，细线绷直且全部没入水中，从静止开始以加速度a在水中下沉，经时间t1细线断开，再经时间t2木球停止下沉，求此时金属球M的下沉速度。

3.某一方向上动量定理

例4.三个质点A、B、C质量分别为m1、m2、m3，位于光滑水平面上，用已拉直的不可伸长的柔软细绳AB和BC连接，∠ABC=π－α，α为锐角，如图所示。现有一冲量为I的冲击力沿BC方向作用于C点，求A的速度。

例5.如图所示，四个质量均为m的质点，用同样长度且不可伸长的轻绳联结成菱形ABCD，静止放在水平光滑的桌面上。若突然给质点A一个历时极短的沿CA方向的冲击，当冲击结束的时刻，质点A的速度为v，其他质点也获得一定的速度，∠BAD=2α（α＜π/4）。求此质点系统受到冲击后所具有的总动量和总能量。

4.质点系动量定理

例6.如图所示，α=37°，β=53°，mC=6.5kg，定滑轮质量及轮轴处的摩擦皆不计。mA=3kg，mB=0.5kg。开始时物体均静止，用F=26.5N的力作用于C，同时释放三个物体，C左行加速度为3.0m/s2，B对桌面无水平位移。求C与桌面间的动摩擦因数（绳一直绷紧，g取10 m/s2）

动量专题讲义

动量专题讲义

1 07动量定理与动量守恒

动量

(1)定义：运动物体的质量和 的乘积叫做物体的动量，通常用p来表示。

(2)表达式：p＝ 。

(3)单位：kg·m/s。

(4)标矢性：动量是矢量，其方向和 方向相同。

(5)动量、动能、动量变化量的比较

冲量

（1）定义，力和力的作用时间的乘积叫做冲量：

（2）冲量是描述力的时间积累效应的物理量，是 ，它与时间相对应。

（3）冲量是 ，它的方向由力的方向决定（不是力的方向，除非是恒力）。

（4）高中阶段只要求会用I=Ft计算恒力的冲量。对于变力的冲量，高中阶段只能利用动量定理通过物体的动量变化来求。

（5）要注意的是：冲量和功不同。恒力在一段时间内可能不作功，但 有冲量。 项目 动量 动能 动量变化量

定义 物体的质量

和 的乘积 物体由于 而具有的能量 物体末动量与初动量的 。

定义式 p＝ . Ek＝ Δp＝ .

矢标性 。 标量 矢量

特点 状态量 状态量 。

关联方程 2 动量定理

（1）内容：物体所受合外力的冲量等于物体的动量变化。既

（2）动量定理表明 是使物体 发生变化的原因，冲量是物体动量变化的量度。

（3）动量定理给出了冲量（过程量）和动量变化（状态量）间的互求关系。

（4）现代物理学把 定义为物体动量的变化率： （牛顿第二定律的动量形式）。

（5）动量定理的表达式是 。在一维的情况下，各个矢量必须以同一个规定的方向为正。

理解：

（1）动量定理的研究对象是单个物体或可视为单个物体的系统. 当研究对象为系统时，系统总动量的增量等于相应时间内系统所受的合外力的冲量，在分析受力时，只需分析系统所受的外力，不需考虑系统的内力。

3动量竞赛讲义动量与能量

3动量竞赛讲义动量与能量

高中物理奥赛讲义·动量与能量

第三讲：功能关系

一．功和功率：

1、功的定义：W = FScosα= FSF = FS S（恒力的功），注意位移S与参照系的选取有关；

变力的功：基本原则——过程分割（微元）与代数累积（求和）；利用F—S图象

2、功率：描述做功快慢的物理量，注意区分平均功率和瞬时功率；

二．动能、动能定理

1、动能：221mvEk，注意速度v与所选参考系有关，动能亦与所选参考系有关。同一问题中计算功和能时应选取同一惯性参照系（或引入惯性力后选非惯性参照系系），一般选取地面为参照系

2、质点动能定理：

3、质点系动能定理：

三．势能、功能原理

1、引力势能：

2、重力势能：

3、弹性势能：

4、功能原理：

5、机械能守恒定律：

例1.两个质量均为m的小球，用细绳连接起来置于光滑水平面上，细绳恰好被拉直。现用一个垂直于绳子的水平恒力F作用在绳子的中点，在F的拉动下小球由静止起开始运动。在小球第一次相碰前的一瞬间，小球在垂直于F作用线方向上的分速度为多大？

例2.10个同样的扁长木块一个紧挨一个地放在水平底面上，如图所示。每个木块的质量m=0.40kg，长l=0.50m，它们与底面间的静摩擦和滑动摩擦系数均为μ2=0.10。原来木块处于静止状态。左方第一个木块的左端上方放一质量为M=1.0kg的小铅块，它与木块间的静摩擦和滑动摩擦系数均为μ1=0.20。现突然给铅块一向右的初速度v0=4.3m/s，使其在大木块上滑行。试确定铅块最后的位置在何处（落在地上还是停在哪块木块上）。取重力加速度g=10m/s2。设铅块的线度与l相比可以忽略。

例3.一质量为m的质点受到引力作用在一直线上运动。当x≥a时，引力值为μma2x2；当x≤a 时，引力值为μmax。式中x是相对于线上某一固定点（取为原点）的距离，如图所示。若质点在离原点2a处从静止出发，求此质点到达原点时的速率。