2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及答案解析
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2011年全国研究生入学统一考试
数学一试题
一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求的，把所选项前的字母填在答题纸指定的位置上）
1．曲线222)4()3()2)(1(xxxxy拐点是（）
A.（1，0）B.（2，0）C.（3，0）D.（4，0）
2．设数列
na单调递减，
n
kknnnnaSa
1,2,1(,0lim）无界，则幂级数
n
kn
kxa
1)1(的收
敛域为（）
A.(-1,1]B.[-1,1)C.[0,2)D.(0,2]
3．设函数)(xf具有二阶连续导数，且0)0(,0)(fxf，则函数)(ln)(yfxfz在点（0，
0）处取得极小值的一个充分条件是（）
A.0)0(,1)0(ffB.0)0(,1)0(ff
C.0)0(,1)0(ffD.0)0(,1)0(ff4．设444
000cosln,cotln,sinlnxdxKxdxJxdxI的大小关系是、、则KJI（）
A.I
5．设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第一行得
单位矩阵.记,
010
100
001
,
010
010
011
21
PP
则A=()
A.
21PPB.
21
1PPC.
12PPD.
11
2PP
6．设),,,(
4321A是4阶矩阵，*A是A的伴随矩阵，若T)0,1,0,1(是方程组0Ax的一
个基础解系，则0*xA的基础解系可为()
A.
31,B.
21,C.
321,,D.
432,,7．设)(),(
21xFxF为两个分布函数，其相应的概率密度)(),(
21xfxf是连续函数，则必为概
率密度的是()
A.)()(
21xfxfB.)()(2
22xFxf
C.)()(
21xFxfD.)()()()(
1221xFxfxFxf
8．设随机变量X与Y相互独立，且EX与EY存在，记U=max{x,y},V={x,y},则E(UV)=(B)
A.EUEVB.EXEYC.EUEVD.EXEV
二、填空题（9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上）9．曲线)
40(tan
0xxtdty
的弧长s=____________.
10．微分方程xeyyxcos满足条件y(0)=0的解为y=____________.11．设函数
xydt
tt
yxF
021sin
),(，则__________
022
xxF
.
12．设L是柱面方程为122yx与平面z=x+y的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分___________
22
dzy
xdyxzdx.
13．若二次曲面的方程为42223222yzxzaxyzyx，经正交变换化为442
12
1zy，
则a__________.
14．设二维随机变量(,)XY服从22(,;,;0)N，则2()EXY.
三、解答题（15～23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文
字说明、证明过程或演算步骤。）
15．(本题满分10分)求极限11
0))1ln(
(lim
xe
xxx
16．(本题满分9分)设))(,(xygxyfz，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，
且在x=1处取得极值g(1)=1,求
1,12
yxyxz17．(本题满分10分)求方程0arctanxxk不同实根的个数，其中k为参数.
18．(本题满分10分)证明：(1）对任意正整数n，都有
nnn1
)1
1ln(
11
(2）设11
1+ln1,2,
2()
nann
n,证明}{
na收敛.
19．(本题满分11分)已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且
f(1,y)=0,f(x,1)=0,
Dadxdyyxf),(，其中}10,10),{(yxyxD，计算二重积
分dxdyyxxyI
Dxy),(
.
20．(本题满分11分)T)1,0,1(
1，T)1,1,0(
2，T)5,3,1(
3不能由Ta)1,,1(
1，
T)3,2,1(
2，T)5,3,1(
3线性表出，（1）求a；（2）将
1，
2，
3由
1，
2，
3线
性表出.
21．(本题满分11分)A为三阶实矩阵，2)(AR，且1111
0000
1111A
.
（1）求A的特征值与特征向量；（2）求A.
22.(本题满分11分)设随机变量X,Y的概率分布列为X01
P1/32/3Y-101
P1/31/31/3
1)(22YXP.
求：（1）二维随机变量（X，Y）的概率分布；（2）Z=XY的概率分布；（3）X,Y的相关系
数
XY.
23.(本题满分11分)设
nxxx,,
21为来自正态总体),(2
0N的简单随机样本，其中
0已
知，02未知，_
x和2S分别表示样本均值和样本方差.（1）求参数2的最大似然估计^2;
（2）计算^
2()E和^
2()D.
2011年全国研究生入学统一考试数学一试题
答案及解析
一、选择题
1.【答案】C
【解】由4324321xxxxy可知1,2,3,4分别是
23412340yxxxx的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关
系可知(1)0y，(2)(3)(4)0yyy
(2)0y，(3)(4)0yy，(3)0,(4)0yy，故（3，0）是一拐点.
2.【答案】C
【解】
n
kknnaS
12,1无界，说明幂级数
11n
n
nax
的收敛半径1R；
na单调减少，0lim
nna，说明级数
11n
n
na
收敛，可知幂级数
11n
n
nax
的收敛
半径1R.
因此，幂级数
11n
n
nax
的收敛半径1R，收敛区间为0,2。又由于0x时幂级数
收敛，2x时幂级数发散。可知收敛域为0,2.
3.【答案】A
【解】由)(ln)(yfxfz知()
()ln(),()
()xyfx
zfxfyzfy
fy，()
()
()xyfx
zfy
fy，
()ln()
xxzfxfy，2
2()()(())
()
()yyfyfyfy
zfx
fy，所以
00(0)
(0)0
(0)xyxyf
zf
f
，
00(0)ln(0)
xxxyzff
，
2
200(0)(0)((0))
(0)(0)
(0)yyxyfff
zff
f.
要使得函数)(ln)(yfxfz在点(0,0)处取得极小值，仅需
(0)ln(0)0ff，(0)ln(0)(0)0fff,所以有0)0(1)0(ff，.
4.【答案】B
【解】π
0,
4x
时，2
0sincoscot
2xxx，因此lnsinlncoslncotxxx
444
000lnsinlncoslncotxdxxdxxdx
，故选B.
5.【答案】
【解】由初等矩阵与初等变换的关系知
1APB，
2PBE，所以1111
12121ABPPPPP，
故选D.
6.【答案】D
【解】由0x的基础解系只有一个知()3rA，所以()1rA，又由0AAAE知，
1234,,,都是0x的解，且0x的极大线生无关组就是其基础解系，又
12341311
00
,,,0
11
00A
，所以
13,线性相关，故
124，，或
432，，
为极大无关组，故应选D.
7.【答案】D
【解】检验概率密度的性质：
12210fxFxfxFx；
1221121fxFxfxFxdxFxFx
，可知
1221fxFxfxFx为概率
密度，故选D.
8.【答案】B
【解】由于max{,}min{,}UVXYXYXY,
可知()(max{,}min{,})()()()EUVEXYXYEXYEXEY,故应选B.
二、填空题
9.【答案】π
1
4
【解】2444'2240000tansec1tan1
4sydxxdxxdxxx
.
10【答案】sinxyxe
【解】原方程的通解为
