(完整版)苏科版八年级下册第九章中心对称图形章节知识点§9.1~9.5,推荐文档

8年级下学期数学讲义05 ( 第九章中心对称图形)知识点：9.1 图形的旋转1.一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等。

9.2 中心对称和中心对称图形2.成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。

9.3 平行四边形3.平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分。

4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。

9.4 矩形、菱形、正方形5.矩形的四个角都是直角，对角线相等。

三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形。

6.菱形的四条边相等，对角线互相垂直。

四边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

7.有一组领边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形。

9.5 三角形的中位线8.三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

9.1 图形的旋转试题1．（2013•南昌）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE．若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（）A．60°B．75°C．85°D．90°2．（2013•河池）如图（1），已知两个全等三角形的直角顶点及一条直角边重合．将△ACB绕点C按顺时针方向旋转到△A′CB′的位置，其中A′C交直线AD于点E，A′B′分别交直线AD、AC于点F、G，则在图（2）中，全等三角形共有（）A．5对B．4对C．3对D．2对3．（2011•哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，△AB′C′可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点），连接CC′，则∠CC′B′的度数是（）A．45°B．30°C．25°D．15°4．（2009•漳州）如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A=110°，∠D=40°，则∠α的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°5．（2008•庐阳区）如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°6．（2013•铁岭）如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为___________．7．（2013•吉林）如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′=___________度．8．（2008•厦门）如图，点G是△ABC的重心，CG的延长线交AB于D，GA=5cm，GC=4cm，GB=3cm，将△ADG绕点D旋转180°得到△BDE，则DE=___________cm，△ABC的面积=___________cm2．9．（2011•珠海）如图，将一个钝角△ABC（其中∠ABC=120°）绕点B顺时针旋转得△A1BC1，使得C点落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1．（1）写出旋转角的度数；（2）求证：∠A1AC=∠C1．10．（2006•三明）已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，点D在AC上，将△BDC绕点D按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°），使△BDC与△ADE重合（如图所示）．（1）求角α；（2）说明四边形EBCD是等腰梯形．9.2 中心对称和中心对称图形试题1．（2013•黔西南州）在平行四边形、等腰梯形、等腰三角形、矩形、菱形五个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2013•抚顺）下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（2010•连云港）下列四个多边形：①等边三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形、其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．①②B．②③C．②④D．①④4．把26个英文字母依照轴对称性和中心对称性分成5组：①FRPJLG□②HIO□③NS□④BCKE□⑤VATYWU□，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z请你按原规律补上，其顺序依次为（）A．Q XZMD B．D MQZX C．Z XMDQ D．Q XZDM5．下列的正方体的平面展开图中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．（2011•曲靖）小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称．如果小明家距学校2公里，那么他们两家相距___________公里．7．（1997•安徽）如右图，线段AB关于点O（不在AB上）的对称线段是A′B′；线段A′B′关于点O′（不在A′B′上）的对称线段是A″B″．那么线段AB与线段A″B″的关系是___________．8．（2012•广陵区二模）如下图，是4×4的正方形网格，把其中一个标有数字的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形，则这个白色小正方形内的数字是___________．9．（1）已知实数a，b满足a（a+1）-（a2+2b）=1，求a2-4ab+4b2-2a+4b的值．（2）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，BC=1，则BB′的长？10．已知：如图所示，E是等腰梯形一腰CD的中点，EF⊥AB，垂足为F，求证：S梯形ABCD=AB•EF．9.3 平行四边形试题1．（2013•泸州）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）A．A B∥DC，AD∥BC B．A B=DC，AD=BC C．A O=CO，BO=DO D．A B∥DC，AD=BC 2．（2013•乐山）如图，点E是▱ABCD的边CD的中点，AD，BE的延长线相交于点F，DF=3，DE=2，则▱ABCD的周长为（）A．5B．7C．10 D．143．（2013•湖北）若平行四边形的一边长为2，面积为4根号6，则此边上的高介于（）A．3与4之间B．4与5之间C．5与6之间D．6与7之间4．（2012•包头）如图，过▱ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的▱AEMG的面积S1与▱HCFM的面积S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1=S2D．2S1=S25．（2009•桂林）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC=6，BC边上的高为4，则图中阴影部分的面积为（）A．3B．6C．12 D．246．（2012•眉山）如图，平行四边形ABCD中，AB=5，AD=3，AE平分∠DAB交BC的延长线于F点，则CF=___________．7．（2011•天津）如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等，若AB=1，BC=CD=3，DE=2，则这个六边形的周长等于___________．8．（2010•海南）如图，在▱ABCD中，AB=6cm，∠BCD的平分线交AD于点E，则DE=___________cm．9．（2013•玉溪）如图，在▱ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，求证：AF=CE．10．2013•茂名）如图，在▱ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）若DF平分∠ADC，连接CE．试判断CE和DF的位置关系，并说明理由．11．（2012•永州）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，且AE=GF=GC．求证：四边形AEFG为平行四边形．9.4 矩形、菱形、正方形试题1．（2013•淄博）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（）A．78°B．75°C．60°D．45°2．（2013•枣庄）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20 B．12 C．14 D．133．（2013•宜宾）矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角线互相平分4．（2013•南充）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12 B．24 C．12√3 D．16√35．（2012•西宁）如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，BE=CF，连接AE、BF．将△ABE绕正方形的对角线交点O按顺时针方向旋转到△BCF，则旋转角是（）A．45°B．120°C．60°D．90°6．（2013•钦州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是___________．7．（2013•赤峰）如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，矩形ABCD的周长是20cm，AE=5cm，则AB的长为___________cm．8．（2013•盐城）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连结AE、BD且AE=AB．（1）求证：∠ABE=∠EAD；（2）若∠AEB=2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形．9．（2013•聊城）如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．10．．（2013•晋江市）如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边CD、DA上，且CE=AF．求证：BE=BF．9.5 三角形的中位线试题1．（2013•西宁）如果等边三角形的边长为4，那么等边三角形的中位线长为（）A．2B．4C．6D．82．（2013•巴中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点且EF=6，则AD+BC的值是（）A．9B．10.5 C．12 D．153．（2012•丹东）如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（）A．3cm B．4cm C．2.5cm D．2cm4．（2011•安徽）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．7B．9C．10 D．115．（2013•安顺）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．6．（2010•沈阳）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为边AB，AD的中点，连接EF，OE，OF，求证：四边形AEOF是菱形．7．（2008•贵港）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别为AB、CD的中点．连接AF并延长，交BC的延长线于点G．（1）求证：△ADF≌△GCF；（2）若EF=7.5，BC=10，求AD的长．答案9.11，解：根据旋转的性质知，∠EAC=∠BAD=65°，∠C=∠E=70°．如图，设AD⊥BC于点F．则∠AFB=90°，∴在Rt△ABF中，∠B=90°-∠BAD=25°，∴在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-25°-70°=85°，即∠BAC的度数为85°．故选C．2，解：旋转后的图中，全等的三角形有：△B′CG≌△DCE，△A′B′C≌△ADC，△AGF≌△A′EF，△ACE≌△A′CG，共4对．故选：B．3，解：由旋转的性质可知，AC=AC′，又∠CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，所以，∠CC′A=45°．∵∠CC′B′+∠ACC′=∠AB′C′=∠B=60°，∴∠CC′B′=15°．故选D．4，解：根据旋转的意义，图片按逆时针方向旋转80°，即∠AOC=80°，又∵∠A=110°，∠D=40°，∴∠DOC=30°，则∠α=∠AOC-∠DOC=50°．故选C．5，解：∵△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置∴∠BCB′=∠ACA′=20°∵AC⊥A′B′，∴∠BAC=∠A′=90°-20°=70°．故选C．6，解：由旋转的性质可得：AD=AB，∵∠B=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB，∵AB=2，BC=3.6，∴CD=BC-BD=3.6-2=1.6．故答案为：1.6．7，解：∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°得到Rt△AB′C′，∴AB=AB′，∠BAB′=40°，在△ABB′中，∠ABB′=1/2（180°-∠BAB′）=1/2（180°-40°）=70°，∵∠AC′B′=∠C=90°，∴B′C′⊥AB，∴∠BB′C′=90°-∠ABB′=90°-70°=20°．故答案为：20．8，解：∵点G是△ABC的重心，∴DE=GD=1/2GC=2，CD=3GD=6，∵GB=3，EG=GC=4，BE=GA=5，∴BG2+GE2=BE2，即BG⊥CE，∵CD为△ABC的中线，∴S△ACD=S△BCD，∴S△ABC=S△ACD+S△BCD=2S△BCD=2×1/2×BG×CD=18cm2．填：2，18．9，（1）解：∵∠ABC=120°，∴∠CBC1=180°-∠ABC=180°-120°=60°，∴旋转角为60°；（2）证明：由题意可知：△ABC≌△A1BC1，∴A1B=AB，∠C=∠C1，由（1）知，∠ABA1=60°，∴△A1AB是等边三角形，∴∠BAA1=60°，∴∠BAA1=∠CBC1，∴AA1∥BC，∴∠A1AC=∠C，∴∠A1AC=∠C1．10，解：（1）∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵△BDC与△ADE重合，∴∠DBC=∠A=36°，∠AED=∠C=72°，∴∠ADE=∠BDC=180°-（72°+36°）=72°，∴α=180°-∠BDC=180°-72°=108°．（2）由（1）∠ADE=∠C=72°，∴DE∥BC，又BE与CD不平行，∴四边形EBCD是梯形，∵∠ABC=∠C=72°，∴四边形EBCD是等腰梯形．9.21，解：矩形、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；等腰三角形、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．故既是轴对称图形又是中心对称图形的是：矩形、菱形．故选：B．2，解：A、不是中心对称图形，故本选项正确；B、是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项错误；故选A．3，解：由正多边形的对称性知，偶数边的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；奇数边的正多边形只是轴对称图形，不是中心对称图形．故选C．4，解：①不是对称图形，5个子母中不是对称图形的只有：Q；（2）有两条对称轴，并且两对称轴互相垂直，则规律相同的是：X；（3）是中心对称图形，则规律相同的是：Z；（4）是轴对称图形，对称轴是一条水平的直线，满足规律的是：D；（5）是轴对称图形，对称轴是竖直的直线，满足规律的是：M．故各个空，顺序依次为：Q，X，Z，D，M．故选D．5，解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；B、是中心对称图形，不是轴对称图形；C、是中心对称图形，但不是轴对称图形；D、不是中心对称图形，是轴对称图形．故选A．6，解：∵小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称，∴小明、小辉两家到学校距离相等，∵小明家距学校2公里，∴他们两家相距：4公里．故答案为：4．7，解：中心对称图形中的不在同一直线上的两条对应线段的关系是：平行且相等．故线段AB与线段A″B″的关系是：平行且相等．故答案为：平行且相等．8，解：如图，把标有数字3的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形．故答案为3．9，解：（1）∵a（a+1）-（a2+2b）=1，∴等式变形得：a-2b=1；原式=（a-2b）2-2（a-2b）=12-2=-1；（2）设AC=x，AB=2x，BB′=4x，在Rt△ABC中AB2=AC2+BC2，∴（2x）2=x2+12，解得：x=±√3/3（负数舍去），∴AB=2×√3/3=2√3/3，∴BB′=4√3/3．10，证明：如图，连接AE交BC的延长线于G点，连接BE，∵AD∥CG，∴∠D=∠ECG，在△ADE和△GCE中∠D=∠ECG；DE=EC；∠DEA=∠CEG∴△ADE≌△GCE（ASA），∴AE=GE，∴可得：S△ABG=S梯形ABCD=2S△ABE=AB×FE．9.31，解：A、由“AB∥DC，AD∥BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；D、由“AB∥DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意；故选D．2，解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥=AB，AD∥=BC，∵E为CD的中点，∴DE为△FAB的中位线，∴AD=DF，DE=1/2AB，∵DF=3，DE=2，∴AD=3，AB=4，∴四边形ABCD的周长为：2（AD+AB）=14．故选D．3，解：根据四边形的面积公式可得：此边上的高=4√6÷2=2√6，2√6介于4与5之间，则则此边上的高介于4与5之间；故选B．4，解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB，∴AD=BC，AB=CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，∴四边形HBEM、GMFD是平行四边形，在△ABD和△CDB中；AD=BC，AB=CD，BD=DB∴△ABD≌△CDB，即△ABD和△CDB的面积相等；同理△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等，故四边形AEMG和四边形HCFM的面积相等，即S1=S2．故选C．5，解：通过观察结合平行四边形性质得：S阴影=1/2×6×4=12．故选C．6，解：如图，∵AE平分∠DAB，∴∠1=∠2，平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∴∠2=∠3，∠1=∠F，又∵∠3=∠4（对顶角相等），∴∠1=∠3，∠4=∠F，∴AD=DE，CE=CF，∵AB=5，AD=3，∴CE=DC-DE=AB-AD=5-3=2，∴CF=2．故答案为：2．7，解：如图，分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P．∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．∴△AHF、△BGC、△DPE、△GHP都是等边三角形．∴GC=BC=3，DP=DE=2．∴GH=GP=GC+CD+DP=3+3+2=8，FA=HA=GH-AB-BG=8-1-3=4，EF=PH-HF-EP=8-4-2=2．∴六边形的周长为1+3+3+2+4+2=15．故答案为15．8，解：在平行四边形ABCD中，则AD∥BC，DC=AB，∴∠DEC=∠BCE，又CE平分∠BCD，∴∠BCE=∠DCE，∴∠DCE=∠DEC，即DE=DC=AB=6cm，故此题应填6．9，证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC．∵点E，F分别是边AD，BC的中点，∴AE=CF．∴四边形AECF是平行四边形．∴AF=CE．10，（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．又∵点F在CB的延长线上，∴AD∥CF，∴∠1=∠2．∵点E是AB边的中点，∴AE=BE．∵在△ADE与△BFE中，∠1=∠2，∠DEA=∠FEB，AE=BE∴△ADE≌△BFE（AAS）；（2）解：CE⊥DF．理由如下：如图，连接CE．由（1）知，△ADE≌△BFE，∴DE=FE，即点E是DF的中点，∠1=∠2．∵DF平分∠ADC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴CD=CF，∴CE⊥DF．11，证明：∵梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∴∠B=∠C，∵GF=GC，∴∠GFC=∠C，∴∠GFC=∠B，∴AB∥GF，又∵AE=GF，∴四边形AEFG是平行四边形．9.41，解：连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°，∴∠PDC=90°，∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，在△DEC中，∠DEC=180°-（∠CDE+∠C）=75°．故选B．2，解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，∴AD⊥BC，CD=BD=1/2BC=4，∵点E为AC的中点，∴DE=CE=1/2AC=5，∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．故选C．3，解：A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．故选B．4，解：如图，连接BE，在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEF=180°-∠EFB=180°-60°=120°，∠DEF=∠EFB=60°，∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，∴∠BEF=∠DEF=60°，∴∠AEB=∠AEF-∠BEF=120°-60°=60°，在Rt△ABE中，AB=AE•tan∠AEB=2tan60°=2√3，∵AE=2，DE=6，∴AD=AE+DE=2+6=8，∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2√3×8=16√3．故选D．5，解：将△ABE绕正方形的对角线交点O按顺时针方向旋转到△BCF时，A和B重合，即∠AOB是旋转角，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAO=∠ABO=45°，∴∠AOB=180°-45°-45°=90°，即旋转角是90°，故选D．6，解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小．∵四边形ABCD是正方形，∴B、D关于AC对称，∴PB=PD，∴PB+PE=PD+PE=DE．∵BE=2，AE=3BE，∴AE=6，AB=8，∴DE=√62+82=10，故PB+PE的最小值是10．故答案为：10．7，解：设AB=x，则可得BC=10-x，∵E是BC的中点，∴BE=1/2BC=10−x/2，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即x2+（10−x/2）2=52，解得：x=4．即AB的长为4cm．故答案为：4．8，证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB=∠EAD，∵AE=AB，∴∠ABE=∠AEB，∴∠ABE=∠EAD；（2）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBE，∵∠ABE=∠AEB，∠AEB=2∠ADB，∴∠ABE=2∠ADB，∴∠ABD=∠ABE-∠DBE=2∠ADB-∠ADB=∠ADB，∴AB=AD，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．9，证明：如图，过点B作BF⊥CE于F，∵CE⊥AD，∴∠D+∠DCE=90°，∵∠BCD=90°，∴∠BCF+∠DCE=90°，∴∠BCF=∠D，在△BCF和△CDE中，∠BCF=∠D，∠CBE=∠BFC=90°，BC=CD，∴△BCF≌△CDE（AAS），∴BF=CE，又∵∠A=90°，CE⊥AD，BF⊥CE，∴四边形AEFB是矩形，∴AE=BF，∴AE=CE．10，证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∠A=∠C，∵在△ABF和△CBE中，AF=CE，∠A=∠C，AB=CB，∴△ABF≌△CBE（SAS），∴BF=BE．9.51，选A．2，解：∵E和F分别是AB和CD的中点，∴EF是梯形ABCD的中位线，∴EF=1/2（AD+BC），∵EF=6，∴AD+BC=6×2=12．故选C．3，解：∵菱形ABCD的周长为24cm，∴边长AB=24÷4=6cm，∵对角线AC、BD相交于O点，∴BO=DO，又∵E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=1/2AB=1/2×6=3cm．故选A．4，解：∵BD⊥DC，BD=4，CD=3，由勾股定理得：BC=√BD2+CD2=5，∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴HG=1/2BC=EF，EH=FG=1/2AD，∵AD=6，∴EF=HG=2.5，EH=GF=3，∴四边形EFGH的周长是EF+FG+HG+EH=2×（2.5+3）=11．故选D．5，（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC且2DE=BC，又∵BE=2DE，EF=BE，∴EF=BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，又∵BE=FE，∴四边形BCFE是菱形；（2）解：∵∠BCF=120°，∴∠EBC=60°，∴△EBC是等边三角形，∴菱形的边长为4，高为2√3，∴菱形的面积为4×2√3=8√3．6，证明：∵点E，F分别为AB，AD的中点∴AE=1/2AB，AF=1/2AD （2分），又∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∴AE=AF （4分），又∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O ∴O为BD的中点，∴OE，OF是△ABD的中位线．（6分）∴OE∥AD，OF∥AB，∴四边形AEOF是平行四边形（8分），∵AE=AF，∴四边形AEOF是菱形．7，（1）证明：∵AD∥BC，（AD∥BG）∴∠D=∠FCG，∠DAF=∠G．（2分）∵DF=CF，∴△ADF≌△GCF．（4分）（2）解法一：由（1）得△ADF≌△GCF，∴AF=FG，AD=CG．（5分）∵AE=BE，∴EF为△ABG的中位线．∴EF=1/2BG．（6分）∴BG=2×7.5=15．（7分）∴AD=CG=BG-BC=15-10=5．（8分）。

中心对称与中心对称图形知识点运用一、基础知识归纳1.中心对称与中心对称图形的意义中心对称:把一个图形绕着某一个点旋转1800，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，该点叫做对称中心．中心对称图形：把一个图形绕着中心旋转1800后能与自身重合，我们把这个图形叫做中心对称图形，这个中心点叫做对称中心.2.中心对称与中心对称图形的区别与联系（1）区别：①图形个数不同．中心对称涉及两个图形，是指两个全等图形之间的相互位置关系；而中心对称图形只对一个图形而言，是指具有特殊形状的一个图形．②对称点位置不同．成中心对称的两个图形中，其中一个图形上的所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，反之亦然；而中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上，（2）联系：①如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形是中心对称图形．②如果把一个中心对称图形中对称的部分看成是两个图形，那么它们是中心对称．二、知识运用例1、已知四边形ABCD和点O，画四边形A′B′C′D′，使它与已知四边形关于O点对称.分析：要画四边形ABCD关于点O的对称图形，只要画A、B、C、D四点关于点O的对称点，再顺次连接各点即可.画法：1、连接AO并延长到A'，使OA'=OA得到点A的对称点A'（如图1）.图12、同样画B、C、D的对称点B'、C'、D'3、顺次连接A'、B'、C'、D'各点,四边形A′B′C′D′就是所求的四边形小结：从本例可看出，画与已知图形成中心对称的图形的问题，思路较为简捷，只需画出多边形的各个顶点关于点O的对称点，也就是将问题转化为点关于点的对称点问题.例2、下列说法：（1）全等的两个图形成中心对称；（2）成中心对称的两个图形必须重合；（3）成中心对称的两个图形全等；（4）旋转后能够重合的两个图形成中心对称，其中说法正确的序号是____________．分析：本题主要考查中心对称的概念、性质和判定，由中心对称的判定知，全等的两个图形不一定成中心对称，故（1）错；成中心对称的两个图形旋转1800后能重合，但未旋转时它们不是必须重合，故（2）错；旋转后能重合的两个图形，也不一定成中心对称，关键是要旋转1800后能重合，故4）错；由中心对称的性质知（3）对．［答案］（3）小结：解此题易出现下列思维障碍：①中心对称与中心对称图形不分；②不会灵活运用中心对称的判定和性质．排除障碍采取下列方法：①熟悉定义，中心对称是针对两个图形而言，中心对称图形是一个图形内部的性质；②深刻理解中心对称的判定和性质，分清定理的条件和结论．熟能生巧．例3、如图2：在△ABC中，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC上，则S△DEF与S△ADE +S△BDF的大小关系为 .图2分析：利用图形转换，作△ADE关于D点的对称图形.解：将△ADE绕D逆时针旋转1800到△BDH ，则H、D、E共线，且D是EH中点，四边形HBFD是凸四边形，于是S△DEF =S△DHF < S四边形HBFD=S△BDH+S△BDF=S△ADE+S△BDF例4、已知：图A，图B分别是6×6正方形网格上的两个轴对称图形（阴影部分），其面积分别是S A，S B（网格中最小的正方形面积为一个平方单位），请观察图形并解答下列问题．（1）填空：S A:S B的值是________________；（2）请在图C的网格上画出一个面积为8个平方单位的中心对称图形．分析（1）因为每张图的上、下成轴对称图形，所以只要数出每张图的上半部的阴影部分占有格子的数目即可．图A为9格，图B为11格，故S A:S B=9:11；（2）图3为参考答案．小结：利用轴对称、中心对称设计图案是十分有趣的实践活动．本题给了学生充分发挥主动性和创造性的机会，让他们有创意地设计漂亮的图案，真切地感受图形变换的乐趣和数学的美感，同时也考查了数学的基础知识．图3。

教材解读八年级下册第9章中心对称图形——平行四边形一、本章的地位与作用本章是在小学已学过四边形的一些初步知识以及在七年级学习过“平面图形的认识（一）”、“平面图形的认识（二）”、“证明”，八年级刚学习过“轴对称图形”及“图形的全等”的基础上来学习的，从中心对称的角度引导学生对平行四边形认识的进一步深化．在已积累了研究方法和已有知识的基础上来进一步研究本章知识，学生已完全能够在老师的指导策略下研究和学习，对老师和学生也提出了更高的的要求和挑战．本章由3个单元组成．第一单元：探索图形的旋转、中心对称与中心对称图形的性质；第二单元：探索、确认平行四边形的中心对称性，探索并证明平行四边形的性质定理和判断定理，在此基础上探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理；第三单元：利用图形的旋转，研究三角形中位线．学好本章知识是学好平面图形的关键，也是为研究“圆”的对称性打好基础，在整个初中数学教学中起到了承上启下的作用．学生无论在认识图形方面还是思考、说理推理的表达能力上面将有很大提高．本章知识不仅在八年级下册中占重要地位也是整个初中阶段的重要内容，因此搞好本章教学显得犹为重要二、本章的重点、难点及突破策略重点：以中心对称为主线，开展对平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定以及三角形中位线性质的探索和研究．难点：1．认识旋转、中心对称、中心对称图形的有关性质．学生对图形的变换、变化过程的认识、图形的有关基本性质存在困难，教师可以充分利用好教学资源，运用现代化信息技术手段，生动活泼地展现变化过程和图形特征，以此丰富拓展学习资源，积累学习经验与方法．教师还要充分调动学生积极性，让学生主动参与、经历观察、操作、画图、思考、交流、归纳总结等活动加深对知识的理解．2．以中心对称为主线，探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念、性质及判定方法．首先要注重平行四边形的教学，因为矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的性质和判定都是在平行四边形的基础上扩充的．它们的探索方法，也都与平行四边形性质和判定的探索方法一脉相承．三角形中位线的性质，也都是以平行四边形的有关定理为依据的，是平行四边形知识的综合应用．另外，平行四边形的有关定理，也常常是证明两条线段相等、两角相等、两直线平行或垂直的重要依据，所以掌握平行四边形的概念、性质和判定，并能应用这些知识解决问题，是学好本章的关键．在教学中注重探索平行四边形的定义、性质、判定方法．注意发挥学生的主观能动性，注意培养发散性思维，让学生在自主探索的过程中积累探索特殊四边形的经验，要有条理性、从研究图形的边、角、对角线到对角线把图形分成的三角形特征，从整体到局部，从一般到特殊，特殊到一般的解决问题的方法．并用好类比的方法去进一步研究特殊四边形的有关性质与判定方法．三、本章教学建议1．教学中，在呈现具体内容的基础上，教师向学生提供丰富而又生动的现实情景，通过操作、实验、观察、思考、交流等数学活动，让学生经历探索特殊四边形的过程，，丰富学生的数学活动经验，有意识地培养学生积极的情感态度．激发学生的学习积极性，为学生自主探索提供广阔的平台．2．教学中，要充分展示“观察、操作——猜想、探索——说理（有条理地表达）”的认识过程，使学生能在直观的基础上学习说理，注重合情推理与演绎推理的有机融合，引导学生不断理解合情推理和演绎推理都是获得数学结论的重要途径，进一步体会证明的必要性，促进学生形成科学地、能动地认识客观世界的良好品质．激发学生对数学证明的兴趣和掌握综合法证明的信心．3．图形的概念揭示了图形的本质属性．教学中，要引导学生理解：图形的概念具有两方面的含义，它既是判别图形的条件，又是图形的一个性质．4．合理渗透数学思想方法（1）本章内容中，较多地应用转化的思想去处理问题．研究四边形的问题，经常是通过辅助线，把四边形的问题转化为三角形的问题．例如，通过连接对角线，把平行四边形分割成两个全等的三角形，由全等三角形的性质得出平行四边形的性质．反过来，在研究三角形的中位线时，又通过构造出平行四边形，利用平行四边形的性质得出三角形的中位线定理．对于梯形中位线的问题，则是转化为三角形中位线的性质进行研究．把未知转化为已知，用已经掌握的知识来解决新问题，提高学生分析问题解决问题的能力．（2）运用类比的方法．在已经探索了平行四边形的有关问题后可用类比的方法学习矩形、菱形、正方形的有关性质与判定条件．从而积累研究图形的方法与经验．（3）分类思想．本章的概念比较多，概念之间联系密切，关系复杂，对概念进行分类，是明确概念的一种逻辑方法．通过分类可以帮助学生更好地掌握概念，同时也学习一些分类的方法．在本章的小结中，教科书通过图示给出了本章主要概念之间的关系，要让学生注意这些概念之间的区别和联系，进一步体会分类的思想．（4）本章内容渗透了特殊与一般的关系．教学中要引导学生在把握图形本质属性的基础上，帮助他们理解：在图形不断特殊化的过程中，图形的性质越来越多，而判断它的要求则越来越高，加深学生对特殊与一般关系的认识，领会特殊事物的本质属性与特殊性质的关系．5．在探索平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判别四边形是特殊四边形的条件的过程中，应鼓励学生探索方式、表述方式的多样化，为学生提供个性化学习的时间和空间．6．教学中，要充分运用现代信息技术手段，丰富学生的学习资源，生动活泼地展示图形．。

最新苏科版八年级下册初二数学第九章《中心对称图形》全章教案课题：9.3平行四边形（1）第1课时共3课时一、教学目标：知识目标：1．经历探索平行四边形的有关概念和特征的过程，在有关活动中发展学生的探索意识和合作交流的习惯2．探索平行四边形对边相等，对角相等以及对角线互相平分的特征能力目标：1、在探究活动中发展学生的探究意识和有条理的表达能力。

2、在对平行四边形性质的探索过程中，理解特殊与一般的关系，领会特殊事物的本质属性与其特殊性质的关系情意目标：通过探索规律的过程，培养学生学习的主动性，敢于探索，大胆猜想，和同学积极交流，增强学习数学的兴趣和信心．二、教学重点和难点：重点：平行四边形的概念和特征难点：探索和掌握平行四边形的特征。

三、教学方法：观察、比较、合作、交流、探索.五、板书设计：9.3平行四边形（１）１、平行四边形的定义例题学生板演区２、平行四边形的性质例1、例2例３、例４、六、教后感：课题：9.3平行四边形（2）第2课时共3课时一、教学目标：知识目标:1、掌握平行四边形的判定方法；2、能应用平行四边形的判定方法判定一个四边形是否平行四边形；3、能运用平行四边形的判定和性质解决实际问题能力目标：在探究活动中发展学生的探究意识和有条理的表达能力。

情意目标：通过探索规律的过程，培养学生学习的主动性，敢于探索，大胆猜想，和同学积极交流，增强学习数学的兴趣和信心．二、教学重点与难点：重点：探索四边形是平行四边形的条件；难点：通过操作和合情推理发现结论三、教学方法：观察、比较、合作、交流、探索.P72习题6、7五、板书设计：9.3平行四边形（2）判定平行四边行的方法：例题学生板演区1、例1、2、例23、4、六、教后感：课题：9.3平行四边形（3）第3课时共3课时一、教学目标知识目标：1、灵活运用平行四边形的几种判定方法；2、能够综合运用平行四边形的知识解决一些问题；3、培养学生有条理的表达能力，规范书写格式。

八下第9章《中心对称图形——平行四边形》知识点与巩固训练 要点一、旋转的概念和性质 一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离 ，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角 ．要点二、中心对称与中心对称图形 成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过 ，且被对称中心 . 把一个图形绕某一个点旋转 °，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相 ，那么这个图形叫做 图形，这个点就是它的 ． 要点三、平行四边形1．定义： 叫做平行四边形.2．性质：（1）对边 且 ；（2）对 相等； 角互补；（3）对角线互相 ； （4） 对称图形.3．面积：4．判定：边：（1）两组对 分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别 的四边形是平行四边形；（3）一组对边 的四边形是平行四边形． 对角线：（4）对角线互相 的四边形是平行四边形. 要点四、矩形1．定义：有一个角是 的平行四边形叫做矩形.2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是 ；（3）对角线互相平分且 ；（4）中心对称图形， 对称图形.3．判定：（1) 有一个 的平行四边形是矩形.（2）对角线 的平行四边形是矩形.（3）有三个角是 的四边形是矩形.高底平行四边形⨯=S要点五、菱形1. 定义：有一组平行四边形叫做菱形.2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条相等；（3）两条对角线互相平分且，并且每一条对角线平分一组；（4）中心对称图形，对称图形.3．面积：另：对角线互相垂直的四边形的面积等于4．判定：（1）一组邻边相等的是菱形；（2）对角线互相垂直的是菱形；（3）四边相等的是菱形.要点六、正方形1. 定义：四条边都，四个角都是的四边形叫做正方形.2．性质：（1）平行；（2）四个角都是；（3）四条边都；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的三角形；（6）对称图形，对称图形.3．判定：（1）一组邻边相等是正方形；（2）一组领边相等的是正方形；（3）有一个角是直角的是正方形；要点七、三角形的中位线1. 定义：叫三角形的中位线.2．性质：（1）；（2）；另：知中点，找中点，连中点，利用中位线；巩固训练一、选择题1.在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60∘，AC=6cm，则AB的长是()A. 3cmB. 6cmC. 10cmD. 12cm3.在平行四边形ABCD中，∠A=3∠B，则∠D的度数为()A. 45°B. 50°C. 55°D. 60°4.如图，将长方形纸片折叠，使A点落BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是()A. 邻边相等的矩形是正方形B. 对角线相等的菱形是正方形C. 两个全等的直角三角形构成正方形D. 轴对称图形是正方形5.如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=3，EF=1，则BC长为（）A. 4B. 5C. 6D. 76.菱形的两条对角线长分别为6，8，则它的周长是()A. 5B. 10C. 20D. 247.下列条件中，能判断四边形是菱形的是()A. 对角线互相垂直且相等的四边形B. 对角线互相垂直的四边形C. 对角线相等的平行四边形D. 对角线互相平分且垂直的四边形8.如图，已知矩形ABCD，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是PA、PR的中点，如果DR=3，AD=4，则EF的长为()A. 2.5B. 3C. 4D. 5二、填空题9.如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于______．10.如图，在四边形ABDC中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，并且E、F、G、H四点不共线．当AC=6，BD=8时，四边形EFGH的周长是____．11.如图，在▱ABCD中，E，F分别为BC，AD边上的点，要使BF=DE，需添加一个条件：________．12.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D、E、F分别是三边的中点，且DE=5cm，则AF=______cm．13.如图，点E，F分别放在▱ABCD的边BC，AD上，AC，EF交于点O，请你添加一个条件(只添一个即可)，使四边形AECF是平行四边形，你所添加的条件是．14.如图，点P为等边△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP=2，那么PP′=_____．15.已知：在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD于E、BC于F，S△AOE=3，S△BOF=5，则▱ABCD的面积是______ ．16.如图，点P是边长为8的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M、N分别为AB、BC边上的中点，则MP+NP的最小值是_______________．三、解答题17.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F.求证：OE=OF．18.如图，矩形ABCD中，AB>AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．(1)求证：△ADE≌△CED；(2)求证：△DEF是等腰三角形．19.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于点E、CF⊥BD于点F，且AE=CF、BF=DE．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．20.如图所示AB，CD交于点O，AC//DB，AO=BO，E，F分别为OC，OD的中点，连接AF，BE，试说明AF//BE．21.如图在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF.求证：四边形AECF是菱形．22.如图，在▱ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE.求证：四边形ABCD是矩形．答案和解析1.C解：A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形；B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形；C.是轴对称图形，也是中心对称图形；D.是轴对称图形，不是中心对称图形．2.A解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=OB=OD=3，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=3，3.A解：∵四边形ABCD是平行四边形，可知AD//BC，∴∠A+∠B=180°又∵∠A=3∠B，∴∠B=45°，∴∠D=∠B=45°．4.A解：∵将长方形纸片折叠，A落在BC上的F处，∴BA=BF，∵折痕为BE，沿EF剪下，∴四边形ABFE为矩形，∵BA=BF，∴四边形ABFE为正方形．故用的判定定理是：邻边相等的矩形是正方形．5.B解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，DC=AB=6，AD=BC，∴∠AFB=∠FBC，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠FBC，则∠ABF=∠AFB，∴AF=AB=3，同理可证：DE=DC=3，∵EF=AF+DE−AD=1，即3+3−AD=1，解得：AD=5．6.C解：由于菱形的两条对角线的长为6和8，∴菱形的边长为：√32+42=5，∴菱形的周长为：4×5=20，7.D解：A、对角线互相垂直相等的四边形不一定是菱形，此选项错误；B、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，此选项错误；C、对角线相等的平行四边形是矩形，此选项错误；D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，此选项正确；8.A解：在矩形ABCD中，∠D=90°，由勾股定理得，AR=2+DR2=√42+32=5，∵E、F分别是PA、PR的中点，∴EF是△APR的中位线，∴EF=12AR=12×5=2.5．9.3解：∵菱形ABCD的周长等于24，∴AD=244=6，在Rt△AOD中，OH为斜边上的中线，∴OH=12AD=3．10.14解：∵F，G分别为BC，CD的中点，∴FG=12BD=4，FG//BD，∵E，H分别为AB，DA的中点，∴EH=12BD=4，EH//BD，∴FG//EH，FG=EH，∴四边形EFGH为平行四边形，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF=GH=12AC=3，∴四边形EFGH的周长=3+3+4+4=14，11.BE=DF或BF//DE或AF=CE或∠ABF=∠CDE(答案不唯一)．解：∵平行四边形ABCD，∴AB=CD，∠A=∠C，AD//BC，添加AF=CE或∠ABF=∠CDE，可以得到△AFB≌△CED，从而得到BF=DE，添加BE=DF或BF//DE，可以得到四边形BEDF是平行四边形，从而得到BF=DE，12.5解：由已知D、E分别为AB、AC中点，∴DE//BC，DE=12BC，∵DE=5cm，∴BC=10cm，∵∠BAC=90°，F为BC中点，∴AF=12BC=5cm．13.AF=CE解：AF=CE，理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，即AF//CE，∵AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形，14.2解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∴旋转角的度数为60°，即∠PAP′=∠BAC=60°，根据旋转得出AP=AP′，∴△APP′是等边三角形，∴PP′=AP，∵AP=2，∴PP′=2，15.32解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠EAC=∠BCA，∠AEF=∠CFE，又∵AO=CO，在△AOE与△COF中{∠EAC=∠BCA ∠AEF=∠CFE AO=CO,∴△AOE≌△COF(AAS)，∴△COF的面积为3，∵S△BOF=5，∴△BOC的面积为8，∵△BOC的面积=14▱ABCD的面积，∴▱ABCD的面积=4×8=32，16.8解：作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值，连接PM；∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，∴M′是AD的中点，又N是BC边上的中点，∴AM′//BN，AM′=BN，∴四边形AM′BN是平行四边形，∴PN//AB，又N是BC边上的中点，∴PN是△CAB的中位线，∴P是AC中点，∴PM//BN，PM=BN，∴四边形PMBN是平行四边形，∵BM=BN，∴平行四边形PMBN是菱形，∴MP+NP=BM+BN=BC=8．17.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD=OB，AD//BC，∴∠DOE=∠BOF，在△DOE和△BOF中，{∠DOE=∠BOF OD=OB∠EOD=∠FOB，∴△DOE≌△BOF(ASA)，∴OE=OF．18.解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，∴AD=CE，AE=CD．在△ADE和△CED中，{AD=CE AE=CD DE=ED,∴△ADE≌△CED(SSS)．(2)由(1)得△ADE≌△CED，∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，∴EF=DF，∴△DEF是等腰三角形．19.解：(1)证明：∵BF=DE，∴BF−EF=DE−EF，∴BE=DF，在△ABE和△CDF中∴△ABE≌△CDF(SAS)；(2)四边形四边形ABCD是平行四边形，理由是：∵△ABE≌△CDF，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，∴AB//CD，∴四边形ABCD是平行四边形．20.证明：如图，连接AE，BF，∵AC//BD，∴∠C=∠D，∠CAO=∠DBO，AO=BO，∴△AOC≌△BOD，∴CO=DO，∵E、F分别是OC、OD的中点，∴OF=12OD=12OC=OE，由AO=BO、EO=FO，∴四边形AFBE是平行四边形，∴AF//BE．21.证明∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD//BC，∵DE=BF，∴AE=CF，∵AE//CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)．22.证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，∵BE=CF，∴BF=CE，在△ABF和△DCE中，{AB=CD AF=DE BF=CE,∴△ABF≌△DCE(SSS)，∴∠B=∠C，∵AB//CD，∴∠B=∠C=90°，∴▱ABCD是矩形．。

9.2 中心对称与中心对称图形 一.知识点1.中心对称的定义:在平面内，把一个图形绕着某一点旋转 ，如果它能够与另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成 ，这个点称为对称中心，这两个图形中的对应点叫做 .2.一个图形绕着某一点旋转180度是一种特殊的旋转，因此成中心对称的两个图形具有图形 的一切性质.3.中心对称的基本性质成中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过 ，且被 平分;成中心对称的两个图形是 .4.中心对称作图的步骤和方法(见苏科教材八下P60)5.中心对称图形的定义:在平面内，把一个图形绕某一点转动 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的 . 二.练习巩固1.下列说法：(1)全等的两个图形成中心对称；(2)成中心对称的两个图形必重合；(3)成中心对称的两个图形全等；(4)旋转后能够重合的两个图形成中心对称，其中说法正确的序号是 .2.已知直线x ⊥直线y ，垂足为O ，若△A1B1C1与△ABC 关于直线y 成轴对称，△A2B2C2与△A1B1C1关于直线x 成轴对称，则△A2B2C2与△ABC 的关系是 ．3.如图所示，如果四边形CDEF 旋转后能与正方形ABCD 重合，那么图形所在的平面上可作为旋转中心的点共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9.2(练习3图)4.画图(1)如图,已知AD 是△ABC 的中线,画出以点D 为对称中心,与△ABD 成中心对称的三角形. (2)已知△ABC(如图),以点O 为对称中心,求作与△ABC 成中心对称的图形.（1） （2）5.(2015 江苏无锡期中)下列四张扑克牌中，属于中心对称图形的是( ) A.红桃7 B.方块4 C.黑桃5 D.梅花66.五个大小相同的圆板如图放置，要求一刀切下，将五个圆切成面积相等的两部分，应如何切?第2页 共4页第 9章 中心对称图形——平行四边形(本章复习 9.1-9.3）姓名9.1 图形的旋转一.知识点 1.旋转的定义:在平面内，把一个图形绕着某一定点O 转动一个角度，这样的图形运动称为图形的 ，定点o 称为 ， 称为旋转角. 2.旋转的性质:旋转前后的图形 ， 到 的距离相等; 图形的旋转不改变它的 和 ;到 的距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等。

第9章《中心对称图形—平行四边形》考点+易错整理知识梳理重难点分类解析考点1 中心对称与中心对称图形【考点解读】中心对称是特殊的旋转，即一图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么两图形成中心对称;把一图形旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.此考点可以直观判断或将图形进行旋转，中考中常以选择题的形式出现，比较简单.例1 (2018·无锡二模)下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )分析:本题考查了轴对称图形和中心对称图形.选项A ，是轴对称图形，不是中心对称图形;选项B ，是轴对称图形，也是中心对称图形;选项C ，是中心对称图形，不是轴对称图形;选项D ，是轴对称图形，不是中心对称图形.答案:B【规律·技法】判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合;判断中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180°后与原图形重合.【反馈练习】1.下列图形中，是中心对称图形的是( )点拨:紧抓中心对称图形定义中的关键180°，如选项C 旋转72°、选项D 旋转120°后的图形与原图形重合，但不满足180°这一点，要注意区分.2.如图所示，,2AB BC AB BC ⊥==cm ，曲线OA 与曲线OC 关于点OC 成中心对称，则,A B B C ，曲线CO 和曲线OA 所围成的图形的面积是 cm 2 .点拨:利用中心对称的性质转化图形.考点2 平行四边形的性质与判定【考点解读】平行四边形的性质与判定是学习矩形、菱形、正方形性质与判定的基础，主要从边、角、对角线三个角度来学习.此考点在中考中占有重要地位，选择题、填空题和解答题中均可能出现.例2 如图，在ABCD 中，点,E F 分别在,AD BC 上，且,,AE CF EF BD =相交于点O ，求证: OE OF =.分析:连接,BE DF .证明四边形BFDE 是平行四边形即可.解答:连接,BE DF ，如图所示.因为四边形ABCD 是平行四边形，所以//AD BC ,AD BC =.因为AE CF =，所以DE BF =.所以四边形BEDF 是平行四边形.所以OE OF =.【规律·技法】在平行四边形中，可以通过证明三角形全等或特殊三角形或特殊四边形来证明线段相等，作辅助线是解决平行四边形问题的常用方法.【反馈练习】3. (2018·东营)如图，在四边形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，连接DE 并延长， 交AB 的延长线于点,F AB BF =，添加一个条件使四边形ABCD 是平行四边形， 你认为下面四个条件中可选择的是( )A. AD BC =B. CD BF =C. A C ∠=∠D. F CDF ∠=∠点拨:利用平行四边形的判定方法可得.4. (2018·孝感)如图，点,,,B E C F 在一条直线上,已知//,//,AB DE AC DF BE CF =，连 接AD .求证:四边形ABED 是平行四边形.点拨:利用全等三角形的性质得出AB DE =，再利用平行四边形的判定可得结论.5.如图，在平行四边形ABCD 中，,AC BD 相交于点O ，点,E F 分别是,OB OD 的中点. 判断四边形AECF 的形状并说明理由.点拨:由平行四边形ABCD 的对角线互相平分可得OB OD =，再由,E F 分别为,OB OD 的中点得到OE OF =，最后用对角线互相平分可判定四边形AECF 的形状.考点3 特殊平行四边形的性质与判定【考点解读】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的性质与判定方法有其特殊性.矩形主要体现在矩形的角与对角线上，菱形主要体现在菱形的边与对角线上，正方形无论在边、角和对角线上都具有特殊性质.它们是中考的热点图形，多以选择题、填空题与解答题的形式出现.例3 如图，在菱形ABCD 中，过点D 作DE AB ⊥于点E ，作DF BC ⊥于点F ，连接EF .求证:(1) ADE CDF ∆≅∆;(2) BEF BFE ∠=∠.分析:(1)由菱形的性质，得,AD CD A C =∠=∠，进而利用AAS 证明两三角形全等;(2)由(1)，得AE CF =，结合菱形四边相等得BE BF =，进而得到BEF BFE ∠=∠. 解答:(1)因为四边形ABCD 是菱形，所以,AD CD A C =∠=∠.因为,DE BA DF CB ⊥⊥，所以90AED CFD ∠=∠=︒.在ADE ∆和CDF ∆中,90A C AED CFD AD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，所以ADE CDF ∆≅∆.(2)因为四边形ABCD 是菱形，所以AB CB =.因为ADE CDF ∆≅∆，所以AE CF =.所以BE BF =.所以BEF BFE ∠=∠.【规律·技法】菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质，它的特性主要为四条边都相等、对角线互相垂直且平分每一组对角，证明三角形全等要结合菱形的性质与全等三角形的证明方法.例4 如图，以ABC ∆的边,AB AC 为边作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，四边形ADFE 是平行四边形.(1)当BAC ∠满足什么条件时，四边形ADFE 是矩形;(2)当BAC ∠满足什么条件时，平行四边形ADFE 不存在;(3)当ABC ∆分别满足什么条件时，平行四边形ADFE 是菱形、正方形?分析:(1)根据矩形的四角相等且都为90°求解;(2)根据点,,D A E 在同一条直线上时不能构成四边形求解;(3)分别根据菱形的四边相等和正方形的四边相等、四角相等的特性解题.解答:(1)当150BAC ∠=︒时，四边形ADFE 是矩形.理由如下:因为150BAC ∠=︒,60BAD CAE ∠=∠=︒，所以36026015090DAE ∠=︒-⨯︒-︒=︒.因为四边形ADFE 是平行四边形，所以四边形ADFE 是矩形.(2)当60BAC ∠=︒时，平行四边形ADFE 不存在.理由如下:因为360606060D A E ∠=︒-︒-︒-︒=︒，所以,,DA E 三点共线.所以四边形ADFE 不存在.(3)当AB AC =时，平行四边形ADFE 是菱形.综上可知:当AB AC =,150BAC ∠=︒时，平行四边形ADFE 是正方形.【规律·技法】本题综合考查了特殊平行四边形的判定，解答时须在充分理解特殊平行四边形的判定的基础上分析图形作出判定.【反馈练习】6. (2018·扬州一模)如图，四边形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，且O 是AC 的中点，AE CF = ,//DF BE .(1)求证: BOE DOF ∆≅∆;(2)若12OD AC =，则四边形ABCD 是什么特殊四边形?请证明你的结论.点拨:(1)由DF 与BE 平行，得到两对内错角相等，再由O 为AC 的中点，得到OA OC =.又AE CF =,得到OE OF =，利用AAS 即可得证;(2)若12OD AC =，则四边形ABCD 为矩形，理由如下:由12OD AC =，得到12OB AC =，即OD OA OC OB ===，利用对角线互相平分且相等的四边形为矩形即可得证.7. (2018·盐城)在正方形ABCD 中，对角线BD 所在的直线上有两点,E F 满足BE DF =， 连接,,,AE AF CE CF ，如图所示.(1)求证: ABE ADF ∆≅∆;(2)试判断四边形AECF 的形状，并说明理由.点拨:(1)根据正方形的性质，可得AB AD =，进而得到ABE ADF ∠=∠，结合已知BE DF =，利用“SAS ”即可证明三角形全等;(2)结论:四边形AECF 是菱形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断.8.如图，正方形ABCD 中，动点E 在AC 上，AF AC ⊥，垂足为,A AF AE =，连接 ,,BF BE DE .(1)求证: BF DE =;(2)当点E 运动到AC 的中点时(其他条件都保持不变)，问四边形AFBE 是什么特殊四边 形?请说明理由.点拨:(1)由正方形的性质，得,90AB AD BAD =∠=︒.又AF AC ⊥，则BAF DAE ∠=∠.结合AF AE =利用“SAS ”证明三角形全等，得BF DE =; (2)结论:四边形AFBE 是正方形，由邻边相等且一个角是90°的平行四边形是正方形即可判断.考点4 三角形的中位线【考点解读】三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，在解决有关线段中点问题时，其可用于证明线段相等与角相等，中考中常以基础题型出现.例5 如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点,,D E F 分别是,,AB BC CA 的中点.若CD = 2，则线段EF 的长是 .分析:因为在Rt ABC ∆中，90,ACB D ∠=︒是AB 的中点，所以CD 是直角三角形斜边上的中线.所以2224AB CD ==⨯=.又,E F 分别是,BC CA 的中点，所以EF 是ABC ∆的中位线.所以114222EF AB ==⨯=. 答案:2【规律·技法】直角三角形抖边上的中线等于料边的一半;三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.【反馈练习】9. (2018·苏州期末)如图，在菱形ABCD 中，60,8A AD ∠=︒=.若P 是边P 上的一点，,E F 分别是,DP BP 的中点，则线段EF 的长为( )A. 8B.C.4D.点拨:连接BD .证明ADB ∆是等边三角形，再根据三角形的中位线定理即可解决问题.10.顺次连接矩形ABCD 各边中点，所得四边形必定是( )A.邻边不等的平行四边形B.矩形C.正方形D.菱形点拨:利用矩形的性质，对角线相等以及多个中点构成中位线，利用中位线定理得四边形的边都等于矩形对角线的一半，从而得到特殊的四边形形状.11.如图，在ABC ∆中，2,A B CD AB ∠=∠⊥，垂足为,D E 为AB 的中点.若AC =8 cm ， 求DE 的长.点拨:利用已知E 为AB 的中点，CD AB ⊥，取AC 的中点，可利用中位线定理与直角三角形料边上的中线等于斜边的一半进行角度与线段长度的转换，从而求出DE .本题关键是抓住中点条件适当添加辅助线.易错题辨析易错点1 思考不严密、语言叙述不准确导致错误例1 分析下图的旋转现象.错误解答:本题是由图案的14绕图案中心分别旋转四次，每次旋转90°形成的. 错因分析:错解没有找出具体的基本图案，旋转的角度也没有交代清楚.正确解答:本题是由一个梯形绕图案中心依次旋转90°,180°,270°而形成的，也可以看作是由两个相邻的梯形绕图案的中心旋转180°而形成的.易错辨析:从3个方面分析旋转:(1)找准旋转的基本图案;(2)找出旋转中心;(3)算准旋转角度. 易错点2 对中心对称、成中心对称图形及轴对称图形的定义理解不清例2 在线段、等腰三角形、等边三角形、长方形、圆这几个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有多少个?错误解答:线段、等边三角形、长方形、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，因此答案为4个.错因分析:本题错误地认为等边三角形是中心对称图形，其实等边三角形是轴对称图形，也是旋转对称图形，旋转角度为120°,240°,…，但旋转180°后不能与自身重合，因此它不是中心对称图形.错误原因是认为旋转对称图形是中心对称图形.旋转对称图形只要旋转角度中有一个是180°，它就是中心对称图形，否则不是.正确解答:在这些图形中，等腰三角形、等边三角形只是轴对称图形，其余的既是轴对称图形又是中心对称图形，因此答案为3个.易错辨析:易混淆中心对称图形与轴对称图形.中心对称图形是将一个图形绕某一点旋转180°后能与自身重合的图形;轴时称图形是将一个图形经过折叠后，折痕两旁的部分能够完全重合的图形.易错点3 混淆或臆造平行四边形的判定方法例3 下列条件中能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( )A. //,AB CD AD BC =B. ,A B C D ∠=∠∠=∠C. ,AB CD AD BC ==D. ,AB AD CB CD ==错误解答:A 或B 或D错因分析:错误原因主要是对平行四边形的判定方法没有理解一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以A 错误;两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以B 错误;两组对边分别相等的四边形是平行四边形，所以C 正确，D 错误.正确解答:C易错辨析:平行四边形的判定方法都可以用平行四边形的定义推导出来，因此定义是判定的基础.应用平行四边形的判定定理时要仔细体会它们之间的区别与联系;同时，要根据已知条件合理、灵活地选择判定方法，不能凭主观印象判定一个四边形是平行四边形.易错点4 混淆特殊平行四边形的判定方法或漏掉某些条件而致错例4 如图所示，,M N 分别是平行四边形ABCD 的对边,AD BC 的中点，AN 与BM 交于点,P CM 与DN 交于点,2Q AD AB =.试说明:四边形PMQN 是矩形.错误解答:由四边形ABCD 是平行四边形，得//AD BC .因为,M N 分别是,AD BC 的中点，所以//AM BN .所以M A N A N B ∠=∠.因为2A D A B =，所以AB BN =.所以A N B B A N ∠=∠.所以MAN BAN ∠=∠.所以在等腰三角形ABM 中. AP 平分BAM ∠.根据等腰三角形的性质，得AP BM ⊥，即90MPN ∠=︒.同理可得90MQN ∠=︒.所以四边形PMQN 为矩形.错因分析:错在由90MPN MQN ∠=∠=︒，就得四边形PMQN 是矩形这一点上，所需条件不够，还需求另一个角是直角才能说明四边形PMQN 是矩形.正确解答:由题意，得//,//AM NC MD BN ，故四边形AMCN 和四边形MDNB 都是平行四边形.所以//,//PN MQ PM QN .所以四边形PMQN 是平行四边形.再用上面的方法证90MPN ∠=︒ (略)，就可得到四边形PMQN 为矩形.易错辨析:在判定矩形时，可先判定它是平行四边形，再添加一个角是直角或对角线相等的条件，方可作出判定;若它是四边形，则应添加3个角是直角或对角线互相平分且相等的条件，方可作出判定.在解题时不能混淆这两种判定方法.例5 判断下列说法是否正确:(1)四条边相等的四边形是正方形;(2)两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形;(3)两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形;(4)两条对角线互相垂直的矩形是正方形.错误解答:(1)正确;(2)正确;(3)正确;(4)错误.错因分析:(1)一个四边形的四条边相等只能判定它是菱形，要判定它是正方形，还缺少条件，这个条件可以是有一个角是直角，也可以是其他判定四边形是矩形的条件;(2)此说法的错误是识别方法不清楚，对角线相等且互相垂直，但对角线并不一定互相平分，只有再加上对角线互相平分或四边形是平行四边形的条件，四边形才是正方形;(3)片面应用了正方形的性质，虽然正方形的每一条对角线都平分一组对角，但反过来只能判定四边形是菱形，还缺少判定它也是满巨形的条件;(4)矩形对角线相等且互相平分，再加上互相垂直可判定为正方形. 正确解答:(1)错误;(2)错误;(3)错误;(4)正确.易错辨析:识别一个四边形是正方形时，易忽略某个条件;在应用正方形的特征解题时，有时又忽略某些条件，致使有些题目解不出或判断失误，要避免这两种错误的产生，就必须做到认真熟记正方形的特征和识别方法，不要忽略隐含条件，尽量避免错误产生.易错点5 对中点四边形的错误认识例6 顺次连接四边形ABCD 四边中点得到的四边形是矩形，则四边形ABCD 是( )A.矩形B.菱形C.对角线相等的四边形D.对角线垂直的四边形错误解答:B错因分析:错误解答仅考虑到特殊情形，失去一般性.正确解答:D易错辨析:顺次连接菱形四边中点得到的中点四边形是矩形，同样凡是对角线垂直的四边形，四边中点顺次连接得到的四边形都是矩形.【反馈练习】1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )点拨:根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断.2.如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，要使四边形ABCD 成为平行四边形，则应增加 的条件是( )A. AB CD =B. BAD DCB ∠=∠C. AC BD =D. 180ABC BAD ∠+∠=︒点拨:掌握平行四边形的判定方法，3.下列判断:①对角线相等的四边形是矩形;②对角线互相垂直的四边形是菱形;③对角线相 等的菱形是正方形.其中，正确的有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 点拨:掌握特殊四边形的判定方法.4.如图，已知111A B C ∆和直线,,MN PQ PQ MN ⊥，垂足为O . (1)作222A B C ∆，使之与111A B C ∆关于直线PQ 对称;(2)作333A B C ∆，使之与222A B C ∆关于直线MN 对称;(3)111A B C ∆与333A B C ∆关于点O 成中心对称吗?为什么?点拨:要判断111A B C ∆与333A B C ∆是否关于点O 成中心对称，只需根据成中心对称的图形的识别方法来解题，即要看这两个三角形每对对应点的连线是否都经过点O ，并且被点O 平分.5.如图，在四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒,,,AC AD M N =分别为,AC CD 的中点，连 接,,BM MN BN .(1)求证: BM MN =;(2)若60,BAD AC ∠=︒平分BAD ∠ , AC = 2，求BN 的长.点拨:(1)根据三角形中位线定理得12MN AD =，根据直角三角形料边中线定理得12BM AC =,由此即可证明.(2)首先证明90BMN ∠=︒，根据222BN BM MN =+即可解决问题. 探究与应用探究1 图形变换问题例 1 如图，在六边形ABCDEF 中，//,//,//A B D E B C F E C D A F ，对边之差0BC FE DE AB AF CD -=-=->，求证:该六边形的各角都相等.点拨:设法将复杂的条件0BC FE DE AB AF CD -=-=->用一个基本图形表示，因题设有平行条件，可考虑用平移变换进行解决.解答:如图，分别过点,,B D F 作//,//,//BN AF DM BC FP DE ，三线两两相交于点,,P M N.因为//,/A F C D A BD E B C，所以////A F C DB N A B D E F P ,////BC FE DM .所以四边形BCDM 、四边形EFPD 和四边形A B均为平行四边形.所以,,PM MD PD BC FE PN PF NF DE AB NM BN BM AF CD =-=-=-=-=-=-.所以PM MN PN ==.所以PMN ∆是等边三角形.所以60PMN PNM MPN ∠=∠=∠=︒.所以120A ABC C CDE E EFA ∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒,即该六边形的各角都相等.【规律·提示】平移是几何变换中最常用的变换之一，用它可以将一些不在同一个三角形(或平行四边形)中要证的两条线段或两角，进行“搬家”，把它们搬到同一个三角形(或平行四边形)中，再利用图形的性质与题设条件，找到求解的途径.平移法能把分散的条件集中起来，收到事半功倍的效果. 【举一反三】1.如图，已知90ABC ∠=︒, D 是直线D 上的点，AD BC =.(1)如图①，过点A 作AF AB ⊥，并截取AF BD =，连接,,DC DF CF ，试判断CDF ∆ 的形状并证明;(2)如图②, E 是直线BC 上的一点，且CE BD =，直线,AE DC 相交于点,P APD ∠的 度数是一个固定的值吗?若是，请求出它的度数;若不是，请说明理由.例2 (1)在矩形纸片ABCD 中，AB =8，将纸片折叠，使顶点B 落在边AD 上的点E 处，折痕的一端点G 在边BC 上，BG =10.①当折痕的另一端点F 在边AB 上时，如图①，求EFG ∆的面积;②当折痕的另一端点F 在边AD 上时，如图②，证明四边形BGEF 为菱形，并求出折痕GF 的长.(2)在矩形纸片ABCD 中，AB =5, AD =13.如图③所示，折叠纸片，使点A 落在边BC 上的点A '处，折痕为PQ .当点A '在边BC 上移动时，折痕的端点,P Q 也随之移动.若限定点,P Q 分别在边,AB AD 上移动，求点A '在边BC 上可移动的最大距离.点拨:(1)①首先利用翻折变换的性质以及匀股定理求出AE 的长，进而利用勾股定理求出AF 和EF 的长，即可得出EFG ∆的面积;②首先证明四边形BGEF 是平行四边形，再利用BG EG =，得出四边形BGEF 是菱形，再利用菱形性质求出FG 的长.(2)分别利用当点P 与点B 重合时，以及当点D 与点Q 重合时，求出A B '的极值进而得出答案.解答:(1)①如题图①，过点G 作GH AD ⊥交AD 于点H .在Rt GHE ∆中，10,8G E B G G H A B ====，所以2286E H -=.则1064AE =-=.设AF x =，则8E F B F x ==-.由222AF AE EF -=，得2224(8)x x+=-.解得3x =.所以3,5A F E F B F ===.故EFG ∆的面积为1510252⨯⨯=. ②如题图②，过点F 作FK BG ⊥交BC 于点K .因为四边形ABCD 是矩形，所以//,//AD BC BH EG .所以四边形BGEF 是平行四边形.由对称性知，BG EG =，所以平行四边形B G E F 是菱形，所以10,8B F B G A B ===，则6AF =.所以4,KG GF === (2)如图④，当点P 与点B 重合时，根据翻折对称性可得5BA AB '==;如图⑤，当点D与点Q 重合时，根据翻折对称性可得13A D AD '==.此时在R t A C D '∆中，222A D A C C D ''=+，即22213(13)5A B '=-+，解得1A B '=.所以点A '在BC 上可移动的最大距离为5－1=4.【规律·提示】解决此类问题的关键是设出待求线段(或间接设出)的长，并用其表示出所在直角三角形的另两边(或一边)的长，然后根据匀股定理列出方程求解. 【举一反三】2.如图，在矩形ABCD 中，4,2,AB BC E ==是AB 的中点，直线l 平行于直线EC ,且直 线l 与直线EC 之间的距离为2，点F 在矩形ABCD 的边上，将矩形ABCD 沿直线EF 折 叠，使点EF 恰好落在直线l 上，则DF 的长为 .探究2 面积问题例3 如图，矩形ABCD 的面积为20 cm 2，对角线交于点O ;以,AB AO 为邻边作平行四边形1AOC B ，对角线交于点1O ;以1,AB AO 为邻边作平行四边形12AO C B ，对角线交于点2O ,…，依此类推，则平行四边形45AO C B 的面积为( )A.54cm 2 B. 58 cm 2 C. 515 cm 2 D. 532cm 2 点拨:设短形ABCD 的面积为S .因为O 为矩形ABCD 的对角线的交点，所以平行四边形1AOC B 的底边AB 上的高等于BC 的12，所以平行四边形1AOC B 的面积为12S .因为平行四边形1AOC B 的对角线交于点1O ，所以平行四边形12AO C B 的底边AB 上的高等于平行四边形1AOC B 底边AB 上的高的12，所以平行四边形12AO C B 的面积为211222S S ⨯=.….依此类推，平行四边形45AO C B 的面积为55205228S ==(cm 2). 答案:B【规律·提示】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，解答此题的关健是确定平行四边形边AB 上高的关系. 【举一反三】3.正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形PKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上， 正方形BEFG 的边长为4，则DEK ∆的面积为 .探究3 最值问题例4 如图，在周长为12的菱形ABCD 中，1,2AE AF ==，若P 为对角线BD 上一动点，则EP FP +的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4点拨:作点F 关于直线BD 的对称点F '，则PF PF '=.连接EF '交BD 于点P ，所以EP FP EP F P '+=+.由“两点之间线段最短”，可知当,,E P F '三点在同一条直线上时，EP FP +的值最小，此时EP FP EP F P EF ''+=+=.因为四边形ABCD 为菱形，且周长为12,所以3,//A B B C C D D A A B C D ====.因为2,1A F A E ==，所以1D F D F A E '===,所以四边形A E FD '是平行四边形，所以3EF AD '==.所以E PF P +的最小值为3.答案:C【规律·提示】在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件下变动时，求其几何量(如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差)的最大值或最小值问题，称为几何最值问题.解题的理论依据主要是“两点之间线段最短”“垂线段最短”，其他情形通过平移、轴对称、旋转等几何变换转化为上述情形求之. 【举一反三】4.菱形ABCD 在平面直角坐标系xOy 中的位置如图所示，顶点(2,0)B ,60,DOB P ∠=︒是 对角线OC 上一个动点，点(0,1)E -，那么当EP BP +最短时，点P 的坐标为 .5.如图，ABCD 是一张矩形纸片，1,5AD BC AB CD ====.在矩形ABCD 的边AB 上 取一点M ，在CD 上取一点N ，将纸片沿MN 折叠，使MB 与DN 相交于点K ，得到 M N K ∆.(1)若170∠=︒，求KMA ∠的度数; (2)MNK ∆的面积能否小于12?若能，求出此时1∠的度数;若不能，请说明理由; (3)如何折叠能够使MNK ∆的面积最大?请你利用备用图探究可能出现的情况，并求出最 大值.参考答案知识梳理矩形 菱形 正方形 重难点分类解析 【反馈练习】 1. B 2. 2 3. D4.点拨：证明ABC DEF ∆≅∆，得AB DE =，即可.5. 四边形AECF 是平行四边形.（点拨：,OA OC OE OF ==）6. (1)点拨：FDO EBO DFO BEO OE OF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(2) 若12OD AC =，则四边形ABCD 是矩形.点拨：因为BOE DOF ∆≅∆，所以O B O D =.因为12O D A C =，所以O A O B O C O===. 7. (1)点拨：AB ADABE ADF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(2)点拨：连接AC 交BD 于点O ，证,O A O C OE OF ==，可得四边形AECF 是平行四边形.已知AC EF ⊥，即可得证.8. (1)点拨：证明ABF ADE ∆≅∆.(2)当点E 运动到AC 的中点时，四边形AFBE 是正方形. 9. C 10. D 11. 4DE = cm 易错题辨析 【反馈练习】1. C2. B3. B4. (1) (2) 如图所示(3)111A B C ∆与333A B C ∆关于点O 成中心对称. 5. (1) 点拨：12MN AD =，12BM AC =(2)BN =探究与应用【举一反三】1. (1) CDF ∆是等腰直角三角形. 点拨：证明FAD DBC ∆≅∆(2) APD ∠的度数是一个固定的值. 45APD ∠=︒2.4- 3. 164. 3,25. (1) 40KMA ∠=︒ (2) 不能(3)分两种情况:情况一:将矩形纸片对折，使点B 与点D 重合，如图②，此时点K 也与点D 重合.设MK MD x ==，则5AM x =-.由勾股定理，得2221(5)x x +-=，解得 2.6x =.所以由(1)知 2.6ND MD ==，所以11 2.6 1.32MNK DMN S S ∆∆==⨯⨯=. 情况二:将矩形纸片沿对角线AC 对折,此时折痕为AC ，如图③.设MK AK CK x ===，则5D K x =-，所以同理可得 2.6MK NK ==.所以11 2.6 1.32M N K A C K S S ∆∆==⨯⨯=. 所以MNK ∆的面积的最大值为1.3.。

第九章中心对称图形-平行四边形单元复习课【知识梳理】9.1 图形的旋转1.概念：在平面内，将一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角．2.图形旋转的性质:（1）旋转前后的图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等．3.练习:(1)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是（）A． B．2 C．3 D．2(2)如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ的面积为．(3)如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1、BC1分别交于点E、F．（1）求证：△BCF≌△BA1D．（2）当∠C=α度时，判定四边形A1BCE的形状并说明理由．(4).如图1，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点．将△ABC 绕点A 顺时针旋转α角（0°＜α＜180°），得到△AB ′C ′（如图2）． （1）探究DB ′与EC ′的数量关系，并给予证明； （2）当DB ′∥AE 时，试求旋转角α的度数．9.2 中心对称与中心对称图形1.一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称．这个点叫做对称中心．2.成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．3.把一个图形绕 旋转 ，如果旋转后的图形能够与 ，那么这个图形叫做 ，这个点就是 。