抽象函数解题-题型大全(例题-含答案)

高考抽象函数技巧总结 时间：2021.03.11 创作：欧阳音由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。

现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式：1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知()211x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x-=- 2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例2：已知3311()f x x x x +=+，求()f x解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a a b c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。

高考一轮专练——抽象函数1. 已知函数y = f (x )(x ∈R ，x ≠0)对任意的非零实数1x ，2x ，恒有f (1x 2x )=f (1x )+f (2x ),试判断f (x )的奇偶性。

2 已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x )在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m )<f (m ),求实数m 的取值范围3. 设f(x)是R 上的奇函数，且f(x+3) =-f(x)，求f(1998)的值。

4. 设函数()f x 对任意121,[0,]2x x ∈,都有1212()()()f x x f x f x +=⋅,()2f x = 已知(1)2f =，求1()2f ,1()4f 的值.5. 已知f （x ）是定义在R 上的函数，且满足：f （x+2）[1－f （x ）]=1+f （x ），f （1）=1997，求f （2001）的值。

6. 设f （x ）是定义R 在上的函数，对任意x ，y ∈R ，有 f （x+y ）+f （x-y ）=2f （x ）f （y ）且f （0）≠0.（1）求证f （0）=1；（2）求证：y=f （x ）为偶函数.7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？8. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ，当a+b ≠0，都有ba b f a f ++)()(＞0（1）若a ＞b ，试比较f （a ）与f （b ）的大小；（2）若f （k )293()3--+⋅xxxf ＜0对x ∈[－1，1]恒成立，求实数k 的取值范围。

9.已知函数()f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。

10．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+. （1）求证: ()f x 是奇函数;（2）若(3),(24)f a a f -=试用表示.11．已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的，都满足: ()()()f a b af b bf a ∙=+. （1）求(0),(1)f f 的值;（2）判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论;（3）若(2)2f =,*(2)()nn f u n N n-=∈，求数列{n u }的前n 项和n s .12．已知定义域为R 的函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+. （1）若(2)3,(1);(0),();f f f a f a ==求又求（2）设有且仅有一个实数0x ，使得00()f x x =，求函数()f x 的解析表达式.13．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数,m n 都有1()()()2f m n f m f n +=++，且1()02f =，当12x >时, ()f x >0.（1）求(1)f ;（2）求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; （3）判断函数()f x 的单调性，并证明.14．函数()f x 的定义域为R ，并满足以下条件：①对任意x R ∈,有()f x >0；②对任意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =；③1()13f >.（1）求(0)f 的值;（2）求证: ()f x 在R 上是单调减函数; （3）若0a b c >>>且2b ac =，求证：()()2()f a f c f b +>.15．已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有()()()f m n f m f n +=∙,且当0x >时,0()1f x <<.（1）证明:(0)1,0f x =<且时,f(x)>1;（2）证明: ()f x 在R 上单调递减;（3）设A=22{(,)()()(1)}x y f x f y f ∙>,B={(,)(2)1,x y f ax y a R -+=∈},若AB =Φ,试确定a 的取值范围.16．已知函数()f x 是定义在R 上的增函数,设F ()()()x f x f a x =--. （1）用函数单调性的定义证明:()F x 是R 上的增函数; （2）证明:函数y =()F x 的图象关于点(,0)2a成中心对称图形.17．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且它的图象关于直线1x =对称. （1）求(0)f 的值；（2）证明： 函数()f x 是周期函数;（3）若()(01),f x x x =<≤求当x R ∈时，函数()f x 的解析式，并画出满足条件的函数()f x 至少一个周期的图象。

高考抽象函数技巧总结欧阳学文由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。

现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式：1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知 ()211x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u uf u u u -=+=--∴2()1x f x x-=- 2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例2：已知3311()f x x xx +=+，求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a a b c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x 解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。

高考抽象函数技巧总结 时间：2021.03.07 创作：欧阳德由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。

现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式：1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知()211x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x-=- 2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例2：已知3311()f x x x x +=+，求()f x解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a a b c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。

高考一轮专练——抽象函数1. 已知函数y = f (x )(x ∈R ，x ≠0)对任意的非零实数1x ，2x ，恒有f (1x 2x )=f (1x )+f (2x ),试判断f (x )的奇偶性。

2 已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x )在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m )<f (m ),求实数m 的取值范围3. 设f(x)是R 上的奇函数，且f(x+3) =-f(x)，求f(1998)的值。

4. 设函数()f x 对任意121,[0,]2x x ∈,都有1212()()()f x x f x f x +=⋅,()2f x =已知(1)2f =，求1()2f ,1()4f 的值.5. 已知f （x ）是定义在R 上的函数，且满足：f （x+2）[1－f （x ）]=1+f （x ），f （1）=1997，求f （2001）的值。

6. 设f （x ）是定义R 在上的函数，对任意x ，y ∈R ，有 f （x+y ）+f （x-y ）=2f （x ）f （y ）且f （0）≠0.（1）求证f （0）=1；（2）求证：y=f （x ）为偶函数.7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？8. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ，当a+b ≠0，都有ba b f a f ++)()(＞0（1）若a ＞b ，试比较f （a ）与f （b ）的大小；（2）若f （k )293()3--+⋅xx x f ＜0对x ∈[－1，1]恒成立，求实数k 的取值范围。

9.已知函数()f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。

10．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+. （1）求证: ()f x 是奇函数;（2）若(3),(24)f a a f -=试用表示.11．已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的，都满足: ()()()f a b af b bf a •=+. （1）求(0),(1)f f 的值;（2）判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论;（3）若(2)2f =,*(2)()n n f u n N n-=∈，求数列{n u }的前n 项和n s .12．已知定义域为R 的函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+. （1）若(2)3,(1);(0),();f f f a f a ==求又求（2）设有且仅有一个实数0x ，使得00()f x x =，求函数()f x 的解析表达式.13．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数,m n 都有1()()()2f m n f m f n +=++，且1()02f =，当12x >时, ()f x >0. （1）求(1)f ;（2）求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; （3）判断函数()f x 的单调性，并证明.14．函数()f x 的定义域为R ，并满足以下条件：①对任意x R ∈,有()f x >0；②对任意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =；③1()13f >.（1）求(0)f 的值;（2）求证: ()f x 在R 上是单调减函数;（3）若0a b c >>>且2b ac =，求证：()()2()f a f c f b +>.15．已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有()()()f m n f m f n +=•,且当0x >时,0()1f x <<.（1）证明:(0)1,0f x =<且时,f(x)>1;（2）证明: ()f x 在R 上单调递减; （3）设A=22{(,)()()(1)}x y f x f y f •>,B={(,)(2)1,x y f ax y a R -+=∈},若A B =Φ,试确定a 的取值范围.16．已知函数()f x 是定义在R 上的增函数,设F ()()()x f x f a x =--. （1）用函数单调性的定义证明:()F x 是R 上的增函数; （2）证明:函数y =()F x 的图象关于点(,0)2a成中心对称图形.17．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且它的图象关于直线1x =对称. （1）求(0)f 的值；（2）证明： 函数()f x 是周期函数;（3）若()(01),f x x x =<≤求当x R ∈时，函数()f x 的解析式，并画出满足条件的函数()f x 至少一个周期的图象。

专题 抽象函数一、求抽象函数定义域1.已知函数f （21x -）定义域为[]1,3-, 求f （x ）的定义域2．函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(x ＋1)的定义域是________．3.已知函数f [ 0，3 ]，求f （x ）的定义域二.求抽象函数解析式求函数解析式的常用方法：待定系数法、配凑法、换元法、方程组、特殊值法（1）若f [ f （x ）] = 4x+3，求一次函数f （x ）的解析式（2）已知f （x ）= 22x x -，求f （1x -）的解析式(3) 已知f （x ）-2 f （-x ）= x ，求函数f （x ）的解析式（4）设对任意数x ，y 均有()()222233f x y f y x xy y x y +=++-++，求f （x ）的解析式.练习：1.已知f （x ）是二次函数，且()()211244f x f x x x ++-=-+，求f （x ）2.已知2 f （x ）- f （-x ）= x+1 ，求函数f （x ）的解析式3．已知2 f （x ）-f 1x ⎛⎫⎪⎝⎭ = 3x ，求函数f （x ）的解析式4.已知对一切x ，y ∈R ，()()()21f x y f x x y y -=--+都成立，且f （0）=1，求f （x ）的解析式.5.若x x f x f 4)1()(3=-，则)(x f =_____________________三、解抽象不等式1.已知：f (x)是定义在[-1，1]上的增函数，且f(x-1)<f(x 2-1),求x 的取值范围.2.已知f(x)是定义在(0,)+∞上的函数，满足条件f(x y)=f(x)+f(y)；f(2)=1。

求：(1)证(8)3f = ；（2）求不等式()(2)3f x f x -->的解集。

3.函数()f x 对任意的,a b R ∈，都有()()()1f a b f a f b +=+-，并且当0x >时()1f x >.（1）求证：()f x 是R 上的增函数；（2）若(4)5f =，解不等式2(32)3f m m --<专题 函数的奇偶性【知识梳理】1. 偶函数定义：一般地，设函数)(x f y =的定义域为A ，如果对于任意的A x ∈，都有，那么称函数)(x f y =是偶函数。

抽象函数的常见题型及解法一、 抽象函数的定义域1. 已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域若已知f(x)的定义域x (a,b)，求f[g(x)]的定义域，其方法是： 由a<g(x)<b,求得x 的范围，即为f[g(x)]的定义域。

即由内层函数的值域，求内层函数的定义域，即为f[g(x)]的定义域。

例1.已知f(x)的定义域为[1，4]，求f()的定义域. 解: 由1≤≤4，得 -1≤≤2 即 -1≤<0 或 0<≤2 解得 X ≤-1 或x ≥∴函数的定义域为:2. 已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域若已知f[g(x)]的定义域x (a,b)，求f(x)的定义域，其方法是： 由a<x<b,求得g(x)的范围，即为f(x)的定义域。

即由内层函数的定义域，求内层函数的值域，即为f(x)的定义域。

例2. 若已知f(x+2)的定义域为[-2，2]，求函数f(x)的定义域. 解：∵f(x+2)的定义域为[-2，2]， ∴-2≤x ≤2， ∴ 0≤x+2≤4 故f(x)的定义域为[0，4]3. 已知f[ (x)]的定义域，求f[g(x)]的定义域先由f[ (x)]的定义域，求f(x)的定义域，再由f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域。

即由第一个函数中内层函数的定义域，求得第一个函数内层函数的值域，第一个函数内层函数的值域就是第二个函数内层函数的值域，由第∈21+x21+x x1x 1x121()⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃-∞-,211,∈ϕϕ二个函数内层函数的值域，再求出第二个函数内层函数的定义域。

例3.若已知f(x+1)的定义域为，求函数f ()的定义域. 解：∵f(x+1)的定义域为， ∴-2≤x 3， ∴ -1≤x+1 4 即f(x)的定义域为.∴ -1≤<4，∴ -3≤<2 即 -3≤<0 或 0<<2 解得 X ≤-或 x> ∴函数的定义域为:3. 已知f(x)的定义域，求f[ (x)] + f[g(x)]的定义域若已知f(x)的定义域x (a,b)，求f[g(x)]+f[g(x)]的定义域，其方法是：由,求得x 的范围，即为f[ (x)] + f[g(x)]的定义域。

抽象函数经典综合题33例（含详细解答）抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。

抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。

本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答）1.定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。

解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴)(1)(x f x f =- 由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴0)(1)(>-=x f x f 又x=0时，f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ，f(x)>0(3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴1)()()()()(121212>-=-⋅=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数（4）f(x)·f(2x-x 2)=f[x+(2x-x 2)]=f(-x 2+3x)又1=f(0)， f(x)在R 上递增∴由f(3x-x 2)>f(0)得：3x-x 2>0 ∴ 0<x<3 2.已知函数()f x ,()g x 在R 上有定义，对任意的,x y R ∈有()()()()()f x y f x g y g x f y -=- 且(1)0f ≠（1）求证：()f x 为奇函数（2）若(1)(2)f f =， 求(1)(1)g g +-的值解（1）对x R ∈，令x=u-v 则有f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-[f(u)g(v)- g(u)f(v)]=-f(x)（2）f(2)=f{1-(-1)}=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1){g(-1)+g(1)} ∵f(2)=f(1)≠0∴g(-1)+g(1)=13.已知函数)(x f 对任意实数y x ,恒有)()()(y f x f y x f +=+且当x ＞0，.2)1(.0)(-=<f x f 又(1)判断)(x f 的奇偶性；(2)求)(x f 在区间[－3,3]上的最大值； (3)解关于x 的不等式.4)()(2)(2+<-ax f x f ax f解（1）取,0==y x 则0)0()0(2)00(=∴=+f f f取)()()(,x f x f x x f x y -+=--=则)()(x f x f -=-∴对任意R x ∈恒成立 ∴)(x f 为奇函数. （2）任取2121),(,x x x x <+∞-∞∈且， 则012>-x x0)()()(1212<-=-+∴x x f x f x f),()(12x f x f --<∴ 又)(x f 为奇函数 )()(21x f x f >∴ ∴)(x f 在（－∞，+∞）上是减函数. ∴对任意]3,3[-∈x ，恒有)3()(-≤f x f而632)1(3)1()2()12()3(-=⨯-==+=+=f f f f f 6)3()3(=-=-∴f f ∴)(x f 在[－3，3]上的最大值为6（3）∵)(x f 为奇函数，∴整理原式得 )2()()2()(2-+<-+f ax f x f ax f进一步可得)2()2(2-<-ax f x ax f而)(x f 在（－∞，+∞）上是减函数，222->-∴ax x ax.0)1)(2(>--∴x ax∴当0=a 时，)1,(-∞∈x当2=a 时，}1|{R x x x x ∈≠∈且当0<a 时，}12|{<<∈x ax x当20<<a 时, }12|{<>∈x a x x x 或 当a>2时，}12|{><∈x ax x x 或4.已知f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)＝－1，且满足x ，y ∈(－1，1)有f (x )＋f (y )＝f (xyy x ++1) ⑴证明：f (x )在(－1，1)⑵对数列x 1＝21，x n ＋1＝212nn x x +，求f (x n ); ⑶求证252)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n(Ⅰ)证明：令x ＝y ＝0，∴2f (0)＝f (0)，∴f (0)＝0令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0 ∴f (x )＋f (－x )＝0 ∴f (－x )＝－f (x )∴f (x )为奇函数 (Ⅱ)解：f (x 1)＝f (21)＝－1，f (x n ＋1)＝f (212n n x x +)＝f (nn n n x x x x ⋅++1)＝f (x n )＋f (x n )＝2f (x n ) ∴)()(1n n x f x f +＝2即{f (x n )}是以－1为首项，2为公比的等比数列∴f (x n )＝－2n －1 (Ⅲ)解：)2121211()(1)(1)(11221-++++=+++n nx f x f x f 2212)212(21121111->+-=--=---=--n n n而2212)212(252-<+--=++-=++-n n n n ∴252)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n5.已知函数N x f N x x f y ∈∈=)(,),(，满足：对任意,,,2121x x N x x ≠∈都有)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +>+；（1）试证明：)(x f 为N 上的单调增函数； （2）n N ∀∈，且(0)1f =，求证：()1f n n ≥+；（3）若(0)1f =，对任意,m n N ∈,有1)())((+=+n f m f n f ，证明：∑=<-ni if 141)13(12. 证明：（1）由①知，对任意*,,a b a b ∈<N ，都有0))()()((>--b f a f b a ，由于0<-b a ，从而)()(b f a f <，所以函数)(x f 为*N 上的单调增函数. （2）由（1）可知n N ∀∈都有f(n+1)>f(n),则有f(n+1)≥f(n)+1 ∴f(n+1)-f(n)1≥, ∴f(n)-f(n-1)1≥ ∙∙∙ ∴ f(2)-f(1)1≥∴f(1)-f(0)1≥由此可得f(n)-f(0)≥n ∴f(n)≥n+1命题得证（3）由任意,m n N ∈,有1)())((+=+n f m f n f 得()1f m = 由f(0)=1得m=0 则f(n+1)=f(n)+1,则f(n)=n+121)311(21311)311(31313131)13(121<-=--=+∙∙∙++=-∑=n n n ni if6.已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：(1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥； (2)(1)3f =(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-. (I)求(0)f 的值； (II)求()f x 的最大值；(III)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*12(3),n n S a n N =--∈.求证：123112332()()()()2n n f a f a f a f a n -⨯++++≤+-.解：（I ）令120x x ==，由(3),则(0)2(0)2,(0)2f f f ≥-∴≤由对任意[]0,1x ∈，总有()2,(0)2f x f ≥∴= （II ）任意[]12,0,1x x ∈且12x x <，则212101,()2x x f x x <-≤∴-≥22112111()()()()2()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+≥-+-≥max ()(1)3f x f ∴==(III)*12(3)()n n S a n N =--∈1112(3)(2)n n S a n --∴=--≥1111133(2),10n n n n a a n a a --∴=≥=≠∴= 111112113333333()()()()()23()4n n n n n n nn f a f f f f f -∴==+≥+-≥-+ 111143333()()n n f f -∴≤+，即11433())(n n f a f a +≤+。

抽象函数常见题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。

由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。

本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题例1. 已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。

解：)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x 从而函数f （x ）的定义域是［1，4］例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log 21x f -的定义域。

解：)(x f 的定义域是]21[，-，意思是凡被f 作用的对象都在]21[，-中，由此可得4111)21(3)21(2)3(log 11221≤≤⇒≤-≤⇒≤-≤--x x x 所以函数)]3([log 21x f -的定义域是]4111[， 二、求值问题例3. 已知定义域为+R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①51)6(1)2(==f f ，；②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f （3），f （9）的值。

解：取32==y x ，，得)3()2()6(f f f +=因为51)6(1)2(==f f ，，所以54)3(-=f 又取3==y x 得58)3()3()9(-=+=f f f 三、值域问题例4. 设函数f （x ）定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。

解：令0==y x ，得2)]0([)0(f f =，即有0)0(=f 或1)0(=f 。

若0)0(=f ，则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ，对任意R x ∈均成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故0)0(≠f ，必有1)0(=f 。

抽象函数常见题型汇编抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题(一)已知()f x 的定义域，求(())f g x 的定义域．解法：若()f x 的定义域为[]a b ，，则(())f g x 中()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为(())f g x 的定义域．例1 设函数()f x 的定义域为[01]，，则(1)函数2()f x 的定义域为 ；(2)函数2)f 的定义域为 ． 解析：(1)由已知有201x ≤≤，解得11x -≤≤，故2()f x 的定义域为[11]-，；(2)由已知，得021≤，解得49x ≤≤，故2)f 的定义域为[49]，． (二)已知(())f g x 的定义域，求()f x 的定义域．解法：若(())f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定()g x 的范围即为()f x 的定义域． 例2 函数[lg(1)]y f x =+的定义域为09x ≤≤，则()y f x =的定义域为 ． 解析：由09x ≤≤，得1110x +≤≤，所以0lg(1)1x +≤≤，故填[01]， (三)已知(())f g x 的定义域，求(())f h x 的定义域．解法：先由(())f g x 定义域求()f x 定义域，再由()f x 定义域求得(())f h x 定义域． 例3 函数(1)y f x =+定义域是[23]-，，则(21)y f x =-的定义域是 ． 解析：先求()f x 的定义域，∵(1)f x +的定义域是[23]-，，∴23x -≤≤ ∴114x +≤≤，即()f x 的定义域是[14]-，再求[()]f h x 的定义域，∵1214x --≤≤，∴502x ≤≤∴(21)f x -的定义域是502⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． (四)运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集． 例4 函数()f x 的定义域是(01]，，求()1()()()02g x f x a f x a a =+⋅--<≤的定义域．解析：∵由已知，有0101x a x a <+⎧⎨<-⎩≤，≤，即11a x a a x a -<-⎧⎨<+⎩≤，≤，∴函数的定义域由(1)(1]a a a a --+I ，，确定 ∵102a -<≤∴11a a a a -<+-≤≤∴函数()g x 的定义域是(1]a a -+，．【巩固1】已知函数2()f x 的定义域是12［，］，求()f x 的定义域． 解析：2()f x 的定义域是12［，］，是指12x ≤≤， 所以2()f x 中的2x 满足214x ≤≤ 从而函数()f x 的定义域是[14]，．【巩固2】已知函数()f x 的定义域是[12]-，，求函数()12log (3)f x -的定义域．解析：()f x 的定义域是[12]-，，意思是凡被f 作用的对象都在[12]-，中，由此可得 ()()211211111log (3)231224x x x ---⇒-⇒≤≤≤≤≤≤所以函数()12log (3)f x -的定义域是1114⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【巩固3】()f x 定义域为(01)，，则()1()()||2y f x a f x a a =++-≤定义域是 ．解析：因为x a +及x a -均相当于()f x 中的x ，所以011011x a a x a x a a x a <+<-<<-⎧⎧⇒⎨⎨<-<<<+⎩⎩，，，，(1)当102a -≤≤时，则(1)x a a ∈-+，； (2)当102a <≤时，则(1)x a a ∈-，．二、解析式问题1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力． 例5 已知 ()211x fx x =++，求()f x ．解析：设1x u x =+，则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x-=-．2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x ．此解法简洁，还能进一步复习代换法． 例6 已知()3311f x x x x +=+，求()f x解析：∵()()()()()()2221111113f x x x x x x xx xx+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥，∴23()(3)(||)13f x x x x x x =-=-≥，3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数． 例7 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4，求()f x ． 解析：设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ 22222()24ax bx a c x x =+++=++比较系数得2()4132112222a c a a b c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩，，，，，∴213()22f x x x =++4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性，求分段函数的解析式． 例8 已知()y f x =为奇函数，当0x >时，()lg(1)f x x =+，求()f x ．解析：∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求0x <时的表达式． ∵0x ->，∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-， ∵()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当0x <时()lg(1)f x x =--∴lg(1)0()lg(1)0x x f x x x +⎧=⎨--<⎩，≥，例9 ()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有1()()1f x g x x +=-， 求()f x ，()g x ．解析：∵()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x -=，()()g x g x -=-， 不妨用x -代换1()()1f x g x x +=- ………①中的x ，∴1()()1f x g x x -+-=--即1()()1f xg x x -=-+……② 显见①+②即可消去()g x ，求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1x g x x =-5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出()f x 的表达式例10 设()f x 的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++，及(1)1f =，求()f x 解析：∵()f x 的定义域为N ，取1y =，则有(1)()1f x f x x +=++ ∵(1)1f =，∴(2)(1)2f f =+，(3)(2)3f f =+……()(1)f n f n n =-+ 以上各式相加，有(1)()1232n n f n n +=++++=L ，∴1()(1)2f x x x x =+∈N ， 【巩固4】设函数()f x 存在反函数，1()()()g x f xh x -=，与()g x 的图象关于直线0x y +=对称，则函数 ()h x =（ ）A ．()f x -B ．()f x --C ．1()f x --D ．1()f x ---解析：要求()y h x =的解析式，实质上就是求()y h x =图象上任一点00()P x y ，的横、纵坐标之间的关系． 点00()P x y ，关于直线y x =-的对称点00()y x --，适合1()y f x -=， 即00()x g y -=-．又1()()g x f x -=，1000000()()()x f y y f x y f x -∴-=-⇒-=-⇒=--，即()()h x f x =--，选B ．【巩固5】设对满足01x x ≠≠，的所有实数x ，函数()f x 满足()1()1x f x f x x -+=+，求()f x 的解析式．解析：在()1()1x f x f x x -+=+（1）中以1x x-代换其中x ，得：()()11211x x f f x x x --+-=-(2)再在(1)中以11x --代换x ，得()12()11x f f x x x --+=--(3)(1)-(2)+(3)化简得：321()2(1)x x f x x x --=- 评析：如果把x 和1x x -分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键．通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略． 三、求值问题这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值．其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化．或紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解．例11 已知定义域为+R 的函数()f x ，同时满足下列条件：①1(2)1(6)5f f ==，；②()f x y ⋅=()()f x f y +，求(3)(9)f f ，的值．解析：取23x y ==，，得(6)(2)(3)f f f =+ 因为1(2)1(6)5f f ==，，所以4(3)5f =- 又取3x y ==，得8(9)(3)(3)5f f f =+=-例12 定义在R 上的函数()f x 满足：()(4)f x f x =-且(2)(2)0f x f x -+-=，求(2000)f 的值． 解析：由(2)(2)0f x f x -+-=，以2t x =-代入，有()()f t f t -=， ∴()f x 为奇函数且有(0)0f =，又由(4)[4()]f x f x +=--()()f x f x =-=-，∴(8)(4)()f x f x f x +=-+= ()f x 是周期为8的周期函数，∴(2000)(0)0f f ==【巩固6】已知()f x 的定义域为+R ，且()()()f x y f x f y +=+对一切正实数x y ，都成立，若(8)4f =， 则(2)f =_______．解析：在条件()()()f x y f x f y +=+中，令4x y ==，得 (8)(4)(4)2(4)4f f f f =+==，∴(4)2f =又令2x y ==，得(4)(2)(2)2f f f =+=，∴(2)1f =【巩固7】已知()f x 是定义在R 上的函数，且满足：(2)[1()]1()f x f x f x +-=+，(1)1997f =，求(2001)f 的值．解析：紧扣已知条件，并多次使用，发现()f x 是周期函数，显然()1f x ≠，于是 1()(2)1()f x f x f x ++=-，1()11(2)1()1(4)1(2)1()()11()f x f x f x f x f x f x f x f x ++++-+===--++--所以1(8)()(4)f x f x f x +=-=+，故()f x 是以8为周期的周期函数， 从而(2001)(82501)(1)1997f f f =⨯+== 四、值域问题例13 设函数()f x 定义于实数集上，对于任意实数x y ，，()()()f x y f x f y +=总成立，且存在12x x ≠，使得12()()f x f x ≠，求函数()f x 的值域．解析：令0x y ==，得2(0)[(0)]f f =，即有(0)0f =或(0)1f =．若(0)0f =，则()(0)()(0)0f x f x f x f =+==，对任意x ∈R 均成立，这与存在实数12x x ≠，使得12()()f x f x ≠成立矛盾，故(0)0f ≠，必有(0)1f =．由于()()()f x y f x f y +=对任意x y ∈R ，均成立，因此，对任意x ∈R ，有 ()()()()2()022222x x x x x f x f f f f ⎡⎤=+==⎢⎥⎣⎦≥下面来证明，对任意()0x f x ∈≠R ，设存在0x ∈R ，使得0()0f x =，则0000)(0)(()()0f f x x f x f x =-=-= 这与上面已证的(0)0f ≠矛盾，因此，对任意()0x f x ∈≠R ， 所以()0f x >评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段． 【巩固8】已知函数()f x 对任意实数x y ，有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x >，(1)2f -=-，求()f x 在[21]-，上的值域．解析：设12x x <，且12x x ∈R ，，则210x x ->， 由条件当0x >时，()0f x > ，21()0f x x ∴->又2211()[()]f x f x x x =-+2111()()()f x x f x f x =-+>，∴()f x 为增函数， 令y x =-，则(0)()()f f x f x =+-又令0x y == ，得(0)0f = ，()()f x f x ∴-=-，故()f x 为奇函数， (1)(1)2f f ∴=-=，(2)2(1)4f f -=-=-所以()f x 在[21]-，上的值域为[42]-， 五、求参数范围或解不等式这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“ f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用．例4 已知()f x 是定义在(11)-，上的偶函数，且在(01)，上为增函数，满足(2)f a -- 2(4)0f a -<，试确定a 的取值范围．解析：∵()f x 是偶函数，且在(01)，上是增函数，∴()f x 在(10)-，上是减函数， 由2121141a a -<-<⎧⎨-<-<⎩a < (1)当2a =时，2(2)(4)(0)f a f a f -=-=，不等式不成立． (2)2a <<时，2222120(2)(4)(4)140224a f a f a f a a a a a -<-<⎧⎪-<-=-⇔-<-<⇒<<⎨⎪->-⎩(3)当2a <2(2)(4)f a f a -<-222021(4)041224a f a a a a a <-<⎧⎪=-⇔<-<⇒<<⎨⎪-<-⎩综上所述，所求a的取值范围是2)(2U ． 例15 ()f x 是定义在(1]-∞，上的减函数，若22(sin )(1cos )f m x f m x -++≤对x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．解析：：2222sin 31cos 3sin 1cos m x m x m x m x ⎧-⎪++⎨⎪-++⎩Q ≤，≤，≥，对x ∈R 恒成立222sin 3sin 1cos m x m x m x ⎧-⎪⇔⎨-++⎪⎩≤，≥，对x ∈R 恒成立⇔22223sin 151sin cos (sin )24m x m m x x x ⎧-⎪⎨--+=--+⎪⎩≤，≥， 对x ∈R 恒成立， 2231514m m m ⎧-⎪∴⎨--⎪⎩≤，≥，所以m 为所求【巩固9】已知函数()f x 是定义在(1]-∞，上的减函数，且对一切实数x ，不等式(sin )f k x -≥ 22(sin )f k x -恒成立，求k 的值．解析：由单调性，脱去函数记号，得222222221sin 1sin 111(sin )2sin sin 42k x k x k k x k x k x ⎧+⎧-⎪⎪⇔⎨⎨-+---⎪⎪⎩⎩≤，()≤，≥，()≤ 由题意知(1)(2)两式对一切x ∈R 恒成立，则有22min 22max (1sin )11119(sin )424k x k k k x ⎧⎫+=⎪⎪⇒=-⎨⎬-+-=⎪⎪⎩⎭≤≥ 【巩固10】已知函数()f x 对任意x y ∈R ，有()()2()f x f y f x y +=++，当0x >时，()2f x >，(3)5f =，求不等式2(22)3f a a --<的解集．解析：设12x x ∈R ，且12x x <，则210x x ->， 21()2f x x ∴->，即21()20f x x -->22112111()[()]()()2()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+=-+->，21()()f x f x ∴>故()f x 为增函数，又(3)(21)(2)(1)23(1)45f f f f f =+=+-=-=，(1)3f ∴=，2(22)3(1)f a a f ∴--<=，即2221a a --<，13a ∴-<<因此不等式2(22)3f a a --<的解集为{}|13a a -<<． 六、单调性问题例16 设()f x 定义于实数集上，当0x >时，()1f x >，且对于任意实数x y ，，有()f x y +=()()f x f y ，求证：()f x 在R 上为增函数．证明：在()()()f x y f x f y +=中取0x y ==，得2(0)[(0)]f f = 若(0)0f =，令00x y >=，，则()0f x =，与()1f x >矛盾 所以(0)0f ≠，即有(0)1f =当0x >时，()10f x >>；当0x <时，0()10x f x ->->>， 而()()(0)1f x f x f ⋅-==，所以1()0()f x f x =>-又当0x =时，(0)10f =>，所以对任意x ∈R ，恒有()0f x > 设12x x <，则21210()1x x f x x ->->，∴21211211()[()]()()()f x f x x x f x f x x f x =+-=->，∴()y f x =在R 上为增函数例17 已知偶函数()f x 在(0)+∞，上是减函数，问()f x 在(0)-∞，上是增函是减函数，并证明你的结论． 证明：如图所示，易知()f x 在(0)-∞，上是增函数，证明如下： 任取121200x x x x <<⇒->->因为()f x 在(0)+∞，上是减函数，所以12()()f x f x -<-． 又()f x 是偶函数，所以1122()()()()f x f x f x f x -=-=，， 从而12()()f x f x <，故()f x 在(0)-∞，上是增函数．【巩固11】如果奇函数()f x 在区间[37]，上是增函数且有最小值为5，那么()f x 在区间[73]--，上是( ) A ．增函数且最小值为5- B ．增函数且最大值为5- C ．减函数且最小值为5-D ．减函数且最大值为5-解析：画出满足题意的示意图1，易知选B ． 七、奇偶性问题例18 已知函数()(0)f x x x ∈≠R ，对任意不等于零的实数12x x ，都有121()()f x x f x ⋅=2()f x +，试判断函数()f x 的奇偶性．解析：取1211x x =-=，得：(1)(1)(1)f f f -=-+，所以(1)0f = 又取121x x ==-得：(1)(1)(1)f f f =-+-，所以(1)0f -= 再取121x x x ==-，，则()(1)()f x f f x -=-+，即()()f x f x -= 因为()f x 为非零函数，所以()f x 为偶函数．【巩固12】若函数()(()0)y f x f x =≠与()y f x =-的图象关于原点对称，求证：函数()y f x =是偶函数． 证明：设()y f x =图象上任意一点为00()P x y ， ()y f x =Q 与()y f x =-的图象关于原点对称，00()P x y ∴，关于原点的对称点00()x y --，在()y f x =-的图象上，00()y f x ∴-=--，00()y f x ∴=-又00()y f x =，00()()f x f x ∴-=即对于函数定义域上的任意x 都有()()f x f x -=，所以()y f x =是偶函数． 八、周期性问题几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x (其中a 为常数)， 1．()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； 2．()()f x a f x +=-，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数； 3．1()()f x a f x +=±，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数；4．()()f x a f x a +=-，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数； 5．1()()1()f x f x a f x -+=+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数．6．1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数．7．1()()1()f x f x a f x ++=-，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数．8．函数()y f x =满足()()(0)f x a f a x a +=->，若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =．9．函数()()y f x x =∈R 的图象关于直线x a =和()x b a b =<都对称，则函数()f x 是以2()b a -为周期的周期函数；10．函数()()y f x x =∈R 的图象关于两点00()()()A a y B b y a b <，，，都对称，则函数()f x 是以2()b a -为周期的周期函数；11．函数()()y f x x =∈R 的图象关于0()A a y ，和直线()x b a b =<都对称，则函数()f x 是以4()b a -为周期的周期函数；例19 设()f x 定义在R 上且对任意的x 有()(1)(2)f x f x f x =+-+，求证：()f x 是周期函数，并找出它的一个周期．解析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出()()f x T f x +=(T 为非零常数)则()f x 为周期函数，且周期为T ．证明：()(1)(2)f x f x f x =+-+Q (1) (1)(2)(3)f x f x f x ∴+=+-+ (2)(1)+(2)得()(3)f x f x =-+(3) 由(3)得(3)(6)f x f x +=-+(4) 由(3)和(4)得()(6)f x f x =+．上式对任意x ∈R 都成立，因此()f x 是周期函数，且周期为6．例20 设函数()f x 的定义域为R ，且对任意的x y ，()()2()()f x y f x y f x f y ++-=⋅，并存在正实数c ，使()02c f =．试问()f x 是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由． 解析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现：cos y x =满足题设条件，且cos 02π=，猜测()f x 是以2c 为周期的周期函数．()()()()20222222()()(2)()()c c c c c c f x f x f x f f x c f x f x c f x c f x ⎡⎤⎡⎤++++-=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴+=-∴+=-+=Q 故()f x 是周期函数，2c 是它的一个周期．【巩固13】设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1x =对称．对任意12x x ∈，102⎡⎤⎢⎥⎣⎦，都有 1212()()()f x x f x f x +=⋅．证明()f x 是周期函数．证明：依题设()y f x =关于直线1x =对称，故()(2)f x f x x =-∈R ， 又由()f x 是偶函数知()()f x f x x -=∈R ，()(2)f x f x x ∴-=-∈R ，，将上式中x -以x 代换，得()(2)f x f x x =+∈R ，这表明()f x 是R 上的周期函数，且2是它的一个周期 ()f x 是偶函数的实质是()f x 的图象关于直线0x =对称又()f x 的图象关于1x =对称，可得()f x 是周期函数，且2是它的一个周期 由此进行一般化推广，我们得到思考一：设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线(0)x a a =≠对称，证明()f x 是周期函数，且2a 是它的一个周期．证明：()f x Q 关于直线x a =对称．()(2)f x f a x x ∴=-∈R ， 又由()f x 是偶函数知()()f x f x x -=∈R ，，()(2)f x f a x x ∴-=-∈R ， 将上式中x -以x 代换，得()(2)f x f a x x =+∈R ， ()f x ∴是R 上的周期函数，且2a 是它的一个周期思考二：设()f x 是定义在R 上的函数，其图象关于直线x a =和()x b a b =≠对称．证明()f x 是周期函数，且2()b a -是它的一个周期．证明：()f x Q 关于直线x a =和x b =对称()(2)f x f a x x ∴=-∈R ，，()(2)f x f b x x =-∈R ，，(2)(2)f a x f b x x ∴-=-∈R ， 将上式的x -以x 代换得(2)(2)f a x f b x x +=+∈R ，[2()][(2)2][(2)2]()f x b a f x a b f x a a f x x ∴+-=-+=-+=∈R ， ()f x ∴是R 上的周期函数，且2()b a -是它的一个周期若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”，()f x 还是不是周期函数？我们得到思考三：设()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线1x =对称．证明()f x 是周期函数，且4是它的一个周期．，证明：()f x Q 关于1x =对称，()(2)f x f x x ∴=-∈R ，又由()f x 是奇函数知()()f x f x x -=-∈R ，，(2)()f x f x x ∴-=--∈R ， 将上式的x -以x 代换，得(2)()f x f x x +=-∈R ，(4)[2(2)](2)[()]()f x f x f x f x f x x ∴+=++=-+=--=∈R ， ()f x ∴是R 上的周期函数，且4是它的一个周期()f x 是奇函数的实质是()f x 的图象关于原点(00)，中心对称，又()f x 的图象关于直线1x =对称，可得()f x 是周期函数，且4是它的一个周期．由此进行一般化推广，我们得到思考四：设()f x 是定义在R 上的函数，其图象关于点(0)M a ，中心对称，且其图象关于直线()x b b a =≠对称．证明()f x 是周期函数，且4()b a -是它的一个周期． 证明：()f x Q 关于点(0)M a ，对称，(2)()f a x f x x ∴-=-∈R ， ()f x Q 关于直线x b =对称，()(2)f x f b x x ∴=-∈R ，，(2)(2)f b x f a x x ∴-=--∈R ，将上式中的x -以x 代换，得(2)(2)f b x f a x x +=-+∈R ， [4()][2(24)][2(24)]f x b a f b x b a f a x b a ∴+-=++-=-++-[2(2)][2(2)]()f b x a f a x a f x x =-+-=+-=∈R ， ()f x ∴是R 上的周期函数，且4()b a -是它的一个周期由上我们发现，定义在R 上的函数()f x ，其图象若有两条对称轴或一个对称中心和一条对称轴，则()f x 是R 上的周期函数．进一步我们想到，定义在R 上的函数()f x ，其图象如果有两个对称中心，那么()f x 是否为周期函数呢？经过探索，我们得到思考五：设()f x 是定义在R 上的函数，其图象关于点(0)M a ，和(0)()N b a b ≠，对称．证明()f x 是周期函数，且2()b a -是它的一个周期．证明：()f x Q 关于(0)(0)M a N b ，，，对称 (2)()f a x f x x ∴-=-∈R ， (2)()f b x f x x -=-∈R ， (2)(2)f a x f b x x ∴-=-∈R ，将上式中的x -以x 代换，得 (2)(2)f a x f b x x +=+∈R ，，[2()][2(2)][2(2)]()f x b a f b x a f a x a f x x ∴+-=+-=+-=∈R ， ()f x ∴是周期函数，且2()b a -是它的一个周期九、对称性问题(1)对称性的概念及常见函数的对称性 1．对称性的概念①轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴．②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心．2．常见函数的对称性(所有函数自变量可取有意义的所有值)①常函数；②一次函数；③二次函数；④反比例函数；⑤指数函数；⑥对数函数；⑦幂函数；⑧正弦函数；⑨正弦型函数sin()y A x ωϕ=+既是轴对称又是中心对称；⑩余弦函数；○13正切函数；○12耐克函数；○13三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异；○14绝对值函数：这里主要说的是(||)y f x =和|()|y f x =两类．前者显然是偶函数，它会关于y 轴对称;后者是把x 轴下方的图像对称到x 轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如|ln |y x =就没有对称性，而|sin |y x =却仍然是轴对称．○15形如(0)ax b y c ad bc cx d+=≠≠+，的图像是双曲线，其两渐近线分别直线d x c =-(由分母为零确定)和直线a y c=(由分子、分母中x 的系数确定)，对称中心是点()d a c b -，． (2)抽像函数的对称性1．函数()y f x =图像本身的对称性(自对称问题) (1)轴对称①()y f x =的图像关于直线x a =对称()()()(2)f a x f a x f x f a x ⇔+=-⇔=- ()(2)f x f a x ⇔-=+②()()()f a x f b x y f x +=-⇔=的图像关于直线()()22a xb x a bx ++-+==对称．特别地，函数()y f x =的图像关于y 轴对称的充要条件是()()f x f x =-． (2)中心对称①()y f x =的图像关于点()a b ，对称()()2()(2)2f a x f a x b f x f a x b ⇔++-=⇔+-= ()(2)2f x f a x b ⇔-++=．②()()2()f a x f b x c f x ++-=⇔的图像关于点()2a b c +，对称． 特别地，函数()y f x =的图像关于原点(00)，对称的充要条件是()()0f x f x +-=． (3)对称性与周期性之间的联系①若函数()f x 既关于直线x a =对称，又关于直线()x b a b =≠对称，则函数()f x 关于无数条直线对称，相邻对称轴的距离为||b a -；且函数()f x 为周期函数，周期2||T b a =-；特别地：若()y f x =是偶函数，图像又关于直线x a =对称，则()f x 是周期为2||a 的周期函数； ②若函数()f x 既关于点(0)a ，对称，又关于点(0)b ，对称()a b ≠，则函数()f x 关于无数个点对称，相邻对称中心的距离为||b a -；且函数()f x 为周期函数，周期2||T b a =-；③若函数()f x 既关于直线x a =对称，又关于点(0)b ，对称()a b ≠，则函数()f x 关于无数个点和直线对称，相邻对称轴和中心的距离为||b a -，相邻对称轴或中心的距离为2||b a -；且函数()f x 为周期函数，周期4||T b a =-．特别地：若()y f x =是奇函数，图像又关于直线x a =对称，则()f x 是周期为4||a 的周期函数． 2．两个函数图像的对称性(互对称问题)(1)函数()y f a x =+与()y f a x =-图像关于直线0x =对称． (2)函数()y f x =与(2)y f a x =-图像关于直线x a =对称 (3)函数()y f x =-与(2)y f a x =+图像关于直线a x -=对称(4)函数()y f a x =+与()y f b x =-图像关于直线()()0a x b x +--=对称即直线2b a x -=对称(5)函数()y f x =与()y f x =-图像关于x 轴对称．(6)函数()y f x =与()y f x =-图像关于y 轴对称．(7)函数()y f x =与()a x f a y -=-图像关于直线x y a +=成轴对称． (8)函数()y f x =与()x a f y a -=+图像关于直线x y a -=成轴对称． (9)函数()y f x =与1()y f x -=的图像关于直线y x =对称． (10)函数()y f x =与1()y f x -=--的图像关于直线y x =-对称．(11)函数()y f x =有反函数，则()y f a x =+和1()y f a x -=+的图像关于直线y x a =+对称．(12)函数()y f x =与2(2)y b f a x =--的图像关于点()a b ，成中心对称．特别地，函数()y f x =与()y f x =--图像关于原点对称．例21 函数()y f x =满足()()2002f x f x +-=，求11()(2002)f x f x --+-值． 解析：已知式即在对称关系式()()2f a x f a x b ++-=中取02002a b ==，， 所以函数()y f x =的图象关于点(02002)，对称．根据原函数与其反函数的关系，知函数1()y f x -=的图象关于点(20020)，对称． 所以11(1001)(1001)0f x f x --++-=将上式中的x 用1001x -代换，得11()(2002)0f x f x --+-=评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a b ，均为常数，函数()y f x =对一切实数x 都满足()()2f a x f a x b ++-=，则函数()y f x =的图象关于点()a b ，成中心对称图形． 十、综合问题 (1)比较函数值大小利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解． 例22 已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，0x <时，()f x 是增函数，若10x <，20x >，且12||||x x <，则12()()f x f x --，的大小关系是_______．解析：1200x x <>Q ，且12||||x x <，122100x x x x ∴<-<⇒-<< 又0x <时，()f x 是增函数，21()()f x f x ∴-<()f x Q 是偶函数，11()()f x f x ∴-=，故12()()f x f x ->-(2)讨论方程根的问题例23 已知函数()f x 对一切实数x 都满足(1)(1)f x f x +=-，并且()0f x =有三个实根，则这三个实根之和是 ．分析：由(1)(1)f x f x +=-知直线1x =是函数()f x 图象的对称轴．又()0f x =有三个实根，由对称性知11x =必是方程的一个根，其余两根23x x ，关于直线1x =对称， 所以23212x x +=⨯=，故1233x x x ++=． (3)研究函数的图象这类问题只要利用函数图象变换的有关结论，就可获解．例24 若函数(2)y f x =+是偶函数，则()y f x =的图象关于直线 对称.解析：()y f x =的图象22垐垐垐?噲垐垐?左移个单位右移个单位(2)y f x =+的图象，而(2)y f x =+是偶函数，对称轴是0x =，故()y f x =的对称轴是2x =．例25 若函数()f x 的图象过点(01)，，则(4)f x +的反函数图象必过定点 .解析：()f x 的图象过点(01)，，从而(4)f x +的图象过点(41)-，，由原函数与其反函数图象间的关系易知，(4)f x +的反函数的图象必过定点(14)-，．【巩固14】定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数m n ，，总有()()()f m n f m f n +=⋅，且当0x >时，0()1f x <<．(1)判断()f x 的单调性；(2)设22{()|()()(1)}A x y f x f y f =⋅>，，{()|(1}B x y f ax y a =-=∈R ，，，若A B =∅I ，试确定a 的取值范围．解析：(1)在()()()f m n f m f n +=⋅中，令10m n ==，，得(1)(1)(0)f f f =⋅，因为(1)0f ≠，所以(0)1f =．在()()()f m n f m f n +=⋅中，令m x n x ==-，因为当0x >时，0()1f x <<，所以当0x <时00()1x f x -><-<， 而()()(0)1f x f x f ⋅-==，所以1()10()f x f x =>>-又当0x =时，(0)10f =>，所以，综上可知，对于任意x ∈R ，均有()0f x >． 设12x x <，则2121)00(1x x f x x -><-<，所以[]21211211((((()))))f x f x x x f x f x x f x =+-=⋅-<，∴在R 上为减函数． (2)由于函数()y f x =在R 上为减函数，所以2222()())((1)f x f y f x y f ⋅=+>即有221x y +<，又(1(0)f ax y f -==，由单调性，有0ax y -由A B =∅I ，所以直线0ax y -+与圆面221x y +<无公共点．1，解得11a -≤≤．【巩固15】设函数()y f x =定义在R 上，当0x >时，()1f x >，且对任意m n ，，有 ()()()f m n f m f n +=⋅，当m n ≠时()()f m f n ≠．(1)证明(0)1f =；(2)证明：()f x 在R 上是增函数； (3)设22{()|()()(1)}A x y f x f y f =⋅<，，{()|()10}B x y f ax by c a b c a =++=∈≠R ，，，，，，若A B =∅I ，求a b c ，，满足的条件．解析：(1)令0m n ==得(0)(0)(0)f f f =⋅，(0)0f ∴=或(0)1f =．若(0)0f =，当0m ≠时，有(0)()(0)f m f m f +=⋅，与当m n ≠时，()()f m f n ≠矛盾，(0)1f ∴=． (2)设12x x <，则210x x ->，由已知得21()1f x x ->，因为10x ≥，1()1f x >，若10x <时，110()1x f x ->->，，由11(0)()()f f x f x =⋅- 12211111()0()()()()()f x f x f x x f x f x f x ∴=>=-⋅>-，()f x ∴在R 上为增函数.(3)由22()()(1)f x f y f ⋅<得221x y +< (1) 由()1f ax by c ++=得0ax by c ++= (2)从(1)、(2)中消去y 得22222()20a b x acx c b +++-<，因为A B =∅I 22222(2)4()()0ac a b c b ∴∆=-+-<，即222a b c +<．。