北师大版九年级数学(上)期中检测题(含答案) (142)

北师大版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题。

（每小题只有一个正确答案）1．方程x（x+6）＝0的解是（）A．1x＝0或2x＝﹣6 B．1x＝0或2x＝6 C．x＝0 D．1x＝2x＝﹣6 2．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线相等D．对角线互相平分3．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC＝16，BD＝12，则菱形的边长AB 等于（）A．5 B．6 C D．104．下列方程是一元二次方程的是（）A．x2﹣2＝0 B．x+2y＝1C．3x+1x＝4 D．2x（x﹣1）＝2x2+35．已知等腰三角形的两边是一元二次方程27100x x-+=的两根，则此三角形的周长是A．12 B．9 C．9或12 D．156．现有两个可以自由转动的转盘，每个转盘分成三个相同的扇形，涂色情况如图所示，指针的位置固定，同时转动两个转盘，则转盘停止后指针指向同种颜色区域的概率是（）A．19B．16C．23D．137．兰州某制造厂七月份生产零件20万个，第三季度生产零件2880万个，如果每月的增长率x相同，则可列方程是（）A ．20（1+x ）2＝2880B ．20+20（1+x ）2＝2880C ．20+20（1+x ）+20（1+x ）2＝2880D ．20+20（1+x ）+20（1+2x ）＝2880 8．如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠BFC 为（ ）A ．75°B ．60°C ．55°D ．45°9．若方程x 2﹣5x ﹣1＝0的两根为x 1、x 2，则1211+x x 的值为（ ） A ．5 B ．15 C ．﹣5 D ．15- 10．如图，点P 是矩形ABCD 的边上一动点，矩形两边长AB 、BC 长分别为15和20，那么P 到矩形两条对角线AC 和BD 的距离之和是（ ）A ．6B ．12C ．24D ．不能确定二、填空题 11．一元二次方程3x 2﹣5x ＝﹣3二次项系数是___，一次项系数是___，常数项是____． 12．已知一正方形的对角线长为4，则正方形的面积为________．13．若关于x 的方程21(1)7a a x +--＝0是一元二次方程，则a ＝____．14．若关于x 的一元二次方程2210kx x ++=有两个实数根，则k 的取值范围是________． 15．如图，在矩形ABCD 中，对角线相交于点O ，∠AOD ＝120°，AB ＝2.5，则这个矩形对角线的长为_____．16．若一元二次方程220190ax bx --=有一根为1x =-，则a b +=_________．17．如图，正方形ABCD 的对角线AC 是菱形AEFC 的一边，则∠FAB 等于______．18．袋子中有8个白球和若干个黑球，小华从袋中任意摸出一球，记下颜色后放回袋中，摇匀后又摸出一球，再记下颜色，做了100次后，共有32次摸出白球，据此估计袋中黑球有________个.三、解答题19．解下列方程：（1）3x 2+8x ﹣3＝0（用配方法）（2）4x 2+1＝4x （用公式法）（3）2（x ﹣3）2＝x 2﹣9（用因式分解法）（4）x 2+5x ﹣6＝0（用适当的方法）20．一个直角三角形的斜边长15cm ，一条直角边比另一条直角边长3cm ．求两条直角边的长度．21．现定义运算“★”，对于任意实数a 、b ，都有a ★b ＝a 2﹣3a +b ．如：3★5＝32﹣3×3+5，若x ★2＝6，试求实数x 的值．22．已知方程2+-=的一根是2，求它的另一根及k的值．560x kx23．已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB OA＝2，OB＝1，求证：□ABCD是菱形．24．在一幅长90cm、宽40cm的风景画的四周外围上有一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金边的宽应该是多少？25．如图，在□ABCD中，E，F分别为边AB和CD的中点，连接DE，BF，且AB=2AD=4．（1）求证：△AED≌△CFB；（2）当四边形DEBF为菱形时，求出该菱形的面积；26．某批发市场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张赢利0.3元，为了尽快减少库存，摊主决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降价0.05元，那么平均每天可多售出200张．摊主要想平均每天赢利180元，每张贺年卡应降价多少元？27．如图，在ABC 中，,,AB AC AD BC =⊥垂足为点,D AN 是ABC 外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ．()1求证：四边形ADCE 为矩形；()2当ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．参考答案1．A【解析】方程利用因式分解法求解即可．【详解】解：方程x （x +6）＝0，可得x ＝0或x +6＝0，解得：x 1＝0，x 2＝﹣6，故选A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2．C【分析】根据矩形和平行四边形的性质进行解答即可.【详解】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．故选C．【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．3．D【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再利用勾股定理列式进行计算即可得解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝12AC，OB＝12BD，AC⊥BD，∵AC＝16，BD＝12，∴OA＝8，OB＝6，∴AB＝22OA OB＝10，即菱形ABCD的边长是10．故选D．【点睛】本题主要考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键．4．A【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．【详解】A、x2﹣2＝0是一元二次方程，符合题意；B、x+2y＝1是二元一次方程，不符合题意；C、3x+1x＝4不是整式方程，不符合题意；D、方程整理得：2x+3＝0是一元一次方程，不符合题意.故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．5．A【解析】【分析】用因式分解法求出方程的两个根分别是2和5，由三角形的三边关系可知2为底，5为腰，可以求出三角形的周长．【详解】解：27100x x-+=（x−2）（x−5）＝0∴x1＝2，x2＝5．∵三角形是等腰三角形，必须满足三角形三边的关系，∴腰长是5，底边是2，周长为：5＋5＋2＝12．故选A．【点睛】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根，然后根据三角形三边的关系，确定三角形的周长．6．A【分析】列举出所有情况，看转盘停止后指针指向同种颜色区域的情况数占总情况数的多少即可．【详解】解：如图共9种情况，转盘停止后指针指向同种颜色区域的情况数是1，所以概率为19．故选A．【点睛】考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的易错点．7．C【分析】根据7月份的表示出8月和九月的产量即可列出方程．【详解】解：∵七月份生产零件20万个，设该厂八九月份平均每月的增长率为x，∴八月份的产量为20（1+x）万个，九月份的产量为20（1+x）2万个，∴20+20（1+x）+20（1+x）2＝2880，故选C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确增长率问题中的数量关系，能分别将8、9月份的产量表示出来，难度不大．8．B【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质得出∠BAE＝150°，AB＝AE，由等腰三角形的性质和内角和定理得出∠ABE＝∠AEB＝15°，再运用三角形的外角性质即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°，∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝60°，AD＝AE，∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝12（180°﹣150°）＝15°，∴∠BFC＝∠BAF+∠ABE＝45°+15°＝60°；故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 9．C【分析】根据根与系数的关系可得出x 1+x 2=5、x 1x 2=-1，将其代入1211+x x ＝1212x x x x +中即可求出结论． 【详解】∵方程x 2﹣5x ﹣1＝0的两根为x 1、x 2，∴x 1+x 2＝5，x 1x 2＝﹣1， ∴1211+x x ＝1212x x x x +＝﹣5． 故选C ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-b a 、两根之积等于c a 是解题的关键． 10．B【分析】由矩形ABCD 可得：S △AOD =14S 矩形ABCD ，又由AB=15，BC=20，可求得AC 的长，则可求得OA 与OD 的长，又由S △AOD =S △APO +S △DPO =12OA•PE+12OD•PF ，代入数值即可求得结果． 【详解】连接OP ，如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ，OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ，∠ABC ＝90°， S △AOD ＝14S 矩形ABCD ， ∴OA ＝OD ＝12AC ，∵AB ＝15，BC ＝20，∴AC 25，S △AOD ＝14S 矩形ABCD ＝14×15×20＝75， ∴OA ＝OD ＝252， ∴S △AOD ＝S △APO +S △DPO ＝12OA •PE +12OD •PF ＝12OA •（PE +PF ）＝12×252（PE +PF ）＝75， ∴PE +PF ＝12．∴点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是12．故选B ．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积．熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．11．3， ﹣5， 3．【分析】一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a≠0）的a 、b 、c 分别是二次项系数、一次项系数、常数项．【详解】解：一元二次方程3x 2﹣5x +3＝0，其中二次项系数是 3，一次项系数是﹣5，常数项是 3， 故答案为3，﹣5，3．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a≠0），注意先将方程化成一般形式．12．8【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．【详解】 解：正方形的面积211416822=⨯=⨯= 故答案为8．【点睛】本题考查了正方形的性质，熟记正方形的面积的求解方法是解题的关键．13．﹣1．【分析】根据一元二次方程的定义得到由此可以求得a 的值．【详解】解：∵关于x 的方程（a ﹣1）xa 2+1﹣7＝0是一元二次方程，∴a 2+1＝2，且a ﹣1≠0，解得，a ＝﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx+c=0（且a≠0）．14．1k ≤且0k ≠【解析】【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b 2-4ac≥0，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围．还要注意二次项系数不为0．【详解】∵关于x 的一元二次方程kx 2+2x+1=0有两个实数根，∴△=b 2-4ac=4-4k≥0且k≠0，解得：k≤1且k≠0，故答案为k≤1且k≠0．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．15．5．【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OB=12AC ，根据邻补角的定义求出∠AOB ，然后判断出△AOB 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OA=AB ，然后求解即可．【详解】解：在矩形ABCD 中，AC ＝BD ，OA ＝OB ＝12AC ， ∵∠AOD ＝120°，∴∠AOB ＝180°﹣∠AOD ＝180°﹣120°＝60°，∴△AOB 是等边三角形，∴OA ＝AB ＝2.5，∴BD ＝AC ＝2OA ＝2×2.5＝5．故答案为5．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记矩形的对角线互相平分且相等，证明三角形是等边三角形是解题的关键．16．2019【分析】直接把x ＝−1代入一元二次方程220190ax bx --=中即可得到a ＋b 的值．【详解】解：把x ＝−1代入一元二次方程220190ax bx --=得20190a b +-=，所以a ＋b ＝2019．故答案为2019．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．17．22.5°【解析】试题分析：先根据正方形的对角线平分一组对角求出∠BAC 的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角求解.解：∵AC 是正方形的对角线，∴∠BAC=×90°=45°，∵AF 是菱形AEFC 的对角线，∴∠FAB=∠BAC=×45°=22.5°．考点：正方形、菱形的性质点评：特殊四边形的性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.18．17【解析】【分析】100次中共有32次摸出白球，则可求摸到白球的概率，据此求袋中黑球个数.【详解】设黑球有m个，根据已知可列出8 8m +=32100，m=17，所以黑球有17个.【点睛】本题考查的是利用频率估计概率，熟练掌握这一点是解题的关键.19．（1）x＝13或x＝﹣3；（2）122x x==；（3）x＝3或x＝9；（4）x＝﹣6或x＝1．【分析】（1）根据配方法解方程的步骤依次计算可得；（2）根据公式法求解可得；（3）利用因式分解法求解可得；（4）利用因式分解法求解可得．【详解】（1）∵3x2+8x＝3，∴x2+83x＝1，则x2+83x+169＝1+169，即（x+43）2＝259，则x+43＝±53，解得x＝13或x＝﹣3；（2）整理得4x2﹣4x+1＝0，∵a＝4，b＝﹣4，c＝1，∴△＝（﹣4）2﹣4×4×1＝0，则x＝402±＝2，122x x∴==；（3）∵2（x﹣3）2＝（x+3）（x﹣3），∴（x﹣3）（x﹣9）＝0，则x﹣3＝0或x﹣9＝0，解得x＝3或x＝9；（4）∵x2+5x﹣6＝0，∴（x+6）（x﹣1）＝0，则x+6＝0或x﹣1＝0，解得x＝﹣6或x＝1．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20．较短的直角边为9cm，则另一条直角边为12cm．【分析】设较短的直角边为xcm，则另一条直角边为（x+3）cm，再根据勾股定理求出x的值即可．【详解】解：设较短的直角边为xcm，则另一条直角边为（x+3）cm，由题意，得x2+（x+3）2＝152，解得x＝9或x＝﹣12（舍去）则x+3＝9+3＝12（cm）．答：较短的直角边为9cm，则另一条直角边为12cm．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．21．x＝﹣1或4【分析】利用题中的新定义化简，计算求出x 的值即可．【详解】根据题中的新定义得：x 2﹣3x +2＝6，即（x ﹣4）（x +1）＝0，解得：x ＝﹣1或4．【点睛】本题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解本题的关键．22．135x =-，7k =-． 【分析】把x 1=2代入已知方程，列出关于k 的一元一次方程，通过解方程求得k 的值；由根与系数的关系来求方程的另一根．【详解】设它的另一根为1x ，根据题意得125k x +=-，1625x ⨯=-， 解得135x =-，7k =-． 【点睛】考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根与系数的关系, 熟记公式1212,,b c x x x x a a+=-=是解决本题的关键.23．见解析.【分析】根据利用勾股定理的逆定理可证明∠AOB=90°，得出AC ⊥BD ，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得解．【详解】证明：在△AOB 中，AB OA ＝2，OB ＝1，∴AO 2+OB 2＝22+1＝5，又∵AB 22＝5，∴AO 2+OB 2＝AB 2，∴∠AOB ＝90°，∴AC ⊥BD ；∵四边形ABCD 是平行四边形，∴▱ABCD 是菱形．【点睛】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质以及勾股定理逆定理的应用，关键是根据AB 、AO 、BO 的长度证明∠AOB=90°．24．5cm【分析】设金边的宽度为xcm ，则整个挂画的长为（90+2x ）cm ，宽为（40+2x ）cm ．就可以表示出整个挂画的面积，由风景画的面积是整个挂图面积的72%建立方程求出其解即可．【详解】设金边的宽度为xcm ，则整个挂画的长为（90+2x ）cm ，宽为（40+2x ）cm ．由题意得：（90+2x ）（40+2x ）×72%＝90×40 解得：x 1＝﹣70（舍去），x 2＝5．答：金边的宽应该是5cm ．【点睛】本题考查了矩形的面积公式的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据风景画的面积是整个挂图面积的72%来建立方程是关键．25．（1）证明见试题解析；（2）【解析】试题分析：（1）首先根据平行四边形的性质可得AD=BC ，∠A=∠C ，再加上条件AE=CF 可利用SAS 证明△AED ≌△CFB ；（2）作FM ⊥AB 于M ，可以得到△BFC 是等边三角形，得到∠FBM=60°，再求出菱形的高FM ，从而得到菱形的面积．解答：证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，∠A=∠C ，在△ADE 和△CBF 中，∵AD=BC ，∠A=∠C ，AE=CF ，∴△AED ≌△CFB （SAS ）； （2）作FM ⊥AB 于M ，在菱形DEBF 中，BE=BF=12AB=1422⨯=，∵CF=12CD=1422⨯=，BC=AD=12AB=2，∴CF=BC=BF ，∴△BFC 是等边三角形，∴∠BFC=60°，∵ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠MBF=∠BFC=60°，∴∠FBM=30°，∴MB=12BF=1，∴∴菱形DEBF的面积=BE•FM=2=考点：1．全等三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．26．每张贺年卡应降价0.1元【分析】由题意可知：（原来每张贺年卡盈利-降价的价格）×（原来售出的张数+增加的张数）=180，把相关数值代入求解即可．【详解】解：设每张贺年卡应降价x 元，现在的利润是（0.3﹣x ）元，则商城多售出200x ÷0.05＝4000x 张．（0.3﹣x ）（500+4000x ）＝180，整理得400x 2﹣70x +3＝0，（40x ﹣3）（10x ﹣1）＝0，解得x 1＝340，x 2＝0.1， ∵为了尽快减少库存，∴x ＝0.1．答：每张贺年卡应降价0.1元．【点睛】本题考查一元二次方程的应用；得到每降价x 元多卖出的贺年卡张数是解决本题的难点；根据利润得到相应的等量关系是解决本题的关键．27．（1）证明见解析；（2）当ABC 满足90BAC ∠=︒时，四边形ADCE 是一个正方形，证明见解析．【分析】（1）先根据等腰三角形的三线合一可得BAD CAD ∠=∠，再根据角平分线的定义可得MAE CAE ∠=∠，从而可得90DAE ∠=︒，然后根据垂直的定义可得90ADC AEC ∠=∠=︒，最后根据矩形的判定即可得证；（2）先根据等腰直角三角形的性质可得45ACB B ∠=∠=︒，再根据直角三角形的性质可得45CAD ACD ∠=∠=︒，然后根据等腰三角形的定义可得CD AD =，最后根据正方形的判定即可得．【详解】（1）在ABC 中，,=⊥AB AC AD BC ，12BAD CAD BAC ∴∠=∠=∠（等腰三角形的三线合一）， AN 是ABC 外角CAM ∠的平分线，12MAE CA CA E M ∴∠∠=∠=， 11118090222DAE CAD CAE BA CA C M ∴∠=∠+∠=∠+=⨯︒=∠︒， 又,AD BC CE AN ⊥⊥，90ADC AEC ∴∠=∠=︒，∴四边形ADCE 为矩形；（2）当ABC 满足90BAC ∠=︒时，四边形ADCE 是一个正方形，证明如下：,90AB AC BAC ∠==︒，45ACB B ∴∠=∠=︒，AD BC ⊥，45CAD ACD ∴∠=∠=︒，CD AD ∴=，四边形ADCE 为矩形，∴矩形ADCE 是正方形，故当90BAC ∠=︒时，四边形ADCE 是一个正方形．【点睛】本题考查了正方形与矩形的判定、等腰三角形的三线合一、角平分线的定义等知识点，熟练掌握正方形与矩形的判定方法是解题关键．。

北师大版九年级数学上册期中复习试卷姓名：______班级：___考号：_____一、选择题（每题3分，共24分）1．下列性质中，矩形一定具有的是 （ ）A ．四边相等B ．对角线垂直C ．邻边相等D ．对角线相等2．已知菱形的两条对角线的长分别是4和10则菱形的面积 （ ）A ．14B ．48C ．40D ．203．下列方程中，关于x 的一元二次方程是 （ ）A ．20ax bx c ++=B ．1x y +=C ．2230x x --=D ．211x x+= 4．用配方法解方程2890x x +-=，下列变形正确的是 （ ）A ．2425x +=（）B ．249x +=（）C ．2873x +=（）D ．2425x -=（）5．已知粉笔盒里只有4支黄色粉笔和6支红色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，现从中任取一支粉笔，则取出黄色粉笔的概率是 （ ）．A ．15 B ．25 C ．35 D ．23 6．在下列条件中，能判定ABCD 是菱形的是 （ ）A ．AC BD ⊥B ．AD AC = C ．=AC BD D ．AB BC ⊥7．若一元二次方程2++0ax bx c = (a ≠0)的系数满足42+0a b c -=，则这个方程必有一个根是 （ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-8．如图，由两个长为9，宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD ，则四边形ABCD 面积的最大值是 （ ）A ．15B ．16C ．19D ．20二、填空题（每题3分，共24分）9．已知关于x 的方程x 2＋kx －10＝0的一个根是－2，则k ＝______．10．方程2510x x --=的根的判别式的值为_________.11．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 的中点，若BF ＝5，则DE ＝___．12．乌鲁木齐市林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该市这种树苗移植成活情况进行了调查统计，并绘制了统计图，根据统计图提供的信息，估计该树苗成活的概率为____________．13．一个不透明口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.7，那么口袋中白球的个数很可能是______个．14．从①AB BC =，②AC BD =，③AC BD ⊥，④90A ∠=︒四个关系中，任选1个作为条件，那么选到能够判定平行四边形ABCD 是菱形的概率是_______．15．已知,αβ是方程x 2+2021x +1＝0的两个根，则()()222022120221ααββ++++=_____．16．如图，在正方形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，EF ⊥AB 于点F ，EG ⊥BC 于点G ，连接FG ，若8AB =，则FG 的最小值为_____．三、解答题（每题8分，共72分）17．解方程：(1)2(32)60x x x --=；(2)24112x x -=；(3)22(2)(25)x x -=+．18．如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，且AF ＝CE ，求证：DF ＝BE ．19．已知关于x 的一元二次方程2320x x k ++-=有实数根．(1)求实数k 的取值范围_________．(2)设方程的两个实数根分别为12x x ，，若()()12112x x ++=-，求k 的值．20．如图：在矩形ABCD 中，作对角线BD 的垂直平分线EF ，垂足为O ，分别交AD ，BC 于E ，F ，连接BE ，DF ．求证：四边形BFDE 是菱形．21．一个不透明的布袋中装有3个只有颜色不同的球，其中1个黄球、2个红球．(1)任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球，求两次摸出的球恰好都是红球的概率（要求画树状图或列表）；(2)现再将n 个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为34，求n 的值．22．2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商销售以冬奥会为主题的文化衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出3件．(1)若降价x 元后，每件衬衫的利润=________元，平均每天销售数量为________件（用含x的代数式表示）；(2)若该经销商每天获得利润1800元，则每件商品应降价多少元？，AB=5，BC=12，点P从点A开始沿边AB向23．如图，在ΔABC中，=90?B点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．设P、Q分别从A、B同时出发，运动时间为t，当其中一点先到达终点时，另一点也停止运动．解答下列问题：(1)经过几秒，ΔPBQ的面积等于62cm？(2)是否存在这样的时刻t，使线段PQ恰好平分△ABC的面积？若存在，求出运动时间t；若不存在，请说明理由．24．(1)【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______；（只填序号）(2)【概念理解】如图2，在四边形ABCD中，=CB CD，问四边形ABCDAB AD，=是垂美四边形吗？请说明理由．(3)【性质探究】如图1，垂美四边形ABCD的两对角线交于点O，试探究AB，CD，BC，AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；(4)【性质应用】如图3，分别以Rt ACB△的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知8AB=，求AC=，10GE长．25．如图，以ABC的三边为边在BC的同侧作等边ABD△、BCE、ACF，请回答下列问题：（1）求证：四边形ADEF为平行四边形：（2）当ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在，并说明理由：（3）如图（2），若90∠=，BC=AB和AC的长为一元二次方程BAC︒2100x x m-+=的两个根，求四边形ADEF的面积．参考答案：1．矩形的对边平行且相等，但是邻边不一定相等，故本选项不符合题意；矩形的对角线相等但不一定垂直，故本选项符合题意；矩形的邻边不一定相等，故本选项不符合题意；矩形的对角线相等，故本选项符合题意；故选：D2．解：由已知可得，这个菱形的面积=4×10÷2=20，故选：D．3．解：A、该方程没有规定0a≠，故本选项错误；B、该方程中含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；D、该方程不是整式方程，故本选项错误；故选：C．4．解：2890x x+-=，移项得：289x x+=，配方得：281625x x++=，即2425x+=（）．故选A．5．解：根据题意得，取出黄色粉笔的概率是42 465=+．故选：B．6．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形；故选：A．7．解：由题意，一元二次方程2++=0ax bx c (a ≠0)的系数满足42+0a b c -=， 所以，当2x -=时，一元二次方程2++0ax bx c =即为：()()2×2+?2+0a b c --=，即42+0a b c -=， 综上可知，方程必有一根为2-．故选：D ．8．如图1，作AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，，∵AD ∥BC,AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵两个矩形的宽都是3，∴AE=AF=3，∵S 四边形ABCD=AE ⋅BC=AF ⋅CD ，∴BC=CD ，∴平行四边形ABCD 是菱形．如图2，，设AB=BC=x ，则BE=9−x ，∵BC 2=BE 2+CE 2，∴x 2=(9−x)2+32，解得x=5，∴四边形ABCD 面积的最大值是：5×3=15.故选A.9．解：把x =-2代入x 2+kx -10=0得:4-2k -10=0，解得k =-3．故答案为：-3．10．解：∵a =1，b =-5，c =-1，∴224(5)41(1)29b ac ∆=-=--⨯⨯-=．故答案为：29．11．解：∵在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，F 为CA 的中点，BF =5，∴AC =2BF =10．又∵D 、E 分别为AB 、BC 的中点，∴DE 是Rt △ABC 的中位线，∴DE =12AC =5．故答案为：5．12．解：由统计图可知，该树苗成活的频率在0.9附近摆动，∴估计该树苗成活的概率为0.9，故答案为：0.9．13．设口袋中白球的个数可能是m 个，因为摸到白球的频率稳定在0.7，根据多次实验中，可用一个事件发生的频率作为这个事件的概率的估计值， 所以10m =0.7， 解得m =7．故答案为：7．14．解：①∵ABCD中，AB BC=，∴ABCD是菱形，故①正确；②∵ABCD，AC BD=，∴ABCD是矩形，故②不正确；③∵ABCD，AC BD⊥，∴ABCD是菱形，故③正确；④∵ABCD，90A∠=︒，∴ABCD是矩形，故④不正确；故选到能够判定ABCD是菱形的有①AB BC=、③AC BD⊥，2种结果，∴选到能够判定ABCD是菱形的概率是21 42 =，故答案为：12．15．解：∵α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，∴α2+2021α+1＝0，β2+2021β+1＝0，αβ＝1，∴（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）＝（α2+2021α+1+α）（β2+2021β+1+β）＝（0+α）（0+β）＝αβ＝1．故答案是：1．16．解：如图，连接BE，∵四边形ABCD是正方形，∴90ABC∠=︒，8AB BC==，45BAC BCA∠=∠=︒，∵EF AB⊥，EG BC⊥，∴四边形EFBG是矩形，∴BE FG=，∴FG最小即是BE最小，∴当BE AC⊥时，BE最小，∵8AB BC==，90ABC∠=︒，∴AC=∵AB BC =，BE AC ⊥，90ABC ∠=︒， ∴BE 是ABC 的中线，∴12BE AC == ∴FG 最小为故答案为：17． （1）解：∵2(32)6=0x x x --， ∴2320x x +=，∴()320x x +=，∴=0x 或320x +=， ∴112=0,=3x x -．（2）解：∵241=12x x -， ∴24121=0x x --，∵=4a ，=12b -，=1c -， ∴Δ=144+16=160，∴x ，∴1233==22x x - （3）解：∵22(2)=(2+5)x x -， ∴(2)=?(2+5)x x -，∴2=25x x ---或2=2+5x x -，∴12=1,=7x x --．18．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，∠D ＝∠B ＝90°，在Rt △ADF 与Rt △CBE 中，AD ＝CB ，AF ＝CE ，∴Rt △ADF ≌Rt △CBE （HL ），∴DF ＝BE ．19． （1）解：∵一元二次方程2320x x k ++-=有实数根，∴23420k ， 解得：174k ； 故答案为：174k（2）解：∵方程2320x x k ++-=的两个实数根分别为12x x ，，∴12123,2x x x x k ，∵()()12112x x ++=-，∴121212x x x x ，∴2312k ，解得：=2k ．20． 证明：四边形ABCD 是矩形， AD BC ∴，=ADB CBD ∴∠∠，EF 垂直平分BD ，=BO DO ∴，在DOE 和BOF 中，===ADB CBD BO DODOE BOF ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩， DOE BOF ∴≌（ASA ），=EO FO ∴，∴四边形EBFD 是平行四边形，EF BD ⊥，∴四边形EBFD 是菱形．21． （1）解：如图画出树状图，∵由图可知总共有六种情况，其中都是红球的情况有两种， ∴两次摸出的球恰好都是红球的概率为2163=（2）解：由题意得，1334n n +=+， 解得5n =所以n 的值为5．22． （1）解：依题意得：降价x 元后，每件衬衫的利润为(40)x -元，平均每天的销售量为(303)x +件．故答案为：(40)x -；(303)x +；（2）解：依题意得：(40)(303)1800x x -+=，整理得：2302000x x -+=，解得：1x =10，2x =20，又∵要尽快减少库存、增加盈利，∴x =20．答：每件商品应降价20元．23． （1）解：设经过x 秒，△PBQ 的面积等于26cm ，则BP ＝5−x ，BQ ＝2x ， 所以1·5?262PBQ S x x -＝（）＝，即26+80x x -＝， 可得：x ＝2或3，即经过2秒或3秒，△PBQ 的面积等于26cm ；（2）解：不存在，理由如下：设经过t 秒，线段PQ 恰好平分△ABC 的面积，△PBQ 的面积等于230cm ， ∴1=52=302PBQ S t t ⋅-⋅（）， 即25+30=0t t -，∵2Δ4b ac -＝＝25−4×30＝−95＜0，∴△PBQ 的面积不会等于230cm ，则线段PQ 不能平分△ABC 的面积．24． （1）解：∵在①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是③菱形，④正方形，∴③菱形，④正方形一定是垂美四边形，故答案为：③④；（2）解：四边形ABCD 是垂美四边形，理由如下：如图2，∵AB ＝AD ，∴点A 在线段BD 的垂直平分线上，∵CB ＝CD ，∴点C 在线段BD 的垂直平分线上，∴直线AC 是线段BD 的垂直平分线，∴AC ⊥BD ，即四边形ABCD 是垂美四边形；（3）解：2222AD BC AB CD +=+，证明如下：如图①，∵AC ⊥BD ，∴∠AOD ＝∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝90°，由勾股定理得，222222AD BC AO DO BO CO +=+++，222222AB CD AO BO CO DO +=+++，∴2222AD BC AB CD +=+；（4）解：如图3，连接BE 、CG ，设AB 与CE 交于点M ，∵∠CAG ＝∠BAE ＝90°，∴∠CAG +∠BAC ＝∠BAE +∠BAC ，即∠GAB ＝∠CAE ，在△GAB 和△CAE 中，===AG AC GAB GAE AB AE ∠∠⎧⎪⎨⎪⎩， ∴△GAB ≌△CAE （SAS ），∴∠ABG ＝∠AEC ，∵∠AEC +∠AME ＝90°，∴∠ABG +∠BMC ＝90°，即CE ⊥BG ，∴四边形CGEB 是垂美四边形，∴2222CG BE CB GE +=+，∵AB ＝10，AC ＝8，∴222==36BC AB AC -，222128CG AC AG =+=，222200BE AB AE =+=， ∴2=128+20036=292GE -，则GE＝25．解：（1）∵△ABD ，△EBC 都是等边三角形．∴AD=BD=AB ，BC=BE=EC ，∠DBA=∠EBC=60°∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA ．∴∠DBE=∠ABC ．在△DBE 和△ABC 中，∵BD=BA ，∠DBE=∠ABC ，BE=BC ，∴△DBE ≌△ABC （SAS ）．∴DE=AC ．又∵△ACF 是等边三角形，∴AC=AF ．∴DE=AF ．同理可证：AD=EF ，∴四边形ADEF 平行四边形；（2）当∠BAC=60°时，以D 、A 、E 、F 为顶点的四边形不存在；理由如下： ∵∠BAC=60°，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠DAF=360°-∠DAB-∠BAC-∠CAF=180°，∴点D 、A 、F 共线，∴以D 、A 、E 、F 为顶点的四边形不存在；（3）过点A 作AH ⊥DE 于点H ，∵AB 和AC 的长为一元二次方程2100x x m -+=的两根，∴2100AB AB m -+=，①2100AC AC m -+=，②①+②，得：()221020AB AC AB AC m +-++=，在Rt △ABC 中，∵BC=∴2252AB AC +=，AB+AC=b a-=10，∴有52101020m -⨯+=，解得：m=24，∴原方程为210240x x -+=，解得：16x =，24x =，若AB=6，AC=4，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DE ∥AF ，DE=AF=AC=4，AD=EF=AB=6， ∴∠ADE+∠DAF=180°，∵∠DAF=360°-60°-60°-90°=150°， ∴∠ADE=30°，∴AH=12AD=3，∴S 平行四边形ADEF =DE×AH=12；若AB=4，AC=6，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DE ∥AF ，DE=AF=AC=6，AD=EF=AB=4， ∴∠ADE+∠DAF=180°，∵∠DAF=360°-60°-60°-90°=150°， ∴∠ADE=30°，∴AH=12AD=2，∴S 平行四边形ADEF =DE×AH=12；综上：四边形ADEF 的面积为12．。

北师大版九年级上数学期中测试题一、选择题：（每小题3 分，共30分）1.下列方程中，是一元二次方程的是 （ ）（A ）01624=-x （B ）0)1(2=-x（C ）22)1()1(+=-x x （D ）)21(2122x x x +=-2.使式子3342-+-x x x 的值为0的x 的值为 （ ）（A ）3或1 （B ）3 （C ）1 （D ）-3或-1 3.下面解了三道方程：(1)解方程.432=x 解：3x=±2，∴x=±32. (2)解方程.22x x =解：方程的两边同除以x,得x=2.(3)解方程.1)3)(2(=--x x 解：由12=-x 得x=3,由13=-x 得x=4.上述三题的解法正确的个数是 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3`4.一个数的平方与这个数的3倍相等，则这个数为 （ ） （A ）0 （B ）3 （C ）0或3 （D ）35.下列各组条件中，不能用来判定ABC ∆≌DEF ∆的是 （ ） （A ）AB=DE ，BC=EF ，∠B=∠E （B ）AB=DE ，AC=DF ，∠C=∠F（C ）BC=EF ，∠B=∠E ，∠C=∠F （D ）AB=DE ，AC=DF ，ABC ∆与DEF ∆的周长相等 6.下列命题中，正确的是 （ ） （A ）四边相等的四边形是正方形 （B ）四角相等的四边形是正方形 （C ）对角线垂直且相等的四边形是正方形（D ）对角线相等的菱形是正方形7.平行四边形ABCD 中，若AB=8cm, 则对角线AC 、BD 的长可能是 （ ） （A ）6cm,10cm (B)6cm,12cm (C)12cm,4cm (D)10cm,4cm8.等腰三角形有一个角为︒100，则另外两个角为 （ ） （A ）︒︒50,50 （B ）︒︒50,40 （C ）︒︒40,80 （D ）︒︒40,409．如图，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，垂足分别为B 、D ，若CB=CD ，则ABC ∆≌ACD ∆，理由是（ ）（A ）SAS （B ）AAS （C ）HL （D ）ASA10．如图，有一块直角三角形纸片，两条直角边AC=6cm ，BC=8cm.若将直角边AC 沿直线折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于 （ ） （A ）2cm （B ）3cm (C)4cm (D)5cmDCBAE DCBA第9题图 第10题图二、填空题：（每小题3 分，共24分）11．一元二次方程2)2)(1(=++x x 的一般形式是____________,它的常数项是______. 12．22_____)(_____-=+-x x x .13．已知菱形的周长为20cm ，一条对角线的长是6cm ，那么它的另一条对角线长是______,面积是_______.14．在三角形ABC 中，AB=AC ，DE 是AB 的垂直平分线交AC 于E ，若AB=13cm,BC=10cm,则三角形BCE 的周长为_________cm.15．两个连续整数的积为132，则这两个数为__________.16．正方形的对角线长为cm 22，则它的周长为______cm,面积为_______2cm .17.依次连接矩形四边的中点得到的四边形是__________.18．在一次体育考试中，小刚推铅球时，铅球行进高度h(m)与水平距离s(m)之间的函数关系式是35321212++-=s s h ，则本次考试中，小刚推出的铅球的距离为_______m.三、解答题：（19题10分，其它每题6分，共46 分） 19．用指定的方法解方程：（1）0982=-+x x （配方法） （2）1342=-x x （公式法）（3）x x x 24)2(3-=-（因式分解法） （4）9)3(222-=-x x20．（1）填空①等腰三角形两腰上的高________;②等腰三角形上的中线_________; ③等腰三角形底角的平分线________.(2)对上述三个命题，选择其中的一个，画图并写出已知、求证、证明过程.21．如图，在ABC ∆中，AB=AC ，D 是底边BC 的中点，作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F求证：DE=DF. 证明：C B AC AB ∠=∠∴=, ①.在∆BDE 和CDF ∆中，CD BD CFD BED C B =∠=∠∠=∠,,，BDE ∆∴≌CDF ∆②.DF DE =∴③.⑴上面的证明过程是否正确？若正确，请写出①、②和③的推理根据. ⑵请你写出另一种证明此题的方法.FE DCBA22．已知：直线AO 、BO 表示两条互相交叉的公路，Q 是一个大型货物批发站，现在要建一个货物中转站P.要求它到AO 、BO 的距离相等，且PO=PQ.在图上画出满足条件的点P （保留作图痕迹）并写作法.23．已知关于x 的一元二次方程032)1(22=+--+-m m x x m 有一根是0，求m 的值及这个方程的另一个根.24．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线与BC 边相交于 E ，∠ABC 的平分线与AD边相交于点F.四边形ABEF 是什么四边形？试证明你的结论.F EDCBA25．某厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A度，那么这个月该户只A 要交10元用电费，如果超过A度，则这个月仍要交10元用电费外，超过部分还要按每度100元交费.（1）该厂某户居民2月份用电90度，超过了规定的度，则超过部分应交费________元.（用含A的式子表示）；（参考答案1-10．BCACB ，DBDCB 11．032=+x x ，0 12．21,41 13．224,8cm cm 14．2315．11，12或-11，-12 16．8，4 17．菱形 18．1019．（1）9,121-==x x （2）41,121-==x x （3）32,221==x x （4）9,321==x x 20．（1）相等；相等；相等。

北师大版九年级上数学期中试卷及答案Revised by Petrel at 2021九年级（上）数学期中测试卷考生须知：全卷满分为150分，考试时间120分钟．试卷共3道大题（计28小题）一、你能填得又快又准吗？（共10小题，每题3分，共30分） 1.方程x 2-3x+2=0的解是 ____________ 。

2.若点（2，1）在双曲线ky x=上，则k 的值为_______。

3.命题“等腰梯形的对角线相等”。

它的逆命题是 。

4. 一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为８m ，宽为５m ．地毯中央长方形图案的面积为１８m 2，那么花边有多宽？设花边的宽为x, 则可得方程为_________________________.5.菱形的面积为24，其中的一条较短的对角线长为6，则此菱形的周长为_______。

6.已知一元二次方程0437122=-+++-a a ax x a ）（有一个根为零，则a 的值 为 _。

7.等腰三角形的底角为15°，腰长为20cm ，则此三角形的面积为 。

8.请写出一个根为1=x ，另一根满足11<<-x 的一元二次方程 。

9.如图，反比例函数图像上一A，过A作AB⊥x轴于B，若S△AOB=5，则反比例函数解析式为______ ___。

10．如下图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30o点H，那么DH的长为。

二、你一定能选对!题3分，共30分）11．如右图摆放的几何体的左视图是( )12．下列四幅图形中，表示两颗小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是( )。

13.图中所示几何体的俯视图是 ( )14．小明用两根同样长的竹棒做对角线，制作四边形的风筝，则该风筝的形状一定是( ）A、矩形B、正方形C、等腰梯形D、无法确定15．到三角形各顶点的距离相等的点是三角形（）A、三边的垂直平分线的交点B、三条高的交点C、三条角平分线的交点D、三条中线的交点A B C DDB CA HGEF9题图10题图16． 电影院呈阶梯或下坡形状的主要原因是( ).A.为了美观B. 减小盲区C.增大盲区D. 盲区不变17．学生冬季运动装原来每套的售价是100元，后经连续两次降价，现在的售价是81元，则平均每次降价的百分数是( )A 、9%B 、%C 、%D 、10% 18．已知正比例函数y =k 1x (k 1≠0)与反比例函数y =2k x(k 2≠0)的图像有一个交点的坐标为(-2，-1)，则它的另一个交点的坐标是（ ） A 、 (2，1)B 、 (-1，-2)C 、 (-2，1)D 、 (2，-1)19．甲、乙两地相距60km ，则汽车由甲地行驶到乙地所用时间y （小时）与行驶速度90 趣小组人数为x 人，则可列方程为（ ）A 、x(x-1)=90B 、x(x-1)=2×90C 、x(x-1)=90÷2D 、x(x+1)=90 三、解答：21．解方程（每题5分，共10分）①22510x x +-= ② (x-3)2=2(3-x)22．（本题10分）如下图，路灯下，一墙墩（用线段AB 表示）的影子是BC ，小明 （用线段DE 表示）的影子是EF ，在M 处有一颗大树，它的影子是MN 。

期中测试卷(满分120分,时间120分钟)题号一二三总分得分一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1.一元二次方程 x²−3x +2=0的两根为x ₁,x ₂,则. x₁+x₂的值是( )A.2B.-2C.3D.-32.下列说法中正确的是( )A.所有的等腰三角形都相似B.有一对锐角相等的两个三角形相似C.相似三角形都是全等的D.所有的等边三角开都相似3.如果2 是方程 x²−3x +c =0的一个根，那么c 的值是( )A.4B.-4C.2D.-24.如图在平行四边形 ABCD 中,AB=3cm,BC=5cm,对线AC,BD 相交于点O,则OA 的取值范围是( ) A.2cm <OA<5cm B.2cm <OA<8cm C.1 cm<OA<4 cm D.3cm<OA<8cm5.小强和小华两人玩“剪刀、石头、布”游戏，随机出手一次，则两人平局的概率为( ) A. 16B. 13C. 12D.236.一个袋子中装有3个红球和2个黄球，这些球的形状、大小、质地完全相同，在看不到球的条件下，随机从袋子里同时摸出2个球，其中2个球的颜色相同的概率是( )A. 25B. 35C. 34D.157.关于x 的一元二次方程( (m−2)x²+2x +1=0有实数根，则m 的取值范围是( )A. m≤3 B. m<3C. m<3且m≠2D. m≤3且m≠28.如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB ，CD 于点E ，F ，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的( )A. 15B. 14C. 13D.3109.如图,正△AEF 的边长与菱形ABCD 的边长相等,点 E 、F 分别在BC 、CD 上,则∠B 的度数是( )A.70° B.75° C.80° D.95°10.如图,E,F,G,H 分别是BD,BC,AC,AD 的中点,且AB=CD,下列结论:①EG⊥FH;②四边形 EFGH 是矩形;③HF 平分∠EH HG;④EG =12(BC−AD );⑤四边形EFGH 是菱形，其中正确的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分，本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程)11.一元二次方程 x²+x =0的解是 .12.某班要从甲、乙、丙、丁四位班干部(两男两女)中任意两位参加学校组织的志愿者服务活动，则恰好选中一男一女的概率是 .13.如图,在矩形ABCD 中,对角线AC、BD 相交于点O,若∠AOB=60°,AC=10,则AB=.14.如图，把一个转盘平均分成三等份，依次标上数字1，2，3，自由转运转盘两次，把第一次转动停止后指针指向的数字记作x，把第二次转动停止后指针指向的数字的2倍记作y，以长度分别为x，y，5 的三条线段能构成三角形的概率为 .15.如图,正方形ABCD的边长为4,∠DAC的平分线交 DC 于点 E,若点 P,Q分别是AD 和AE 上的动点,则DQ+PQ的最小值是 .16.若方程((m+3)x|m|−1+3mx=0是关于x的一元二次方程，则m=.三、解答题(本大题共8小题，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(6 分)(1)用配方法解方程:x²−6x−7=0;(2)用因式分解法解方程：2x(x--7)=x--7.18.(6分)某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率.19.(6分)一只不透明的袋子中装有红球2个和白球2个，这些球除颜色外其余都相同，小明从袋子中任意摸出一球，记下颜色后不放回，若小明再从剩余的球中任取一球，请你用列表法或树状图的方法，求小明两次都摸出红球的概率.20.(8分)如图,在正方形 ABCD 中,点M 是对角线BD 上的一点,过点 M作ME∥CD交BC于点E,作MF∥BC交CD 于点F.求证:AM=EF.21.(8分)一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3、4、5、x.甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复实验.实验数据如下表摸球总次数1020306090120180240330450“和为8”出现的频数210132430375882110150“和为8”出现的频率0.200.500.430.400.330.310.320.340.330.33解答下列问题：(1)如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率将稳定在它的概率附近.估计出现“和为8”的概率是 .(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是13，那么x的值可以取7吗?请用列表法或画树状图法说明理由；如果x的值不可以取7，请写出一个符合要求的x值.22.(8分)(1)如图①，两个正方形的边长均为3，求三角形DBF的面积；(2)如图②,正方形 ABCD 的边长为3,正方形CEFG 的边长为1,求三角形 DBF 的面积;(3)如图③,正方形 ABCD 的边长为a,正方形CEFG 的边长为b,求三角形DBF 的面积.23.(12分)晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程.x(x+4)=6.解：原方程可变形，得[(x+2)−2][(x+2)+2]=6,(x+2)²−2²=6,(x+2)²=6+2²,(x+2)²=10,直接开平方并整理，得x1=−2+10,x2=−2−10.我们称晓东这种解法为“平均数法”.(1)下面是晓东用“平均数法”解方程((x+2)(x+6)=5时写的解题方程：解：原方程可变形，得[(x+□−◯][(x+□)+◯]=5,(x+□)²−◯²=5,(x+□)²=5+◯²,直接开平方并整理，得x₁=☆,x₂=∇.(1)上述过程中“□”,“◯”,“☆”,“▽”表示的数分别是, , , .(2)请用“平均数法”解方程：(x−3)(x+1)=5.24.(12分)已知:平行四边形ABCD的两边AB,AD 的长是关于x的方程x2−mx+m2−14=0的两个实数根.(1)当m为何值时，四边形ABCD是菱形?求出这时菱形的边长；(2)若AB的长为2,那么▱ABCD的周长是多少?期中测试卷1. C2. D3. C4. C5. B6. A7. D8. B9. C 10. C11. x₁=0,x₂=-1 12.2313.5 14.4/9 15.22 16.317.解(1)移项得x²−6x=7,配方得x²−6x+3²=7+9,即(x−3)²=16,开方得x-3=±4,∴原方程的解是x₁=7,x₂=−1;(2)移项得2x(x−7)−(x−7)=0,提公因式得(x--7)(2x-1)=0,∴x-7=0或2x-1=0,∴原方程的解是x1=7,x2=12.18.解设这个增长率为x.依题意得20(1+x)²−20(1+x)=4.8.解得x₁=0.2,x₂=−1.2(不合题意,舍去).0.2=20%.答：这个增长率是20%.19.解设红球分别为 H₁、H₂,白球分别为.B₁、B₂,列表得：第二球第一球H₁H₂B₁B₂H₁(H₁,H₂)(H₁,B₁)(H₁,B₂)H₂(H₂,H₁)(H₂,B₁)(H₂,B₂)B₁(B₁,H₁)(B₁,H₂)(B₁,B₂)B₂(B₂,H₁)(B₂,H₂)(B₂,B₁)总共有12种结果，每种结果的可能性相同，两次都摸到红球的结果有两种.故 P(两次都摸到红球)=212=16.20.证明连接MC.∵在正方形ABCD中,AD=CD,∠ADM=∠CDM,又∵DM=DM,∴△ADM≅△CDM.∴AM=CM.∵ME‖CD,MF‖BC,∴四边形CEMF 是平行四边形.又∵∠ECF=90°,∴BCEMF是矩形.∴EF=MC.又∵AM=CM,∴AM=EF.21.解(1)利用图表得出:实验次数越大越接近实际概率，所以出现“和为8”的概率是0.33.(2)当x=7时,3455378847995891058910则两个小球上数字之和为9的概率是：212=16,故x 的值不可以取7，3455378847995891058910∵出现和为9的概率是三分之一，即有3种可能，∴3+x=9或5+x=9或4+x=9解得x=4,x=5,x=6,当x=6时，出现9的概率为 16,故x=6舍去，故x 的值可以为4，5其中一个.22.解(1)△DBF 的面积 =12×3×3=92;(2)△DBF 的面积 =3×3+3×1−12×3×3=12×(3+1)×1−12(3−1)×1=92;(3)△DBF 的面积 =a ×a +b ×b−12×a ×a−12×(a + b)×b−12(b−a )×b =a 22.23.解(1)4 2 —1 --7(2)原方程可变形，得[(x--1)-2][(x--1)+2]=5,整理，得( (x−1)²−2²=5, (x−)²=5+2², (x−1)²=9,x--1=±3,∴x₁=4,x₂=−2.24.解(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD.又∴Δ=m2−4(m2−14)=m2−2m+1=(m−1)2,当(m−1)²=0时,即m=1时,四边形ABCD是菱形.把m=1代入x2−mx+m2−14=0,得x2−x+14=0.解得x1=x2=12.∴菱形ABCD的边长是1 2 .(2)把AB=2代入x2−mx+m2−14=0,得4−2m+m2−14=0.解得m=52.把m=52代入x2−mx+m2−14=0,得x²−52x+1=0.解得x1=2,x2=12.∴AD=1 2 .∵四边形ABCD是平行四边形，∴▱ABCD的周长是2(2+12)=5.。

北师大版九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1．（3分）下列方程一定是一元二次方程的是( ) ①20ax bx c ++=；②22(1)10k x kx +++=；③2(1)(4)(2)x x x x +-=-；④(23)(23)4(3)x x x x +-=- A ．①② B ．③④ C ．②③ D ．①③ 2．（3分）下列四组线段中，不是成比例线段的是( )A ．3a =，6b =，2c =，4d =B ．1a =，2b =，6c =，23d =C ．4a =，6b =，5c =，10d =D ．2a =，5b =，15c =，23d = 3．（3分）如图，线段AB 两个端点的坐标分别为(2,2)A 、(3,1)B ，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 扩大为原来的3倍后得到线段CD ，则端点C 的坐标为( )A ．(9,3)B ．(3,3)C ．(6,6)D ．(6,4)4．（3分）如图， 在正方形ABCD 中， 对角线6AC =，点P 是对角线AC 上的一点， 过点P 作PF AD ⊥，PE CD ⊥，则PF PE +的值为( )A ．32B ． 3C ．23D ． 65．（3分）如图，已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且BC AC >．若1S 表示以BC 为边的正方形面积，2S 表示长为AB 、宽为AC 的矩形面积，则1S 与2S 的大小关系为( )A ．12S S >B ．12S S =C ．12S S <D ．不能确定6．（3分）下列一元二次方程两实数根和为4-的是( )A ．2240x x +-=B ．2440x x -+=C ．24100x x ++=D ．2450x x +-= 7．（3分）甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛，则恰好选中甲、乙两位同学打第一场比赛的概率是( )A ．16B ．14C ．13D ．128．（3分）函数1y x k =-与2(0)ky k x=≠的图象在同一坐标系内，其中正确的是( )9．（3分）在函数(0)y kx k =<的图象上有1(1,)A y ，2(1,)B y -，3(2,)C y -三个点，则下列各式正确的是( ) A ．123y y y << B ．132y y y << C ．321y y y << D ．231y y y << 10．（3分）如图，将边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30︒到正方形AEFG 的位置，则图中阴影部分的面积为( )A ．33 B ．36 C ．39 D ．31211．（3分）如图，ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 、F 是BC 上的两点，且BE EF FC ==．则::BN NQ QM 等于( )A ．6:3:2B ．2:1:1C ．5:3:2D ．1:1:112．（3分）如图，A 、B 是函数12y x=上两点，P 为一动点，作//PB y 轴，//PA x 轴，下列说法正确的是( ) ①AOP BOP ∆≅∆；②AOPBOP S S ∆∆=；③若OA OB =，则OP 平分AOB ∠；④若4BOP S ∆=，则16ABP S ∆=A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④ 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．13．（3分）若43x y y +=，则xy= 14．（3分）已知：点C 是线段AB 的黄金分割点，2AB =，则AC = ． 15．（3分）a ，b 为实数且22222()4()5a b a b +++=，则22a b += ．16．（3分）如图，A ，B 是反比例函数ky x=图象上的两点，过点A 作AC y ⊥轴，垂足为C ，AC 交OB 于点D ．若D 为OB 的中点，AOD ∆的面积为3，则k 的值为 ．17．（3分）如图，丁轩同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行20m 到达Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m ，两个路灯的高度都是9m ，则两路灯之间的距离是 m ．18．（3分）如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点E ，F 分别在CD ，AD 上，CE DF =，BE ，CF 相交于点G ．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为2:3，则BCG ∆的周长为 ．三、解答题：本大题共66分．注意：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算过程． 19．（12分）解答下列各题：（1）解方程：(2)(3)216x x x ++=+（2）已知a 、b 、c 均为非零的实数，且满足a b c a b c a b c c b a +--+-++==，求()()()a b b c c a abc+++的值 20．（8分）某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况．随机抽取部分男同学进行了1000米跑测试按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级．学校绘制了如下不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题：（1）扇形统计图中“良好”所对应的圆心角度数是 ；请补全条形统计图； （2）该校九年级有600名男生，请估计成绩未达到良好的有多少名？（3）某班甲、乙两位成绩获“优秀”的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛，预赛分为A ，B ，C ，D 四组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？（用树状图或列表法解答） 21．（8分）已知关于x 的方程2(2)20mx m x -++=． （1）求证：方程总有实数根；（2）已知方程有两个不相等的实数根α，β满足112αβ+=，求m 的值． 22．（8分）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上两点，且45EAF ∠=︒，将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒后，得到ABQ ∆，连接EQ ，求证： （1）EA 是QED ∠的平分线；（2）222EF BE DF =+．23．（8分）某农业合作社投资64000元共收获80吨的农产品，目前，该农产品可以以1200元/吨售出，如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用1600元，且同时每星期每吨价格将上涨200元．问储藏多少星期出售这批农产品可获利122000元？24．（10分）已知(4,2)A -、(,4)B n -两点是一次函数y kx b =+和反比例函数my x=图象的两个交点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求AOB ∆的面积；（3）观察图象，直接写出不等式0mkx b x+->的解集．25．（12分）矩形ABCD 一条边8AD =，将矩形ABCD 折叠，使得点B 落在CD 边上的点P 处．（1）如图1，已知折痕与边BC 交于点O ，连接AP 、OP 、OA ． ①求证：OCP PDA ∆∆∽；②若OCP ∆与PD A ∆的面积比为1:4，求边AB 的长．（2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO 和OP ，连接BP ．动点M 在线段AP 上（不与点P 、A 重合），动点N 在线段AB 的延长线上，且BN PM =，连接MN 交PB 于点F ，作ME BP ⊥于点E ．试问动点M 、N 在移动的过程中，线段EF 的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF 的长度；若变化，说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 【解答】解：①当二次项系数0a =时，20ax bx c ++=不是一元二次方程；故本选项错误； ②22(1)10k x kx +++=符合一元二次方程的定义，故本选项正确；③由原方程，得2680x x --=符合一元二次方程的定义，故本选项正确； ④由原方程，得1290x -=，未知数的最高次数是1；故本选项错误． 故选：C ．【解答】解：32=，故选项A 中的线段成比例；==，故选项B 中的线段成比例； 465≠，故选项C 中的线段不成比例；=D 中的线段成比例； 故选：C ．【解答】解：以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 扩大为原来的3倍后得到线段CD ， 点A 的坐标为(2,2)、∴点C 的坐标为(23,23)⨯⨯，即(6,6)， 故选：C ．【解答】解：四边形ABCD 是正方形，90BAD BCD ∴∠=∠=︒，45PAF PCE ∠=∠=︒， PF AD ⊥，PE CD ⊥，APF ∴∆和CPE ∆是等腰直角三角形，PF AP ∴=，PE =，)22PF PE AP PC AC ∴+=+==；故选：A ．【解答】解：C 是线段AB 的黄金分割点，且BC AC >， 2BC AC AB ∴=，1S 表示以BC 为边的正方形面积，2S 表示长为AB 、宽为AC 的矩形面积，21S BC ∴=，2S AC AB =， 12S S ∴=． 故选：B ．【解答】解：A 、2240x x +-=， 1a =，2b =，4c =-， 24416200b ac ∴-=+=>， 设方程的两个根为1x ，2x ，12221x x ∴+=-=-，本选项不合题意；B 、2440x x -+=， 1a =，4b =-，4c =， 2416160b ac ∴-=-=， 设方程的两个根为1x ，2x ，12441x x -∴+=-=，本选项不合题意；C 、24100x x ++=， 1a =，4b =，10c =，241640240b ac ∴-=-=-<， 即原方程无解，本选项不合题意； D 、2450x x +-=， 1a =，4b =，5c =-， 241620360b ac ∴-=+=>， 设方程的两个根为1x ，2x ，12441x x ∴+=-=-，本选项符合题意，故选：D ．∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为：21126=，故选：A ．【解答】解：函数1y x k =-，一次项系数为1，大于0，应过一、三象限，由此可排除C 、D ；对于B ，2(0)ky k x=≠在一、三象限，有0k >，则函数1y x k =-的图象应与y 轴交于原点下方，排除B ． 故选：A ．【解答】解：1(1,)A y ，2(1,)B y -，3(2,)C y -在直线y kx =上， 1y k ∴=，2y k =-，32y k =-， 而0k <，123y y y ∴<<． 故选：A ．【解答】解：作M H D E ⊥于H ，如图， 四边形ABCD 为正方形，1AB AD ∴==，90B BAD ADC ∠=∠=∠=︒，正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30︒到正方形AEFG 的位置， 1AE AB ∴==，130∠=︒，90AEF B ∠=∠=︒， 260∴∠=︒，AED ∴∆为等边三角形，3460∴∠=∠=︒，1DE AD ==， 5630∴∠=∠=︒，M DE ∴∆为等边三角形，12DH EH ∴==，在Rt MDH ∆中，12MH ===，112MDE S ∆∴=⨯=．故选：D ．【解答】解：连结MF ，如图， M 是AC 的中点，EF FC =， MF ∴为CEA ∆的中位线， 2AE M F ∴=，//AE MF ， //NE MF ， ∴1BN BE NM EF ==，12NE BE MF BF ==， BN NM ∴=，2MF NF =，设BN a =，NE b =，则NM a =，2MF b =，4AE b =， 3AN b ∴=， //AN MF ，∴3322NQ AN b QM MF b ===， 35NQ a ∴=，25QM a =，32::::5:3:255BN NQ QM a a a ∴==．故选：C ．【解答】解：点P 是动点， BP ∴与AP 不一定相等，BOP ∴∆与AOP ∆不一定全等，故①不正确； 设(,)P m n ， //BP y ∴轴，12(,)B m m ∴，12||BP n m∴=-，1121|||12|22BOP S n m mn m ∆∴=-⨯=-//PA x 轴， 12(A n ∴，)n ，12||AP m n∴=-，1121|||12|22AOP S m n mn n ∆∴=-⨯=-， AOP BOP S S ∆∆∴=，故②正确；如图，过点P 作PF OA ⊥于F ，PE OB ⊥于E ，12AOP S OA PF ∆∴=⨯，12BOP S OB PE ∆=⨯，AOP BOP S S ∆∆=，OB PE OA PF ∴⨯=⨯， OA OB =， PE PF ∴=，PE OB ⊥，PF OA ⊥，OP ∴是AOB ∠的平分线，故③正确；如图1，延长BP 交x 轴于N ，延长AP 交y 轴于M ， AM y ∴⊥轴，BN x ⊥轴， ∴四边形OMPN 是矩形，点A ，B 在双曲线12y x=上，6AMO BNO S S ∆∆∴==， 4BOP S ∆=，2PMO PNO S S ∆∆∴==， 4OMPN S ∴=矩形，4mn ∴=，4m n∴=， 12|||3|2||BP n n n n m∴=-=-=，128||||AP m n n =-=， 1182||822||APB S AP BP n n ∆∴=⨯=⨯⨯=，故④错误；∴正确的有②③， 故选：B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．【解答】解：41333x y y ++==， ∴13x y =， 故答案为：13【解答】解：点C 是线段AB 的黄金分割点，当AC BC >时，51512AC AB -==-， 当AC BC <时，51352AC AB AB -=-=-， 故答案为：51-或35-． 【解答】解：设22a b x +=，22222()4()5a b a b +++=可化为：2450x x +-=， 因式分解得：(1)(5)0x x -+=， 可得：10x -=或50x +=， 解得：11x =，25x =-，221a b ∴+=或225a b +=-（舍去）， 则221a b +=． 故答案为：1【解答】解：设点D 坐标为(,)a b ， 点D 为OB 的中点， ∴点B 的坐标为(2,2)a b ， 4k ab ∴=，又AC y ⊥轴，A 在反比例函数图象上， A ∴的坐标为(4,)a b ， 43AD a a a ∴=-=， AOD ∆的面积为3， ∴1332a b ⨯⨯=， 2ab ∴=，4428k ab ∴==⨯=． 故答案为：8【解答】解：//MP BD ， ∴MP APBD AB=， 同理，NQ BQAC AB =， AC BD =， AP BQ ∴=，设AP BQ x ==，则220AB x =+， //NQ ACBQN BAC ∴∆∆∽，∴NQ BQ CA BA =，即1.59220xx =+， 解得：5x =．则两路灯之间的距离是252030m ⨯+=． 故答案为：30．【解答】解：阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为2:3，∴阴影部分的面积为2963⨯=，∴空白部分的面积为963-=，由CE DF =，BC CD =，90BCE CDF ∠=∠=︒，可得BCE CDF ∆≅∆，BCG ∴∆的面积与四边形DEGF 的面积相等，均为13322⨯=，CBE DCF ∠=∠，90DCF BCG ∠+∠=︒，90CBG BCG ∴∠+∠=︒，即90BGC ∠=︒，设BG a =，CG b =，则1322ab =，又2223a b +=，2229615a ab b ∴++=+=， 即2()15a b +=， 15a b ∴+=，即15BG CG +=，BCG ∴∆的周长153=+，故答案为：153+．三、解答题：本大题共66分．注意：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算过程． 【解答】解：（1）(2)(3)216x x x ++=+， 256216x x x ++=+， 23100x x +-=， (2)(5)0x x -+=，解得12x =，25x =-；（2）若0a b c ++≠，由等比定理有1a b c a b c a b c a b c a b c a b cc b a a b c+--+-+++-+-+-++====++， 所以a b c c +-=，a b c b -+=，a b c a -++=，于是有()()()2228a b b c c a c b aabc abc+++==．若0a b c ++=，则a b c +=-，b c a +=-，c a b +=-，于是有()()()()()()1a b b c c a c a b abc abc+++---==-．【解答】解：（1）扇形统计图中“良好”所对应的圆心角度数是：36040%144︒⨯=︒， 故答案为：144︒，合格的有：1640%1216210÷---=（人)， 补全的条形统计图如右图所示；（2）成绩未达到良好的有：1260018040⨯=（名)， 答：成绩未达到良好的有180名；（3）如下图所示，∴甲、乙两人恰好分在同一组的概率是41164=， 即甲、乙两人恰好分在同一组的概率是14． 【解答】（1）证明：当0m =时，原方程为220x -+=， 解得：1x =，∴当0m =时，方程有解；当0m ≠时，△222[(2)]4244(2)0m m m m m =-+-⨯=-+=-， ∴当0m ≠时，方程2(2)20mx m x -++=有解． 综上：无论m 为何值，方程总有实数根；（2）解：方程有两个不相等的实数根α，β，2m m αβ+∴+=，2mαβ=． 112αβαβαβ++==，即222m +=， 解得：6m =．【解答】证明：（1）将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒后，得到ABQ ∆， QB DF ∴=，AQ AF =，BAQ DAF ∠=∠， 45EAF ∠=︒，45DAF BAE ∴∠+∠=︒，45QAE ∴∠=︒，QAE FAE ∴∠=∠，在AQE ∆和AFE ∆中AQ AF QAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AQE AFE SAS ∴∆≅∆，AEQ AEF ∴∠=∠，EA ∴是QED ∠的平分线；（2）由（1）得AQE AFE ∆≅∆，QE EF ∴=，在Rt QBE ∆中，222QB BE QE +=，又QB DF =，222EF BE DF ∴=+．【解答】解：设储藏x 星期出售这批农产品可获利122000元，由题意得(1200200)(802)160064000122000x x x +⨯---=， 解得：1215x x ==．答：储藏15星期出售这批农产品可获利122000元．【解答】解：（1）把(4,2)A -代入m y x =，得2(4)8m =⨯-=-， 所以反比例函数解析式为8y x=-， 把(,4)B n -代入8y x=-，得48n -=-， 解得2n =，把(4,2)A -和(2,4)B -代入y kx b =+，得4224k b k b -+=⎧⎨+=-⎩， 解得12k b =-⎧⎨=-⎩， 所以一次函数的解析式为2y x =--；（2）2y x =--中，令0y =，则2x =-， 即直线2y x =--与x 轴交于点(2,0)C -，112224622AOB AOC BOC S S S ∆∆∆∴=+=⨯⨯+⨯⨯=；（3）由图可得，不等式0m kx b x+->的解集为：4x <-或02x <<．【解答】解：（1）①如图1，四边形ABCD 是矩形， 90C D ∴∠=∠=︒，1390∴∠+∠=︒，由折叠可得90APO B ∠=∠=︒， 1290∴∠+∠=︒，23∴∠=∠，又D C ∠=∠，OCP PDA ∴∆∆∽；②如图1，OCP ∆与PD A ∆的面积比为1:4， ∴1142OP CP PA DA ===， 142CP AD ∴==， 设OP x =，则8CO x =-， 在Rt PCO ∆中，90C ∠=︒，由勾股定理得222(8)4x x =-+， 解得：5x =，210AB AP OP ∴===，∴边AB 的长为10；（2）作//MQ AN ，交PB 于点Q ，如图2， AP AB =，//MQ AN ，APB ABP MQP ∴∠=∠=∠． MP MQ ∴=，BN PM =，BN QM ∴=．MP MQ =，ME PQ ⊥，12EQ PQ ∴=． //MQ AN ，QMF BNF ∴∠=∠，在MFQ ∆和NFB ∆中，QFM NFB QMF BNF MQ BN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MFQ NFB AAS ∴∆≅∆．12QF QB ∴=， 111222EF EQ QF PQ QB PB ∴=+=+=， 由（1）中的结论可得：4PC =，8BC =，90C ∠=︒， 228445PB ∴=+=，1252EF PB ∴==， ∴在（1）的条件下，当点M 、N 在移动过程中，线段EF 的长度不变，它的长度为25．。

2013-20XX 年九年级数学上期中检测题（本试卷满分120分，时间：120分钟）一、选择题（每小题3分，共30分）1.已知等腰三角形的顶角是n °，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于（ ）A.290 nB.90°－2 nC.2n D.90°－n °2.如图，已知AB ⊥CD ，△ABD 、△BCE 都是等腰三角形，如果CD =8，BE =3，那么AC 的长为（ ） A.8B.5C.3D.343.如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 两点分别在AC 、BC 上，BD 是∠ABC 的平分线，DE //AB ，若BE =5cm ，CE =3cm ，则△CDE 的周长是（ ） A.15cm B.13cm C.11cm D.9cm4.一元二次方程，用配方法解该方程，配方后的方程为（ ）A. B. C.D.5.已知一等腰三角形的底和腰是方程的两根，则这个三角形的周长为（ ）A.8B.10C.8或10D.不能确定 6. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）A.a ＝cB.a ＝bC.b ＝cD.a ＝b ＝c7.以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形，最多能作（ ） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个8.如图，点E 是平行四边形ABCD 的边AD 的中点，CE 与BA 的延长线交于点F .若∠FCD ＝∠D ，则下列结论不成立的是（）A.AD=CFB.BF=CFC.AF=CDD.DE=EF9.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（） A.当AB=BC 时，它是菱形B.当AC ⊥BD 时，它是菱形C.当∠ABC=90°时，它是矩形D.当AC=BD 时，它是正方形10.如图所示，在正方形ABCD 中，E 为CD 上一点，延长BC 至F ，使CF=CE ，连接DF ，BE 与DF 相交于点G ，则下面结论错误的是（ ） A. BE=DF B. BG ⊥DF C.∠F +∠CEB=90°D.∠FDC +∠ABG=90°二、填空题（每小题3分，共24分）11.三角形的三条中位线围成的三角形的周长为10cm ，则原三角形的周长是_______cm. 12.已知直角三角形两直角边长分别是5 cm 、12 cm ，其斜边上的高是_______. 13．已知方程没有实数根，则的最小整数值是_____.14．已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2221x x +=.15.已知方程23(1)532m x mx m +-+=的两根互为相反数，则m 的值为_________. 16.已知（x 2＋y 2）（x 2－1＋y 2）－12=0，则x 2＋y 2的值是_________｡17.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=CD ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若∠1=35°， 则∠D =_____.18.已知菱形的两条对角线长分别为6和8，则此菱形的周长为______，面积为______.三、解答题（共66分）19.（8分）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠BAD =21∠BAC ，过点D 作DE ⊥AB ，DE 恰好是∠ADB 的平分线，求证：CD =21DB .20.（8分）如果关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围.21.（8分）如图，E 、F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的点，CE=AF ，请你猜想：线段BE 与线段DF 有怎样的关系？并对你的猜想加以证明.22.（8分）(2013·山东菏泽中考)已知m 是方程x 2-x -2=0的一个实数根，求代数式的值.23.（8分）已知关于x 的方程041222=+-n mx x ，其中n m ,分别是一个等腰三角形的腰和底的长，求证这个方程有两个不相等的实数根.24.（8分）如图，在四边形ABCD 中，DB 平分∠ADC ，∠ABC =120°，∠C =60°，∠BDC =30；延长CD 到点E ，连接AE ，使得∠E =12∠C . （1）求证:四边形ABDE 是平行四边形； （2）若DC =12，求AD 的长.25.（8分）如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AB =BC ，且 AE ⊥BC .⑴求证：AD =AE ；⑵若AD =8，D C =4，求AB 的长.26.（10分）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多的进入普通家庭，成为居民消费新的增长点.据某市交通部门统计，20XX 年底全市汽车拥有量为15万辆，而截止到20XX 年底，全市的汽车拥有量已达21.6万辆. （1）求20XX 年底至20XX 年底该市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为了保护环境，缓解汽车拥堵状况，从20XX 年起，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到20XX 年底全市汽车拥有量不超过23.196万辆；另据统计，该市从20XX 年起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%.假定在这种情况下每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆.期中检测题参考答案1.C 解析：如图，当△ABC 为锐角三角形时，已知∠A = n °，则∠C =2180 n -.所以∠DBC =2218090n n =--.当△ABC 为钝角三角形时，同理可得. 2.D 解析：因为CB=BE=3，所以 BD=BA=8-3=5，所以AC=34925=+. 3.B 解析：因为AB=AC ，所以∠ABC =∠C .因为DE //AB ，所以∠DEC =∠ABC =∠C ，所以DE =DC . 因为BD 是∠ABC 的平分线，所以∠ABD =∠DBE .又由DE //AB ，得∠ABD =∠BDE ，所以∠DBE =∠BDE ， 所以BE=DE=DC =5cm ，所以△CDE 的周长为DE +DC +EC =5cm+5 cm +3cm=13cm ，故选B. 4.B 解析：移项得，配方得，即，故选B.5.B 解析：解方程得，.由题意可得等腰三角形三边长分别为2，4，4，所以三角形周长为10，故选B. 6. A 解析：由方程满足，知方程有一个根是.又方程有两个相等的实数根，所以由根与系数的关系知，所以b ＝－2a ， a ＝c ，故选A.7.B 解析：分别以任意两点的连线为对角线都可以画出平行四边形，因此可以画出三个平行四边形.8.B 解析：由AB ∥CD ，∠FCD ＝∠D ，得∠FCD ＝∠D =∠F ＝∠FAD ，所以AE=EF ，EC=ED. 又AE=ED ，所以△FAE ≌△CDE ，所以AF=CD ，AE=EF=EC=ED ，所以AD=CF.故A 、C 、D 都正确，只有B 不正确.9.D 解析：根据菱形、矩形、正方形的定义进行判断.10.C 解析：由题意可知△FDC ≌△EBC ，从而∠FDC ＝∠EBC ， ∠F ＝∠CEB ， BE=DF ， ∵∠CEB +∠EBC =90︒，∴∠F +∠GBF =90︒，∴BG ⊥DF.∵∠ABG +∠EBC =90︒，∴∠ABG + ∠FDC =90︒，∴只有选项C 是错误的.11.20 解析：由三角形中位线的性质，三角形的中位线等于三角形第三条边长的一半，所以该三角形的周长应为2×10＝20（cm ）. 12.1360cm 解析：可知该直角三角形的斜边长为13 cm ，由三角形的面积公式可得斜边上的高为136013125=⨯ （cm ） . 13. 2 解析：当时，方程为一元一次方程，有一个根；当时，方程为一元二次方程，此时由根的判别式可知当方程没有实数根时的取值范围为，所以的最小整数值是2. 14.425 解析：由根与系数的关系可知2321-=+x x ，122x x =-，所以4254492)(212212221=+=-+=+x x x x x x .15.0 解析：由根与系数的关系可知0)1(35=+m m，解得0=m .16.4 解析：将x 2+y 2看作一个整体m ，得012)1(=--m m ，整理得0122=--m m ，解得4=m 或3-=m ，由于m 是大于零的数，所以3-=m 舍去.17.110° 解析：因为EF 为△ABC 的中位线，所以∠1=∠CAB =35°，而AB ∥CD ，所以∠CAB=∠DCA =35°.又AD=CD ，△ADC 为等腰三角形，所以由三角形内角和定理知∠D =180°-35°×2=110°.18.20，24 解析：根据菱形的对角线互相垂直平分可得. 19.证明：因为AD 是∠BAC 的平分线，所以∠CAD =∠DAB .又因为DE ⊥AB ，DE 是∠ADB 的平分线，所以△ADE ≌△BDE ， 所以AD=DB ，∠DAB =∠B .所以∠CAD =∠DAB =∠B =30°， 所以CD =21AD =21DB . 20．解：由于方程是一元二次方程，所以，解得.由于方程有实数根，因此，解得.因此的取值范围是且. 21．解：猜想：BE ∥DF 且BE=DF .证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴CB=AD ，CB ∥AD . ∴∠BCE=∠DAF .在△BCE 和△DAF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,AF CE DAF BCE AD CB∴△BCE ≌△DAF ，∴BE=DF ，∠BEC=∠DFA ，∴BE ∥DF ，即BE=DF 且BE ∥DF .22. 分析：利用方程根的定义，把根代入方程，然后用整体代入法求代数式的值. 解法1：∵m 是方程x 2-x -2=0的一个根， ∴m 2-m -2=0.∴m 2-m =2,m 2-2=m .∴ 原式=(m 2-m )+1）=2×（+1）=2×2=4.解法2：解方程x 2-x -2=0得其根为:x =-1或x =2,故m =-1或m =2,当m =-1时，(m 2-m )+1）=4;当m =2时，(m 2-m )+1）=4.故代数式(m 2-m )21m m-+⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为4.23.证明：因为n m ,分别是一个等腰三角形的腰和底的长， 根据三角形的三边关系，有n m >2，即224n m >. 对于方程041222=+-n mx x ， 其根的判别式04414)2(2222>-=⨯--n m n m ，所以方程有两个不相等的实数根.24.（1）证明：∵∠ABC =120°，∠C =60°， ∴∠ABC +∠C =180°， ∴AB ∥DC ，即AB ∥ED . 又∵∠C =60°，∠E =12∠C ，∠BDC =30°， ∴∠E =∠BDC =30°，∴AE ∥BD . ∴ 四边形ABDE 是平行四边形.（2）解：由（1）得AB ∥DC ，AB ≠DC ， ∴ 四边形ABCD 是梯形.∵DB 平分∠ADC ，∠BDC =30°， ∴∠ADC =∠C =60°.∴ 四边形ABCD 是等腰梯形， ∴BC =AD .∵在△BCD 中，∠C =60°，∠BDC =30°， ∴∠DBC =90°.又已知DC =12，∴AD =BC =12DC =6. 25.（1）证明：如图，连接AC ， ∵AB ∥CD ，∴∠ACD =∠BAC. ∵AB =BC ，∴∠ACB =∠BAC ， ∴∠ACD =∠ACB . ∵AD ⊥DC ，AE ⊥BC ， ∴∠D =∠AEC =90°. 又∵ AC=AC ，∴△ADC ≌△AEC ，∴AD=AE . （2）解:由（1）知：AD=AE ，DC=EC .设AB ＝x ， 则BE =x －4，AE =8.在Rt △ABE 中，∠AEB =90°，由勾股定理得：222AB BE AE =+，即2228(4)x x +-=，解得：x =10.∴AB =10. 26.解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x ，根据题意，得6.21)1(152=+x ，解得%202.01==x ，2.22-=x （不合题意，舍去）.（2）设全市每年新增汽车数量为y 万辆，则20XX 年底全市的汽车拥有量为（21.6×90%+y ）万辆，20XX 年底全市的汽车拥有量为万辆.根据题意得：（21.6×90%+y ）×90%+y ≤23.196，解得y ≤3. 答:该市每年新增汽车数量最多不能超过3万辆.。

2023-2024学年北师大新版九年级上册数学期中复习试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．若一元二次方程x2+px+2p＝0的一个根为2，则p的值为（ ）A．1B．2C．﹣1D．﹣22．如图，在离某围墙AB的6米处有一棵树CD，在某时刻2米长的竹竿垂直地面，太阳光下的影长为3米，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在墙上AE处，墙上的影高为4米，那么这棵树高约为（ ）米．A．6B．8C．9D．103．两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）A．抛一枚硬币，正面朝上的概率B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率C．转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率D．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率4．如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A．正方体B．圆锥C．四棱柱D．圆柱5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边的中点，连接EF．若EF＝，BD＝4，则菱形ABCD的周长为（ ）A．4B．C．4D．286．如图，矩形ABCD中，BD＝2，AB在x轴上．且点A的横坐标为﹣1，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交x轴的正半轴于M，则点M的坐标为（ ）A．（2+，0）B．（2+1，0）C．（2﹣1，0）D．（2，0）7．下列一元二次方程中，无实数根的是（ ）A．x2﹣2x﹣3＝0B．x2+3x+2＝0C．x2﹣2x+1＝0D．x2+2x+3＝0 8．已知一元二次方程x2﹣8x+c＝0有一个根为2，则另一个根为（ ）A．10B．6C．8D．﹣29．如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD 近似看成一个矩形，且满足3FD＝2FA，若盲区EB的长度是6米，则车宽FA的长度为（ ）米．A．2B．C．D．10．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边△CDE，BE与AC相交于点M，则下列结论中：①BM＝DM；②∠BEC＝∠MDC＝15°；③∠AMD的度数是75°；④△AMB≌△AMD≌△EMD．正确的有（ ）个．A．1B．2C．3D．4二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．在△ABC中，点D，E分别在边AB和AC上，且DE∥BC，如果AD＝2，DB＝4，AE＝3，那么AC＝ ．12．今年五月上旬我市空气质量指数如下表，省外某单位组织了一次退休职工到我市旅游3天，则他们在我市旅游3天时，空气质量都是优良（空气质量指数不大于100表示空气质量优良）的概率是 ．日期12345678910空气质量指数304236588095701155610113．如图，小芸用灯泡O（看作一个点）照射一个矩形相框ABCD，在墙上形成矩形影子A'B'C'D'．现测得OA＝20cm，OA'＝50cm，相框ABCD的周长为36cm，则影子A'B'C'D'的周长为 cm．14．如图，某同学拿着一把12cm长的尺子，站在距电线杆30m的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子恰好遮住电线杆，已知臂长60cm，则电线杆的高度是 m．15．如图，已知四边形ABCD为矩形，且AB＝3，AD＝4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转一定角度得到矩形A'B'CD'，B'C与AD交于点O，且DO＝B'O，则AO的长为 ．三．解答题（共7小题，满分75分）16．用适当的方法解一元二次方程：（1）2x2﹣3x＝2；（2）x2+6x﹣111＝0．17．为推进社会主义新农村建设，东胜区某社区决定组建社区文体团队，现围绕“你最喜欢的文体活动项目（每人仅限一项）”，在全社区范围内随机抽取部分居民进行问卷调查，并将调查结果绘制如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：（1）扇形统计图中“纸牌”所在扇形的圆心角的度数为 ；并补全条形统计图；（2）若在“纸牌、象棋、跳棋、军棋”这四个项目中任选两项组队参加元旦节庆典活动，请用列表法或画树状图的方法，求恰好选中“象棋、军棋”这两个项目的概率．18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，2），B（1，5），C（3，4），画出△ABC，并画出以原点O为位似中心，将△ABC三条边放大为原来的2倍后的△A1B1C1．19．操作作图如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．点D在边AC上，请用圆规和直尺作菱形DEFG，使点E、F在边AB上，点G在边BC上（不写作法，但要保留作图痕迹）．阅读理解我们把图①中的菱形DEFG称为△ABC的有一边平行于AB的内接菱形，简称AB类内接菱形．类似的可得到AB类内接矩形．若公共顶点为D的AB类内接菱形DEFG恰好以BC类内接矩形DFMC的一边为对角线，求CD的长．深入探究（1）当CD长度满足什么条件时，可作2个AB类内接菱形DEFG？说明理由；（2）直接写出AB类内接菱形DEFG面积的最大值．20．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，若OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB．（1）直接写出：OA＝ ，OB＝ ；（2）若点E为x轴上的点，且△AOE∽△DAO．求此时点E的坐标．21．小琴的父母承包了一块荒山地种植一批香梨树，今年收获一批香梨，小琴的父母打算以m元/斤的零售价销售5000斤香梨；剩余的5000（m+1）斤香梨以比零售价低1元的批发价批给外地客商，总共的销售额为55000元．（1）小琴的父母今年共收获这种香梨多少斤？（2）批发商买回这批香梨后，零售平均每天可售出200斤，每斤盈利2元．为了加快销售和获得较好的利润，采取了降价措施，发现销售单价每降低0.1元，平均每天可多售出40斤，应降价多少元使得每天销售利润为600元？22．综合与实践问题情境：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB上的动点（不与点A，B重合）．操作发现：（1）如图①，当AC＝BC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，BE．①∠CBE的度数为 ；②探究发现AD和BE有什么数量关系，请写出你的探究过程；探究证明：（2）如图2，当BC＝2AC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°后并延长为原来的两倍，记为线段CE．①在点D的运动过程中，请判断AD与BE有什么数量关系？并证明；②若AC＝2，在点D的运动过程中，当△CBE的形状为等腰三角形时，直接写出此时△CBE的面积．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：∵一元二次方程x2+px+2p＝0的一个根为2，∴22+2p+2p＝0．∴4p＝﹣4．∴p＝﹣1．故选：C．2．解：过点A作AF∥DE交CD于点F，则DF＝AE＝4m，△CAF∽△C′CD′．∴D′C′：C′C＝CF：CA，即2：3＝CF：6．∴CF＝4．∴DC＝4+4＝8（m）．即：这棵树高8m．故选：B．3．解：A、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；B、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意；C、转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率为，故此选项不符合题意；D、从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率，故此选项符合题意；故选：D．4．解：该几何体的视图为一个圆形和两个矩形．则该几何体可能为圆柱．故选：D．5．解：∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF＝，∴AC＝2EF＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝AC＝，OB＝BD＝2，∴AB＝＝，∴菱形ABCD的周长为4．故选：C．6．解：∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝2，由题意可知：AM＝AC＝2，∵OA＝|﹣1|＝1，∴OM＝AM﹣OA＝2﹣1，∴点M的坐标为（2﹣1，0），故选：C．7．解：在x2﹣2x﹣3＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，即该方程有两个不等实数根，故选项A不符合题意；在x2+3x+2＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×2＝1＞0，即该方程有两个不等实数根，故选项B不符合题意；在x2﹣2x+1＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，即该方程有两个相等实数根，故选项C不符合题意；在x2+2x+3＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，即该方程无实数根，故选项D 符合题意；故选：D．8．解：设方程的另一个根为t，根据题意得2+t＝8，解得t＝6，即方程的另一个根是6．故选：B．9．解：如图，过点P作PM⊥BE，垂足为M，交AF于点N，则PM＝1.6，设FA＝x米，由3FD＝2FA得，FD＝x＝MN，∵四边形ACDF是矩形，∴AF∥CD，∴△PAF∽△PBE，∴＝，即＝，∴PN＝x，∵PN+MN＝PM，∴x+x＝1.6，解得，x＝，故选：D．10．解：∵四边形ABCD为正方形，AC为对角线，∴BC＝DC，∠BCA＝∠DCA＝45°，BC＝DC，∠BCD＝90°，在△BCM和△DCM中，，∴△BCM≌△DCM（SAS），∴BM＝DM，故结论①正确；∵△CDE为等边三角形，∴∠DCE＝60°，DC＝CE，∴BC＝CE，∴∠BEC＝∠EBC，∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°+60°＝150°，∴°，∵△BCM≌△DCM，∴∠MBC＝∠MDC，即：∠BEC＝∠MDC＝15°；故结论②正确；∵∠MDC＝15°，∠DCA＝45°，∴∠AMD＝∠MDC+∠DCA＝60°，故结论③不正确；在△AMB和△AMD中，，∴△AMB≌△AMD（SAS），∵四边形ABCD为正方形，△CDE为等边三角形，∴AD＝ED，∠ADC＝90°，∠EDC＝60°，∵∠MDC＝15°，∴∠ADM＝∠ADC﹣∠MDC＝75°，∠EDM＝∠MDC+∠EDC＝75°，∴∠ADM＝∠EDM＝75°，在△AMD和△EMD中，，∴△AMD≌△EMD（SAS），∴△AMB≌△AMD≌△EMD，故结论④正确，综上所述：正确的结论是①②④，共有3个．故选：C．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．解：∵DE∥BC，∴AD：AB＝AE：AC，∵AD＝2，DB＝4，AE＝3，∴2：6＝3：AC，∴AC＝9，故答案为：9．12．解：由表格可得，所有的可能性是：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），（5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10），其中旅游3天，空气质量都是优良的有5种结果，所以空气质量都是优良的概率是，故答案为：．13．解：∵OA＝20cm，OA'＝50cm，∴OA：OA′＝20：50＝2：5，∵AB∥A′B′，∵∠AOB＝∠A′OB′，∴△AOB∽△A′OB′，∴AB：A′B′＝OA：OA′＝2：5，∴矩形ABCD的周长：矩形A′B′C′D′的周长为2：5，又矩形ABCD的周长为36cm，则矩形A′B′C′D′的周长为90cm．故答案为：90．14．解：如图，作AN⊥EF于N，交BC于M，∵BC∥EF，∴AM⊥BC于M，∴△ABC∽△AEF，∴，∵AM＝0.6，AN＝30，BC＝0.12，∴EF＝＝＝6（m）．答：电线杆的高度是6m．故答案为：6．15．解：∵将矩形ABCD绕点C顺时针旋转一定角度得到矩形A'B'CD'，∴AB＝CD＝3，B′C＝BC＝AD＝4，∠D＝90°．设OD＝x，则B'O＝x，OC＝4﹣x．在Rt△COD中，∵∠D＝90°，∴OC2＝OD2+CD2，即（4﹣x）2＝x2+32，解得x＝，∴AO＝AD﹣OD＝4﹣＝．故答案为：．三．解答题（共7小题，满分75分）16．解：（1）2x2﹣3x＝2，2x2﹣3x﹣2＝0，（2x+1）（x﹣2）＝0，∴2x+1＝0或x﹣2＝0，∴x1＝﹣，x2＝2；（2）x2+6x﹣111＝0，x2+6x+9＝111+9，即（x+3）2＝120，∴x+3＝，∴x1＝﹣3+2，x2＝﹣3﹣2．17．解：（1）这次参与调查的居民人数为：24÷20%＝120（人）；∴喜欢“纸牌”的人数为：120﹣24﹣15﹣30﹣9＝42（人），∴扇形统计图中“纸牌”所在扇形的圆心角的度数为360°×＝126°，故答案为：126°，补全条形图如图所示：（2）设：纸牌为A，象棋为B，跳棋为C，军棋为D，根据题意画树状图：由树状图可知：一共有12种等可能的情况，其中恰好选中“象棋、军棋”这两个项目的有2种，∴恰好选中“象棋、军棋”这两个项目的的概率是同时选中B、D的概率为＝．18．解：如图，△ABC和△A1B1C1为所作．19．解：操作作图：如图所示中的四边形DEFG为符合条件的其中一个菱形．阅读理解：符合条件的图形如图所示：∵公共顶点为D的AB类内接菱形DEFG恰好以BC类内接矩形DFMC的一边为对角线，∴DG＝GF，DC＝FM，∠C＝∠FMC＝90°＝∠FMB．∴Rt△DCG≌Rt△FMG（HL）．∴CG＝MG．∵DG∥AB，∴∠DGC＝∠B．∴△DCG≌△DMB（AAS）．∴CG＝BM．∴．∵△DCG∽△ACB，∴．即，∴DC＝2．深入探究：（1）如图所示，当点E与点A重合时，此时存在符合条件的两个菱形．在Rt△ABC中，．∵四边形DEFG为菱形，∵DG∥AB，∴，即．解得DC＝．如图，当DE⊥AB时，过点C作CH⊥AB，交DG于点Q，交AB于点H．在Rt△ABC中，．∵DG∥AB，∴△ABC∽△DGC．∴．即，∴．∴．即，∴．∴当＜CD≤时，可作2个AB类内接菱形DEFG．（2）如图，过点C作CH⊥AB于点H，交DG于点Q．∵四边形DEFG为菱形，设DG＝x，∵DG∥AB，∴△ABC∽△DGC．∴．即，∴CQ＝．则QH＝．∴S菱形DEFG＝DG×CH＝．配方得．当点F与点B重合时，可求得DG＝，由（1）可知：．在此范围内S菱形DEFG随x的增大而增大，∴当x＝时，S菱形DEFG最大，最大值为．∴AB类内接菱形DEFG面积的最大值为．20．解：（1）方程x2﹣7x+12＝0，分解因式得：（x﹣3）（x﹣4）＝0，可得：x﹣3＝0，x﹣4＝0，解得：x1＝3，x2＝4，∵OA＞OB，∴OA＝4，OB＝3；故答案为4，3；（2）设点E的坐标为（m，0），则OE＝|m|，∵△AOE∽△DAO，∴＝，∴＝，∴|m|＝，∴m＝±，∴点E的坐标为：（，0）或（﹣，0）．21．解：（1）依题意，得5000m+（m﹣1）×5000（m+1）＝55000，整理，得m2+m﹣12＝0，解得：m1＝3，m2＝﹣4（不合题意，舍去），∴5000+5000（m+1）＝25000．答：小琴的父母今年共收获这种香梨25000斤．（2）设降价x元，则每斤的利润为（2﹣x）元，每天的销售量为200+＝（200+400x）斤，依题意，得（2﹣x）（200+400x）＝600，整理，得2x2﹣3x+1＝0，解得：x1＝0.5，x2＝1，又∵为了加快销售，∴x＝1．答：应降价1元使得每天销售利润为600元．22．解：（1）①∵线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，∴∠DCE＝90°，DC＝CE，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵AC＝BC，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE＝∠CAD＝45°，故答案为：45°；②AD＝BE，理由如下：由①知△ACD≌△BCE，∴AD＝BE；（2）①，理由如下：∵BC＝2AC，CE＝2CD，∴，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴，∴；②过C作CF⊥AB于F，CG⊥BE于G，如图：∵AC＝2，BC＝2AC，∴BC＝4，AB＝＝2，∴sin∠ABC＝＝＝＝，cos∠ABC＝＝＝，∴＝，＝，∴CF＝，BF＝，∵四边形CGBF是矩形，∴CG＝BF＝，BG＝CF＝，（Ⅰ）当CB＝CE时，如图：∴BE＝2BG＝，∴△CBE的面积为××＝；（Ⅱ）当BC＝BE时，如图：此时BE＝BC＝4，∵CG＝BF＝，∴△CBE的面积为×BE•CG＝×4×＝（Ⅲ）当CE＝BE时，如图：设BE＝CE＝t，则EG＝t﹣，在Rt△CEG中，t2＝（）2+（t﹣）2，解得t＝2，∴BE＝2，∴△CBE的面积为CG•BE＝××2＝8，综上所述，△CBE的面积为或或8．。

北师大版九年级数学上册期中测试卷及答案(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1.若关于x 的一元二次方程x 2－x －m ＝0的一个根是x ＝1，则m 的值是(B )A .1B .0C .－1D .22.甲、乙两人赛跑，则开始起跑时都迈出左腿的概率是(D)A.1B.12C.13 D.143.用配方法解方程x 2＋8x －7＝0，则配方正确的是(A )A .(x ＋4)2＝23B .(x －4)2＝23C .(x －8)2＝49D .(x ＋8)2＝64 4.一元二次方程x 2－4x ＋5＝0的根的情况是(D )A .有两个不相等的实数根B .有两个相等的实数根C .只有一个实数根D .没有实数根5.下列判断错误的是(A )A .有一组对边平行的四边形是平行四边形B .对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形C .四个内角都相等的四边形是矩形D .四条边都相等的四边形是菱形6.若关于x 的一元二次方程的两个根为x 1＝1，x 2＝2，则这个方程是(B )A .x 2＋3x －2＝0B .x 2－3x ＋2＝0C .x 2－2x ＋3＝0D .x 2＋3x ＋2＝07.已知一个菱形的周长是20，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是(C )A .12B .36C .24D .488.一个不透明的布袋中有分别标着数字1，2，3，6的四个乒乓球(除标的数字不同外，没有其他区别)，现从袋中随机一次摸出两个乒乓球，则这两个球上的数字之积为6的概率为(D )A .23B .16C .12 D .139.如图，正方形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，连接EB ，ED ，延长BE 交AD 于点F.若∠DEB ＝140°，则∠AFE 的度数为(A )A.65°B.70°C.60°D.80°10.如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF 折叠后，使点D恰好落在BC边上的点G处.若矩形面积为43且∠AFG＝60°，GE＝2BG，则折痕EF的长为(C)A.1B.3C.2D.23二、填空题(每小题3分，共24分)11.小明抛掷一枚质地均匀的硬币9次，有6次正面向上，则第10次抛掷这个硬币，反面向上的概率为1 2.12.如果关于x的方程x2－2x＋k＝0(k为常数)有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是k＜1.13.若x1，x2是方程2x2－3x－4＝0的两个根，则x1x2＋x1＋x2的值为－1 2.14.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点.若DE ＝4，则AB的长为8.15.让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则这两个数的和为5的概率最大.16.如图，连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，还要添加AC⊥BD条件，才能保证四边形EFGH 是矩形.17.如图，在平面直角坐标系中，菱形MNPO 的顶点P 的坐标是(3，4)，则顶点N 的坐标是(8，4).18.如图，在△ABC 中，AC ＝50 cm ，BC ＝40 cm ，∠C ＝90°，点P 从点A 开始沿AC 边向点C 以2 cm /s 的速度匀速移动，同时另一点Q 从点C 开始以3 cm /s 的速度沿着射线CB 匀速移动，当△PCQ 的面积等于300 cm 2时，运动时间为5__s 或20__s .三、解答题(共66分)19.(10分)用适当的方法解方程.(1)3x(x －1)＝2－2x; (2)(x －2)(3x －5)＝1. 解：x 1＝1，x 2＝－23. 解：x 1＝11＋136，x 2＝11－136.20.(8分)如图，点O 是菱形ABCD 对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥BD ，连接OE.求证：OE ＝BC.证明：∵DE ∥AC ，CE ∥BD ，∴四边形OCED 是平行四边形. ∵四边形ABCD 是菱形，∴∠COD ＝90°，BC ＝CD. ∴四边形OCED 是矩形.∴OE ＝CD. ∵BC ＝CD ，∴OE ＝BC.21.(8分)某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率. 解：设这个增长率为x.依题意，得 20(1＋x)2－20(1＋x)＝4.8.解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝－1.2(不合题意，舍去). 答：这个增长率是20%.22.(8分)某同学报名参加学校秋季运动会，有以下5个项目可供选择：径赛项目：100 m ，200 m ，1 000 m (分别用A 1，A 2，A 3表示)；田赛项目：跳远，跳高(分别用T 1，T 2表示).(1)该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为25；(2)该同学从5个项目中任选两个，求恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率(请利用列表法或树状图加以说明). 解：画树状图如下：由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的结果有12种，∴P(恰好是一个径赛项目和一个田赛项目)＝1220＝35.23.(10分)如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，DE ∥AC ，CE ∥BD. (1)求证：四边形OCED 为菱形；(2)连接AE ，BE.AE 与BE 相等吗？请说明理由.解：(1)证明：∵DE ∥AC ，CE ∥BD ，∴四边形OCED 是平行四边形. ∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD 且AC ，BD 互相平分.∴OC ＝12AC ＝12BD ＝OD. ∴四边形OCED 是菱形. (2)AE ＝BE.理由：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，∠ADC ＝∠BCD ＝90°. 由(1)知四边形OCED 是菱形，∴DE ＝CE ，∠EDC ＝∠ECD.∴∠ADE＝∠BCE.在△ADE和△BCE中，{AD＝BC，∠ADE＝∠BCE，DE＝CE，∴△ADE≌△BCE(SAS).∴AE＝BE.24.(10分)某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元.少元？解：根据题意，得80×200＋(80－x)(200＋10x)＋40[800－200－(200＋10x)]－50×800＝9 000.整理，得x2－20x＋100＝0.解得x1＝x2＝10.当x＝10时，80－x＝70>50.所以第二个月的单价应是70元.25.(12分)已知O为正方形ABCD的中心，M为射线OD上一动点(M与点O，D 不重合)，以线段AM为一边作正方形AMEF，连接FD.(1)当点M在线段OD上时(如图1)，线段BM与DF有怎样的数量及位置关系？请说明理由；(2)当点M在线段OD的延长线上时(如图2)，(1)中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由.解：(1)BM＝DF，BM⊥DF.理由：∵四边形ABCD，AMEF均为正方形，∴AF＝AM，AD＝AB，∠FAM＝∠DAB＝90°，∴∠FAM－∠DAM＝∠DAB－∠DAM，即∠FAD＝∠MAB.在△FAD 和△MAB 中，⎩⎨⎧AF ＝AM ，∠FAD ＝∠MAB ，AD ＝AB ，∴△FAD ≌△MAB(SAS )，∴BM ＝DF ，∠FDA ＝∠ABD ＝45°.∵∠ADB ＝45°，∴∠FDB ＝45°＋45°＝90°.∴BM ⊥DF ，即BM ＝DF ，BM ⊥DF. (2)BM ＝DF ，BM ⊥DF 仍然成立，理由：∵四边形ABCD 和AMEF 均为正方形，∴AB ＝AD ，AM ＝AF ，∠BAD ＝∠MAF ＝90°，∴∠FAM ＋∠DAM ＝∠DAB ＋∠DAM ，即∠FAD ＝∠MAB.在△FAD 和△MAB 中，⎩⎨⎧AF ＝AM ，∠FAD ＝∠MAB ，AD ＝AB ，∴△FAD ≌△MAB(SAS )，∴BM ＝DF ，∠ABM ＝∠ADF. 由正方形ABCD 知，∠ABM ＝∠ADB ＝45°， ∴∠BDF ＝∠ADB ＋∠ADF ＝90°，即BM ⊥DF. ∴(1)中的结论仍成立.。

北师大版九年级上册数学期中测试题附答案(满分：120分 考试时间：120分钟)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)1．下列对方程2x 2－7x －1＝0的变形，正确的是( B ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋742＝5716 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －742＝5716 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －742＝4116 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋742＝4116 2．如图，要证明平行四边形ABCD 为正方形，那么我们需要在四边形ABCD 是平行四边形的基础上，进一步证明( B )A ．AB ＝AD 且AC ⊥BDB ．AB ＝AD 且AC ＝BDC ．∠BAD ＝∠ABC 且AC ＝BDD ．AC 和BD 互相垂直平分第2题图第5题图第6题图3．若关于x 的一元二次方程x (x ＋1)＋ax ＝0有两个相等的实数根，则实数a 的值为( A )A ．－1B ．1C ．－2或2D ．－3或1 4．将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”的概率是(B)A.18 B.16 C.14 D.125．如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，EF⊥AD交AD于点F，若EF＝3，AE＝5，则AD等于(C) A．5 B．6 C．7 D．86．如图，正方形ABCD中，点E在AB上，且BE＝14AB，点F是BC的中点，点G是DE的中点，延长DF，与AB的延长线交于点H，以下四个结论：①FG＝12EH；②△DFE是直角三角形；③FG＝12DE；④DE＝EB＋BC.其中正确结论的个数是(D)A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．方程(3x－1)(2x＋4)＝2化为一般形式是__3x2＋5x－3＝0__，其中二次项系数为__3__，一次项系数为__5__．8．今年某市中考增加了体育测试科目，考生考试顺序和考试项目(考生从考试的各个项目中抽取一项作为考试项目)由抽签的方式决定，具体操作流程：①每位考生从写有A，B，C的三个小球中随机抽取一个小球确定考试组别；②再从写有“引体向上”“立定跳远”“800米”的抽签纸中抽取一个考试项目进行测试，则考生小明抽到A组“引体向上”的概率是1 9．9．某学校准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长30 cm、宽20 cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为x cm，则列方程并整理成一般形式为__x2＋25x－150＝0__．10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝10，AD平分∠BAC 交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为17 .第10题图第11题图第12题图11．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的12．如图，正方形ABCD的边长为3 cm，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD，BC 相交于点P，Q.若PQ＝AE，则AP＝2或1 cm.三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．解下列方程：(1)(x－1)(x＋2)＝2(x＋2)；解：x1＝－2，x2＝3.(2)x(2x－4)＝5－8x.解：x1＝－1＋14 2，x2＝－1－14 2.14．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，AB ＝5，BC＝12，AC＝13.求证：四边形ABCD是矩形．证明：∵AB∥CD，∠BAD＝90°，∴∠ADC＝90°.∵在△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，满足AC2＝AB2＋BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，∴四边形ABCD 是矩形．15.《算学宝鉴》全称《新集通证古今算学宝鉴》，完成于明嘉靖三年(1524年)，王文素著，全书12本42卷，近50万字，代表了我国明代数学的最高水平．《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长十二步，问长阔各几何？”译文：一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽是多少步？请你解决这个问题．解：设矩形长为x步，宽为(x－12)步，依题意得x(x－12)＝864，即x2－12x－864＝0，解得x1＝36，x2＝－24(舍)．∴x－12＝24.答：该矩形长为36步，宽为24步．16．如图是由相同的小正方形组成的网格，A，B两点都在小正方形的顶点上．现请你在图①，图②中各画一个以A，B，C，D为顶点的菱形．要求：(1)顶点C，D在小正方形的顶点上；(2)工具只有无刻度的直尺；(3)所画的两个菱形不全等．解：答案不唯一，可参考图①、图②.17．(2018·曲靖)数学课上，李老师准备了四张背面看上去无差别的卡片A，B，C，D，每张卡片的正面标有字母a，b，c表示三条线段(如图)，把四张卡片背面朝上放在桌面上，李老师从这四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张．(1)用树状图或者列表表示所有可能出现的结果；(2)求抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率．解：(1)∴共有12种情况．(2)∵A，B卡片不能构成三角形；C，D卡片可以构成三角形，∴同时构成三角形的情况需抽到C，D，∴P＝1 6.四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿AC对折，使点B落在B′处，AB′和CD相交于点O.(1)求证：OA＝OC；(2)过O点作OE⊥AC交AB于E点，连接CE，求证：四边形OAEC是菱形．证明：(1)∵△AB′C是由△ABC沿AC对折得到的图形，∴∠BAC＝∠B′AC.∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∴∠DCA＝∠B′AC，∴OA＝OC；(2)∵∠BAC＝∠B′AC，OE⊥AC，∴AC垂直平分OE.∵OA ＝OC，∴OE垂直平分AC，∴AC与OE互相垂直平分，∴四边形OAEC是菱形．19．E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F，G.求证：(1)四边形CFEG是矩形；(2)AE＝FG.证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，EF⊥BC，EG⊥CD，∴∠GCF＝∠CFE＝∠CGE＝90°，∴四边形EFCG为矩形；(2)连接EC.∵四边形EFCG为矩形，∴FG＝CE.又∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ABE＝∠CBE.在△ABE和△CBE中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝BE ，∠ABE ＝∠CBE ，AB ＝BC ，∴△ABE ≌△CBE(SAS)．∴AE ＝EC ，∴AE ＝FG.20．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克 3.2元的单价对外批发销售．(1)求平均每次下调的百分率；(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠，并说明理由．解：(1)设平均每次下调的百分率为x ，依题意得5(1－x )2＝3.2，解这个方程，得x 1＝0.2，x 2＝1.8(舍去)，即平均每次下调的百分率是20%；(2)小华选择方案一购买更优惠，方案一所需要费用为3.2×0.9×5 000＝14 400 元，方案二所需费用为3.2×5 000－200×5＝15 000 元，∵14 400<15 000，∴小华选择方案一购买更优惠．五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．已知关于x的方程(m－1)x2－x－2＝0.(1)若x＝－1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根；(2)当m为何实数时，方程有两个实数根？(3)若x1，x2是方程的两个根，且x21x2＋x1x22＝－18，试求实数m的值．解：(1)∵x＝－1是方程的一个根，∴m－1＋1－2＝0，则m ＝2.∴原方程为x2－x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－1.∴m＝2，方程的另一根是x＝2；(2)依题意得Δ＝1＋8(m－1)＝8m－7≥0，∴m≥78.又m－1≠0，∴m≠1.故当m≥78且m≠1时，方程有两个实数根；(3)x21x2＋x1x22＝x1x2(x1＋x2)＝－2m－1·1m－1＝－18，整理得(m－1)2＝16，∴m1＝5，m2＝－3.又m≥78，∴m＝5.22．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO.又∵△ACE是等边三角形，∴EO⊥AC，即DB⊥AC，∴平行四边形ABCD是菱形；(2)∵△ACE是等边三角形，∴∠AEC＝60°.∵EO⊥AC，∴∠AEO＝30°.∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°，∴∠ADO＝∠EAD＋∠AED＝45°.∵AC⊥BD，∴AO＝OD.又∵AO＝12AC，OD＝12BD，∴AC＝BD.又∵四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是正方形．六、(本大题共12分)23．(2018·襄阳)如图①，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F.(1)证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：AGBE的值为________．(2)探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α(0°<α<45°)，如图②所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；(3)拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图③所示，延长CG交AD于点H.若AG＝6，GH＝22，则BC＝________．解：(1)①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°.∵GE⊥BC，GF⊥CD，∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°.∴EG＝EC.∴四边形CEGF是正方形．②2(2)连接CG，由旋转的性质可知∠BCE＝∠ACG＝α.在Rt△CEG和Rt△CBA中，CE CG＝2 2，CB CA＝22，∴CGCE＝CABE＝2，∴△ACG∽△BCE.∴AGBE＝CACB＝2，∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝2BE.(3)35。