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![五年级奥数题解第二讲《不规则图形面积的计算(二)》[1]](https://img.taocdn.com/s1/m/a6f6887aa26925c52cc5bf54.png)
第二讲不规则图形面积的计算（二）不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理”合并使用才能解决。
例1：如下图（1），在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆，求阴影部分的面积。
(1)(2)解法一：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到图（2）。
这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面积相等。
所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。
解法二：将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如图（3）所示。
阴影部分的面积是正方形面积的一半。
(3)(4)解法三：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如图（4）所示。
阴影部分的面积是正方形的一半。
例2：如下图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。
解：由容斥原理，S阴影=S扇形ACB＋S扇形ACD－S正方形ABCD=4π×AB2×2－AB2=4π×42×2－42=16×（2π－1）≈16×2214.3-=9.12（平方厘米）。
例3：如下图，矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=4厘米，扇形ABE半径AE=6厘米，扇形CBF的半径CB=4厘米。
求阴影部分的面积。
EB解：S阴景=S扇形ABE＋S扇形CBF－S矩形ABCD=41×π×62＋41×π×42－6×4=41×π（36＋16）－24=13π－24=15（平方厘米）（取π=3）例4：如下图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB=20厘米，如果阴影（1）的面积比阴影（2）的面积大7平方厘米，求BC长。
加油站
C B
答案：1
【例6】（★★★★）（北大附中“资优博雅杯”数学竞赛）（2）如图，阴影正方形的顶点分别是大正方形
各边的中点，分别以大正方形各边的一半为直径向外
各边的中点分别以大正方形各边的一半为直径向外
做半圆，再分别以阴影正方形的各边为直径向外作半
圆，形成个月牙形个月牙形
圆，形成8个“月牙形”。
这8个“月牙形”的总面积
为32平方厘米，问大正方形EFGH的面积是多少？
A
H
D
加加点睛
三个转化：化未知为已知；
化不规则为规则；为不可求为可求
四个基本方法：割补、变换、
差不变、整体、
重点例题：例1，例2，例3，例4，例5。
第15讲：圆与扇形内容概述掌握圆与扇形的基本概念和性质，以及它们的周长和面积计算公式，并能熟练运用公式处理相关的几何问题；学习如何利用割补法和包含排除的思想计算图形中特定部分的面积；学会分析几何图形的运动过程，并由此得出点的轨迹和图形扫过的区域。
典型问题兴趣篇1.已知一个扇形的圆心角为120︒，半径为2，这个扇形的面积和周长各是多少？（π取3.14）2.已知一个扇形面积为18.84平方厘米，圆心角为60︒，这个扇形的半径和周长是多少？（π取3.14）3.（1）根据图15-1所给的数值，求这个图形的外周长和面积。
（π取3.14）（2）如图15-2，有8个半径为1厘米的小圆，用它们圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心。
如果圆周率π取3.14，那么花瓣图形的周长和面积分别是多少？4.如图15-3，求各图形中阴部分的面积。
（图中长度单位为厘米，π取3.14）5.如图15-4，求各图中阴部部分的面积。
（图中长度单位为厘米，π取3.14）6.图15-5中甲区域比乙区域的面积大57平方厘米，且半圆的半径是10厘米。
其中直角三角形竖起的直角边的长度是多少？（π取3.14）7.求图15-6中阴影部分的面积。
（π取3.14）8.如图15-7，在33⨯的方格表中，分别以、A E 为圆心，3、2为半径，画出圆心角都是90︒的两段圆弧。
图中阴影部分的面积是多少？（π取3.14）9.如图15-8，在一块面积为36平方厘米的圆形铝板中，裁出了7个同样大小的圆铝板。
问：余下的边角料的总面积是多少平方厘米？10.一条直线上放着一个长和宽分别为4厘米和3厘米的长方形Ⅰ（图15-9）。
让这个长方形绕顶点B 顺时针旋转90︒后到达长方形Ⅱ的位置，这样连续做三次，A 点到达E 点的位置。
求A 点经过的总路程的长度。
（圆周率按3计算）拓展篇1.（1）已知一个扇形的半径为2厘米，弧长为3.14，这个扇形的面积是多少？ （2）已知一个半圆形的面积是56.52平方厘米，求这个半圆形的周长。
![第二讲圆和扇形的周长与面积学案及详解[六年级秋]](https://img.taocdn.com/s1/m/100c3e80f524ccbff121843f.png)
第二讲图形问题(二)————圆的周长与面积知识导航一、概念。
圆：到定点等于定长的点的集合叫做圆，其中定点叫做圆心，圆心用字母O表示。
圆的半径：从圆心到圆上任意一点之间的线段叫做圆的半径，用字母r表示。
在同一个圆中有无数条半径，所有半径长度都相等。
圆的直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径，直径用字母d表示。
在同一个圆里有无数条直径，所有直径长度都相等。
圆周率：圆的周长与它的直径的比值叫做圆周率，用字母π表示。
它是一个固定的数，是一个无限不循环小数（即无理数）。
圆的周长：围成圆的曲线的长叫做圆的周长。
圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。
圆是轴对称图形，圆的直径所在的直线就是圆的对称轴，它有无数条对称轴。
二、常用公式。
用字母C、S分别表示圆的周长与面积，计算公式可以表示为：C=πd或C=2πr S=πr²三、解题策略数形结合、代换……精典例题例1：把一个圆切拼成一个宽等于半径的近似长方形后，周长增加12cm，那么这个圆的面积与周长各是多少？(2007年成都七中育才学校东区衔接班招生考试题1)思路点拨想一想：你能画出切拼图吗？并在图上标出切拼图与圆的关系吗？模仿练习把一个圆切拼成一个宽等于半径的近似长方形后，这个长方形的周长是33.12cm，那么这个圆的面积与周长各是多少？例2：在一个面积为20cm²的正方形中画一个最大的圆，这个圆的面积是多少？思路点拨想一想：在一个正方形中画一个最大的圆，这个圆与正方形有什么关系？如果从另一个角度想：要求圆的面积必须知道的最直接的条件是什么？友情提示：所谓的最直接的条件，就是指知道后可以只用一步计算就能回答问题的。
模仿练习在一个正方形中画一个最大的圆，这个最大圆的面积是15.7cm²，那么这个正方形的面积是多少？例3：图中阴影部分的面积是4cm²，环形面积是多少？(2004年成都七中育才东区初中招生考试题)思路点拨想一想：难吧！其实不难，把问题想简单一点儿！什么叫做圆环，圆环的面积怎么计算？想清楚后，你会发现这道题格外的简单！模仿练习如图，阴影部分的面积是60cm²，那么圆环的面积是多少？例4：如图所示，已知正方形的边长是3cm，那么阴影部分的面积是多少？思路点拨想一想，计算阴影部分面积的基本方法是什么？你认为关键是要先求出什么？现在你可以计算了吗？再想一想，还有没有更巧的方法呢？模仿练习已知下图长方形的长宽分别是6cm、4cm，分别以长、宽为半径作了两个直角扇形，计算阴影部分的面积。
圆和扇形的周长与面积(二)本讲主线1. 不规则图形的求解4. 其他相关扇形:2. 差不变和等积变形弓形＝扇形－△弯角=正方形-扇形.r2. 圆的面积：S=πr2谷子=弓形面积×23. 扇形：在圆的基础上×360120°5 5【例2】(★★★)板块一:不规则图形的常用解法求图中阴影部分的面积。
（π取3）如图， ABCD是正方形，且 FA＝AD＝DE＝1，求阴影部分的面积。
(π取3.14 ) 45°45°20cm1【例4】(★★★)板块二:差不变和等积变形如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分【例3】(★★★☆)面积是多少？(圆周率取 3.14)DE 在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差。
(圆周率取3 )AC FB【例5】(★★★★)如图，矩形ABCD中，AB＝ 6厘米，BC＝ 4厘米，扇形ABE 半径AE ＝6厘米，扇形CBF 的半径CB＝ 4厘米，求阴影部分的面积。
（π取3）5. 圆中的直角三角形：顶点在圆上，并且经过圆心的三角形是直角三.C△ABC中，∠C＝90°r B【超常大挑战】(★★★★)已知AB、AC、BC分别为3个半圆的直径. 请证明：阴影部分的面积＝△ABC的面积. AB C 2知识大总结【今日讲题】1. 公式：圆＝π×r2n扇形＝圆×3602. 基本模型：弓形，弯角，谷子3. 不规则图形：割补、平移、旋转、对称4. 两个考点：⑴同加同减差不变⑵等积变形5. 一个模型：两个月亮换个三角A例1~超常大挑战【讲题心得】____________________________________________________________【家长评价】______________________________________________________________B C3。
第一讲：分数计算技巧（裂项）第二讲：分数计算技巧第三讲：圆和扇形的周长与面积（一）第四讲：圆和扇形的周长与面积（二）第五讲：分数应用题第六讲：燕尾模型第七讲：工程问题第八讲：因数与倍数——公因数公倍数第九讲：解分数系数方程第十讲：列分数系数方程解应第十一讲：多人相遇与追及第十二讲：多人相遇与追及第十三讲：因数与倍数——约数倍数综合运用第十四讲：游戏与对策（二）——数论类游戏第十五讲：比例应用题（一）——份数的应用第十六讲;完全平方数（一）第十七讲：数字谜综合（一）第十八讲：完全平方数（二）第十九讲：进位制与位值原第二十讲：本期重、难点归(美国长岛小学数学竞赛)111111223344556++++⨯⨯⨯⨯⨯(第五届《小数报》数学竞赛初赛计算题第3题)计算11111123420261220420+++++111111118244880120168224288+++++++(2009年迎春杯初赛六年级)计算111125=1335572325⎛⎫⨯++++⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭(第三届祖冲之杯邀请赛填空题第12题、人大附中入学测试题) 计算36579111357612203042++++++计算57911131517191612203042567290-+-+-+-+知识小结：1．黄金数列2．裂差：先裂再碎，掐头去尾。
抵消3．裂和凑整在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节！1．1111112612203042+++++A．167B．117C．17D．672．111111112345676122030425672++++++A．12818B．72718C．12918D．728183．11111111111111 3610152128364555667891105120+++++++++++++A．18B．98C．78D．7104．2222......1335579799++++⨯⨯⨯⨯A．9899B．98199C．199D．11995．12＋56＋1112＋……＋109110A．101011B．91011C．9111D．101116．179111315131220304256-+-+-A．18B．98C．78D．710(10＋876＋312)×(876＋312＋918)－(10＋876＋312＋918) ×(876＋312)2009年第14届华杯赛决赛试题C 卷1111111111111111())()5791179111357911137911+++⨯+++-++++⨯++（）（1．(迎春杯竞赛试题)1111111111112200723200822008232007⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯+++-+++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2．(迎春杯竞赛试题)621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(祖冲之杯竞赛试题)111111212312100++++++++++1＋2＋4＋8＋…＋512 ＝？知识小结：1、换元抵销法2、通项抵消找规律3、借来还去在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节！1．(1＋0.12＋0.23)⨯(0.12＋0.23＋0.34)－(1＋0.12＋0.23＋0.34)⨯(0.12＋0.23) A．0.12 B．0.34 C．0.23 D．0.562．11111111111111(1)()(1)()23423452345234+++⨯+++-++++⨯++A．12B．13C．14D．153．321345432345432123321345432123345432 ()()()() 123234543234543321123234543321234543 ++⨯++-+++⨯+ A．1 B．2 C．3 D．44．573734573473()()()() 123217321713123217133217 ++⨯++-+++⨯+A．512B．413C．395D．5265．11111212312341299+++⋅⋅⋅+++++++++⋅⋅⋅+A．14950B．1150C．4950D．11506．计算：12＋14＋18＋116＋132＋164A．16364B．1164C．6364D．164圆是最美的图形1．圆上各点到圆心的距离相等。
