一类带两个形状参数的三次Bézier曲线

二次贝塞尔曲线三次贝塞尔曲线
摘要：
一、二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线的定义
二、二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线的性质
三、二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线在实际应用中的区别和联系
正文：
二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线是数学中常见的曲线类型，它们都属于贝塞尔曲线的一种。

一、定义
二次贝塞尔曲线，又称椭圆，是平面内到两个固定点F1、F2 的距离之和为常数2a 的点的轨迹。

三次贝塞尔曲线，又称双曲线，是平面内到两个固定点F1、F2 的距离之差为常数2a 的点的轨迹。

二、性质
二次贝塞尔曲线的性质包括：1.焦点到椭圆上任一点的距离之和为常数；
2.椭圆的离心率小于1；
3.椭圆的面积公式为S=πab。

三次贝塞尔曲线的性质包括：1.焦点到双曲线上任一点的距离之差为常数；2.双曲线的离心率大于1；3.双曲线的面积公式为
S=πab/√(a^2+b^2)。

三、实际应用
二次贝塞尔曲线在实际应用中常用于绘制圆润的图形，如在计算机图形学
中用于绘制光滑的曲线和表面。

而三次贝塞尔曲线在实际应用中则常用于表示两个变量之间的关系，如在物理学中用于描述电磁波的传播。

二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线虽然都属于贝塞尔曲线，但在性质和应用上存在明显的区别。

Bezier曲线原理及实现代码（c++）一、原理：贝塞尔曲线于1962年，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。

贝塞尔曲线最初由Paul de Casteljau于1959年运用de Casteljau 算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。

线性贝塞尔曲线给定点P0、P1，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。

这条线由下式给出：且其等同于线性插值。

二次方贝塞尔曲线的路径由给定点P0、P1、P2的函数B(t) 追踪：。

TrueType字型就运用了以贝塞尔样条组成的二次贝塞尔曲线。

P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。

曲线起始于P0走向P1，并从P2的方向来到P3。

一般不会经过P1或P2；这两个点只是在那里提供方向资讯。

P0和P1之间的间距，决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的“长度有多长”。

曲线的参数形式为：。

现代的成象系统，如PostScript、Asymptote和Metafont，运用了以贝塞尔样条组成的三次贝塞尔曲线，用来描绘曲线轮廓。

一般化P0、P1、…、P n，其贝塞尔曲线即。

例如：。

如上公式可如下递归表达：用表示由点P0、P1、…、P n所决定的贝塞尔曲线。

则用平常话来说，阶贝塞尔曲线之间的插值。

一些关于参数曲线的术语，有即多项式又称作n阶的伯恩斯坦基底多项式，定义00 = 1。

点P i称作贝塞尔曲线的控制点。

多边形以带有线的贝塞尔点连接而成，起始于P0并以P n终止，称作贝塞尔多边形（或控制多边形）。

贝塞尔多边形的凸包（convex hull）包含有贝塞尔曲线。

线性贝塞尔曲线函数中的 t 会经过由 P 0 至P 1 的 B(t ) 所描述的曲线。

例如当 t=0.25 时，B(t ) 即一条由点 P 0 至 P 1 路径的四分之一处。

就像由 0 至 1 的连续 t ，B(t ) 描述一条由 P 0 至 P 1 的直线。

三次可展Bezier曲面的构造顾春燕;林意【摘要】可展曲面在很多的工程领域里，尤其在机械工程设计中有着重要的作用，例如飞机机翼、汽车车身、船体、鞋和服装等的设计与制造等。

在空间的一平面上分别生成2条3次Bezier曲线，该平面绕一固定轴旋转不同角度，生成两个相交的平面，这2条3次Bezier曲线跟随旋转，分别位于两相交平面上，并由这两条曲线生成直纹面。

根据直纹面可展的充要条件，求解出未知的设计曲线和伴随曲线的控制顶点，最终生成3次可展Bezier曲面。

%Developable surfaces have an important role in many engineering fields, especially in the design of mechanical engineering such as aircraft wing, auto body, hull, shoes and clothing. In the three-dimensional space, two cubic Bezier curves are generated in a plane. The plane rotates different angles by a fixed axis to generate two intersecting planes. The two cubic Bezier curves located on the two intersecting planes follow the plane rotating. Then, a ruled surface is generated. According to the necessary and sufficient conditions of developable ruled surface, the unknown control vertices of design curve and accompanied curve are calculated. Finally, developable cubic Bezier surfaces are generated.【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2014(000)017【总页数】4页(P169-172)【关键词】Bezier曲线;可展曲面;Bezier曲面;直纹面;控制顶点【作者】顾春燕;林意【作者单位】江南大学数字媒体学院，江苏无锡 214122;江南大学数字媒体学院，江苏无锡 214122【正文语种】中文【中图分类】TP391可展曲面在很多的工程领域里，尤其在机械工程设计中有着重要的作用，例如飞机机翼、汽车车身、船体、鞋和服装、管道等的设计与制造等，可用若干可展曲面片拼装而成。

二次贝塞尔曲线三次贝塞尔曲线在使用贝塞尔曲线进行设计和绘制时，常常会遇到二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线。

这两种曲线在计算机图形学和数字图形处理中有着广泛的应用，深入了解二次和三次贝塞尔曲线的特性和用法，对于设计师和工程师来说都是非常重要的。

在本文中，我将从深度和广度两方面对二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线进行全面评估，希望能够帮助你更好地理解和应用这两种曲线。

一、二次贝塞尔曲线1. 什么是二次贝塞尔曲线？二次贝塞尔曲线是由两个锚点和一个控制点所确定的曲线。

在计算机绘图中，我们通常会使用二次贝塞尔曲线来绘制简单的曲线，比如绘制圆角矩形或者平滑的曲线。

在数学上，二次贝塞尔曲线可以通过如下公式表示：$$B(t) = (1-t)^2P0 + 2(1-t)tP1 + t^2P2$$其中，P0、P1和P2分别是起始点、控制点和结束点，t的取值范围是[0, 1]。

通过调整控制点的位置，我们可以控制二次贝塞尔曲线的形状，使其能够满足我们的设计需求。

2. 二次贝塞尔曲线的特点二次贝塞尔曲线具有以下几个特点：（1）二次贝塞尔曲线是二阶曲线，其曲线段通常比较简单，适合用来描述相对简单的曲线轮廓。

（2）通过调整控制点的位置，可以在曲线上获得平滑的曲线段，并且可以轻松实现对曲线的形变和变形。

（3）二次贝塞尔曲线的数学表达式相对简单，计算成本低，适合用于实时图形交互和动画设计中。

二、三次贝塞尔曲线1. 什么是三次贝塞尔曲线？三次贝塞尔曲线是由三个锚点和两个控制点所确定的曲线。

与二次贝塞尔曲线相比，三次贝塞尔曲线能够更加灵活地描述复杂的曲线轮廓，通常被广泛应用于图形设计、动画制作和工程建模等领域。

在数学上，三次贝塞尔曲线可以通过如下公式表示：$$B(t) = (1-t)^3P0 + 3(1-t)^2tP1 + 3(1-t)t^2P2 + t^3P3$$其中，P0、P1、P2和P3分别是起始点、两个控制点和结束点，t的取值范围同样是[0, 1]。

creator 贝塞尔曲线
贝塞尔曲线是指一种特殊的数学曲线，由法国数学家皮埃尔·贝塞尔于20世纪30年代提出。

这种曲线可以被用于计算机图形学中，用于绘制平滑的曲线和曲面，被广泛地应用于计算机图形、动画、视频编辑、工业设计等领域。

贝塞尔曲线的特点是由控制点和节点组成，其形状可以通过调整控制点来改变。

贝塞尔曲线有三种类型：一次贝塞尔曲线、二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线。

其中，一次贝塞尔曲线是线性曲线，二次贝塞尔曲线是平滑曲线，三次贝塞尔曲线更加平滑而且更加常用。

贝塞尔曲线的应用非常广泛，例如在计算机图形学中，可以用贝塞尔曲线来绘制平滑的曲线和曲面，如画贝塞尔曲线的工具、字体设计、3D建模等。

此外，在工业设计中，也可以使用贝塞尔曲线来设计产品的外形和曲线。

在电影和电视行业中，贝塞尔曲线也经常被用来制作特效和动画。

总之，贝塞尔曲线是一种非常重要的数学曲线，被广泛地应用于各种领域，对于计算机图形学和工业设计等领域的发展起到了重要的推动作用。

- 1 -。

n次Bezier曲线是计算机图形学和计算机辅助设计中常见的一种曲线表示方法，它可以用来描述平滑的曲线轨迹。

它的数学表达式可以通过一些简单的数学运算来得到，下面我们将详细介绍n次Bezier曲线的数学表达式。

1. 一次Bezier曲线的数学表达式假设有两个控制点P0和P1，那么一次Bezier曲线的数学表达式为：B(t) = (1-t) * P0 + t * P1, 0 <= t <= 12. 二次Bezier曲线的数学表达式假设有三个控制点P0、P1和P2，那么二次Bezier曲线的数学表达式为：B(t) = (1-t)^2 * P0 + 2 * t * (1-t) * P1 + t^2 * P2, 0 <= t <= 13. 三次Bezier曲线的数学表达式假设有四个控制点P0、P1、P2和P3，那么三次Bezier曲线的数学表达式为：B(t) = (1-t)^3 * P0 + 3 * t * (1-t)^2 * P1 + 3 * t^2 * (1-t) * P2 + t^3 * P3, 0 <= t <= 14. 一般情况下的n次Bezier曲线的数学表达式对于一般情况下的n次Bezier曲线，其数学表达式可以通过递归的方式来计算，具体而言，它的数学表达式为：B(t) = Σ(i=0, n) C(n, i) * (1-t)^(n-i) * t^i * Pi, 0 <= t <= 1其中，C(n, i)表示组合数，其计算公式为：C(n, i) = n! / (i! * (n-i)!)5. 数学表达式的意义通过上述的数学表达式，我们可以看出，n次Bezier曲线的数学表达式是基于控制点和参数t的多项式表达式。

在计算机图形学和计算机辅助设计中，我们可以通过调整控制点的位置和参数t的取值，来获得不同形状的曲线。

6. 总结通过本文的介绍，我们了解了n次Bezier曲线的数学表达式，以及它的计算方法。

在计算三次Bezier曲线控制点时，我们需要首先了解什么是Bezier曲线和它的控制点。

Bezier曲线是一种常用的曲线插值方法，它由起始点、结束点和控制点组成。

三次Bezier曲线由四个点控制，分别是起始点P0，结束点P3，以及两个控制点P1和P2。

计算这些控制点的位置是为了确定曲线的形状和路径。

1. 理解Bezier曲线我们需要理解Bezier曲线的基本原理。

Bezier曲线是通过多个控制点插值计算出来的曲线，其中三次Bezier曲线的数学表达式为：\[B(t) = (1-t)^3*P0 + 3*(1-t)^2*t*P1 + 3*(1-t)*t^2*P2 + t^3*P3 \]在这个公式中，\(t\) 是曲线的参数，取值范围在0到1之间。

\(P0\) 到 \(P3\) 分别是起始点、结束点和两个控制点。

2. 计算控制点针对三次Bezier曲线，我们需要计算出控制点 \(P1\) 和 \(P2\) 的具体位置。

这个过程可以通过各种不同的方法来实现，其中一种常用的方法是通过参数化的方式来计算。

- 参数化计算参数化的计算方法是通过设定特定的参数值来计算控制点的位置。

一种常用的参数化计算方法是通过离散化的方式，将曲线按一定的步长进行分割，然后根据每个分割点的位置来计算出对应的控制点。

这种方法的优势在于可以灵活地控制曲线的形状和路径，同时也比较容易理解和实现。

但是在实际应用中，可能需要根据具体情况来选择不同的参数化方法，以获得更好的效果。

3. 个人观点和总结对于三次Bezier曲线控制点的计算，我个人认为在实际应用中需要根据具体情况来选择合适的计算方法。

在计算过程中需要考虑到曲线的平滑度、路径和形状，以达到更好的效果。

三次Bezier曲线控制点的计算是一个重要且复杂的问题，需要综合考虑数学、计算机图形学和实际应用等方面的知识。

通过深入研究和实践，我们可以更好地掌握这个技术，并将其运用到实际的项目中。

三次Bezier曲线是一种重要的数学工具，在计算机图形学、工程建模和动画制作等领域都有着广泛的应用。

有理三次Bezier曲线表示圆弧是一种实用方法。

这种方法基于三次Bezier曲线的性质，可以在满足有理性的前提下近似地表示圆弧。

具体来说，有理三次Bezier曲线表示圆弧的方法是将圆弧分成若干个三次Bezier曲线段。

每个曲线段都由三个控制点构成，其中两个控制点在圆弧上，第三个控制点在圆心。

这样，就可以通过连接这些三次Bezier曲线段来近似地表示圆弧。

这种方法有一些优点，如：
●有理性：由于每个曲线段都由三个控制点构成，且两个控制点在圆弧上，所以可以保证
曲线段的有理性。

●近似精度高：由于可以将圆弧分成若干个曲线段，所以可以通过增加曲线段的数量来提
高近似精度。

●简单实用：这种方法易于实现，并且可以应用于各种场合。

不过这种方法也有一些缺点，如：
●计算量大：由于需要计算若干个曲线段，所以计算量比较大。

●不能精确表示圆弧：在某些情况下，由于近似性质，这种方法不能精确表示圆弧，有一
定的误差。

●控制点数多：每个曲线段都需要三个控制点，如果圆弧分成多个曲线段，控制点数就会
增多。

总之，有理三次Bezier曲线表示圆弧是一种实用方法，适用于许多场合，但也有一些缺点需要注意。

马素静，刘旭敏：带形状参数的三次TC-B ézier 曲线2009,30(5)11510引言曲线曲面设计是计算机辅助几何设计和计算机图形学的一个重要研究课题，NURBS 方法是曲线曲面设计比较成熟的方法具有很多优势，但NURBS 方法在形状设计和分析中也存在着一些局限性[1]，如求导、积分、权因子选取、不能表示超越曲线等。

鉴于NURBS 模型存在的局限性，为了保持其良好的几何性质，克服其不足，一些新的曲线曲面模型应运而生。

在这些模型中，值得一提的是基于多项式和非多项式混合空间上的曲线曲面模型，称为混合曲线曲面模型。

这些模型不仅继承了多项式样条的优点，还避免了使用NURBS 时产生的缺点。

目前，混合模型的研究主要集中在三角函数空间、双曲函数空间、基于分段的均匀B 样条等几个方面。

工业技术的迅速发展对自由曲线曲面技术不断提出新问题，现代工业应用领域对于自由曲线曲面都有着近似的严格要求：精度标准高，表面质量好，整体光顺性佳。

与此同时，自由曲线曲面还需要满足不同产品各自的功能指标。

而通用CAD/CAM 系统中一次性生成的自由曲线曲面通常很难达到以上的全部要求，为此，需要针对工业设计的实际需求，对曲线曲面进行功能驱动的微小幅度调整。

签于这些问题，本文提出了基于三角函数空间的新模型--带形状参数的三次TC-B ézier 曲线，新模型引入了形状控制参数可以实现对曲线曲面的微调。

同时，本文从工程应用的角度出发，对新模型的具体应用进行了一定研究。

1曲线的结构及性质定义1对，的三角多项式｛=11+sin1,31+sin sin 2=1+3,3+cos2为带参数1≤的三次TC-B ézier 曲线。

的值越大曲线越逼近控制多边形。

同时证明了几种有实际应用价值的曲线(椭圆弧、花瓣)可以用带形状参数三次TC-B ézier 曲线的形式精确表示。

还给出了带参数三次TC-B ézier 曲线间的ａｆｆｅｃｔｓｇｅｏｍｅｔｒｉｃｐｒｏｐｅｒｔｙｏｆｃｕｒｖｅｓ，ｔｈｅｌａｒｇｅｒｉｓ1condition of cubic TC-B ézier curvesand example in surface modeling are presented.The modeling examples illustrate that the new curve is very valuable for computer aided geometric design.Key words ：shape parameter;TC-B ézier curves;ellipse arc;continuity;surface modeling计算机工程与设计Computer Engineering and Design0.20.40.60.81.0图1三次TC-B ézier 基函数1.00.80.60.40.2011522009,30(5)计算机工程与设计Computer Engineering and Design 为的三次TC-Bézier基函数有如下基本性质：性质1正性≤≤1(0,性质3对称性＝;=性质4端点性质01,3===0(3,3=1,,3===0(0,上有一个局部最大值，可通过对基函数求导，只需验证,具有单峰性，因为根据对称性，可知,也有单峰性。