带形状调整参数的一阶三角B样条曲线

B 样条曲线曲面和NURBS 曲线曲面(学习笔记和上机练习)非均匀有理B 样条，通常简称为NURBS(Non-Uniform Rational B-Splines)。

NURBS 是非有理B 样条、有理以及非有理B ézier 曲线曲面的推广。

一、要对B 样条曲线曲面和NURBS 曲线曲面有所了解应先了解B 样条基函数 B 样条基函数的定义和性质令{}m u u u U ,...,,10=是一个实数列，即i u ≤1+i u ，i=0,1,…,m-1。

其中，i u 称为节点，U 称为节点矢量，用)(,u N p i 表示第i 个p 次（p +1阶）B 样条基函数，其定义为⎩⎨⎧=,0,1)(0,u N i 若i u ≤u ＜1+i u 值为1，其他值为0 )()()(1,11111,,u N u u u u u N u u u u u N p i i p i p i p i i p i ip i -++++++-+--+--= (2)由(2)式可知：（1）)(0,u N i 是一个阶梯函数，它在半开区间),[1+∈i i u u u 外都为零； （2）当p ＞0时，)(,u N p i 是两个p -1次基函数的线性组合；（3）计算一组基函数时需要事先指定节点矢量U 和次数p ； （4）（2）式中可能出现0/0，我们规定0/0=0；（5）)(,u N p i 是定义在整个实数轴上的分段多项式函数，只在区间][,0m u u 上有意义； （6）半开区间),[1+i i u u 称为第i 个节点区间，长度可以为零，因相邻节点可以相同； B 样条基函数的一些重要性质：1 如果),[1++∉p i i u u u ，则)(,u N p i =0。

2 对于所有的p i ,和u ，有)(,u N p i ≥0.3 对于任意的节点区间),[1+i i u u ，当),[1+∈i i u u u 时，∑-==ipi j pj u N1)(,。

b样条曲线约束条件
B样条曲线的约束条件包括：
1. 控制点约束：控制点是用来定义B样条曲线形状的点。

通
常情况下，每个控制点都有一个自由度，即可以自由移动控制点来调整曲线的形状。

因此，约束条件可以是控制点的位置或运动范围。

2. 边界约束：B样条曲线可能需要满足一些特定的边界条件。

例如，曲线的起始点和终止点可以被固定在给定的位置，或者可以指定曲线在某个边界点的切线方向。

3. 曲率约束：曲率是曲线在某一点上的弯曲程度，可以用于定义曲线的光滑程度。

曲率约束可以指定在某些点上的曲率值，或者在整个曲线上保持曲率连续。

4. 前后导数约束：为了使曲线更加光滑，可以指定曲线在某些位置的一阶或二阶导数值。

这些导数值可以通过控制点的位置来确定。

5. 节点约束：在B样条曲线中，节点是控制点之间的间隔点。

可以通过约束节点的位置或间隔来调整B样条曲线的形状。

总之，B样条曲线的约束条件可以涉及控制点的位置、边界条件、曲率、导数和节点的位置等方面，具体的约束条件可以根据实际需求来确定。

B样条曲面构建算法设计与实现B样条曲面是一种常用的曲面构建算法，它通过控制点和节点向量来描述曲面的形状，具有良好的局部性和平滑性，被广泛应用于计算机图形学、CAD/CAM系统等领域。

本文将介绍B样条曲面的构建算法设计与实现，包括B样条基函数的计算、曲面的控制点设置、节点向量的确定等关键步骤。

一、B样条基函数的计算B样条曲面的构建首先需要计算B样条基函数，它是描述曲面形状的关键。

B样条基函数的计算采用递归的方法，具体步骤如下：1. 初始化基函数：对于每个控制点Pi和节点向量u，初始化一阶B样条基函数N_i1(u)为：N_i1(u) = {1, 若 u_i <= u < u_i+10, 否则}2. 递归计算高阶基函数：根据一阶基函数递归计算高阶基函数N_ij(u)，其中j为基函数的阶数。

递归计算公式如下：N_ij(u) = ((u - u_i) / (u_i+j-1 - u_i)) * N_i,j-1(u) + ((u_i+j - u) / (u_i+j - u_i+1)) * N_i+1,j-1(u)通过递归计算，可以得到所有的B样条基函数，用于曲面的计算和绘制。

二、曲面的控制点设置B样条曲面的形状受控制点的影响，因此需要合理设置控制点来描述所需的曲面形状。

控制点的设置需要考虑曲面的平滑性和细节，通常采用以下几种方式：1. 均匀设置控制点：在曲面的参数空间内均匀设置控制点，以保证曲面的平滑性和形状。

3. 自适应设置控制点：根据曲面的特性和局部形状需求，自适应设置控制点以满足曲面整体的形状和细节。

通过合理设置控制点，可以实现对曲面形状的有效控制和调整。

三、节点向量的确定2. 非均匀节点向量：根据曲面的具体形状需求，非均匀设置节点向量以调整曲面的细节和曲率。

四、B样条曲面的构建与实现在完成B样条基函数的计算、曲面的控制点设置和节点向量的确定后，即可进行B样条曲面的构建与实现。

具体步骤如下：1. 曲面参数化：首先对曲面的参数空间进行参数化，以方便后续的计算和绘制。

+实验（二）项目名称： B样条曲线几何原理演示一、实验要求在屏幕上使用鼠标左键绘制任意点形成控制多边形，单击鼠标右键绘制三次B样条曲线的程序，同时在控制多边形的每一个控制三角形内显示曲线生成原理，效果如图。

原理：二、实验过程（有关主要代码如下：）bool Flag;//标志CPoint *pt;//顶点int CtrlPoint;//控制多边形顶点//绘制B曲线void CTestView::DrawBSpline(){CClientDC dc(this);int i,rate=10;long lx,ly;double F03,F13,F23,F33;lx=ROUND((pt[0].x+4.0*pt[1].x+pt[2].x)/6.0); ly=ROUND((pt[0].y+4.0*pt[1].y+pt[2].y)/6.0);dc.MoveTo(lx,ly);CPen NewPen(PS_SOLID,1,RGB(0,0,255));CPen *OldPen=dc.SelectObject(&NewPen);for(i=1;i<=CtrlPoint-3;i++){for(double t=0;t<=1;t+=1.0/rate){F03=(-t*t*t+3*t*t-3*t+1)/6;//计算F0,3(t)F13=(3*t*t*t-6*t*t+4)/6;//计算F1,3(t)F23=(-3*t*t*t+3*t*t+3*t+1)/6;//计算F2,3(t)F33=t*t*t/6;//计算B3,3(t)lx=ROUND(pt[i-1].x*F03+pt[i].x*F13+pt[i+1].x*F23+pt[i+2].x*F33);ly=ROUND(pt[i-1].y*F03+pt[i].y*F13+pt[i+1].y*F23+pt[i+2].y*F33);dc.LineTo(lx,ly);Sleep(100);}}dc.SelectObject(OldPen);NewPen.DeleteObject();}//绘制控制多边形void CTestView::DrawCharPolygon(){CClientDC dc(this);CPen MyPen,*pOldPen;MyPen.CreatePen(PS_SOLID,3,RGB(0,0,0));pOldPen=dc.SelectObject(&MyPen);for(int i=0;i<CtrlPoint;i++){if(i==0){dc.MoveTo(pt[i]);dc.Ellipse(pt[i].x-2,pt[i].y-2,pt[i].x+2,pt[i].y+2);}else{dc.LineTo(pt[i]);dc.Ellipse(pt[i].x-2,pt[i].y-2,pt[i].x+2,pt[i].y+2);}}dc.SelectObject(pOldPen);MyPen.DeleteObject();}//获得屏幕控制点坐标void CTestView::OnLButtonDown(UINT nFlags, CPoint point){// TODO: Add your message handler code here and/or call default CView::OnLButtonDown(nFlags, point);if(Flag){pt[CtrlPoint].x=point.x;pt[CtrlPoint].y=point.y;if(CtrlPoint<N_MAX_POINT-1)CtrlPoint++;elseFlag=false;DrawCharPolygon();}}//调用绘制函数void CTestView::OnRButtonDown(UINT nFlags, CPoint point){// TODO: Add your message handler code here and/or call default if(CtrlPoint!=0){Flag=false;DrawBSpline();}CView::OnRButtonDown(nFlags, point);}//绘制绘制几何生成原理图void CTestView::DrawStruct(){CClientDC dc(this);CPen NewPen(PS_DOT,1,RGB(0,0,0));CPen *OldPen=dc.SelectObject(&NewPen);int x,y;for(int i=1;i<=CtrlPoint-2;i++){x=(pt[i-1].x+pt[i+1].x)/2;y=(pt[i-1].y+pt[i+1].y)/2;dc.MoveTo(pt[i].x,pt[i].y);dc.LineTo(x,y);dc.MoveTo(pt[i-1].x,pt[i-1].y);dc.LineTo(pt[i+1].x,pt[i+1].y);}dc.SelectObject(OldPen);NewPen.DeleteObject();}//绘制曲线菜单函数void CTestView::OnMENUBCurve(){// TODO: Add your command handler code hereRedrawWindow();MessageBox("单击左键绘制控制多边形，单击右键绘制曲线","提示",MB_OK);pt=new CPoint[N_MAX_POINT];Flag=true;CtrlPoint=0;}//绘制几何结构菜单函数void CTestView::OnMENUStruct(){// TODO: Add your command handler code hereDrawStruct();}三：实验总结效果图如下点击鼠标左键点击鼠标右键点击绘制结构。

构造带形状参数的二次均匀b样条曲线二次均匀B样条曲线是一种常用的曲线表示方法，用于描绘平滑的曲线形状。

它可以通过一组控制点和一个形状参数来定义，形状参数控制曲线的形状特征，使得可以轻松地调整曲线形状。

在构造带形状参数的二次均匀B样条曲线时，可以按照以下步骤进行。

步骤一：确定控制点首先，我们需要确定一组控制点，这些点将被用来定义曲线形状。

可以根据自己的需求，在二维或三维坐标系中选择适当数量的控制点。

控制点的坐标值将决定曲线的整体形状。

步骤二：计算权重在构造二次均匀B样条曲线时，每个控制点都有一个权重值。

这些权重值决定了曲线在每个控制点处的弯曲程度。

计算权重的方法是将一组权重值分配给每个控制点，使得权重值之和等于1例如，如果我们有4个控制点，可以将权重值分别设置为0.2、0.3、0.4和0.1，或者0.25、0.25、0.25和0.25，总之，它们的和应为1步骤三：计算形状参数形状参数是调整曲线形状的重要参数。

它可以用一个数值来表示，以控制曲线的形状特征。

形状参数可以调整曲线的弯曲程度、曲线的平滑度等。

例如，我们可以使用形状参数来控制曲线的凹凸程度。

较大的形状参数意味着曲线的凹凸程度更大，而较小的形状参数意味着曲线更平缓。

可以根据具体的需求来调整形状参数的数值。

步骤四：计算曲线控制点在确定了控制点、权重和形状参数之后，我们可以通过计算来确定曲线的控制点。

对于每个控制点，我们定义一个参数为u的曲线函数。

通过传入u值来计算曲线在该点的坐标。

通过对所有控制点进行计算，可以得到一组新的控制点，这些控制点将用于构造曲线。

步骤五：构造曲线通过使用新的控制点，我们可以利用二次均匀B样条曲线的数学公式来构造曲线。

曲线公式将以u作为参数，并对控制点进行计算，从而得到曲线的坐标值。

可以使用计算机编程语言或数学软件来计算曲线的坐标值，并将其绘制出来。

通过调整形状参数，可以实时预览和调整曲线的形状，从而满足设计需求。

总结：通过以上步骤，我们可以构造带有形状参数的二次均匀B样条曲线。