高三基础知识天天练 数学6-2人教版

高考专题突破三 高考中的数列问题 考试要求 1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.3.了解数列是一种特殊的函数.4.能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题．数列求和的几种常用方法1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和．(1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . (2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. 2．分组求和法与并项求和法(1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)形如a n ＝(－1)n ·f (n )类型，常采用两项合并求解．3．裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(2)常见的裂项技巧①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. ②1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2. ③1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1. ④1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .⑤1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎡⎦⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2). ⑥log a ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝log a (n ＋1)－log a n (n >0)． 4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的.题型一 数列与数学文化1．我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次第，孝和休惹外人传．”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止．分配时一定要按照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话．”在这个问题中，第8个孩子分到的棉花为( )A ．184斤B ．176斤C ．65斤D ．60斤答案 A解析 依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，设该等差数列为{a n }，公差为d ，前n 项和为S n ，第一个孩子所得棉花斤数为a 1，则由题意得，d ＝17，S 8＝8a 1＋8×72×17＝996，解得a 1＝65，∴a 8＝a 1＋(8－1)d ＝184. 2．《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月(按30天计)共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织多少尺布？( )A.1631B.1629C.12D.815答案 B解析 由题意可知每天织布的多少构成等差数列，其中第一天为首项a 1＝5，一月按30天计可得S 30＝390，从第2天起每天比前一天多织的布即为公差d .又S 30＝30×5＋30×292×d ＝390，解得d ＝1629.故选B. 3．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢？( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案 C解析 不妨设大老鼠和小老鼠每天穿墙的厚度为数列{a n }和{b n }，则由题意可知，数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，数列{b n }是首项为1，公比为12的等比数列， 设前n 天两鼠总共穿墙的厚度之和为S n ，则S n ＝1－2n1－2＋1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝2n －⎝⎛⎭⎫12n －1＋1， 当n ＝3时，S 3＝354<10， 当n ＝4时，S 4＝1358>10， 故两个老鼠在第4天相逢．4．(2020·潍坊模拟)《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…，生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．某老年公寓住有20位老人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄(年龄介于90～100岁)，其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为( )A ．94岁B ．95岁C ．96岁D ．98岁答案 B解析 设年长者的年龄为t ，由已知，其余19位老人的年龄从小到大依次排列构成公差d ＝1的等差数列，设最小者的年龄为a 1，由“遂千百五二十岁”知，一遂就是1 520岁(一遂有20部，一部有4章，一章有19岁，且20×4×19＝1 520)．所以这20位老人的年龄之和为19a 1＋19×182d ＋t ＝1 520，整理得a 1＋9＋t 19＝80.因为t ∈N *，a 1∈N *，所以t 19∈N *.又因为t ∈(90,100)，所以t ＝19×5＝95.故选B.思维升华 数列与数学文化解题3步骤 读懂题意会脱去数学文化的背景，读懂题意 构建模型由题意，构建等差数列或等比数列或递推关系式的模型 求解模型利用所学知识求解数列的相关信息，如求指定项、通项公式或前n 项和的公式题型二 等差数列、等比数列交汇例1 (2020·南昌质检)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 7＝49，a 2＋a 8＝18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若S 3，a 17，S m 成等比数列，求S 3m .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 7＝49，a 2＋a 8＝18，∴⎩⎪⎨⎪⎧ S 7＝7a 4＝49，a 2＋a 8＝2a 5＝18⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝7，a 5＝9，解得d ＝2， ∴a n ＝a 4＋(n －4)×d ＝2n －1.(2)由(1)知，S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2， ∵S 3，a 17，S m 成等比数列，∴S 3S m ＝a 217，即9m 2＝332，解得m ＝11.故S 3m ＝S 33＝332＝1 089.思维升华 等差与等比数列的基本量间的关系，利用方程思想和通项公式，前n 项和公式求解．求解时注意对性质的灵活运用．跟踪训练1 (2020·中山期末)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a n ＋1＝2a n ＋1.(1)证明：{a n ＋1}为等比数列；(2)判断n ，a n ，S n 是否成等差数列？并说明理由．(1)证明 ∵a 2＝3，a 2＝2a 1＋1，∴a 1＝1，由题意得a n ＋1≠0，a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋2a n ＋1＝2， ∴{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．(2)解 由(1)知a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1.∴S n ＝2－2n ＋11－2－n ＝2n ＋1－n －2， ∴n ＋S n －2a n ＝n ＋2n ＋1－n －2－2(2n －1)＝0，∴n ＋S n ＝2a n ，即n ，a n ，S n 成等差数列．题型三 数列的求和命题点1 分组求和与并项求和例2 已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，因为b 2＝3，b 3＝9，可得q ＝b 3b 2＝3， 所以b n ＝b 2q n －2＝3·3n －2＝3n －1，又由a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27，所以d ＝a 14－a 114－1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)×d ＝1＋2(n －1)＝2n －1.(2)由题意知c n ＝a n ＋b n ＝(2n －1)＋3n －1，则数列{c n }的前n 项和为[1＋3＋…＋(2n －1)]＋(1＋3＋9＋…＋3n －1) ＝n (1＋2n －1)2＋1－3n1－3＝n 2＋3n －12. 思维升华 一般地，如果{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ±b n }或c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数的前n 项和S n 时，可采用分组求和法求和．如果c n ＝(－1)n ·a n ，求c n 的前n 项和时，可采用并项求和法求解．命题点2 错位相减法求和例3 (12分)(2020·全国Ⅰ)设{a n }是公比不为1的等比数列，a 1为a 2，a 3的等差中项．(1)求{a n }的公比；(2)若a 1＝1，求数列{na n }的前n 项和．规范解答解 (1)设{a n }的公比为q ，∵a 1为a 2，a 3的等差中项，∴2a 1＝a 2＋a 3＝a 1q ＋a 1q 2，a 1≠0，∴q 2＋q －2＝0，[2分]∵q ≠1，∴q ＝－2.[4分](2)设{na n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＝(－2)n －1，[6分]S n ＝1×1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n (－2)n －1，①[7分]－2S n ＝1×(－2)＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋(n －1)·(－2)n －1＋n (－2)n ，②[8分]①－②得，3S n ＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n －1－n (－2)n [10分]＝1－(－2)n 1－(－2)－n (－2)n ＝1－(1＋3n )(－2)n3，[11分] ∴S n ＝1－(1＋3n )(－2)n9，n ∈N *.[12分]第一步：根据定义法、等差(等比)中项法、通项公式法等判定数列为等差(等比)数列； 第二步：由等差(等比)数列基本知识求通项，或者由递推公式求通项；第三步：根据和的表达式或通项的特征，选择合适的方法(分组转化法、错位相减法、裂项相消法)求和；第四步：反思解题过程，检验易错点、规范解题步骤．命题点3 裂项相消法求和例4 (2020·潍坊模拟)已知数列{a n }为等比数列，a 1＝1；数列{b n }满足b 2＝3，a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n b n ＝3＋(2n －3)·2n .(1)求a n ；(2)求⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n . 解 (1)令n ＝1，得a 1b 1＝3＋(2－3)×2＝1，所以b 1＝1，令n ＝2，得a 1b 1＋a 2b 2＝7，所以a 2b 2＝6，又b 2＝3，所以a 2＝2，设数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 2a 1＝2， 所以a n ＝2n －1.(2)当n ≥2时，a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n －1b n －1＝3＋(2n －5)2n －1，①又a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n b n ＝3＋(2n －3)2n ，②②－①得a n b n ＝3＋(2n －3)2n －[3＋(2n －5)2n －1]＝(2n －1)2n －1，所以b n ＝2n －1，1b n b n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， 所以T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.思维升华 使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．跟踪训练2 (1)已知各项均为正数的等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝15，且a 1＋2，a 2＋5，a 3＋13构成等比数列{b n }的前三项．①求数列{a n }，{b n }的通项公式；②求数列{a n b n }的前n 项和T n .解 ①设等差数列的公差为d ，则由已知得，a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝15，即a 2＝5，又(5－d ＋2)(5＋d ＋13)＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)，a 1＝a 2－d ＝3，∴a n ＝a 1＋(n －1)×d ＝2n ＋1，又b 1＝a 1＋2＝5，b 2＝a 2＋5＝10，∴q ＝2，∴b n ＝5·2n －1.②由①知a n b n ＝(2n ＋1)·5·2n －1＝5·(2n ＋1)·2n －1，∵T n ＝5[3＋5×2＋7×22＋…＋(2n ＋1)×2n －1]，2T n ＝5[3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n ＋1)×2n ]，两式相减得－T n ＝5[3＋2×2＋2×22＋…＋2×2n －1－(2n ＋1)×2n ]＝5[(1－2n )2n －1]，则T n ＝5[(2n －1)2n ＋1]．(2)(2020·河北衡水中学模拟)已知数列{a n }满足a 1＝4，且当n ≥2时，(n －1)a n ＝n (a n －1＋2n －2)．①求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列； ②记b n ＝2n ＋1a 2n，求数列{b n }的前n 项和S n . ①证明 当n ≥2时，(n －1)a n ＝n (a n －1＋2n －2)，将上式两边都除以n (n －1)，得a n n ＝a n －1＋2n －2n －1， 即a n n －a n －1n －1＝2， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝4为首项，2为公差的等差数列． ②解 由①得a n n＝4＋2(n －1)＝2n ＋2， 即a n ＝2n (n ＋1)，所以b n ＝2n ＋1a 2n ＝14⎣⎡⎦⎤1n 2－1(n ＋1)2， 所以S n ＝14⎩⎨⎧ ⎝⎛⎭⎫1－122＋⎝⎛⎭⎫122－132＋⎭⎬⎫…＋⎣⎡⎦⎤1n 2－1(n ＋1)2 ＝14⎣⎡⎦⎤1－1(n ＋1)2＝n 2＋2n 4(n ＋1)2.课时精练1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n .若a 1＝b 1＝3，a 4＝b 2，S 4－T 2＝12.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)求数列{a n ＋b n }的前n 项和．解 (1)由a 1＝b 1，a 4＝b 2，则S 4－T 2＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)－(b 1＋b 2)＝a 2＋a 3＝12，设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＋a 3＝2a 1＋3d ＝6＋3d ＝12，所以d ＝2.所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，设等比数列{b n }的公比为q ，由题意知b 2＝a 4＝9，即b 2＝b 1q ＝3q ＝9，所以q ＝3.所以b n ＝3n .(2)a n ＋b n ＝(2n ＋1)＋3n ，所以{a n ＋b n }的前n 项和为(a 1＋a 2＋…＋a n )＋(b 1＋b 2＋…＋b n )＝(3＋5＋…＋2n ＋1)＋(3＋32＋ (3))＝(3＋2n ＋1)n 2＋3(1－3n )1－3＝n (n ＋2)＋3(3n －1)2. 2．已知等比数列{a n }的前n 项和S n 满足4S 5＝3S 4＋S 6，且a 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)设b n ＝(2n －1)·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设数列{a n }的公比为q ，由4S 5＝3S 4＋S 6，得S 6－S 5＝3S 5－3S 4，即a 6＝3a 5，∴q ＝3，∴a n ＝9·3n －3＝3n －1.(2)b n ＝(2n －1)·a n ＝(2n －1)·3n －1，∴T n ＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n －1)·3n －1，∴3T n ＝1·31＋3·32＋…＋(2n －3)·3n －1＋(2n －1)·3n ，∴－2T n ＝1＋2·31＋2·32＋…＋2·3n －1－(2n －1)·3n＝－2＋(2－2n )·3n ，∴T n ＝1－(2－2n )·3n 2＝(n －1)·3n ＋1. 3．已知在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2，n ∈N *)．设b n ＝a n ＋1－a n .(1)证明：数列{b n }是等比数列；(2)设c n ＝b n (4n 2－1)2n ，求数列{c n }的前n 项和S n . (1)证明 因为a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝a n ＋1－a n ，所以b n ＋1b n ＝a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝3a n ＋1－2a n －a n ＋1a n ＋1－a n＝2(a n ＋1－a n )a n ＋1－a n＝2， 又b 1＝a 2－a 1＝2－1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列．(2)解 由(1)知b n ＝1×2n －1＝2n －1，因为c n ＝b n (4n 2－1)2n， 所以c n ＝12(2n ＋1)(2n －1)＝14⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， 所以S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝14⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝14⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 4n ＋2.4．已知数列{a n }为正项数列，a 1＝3，且a n ＋1a n －a n a n ＋1＝2⎝⎛⎭⎫1a n ＋1a n ＋1(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2n a＋(－1)n ·a n ，求{b n }的前n 项和S n .解 (1)依题意得a n >0，a 2n ＋1－a 2n ＝2(a n ＋1＋a n )，则a n ＋1－a n ＝2， 所以数列{a n }为a 1＝3，d ＝2的等差数列，则a n ＝2n ＋1.(2)由(1)知b n ＝22n ＋1＋(－1)n ·(2n ＋1)＝2×4n ＋(－1)n (2n ＋1)．则{b n }的前n 项和 S n ＝⎩⎨⎧8(4n －1)3＋n ＝22n ＋33＋n －83，n 为偶数，8(4n －1)3－n －2＝22n ＋33－n －143，n 为奇数.5．(2020·新高考全国Ⅰ)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8.(1)求{a n }的通项公式；(2)记b m 为{a n }在区间(0，m ](m ∈N *)中的项的个数，求数列{b m }的前100项和S 100. 解 (1)由于数列{a n }是公比大于1的等比数列，设首项为a 1，公比为q ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝32，q ＝12(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2， 所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ，n ∈N *.(2)由于21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64，27＝128，所以b 1对应的区间为(0,1]，则b 1＝0；b 2，b 3对应的区间分别为(0,2]，(0,3]，则b 2＝b 3＝1，即有2个1；b 4，b 5，b 6，b 7对应的区间分别为(0,4]，(0,5]，(0,6]，(0,7]，则b 4＝b 5＝b 6＝b 7＝2，即有22个2；b 8，b 9，…，b 15对应的区间分别为(0,8]，(0,9]，…，(0,15]，则b 8＝b 9＝…＝b 15＝3， 即有23个3；b 16，b 17，…，b 31对应的区间分别为(0,16]，(0,17]，…，(0,31]，则b 16＝b 17＝…＝b 31＝4，即有24个4；b 32，b 33，…，b 63对应的区间分别为(0,32]，(0,33]，…，(0,63]，则b 32＝b 33＝…＝b 63＝5，即有25个5；b 64，b 65，…，b 100对应的区间分别为(0,64]，(0,65]，…，(0,100]， 则b 64＝b 65＝…＝b 100＝6，即有37个6.所以S 100＝1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×37＝480.。

高三数学第二轮专题复习系列(6)-- 不等式一、本章知识结构：实数的性质二、高考要求〔1〕理解不等式的性质及其证明。

〔2〕掌握两个〔不扩展到三个〕正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单应用。

〔3〕分析法、综合法、比拟法证明简单的不等式。

〔4〕掌握某些简单不等式的解法。

〔5〕理解不等式|a|﹣|b| ≤|a+b|≤|a| +|b|。

三、热点分析1.重视对根底知识的考查，设问方式不断创新.重点考查四种题型：解不等式，证明不等式，涉及不等式应用题，涉及不等式的综合题，所占比例远远高于在课时和知识点中的比例.重视根底知识的考查，常考常新，创意不断，设问方式不断创新，图表信息题，多项选择型填空题等情景新颖的题型受到命题者的青眯，值得引起我们的关注.2.突出重点，综合考查，在知识与方法的交汇点处设计命题，在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想，不等式又为研究函数提供了重要的工具，不等式与函数既是知识的结合点，又是数学知识与数学方法的交汇点，因而在历年高考题中始终是重中之重.在全面考查函数与不等式根底知识的同时，将不等式的重点知识以及其他知识有机结合，进行综合考查，强调知识的综合和知识的内在联系，加大数学思想方法的考查力度，是高考对不等式考查的又一新特点.3.加大推理、论证能力的考查力度，充分表达由知识立意向能力立意转变的命题方向.由于代数推理没有几何图形作依托，因而更能检测出学生抽象思维能力的层次.这类代数推理问题常以高中代数的主体内容——函数、方程、不等式、数列及其交叉综合局部为知识背景，并与高等数学知识及思想方法相衔接，立意新颖，抽象程度高，有利于高考选拔功能的充分发挥.对不等式的考查更能表达出高观点、低设问、深入浅出的特点，考查容量之大、功能之多、能力要求之高，一直是高考的热点.4.突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值，借助不等式来考查学生的应用意识.不等式局部的内容是高考较为稳定的一个热点,考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用。

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年广西高中数学人教A 版选修三第六章 计数原理强化训练(2)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟 满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）345 61. 将二项式的展开式按x 的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x 的指数是整数的项共有（ ）个A. B. C. D. 4354554754952. 在的展开式中，的系数是( )A.B. C. D. 6-6793. 展开式中所有二项式系数之和为8，则该展开式中的常数项为（ ）（用数字作答）A. B. C. D. 2448721204. 甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻的排法有（ ）种．A. B. C. D. -808040-205. 若变量a ，b 满足约束条件 ， n=2a+3b ，则n 取最小值时， 二项展开式中的常数项为（ ）A. B. C. D. 18种36种54种120种6. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技能比赛，决出第1名至第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，5人的名次排列可能的情况有（ ）A. B. C. D. 7. 某班微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名同学同时抢4个红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，4个红包中有两个2元，两个5元(红包中金额相同视为相同的红包)，则甲、乙两人同抢到红包的情况有（ ）36种24种18种9种A. B. C. D. 8. 从正方体的12条棱中任选3条棱，则这3条棱两两异面的概率为（ ）A. B. C. D.1或3-311或 -39. 若，且 , 则实数m 的值为（ ）A. B. C. D. -11326410. 已知的展开式中 项的系数与 项的系数分别为 135 与-18，则 的展开式中所有项系数之和为（ ）A. B. C. D. 0326412811. 若， 则的值为（ ）A. B. C. D. 840种140种420种210种12. 第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕．为保证冬奥会顺利进行，组委会需要提前把各项工作安排好．现要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服务，每天一人，甲两天，乙三天，丙和丁各一天，则不同的安排方法有（ ）A. B. C. D. 13. 展开式中的常数项是 .14. 若 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 ．（用数字作答）15. 若a 2+（k ﹣3）a+9是一个完全平方式，则k 的值是 ．16. 在二项式 的展开式中，含x 5的项的系数是 ．17. 用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．（Ⅰ）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；（Ⅱ）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；（Ⅲ）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．18. 现要安排名医护人员前往四处核酸检测点进行核酸检测，每个检测点安排两名医护人员前往.已知甲､乙两人不能安排在同一处检测点.(1) 求不同的安排方法总数；(2) 记四处检测点分别为，若甲不能前往检测点，乙不能前往检测点，求不同的安排方法数.19. 写出所有由1，2，3，4，5组成的没有重复数字，且个位数字是5的三位数．20. 五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：(1) 甲必须在排头；(2) 甲、乙相邻；(3) 甲不在排头，并且乙不在排尾。

第6模块 第2节[知能演练]一、选择题1．设全集I 是实数集R ，M ＝{x |x 2>4}与N ＝{x |2x －1≥1}都是I 的子集，如图所示，则阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |x <2}B ．{x |－2≤x <1}C ．{x |－2≤x ≤2}D ．{x |1<x ≤2}解析：∵M ＝{x |x 2>4}＝{x |x <－2或x >2}， N ＝{x |2x －1≥1}＝{x |1<x ≤3}，∴∁I M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ∩(∁I M )＝{x |1<x ≤2}． 即阴影部分所表示的集合为{x |1<x ≤2}．故选D. 答案：D2．已知m >2，点(m －1，y 1)，(m ，y 2)，(m ＋1，y 3)都在二次函数y ＝x 2－2x 的图象上，则( )A ．y 1<y 2<y 3B ．y 3<y 2<y 1C ．y 1<y 3<y 2D ．y 2<y 1<y 3解析：二次函数y ＝x 2－2x 的对称轴为x ＝1，当m >2时，m －1，m ，m ＋1都在对称轴的右边，在对称轴的右边二次函数y ＝x 2－2x 为增函数，故y 1<y 2<y 3，故选A.答案：A3．不等式x 2－x －6－x 2－1>0的解集是( )A ．{x |－2<x <3}B ．{x |x ≤－2或x ≥3}C ．{x |x <－2}D ．{x |x >3}解析：不等式化为x 2－x －6x 2＋1<0，所以x 2－x －6<0⇒－2<x <3.答案：A4．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2<0}，B ＝{x |x －a <0}，且B A ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．1<a ≤2C ．a >2D ．a ≤2解析：不等式3x －2－x 2<0化为x 2－3x ＋2>0⇒x >2或x <1，由不等式x －a <0，得x <a .要使B A ，则a ≤1.答案：A 二、填空题5．若关于x 的不等式－12x 2＋2x >mx 的解集是{x |0<x <2}，则实数m 的值是________．解析：－12x 2＋2x >mx 可化为x 2＋(2m －4)x <0，由于其解集为{x |0<x <2}，故0,2是方程x 2＋(2m －4)x ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系知，4－2m ＝2，所以m ＝1.故填1.答案：16．关于x 的不等式ax －b >0的解集为(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋bx －2>0的解集为________．答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞) 三、解答题7．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋b . (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)当不等式f (x )>0的解集为(－1,3)时，求实数a ，b 的值．解：(1)f (1)＝－3＋a (6－a )＋b ＝－a 2＋6a ＋b －3.∵f (1)>0，∴－a 2＋6a ＋b －3>0，Δ＝24＋4b ，当b ≤－6时，Δ≤0，∴f (1)>0的解集为Ø；当b >－6时，3－b ＋6<a <3＋b ＋6.∴f (1)>0的解集为{a |3－b ＋6<a <3＋b ＋6}．(2)∵不等式－3x 2＋a (6－a )x ＋b >0的解集为(－1,3)，∴f (x )>0与不等式(x ＋1)(x －3)<0同解．∵3x 2－a (6－a )x －b <0的解集为(－1,3)，∴⎩⎨⎧2＝a (6－a )33＝b3，解之得⎩⎨⎧a ＝3±3b ＝9.8．设函数f (x )＝log a (1－ax )，其中0<a <1.(1)判断f (x )在(a ，＋∞)上的单调性； (2)解不等式f (x )>1.解：(1)设f (x )＝log a u (x )，u (x )＝1－ax.∵0<a <1，∴f (x )＝log a u (x )在定义域内是减函数，u (x )＝1－ax在(a ，＋∞)上是增函数，故f (x )在(a ，＋∞)上是减函数．(2)由f (x )>1得log a (1－a x )>1.∵0<a <1，∴不等式可化为0<1－a x <a ，解得a <x <a1－a .故不等式的解集为{x |a <x <a1－a}． [高考·模拟·预测]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤02x －1，x >0，若f (x )≥1，则x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：将原不等式转化为：⎩⎪⎨⎪⎧ x >02x －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x 2≥1，从而得x ≥1或x ≤－1.答案：D2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(x <0)－x －1(x ≥0)，则不等式x ＋(x ＋1)f (x －1)≤3的解集是( )A ．{x |x ≥－3}B ．{x |x ≥1}C ．{x |－3≤x ≤1}D ．{x |x ≥1或x ≤－3}解析：由函数f (x )可知f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <1－x ，x ≥1，当x <1时，原不等式等价于x ＋(x ＋1)x ≤3，解得－3≤x ≤1，又x <1，所以－3≤x <1； 当x ≥1时，原不等式等价于x ＋(x ＋1)(－x )≤3，即x 2≥－3恒成立． 综上可知不等式的解集为{x |x ≥－3}． 答案：A3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1 (x ≥0)x 2－2x －6(x <0)，若f (t )>2，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)B ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－4)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)解析：当x ≥0时，解不等式x 2－2x －1>2得x >3，当x <0时，解不等式x 2－2x －6>2得x <－2，故t 的取值范围是(－∞，－2)∪(3，＋∞)．故选D.答案：D4．设0<b <1＋a .若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数恰有3个，则( )A ．－1<a <0B ．0<a <1C ．1<a <3D ．3<a <6解析：(x －b )2>(ax )2⇒(x －b )2－(ax )2>0⇒[(1＋a )x －b ][(1－a )x －b ]>0. 若－1<a <0，则x >b 1＋a 或x <b1－a ，可知不止三个整数解；若0<a <1，则x >b 1－a 或x <b1＋a ，可知不止三个整数解；若a >1，有(x －b )2>(ax )2⇒[(1＋a )x －b ][(a －1)x ＋b ]<0，则－b a －1<x <b1＋a. 又0<b <1＋a ，∴不等式的解集中的整数为－2，－1,0，故－3≤－ba －1<－2，则有2a －2<b ≤3a －3，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<b <a ＋1，3a －3≥b >0，解得1<a <3.答案：C5．已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )．(1)当a ＝2时，解不等式f (x )－f (x －1)>2x －1； (2)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋2x ，f (x －1)＝(x －1)2＋2x －1，由x 2＋2x －(x －1)2－2x －1>2x－1，得2x －2x －1>0，x (x －1)<0,0<x <1.∴原不等式的解集为{x |0<x <1}． (2)f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，当a ＝0时，f (x )＝x 2，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，∴f (x )是偶函数；当a ≠0时，f (x )＋f (－x )＝2x 2≠0，f (x )－f (－x )＝2ax ≠0，∴f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．[备选精题]6．已知集合A ＝{x ||x －a |<ax ，a >0}，若f (x )＝sin πx －cos πx 在A 上是单调增函数，求a 的取值范围．解：由|x －a |<ax 得－ax <x －a <ax ，所以⎩⎪⎨⎪⎧(1＋a )x >a(1－a )x <a .当0<a <1时，A ＝(a 1＋a ，a1－a )；当a ≥1时，A ＝(a1＋a，＋∞)．又f (x )＝sin πx －cos πx ＝2sin(πx －π4)的单调递增区间为[2k －14，2k ＋34]，(k ∈Z )，显然，当a ≥1时，f (x )在A 上不可能是单调增函数，因此，当0<a <1，要使f (x )在A ＝(a 1＋a ，a1－a )上是增函数，只有(a 1＋a ，a 1－a )⊂[－14，34]，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1a 1－a ≤34，解得0<a ≤37，故a 的取值范围为0<a ≤37.。

61-2=63+9-6=22+9=53+4-9=22-3=14-6+24=3+□=6446-7+8=□-4=6946+5-30=3元-6角=7角+3角=1、树上原来有36个桃子，小猴摘了一些后还剩8个，小猴摘了多少个桃子？46-30=4+38-9=20+40=69-4+19=8+55=62+7-13=□-5=5275-10+8=79+□=835+68-30=5元2角-8角=4元7角+9角=1、树上原来有一些桃子，小猴摘了28个后还剩8个，原来有多少个桃子？51-4=72-4+6=24+8=40-3+17=30厘米〇3米7米〇70厘米50厘米+50厘米=（）米1米-23厘米=13米-8米=1米=40厘米+（）厘米1、画一条长3厘米的线段。

5元-8角=3元6角+8角=72-27=97-74+6=35+7-10= 36+16=5厘米〇50米98厘米〇1米1米-60厘米= 30厘米+70厘米=（）米21米-8米=1米=90厘米+（）厘米3元-7角=2元7角+6角=1、画一条比6厘米短2厘米的线段。

78+14=57+9+4=71-5-20=42-14=50厘米〇80厘米20厘米〇2米20厘米+80厘米=（）米2米-30厘米=8米-7米=1米=10厘米+（）厘米5元-6角=3元5角+7角=1、一支铅笔长16厘米，另一支铅笔长7厘米，它们相差几厘米？一、口算。

44+20-4=22+64=8+28-20=72-27=二、列竖式计算。

22+34=43+38=15米+5米=11米=20米-（）米1、比32多27的数是多少？6元3角-5角=3元9角+5角=8+36-28= 9+54=32+36-45= 69-45=二、列竖式计算。

38+39=61-24=13米+9米=5厘米〇50米1、比39少12的数是多少？4元7角-1元3角=5元8角〇6元7+23-10= 26+62=40-10+8= 78-38=二、列竖式计算。

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年新疆和田高中数学人教A 版选修三第六章 计数原理强化训练(2)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）70种80种100种140种1. 从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ ）A. B. C. D. 2412642. 在（x+2）4的展开式中，x 2的系数为（ ）A. B. C. D. 3. 先后抛掷两枚骰子，骰子朝上的点数分别记为 ， ，则满足 的概率为（ ）A. B. C.D. 种 种 种 种4. 学校新入职的5名教师要参加由市教育局组织的暑期3期上岗培训，每人只参加其中1期培训，每期至多派2人，由于时间上的冲突，甲教师不能参加第一期培训，则学校不同的选派方法有（ ）A. B. C.D. 253570905.（ ）A. B. C. D. 240种120种188种156种6. 受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭.高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（ ）A. B. C. D. 7. 某学校需要把6名实习老师安排到 三个班级去听课，每个班级安排2名老师，已知甲不能安排到 班，乙和丙不能安排到同一班级，则安排方案的种数有（ ）24364872A. B. C. D. 15﹣1560﹣608. （x ﹣2y ）6的展开式中，x 4y 2的系数为（ ）A. B. C. D. 140种80种70种35种9. 从4款甲型和5款乙型智能手机中任取3款，其中至少要甲乙型号各一款，则不同的取法共有（ ）A. B. C. D. 64个72个84个96个10. 从0，1，2，3，4，5这6个数字中任意取4个数字，组成一个没有重复数字且能被3整除的四位数，则这样的四位数共有（ ）A. B. C. D. 34种56种96种144种11. 某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座只能安排在第一或最后一场，讲座和必须相邻，问不同的安排方法共有（ ）A. B. C. D. 1201309010912. 编号为1，2，3，4，5的5人，入座编号也为1，2，3，4，5的5个座位，至多有2人对号入座的坐法种数为（ ）A. B. C. D. 13. 现有甲、乙、丙、丁在内的6名同学在比赛后合影留念，若甲、乙二人必须相邻，且丙、丁二人不能相邻，则符合要求的排列方法共有 种．（用数字作答）14. 已知 ， 则 ， .15. 的展开式中的常数项为 ．（用数字作答）16. 安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种.（用数字作答）17. 已知二项式（ ﹣ ）n 展开式中的各项系数的绝对值之和为128．(1) 求展开式中系数最大的项；(2) 求展开式中所有的有理项．18. 已知的展开式的二项式系数和为64(1) 求n 的值；(2) 求展开式中二项式系数最大的项．19. 已知（ + ）n的展开式中，第五项与第七项的二项式系数相等．（I ）求该展开式中所有有理项的项数；（II）求该展开式中系数最大的项．20. 定义：若数列满足所有的项均由构成且其中-1有m个，1有p个，则称为“ ﹣数列”．(1) 为“ ﹣数列” 中的任意三项，则使得的取法有多少种？(2) 为“ ﹣数列” 中的任意三项，则存在多少正整数对使得且的概率为 .21. 在二项式的展开式中，第三项的系数与第四项的系数相等.(1) 求的值，并求所有项的二项式系数的和;(2) 求展开式中的常数项.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.20.(1)(2)21.(1)(2)第 11 页 共 11 页。

第2模块第3节[知能演练]一、选择题1．函数y＝－x2(x∈R)是() A．左减右增的偶函数B．左增右减的偶函数C．减函数、奇函数D．增函数、奇函数解析：∵y＝－x2是开口向下的一条抛物线，∴y＝－x2在(－∞，0)上为增函数，(0，＋∞)上为减函数，不妨设y＝f(x)＝－x2，则f(－x)＝－(－x)2＝－x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数．答案：B2．已知函数f(x)在R上是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的解析式是() A．f(x)＝x·(x－2)B．f(x)＝|x|(x－2)C．f(x)＝|x|(|x|－2)D．f(x)＝x(|x|－2)答案：D3．f(x)、g(x)都是定义在R上的奇函数，且F(x)＝3f(x)＋5g(x)＋2，若F(a)＝b，则F(－a)等于() A．－b＋4 B．－b＋2C．b－2 D．b＋2解析：依题设F(－x)＝3f(－x)＋5g(－x)＋2＝－3f(x)－5g(x)＋2，∴F(x)＋F(－x)＝4，则F(a)＋F(－a)＝4，F(－a)＝4－F(a)＝4－b.答案：A4．定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，T是它的一个正周期．若将方程f(x)＝0在闭区间[－T，T]上的根的个数记为n，则n可能为() A．0 B．1C．3 D．5解析：定义在R上的函数f(x)是奇函数，则f(0)＝0，又f(x)是周期函数，T是它的一个正周期，∴f (T )＝f (－T )＝0，f (－T 2)＝－f (T 2)＝f (－T 2＋T )＝f (T2)．∴f (－T 2)＝f (T2)＝0，则n 可能为5，选D.答案：D 二、填空题5．设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 为奇函数，则a ＝________.解析：∵f (1)＋f (－1)＝0⇒2(1＋a )＋0＝0， ∴a ＝－1. 答案：－16．已知函数f (x )＝x 2－cos x ，对于[－π2，π2]上的任意x 1，x 2，有如下条件：①x 1>x 2；②x 21>x 22；③|x 1|>x 2.其中能使f (x 1)>f (x 2)恒成立的条件序号是________．解析：函数f (x )＝x 2－cos x 显然是偶函数，其导数y ′＝2x ＋sin x 在0<x <π2时，显然也大于0，是增函数，想象其图象，不难发现，x 的取值离对称轴越远，函数值就越大，②满足这一点．当x 1＝π2，x 2＝－π2时，①③均不成立．答案：② 三、解答题7．已知f (x )＝px 2＋23x ＋q 是奇函数，且f (2)＝53.(1)求实数p ，q 的值；(2)判断函数f (x )在(－∞，－1)上的单调性，并加以证明． 解：(1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即px 2＋2－3x ＋q ＝－px 2＋23x ＋q .从而q ＝0，因此f (x )＝px 2＋23x .又∵f (2)＝53，∴4p ＋26＝53.∴p ＝2.(2)f (x )＝2x 2＋23x，任取x 1<x 2<－1，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 21＋23x 1－2x 22＋23x 2＝2(x 2－x 1)(1－x 1x 2)3x 1x 2.∵x 1<x 2<－1，∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2<0，x 1x 2>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0.∴f (x )在(－∞，－1)上是单调增函数．8．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (x )在[－1,1]上的解析式； (2)证明f (x )在(0,1)上是减函数．(1)解：只需求出f (x )在x ∈(－1,0)和x ＝±1，x ＝0时的解析式即可，因此，要注意应用奇偶性和周期性，当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，由f (0)＝f (－0)＝－f (0)，且f (1)＝f (－2＋1)＝f (－1)＝－f (1)， 得f (0)＝f (1)＝f (－1)＝0. ∴在区间[－1,1]上有f (x )＝⎩⎨⎧2x4x ＋1x ∈(0，1)，－2x 4x＋1x ∈(－1，0)，0 x ∈{－1，0，1}.(2)证明：当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.设0<x 1<x 2<1， f (x 1)－f (x 2)＝2x 14x 1＋1－2x 24x 2＋1＝(2x 2－2x 1)(2x 1＋x 2－1)(4x 1＋1)(4x 2＋1).∵0<x 1<x 2<1.∴2x 2－2x 1>0,2x 1＋x 2－1>0. ∴f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，故f (x )在(0,1)上单调递减．[高考·模拟·预测]1．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2008)＋f (2009)的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：f (－2008)＋f (2009)＝f (0)＋f (1)＝log 21＋log 22＝1.答案：C2．已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋x )·f (x )，则f (52)的值是( )A ．0 B.12 C ．1D.52解析：令g (x )＝f (x )x ，则g (－x )＝f (－x )－x ＝－f (x )x ＝－g (x )，∴g (x )为奇函数．又g (x ＋1)＝f (x ＋1)x ＋1＝f (x )x ＝g (x )．∴g (52)＝f (52)52＝g (12)＝g (－12)＝－g (12)，∴g (12)＝0，∴f (52)＝0.故选A. 答案：A3．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：∵f (x －4)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x )，∴f (x ＋8)＝f (x )．∴f (－25)＝f (－1)＝－f (1)，f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)，f (80)＝f (0)＝0.而f (x )在[0,2]上是增函数，∴f (1)≥f (0)＝0.∴f (－25)<f (80)<f (11)．故选D.答案：D4．函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则( ) A ．f (x )是偶函数 B ．f (x )是奇函数 C ．f (x )＝f (x ＋2) D ．f (x ＋3)是奇函数解析：由题意f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝－f (x －1)，即f (x )＝－f (2－x )且f (x )＝－f (－2－x )．∴f (x )＝－f (2－x )＝f [－2－(2－x )]＝f (x －4)，∴f (－x ＋3)＝f (－x －1)＝－f [2－(－x －1)]＝－f (x ＋3)，故选D. 答案：D5．定义在R 上的增函数y ＝f (x )对任意x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )． (1)求f (0)；(2)求证：f (x )为奇函数；(3)若f (k ·3x )＋f (3x －9x －2)<0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围． 解：(1)令x ＝y ＝0，得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)，即f (0)＝0. (2)令y ＝－x ，得f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，又f (0)＝0，则有 0＝f (x )＋f (－x )．即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 成立， 所以f (x )是奇函数．(3)证法一：因为f (x )在R 上是增函数，又由(2)知f (x )是奇函数．f (k ·3x )<－f (3x －9x －2)＝f (－3x ＋9x ＋2)， 所以k ·3x <－3x ＋9x ＋2，32x －(1＋k )·3x ＋2>0对任意x ∈R 成立．令t ＝3x >0，问题等价于t 2－(1＋k )t ＋2>0对任意t >0恒成立． 令f (t )＝t 2－(1＋k )t ＋2，其对称轴为x ＝1＋k 2，当1＋k2<0即k <－1时，f (0)＝2>0，符合题意； 当1＋k2≥0即k ≥－1时，对任意t >0，f (t )>0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧1＋k 2≥0，Δ＝(1＋k )2－4×2<0，解得－1≤k <－1＋2 2. 综上所述，当k <－1＋22时，f (k ·3x )＋f (3x －9x －2)<0对任意x ∈R 恒成立． 解法二：由k ·3x <－3x ＋9x ＋2， 得k <3x ＋23x －1.u ＝3x ＋23x －1≥22－1，即u 的最小值为22－1，要使对x ∈R 不等式k <3x ＋23x －1恒成立，只要使k <22－1.所以满足题意的k 的取值范围是(－∞，22－1)[备选精题]6．已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，∴f (x )为偶函数． 当a ≠0时，f (x )＝x 2＋ax (a ≠0，x ≠0)，取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝ －2a ≠0.∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)．∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(2)解法一：要使函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数， 等价于f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立，即f ′(x )＝2x －ax 2≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立，故a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立．∴a ≤(2x 3)min ＝16.∴a 的取值范围是(－∞，16]． 解法二：设2≤x 1<x 2，f(x1)－f(x2)＝x21＋ax1－x22－ax2＝(x1－x2)x1x2[x1x2(x1＋x2)－a]，要使函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，必须f(x1)－f(x2)<0恒成立，∵x1－x2<0，即a<x1x2(x1＋x2)恒成立，又∵x1＋x2>4，x1x2>4，∴x1x2(x1＋x2)>16.∴a的取值范围是(－∞，16]．。

基础巩固强化一、选择题1．(文)(2013·北京东城区统一检测)已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝6，S 3＝12，则公差d 等于( )A ．1 B.53 C ．2 D ．3 [答案] C[解析] 根据已知，a 1＋2d ＝6,3a 1＋3d ＝12，解得d ＝2. (理)已知{a n }是等差数列，a 1＋a 2＝4，a 7＋a 8＝28，则该数列前10项和S 10等于( )A ．64B ．100C ．110D ．120 [答案] B[解析] 设数列{a n }的公差为d ，由题意得，2a 1＋d ＝4,2a 1＋13d ＝28，所以a 1＝1，d ＝2.于是S 10＝10×1＋10×92×2＝100.[点评] 可设b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则{b n }为等差数列，其公差D ＝b 4－b 13＝8，∴S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 5＝5b 1＋5×42D ＝100.2．(文)(2012·辽宁文，4)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则a 2＋a 10＝( )A ．12B ．16C ．20D ．24 [答案] B[解析] 由等差数列的性质得，a 2＋a 10＝a 4＋a 8＝16，B 正确． [点评] 解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的性质． (理)(2013·昆明重点高中检测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则S 7的值为( )A ．28B ．42C ．56D ．14 [答案] A[解析] ∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12， ∴a 4＝4，∴S 7＝7a 4＝28，故选A.3．(2013·玉溪模拟)数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11 [答案] B[解析] 因为{b n }是等差数列，且b 3＝－2，b 10＝12， 故公差d ＝12－(－2)10－3＝2.于是b 1＝－6，且b n ＝2n －8(n ∈N *)，即a n ＋1－a n ＝2n －8.所以a 8＝a 7＋6＝a 6＋4＋6＝a 5＋2＋4＋6＝…＝a 1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.[解法探究] 求得b n ＝2n －8后可用逐差相加法求a 8.4．(文)在等差数列{a n }中，a 9＋a 11＝10，则数列{a n }的前19项之和为( )A ．98B ．95C ．93D ．90 [分析] 由求和公式S n ＝n (a 1＋a n )2，及等差数列的性质a 1＋a 19＝a 9＋a 11可求解结果．[解析] S 19＝19×(a 1＋a 19)2＝19×(a 9＋a 11)2 ＝19×102＝95，故选B.(理)(2013·天津新华中学月考)公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( )A ．18B ．24C ．60D ．90 [答案] C[解析] 因为a 4是a 3与a 7的等比中项，所以a 3a 7＝a 24，又S 8＝8(a 1＋a 8)2＝32，所以a 1＋a 8＝8，解得a 1＝－3，d ＝2，所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝－3×10＋90＝60，选C.5．(文)已知数列{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线的斜率是( )A ．4 B.14 C ．－4 D ．－143 [答案] A[解析] ∵{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55， ∴a 1＋a 5＝22，∴2a 3＝22，∴a 3＝11. ∴k PQ ＝a 4－a 34－3＝4，故选A.(理)(2012·衡阳六校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若M 、N 、P 三点共线，O 为坐标原点，且ON →＝a 15OM →＋a 6OP →(直线MP 不过点O )，则S 20等于( )A ．10B ．15C ．20D ．40[解析] 依题意，得a 15＋a 6＝1.由等差数列性质知a 15＋a 6＝a 1＋a 20，所以S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 15＋a 6)＝10，选A. 6．(文)设S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，已知S 5S 10＝13，那么S 10S20等于( )A.19B.310C.18D.13 [答案] B[解析] 设其公差为d ，∵S 5S 10＝5a 1＋12×5×4d10a 1＋12×10×9d ＝a 1＋2d 2a 1＋9d ＝13， ∴a 1＝3d .∴S 10S 20＝10a 1＋12×10×9d20a 1＋12×20×19d＝310. (理)设数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，已知a 1＋a 4＋a 7＝99，a 2＋a 5＋a 8＝93，若对任意n ∈N *，都有S n ≤S k 成立，则k 的值为( )A ．22B ．21C ．20D ．19 [答案] C[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，则有3d ＝93－99＝－6，∴d ＝－2；∴a 1＋(a 1＋3d )＋(a 1＋6d )＝3a 1＋9d ＝3a 1－18＝99，∴a 1＝39，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝39－2(n －1)＝41－2n .令a n ＝41－2n >0得n <20.5，即在数列{a n }中，前20项均为正，自第21项起以后各项均为负，因此在其前n 项和中，S 20最大．依题意得知，满足题意的k 值是20，选C.二、填空题7．(文)(2013·陕西检测)在等差数列{a n }中，若a 13＝20，a 20＝13，则a 2013＝________.[答案] －1980[解析] 由题意知，等差数列{a n }的公差d ＝13－2020－13＝－1，∴a 2013＝a 20＋(2013－20)d ＝13－1993＝－1980.(理)两个等差数列的前n 项和之比为5n ＋102n －1，则它们的第7项之比为________．[答案][解析] 设两个数列{a n }、{b n }的前n 项和为S n 、T n ，则S nT n＝5n ＋102n －1，而a 7b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝S 13T 13＝5×13＋102×13－1＝3. 8．已知函数f (x )＝sin x ＋tan x .项数为27的等差数列{a n }满足a n∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且公差d ≠0.若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 27)＝0，则当k ＝________时，f (a k )＝0.[答案] 14[解析] ∵f (x )＝sin x ＋tan x 为奇函数，且在x ＝0处有定义，∴f (0)＝0.∵{a n }为等差数列且d ≠0，∴a n (1≤n ≤27，n ∈N *)对称分布在原点及原点两侧， ∵f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 27)＝0，∴f (a 14)＝0.∴k ＝14.9．(文)将正偶数按下表排成5列：[答案] 252 2[解析] 通项a n ＝2n ，故2014为第1007项，∵1007＝4×251＋3，又251为奇数，因此2014应排在第252行，且第252行从右向左排第3个数，即252行第2列．(理)已知a n ＝n 的各项排列成如图的三角形状：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 … … … … … … … … … …记A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则A (31,12)＝________. [答案] 912[解析] 由题意知第1行有1个数，第2行有3个数，……第n 行有2n －1个数，故前n 行有S n ＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2个数，因此前30行共有S 30＝900个数，故第31行的第一个数为901，第12个数为912，即A (31,12)＝912. 三、解答题10．(2013·福建)已知等差数列{a n }的公差d ＝1，前n 项和为S n . (1)若1，a 1，a 3成等比数列，求a 1； (2)若S 5>a 1a 9，求a 1的取值范围．[解析] (1)因为数列{a n }的公差d ＝1，且1，a 1，a 3成等比数列．所以a 21＝1×(a 1＋2)，即a 21－a 1－2＝0，解得a 1＝－1，或a 1＝2. (2)因为数列{a n }的公差d ＝1，且S 5>a 1a 9，所以5a 1＋10>a 21＋8a 1，即a 21＋3a 1－10<0，解得－5<a 1<2.能力拓展提升一、选择题11．(文)设{a n }是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前n 项和最大时，n 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7 [答案] A[解析] ∵{a n }是等差数列，且a 1＋a 2＋a 3＝15，∴a 2＝5， 又∵a 1·a 2·a 3＝105，∴a 1a 3＝21，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 3＝21，a 1＋a 3＝10.及{a n }递减可求得a 1＝7，d ＝－2，∴a n ＝9－2n ，由a n ≥0得n ≤4，∴选A.(理)(2012·大纲全国理，5)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{1a n a n ＋1}的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.101100 [答案] A[解析] 本小题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的运用，以及裂项求和的综合应用．∵a 5＝5，S 5＝15， ∴5(a 1＋a 5)2＝15，即a 1＝1. ∴d ＝a 5－a 15－1＝1，∴a n ＝n .∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. 则数列{1a n a n ＋1}的前100项的和为：T 100＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1100－1101)＝1－1101＝100101.故选A.[点评] 本题亦可利用等差数列的性质，由S 5＝15得5a 3＝15，即a 3＝3，再进一步求解．12．(2012·河南安阳三模)已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 21＝S 4000，O 为坐标原点，点P (1，a n )，Q (2011，a 2011)，则OP →·OQ →等于( )A ．2011B ．－2011C ．0D ．1 [答案] A[解析] 解法一：由已知S 21＝S 4000，则a 22＋a 23＋…＋a 4000＝0，设{a n }的公差为d ，则3979(a 22＋a 4000)2＝0，又a 22＋a 4000＝2a 2011，所以a 2011＝0，所以OP →·OQ →＝2011＋a n ·a 2011＝2011.解法二：设等差数列{a n }的公差为d ，因为S 21＝S 4000，且等差数列前n项和公式可看成二次函数，所以由对称性可得S1＝S4020，则有a1＝4020a1＋4020×40192d，整理得a2011＝0，所以OP→·OQ→＝2011＋a n·a2011＝2011.13．(2013·浙江省名校联考)已知每项均大于零的数列{a n}中，首项a1＝1且前n项和S n满足S n S n－1－S n－1S n＝2S n S n－1(n∈N*且n≥2)，则a81＝()A．641 B．640 C．639 D．638[答案] B[解析]由已知S n S n－1－S n－1S n＝2S n S n－1可得，S n－S n－1＝2，所以{S n}是以1为首项，2为公差的等差数列，故S n＝2n－1，S n＝(2n－1)2，所以a81＝S81－S80＝1612－1592＝640，故选B.二、填空题14．(2013·南京模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若(a2－1)3＋2012(a2－1)＝1，(a2011－1)3＋2012·(a2011－1)＝－1，则下列四个命题中真命题的序号为________．①S2011＝2011；②S2012＝2012；③a2011<a2；④S2011<S2.[答案]②③[解析]设f(x)＝x3＋2012x，则f(x)为奇函数，f′(x)＝3x2＋2012>0，∴f(x)单调递增．由f(1)＝2013>1知f(1)>f(a2－1)，∴1>a2－1，∴a2<2.又f(a2－1)＝－f(a2011－1)＝f(1－a2011)，∴a2－1＝1－a2011，∴a2＋a2011＝2，∴S2012＝a1＋a20122×2012＝2012，故②正确；又f(a2－1)>f(a2011－1)，∴a2－1>a2011－1，∴a2011<a2，∴③正确；S 2011＝S 2012－a 2012＝2012－(a 2011＋d )＝2012－(2－a 2＋d )＝2010＋a 1>a 1＋a 2＝S 2，∴④错误；假设S 2011＝2011，则2010＋a 1＝2011，∴a 1＝1，∵S 2011＝2011×(a 1＋a 2011)2＝2011×(1＋a 2011)2＝2011，∴a 2011＝1，这与{a n }是等差数列矛盾，∴①错．综上，正确的为②③.15．(2013·黄山期末)对于正项数列{a n }，定义H n ＝na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n为{a n }的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为H n ＝2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________．[答案] a n ＝2n ＋12n[解析] 由H n ＝na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 可得，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n H n ＝n (n ＋2)2，①a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1 ＝(n －1)(n ＋1)2，② ①－②得na n ＝n (n ＋2)2－(n －1)(n ＋1)2＝2n ＋12，所以a n ＝2n ＋12n .三、解答题16．(文)(2013·河北唐山一模)设函数f (x )＝ax ＋b (其中a ≠0)，若f (3)＝5，且f (1)，f (2)，f (5)成等比数列．(1)求f (n )；(2)令b n ＝f (n )·2n ，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)∵f (3)＝5，且f (1)，f (2)，f (5)成等比数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝5，(a ＋b )(5a ＋b )＝(2a ＋b )2，解得a ＝2，b ＝－1， ∴f (x )＝2x －1，即f (n )＝2n －1.(2)由题意得b n ＝(2n －1)·2n ，则T n ＝1·21＋3·22＋…＋(2n －1)·2n ，①2T n ＝1·22＋3·23＋…＋(2n －3)·2n ＋(2n －1)·2n ＋1，②①－②得：－T n ＝2＋23＋24＋…＋2n ＋1－(2n －1)·2n ＋1＝2·2n ＋1－6－(2n －1)·2n ＋1＝－(2n －3)·2n ＋1－6，∴T n ＝(2n －3)·2n ＋1＋6.(理)(2012·湖北文，20)已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2、a 3、a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．[分析] (1)利用等差数列的通项公式，及相关关系求出首项和公差．(2)先确定数列的通项公式，由于首项a 1<0需判断从哪一项开始a n >0，将{|a n |}前n 项和写为分段函数的形式．[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3. 所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5，或a n＝－4＋3(n －1)＝3n －7.故a n ＝－3n ＋5，或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列；当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7， n ＝1，2.3n －7， n ≥3. 记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5；当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7)＝5＋(n －2)[2＋(3n －7)]2＝32n 2－112n ＋10. 当n ＝2时，满足此式．综上，S n ＝⎩⎨⎧ 4， n ＝1，32n 2－112n ＋10， n >1.[点评] {a n }是等差数列(a 1>0，d <0或a 1<0，d >0)，求数列{|a n |}的前n 项和T n 一般步骤：第一步，求{a n }的前n 项和S n . 第二步，求使⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k ＋1<0，成立的整数k . 第三步，求n ≤k 和n >k 时T n 的表达式．第四步，用分段函数形式下结论，并反思检查．考纲要求1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数的关系．补充说明1．函数思想等差数列的通项是n 的一次函数，前n 项和是n 的二次函数，故有关等差数列的前n 项和的最值问题，数列的递增递减问题等都可以利用函数的研究方法来解决．2．等差数列的设项技巧与方程思想(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x －d ，x ，x ＋d ，…，此时公差为d ；(2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，此时公差为2d .3．一般地，等差数列{a n }中，若a 1>0，且S p ＝S q (p ≠q )，则(1)若p ＋q 为偶数，则当n ＝p ＋q 2时，S n 最大；(2)若p ＋q 为奇数，则当n ＝p ＋q －12或n ＝p ＋q ＋12时，S n 最大．备选习题1．如表定义函数f (x )：n 1n n －1a 2014的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] A[解析] 本题可通过归纳推理的方法研究数列的规律．由特殊到一般易知a 1＝4，a 2＝f (a 1)＝f (4)＝1，a 3＝f (a 2)＝f (1)＝5，a 4＝f (a 3)＝f (5)＝2，a 5＝f (a 4)＝f (2)＝4，…，据此可归纳数列{a n }为以4为周期的数列，从而a 2014＝a 2＝1.2．(2013·河南适应性测试)已知数列{a n }的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝a n 4a n ＋1(n ∈N *)． (1)设b n ＝1a n，求证：数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝b n ·2n ，求数列{c n }的前n 项和S n .[解析] (1)b 1＝1a 1＝1，a n ＋1＝a n 4a n ＋1，1a n ＋1＝4＋1a n ，1a n ＋1－1a n＝4， ∴b n ＋1－b n ＝4.数列{b n }是以1为首项，4为公差的等差数列．1a n ＝b n ＝1＋4(n －1)＝4n －3，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝14n －3(n ∈N *)． (2)S n ＝21＋5×22＋9×23＋…＋(4n －3)·2n ，①2S n ＝22＋5×23＋9×24＋…＋(4n －3)·2n ＋1，②②－①并化简得S n ＝(4n －7)·2n ＋1＋14.3．(2013·湖南十二校联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点A (n ，S n n )(n ∈N *)总在直线y ＝12x ＋32上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝n ＋1a n (n ∈N *)，试问数列{b n }中是否存在最大项，如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由．[解析] (1)因为点A (n ，S n n )(n ∈N )在直线y ＝12x ＋32上，故有S n n ＝12n ＋32，即S n ＝12n 2＋32n ，当n ≥2时，S n －1＝12(n －1)2＋32(n －1)，所以a n ＝S n －S n －1＝12n 2＋32n －[12(n －1)2＋32(n －1)]＝n ＋1(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝S 1＝2满足上式，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋1.(2)由a n ＝n ＋1，可知b n ＝n ＋1n ＋1， b 1＝2＝623<632＝33＝b 2，b 3＝44＝2＝b 1，b 3＝44＝2045>2054＝55＝b 4， 所以，b 2>b 1＝b 3>b 4，猜想{b n ＋1}递减，即猜想当n ≥2时，n ＋1n ＋1>n ＋2n ＋2，考察函数y ＝ln x x (x >e)，则y ′＝1－ln x x 2，显然当x >e 时，ln x >1，即y ′<0，故y ＝ln (n ＋2)n ＋2<ln (n ＋1)n ＋1，即n ＋2n ＋2<n ＋1n ＋1，猜想正确，因此，数列{b n }的最大项是b 2＝33.[点评] 由n ＋1n ＋1>n ＋2n ＋2两边取对数得，1n ＋1ln(n ＋1)>1n ＋2ln(n ＋2)．即ln (n ＋1)n ＋1>ln (n ＋2)n ＋2，于是构造函数f (x )＝ln x x (x >e)，通过研究函数f (x )的单调性来证明不等式．。

单元质量检测(四)一、选择题1．若复数(a 2－4a ＋3)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值是( )A ．1B ．3C ．1或3D ．－1解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋3＝0a －1≠0，解得a ＝3.答案：B2．复数1－2＋i ＋11－2i的虚部是( )A.15i B.15 C ．－15iD ．－15解析：∵1－2＋i ＋11－2i＝－2－i (－2＋i )(－2－i )＋1＋2i(1－2i )(1＋2i )＝－2－i 5＋1＋2i 5＝－15＋15i ， ∴虚部为15.答案：B3．平面向量a ，b 共线的充要条件是( )A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．∃λ∈R ，b ＝λaD ．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a ＋λ2b ＝0解析：A 中，a ，b 同向则a ，b 共线；但a ，b 共线则a ，b 不一定同向，因此A 不是充要条件．若a ，b 两向量中至少有一个为零向量，则a ，b 共线；但a ，b 共线时，a ，b 不一定是零向量，如a ＝(1,2)，b ＝(2,4)，从而B 不是充要条件．当b ＝λa 时，a ，b 一定共线；但a ，b 共线时，若b ≠0，a ＝0，则b ＝λa 就不成立，从而C 也不是充要条件．对于D ，假设λ1≠0，则a ＝－λ2λ1b ，因此a ，b 共线；反之，若a ，b 共线，则a ＝nm b ，即m a －n b ＝0.令λ1＝m ，λ2＝－n ，则λ1a ＋λ2b ＝0. 答案：D4．如下图所示，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝3CD ，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，设AB →＝e 1，AD →＝e 2，MN →可表示为( )A ．e 2＋16e 1B ．e 2－12e 1C ．e 2－13e 1D ．e 2＋131解析：MN →＝12(MD →＋MC →)＝12(MD →＋MD →＋DC →)＝12[2(MA →＋AD →)＋DC →]＝12[2(－12e 1＋e 2)＋131]＝－12e 1＋e 2＋16e 1＝e 2－13e 1. 答案：C5．向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，(a ＋b )⊥(2a －b )，则向量a 与b 的夹角为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°解析：由(a ＋b )⊥(2a －b )得(a ＋b )·(2a －b )＝0， 即2|a |2＋|a |·|b |cos α－|b |2＝0，把|a |＝1，|b |＝2代入得cos α＝0，∴α＝90°(其中α为两向量的夹角)． 答案：C6．设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直解析：∵DC →＝2BD →，∴BC →－BD →＝2BD →，∴BD →＝13→.∵CE →＝2EA →，∴BE →－BC →＝2BA →－2BE →， ∴BE →＝23BA →＋13BC →.∵AF →＝2FB →，∴BF →－BA →＝－2BF →，∴BF →＝13BA →.∴AD →＋BE →＋CF →＝BD →－BA →＋BE →＋BF →－BC → ＝13BC →－BA →＋23BA →＋13BC →＋13BA →－BC → ＝－13BC →.∴AD →＋BE →＋CF →与BC →反向平行． 答案：A7．已知非零向量a ，b ，若a ·b ＝0，则|a －2b ||a ＋2b |等于( )A.14 B ．2 C.12D ．1解析：|a －2b ||a ＋2b |＝(a －2b )2(a ＋2b )2＝a 2＋4b 2a 2＋4b 2＝1.答案：D8．在△ABC 中，若BC →2＝AB →·BC →＋CB →·CA →＋BC →·BA →，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：因为AB →·BC →＋CB →·CA →＋BC →·BA → ＝BC →·(AB →－CA →＋BA →)＝BC →·AC →，故BC →2－BC →·AC →＝BC →·(BC →－AC →)＝BC →·BA →＝0， 即∠B ＝π2.答案：B9．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为( )A ．6B ．2C ．2 5D ．27解析：如图，F 3的大小等于F 1、F 2的合力的大小．由平面向量加法的三角形法则知，在△OAB 中OB 的长就是F 1、F 2的合力的大小，且在△OAB 中，∠OAB ＝120°，OB ＝F 21＋F 22－2F 1·F 2cos120°＝28＝27，即F 3为27.答案：D10．函数y ＝tan(π4－π2)的部分图象如下图所示，则(OA →＋OB →)·AB →＝( )A ．－6B ．－4C ．4D ．6解析：函数y ＝tan(π4x －π2)的图象是由y ＝tan x 的图象向右平移π2坐标扩大为原来的4π倍得到，所以点A 的坐标为(2,0)，令tan(π4x －π2)＝1得π4x －π2＝π4，故可得B 点坐标为(3,1)，所以(OA →＋OB →)·AB →＝(5,1)·(1,1)＝6.答案：D11．设点P 为△ABC 的外心(三条边垂直平分线的交点)，若AB ＝2，AC ＝4，则AP →·BC →＝( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：我们可以采用特殊方法解答，设A (－1,0)，B (1,0)，C (－1,4)，则外心P 为(0,2)，故AP →＝(1,2)，BC →＝(－2,4)，故AP →·BC →＝6.答案：B12．已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λPA →＋PB →(其中λ∈R )，则点P 一定在( )A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上D ．BC 边所在的直线上解析：CB →＝PB →－PC →＝λPA →＋PB →化简即得－PC →＝λPA →，由共线向量的充要条件可知，点P ，A ，C 三点共线，所以答案选B.答案：B 二、填空题13．若复数a ＋3i1＋2i (a ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a ＝________.解析：∵a ＋3i 1＋2i ＝(a ＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝a ＋65＋3－2a5i ， ∴⎩⎨⎧a ＋6503－2a 5≠0，∴a ＝－6.答案：－614．向量a ＝(cos10°，sin10°)，b ＝(cos70°，sin70°)，|a －2b |＝________. 解析：|a －2b |＝a 2＋4b 2－4a ·b ＝1＋4－4(cos10°cos70°＋sin10°sin70°) ＝5－4cos60°＝ 3. 答案： 315．已知AD 是△ABC 的中线，AD →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，那么λ＋μ＝________；若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|AD →|的最小值是________．解析：若AD 为△ABC 的中线，则有AD →＝12(AB →＋AC →)，∴λ＋μ＝1.|AD →|2＝14(AB →＋AC →)2＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →)＝14(|AB →|2＋|AC →|2－4)，∵|AB →|2＋|AC →|2≥2|AB →|·|AC →|＝2AB →·AC →cos120°8，所以|AD →|≥1.答案：1 116．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________．解析：以O 为坐标原点，OA 为x 轴建立平面直角坐标系，则可知A (1,0)，B (－12，32)，设C (cos α，sin α)(α∈[0，2π3])，则有x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值为2.答案：2 三、解答题17．如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →.解法一：设AB →＝a ，AD →＝b ， 则a ＝AN →＋NB →＝d ＋(－12)①b ＝AM →＋MD →＝c ＋(－12a )②将②代入①得a ＝d ＋(－12)[c ＋(－12a )]⇒a ＝43d －23，代入②得b ＝c ＋(－12)(43d －23c )＝43c －23d .解法二：设AB →＝a ，AD →＝b . 因M ，N 分别为CD ，BC 中点， 所以BN →＝12b ，DM →＝12a .因而⎩⎨⎧c ＝b ＋12a d ＝a ＋12b ⇒⎩⎨⎧a ＝23(2d －c )b ＝23(2c －d )，即AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．18．设a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，c ＝(5，－2)，(1)求证a 与b 不共线，并求a 与b 的夹角的余弦值； (2)求c 在a 方向上的投影； (3)求λ1和λ2，使c ＝λ1a ＋λ2b .解：(1)∵a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，且－1×3≠1×4，∴a 与b 不共线． 又a ·b ＝－1×4＋1×3＝－1，|a |＝2，|b |＝5， ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－152＝－210. (2)∵a ·c ＝－1×5＋1×(－2)＝－7， ∴c 在a 方向上的投影为a ·c |a |＝－72＝－72 2.(3)∵c ＝λ1a ＋λ2b ，∴(5，－2)＝λ1(－1,1)＋λ2(4,3)＝(4λ2－λ1，λ1＋3λ2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4λ2－λ1＝5λ1＋3λ2＝－2，解得⎩⎨⎧λ1＝－237λ2＝37.19．设△ABC 的外心为O ，则圆O 为△ABC 的外接圆，垂心为H .求证：OH →＝OA →＋OB →＋OC →.证明：延长BO 交圆O 于D 点，连AD 、DC ， 则BD 为圆O 的直径，故∠BCD ＝∠BAD ＝90°. 又∵AE ⊥BC ，DC ⊥BC ， 得AH ∥DC ，同理DA ∥CH . ∴四边形AHCD 为平行四边形， ∴AH →＝DC →.又∵DC →＝OC →－OD →＝OC →＋OB →， ∴AH →＝OB →＋OC →. 又∵OH →＝OA →＋AH →， ∴OH →＝OA →＋OB →＋OC →.20．(1)如图，设点P ，Q 是线段AB 的三等分点，若OA →＝a ，OB →＝b ，试用a ，b 表示OP →，OQ →，并判断OP →＋OQ →与OA →＋OB →的关系；(2)受(1)的启示，如果点A 1，A 2，A 3，…，A n －1是AB 的n (n ≥3)等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．解：(1)OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋13AB →＝OA →＋13OB →－OA →)＝13OB →＋23OA →＝23a ＋13.同理OQ →＝13a ＋23b ，∴OP →＋OQ →＝a ＋b ＝OA →＋OB →.(2)OA 1→＋OA n －1 ＝OA 2→＋OA n －2 ＝…＝OA →＋OB →. 证明如下：由(1)可推出OA 1→＝OA →＋AA 1→＝OA →＋1n AB →＝OA →＋1n OB →－OA →)＝n －1n OA →＋1n OB →，∴OA 1→＝n －1n a ＋1n b ，同理OA n －1＝1n a ＋n －1nb ，OA 2→＝n －2n a ＋2n b ，OA n －2＝2n a ＋n －2n b ，…因此有OA 1→＋OA n －1＝OA 2→＋OA n －2＝…＝OA →＋OB →.21．已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤3，且AB →·BC →＝6，AB →与BC →的夹角为θ. (1)求θ的取值范围；(2)求函数f (θ)＝sin 2θ＋2sin θ·cos θ＋3cos 2θ的最小值． 解：(1)由题意知： AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos θ＝6① S ＝12|AB →|·|BC →|·sin(π－θ)＝12|AB →|·|BC →|·sin θ② ②÷①得S 6＝12tan θ，即3tan θ＝S .由3≤S ≤3，得3≤3tan θ≤3，即33≤tan θ≤1. ∵θ为AB →与BC →的夹角，∴θ∈(0，π)，∴θ∈[π6，π4]．(2)f (θ)＝sin 2θ＋2sin θ·cos θ＋3cos 2θ ＝1＋sin2θ＋2cos 2θ＝2＋sin2θ＋cos2θ ＝2＋2sin(2θ＋π4)．∵θ∈[π6，π4]，∴2θ＋π4∈[7π12，3π4]．∴当2θ＋π4＝3π4，即θ＝π4时，f (θ)有最小值为3.22．设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)． (1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b . 解：(1)因为a 与b －2c 垂直，所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0， 因此tan(α＋β)＝2.(2)由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得 |b ＋c |＝(sin β＋cos β)2＋(4cos β－4sin β)2 ＝17－15sin2β≤4 2.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)由tan αtan β＝16得4cos αsin β＝sin α4cos β，所以a ∥b .。