实际问题与一元一次方程 (和、差、倍、分)

用一元一次方程解决实际问题一、和差倍分问题地球绕太阳一周大约要用365天，比水星绕太阳一周所用时间的4倍多13 天，水星绕太阳一周大约要用多少天？一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33，这个数是多少？一份试卷共有25道题，每道题答对得4分，不答或答错扣1分，如果一个学生得90分，那么他做对了多少道题？据统计，在我国的664座城市中，按水资源情况可分为三类：暂不缺水城市、一般缺水城市和严重缺水城市．其中，暂不缺水城市数比严重缺水城市数的4倍少50座，一般缺水城市数是严重缺水城市数的2倍，求严重缺水城市有多少座？某校七年级去春游，共租5辆大客车，每辆车有座位60个，其中男生比女生多20人，且刚好每人都有座位，则该校七年级有男生、女生各多少人?哥哥比弟弟大3岁，弟弟是5月出生的，他的年龄的2倍加上9，正好是他出生那个月的总天数，求哥哥及弟弟的年龄．两个数的和为25，差为5，求这两个数．把1400元奖学金按照两种奖项奖给22名学生，其中一等奖每人200元，二等奖每人50元，获得一等奖的学生有多少人？有5角和1元的硬币共50枚，总钱数为43元，问5角硬币和1元硬币各多少枚？一人用540卢布买了两种布料共138俄尺，其中蓝布料每俄尺3卢布，黑布料每俄尺5卢布，两种布料各买了多少俄尺?某文艺团体为“希望工程”募捐，组织一场义演，若售出的票为1000张，其中成人票每张8元，学生票每张5元，问能否筹得票款6930元，为什么？初一三班65名学生为学校建花坛搬砖，其中男生每人搬8块，女生每人搬6块．(1)若一共搬了400块，问女生有多少人？(2)他们能否一共搬509块，为什么？已知5台A型机器一天的产品装满8箱后还剩4个,7台B型机器一天的产品装满11箱后还剩1个,每台A型机器比B型机器一天多生产1个产品,求每箱有多少个产品?两个村共有834人，较大的村的人数比另一村人数的2倍少3，两个村各多少人?一辆汽车已行驶了12000km，计划每月再行驶800 km，几个月后这辆汽车将行驶20800km？圆环面积是200cm²，外沿大圆的半径是10cm，内沿小圆的半径是多少？某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买数量又是去年的2倍，前年这个学校购买了多少台计算机？某班62名同学参加植树活动，其中有5名同学负责运送树苗，其余同学负责挖土坑和抬水，挖土坑的人数是抬水人数的2倍，求抬水有多少人？某造纸厂为节约木材，大力扩大再生纸的生产，这家工厂去年10月生产再生纸2050吨，这比前年10月产量的2倍还多150吨，它前年10月生产再生纸多少吨？某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2000度，全年用电15万度．这个工厂去年上半年每月平均用电多少度？比赛问题:任权是学校的篮球队员，在一场篮球比赛中，他一人得了23分，如果他投进的2分球比3分球多4个，那么他一共投进多少个3分球？足球比赛的记分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一个队打了14场比赛，负5场，共得19分，则这个队胜了多少场？周长面积问题：一个长方形周长为３６cm,长比宽多４cm,求长与宽．用一根10m长的铁丝围成一个长方形，（1）若该长方形的长比宽多1．4m，则长、宽各为多少米？（2）若该长方形的长比宽多0．8，则长、宽各为多少米？它所围成的长方形与（1）中所围成的长方形相比，面积有何变化？用一根长60m的绳子围出一个矩形，使它的长是宽的1．5倍，则长和宽各是多少？把一根长100cm的木棍锯成两段，使其中一段的长比别一段的2倍少5cm，应在木棍的哪个位置锯？某人把236．4cm长的铁丝分成两段，分别做成一个正方形和一个圆形，已知正方形的边长和圆形半径的比是2:5，求正方形边长和圆形半径（ 取3．14）．一个梯形的面积是84cm²，高为8cm，上底比下底的2倍少3cm，求这个梯形的上底和下底的长度．百分比问题某种货物第一天运出20％，第二天又运出余下的34％，这时还有528kg的货物没有运走，问这批货物原来有多少？某乡改种玉米为种优质杂粮后，今年农民人均收入比去年提高20%，今年人均收入比去年的1．5倍少1200元，这个乡去年农民人均收入是多少元？2001年1――9月我国城镇居民平均可支配收入为5109元，比上年同期增长8．3%，上年同期这项收入为多少？喷灌和滴灌是比漫灌节水的灌溉方式，随着农业技术的现代化，节水灌溉得到逐步推广，灌溉三块同样大的试验田，第一块用漫灌方式，第二块用喷灌方式，第三块用滴灌方式，后两种方式用水量分别是漫灌的25%和15%，三块地共用水420吨，每块地各用水多少吨？现有两种铁矿石共200吨，甲种含铁45%，乙种含铁65%，用这两种矿石炼出106吨铁，求原来这两种矿石各多少吨?比例问题三个整数的比是2:3:7，最大数比最小数大10，这三个数分别是多少?一个三角形三条边的长度比是2:4:5，最长的边比最短的边长6cm，求这个三角形的周长．洗衣机厂今年计划生产洗衣机25500台,其中І型、П型、Ш型三种洗衣机的数量比为1:2:14，这三种洗衣机计划各生产多少台？初一年级甲、乙、丙三个班为希望小学捐书，已知三个班捐赠的图书册数比是5:8:9，如果他们共捐书374本，那么这三个班各捐书多少本？黑火药由硫磺、木炭、火硝三种原料配成，它们的比是2:3:15，在一次制造火药时，火硝的用量比木炭的用量多360kg，问三种原料各用了多少？小明、小华、小刚共有邮票80枚，每人有邮票的比是2:3:5，老师奖励他们100枚邮票，使他们每个人的邮票数一样多，问老师分别给他们多少枚邮票? 年龄问题父亲年龄50岁，儿子年龄20岁，问几年后父亲年龄是儿子年龄的2倍？妈妈40岁时，儿子10岁，则过多少年后妈妈的年龄是儿子年龄的3倍？现在儿子的年龄是8岁，父亲的年龄是儿子年龄的4倍，问多少年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍?今年甜甜比爸爸小28岁，明年甜甜与爸爸的年龄之和是58，你知道甜甜今年多大吗？有父子俩，10年前父亲年龄是儿子年龄的6倍，现在父亲年龄比儿子年龄大25岁，求这父子俩现在的年龄．罗蒙诺索夫，俄国学者、诗人，俄国唯物主义哲学和自然科学的奠基人，他去世后，有人为他的生平撰写了一道趣题：罗蒙诺索夫生活在１９世纪，他出生年份的四个数字之和等于１０，且个位数字与十位数字相等；他去世年份的四个数字之和为１９，且十位数字被个位数字除后，商为１余１．求他的生卒年份．古代问题：有甲、乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我1只，我的羊数就是你的羊数的2倍．”乙回答说：“最好还是把你的羊给我1只，我们的羊数就一样了．”两个牧童各有多少只羊？某人工作一年的报酬是年终给他一件衣服和10枚银币．但他干满7个月就决定不再继续干了，结账时，给了他一件衣服和2枚银币．这件衣服值多少枚银币．我国明代数学家程大为曾提出过一个有趣的问题：有一人赶着一群羊在前面走，另一人牵着一只羊跟在后面，后面的人问赶羊的人：“你这群羊有一百只吗？”赶羊的人回答：“我再得这么一群羊，再得这群羊的一半，再得这群羊的14，把你牵的羊也给我，我才恰好有一百只羊。

一元一次方程应用题-—和、差、倍、分问题一、学习重点：这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语.仔细读题，找出表示和、差、倍、分关系的关键字，例如:“大，小，多，少，增加，减少……”,并据题意设出未知数，利用这些关键字表示出含有未知数的量，最后利用题目中的量与量之间的关系列出方程。

1、倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几……”来体现。

2、多少关系:通过关键词语“多、少、和、差……”来体现。

增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量一般设未知数要找跟所有关系联系最紧密的那个量。

二、基础练习题:1、a比b多5,则a=______；a比b少3，则a=______；a是b的2倍，则a=____；a增加3倍，则a=_____；a增加到3倍，则a=_____；将a增加b，则a=_____;将a增加到b，则a=_____。

2、已知甲数比乙数小12，甲乙两数的和为50,甲数为_____；乙数为_____.3、已知甲数比乙数的3倍多12，甲乙两数的和是60，甲数为_____；乙数为_____。

4、已知甲数是10,增加40%后甲数为______；在此基础上减少50%后甲数为_______.5、已知甲数的3倍是乙数与—2的和的2倍，甲数与乙数的差为5，甲数为_____；乙数为_____。

6、三个连续偶数的和是360，中间的偶数为_____。

7、三个连续奇数的和为361,中间的奇数为_____。

8、甲班有a人，乙班的人数是甲班人数的2倍少b人，则乙班的人数为_________.9、某校共有学生1049人，女生占男生的40％,则男生的人数为__________。

例题1:禽养场养鸡和鸭共4600只,养的鸡比鸭的4倍还多100只，禽养场的鸡鸭各多少只？练习：足球的表面是由一些呈多边形的黑白皮块缝合而成的，共计有32块，已知黑色皮块数比白色皮块数的一半多2,问两种皮块各有多少？做题:10、11例题2：一根电线长240米,把它截成三段，使第一段比第二段长20米,第三段长是第一段的2倍。

实际问题与一元一次方程(一) (基础)知识讲解【学习目标】1. 熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；2. 熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路．【要点梳理】知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题分析方程求解解答．由此可得解决此类抽象检验题的一般步骤为：审、设、列、解、验、答．要点诠释：( 1)“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找(2)"设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；( 3)“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；( 4)“解”就是解方程，求出未知数的值．( 5)“验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；( 6)“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．知识点二、常见列方程解应用题的几种类型(待续) 1．和、差、倍、分问题(1)基本量及关系：增长量=原有量X增长率，现有量=原有量+增长量，现有量=原有量-降低量.( 2)寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等.2. 行程问题(1 )三个基本量间的关系：路程=速度X时间( 2)基本类型有：①相遇问题(或相向问题)：1 •基本量及关系：相遇路程=速度和X相遇时间n.寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程=两地距离.②追及问题：i•基本量及关系：追及路程=速度差X追及时间n.寻找相等关系：第一，同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；第二，第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离=追者走的路程.③航行问题：i.基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度，顺水速度-逆水速度= 2 X水速；n.寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑.( 3)解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析.3. 工程问题如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1.基本关系式：(1)总工作量=工作效率X工作时间；( 2)总工作量=各单位工作量之和.4. 调配问题寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑.【典型例题】类型一、和差倍分问题1. 2011年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为 5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米？【答案与解析】设生产运营用水x亿立方米，则居民家庭用水（5.8-x）亿立方米.依题意，得 5.8-x = 3x+0.6解得x = 1.35.8-x = 5.8-1.3 = 4.5 （亿立方米）答：生产运营用水 1.3亿立方米，居民家庭用水 4.5亿立方米.【总结升华】本题要求两个未知数，不妨设其中一个未知数为x,另外一个用含x的式子表示.本题的相等关系是生产运营用水量+居民家庭用水总量=5.8亿立方米.举一反三：【变式】（麻城期末考试）麻商集团三个季度共销售冰箱2800台，第一个季度销售量是第二个季度的2倍.第三个季度销售量是第一个季度的2倍，试问麻商集团第二个季度销售冰箱多少台？【答案】解：设第二个季度麻商集团销售冰箱x台，则第一季度销售量为2x台，第三季度销售量为4x 台，依题意可得：x+2x+4x = 2800,解得：x = 400答：麻商集团第二个季度销售冰箱400台.类型二、行程问题1. 一般问题CP2•小山娃要到城里参加运动会，如果每小时走4千米，那么走完预订时间离县城还有0.5千米，如果他每小时走5千米，那么比预订时间早半小时就可到达县城•试问学校到县城的距离是多少千米？【答案与解析】解：设小山娃预订的时间为x小时，由题意得：4x+0.5 = 5（x-0.5），解得x = 3.所以4x+0.5 = 4 X 3+0.5 = 12.5（千米）.答：学校到县城的距离是12.5千米.【总结升华】当直接设未知数有困难时，可采用间接设的方法.即所设的不是最后所求的，而是通过求其它的数量间接地求最后的未知量.举一反三：【变式】某汽车在一段坡路上往返行驶，上坡的速度为10千米/时，下坡的速度为20千米/时，求汽车的平均速度.【答案】解：设这段坡路长为a千米，汽车的平均速度为x千米/时，则上坡行驶的时间为—小时，下坡行驶的10时间为■—小时.依题意，得：旦—x 2a ,20 10 20化简得：3ax 40a.1显然a丰0，解得x 133答：汽车的平均速度为 13 -千米/时.32. 相遇问题(相向问题)【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一)388410 相遇问题】3.A 、B 两地相距100km,甲、乙两人骑自行车分别从A B 两地出发相向而行，甲的速度是23km/h ，乙的速度是21km/h ，甲骑了 1h 后，乙从B 地出发，问甲经过多少时间与乙相遇？ 【答案与解析】解：设甲经过x 小时与乙相遇.由题意得：23 1 23 21 (x 1) 100解得，x=2.752.75小时与乙相遇. 等量关系：甲走的路程 +乙走的路程=100km2.5km ，求甲、乙每小时各行驶多少千米 ? 【答案】解：设乙每小时行驶 x 千米，则甲每小时行驶2(x 2.5) 2x 45解得：x 10x 2.5 10 2.5 12.5 (千米)答：甲每小时行驶 12.5千米，乙每小时行驶 10千米3. 追及问题(同向问题)C 4.一队学生去校外进行军事野营训练，他们以 5千米/时的速度行进，走了 18分钟时，学校要将 一紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以 14千米/时的速度按原路追上去，通讯员用多少分钟可以追上学生队伍 ？ 【答案与解析】解：设通讯员x 小时可以追上学生队伍，则根据题意，18得14x 5 - 5x ,60得：x 11 小时=10分钟.6， 6答：通讯员用 10分钟可以追上学生队伍【总结升华】追及问题：路程差 =速度差X 时间，此外注意：方程中 x 表示小时，18表示分钟，两边单 位不一致，应先统一单位.4. 航行问题(顺逆风问题)5 .一艘船航行于 A 、B 两个码头之间，轮船顺水航行需3小时，逆水航行需 5小时，已知水流速度是4千米/时，求这两个码头之间的距离. 【答案与解析】解法1 :设船在静水中速度为x 千米/时，则船顺水航行的速度为 (x+4)千米/时，逆水航行的速度为(x-4)千米/时，由两码头的距离不变得方程：3(x+4) = 5(x-4)，解得：x=16,—甲1小討答：甲经过 【总结升华】举一反三： 乙两人骑自行车，同时从相距 45km 的两地相向而行， 2小时相遇，每小时甲比乙多走(x +2.5)千米，根据题意，得:(16+4 )X 3=60 (千米)答：两码头之间的距离为 60千米.解法2 :设A 、B 两码头之间的距离为 x 千米，则船顺水航行时速度为-千米/时，逆水航行时速度为-35千米/时，由船在静水中的速度不变得方程:答：两码头之间的距离为 60千米.【总结升华】顺流速度 =静水速度+水流速度；逆流速度 =静水速度-水流速度，根据两个码头的距离不变或船在静水中的速度不变列方程.类型三、工程问题1 7，合注7小时注水池的 ，乙管每小时注水池的15 10【答案与解析】 解：设乙管还需x 小时才能注满水池.1 17 由题意得方程： —-x 1— 10 1510解此方程得：x = 9答：单独开乙管，还需 9小时可以注满水池.【总结升华】工作效率X 工作时间 =工作量，如果没有具体的工作量，一般视总的工作量为“ 1 ”.举一反三：【变式】修建某处住宅区的自来水管道，甲单独完成需 14天，乙单独完成需 18天，丙单独完成需 12天，前7天由甲、乙两人合作，但乙中途离开了一段时间，后两天由乙、丙合作完成问乙中途离开了几天？【答案】 解：设乙中途离开 x 天，由题意得1 1 1 7 (7 x 2)2 1141812解得：x 3答：乙中途离开了 3天 类型四、调配问题(比例问题、劳动力调配问题 )7•星光服装厂接受生产某种型号的学生服的任务，已知每 3m 长的某种布料可做上衣 2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用 750m 长的这种布料生产学生服，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套？共能生产多少套？2【思路点拨】每3米布料可做上衣2件或裤子3条，意思是每1米布料可做上衣 2件，或做裤子1条，3此外恰好配套说明裤子的数量应该等于上衣的数量. 【答案与解析】x750 x解：设做上衣需要 xm,则做裤子为(750-x)m ，做上衣的件数为2件，做裤子的件数为3 , 33x x 44，解得：x 6035.一个水池有两个注水管，两个水管同时注水, 10小时可以注满水池；甲管单独开 15小时可以注 满水池，现两管同时注水 7小时，关掉甲管，单独开乙管注水，还需要几小时能注满水池【思路点拨】视水管的蓄水量为1 ”，设乙管还需 x 小时可以注满水池；那么甲乙合注1小时注水池的1，甲管单独注水每小时注水池的10 1 1 10 1533解得：x = 450,750-x = 750-450 = 300(m),答：用450m 做上衣，300m 做裤子恰好配套，共能生产300套.【总结升华】用参数表示上衣总件数与裤子的总件数，等量关系：上衣总件数=裤子的总件数. 举一反三：【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一)调配问题】【变式】甲队有 72人，乙队有68人，需要从甲队调出多少人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的 解：设从甲队调出 x 人到乙队.由题意得，372 x 68 x4解得，x=12.答：需要从甲队调出 12人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的34实际问题与一元一次方程(一)(提高)知识讲解【学习目标】1. 熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；2. 熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路. 【要点梳理】要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题 抽象 方程检解 解答.由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、验、答. 要点诠释：(1) “审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找 (2)“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为 x ，但有时也可以间接设未知数；(3) “列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类 量，单位要统一；(4) “解”就是解方程，求出未知数的值；(5) “检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； (6) “答”就是写出答案，注意单位要写清楚.要点二、常见列方程解应用题的几种类型(待续) 1. 和、差、倍、分问题(1) 基本量及关系：增长量=原有量X 增长率，现有量=原有量+增长量，现有量=原有量 -降低量.(2) 寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增 长率等.2. 行程问题(1 )三个基本量间的关系：路程=速度X 时间则有: 2x 3(750 x) 45^-2300 (套)3(2)基本类型有：①相遇问题(或相向问题)：1 •基本量及关系：相遇路程=速度和X相遇时间n.寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程=两地距离.②追及问题：1 •基本量及关系：追及路程=速度差X追及时间n.寻找相等关系：第三，同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；第四，第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离=追者走的路程.③航行问题：i.基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度，顺水速度-逆水速度= 2 X水速；n.寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑.(3)解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析.3. 工程问题如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1.基本关系式：(1)总工作量=工作效率X工作时间；(2)总工作量=各单位工作量之和.4. 调配问题寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑.【典型例题】类型一、和差倍分问题1 .旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%第二次旅程中用去剩余汽油的40%这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？【答案与解析】解：设油箱里原有汽油x公斤，由题意得：x(1-25%)(1-40%)+仁25%x+(1-25%)x X 40%解得：x=10答：油箱里原有汽油10公斤•【点评】等量关系为：油箱中剩余汽油+1=用去的汽油•举一反三：【变式】某班举办了一次集邮展览，展出的邮票若平均每人3张则多24张，若平均每人4张则少26张，这个班有多少学生？一共展出了多少张邮票？【答案】解：设这个班有x名学生，根据题意得：3x+24 = 4x-26解得：x= 50所以3x+24 = 3X 50+24 = 174答：这个班有50名学生，一共展出了174张邮票.类型二、行程问题1. 车过桥问题2. 某桥长1200m现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了50s , 而整个火车在桥上的时间是30s，求火车的长度和速度.【思路点拨】正确理解火车“完全过桥”和“完全在桥上”的不同含义.【答案与解析】解：设火车车身长为xm,根据题意，得：1200 x 1200 x50 30 ，解得：x= 300,1200 x 1200 300 “所以30 .50 50答：火车的长度是300m,车速是30m/s.【点评】火车“完全过桥”和“完全在桥上”是两种不同的情况，借助线段图分析如下车（注：A点表示火头）：⑴ <2）（1）火车从上桥到完全过桥如图（1）所示，此时火车走的路程是桥长+车长.（2）火车完全在桥上如图（2）所示，此时火车走的路程是桥长-车长.由于火车是匀速行驶的，所以等量关系是火车从上桥到完全过桥的速度=整个火车在桥上的速度.举一反三：【变式】某要塞有步兵692人，每4人一横排，各排相距1米向前行走，每分钟走86米，通过长86米的桥，从第一排上桥到排尾离桥需要几分钟？【答案】解：设从第一排上桥到排尾离桥需要x分钟，列方程得：69286x 1 1 86,4解得：x= 3答：从第一排上桥到排尾离桥需要3分钟.2. 相遇问题（相向问题）3 .小李骑自行车从A地到B地，小明骑自行车从B地到A地，两人都匀速前进•已知两人在上午8 时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12点，两人又相距36千米.求A、B两地间的路程•【答案与解析】解：设A、B两地间的路程为x千米，由题意得：x 36 x 362 4解得：x 10 8.答：A、B两地间的路程为108千米.【点评】根据“匀速前进”可知A、B的速度不变，进而A、B的速度和不变.利用速度和=小李和小明前进的路程和/时间可得方程.举一反三：【高清课堂：实际问题与一元一次方程（一）388410二次相遇问题】10【变式】甲、乙两辆汽车分别从 到达对方车站后立即返回，两车第二次相遇时距 52km/h ，求A B 两站间的距离. 【答案】 A B 两站同时开出，相向而行,A 站 34km, 途中相遇后继续沿原路线行驶，在分别 已知甲车的速度是 70km/h ，乙车的速度是 解：设A 、B 两站间的距离为x km ,由题意得: 2x 34 70x 5234 解得：x=122 答：A 、B 两站间的距离为122km. 3.追及问题(同向问题) • 一辆卡车从甲地匀速开往乙地，出发 卡车的速度每小时快 30千米，但轿车行驶一小时后突遇故障，修理 1速度减小了 -，结果又用两小时才追上这辆卡车，求卡车的速度.3 【答案与解析】 解：设卡车的速度为 1 2x x x 2x4 解得：x=24答：卡车的速度为 【点评】采用“线示” 2小时后, x 千米/时，由题意得：(x 30) (1 1) (x 30) 2 一辆轿车从甲地去追这辆卡车，轿车的速度比15分钟后，又上路追这辆卡车，但24千米/时. 分析法，画出示意图.利用轿车行驶的总路程等于卡车行驶的总路程来列方程,理清两车行驶的速度与时间. 4.航行问题(顺逆风问题) .(武昌区联考)盛夏，某校组织长江夜游，在流速为 至B 地，然后溯江而上到 C 地下船，共乘船 4小时•已知 A 、C 两地相距 7.5千米/时，求A 、B 两地间的距离. 【思路点拨】由于 C 的位置不确定，要分类讨论： (1) C 地在A B 之间；【答案与解析】 解：设A 、B 两地间的距离为x 千米. (1) 当C 地在A B 两地之间时，依题意得.x 102.5千米/时的航段，从 A 地上船，沿江而下 10千米，船在静水中的速度为 (2) C 地在A 地上游.47.5 2.57.5 2.5解这个方程得：x = 20(千米) (2) 当C 地在A 地上游时，依题意得:x 10,47.5 2.57.5 2.520解这个方程得：x 203 20答：A B 两地间的距离为20千米或 旦 千米. 3 【点评】这是航行问题，本题需分类讨论，采用“线示”分析法画出示意图 “共乘” 4小时构建方程求解. (如下图所示)，然后利用10C x-lQ逆沆逆流5. 环形问题•环城自行车赛，最快的人在开始48分钟后遇到最慢的人，已知最快的人的速度是最慢的人速度的3 倍，环城一周是20千米，求两个人的速度•2【答案与解析】7解；设最慢的人速度为 x 千米/时，则最快的人的速度为x 千米/时，由题意得：27 48 48 —X X -X X 一 =20260£0解得：x=10答：最快的人的速度为 35千米/时，最慢的人的速度为 10千米/时. 【点评】这是环形路上的追及问题，距离差为环城一周 20千米.相等关系为：最快的人骑的路程 -最慢人骑的路程=20千米. 90m 的正方形行走，按 A T B T SD^ A …方向，甲从 A 以65m/min 的速度，乙 当乙第一次追上甲时，在正方形的哪一条边上？【答案】解：设乙追上甲用了 x 分钟，则有:72x-65x= 3 X 90 270 八 x(分)7270答：乙第一次追上甲时走了 72 270〜7类型三、工程问题• 一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管 8小时可注满水池，单独开丙管 9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？【答案与解析】 解：设再过x 小时可把水注满.由题意得：“1 1、 c “1 11、 ”( )2 ( )x 1 6 8 6 8 9 解得：x 302-. 13134答：打开丙管后2兰小时可把水放满.举一反三：【变式】两人沿着边长为从B 以72m/min 的速度行走，如图所示, 2777 (m)此时乙在 AD 边上A D13【点评】相等关系：甲、乙开2h的工作量+甲、乙、丙水管的工作量=1.举一反三：2【变式】收割一块水稻田，若每小时收割4亩，预计若干小时完成，收割2后，改用新式农机，工作效31率提高到原来的1丄倍，因此比预计时间提早1小时完成，求这块水稻田的面积.2【答案】解：设这块水稻田的面积为x亩，由题意得：2 1x xx3 3 14〒口12解得：x 36.答：这块水稻田的面积为36亩.类型四、配套问题（比例问题、劳动力调配问题）&某工程队每天安排120个工人修建水库，平均每天每个工人能挖土 5 m3或运土 3 m3，为了使挖出的土及时被运走，问：应如何安排挖土和运土的工人？【答案与解析】解：设安排x人挖土，则运土的有（120-x）人，依题意得：5x = 3（120-x）,解得x = 45.120-45 = 75（人）.答：应安排45人挖土，75人运土.【点评】用参数表示挖土数与运土数，等量关系：挖土与运土的总立方米数应相等.举一反三：【高清课堂：实际问题与一元一次方程（一）配制问题】【变式】某商店选用A、B两种价格分别是每千克28元和每千克20元的糖果混合成杂拌糖果后出售，为使这种杂拌糖果的售价是每千克25元，要配制这种杂拌糖果100千克，问要用这两种糖果各多少千克？【答案】解：设要用A种糖果x千克，则B种糖果用（100-x）千克.依题意，得：28x+20（100-x）=25 X 100解得：x=62.5.当x=62.5 时，100-x=37.5.答：要用A B两种糖果分别为62.5千克和37.5千克.实际问题与一元一次方程（二）（基础）知识讲解【学习目标】（1）进一步提高分析实际问题中数量关系的能力，能熟练找出相等关系并列出方程；⑵熟悉利润，存贷款，数字及方案设计问题的解题思路.【要点梳理】要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题分象方程求验解答.由此可得解决此类问题的一般步骤为：审、设、列、解、验、答. 要点诠释：(1)“审”是指读懂题目弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系.(2)“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数.(3)“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一.(4)“解”就是解方程，求出未知数的值.(5)“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可.(6)“答”就是写出答案，注意单位要写清楚.要点三、常见列方程解应用题的几种类型(续)1. 禾U润问题利润(1) 利润率=u润100%进价(2) 标价=成本(或进价)*1 +利润率)(3) 实际售价=标价对丁折率(4) 利润=售价—成本(或进价)=成本＞利润率注意：商品利润=售价一成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损•打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售.2•存贷款问题(1)利息=本金X利率X期数(2)本息和(本利和)=本金+利息=本金+本金X利率＞期数=本金X1 +利率X期数)(3)实得利息=利息-利息税(4)利息税=利息X利息税率(5)年利率=月利率X12(6)月利率=年利率X丄123. 数字问题已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a,十位数字为b,则这个两位数可以表示为10b+a.4. 方案问题选择设计方案的一般步骤：(1 )运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况.(2)用特殊值试探法选择方案，取小于(或大于)一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论.【典型例题】类型一、利润问题【高清课堂：实际问题与一元一次方程(二)利润问题例2】侧” 1•以现价销售一件商品的利润率为30%如果商家在现有的价格基础上先提价40%后降价50%的方法进行销售，商家还能有利润吗？为什么？【答案与解析】解：设该商品的成本为a元，则商品的现价为(1+30%)a元，依题意其后来折扣的售价为(1+30%) a • (1+40%)(1-50%)=0.91 a.■/ 0.91 a- a=-0.09 a,答：商家不仅没有利润，而且亏损的利润率为9%.【总结升华】解答此类问题时，一定要弄清题意•分清售价、进价、数量、利润之间的关系很重要. 举一反三：【高清课堂：实际问题与一元一次方程 （二）388413利润问题例3】【变式1】某个商品的进价是 500元，把它提价 40游作为标价.如果商家要想保住 12%的利润率搞促销 活动，请你计算一下广告上可写出打几折？ 【答案】解：设该商品打x 折，依题意，则：x500（1+40%） • =500 （1+12% .1010 1.12 o x==8.1.4答：该商品的广告上可写上打八折.【变式2】张新和李明相约到图书大厦去买书，请你根据他们的对话内容 （如图所示），求出李明上次所买书籍的原价.【答案】解：设李明上次购买书籍的原价为 x 元，由题意得：0.8x+20 = x-12 ,解这个方程得：x = 160.答：李明上次所买书籍的原价是 160元. 类型二、存贷款问题2 .爸爸为小强存了一个五年期的教育储蓄，年利率为 2.7 %，五年后取出本息和为17025兀，爸爸开始存入多少元. 【答案与解析】解：设爸爸开始存入 x 元.根据题意，得x + XX2.7 % X5= 17025. 解之，得x = 15000答：爸爸开始存入 15000元.【总结升华】本息和=本金+利息，禾利息=本金＞利率 ＞期数.类型三、数字问题3.一个三位数，十位上的数是百位上的数的 2倍，百位、个位上的数的和比十位上的数大 2，又个位、十位、百位上的数的和是 14,求这个三位数.【答案与解析】解：设百位上的数为 x ，则十位上的数为 2x ，个位上的数为14-2x-x由题意得：x+14-2x-x=2x+2解得：x=3/• x=3 , 2x=6 , 14-2x-x=50.09a-100%=-9%.答：这个三位数为 365【总结升华】在数字问题中应注意： （1）求的是一个三位数，而不是三个数； 间接未知数，切勿求出 x 就答；（3）三位数字的表示方法是百位上的数字乘以 10,然后把所得的结果和个位数字相加. 举一反三：【变式】一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大 4，这个两位数又是这两个数字的和的4倍，求这个两位数• 【答案】解：设十位上的数字为 X ，则个位上的数字为（X 4 ）,由题意得：10x （x 4） [x （x 4）] 4解得：x 44 10 （4 4） 48答：这两位数是 48.类型四、方案设计问题4 •为鼓励学生参加体育锻炼•学校计划拿出不超过 1600元的资金再购买一批篮球和排球•已知篮球和排球的单价比为 3:2，单价和为80元. （1）篮球和排球的单价分别是多少元 ？ ⑵若要求购买的篮球和排球的总数量是36个，且购买的篮球数量不少于26个•请探究有哪几种购买【答案与解析】解：（1）设篮球和排球的单价分别为 3x 元和2x 元.依题意3x+2x = 80,解得x = 16 即 3x = 48, 2x = 32 答：篮球和排球的单价分别为 48元和32元.（2） 米用列表法探索:方案一：购买篮球 26个，排球10个； 方案二：购买篮球 27个，排球9个； 方案三：购买篮球 28个，排球8个.【总结升华】本例设未知数的方法很独特，值得借鉴•采用列表的方法探索方案，值得学习. 举一反三： 【变式】（武昌区期末调考）某校组织10位教师和部分学生外出考察，全程票价为 25元，对集体购票，客运公司有两种优惠方案可供选择：方案一：所有师生按票价的 88%勾票；方案二：前 20人购全票，从第21人开始，每人按票价的 80%勾票. (1)若有30位学生参加考察，问选择哪种方案更省钱？（2）这类应用题，一般设 100, 10位上的数字乘以。

列方程解应用题第一讲和、差、倍、分，盈亏等实际问题的解法1．和、差、倍、分问题例1 小明做了一个实验，把黄豆育成豆芽后，重量可以增加7.5倍，如果小明想要得到3400千克黄豆芽，需要多少千克黄豆？2．盈亏问题例2 用化肥若干千克给一块麦田追肥，每公顷6kg还差17 kg；每公顷5kg就余下3kg．问这块麦田有多少公顷？共有化肥多少千克？3．劳力调配问题例3 在甲处劳动的有52人，在乙处劳动的有23人，现从甲、乙两地共调12人到丙处劳动，使在甲处劳动的人数是在乙处劳动人数的2倍，求应该从甲、乙两处各调走多少人？4．产品配套问题例4星光服装厂接受生产一些某种型号的学生服装的订单，已知每3m长的某种布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用750 m长的这种布料生产学生服。

应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套？共能生产多少套5．比赛积分问题例5 在一次有12队参加的足球循环赛(每两个队之间赛且只赛一场），规定胜一场计3分，平一场计1分，负一场计0分，某队在这次循环赛中胜场比负场多2场，结果共积18分，问该队战平几场？6．容积（体积）问题例6 一个容器装47 L水，另一个容器装58 L水。

如果将第二个容器的水倒满第一个容器，那么第二个容器剩下的水相当于这个容器容量的一半;如果将第一个容器的水倒满第二个容器，那么第一个容器的水相当于这个容器容积的三分之一，求这两个容器的容量各是多少？基础达标演练l．一桶油连桶重8 kg，油用去一半后连桶重4.5 kg，则桶中原有油多少?2．在甲处工作的有272人，在乙处工作的有196人，如果乙处工作人数是甲处工作人数的1/3，应从乙处调多少人到甲处?3．某课外兴趣小组的女生占全组人数的1/3，再加人6名女生后，女生人数就占原来的一半，问此课外兴趣小组原有多少人?4．甲、乙两仓共有大米50 t，从甲仓取出1/10，从乙仓取出2/5，则两仓所剩大米相等。

七年级的数学学习中，一元一次方程和差倍分问题是一个比较基础但又非常重要的内容。

通过学习这些概念，学生可以初步掌握代数方程的求解方法，培养逻辑思维能力，为后续高中数学学习奠定基础。

在本篇文章中，我们将从简单到复杂，由浅入深地探讨这一主题，帮助你更好地理解和掌握相关知识。

一、一元一次方程在七年级数学学习中，一元一次方程往往是学生们第一次接触的代数内容。

一元一次方程指的是一个未知数的一次方程，通常写成ax+b=0的形式，其中a、b为已知数，x为未知数。

解一元一次方程的基本思想是通过逆运算将未知数的系数和常数项分别移到方程的两侧，以求得未知数的值。

以简单的例子来说明：求解方程2x+3=7。

我们需要将方程中的常数项3移到等号右侧，得到2x=7-3，即2x=4。

然后再将未知数的系数2除到等号右侧，得到x=4/2，即x=2。

通过这样的步骤，我们得到了方程的解x=2。

二、差倍分问题差倍分问题也是七年级数学学习中比较常见的问题类型，它是一种将一个整体按照两个条件进行分割的数学问题。

通常情况下，差倍分问题会给出整体的总数量，以及分割后的差值和倍数，要求求出原整体的数量。

举个简单的例子：假如有一组数，它的平均数是12，其中有30个数，如果把其中的每个数都减去2，然后再乘以3，那么这组新数的平均是多少？这个问题就可以通过差倍分的方法来解决。

三、结合一元一次方程和差倍分问题在实际生活中，差倍分问题往往需要通过一元一次方程来解决。

因为差倍分问题常常会给出整体数量的差值和倍数，通过设定未知数，建立一元一次方程，可以比较方便地求得原整体的数量。

举个例子：某班级的学生人数是x，如果男生比女生多8人，那么男生和女生的人数各是多少？这个问题就可以利用一元一次方程来解决。

设男生人数为x，女生人数为x-8，则男女生总数为x+x-8=2x-8。

根据题意，男女生总数应该等于班级总人数x，于是建立方程2x-8=x，解方程得到x=8，代入原式可得男生人数为8，女生人数为0。

实际问题与一元一次方程（基础版）含答案【学习目标】1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路．【要点梳理】知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题−−−→分析抽象方程−−−→求解检验解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．技巧小结：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数；（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；（4）“解”就是解方程，求出未知数的值；（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．知识点二、常见列方程解应用题的几种类型1．和、差、倍、分问题（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．2．行程问题（1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间（2）基本类型有：①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间Ⅱ．寻找相等关系：第一， 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；第二， 第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度，顺水速度－逆水速度＝2×水速；Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．3．工程问题如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：（1）总工作量=工作效率×工作时间；（2）总工作量=各单位工作量之和．4．调配问题寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．【活学活用】类型一、和差倍分问题例1．（2016•黄冈）在红城中学举行的“我爱祖国”征文活动中，七年级和八年级共收到征文118篇，且七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2篇，求七年级收到的征文有多少篇？【思路点拨】设七年级收到的征文有x篇，则八年级收到的征文有（118﹣x）篇．结合七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2篇，即可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．【答案解析】解：设七年级收到的征文有x篇，则八年级收到的征文有（118﹣x）篇，依题意得：（x+2）×2=118﹣x，解得：x=38．答：七年级收到的征文有38篇．【总结升华】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程（x+2）×2=118﹣x．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．举一反三：【变式】（2015•南充）学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，今年购置计算机的数量是（）A． 25台B． 50台C． 75台D． 100台【答案解析】C．解：设今年购置计算机的数量是x台，去年购置计算机的数量是（100﹣x）台，根据题意可得：x=3（100﹣x），解得：x=75．类型二、行程问题1.一般问题例2．小山娃要到城里参加运动会，如果每小时走4千米，那么走完预订时间离县城还有0.5千米，如果他每小时走5千米，那么比预订时间早半小时就可到达县城．试问学校到县城的距离是多少千米?【答案解析】解：设小山娃预订的时间为x 小时，由题意得：4x+0.5＝5(x-0.5)，解得x ＝3．所以4x+0.5＝4×3+0.5＝12.5(千米)．答：学校到县城的距离是12.5千米．【总结升华】当直接设未知数有困难时，可采用间接设的方法．即所设的不是最后所求的，而是通过求其它的数量间接地求最后的未知量．举一反三：【变式】某汽车在一段坡路上往返行驶，上坡的速度为10千米/时，下坡的速度为20千米/时，求汽车的平均速度．【答案解析】解：设这段坡路长为a 千米，汽车的平均速度为x 千米/时，则上坡行驶的时间为10a 小时，下坡行驶的时间为20a 小时．依题意，得：21020a a x a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 化简得： 340ax a =．显然a ≠0，解得1133x =．答：汽车的平均速度为1133千米/时．2.相遇问题（相向问题）例3． A 、B 两地相距100km ，甲、乙两人骑自行车分别从A 、B 两地出发相向而行，甲的速度是23km/h ，乙的速度是21km/h ，甲骑了1h 后，乙从B 地出发，问甲经过多少时间与乙相遇？【答案解析】解:设甲经过x 小时与乙相遇.由题意得：()2312321(1)100x ⨯++-=．解得，x=2.75．答：甲经过2.75小时与乙相遇．【总结升华】等量关系：甲走的路程+乙走的路程=100km举一反三：【变式】甲、乙两人骑自行车，同时从相距45km 的两地相向而行，2小时相遇，每小时甲比乙多走2.5km ，求甲、乙每小时各行驶多少千米?【答案解析】解：设乙每小时行驶x 千米，则甲每小时行驶(x +2.5)千米，根据题意，得：2( 2.5)245x x ++=．解得：10x =．2.510 2.512.5x +=+=（千米）答：甲每小时行驶12.5千米，乙每小时行驶10千米3.追及问题（同向问题）例4．一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米/时的速度行进，走了18分钟时，学校要将一紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去，通讯员用多少分钟可以追上学生队伍?【答案解析】解：设通讯员x 小时可以追上学生队伍，则根据题意， 得18145560x x =⨯+． 得：16x =， 16小时=10分钟． 答：通讯员用10分钟可以追上学生队伍．【总结升华】追及问题：路程差=速度差×时间，此外注意：方程中x 表示小时，18表示分钟，两边单位不一致，应先统一单位．4.航行问题（顺逆流问题）例5．一艘船航行于A 、B 两个码头之间，轮船顺水航行需3小时，逆水航行需5小时，已知水流速度是4千米/时，求这两个码头之间的距离．【答案解析】解法1：设船在静水中速度为x 千米/时，则船顺水航行的速度为(x+4)千米/时，逆水航行的速度为(x-4)千米/时，由两码头的距离不变得方程：3(x+4)＝5(x-4)，解得：x=16，（16+4）×3=60（千米）．答：两码头之间的距离为60千米．解法2：设A 、B 两码头之间的距离为x 千米，则船顺水航行时速度为3x 千米/时，逆水航行时速度为5x 千米/时，由船在静水中的速度不变得方程：4435x x -=+，解得：60x =．答：两码头之间的距离为60千米．【总结升华】顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度，根据两个码头的距离不变或船在静水中的速度不变列方程．类似地，当物体在空中飞翔时，常会遇到顺风逆风问题，解题思路类似顺逆流问题．类型三、工程问题例6．一个水池有两个注水管，两个水管同时注水，10小时可以注满水池；甲管单独开15小时可以注满水池，现两管同时注水7小时，关掉甲管，单独开乙管注水，还需要几小时能注满水池?【思路点拨】视水管的蓄水量为“1”，设乙管还需x 小时可以注满水池；那么甲乙合注1小时注水池的110，甲管单独注水每小时注水池的115，合注7小时注水池的710，乙管每小时注水池的111015⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【答案解析】解：设乙管还需x 小时才能注满水池．由题意得方程：1171101510x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． 解此方程得：x ＝9．答：单独开乙管，还需9小时可以注满水池．【总结升华】工作效率×工作时间=工作量，如果没有具体的工作量，一般视总的工作量为“1” ．举一反三：【变式】修建某处住宅区的自来水管道，甲单独完成需14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需12天，前7天由甲、乙两人合作，但乙中途离开了一段时间，后两天由乙、丙合作完成问乙中途离开了几天?【答案解析】解：设乙中途离开x 天，由题意得：1117(72)21141812x ⨯+-++⨯=． 解得：3x =．答：乙中途离开了3天．类型四、调配问题（比例问题、劳动力调配问题）例7．（2015春•衡阳校级月考）某班分两组去两处植树，第一组22人，第二组26人．现第一组在植树中遇到困难，需第二组支援．问从第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数是第二组的2倍？设抽调x 人，则可列方程（ ）A ． 22+x=2×26B ． 22+x=2（26﹣x ）C ． 2（22+x ）=26﹣xD ． 22=2（26﹣x ）【思路点拨】设抽调x 人，则调后一组有（22+x ）人，第二组有（26﹣x ）人，根据关键语句：使第一组的人数是第二组的2倍列出方程即可．【答案解析】B ．解：设抽调x 人，由题意得：（22+x ）=2（26﹣x ），【总结升华】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，表示出调后两个组的人数．举一反三：【变式】甲队有72人，乙队有68人，需要从甲队调出多少人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的34.【答案解析】：设从甲队调出x 人到乙队.由题意得，()372684x x -=+． 解得，x=12. 答：需要从甲队调出 12人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的34 .【巩固练习】一、选择题1． 一个长方形的周长为26 cm, 这个长方形的长减少1 cm, 宽增加2 cm, 就可成为一个正方形, 设长方形的长为 x cm, 则可列方程 ( ) ．A. ()2261+-=-x xB. ()2131+-=-x xC. ()2261--=+x xD. 2)13(1--=+x x2．飞机逆风时速度为x 千米/小时，风速为y 千米/小时，则飞机顺风时速度为 ( ) ．A ．()x y +千米／小时B ．()x y -千米／小时C ．(2)x y +千米／小时D ．(2)x y +千米／小时3．（2016•聊城）在如图的2016年6月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（）A．27 B．51 C．69 D．724. 甲能在11天内独立完成某项工作, 乙的工作效率比甲高10%, 那么乙独立完成这项工作的天数为 ( ) ．A．10天 B． 12.1天C．9.9天D．9天．5.甲列车从A地以50千米/时的速度开往B地，1小时后，乙列车从B地以70千米/时的速度开往A地，如果A，B两地相距200千米，则两车相遇点距A地( )千米．A. 100B. 112C. 112.5D. 114.56．（2015春•宁波期中）某班同学去划船，若每船坐7人，则余下5人没有座位；若每船坐8人，则又空出2个座位．这个班参加划船的同学人数和船数分别是（）A． 47，6 B． 46，6 C． 54，7 D． 61，8二、填空题7.湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”.李红买了8个湘莲，付50元，找回38元，设每个湘莲的价格为x元，根据题意，列出方程为______________.8．某校用56m长的篱笆围成一个长方形的生物园，要使长为16 m，则宽为________m．9．小明和他父亲的年龄之和为54，又知父亲年龄是小明年龄的3倍少2岁，则他父亲的年龄为____岁．10.甲、乙二人在长为400米的圆形跑道上跑步，已知甲每秒钟跑9米，乙每秒钟跑7米．（1）当两人同时同地背向而行时，经过________秒钟两人首次相遇；（2）两人同时同地同向而行时，经过________秒钟两人首次相遇．11．（2016春•原阳县校级月考）某水池有甲进水管和乙出水管，已知单开甲注满水池需6h，单开乙管放完全池水需要9h，当同时开放甲、乙两管时需要h水池水量达全池的．12．王会计在结账时发现现金少了153.9元，查账时得知是一笔支出款的小数点看错了一位．王会计查出这笔看错了的支出款实际是________元．三、解答题13. A、B两地相距216千米，甲、乙分别在A、B两地，若甲骑车的速度为15千米/时，乙骑车的速度为12千米/时。

用一元一次方程解实际问题一、和、差、倍、分问题：本类问题依具体题意，由和、差、倍、分列方程求解．1，第三季度销量是第二例1、某大型商场三个季度共销售DVD2800台，第一季度销售量是第二季度的3季度的2倍，问第三季度销售DVD多少台？二、人数调配问题本类问题依调动后列等量关系例2、甲、乙两个工程队分别有80人和60人，为了支援乙队，需要从甲队调出一局部人进乙队，使乙队的人数比甲队人数的2倍多5人，问从甲队调出的人数应是多少？三、商品的销售问题a)商品利润=商品售价-商品进价〔即商品本钱〕商品利润×100%b)商品利润率=商品进价n售出，n折可以是小数〔如8.5折〕c)折扣率：打n折，指按售价为10例3、某商品的进价是1530元，按商品标价的9折出售时，利润率是15% ，商品的标价是多少元？分析：此题由利润=进价×利润率=标价×折扣率-进价列方程四、数字型问题解决这类问题关键在于如何巧妙设出未知数，从而化简计算，常用的设未知数方法是：①连续数设中间；②多位自然数设一位；③数字换位设局部；④小数点移动直接设；⑤数字成比例设比值；⑥特殊关系特殊设例4、一个四位整数，其个位数字为2，假设把末位数字移到首位，所得新数比原数小108，求这个四位数．五、百分比问题例5某所中学现有学生4200人，方案一年后初中在校生增加8%，高中在校生增加11%，这样全校在校生将增加10%，问：这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数分别是多少？分析：此题等量关系是：一年后初中在校生增加的人数+高中在校生增加的人数=全校在校生增加的总人数六、工程问题工程问题经常把总工作量看成1，存在等量关系：工作效率×工作时间=工作量，工作量的和=1例6、〔1〕某单位开展植树活动，由一人植树要80小时完成，现由一局部人先植树5小时，由于单位有紧急事情，再增加2人，且必须在4小时之内完成植树任务，这些人的工作效率一样，应先安排多少人植树？〔2〕某车间接到一批加工任务，方案每天加工120件，可以如期完成，实际加工时每天多加工20件，结果提前4天完成任务，问这批加工任务共有多少件？七、行程问题行程问题，它涉及路程、速度和时间三个根本量，在匀速条件下，它们的根本关系是：路程=速度×时间，行程问题又分为以下四种情况a 、 相遇问题根本关系式：快者路程+慢者路程=两地距离例7 甲、乙两列火车从A 、B 两地相向而行，乙车比甲车早发车1h ，甲车比乙车速度每小时快30km ，甲车发车两小时恰好与乙车相遇，相遇后为了错车，甲车放慢了速度，以它原来的32速度行驶；而乙车加快了速度，以它原来的35倍飞速行驶，结果241h 后，两车距离又等于A 、B 两地之间的距离，求两车相遇前速度及A 、B 两地之间的距离。