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百强名校人教高中数学精品课件_【数学】《椭圆及其标准方程》课件(新人教A版选修2-1)(整理版)

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3.1.1椭圆及其标准方程ppt课件新教材人教A版选择性必修第一册

3.1.1椭圆及其标准方程ppt课件新教材人教A版选择性必修第一册
两焦点
半焦距
离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为______．
问题式预习
3.1.1 椭圆及其标准方程
任务型课堂
课后素养评价
[微训练]
1．到两定点F1(－2，0)和F2(2，0)的距离之和为4的点的轨迹是(
A．椭圆
B．线段
C．圆
D．直线
B
)
解析：因为|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|＝4，所以点M的轨迹是线段
圆的标准方程为(
)
2
A．
4
2
C．
4
A
+
2
＝1
3
2
B． ＋y2＝1
4
+
2
＝1
3
2
D． ＋x2＝1
4
解析：由题意知c＝1.因为椭圆的焦点在x轴上，所以，可设椭圆
2
的标准方程为 2

2
+ 2 ＝1(a>b>0)．

4
0
又点P(2，0)在椭圆上，所以 2 + 2 ＝1，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝3.
)
3
A．2
B．4
C．8
D．
2
2
2


B 解析：由椭圆的方程 + ＝1，得a＝5.
25
9
由椭圆定义得|MF1|＋|MF2|＝2a＝2×5＝10.
又|MF1|＝2，所以|MF2|＝10－2＝8.
因为N为MF1的中点，O为F1F2的中点，所以线段ON为△MF1F2的中
1
位线．所以|ON|＝
2
1
2 ＝ ×8＝4.
问题式预习
3.1.1 椭圆及其标准方程

2025版新教材高中数学第3章椭圆及其标准方程课件新人教A版选择性必修第一册

2025版新教材高中数学第3章椭圆及其标准方程课件新人教A版选择性必修第一册

关键能力•攻重难
题型一
题型探究 求椭圆的标准方程
1．根据下列条件，求椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点 P13，13，Q0，－12.
[分析] (1)设出焦点在x轴上的椭圆的标准方程，再根据条件求出 a，b的值，即可求得方程；(2)设出焦点在y轴上的椭圆的标准方程，再 根据条件求出a，b的值，即可求得方程；(3)焦点位置不确定，可以分两 种情况分别求解，也可直接设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0， m≠n)．
所以所求椭圆的标准方程为y12＋x12＝1. 45
方法二：设椭圆的方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
则19m＋19n＝1， 14n＝1，
解得nm＝＝45.，
所以所求椭圆的方程为 5x2＋4y2＝1，
故椭圆的标准方程为y12＋x12＝1. 45
[规律方法] 1.定义法求椭圆方程 利用定义，直接求出a，c，再求出b后根据焦点的位置写出椭圆的方 程． 2．待定系数法求椭圆标准方程的步骤 (1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，还是在 两个坐标轴上都有可能．
ay22＋bx22＝1(a>b>0)． 因为 c2＝16，且 c2＝a2－b2，故 a2－b2＝16.① 又点( 3，－ 5)在椭圆上，所以－a252＋ b322＝1，
即a52＋b32＝1.② 由①②得 b2＝4，a2＝20， 所以所求椭圆的标准方程为2y02 ＋x42＝1.
题型二
椭圆中的焦点三角形问题
2．借助轨迹方程的学习，培养逻辑推理及直观想象素养.

(新课标)高中数学《2.1.1椭圆及其标准方程》课件-新人教A版选修1-1

(新课标)高中数学《2.1.1椭圆及其标准方程》课件-新人教A版选修1-1
第17页，共29页。
【变式 1】 求适合下列条件的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0)； (2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，－5)，椭圆上一点 P 到两 焦点的距离之和为 26. 解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为ax22＋by22 ＝1(a>b>0)． 因为 2a＝ （5＋3）2＋02＋ （5－3）2＋02＝10，2c＝6， 所以 a＝5，c＝3，所以 b2＝a2－c2＝52－32＝16. 所以所求椭圆的标准方程为2x52 ＋1y62 ＝1.
规律方法 求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即 要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标 准方程，最后由条件确定待定系数即可．当所求椭圆的焦点位 置不能确定时，应按焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上进行分类讨 论，但要注意 a>b>0 这一条件．当已知椭圆经过两点，求椭圆 的标准方程时，把椭圆的方程设成 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n) 的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用 讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程．
第12页，共29页。
(2)∵椭圆的焦点在 y 轴上， ∴设它的标准方程为ay22＋bx22＝1(a>b>0)． ∵椭圆经过点(0，2)和(1，0)， ∴aa4022＋＋bb1022＝ ＝11，⇒ab22＝ ＝41， ， 故所求椭圆的标准方程为y42＋x2＝1.
第13页，共29页。
(3)法一 ①当椭圆的焦点在 x 轴上时，设椭圆的方程为 ax22＋by22＝1(a>b>0)． ∵点( 36， 3)和点(232，1)在椭圆上， ∴（ （23a3a622） 2）2＋2＋（1b22＝b32）1. 2＝1，∴ba22＝＝91.，而 a>b>0. ∴a2＝1，b2＝9 不合题意， 即焦点在 x 轴上的椭圆的方程不存在．

高中数学《椭圆及其标准方程》课件新人教版A版必修

高中数学《椭圆及其标准方程》课件新人教版A版必修

求椭圆的方程
M
方案一
F1
F2
F2 M
F1
方案二
二、椭圆的标准方程
(1)建系设点： 以F1、F2所在直线
为x轴，线段F1F2的垂 直平分线为y轴，建立 平面直角坐标系xoy.
7
y M
F1 O
F2 x
(2)列式： 椭圆是由下列集合中的点构成的.
P {M || MF1 | | MF2 | 2a}
2a 2c, 即 a c
a2 c2 0
9
令 a2 c2 b2 , 其中 b 0
b2x2 a2 y2 a2b2
即
x2 y2 a2 b2
1
(a b 0)
代入上式，得
y
M
F1 O
F2 x
该方程叫做椭圆的标准方程。 焦点是F1(-c,0)、F2(c,0)
y

F1
c
o
M(x, y)
x
c

F2
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)
y
F2 M(x, y)
c
x
o
c
F1
y2 a2

x2 b2
1(a
b 0)
总结反思，提高认识
1、一个定义 2、两个方程 3、三个思想与方法
数形结合思想 方程思想 待定系数法
，焦距等于 16 .
3、若M为椭圆 x2 y 2 1上一点，F1、F2分别为椭圆的左、 25 16
右焦点，并且︱MF1︱=6,则︱MF2︱= 4 .
4.判定下列椭圆的焦点在x轴还是y轴上，并指明 a2、b2，写出焦点坐标及焦距.

椭圆及其标准方程-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册课件

椭圆及其标准方程-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册课件

必备素养一 1.平面内到两定点 F₁,F₂ 的距离之和为常数，即|MF₁|+|MF₂| =2a, 当 2a>|F₁F₂ | 时，轨迹是椭圆；当2a=|F₁F₂ | 时，轨迹是一条线 段F₁F₂; 当 2a<|F₁F₂| 时，轨迹不存在.
2.由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标，或求参数的值(或取值 范围).
表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值
(-6,一2)U(3,十一)[由a²>a+6>0 得a>3 或-6<a < 一
2.]
类 型 1 求椭圆的标准方程
【 例 1】 求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为F₁(一4,0),F₂(4,0), 并且椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于10; (2)焦点坐标分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,3 √2); (3)经过两点(2,一 √2),
[解]由椭圆方
知a=2,c=1,由椭圆定义，得
+PF₂ |=2a=4,且F₁F₂ |=2,在△PF₁F₂ 中，∠PF₁F₂=90° .
.1
从而(4—
+4,
则
因此
·F₁F₂l
故所求△PF₁F₂ 的面积为
2.本例(2)中方程改为
且“∠PF₁F₂=120°”
改为“∠F₁PF₂=120°”,若△PF₁F₂ 的面积为 √ 3,求b的值.
[解](1)因为椭圆的焦点在x 轴上，且c=4,2a=10, 所以a=5, b=√a²-c²=√25- 16=3, 所以椭圆的标准方程
(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程 1(a>b>0).
法一：由椭圆的定义知2a= √ (4-0)²+(3√2+2)²+

人教A版高中数学选修椭圆及其标准方程PPT精品课件

人教A版高中数学选修椭圆及其标准方程PPT精品课件

O
y F2
x M F1
a2c2b2
椭圆的标准方程 y
y M
F1 O F2
x
F2
x M F1
x2y21(ab0) a2 b2
y2x21(ab0) a2 b2
焦 :F 1 ( 点 c ,0 )F 2 ,( c ,0 ) 焦 :F 1 ( 0 , 点 c )F 2 ,( 0 ,c )
a2c2b2
椭圆方程有特点 系数为正加相连
M
F1
F2
F1
F2
探究2：椭圆的标准方程
设M(x, y)是椭圆上任意一点，
椭圆的焦距2c(c>0)，则F1、F2的坐标分别 是(c,0)、(c,0)
M与F1和F2的距离的和等于正常数2a
(2a>2c)
y
|M 1| F |M 2| F 2 a
M
|M 1| F(xc)2y2
|M 2| F(xc)2y2
1 36 32
当堂训练
2.写出适合下列条件的椭 圆的标准方程： （2）焦点坐标分别为（ 0,4）, (0,4), a 5;
解：由题意知 c： 4,a5
b 2 a 2 c 2 2 1 5 9 6
练一练：求曲线的方程
1.两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离平方和为26， 求点M的轨迹方程.
解：两定点分别记为点A、B，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴， 建立直角坐标系，得A（-3,0）、B(3,0)，设M（x,y）.
由题意 M知 A 2M ：B 2 26
y M（x,y）
MA (x3)2(y0)2 MB (x3)2(y0)2
A（-3,0）o
x B (3,0)
代入得：

人教A版高二数学《椭圆及其标准方程》课件

y
设M(x, y)是椭圆上任意一点，
M
椭圆的焦距2c(c>0)，M
与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的坐 标分别是(c,0)、(c,0) .
F1 0 F x
2
由椭圆的定义得，限制条件：| MF1 | | MF2 | 2a
代入坐标 | MF1 | (x c)2 y2 ,| MF2 | (x c)2 y2
点 焦点的位 x2 , y2 项中哪个分母大，焦点就在哪一条
置的判定
坐标轴上.
15
x2 变式1：椭圆的方程为：3
y2 7
1
,
则
a=____7_，b=____3___，c=___2____，焦点坐
标为：(0_,_2_)和__（__0_,-_2_）_焦距等于_____4_____;曲
线上一点P到焦点F2的距离为3，则点P到另 一个焦点F1的距离等于___2__7___3_，则 △F1PF2的周长为_2__7___4_____ y
25 16
25 16
思考：求合适下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭
圆经过点(5,0)．
y
解：因为椭圆的焦点在 x 轴上，设
x2 a2
y2 b2
1(a
>
b>
0).
由椭圆的定义知
F1 O
F2 P x
2a (5 4)2 (0 0)2 (5 4)2 (0 0)2 10，
所以 a 5.
又因为 c 4，所以 b2 a2 c2 25 16 9.
因此，所求椭圆的标准方程为
x2 y2 1. 25 9
定义法 20

3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(19张)高中数学新人教A版选择性必修第一册


第1讲 描述运动第的三基章本概圆念锥曲线的方程
-21(舍). 所以所求椭圆方程为 y2 + x2 =1.
20 4
(2)设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n). 因为A( 3 ,-2)和B(-2 3 ,1)两点在椭圆上,
所以
m
(
3)2 n (2)2 1,
m (2 3)2 n 12 1,
同,但都具备a2=b2+c2.( √ )
+ =x421的y9焦2 点为(- ,0),( 5 ,0). 5( ✕ )
提示:在椭圆
x2 4
+
y2 9
=1中,a2=9,b2=4,焦点在y轴上,所以焦点为(0,-
5 )、(0,
5 ).
第1讲 描述运动第的三基章本概圆念锥曲线的方程
1 | 椭圆标准方程的求法
种g ( x,
y), y).
规
律
运
动
而
形
成
的
,
只
要
把
所
求
动
点
的
坐
标
第1讲 描述运动第的三基章本概圆念锥曲线的方程
求过点A(2,0)且与圆B:x2+4x+y2-32=0内切的圆M的圆心的轨迹方程.
思路点拨 由两圆内切确定圆心距与半径的关系 寻找动点满足的几何条件 何条件符合椭圆的定义,进而求出椭圆方程.
5
所以cos∠F1PF2=
| PF1 |2 | PF2 |2 | F1F2 |2
2 | PF1 | | PF2 |
第1讲 描述运动第的三基章本概圆念锥曲线的方程
= (| PF1 | | PF2 |)2 | F1F2 |2 2 | PF1 || PF2 |

3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(53张)高中数学新人教A版选择性必修第一册


探究点三 利用代入法求轨迹方程
解题感悟 当题目中所求动点和动点存在明显关系时，一般利用代入法〔相关点法
〕求轨迹方程.
〔1〕 求该椭圆的标准方程；
B
D
4. 求满足以下条件的椭圆的标准方程.
D
A
C
B
C
D C
B
A
〔1〕 椭圆的标准方程；
解题感悟 椭圆的定义是题目的隐含条件，解决椭圆问题时要注意挖掘此条件.
第三章 圆锥曲线的方程
椭圆
椭圆及其标准方程
课标要求
素养要求
1.掌握椭圆的定义、标准方程.
课
标 2.掌握用定义法和待定系数法求 1.数学抽象——能够从具体情境中
解 椭圆的标准方程.
抽象出椭圆.
Байду номын сангаас
读 3.理解椭圆标准方程的推导过程 2.数学运算——能够通过运算求椭
，并能运用标准方程解决相关问 圆的标准方程.
题.
焦距
焦点
2. 椭圆的标准方程：
探究点一 椭圆的标准方程
类型1 求椭圆的标准方程
例1 求适合以下条件的椭圆的标准方程.
类型2 根据椭圆的标准方程求参数的取值范围
B
B
2. [2021江苏苏州高新第一中学高二期中] 求适合以下条件的椭圆的标准方 程.
探究点二 椭圆定义的应用
例1
8
64

2025版新教材高中数学第3章第1课时椭圆及其标准方程课件新人教A版选择性必修第一册


(2)当 m>4 时，a＝ m，b＝2，
∴c＝ m－4，
∴e＝ac＝ mm－4＝12，解得 m＝136，
∴a＝4 3 3，c＝2 3 3，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为8 3
3，4，焦点坐标为
F10，－2
3
3，
F20，2
3
3，顶点坐标为
A10，－4
3
3，A20，4
3
3，B1(－2,0)，B2(2,0)．
2．注意事项：当椭圆的焦点位置不确定时，通常要分类讨论，分 别设出标准方程求解，可确定类型的量有焦点、顶点；而不能确定类型 的量有长轴长、短轴长、离心率、焦距．
对点训练❷ 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为13，长轴 长为 12，则椭圆方程为( C )
A.1x424＋1y228＝1 或1x228＋1y424＝1 B.x62＋y42＝1 C.3x62 ＋3y22 ＝1 或3x22 ＋3y62 ＝1 D.x42＋y62＝1 或x62＋y42＝1
c2＝7，从而
e＝ac＝
7 4.
3．已知椭圆的长轴长为 8，离心率为14，则椭圆的标准方程为
______1x_62_＋__1y_52_＝__1_或__1y_62_＋__1_x52_＝__1__________. [解析] 由题意知 2a＝8，ac＝14，则 c＝1，从而 b2＝42－1＝15，
所以椭圆的标准方程为1x62 ＋1y52 ＝1 或1y62 ＋1x52 ＝1.
则 Mc，23b. 代入椭圆方程，得ac22＋49bb22＝1. 所以ac22＝59.
所以ac＝
35，即
e＝
5 3.
方法二：设椭圆方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)， ∵xM＝c 代入椭圆方程得 yM＝ba2(M 点在 x 轴上方)， ∴ba2＝23b， ∴ba＝23， ∴e＝ac＝ ac22＝ a2－a2 b2＝ 1－ba22＝ 1－232＝ 35.
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解：建系如图，则B(-3,0),C(3,0) ，设A(x,y) 由题意得： y
A( x, y)
AB AC 10 （常数）
b=4 B o
所以点A的轨迹是椭圆，且a=5,c=3,

x2 y2 所求方程为 1 (y 0 ) 25 16
A,B,C构成三角形
x2 y2 点A的轨迹方程为： 1 25 16
移项得
o
x
1
( x c) 2 y 2 2a - ( x c) 2 y 2
2 2 2 平方得 a cx a ( x c) y
F
再平方，并整理得
2015-4-20
2 2 2 a c b 令 得b
(a 2 c 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c 2 )
数学：2.1《椭圆》课件（新人教A选修2-1）
2015-4-20
上课
目标
演示
题组训练
作业
推导方程
小结
2015-4-20
目标
1.理解椭圆标准方程的推导；
2.掌握椭圆的标准方程； 3.会根据条件求椭圆的标准方程, 会根据椭圆的标准方程求焦点坐标。
2015-4-20
y2 x2 2 1 2 x y 16
2 2
2
1
1
或
y
2
16
x 1
2
题组3、4
题组训练
x2 y2 1上一点,P到一个焦点的距离为4,则 25 16
题组3（1）P为椭圆
P到另一个焦点的距离为_6_
x2 y2 ,两焦点过的直线交椭圆于A,B两点,则 1 16 9
x
2
（2）如图, 椭圆
C
x
y0
2015-4-20
课堂小结
• 1、椭圆的定义，应注意什么问题？ • 2、求椭圆的标准方程，应注意什么问题？
2015-4-20
作业
3 5 • 1. 已知椭圆两个焦点（ -2，0），F2（2，0），并 2 2 且经过点（ , ），求它的标准方程。
• 2.椭圆的两个焦点F1（-8，0），F2（8，0），且 椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，求此椭圆 的标准方程。 • 3.若B（-8，0），C（8，0）为的两个顶点，AC和 AB两边上的中线和是30，求的重心G的轨迹方程。
2015-4-20
2 2
a,b,c的关系
a
2
F (0,c)
1
F
2
(0, c)
b c
焦点位置的 看标准方程的分母，谁的分母大就在其对 判断 应的轴上。 2015-4-20
题组训练
题组1
（1）在椭圆 点坐标是 ( 7,0)
x2 y2 1中,a= 4 ,b= 3 ,焦距是 16 9 轴上. ( 7 ,0) ,焦点位于
y （1）回顾求圆的标准方程的基 2 2 M y x 本步骤 2 1 2 建立坐标系、设点、找等量关系、代入坐标、化简 F o F a b MF MF 2a得 ⑵如何建立适当的坐标系求椭圆的方程？
1
2
x
1
2
建立如图所示的坐标系,
则F1(-C,0),F2(C,0)
M
y
F
2
2 2 2 2 设M(x,y)是椭圆上的任意一点， 由定义 2a (xa) y (xa) y
x
2 7
焦
25x 2 4 y 2 100 中,a= ５ ,b= ２ ,焦距是2 21 （2）在椭圆 焦 y 轴上. 21) 点坐标是,____ .焦点位于__ (0, 21) (0,__
题组2 求适合下列条件的椭圆的标准方程
2
（1）a=4,b=1,焦点在X轴上.
（2）a=4,c=,焦点在坐标轴上
2
x a x a b
2 2 2 2
2
小结：同学们完成下表
椭圆的定义
{M
MF
1

MF
F
2
2a,2a
FF
1
2
}
M
F
2
2
F
1
M
图 形 标准方程 焦点坐标
F
1
x y a b
2 2
1
2
2
1(a b 0)
y x a b
2
2
2
2
1(a b 0)
F (c,0)
F
2
(c,0)
三角形ABC的周长是_16
（3）如果点M(x,y)在运动过程,总满足关系式:
( y 3)
2
x
2
( y 3) 10
2
点M的轨迹是什么曲线?写出它的方程.
答案：表示以（0，-3），（0, 3)为焦点的椭圆方程为
25
y x
2
2
16
1
2015-4-20
• 题组4（1）已知两定点F1（-3，0），F2（3，0），若 点PF P满 1 PF 2 10 PF1 PF2 6 • 足 ，则点P的轨迹是 椭圆 ，若点P满 BC 6 • 足 ，则点P的轨迹是 线段 。 • 分析：求符合某种条件的点的轨迹方程，常常要画出草图， (2) 已知△ABC的一边长 ，周长为16，求顶 点A的轨迹方程。 建立适当的坐标系。（数形结合思想的应用）