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教学过程一、高考解读分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论”二、复习预习应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化（1）集合的运算及韦恩图（2）函数及其图像（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图像（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线以形助数常用的有借助数轴；借助函数图像；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法以数助形常用的有借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合三、知识讲解考点1 分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则分类讨论常见的依据是1由概念内涵分类如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类2由公式条件分类如等比数列的前n项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等3由实际意义分类如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论四、例题精析例题1 四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( )A150种 B147种 C144种 D141种【规范解答】解析任取4个点共C=210种取法四点共面的有三类（1）每个面上有6个点，则有4×C=60种取共面的取法；（2）相比较的4个中点共3种；（3）一条棱上的3点与对棱的中点共6种答案C【总结与思考】实际情况的分类讨论问题例题2 解关于的不等式。
【规范解答】①当或时，有，原不等式的解集为②当时，有，原不等式的解集为③当时，或，原不等式无解。
高考数学二轮复习专题 9 思想方法专题第三讲分类议论思想理第三讲分类议论思想分类议论思想是将一个较复杂的数学识题分解( 或切割 ) 成若干个基础性问题，经过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题推行分类与整合，分类标准等于是增加的一个已知条件，实现了有效增设，将大问题( 或综合性问题) 分解为小问题 ( 或基础性问题) ，优化解题思路，降低问题难度．1．由数学观点惹起的分类议论：有的观点自己是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．2．由性质、定理、公式的限制惹起的分类议论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不一样的条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单一性等．3．由数学运算要求惹起的分类议论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同时乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．4．由图形的不确立性惹起的分类议论：有的图形种类、地点需要分类，如角的终边所在的象限；点、线、面的地点关系等．5．由参数的变化惹起的分类议论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，因为参数的取值不一样会致使所得结果不一样，或对于不一样的参数值要运用不一样的求解或证明方法．6．由实质意义惹起的议论：此类问题在应用题中，特别是在解决摆列、组合中的计数问题经常用．判断下边结论能否正确 ( 请在括号中打“√”或“×” ) ．(1) 24ac － b 2二次函数 y ＝ ax ＋ bx ＋c ， x ∈ [a ， b] 的最值必定是.( ×)4a(2) 二次函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋c ， x ∈ R ，不行能是偶函数． ( × )(3) 幂函数的图象都经过点(1 ，1)和点 (0 ，0) ．( ×)(4) 当 n>0 时，幂函数 y ＝x n 是定义域上的增函数．( × )222(5) 若函数 f(x) ＝ (k － 1)x ＋ 2x － 3 在 ( －∞， 2) 上单一递加，则 k ＝± 2 .( × )(6)2＝f(0) ＝ 5，f(x)＝ f(3) ＝2.( ×)已知 f(x) ＝x －4x ＋ 5，x ∈ [0 ， 3) ，则 f(x)minmax1．过双曲线 2x 2－y 2＝ 2 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A ， B 两点，若 |AB| ＝ 4，则这样的直线有 ( B)A ．4 条B ．3 条C ．2条D ．1 条2分析： 由 2x 2－ y 2＝ 2，得 x 2－y2 ＝ 1.2b 2 当 l 无斜率时， |AB| ＝＝ 4，切合要求。
高考数学第二轮复习分类讨论思想方法在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。
分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。
有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。
引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。
如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。
这种分类讨论题型可以称为概念型。
②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。
如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。
这种分类讨论题型可以称为性质型。
③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。
如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。
这称为含参型。
另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。
进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。
其中最重要的一条是“不漏不重”。
解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。
一、方法简解：1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A B，那么a的范围是_____。
A. 0≤a≤1B. a≤1C. a<1D. 0<a<12.若a>0且a≠1，p＝loga (a3＋a＋1)，q＝loga(a2＋a＋1)，则p、q的大小关系是_____。
高考数学二轮复习考点知识讲解与练习第36讲等比数列及其前n项和考点知识：1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系．知识梳理1．等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列．数学语言表达式：a nan－1＝q(n≥2，q为非零常数)．(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．那么Ga＝bG，即G2＝ab.2. 等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{a n}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为a n＝a1q n－1；通项公式的推广：a n＝a m q n－m.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，S n＝na1；当q≠1时，S n＝a1(1－q n)1－q＝a1－a n q1－q.3．等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和． (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k ·a l ＝a m ·a n .(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n .1．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ，{a n ·b n }，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n b n 也是等比数列． 2．由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．4．三个数成等比数列，通常设为xq ，x ，xq ；四个符号相同的数成等比数列，通常设为x q3，xq，xq ，xq 3. 诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)等比数列公比q 是一个常数，它可以是任意实数．( ) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 解析 (1)在等比数列中，q ≠0.(2)若a ＝0，b ＝0，c ＝0满足b 2＝ac ，但a ，b ，c 不成等比数列． (3)当a ＝1时，S n ＝na .(4)若a 1＝1，q ＝－1，则S 4＝0，S 8－S 4＝0，S 12－S 8＝0，不成等比数列．2．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A ．－12B ．－2C ．2D ．12答案 D解析 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，即q ＝12.3．等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则{a n }的通项公式a n ＝________. 答案 －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1解析 因为S 10S 5＝3132，所以S 10－S 5S 5＝－132， 因为S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5， 所以q 5＝－132，q ＝－12，则a n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.4．(2021·兰州诊断)设等比数列{a n }的前6项和为6，且a 1＝a ，a 2＝2a ，则a ＝( )A.221B．17C．421D．521答案 A解析由题意得公比q＝a2a1＝2，则S6＝a1(1－26)1－2＝63a＝6，解得a＝221.5．(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为( )A.32f B．322f C．1225f D．1227f答案 D解析由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f，公比为122的等比数列，设此数列为{a n}，则a8＝1227f，即第八个单音的频率为1227f.6．(2019·全国Ⅰ卷)记S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1＝1，S3＝34，则S4＝________.答案5 8解析设等比数列{a n}的公比为q，则S3＝a1＋a2＋a3＝1＋q＋q2＝3 4，解得q＝－12，所以a4＝a1q3＝－18，故S4＝S3＋a4＝34－18＝58.考点一 等比数列基本量的运算1．(2019·全国Ⅲ卷)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( )A ．16B ．8C ．4D ．2 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 5＝3a 3＋4a 1得q 4＝3q 2＋4，得q 2＝4. 因为数列{a n }的各项均为正数，所以q ＝2.又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝a 1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a 1＝1，所以a 3＝a 1q 2＝4.2．(2022·全国Ⅱ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S n a n ＝( )A ．2n －1B ．2－21－nC ．2－2n －1D ．21－n －1 答案 B解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 则q ＝a 6－a 4a 5－a 3＝2412＝2. 所以S n a n ＝a 1(1－2n )1－2a 12n －1＝2n －12n －1＝2－21－n. 3．(2022·新高考海南卷)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8. (1)求{a n }的通项公式；(2)求a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1.解 (1)设{a n }的公比为q (q >1)，且a 2＋a 4＝20，a 3＝8. ∴⎩⎨⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8消去a 1，得q ＋1q ＝52，则q ＝2，或q ＝12(舍)．因此q ＝2，a 1＝2， 所以{a n }的通项公式a n ＝2n .(2)易知(－1)n －1a n a n ＋1＝(－1)n －1·22n ＋1， 则数列{(－1)n －122n ＋1}公比为－4. 故a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1·a n a n ＋1 ＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n －1·22n ＋1＝23[1－(－4)n ]1＋4＝85[1－(－4)n ]＝85－(－1)n·22n ＋35.感悟升华 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解． 2．等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q .考点二 等比数列的判定与证明【例1】S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q >0. (1)求a n 及S n ；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解(1)易知q ≠1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝9a 1q ，a 1(1－q 3)1－q＝13，q >0，解得a 1＝1，q ＝3， ∴a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝3n －12.(2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列， ∵S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13， ∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝12，此时S n ＋12＝12×3n，则S n ＋1＋12S n ＋12＝12×3n ＋112×3n＝3，故存在常数λ＝12，使得数列{S n ＋12}是以32为首项，3为公比的等比数列．感悟升华 1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．2．在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n ＝1的情形进行验证．【训练1】(2021·石家庄质量评估)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .(1)证明：数列{a 2n －1}和数列{a 2n }都是等比数列；(2)若数列{a n }的前2n 项和为T 2n ，b n ＝(3－T 2n )n (n ＋1)，求数列{b n }的最大项．(1)证明 由a n a n ＋1＝12n ，得a n ＋1a n ＋2＝12n ＋1.两式相除，得a n ＋2a n ＝12因为a 1＝1，a 1·a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121，所以a 2＝12，所以{a 2n －1}是以a 1＝1为首项，12为公比的等比数列，{a 2n }是以a 2＝12为首项，12为公比的等比数列．(2)解 因为T 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝3－32n ，所以b n ＝(3－T 2n )n (n ＋1)＝3n (n ＋1)2n. 则b n ＋1b n ＝3(n ＋1)(n ＋2)2n ＋1·2n 3n (n ＋1)＝n ＋22n . 当n <2时，n ＋22n>1，即b 2>b 1＝3； 当n ＝2时，n ＋22n ＝1，即b 2＝b 3＝92； 当n >2时，n ＋22n <1，即b n ＋1<b n .故数列{b n }的最大项是b 2或b 3，为92.考点三 等比数列的性质及应用【例2】 (1)(2022·全国Ⅰ卷)设{a n }是等比数列，且a 1＋a 2＋a 3＝1，a 2＋a 3＋a 4＝2，则a 6＋a 7＋a 8＝( )A ．12B ．24C ．30D ．32(2)(2021·长郡中学检测)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 8－2S 4＝5，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为( )A ．25B ．20C ．15D ．10 答案 (1)D (2)B解析 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 2＋a 3＋a 4a 1＋a 2＋a 3＝21＝2，所以a 6＋a 7＋a 8＝(a 1＋a 2＋a 3)·q 5＝1×25＝32. (2)在正项等比数列{a n }中，S n >0， 因为S 8－2S 4＝5，则S 8－S 4＝5＋S 4， 易知S 4，S 8－S 4，S 12－S 8是等比数列， 所以(S 8－S 4)2＝S 4·(S 12－S 8)， 所以S 12－S 8＝(S 4＋5)2S 4＝25S 4＋S 4＋10≥225S 4·S 4＋10＝20(当且仅当S 4＝5时取等号)因为a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝S 12－S 8，所以a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为20.感悟升华 1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．2．等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．【训练2】(1)(2021·广州调研)正项等比数列{a n}满足a2a4＝1，S3＝13，则其公比是( )A．1 B．12C．13D．14(2)设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S6S3＝3，则S9S6＝________.答案(1)C (2)7 3解析(1)设{a n}的公比为q，且a2a4＝1，∴a23＝1，易知q>0，a3＝1.由S3＝a1＋a2＋a3＝1＋1q＋1q2＝13.则12q2－q－1＝0，解得q＝1 3 .(2)法一由等比数列的性质知，S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，由已知得S6＝3S3，所以S6－S3S3＝S9－S6S6－S3，即S9－S6＝4S3，S9＝7S3，所以S9S6＝73.法二因为{a n}为等比数列，由S6S3＝3，设S6＝3a，S3＝a，所以S3，S6－S3，S9－S6为等比数列，即a,2a，S9－S6成等比数列，所以S9－S6＝4a，解得S9＝7a，所以S9S6＝7a3a＝73.等比数列前n项和性质的延伸在等比数列{a n}中，S n表示{a n}的前n项和，{a n}的公比为q，1．当S n ≠0时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等比数列(n ∈N *)． 2．S n ＋m ＝S n ＋q n S m ，特别地S 2n ＝S 奇＋qS 奇．【典例】 (1)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.(2)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前5项和为________． 答案 (1)2 (2)3116解析 (1)由题设，S 偶＝S 奇－80，S 2n ＝－240. ∴⎩⎨⎧S 奇＋qS 奇＝－240，qS 奇＝S 奇－80，∴⎩⎨⎧S 奇＝－80，q ＝2.(2)设等比数列{a n }的公比q ，易知S 3≠0. 则S 6＝S 3＋S 3q 3＝9S 3，所以q 3＝8，q ＝2.所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，其前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.思维升华 1.等比数列前n 项和的性质，体现了整体思想在数列中的应用．2．在运用性质1时，要注意条件S n ≠0；在性质2中，回避讨论公比q ＝1是否成立，优化了解题过程．【训练】 已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( )A ．40B ．60C ．32D ．50 答案 B解析数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4,8，S9－S6，S12－S9是首项为4，公比为2的等比数列，则S9－S6＝a7＋a8＋a9＝16，S12－S9＝a10＋a11＋a12＝32，又S9＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)＋(a7＋a8＋a9)＝4＋8＋16＝28.因此S12＝28＋32＝60.A级基础巩固一、选择题1．(2022·皖北名校联考)设b∈R，数列{a n}的前n项和S n＝3n＋b，则( )A．{a n}是等比数列B．{a n}是等差数列C．当b＝－1时，{a n}是等比数列D．当b≠－1时，{a n}是等比数列答案 C解析当n＝1时，a1＝S1＝3＋b，当n≥2，a n＝S n－S n－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1，当b＝－1时，a1＝2适合a n＝2·3n－1，{a n}为等比数列．当b≠－1时，a1不适合a n＝2·3n－1，{a n}不是等比数列．2．已知等比数列{a n}满足a1＝1，a3·a5＝4(a4－1)，则a7的值为( )A．2 B．4 C．92D．6答案 B解析 根据等比数列的性质得a 3a 5＝a 24，∴a 24＝4(a 4－1)，即(a 4－2)2＝0，解得a 4＝2.又a 1＝1，a 1a 7＝a 24＝4，∴a 7＝4.3．(2021·长春检测)数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，a n >0，a 2＋a 3＝4，a 3＋3a 4＝2，则S 3＝( ) A.283 B ．12 C ．383D ．13 答案 D解析 设等比数列{a n }的公比为q .由题意得⎩⎨⎧a 1q ＋a 1q 2＝4，a 1q 2＋3a 1q 3＝2，解得⎩⎨⎧a 1＝9，q ＝13，∴S 3＝9⎝⎛⎭⎪⎫1－1331－13＝13.4．在数列{a n }中，满足a 1＝2，a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，S n 为{a n }的前n 项和，若a 6＝64，则S 7的值为( )A ．126B ．256C ．255D ．254 答案 D解析 数列{a n }中，满足a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)， 则数列{a n }为等比数列，设其公比为q ，又由a 1＝2，a 6＝64，得q 5＝a 6a 1＝32，则q ＝2，则S 7＝a 1(1－27)1－2＝28－2＝254.5．(2021·西安调研)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3＝( )A．1∶2 B．2∶3 C．3∶4 D．1∶3答案 C解析∵{a n}是等比数列，则S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，由S6∶S3＝1∶2，令S3＝x(x≠0)，则S6＝12x.∴(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，则S9－S6＝x 4，从而S9＝x2＋x4＝3x4，故S9∶S3＝3∶4.6．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1 000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑完了1 000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟领先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟领先他1米，……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，当阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为( )A.105－1900米 B．105－990米C.104－9900米 D．104－190米答案 D解析由题意可知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列{a n}，且a1＝100，q＝110，a n＝0.1.∴乌龟爬行的总距离为S n＝100－0.1×1101－110＝104－190.二、填空题7．若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________. 答案 1解析 {a n }为等差数列，a 1＝－1，a 4＝8＝a 1＋3d ＝－1＋3d ，∴d ＝3，∴a 2＝a 1＋d ＝－1＋3＝2.{b n }为等比数列，b 1＝－1，b 4＝8＝b 1·q 3＝－q 3，∴q ＝－2，∴b 2＝b 1·q ＝2，则a 2b 2＝22＝1. 8．(2021·河南六市联考)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则a 1＝________. 答案 1解析 由于S 3＝7，S 6＝63知公比q ≠1， 又S 6＝S 3＋q 3S 3，得63＝7＋7q 3. ∴q 3＝8，q ＝2.由S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－8)1－2＝7，得a 1＝1.9．若数列{a n }的首项a 1＝2，且a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)．令b n ＝log 3(a n ＋1)，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 100＝________. 答案 5 050解析 由a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)可知a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，所以数列{a n ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＋1＝3n ，a n ＝3n －1. 所以b n ＝log 3(a n ＋1)＝n ， 因此b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 100＝100(1＋100)2＝5 050. 三、解答题10．(2019·全国Ⅱ卷)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝2a 2＋16. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和．解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设得2q 2＝4q ＋16，即q 2－2q －8＝0. 解得q ＝－2(舍去)或q ＝4.因此{a n }的通项公式为a n ＝2×4n －1＝22n －1.(2)由(1)得b n ＝(2n －1)log 22＝2n －1，因此数列{b n }的前n 项和为1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2.11．(2022·南昌调研)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 7＝49，a 2＋a 8＝18. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若S 3，a 17，S m 成等比数列，求S 3m .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 7＝49，a 2＋a 8＝18，∴⎩⎨⎧S 7＝7a 4＝49，a 2＋a 8＝2a 5＝18⇒⎩⎨⎧a 4＝7，a 5＝9，则d ＝2.∴a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －1. (2)由(1)知：S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2.∵S 3，a 17，S m 成等比数列，∴S 3·S m ＝a 217，即9m 2＝332，解得m ＝11.故S 3m ＝S 33＝332＝1 089.B 级 能力提升12．数列{a n }的前n 项和为S n ，且3a n ＋S n ＝4(n ∈N *)，设b n ＝na n ，则数列{b n }的项的最大值为( ) A.8164 B ．2716 C ．32D ．2 答案 B解析 由条件可知：3a n ＋S n ＝4,3a n －1＋S n －1＝4(n ≥2)．相减，得a n ＝34a n －1.又3a 1＋S 1＝4a 1＝4，故a 1＝1.则a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1，b n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1.设{b n }中最大的项为b n ，则⎩⎨⎧b n ≥b n －1，b n ≥b n ＋1.即⎩⎪⎨⎪⎧n ⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1≥(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －2，n ⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1≥(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫34n .解之得3≤n ≤4.∴{b n }的项的最大值为b 3＝b 4＝2716. 13．(2021·太原检测)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 5＝3a 3，且a 4与9a 7的等差中项为2，则S 5＝________. 答案 121解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由已知得a 2a 5＝a 3a 4＝3a 3，又a 3≠0，所以a 4＝3，即a 1q 3＝3 ①.因为a 4与9a 7的等差中项为2，所以a 4＋9a 7＝a 4(1＋9q 3)＝4 ②， 联立①②解得q ＝13，a 1＝81.所以S 5＝81×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1351－13＝121.14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n >0，S 2n ＝a 2n ＋1－λS n ＋1，其中λ为常数．(1)证明：S n ＋1＝2S n ＋λ；(2)是否存在实数λ，使得数列{a n }为等比数列？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由．(1)证明 ∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，S 2n ＝a 2n ＋1－λS n ＋1，∴S 2n ＝(S n ＋1－S n )2－λS n ＋1，则S n ＋1(S n ＋1－2S n －λ)＝0.∵a n >0，知S n ＋1>0，∴S n ＋1－2S n －λ＝0， 故S n ＋1＝2S n ＋λ.(2)解 由(1)知，S n ＋1＝2S n ＋λ， 当n ≥2时，S n ＝2S n －1＋λ， 两式相减，a n ＋1＝2a n (n ≥2，n ∈N *)，所以数列{a n }从第二项起成等比数列，且公比q ＝2. 又S 2＝2S 1＋λ，即a 2＋a 1＝2a 1＋λ， ∴a 2＝a 1＋λ＝1＋λ>0，得λ>－1. 因此a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，(λ＋1)·2n －2，n ≥2.若数列{a n }是等比数列，则a 2＝1＋λ＝2a 1＝2. ∴λ＝1，经验证得λ＝1时，数列{a n }是等比数列.。
高考数学二轮复习专题教案：第6讲分类讨论思想在解题中的应用-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第6讲 分类讨论思想在解题中的应用一、知识整合1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。
2.所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。
实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略3.分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。
4.分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论。
5.含参数问题的分类讨论是常见题型。
6.注意简化或避免分类讨论。
二、例题分析例1.一条直线过点（5，2），且在x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为（ ）A. x y +-=70B. 250x y -=C. x y x y +-=-=70250或D. x y y x ++=-=70250或分析：设该直线在x 轴，y 轴上的截距均为a,当a=0时，直线过原点，此时直线方程为y x x y =-=25250，即；当a ≠0时，设直线方程为x a ya a +==17，则求得，方程为x y +-=70。
例2．∆ABC A B C 中，已知，，求sin cos cos ==12513分析：由于C A B =-+π()[]∴=-+=--⋅cos cos()cos cos sin sin C A B A B A B因此，只要根据已知条件，求出cosA ，sinB 即可得cosC 的值。
但是由sinA 求cosA 时，是一解还是两解？这一点需经过讨论才能确定，故解本题时要分类讨论。
【专题二】分类讨论思想分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。
1．分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则。
有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：（1）涉及的数学概念是分类讨论的；如绝对值|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。
这种分类讨论题型可以称为概念型。
再有：直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类；（2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。
这种分类讨论题型可以称为性质型。
再有，圆锥曲线的统一定义中图形的分类等；（3）由实际意义分类。
如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论；（4）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的；如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。
这称为含参型。
（5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的。
在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论。
2．分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。
根据不同标准可以有不同的分类方法，但分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏，包含各种情况，同时要有利于问题研究；3．分类原则：（1）对所讨论的全域分类要“即不重复，也不遗漏”（2）在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行（3）对多级讨论，应逐级进行，不能越级；4．分类方法：（1）概念和性质是分类的依据（2）按区域（定义域或值域）进行分类是基本方法（3）不定因素（条件或结论不唯一，数值大小的不确定，图形位置的不确定）是分类的突破口（4）二分发是分类讨论的利器（4）层次分明是分类讨论的基本要求；5．讨论的基本步骤：(1)明确讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；(2)对所讨论的对象进行合理分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级)；(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决。
