6.2平行四边形的判定(3)

平行四边形的判定与性质（2012•德阳）如图，点D 是△ABC 的边AB 的延长线上一点，点F 是边BC 上的一个动点（不与点B 重合）．以BD、BF 为邻边作平行四边形BDEF，又APBE（点P、E 在直线AB 的同侧），如果BD=AB，那么△PBC 的面积与△ABC 面积之比为（）A．B．C．D．【考点】平行四边形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】首先过点P 作PH∥BC 交AB 于H，连接CH，PF，易得四边形APEB，BFPH 是平行四边形，又由四边形BDEF 是平行四边形，设BD=a，则AB=4a，可求得BH=PF=3a，又由S △HBC =S △PBC ，S △HBC ：S △ABC =BH：AB，即可求得△PBC 的面积与△ABC 面积之比．【解答】解：过点P 作PH∥BC 交AB 于H，连接CH，PF，∵AP BE，∴四边形APEB 是平行四边形，∴PE∥AB，PE=AB，∵四边形BDEF 是平行四边形，∴EF∥BD，EF=BD，即EF∥AB，∴P，E，F 共线，设BD=a，∵BD=AB，∴PE=AB=4a，则PF=PE﹣EF=3a，∵PH∥BC，∴S △HBC =S △PBC ，∵PF∥AB，∴四边形BFPH 是平行四边形，∴BH=PF=3a，∵S △HBC ：S △ABC =BH：AB=3a：4a=3：4，∴S △PBC ：S △ABC =3：4．故选D．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质与三角形面积比的求解方法．此题难度较大，注意准确作出辅助线，注意等高三角形面积的比等于其对应底的比．（2015•盐城三模）如图，在10个边长都为1的小正三角形的网格中，点P 是网格的一个顶点，以点P 为顶点作格点平行四边形（即顶点均在格点上的四边形），请你写出所有可能的平行四边形的对角线的长1或或或2或3．【考点】平行四边形的判定与性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】首先确定以P为顶点的平行四边形有哪几个，然后根据勾股定理即可求得对角线的长．【解答】解：平行四边形有：PABD，PACE，PMNE，PMQE，APMD，APNE，PQGA．平行四四边形PABD，平行四边形PMNE对角线长是1和；平行四边形PACE和PMQE的对角线长是：和；平行四边形APNE的对角线长是：2和；平行四边形PQGA的对角线长是3和．故答案为：1或或或2或3．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定，正确找出以P为顶点的平行四边形有哪几个是解题关键．（2014•福州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF=BC．若AB=10，则EF的长是5．【考点】平行四边形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．【专题】压轴题．【分析】根据三角形中位线的性质，可得DE与BC的关系，根据平行四边形的判定与性质，可得DC与EF 的关系，根据直角三角形的性质，可得DC与AB的关系，可得答案．【解答】解：如图，连接DC．DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=，∵CF=BC，∴DE∥CF，DE=CF，∴CDEF是平行四边形，∴EF=DC．∵DC是Rt△ABC斜边上的中线，∴DC==5，∴EF=DC=5，故答案为：5．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（2005•黑龙江）如图，E，F是▱ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：BE=DF（或BF=DE 或∠BAE=∠DCF），使四边形AECF是平行四边形．【考点】平行四边形的判定与性质．【专题】压轴题；开放型．【分析】用反推法，假如四边形是平行四边形，会推出什么结果，这结果就是要添加的条件．【解答】解：使四边形AECF是平行四边形．就要使AE∥CF，AE=CF，就要使△AEB≌△CFD，而在平行四边形中已有AB=CD，∠ABE=∠CDF，再加一个BE=DF，或BF=DE就可用SAS证△AEB≌△CFD，BE=DF，或BF=DE．故答案为：BE=DF或BF=DE或∠BAE=∠DCF．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，本题是开放题，答案不唯一，可以针对各种特殊的平行四边形的判定方法，给出条件，本题主要是通过给出证明△AEB≌△CFD的条件来得到AE∥CF，AE=CF，根据四边形中一组对边平行且相等就可证明为是平行四边形．（2009•宁德）如图：点A、D、B、E在同一直线上，AD=BE，AC=DF，AC∥DF，请从图中找出一个与∠E相等的角，并加以证明．（不再添加其他的字母与线段）【考点】平行四边形的判定与性质．【专题】证明题；压轴题；开放型．【分析】根据平行四边形的判定先判断出四边形ADFC是平行四边形，再进一步判断出四边形BEFC是平行四边形即可．【解答】图中∠FCB=∠E．证明：∵AC=DF，AC∥DF，∴四边形ADFC是平行四边形．∴CF∥AD，CF=AD．∵AD=BE，CF∥AD，∴CF=BE，CF∥BE，∴四边形BEFC是平行四边形．∴∠FCB=∠E．【点评】本题考查的是平行线及平行四边形的性质与判定，属较简单题目．（2009•铁岭校级模拟）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB、AC为底边向△ABC的外侧作等腰△ABD和ACE，且AD⊥AC，AB⊥AE，DE和AB相交于F．试探究线段FD、FE的数量关系，并加以证明．说明：如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，可以从图2、3中选取一个，并分别补充条件∠CAB=45°、∠CAB=30°后，再完成你的证明．【考点】平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】本题的解题思路是通过利用等腰三角形的性质，构建平行四边形先根据平行四边形的判定，证明所构建的图形是平行四边形，从而得出答案．【解答】解：猜想：DF=FE．证明：过点D作DN⊥AB于N，连接NE．∵DA=DB，DN⊥AB，∴BN=AN，过N作NE⊥AC，于点G，∴∠NGA=90°，∵∠BCA=90°，∴NG∥BC，∵BN=AN，∴CG=GA，∵CE=AE，∴EG⊥AC，∴N、G、E在一条直线上，∵DA⊥CA，NE⊥AC，∴NE∥AD，又∵DN⊥AB，EA⊥BA，∴DN∥EA，∴四边形DNEA是平行四边形，∴DF=EF（平行四边形对角线互相平分）．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质与判定等知识点，在做题时要注意隐含条件的运用．（2008•临夏州）如图，在▱ABCD中，点E是CD的中点，AE的延长线与BC的延长线相交于点F．（1）求证：△ADE≌△FCE；（2）连接AC、DF，则四边形ACFD是下列选项中的（）A、梯形；B、菱形；C、正方形；D、平行四边形．【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】第（1）问由平行四边形的性质和中点的性质可证ASA．第（2）问在第（1）问的基础上，由平行四边形的判定可证．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BF，∴∠D=∠ECF．∵E是CD的中点，∴DE=CE．又∠AED=∠FEC，∴△ADE≌△FCE．（2）填“D”证明：由（1）可得：AD∥CF，AD=CF，∴四边形ACFD是平行四边形．【点评】此题是基础题，考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定．（1998•河北）如图①，在四边形ABCD中，已知AB=BC=CD，∠BAD和∠CDA均为锐角，点P是对角线BD上的一点，PQ∥BA交AD于点Q，PS∥BC交DC于点S，四边形PQRS是平行四边形．（1）当点P与点B重合时，图①变为图②，若∠ABD=90°，求证：△ABR≌△CRD；（2）对于图①，若四边形PRDS也是平行四边形，此时，四边形ABCD应是何种特殊的四边形？（按题中所给条件画出图形，不必说明理由）【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰梯形的判定．【专题】压轴题．【分析】（1）可先证CR⊥BD，根据等腰三角形“三线合一”的性质，求得∠BCR=∠DCR，进而求得∠BAR=∠DCR，又有AB=CR，AR=BC=CD，可证△ABR≌△CRD；（2）由PS∥QR，PS∥RD知，点R在QD上，故BC∥AD．又由AB=CD知∠A=∠CDA因为SR∥PQ∥BA，所以∠SRD=∠A=∠CDA，从而SR=SD．由PS∥BC及BC=CD知SP=SD．而SP=DR，所以SR=SD=RD故∠CDA=60度．因此四边形ABCD还应满足BC∥AD，∠CDA=60°【解答】（1）证明：如图②，∵∠ABD=90°，AB∥CR，∴CR⊥BD．∵BC=CD，∴∠BAR=∠BCR．∵四边形ABCR是平行四边形，∴∠BCR=∠DCR．∴∠BAR=∠DCR．又∵AB=CR，AR=BC=CD，∴△ABR≌△CRD（SAS）．（2）解：四边形ABCD还应满足BC∥AD，∠CDA=60°的梯形，理由如下：由PS∥QR，PS∥RD知，点R在QD上，故BC∥AD．又由AB=CD，知∠A=∠CDA，因为SR∥PQ∥BA，所以∠SRD=∠A=∠CDA，从而SR=SD．由PS∥BC∴△DCB∽△DSP，∵BC=CD，∴SP=SD．而SP=DR，所以SR=SD=RD，故∠CDA=60°．因此四边形ABCD还应满足BC∥AD，∠CDA=60°．【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．（2015•郫县模拟）如图所示，六边ABCDEF中，AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，BC平行且等于FE，对角线FD⊥BD．已知FD=24cm，BD=18cm．则六边形ABCDEF的面积是432平方厘米．【考点】平行四边形的判定与性质；三角形的面积；勾股定理．【专题】压轴题．【分析】连接AC交BD于G，AE交DF于H．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形AEDB和AFDC．易得AC=FD，EH=BG．计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积．【解答】解：连接AC交BD于G，AE交DF于H．∵AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，∴四边形AEDB是平行四边形，四边形AFDC是平行四边形，∴AE=BD，AC=FD，∴EH=BG．平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积=FD•BD=24×18=432．【点评】此题要熟悉平行四边形的判定和性质．注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算．（2013•沈阳模拟）（2012•重庆模拟）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD、∠ABC的平分线AF、BG分别与线段CD交于点F、G，AF与BG交于点E．（1）求证：AF⊥BG，DF=CG；（2）若AB=10，AD=6，AF=8，求FG和BG的长度．【考点】平行四边形的判定与性质；勾股定理．【专题】压轴题．【分析】（1）由在平行四边形ABCD中，∠BAD、∠ABC的平分线AF、BG分别与线段CD交于点F、G，易求得2∠BAF+2∠ABG=180°，即可得∠AEB=90°，证得AF⊥BG，易证得△ADF与△BCG是等腰三角形，即可得AD=DF，BC=CG，又由AD=BC，即可证得DF=CG；（2）由（1）易求得DF=CG=8，CD=AB=10，即可求得FG的长；过点B作BH∥AF交DC的延长线于点H，易证得四边形ABHF为平行四边形，即可得△HBG是直角三角形，然后利用勾股定理，即可求得BG的长．【解答】（1）证明：∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF=∠BAD．∵BG平分∠ABC，∴∠ABG=∠CBG=∠ABC．∵四边形ABCD平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，即2∠BAF+2∠ABG=180°，∴∠BAF+∠ABG=90°．∴∠AEB=180°﹣（∠BAF+∠ABG）=180°﹣90°=90°．∴AF⊥BG；∵AB∥CD，∴∠BAF=∠AFD，∴∠AFD=∠DAF，∴DF=AD，∵AB∥CD，∴∠ABG=∠CGB，∴∠CBG=∠CGB，∴CG=BC，∵AD=BC．∴DF=CG；（2）解：∵DF=AD=6，∴CG=DF=6．∴CG+DF=12，∵四边形ABCD平行四边形，∴CD=AB=10．∴10+FG=12，∴FG=2，过点B作BH∥AF交DC的延长线于点H．∴∠GBH=∠AEB=90°．∵AF∥BH，AB∥FH，∴四边形ABHF为平行四边形．∴BH=AF=8，FH=AB=10．∴GH=FG+FH=2+10=12，∴在Rt△BHG中：BG==．∴FG的长度为2，BG的长度为4．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、垂直的定义以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．（2011•北京）在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明CE=CF；（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）根据AF平分∠BAD，可得∠BAF=∠DAF，利用四边形ABCD是平行四边形，求证∠CEF=∠F即可．（2）根据∠ABC=90°，G是EF的中点可直接求得．（3）分别连接GB、GC，求证四边形CEGF是平行四边形，再求证△ECG是等边三角形．由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，求证△BEG≌△DCG，然后即可求得答案【解答】（1）证明：如图1，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，∴∠CEF=∠F．∴CE=CF．（2）解：连接GC、BG，∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，∴四边形ABCD为矩形，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF=45°，∵∠DCB=90°，DF∥AB，∴∠DFA=45°，∠ECF=90°∴△ECF为等腰直角三角形，∵G为EF中点，∴EG=CG=FG，CG⊥EF，∵△ABE为等腰直角三角形，AB=DC，∴BE=DC，∵∠CEF=∠GCF=45°，∴∠BEG=∠DCG=135°在△BEG与△DCG中，∵，∴△BEG≌△DCG，∴BG=DG，∵CG⊥EF，∴∠DGC+∠DGA=90°，又∵∠DGC=∠BGA，∴∠BGA+∠DGA=90°，∴△DGB为等腰直角三角形，∴∠BDG=45°．（3）解：延长AB、FG交于H，连接HD．∵AD∥GF，AB∥DF，∴四边形AHFD为平行四边形∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°∴△DAF为等腰三角形∴AD=DF，∴CE=CF，∴平行四边形AHFD为菱形∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，∴BH=GF在△BHD与△GFD中，∵，∴△BHD≌△GFD，∴∠BDH=∠GDF∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°【点评】此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．同学们在解决此类问题时，可以通过以下的步骤进行思考和分析：（1）通过测量或特殊情况的提示进行猜想；（2）根据猜想的结果进行联想（如60度角可以联想到等边三角形，45度角可以联想到等腰直角三角形等）；（3）在联想的基础上根据已知条件利用几何变换（如旋转、平移、轴对称等）构造全等解决问题．（2011•厦门）如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AB=3cm，BC=5cm，AE=AB，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，△BEP为等腰三角形？【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）推出AD∥BC，AB∥DC，根据平行四边形的判定推出即可；（2）求出AC，当P在BC上时，①BP=EB=2，②BP=PE，作PM⊥AB于M，根据cosB求出BP，③BE=PE=2cm，作EN⊥BC于N，根据cosB求出BN；当P在CD上不能得出等腰三角形；当P在AD上时，过P作PQ⊥BA于Q，证△QAP∽△ABC，推出PQ：AQ：AP=4：3：5，设PQ=4xcm，AQ=3xcm，在△EPN中，由勾股定理得出方程（3x+1）2+（4x）2=22，求出方程的解即可．【解答】（1）证明：∵∠BAC=∠ACD=90°，∴AB∥CD，∵∠B=∠D，∠B+∠BAC+∠ACB=∠D+∠ACD+∠DAC=180°，∴∠DAC=∠ACB，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．（2）解：∵∠BAC=90°，BC=5cm，AB=3cm，′由勾股定理得：AC=4cm，即AB、CD间的最短距离是4cm，∵AB=3cm，AE=AB，∴AE=1cm，BE=2cm，设经过ts时，△BEP是等腰三角形，当P在BC上时，①BP=EB=2cm，t=2时，△BEP是等腰三角形；②BP=PE，作PM⊥AB于M，∴BM=ME=BE=1cm∵cos∠ABC===，∴BP=cm，t=时，△BEP是等腰三角形；③BE=PE=2cm，作EN⊥BC于N，则BP=2BN，∴cosB==，∴=，BN=cm，∴BP=，∴t=时，△BEP是等腰三角形；当P在CD上不能得出等腰三角形，∵AB、CD间的最短距离是4cm，CA⊥AB，CA=4cm，当P在AD上时，只能BE=EP=2cm，过P作PQ⊥BA于Q，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠QAD=∠ABC，∵∠BAC=∠Q=90°，∴△QAP∽△ABC，∴PQ：AQ：AP=4：3：5，设PQ=4xcm，AQ=3xcm，在△EPQ中，由勾股定理得：（3x+1）2+（4x）2=22，∴x=，AP=5x=cm，∴t=5+5+3﹣=，答：从运动开始经过2s或s或s或s时，△BEP为等腰三角形．【点评】本题主要考查对平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定．全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．（2011•鞍山）已知如图，D是△ABC中AB边上的中点，△ACE和△BCF分别是以AC、BC为斜边的等腰直角三角形，连接DE、DF．求证：DE=DF．【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．【专题】证明题；压轴题．【分析】分别取AC、BC中点M、N，连接MD、ND，再连接EM、FN，利用在直角三角形中：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和已知条件证明四边形MDNC为平行四边形，再利用平行四边形的性质和已知条件证明△EMD≌△DNF即可．【解答】证明：分别取AC、BC中点M、N，连接MD、ND，再连接EM、FN，∵D为AB中点，∠AEC=90°，∠BFC=90°，∴EM=AC，FN=BC，∵D是△ABC中AB边上的中点，∴DN是△ABC的中位线．∴DN=AC，∴EM=DN=AC，FN=MD=BC，∵DN∥CM且DN=CM，∴四边形MDNC为平行四边形，∴∠CMD=∠CND．∵∠EMC=∠FNC=90°，∴∠EMC+∠CMD=∠FNC+∠CND，即∠EMD=∠FND，∴△EMD≌△DNF（SAS）．∴DE=DF．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，题目难度中等综合性不小．（2010•盘锦）如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF ∥DE交AB于点F．（1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF=CD；（2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；（3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】（1）根据△ABC和△AED是等边三角形，D是BC的中点，ED∥CF，求证△ABD≌△CAF，进而求证四边形EDCF是平行四边形即可；（2）在（1）的条件下可直接写出△AEF和△ABC的面积比；（3）根据ED∥FC，结合∠ACB=60°，得出∠ACF=∠BAD，求证△ABD≌△CAF，得出ED=CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形，即可证明EF=DC．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC，且∠BAD=∠BAC=30°，∵△AED是等边三角形，∴AD=AE，∠ADE=60°，∴∠EDB=90°﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，∵ED∥CF，∴∠FCB=∠EDB=30°，∵∠ACB=60°，∴∠ACF=∠ACB﹣∠FCB=30°，∴∠ACF=∠BAD=30°，在△ABD和△CAF中，，∴△ABD≌△CAF（ASA），∴AD=CF，∵AD=ED，∴ED=CF，又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF=CD．（2）解：△AEF和△ABC的面积比为：1：4；（3）解：成立．理由如下：∵ED∥FC，∴∠EDB=∠FCB，∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF，∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB ∴∠AFC=∠BDA，在△ABD和△CAF中，∴△ABD≌△CAF（AAS），∴AD=FC，∵AD=ED，∴ED=CF，又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF=DC．【点评】此题主要考查学生对平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质的理解和掌握．此题涉及到的知识点较多，综合性较强，难度较大．（2010•滨州模拟）（2013•钦州）如图，图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图（箭头表示行进的方向）．其中E为AB的中点，AH＞HB，判断三人行进路线长度的大小关系为（）A．甲＜乙＜丙B．乙＜丙＜甲C．丙＜乙＜甲D．甲=乙=丙【考点】平行四边形的判定与性质．【专题】应用题；压轴题．【分析】延长ED和BF交于C，如图2，延长AG和BK交于C，根据平行四边形的性质和判定求出即可．【解答】解：图1中，甲走的路线长是AC+BC的长度；延长AD和BF交于C，如图2，∵∠DEA=∠B=60°，∴DE∥CF，同理EF∥CD，∴四边形CDEF是平行四边形，∴EF=CD，DE=CF，即乙走的路线长是AD+DE+EF+FB=AD+CD+CF+BC=AC+BC的长；延长AG和BK交于C，如图3，与以上证明过程类似GH=CK，CG=HK，即丙走的路线长是AG+GH+HK+KB=AG+CG+CK+BK=AC+BC的长；即甲=乙=丙，故选D．【点评】本题考查了平行线的判定，平行四边形的性质和判定的应用，注意：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的对边相等．（2013•明溪县质检）图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图（箭头表示行进的方向）．其中E为AB的中点，AJ＞JB．判断三人行进路线长度的大小关系为（）A．甲=乙=丙B．甲＜乙＜丙C．乙＜丙＜甲D．丙＜乙＜甲【考点】平行四边形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】由角的度数可以知道（2）（3）中的两个三角形的对应边都是平行的，所以图二，图三中的三角形都和图一中的三角形相似．而且图二三角形全等，图三三角形相似．【解答】解：根据以上分析：所以图二可得AE=BE，AD=EF，DE=BE，∵AE=BE=AB∴AD=EF=AC，DE=BE=BC．∴甲=乙图三与图一中，三个三角形相似，所以，==，∵AJ+BJ=AB，∴AI+JK=AC，IJ+BK=BC∴甲=丙．∴甲=乙=丙．故选A．【点评】此题考查的知识点是平行四边形的性质，关键本题主要利用三角形的相似和全等，可求得线段的关系．（2011•柳州）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形的个数共有（）A．12个B．9个C．7个D．5个【考点】平行四边形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】根据平行四边形的定义即可求解．【解答】解：根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，则图中的四边AEOH，HOFD，EBNO，ONCF，AEFD，EBCF，ABNH，HNCD，ABCD都是平行四边形，共9个．故选B．【点评】此题考查的知识点是平行四边形的判定，本题可根据平行四边形的定义，直接从图中数出平行四边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复．（2015•柳州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，点P从点A出发以2cm/s的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒．（1）从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？（2）从运动开始，当t取何值时，△PQC为直角三角形？【考点】平行四边形的判定与性质；勾股定理的逆定理；直角梯形．【专题】压轴题；动点型．【分析】（1）已知AD∥BC，添加PD=CQ即可判断以PQDC为顶点的四边形是平行四边形．（2）点P处可能为直角，点Q处也可能是直角，而后求解即可．【解答】解：（1）当PQ∥CD时，四边形PDCB是平行四边形，此时PD=QC，∴12﹣2t=t，∴t=4．∴当t=4时，四边形PQDC是平行四边形．（2）过D点，DF⊥BC于F，∴DF=AB=8．FC=BC﹣AD=18﹣12=6，CD=10，①当PQ⊥BC，则BQ+CQ=18．即：2t+t=18，∴t=6；②当QP⊥PC，此时P一定在DC上，CP1=10+12﹣2t=22﹣2t，CQ2=t，易知，△CDF∽△CQ2P1，∴，解得：t=，③情形：当PC⊥BC时，因∠DCB＜90°，此种情形不存在．∴当t=6或时，△PQC是直角三角形．【点评】此题主要考查了一组对边平行且相等的四边形是平行四边形以及圆与圆的位置关系等知识，注意分情况讨论和常见知识的应用．。

平行四边形判定方法
平行四边形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质。

在几何学中，我们经常需要判定一个四边形是否为平行四边形，本文将介绍几种判定平行四边形的方法。

首先，我们可以通过四边形的对边是否平行来判定它是否为平行四边形。

如果一个四边形的对边是平行的，那么它就是一个平行四边形。

这是平行四边形的最基本的判定方法，也是最直观的方法之一。

其次，我们可以通过四边形的对角线是否相等来判定它是否为平行四边形。

如果一个四边形的对角线相等，那么它就是一个平行四边形。

这个方法常用于菱形和正方形的判定，因为菱形和正方形都是特殊的平行四边形。

另外，我们还可以通过四边形的内角是否相等来判定它是否为平行四边形。

如果一个四边形的内角相等，那么它就是一个平行四边形。

这个方法常用于矩形和正方形的判定，因为矩形和正方形都是特殊的平行四边形。

最后，我们可以通过四边形的对边是否相等和对角线是否平分对角来判定它是否为平行四边形。

如果一个四边形的对边相等且对角线平分对角，那么它就是一个平行四边形。

这个方法常用于菱形的判定，因为菱形具有这样的特点。

在实际问题中，我们可以根据需要选择合适的方法来判定一个四边形是否为平行四边形。

有时候，我们需要结合多种方法来进行判定，以确保结果的准确性。

总之，判定一个四边形是否为平行四边形，需要我们熟练掌握几种方法，并在实际问题中灵活运用。

希望本文介绍的方法能够对大家有所帮助。

6.2平行四边形的判定（2）学案学习目标：1、通过探究，了解平行线之间的距离的概念，理解平行线之间的距离处处相等.2、会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题.学习重点：探究平行线之间的距离.学习难点：综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题.学习过程：一、知识回顾1.平行四边形的定义及性质：定义：的四边形是平行四边形.性质：平行四边形的对边，对角，邻角，对角线，平行四边形是对称图形.2.平行四边形的判定：与边相关：1. 的四边形是平行四边形．2. 的四边形是平行四边形．3. 的四边形是平行四边形．与角相关：的四边形是平行四边形．与对角线相关：对角线的四边形是平行四边形．二、探究学习1、探究活动：在笔直的铁轨上，夹在铁轨之间的平行枕木是否一样长？思考：把笔直的铁轨看作：平行枕木看作：枕木与铁轨的位置关系是：2、验证猜想：已知：如图，直线a∥b，A，B是直线a上任意两点，AD⊥b，BC⊥b，垂足分别为C，D.求证：AD=BC.★思考：改变A，B两点的位置，AD=BC还成立吗？3、收获新知：★定义：如果两条直线平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离，这个距离称为.注意：平行线之间的距离.4、问题升级思考：如果将AD⊥b，BC⊥b改为AD∥BC，其他条件不变.AD=BC还成立吗？验证猜想：已知：直线a∥b，线段AD，BC是夹在直线a，b之间的两条线段，且AD∥BC.求证：AD=BC.成果提炼：夹在两条平行线之间的平行线段.几何语言：三、学以致用1. 如图，以方格纸的格点为顶点，画出几个平行四边形，并说明你画图的方法和道理.2. 如图，在□ABCD中，∠ABC=70°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点D作BE的平行线，交BC于点F，则∠CDF= .3. 例. 已知：如图，在□ABCD中，点M，N分别在AD，BC上，点E，F在BD上，且DM=BN，DF=BE.求证：四边形MENF是平行四边形.4. 变式练习：已知：如图，将□ABCD的对角线BD向两个方向延长至点E和点F，使BE=DF，求证：四边形AECF是平行四边形．四、课堂小结请你在课后把平行四边形的性质整理在下面.五、课后作业A组1. 不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（）A．AB=CD，AD=BC B．AB∥CD，AB=CDC．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC2．在△ABC中，DE∥AB，FD∥BC，EF∥AC，则下列说法中正确的有（）.①图中共有三个平行四边形；②AF=BF，CE=BE，AD=CD；③EF=DE=DF；④图中共有三对全等三角形。