高中数学拓展知识一戴德金分割

戴德金分割法
戴德金分割法（Debt Equity Ratio）是一种用来衡量企业资本结构的指标，它指的是企业债务与股东权益之间的比率。

戴德金分割法可以用以下公式表示：Debt Equity Ratio = Total Debt / Total Equity
其中，Total Debt代表企业的总债务，包括长期债务和短期债务；Total Equity代表企业的股东权益，包括股本、留存收益和其他所有者权益。

通过计算戴德金分割比率，可以评估企业的财务稳定性和偿债能力。

较高的戴德金分割比率可能表示企业债务负担较重，风险较高。

较低的比率可能表示企业相对较少依赖债务融资，财务稳定性较好。

需要注意的是，戴德金分割比率在不同行业和企业之间，可接受的比率范围可能有所不同。

一些行业可能需要更高的债务资本比，而其他行业则更加注重股东权益的比例。

此外，戴德金分割比率也可以在不同时间点进行比较，以分析企业的财务状况的变化趋势。

比率随着时间的推移发生显著变化可能会显示出企业的持续债务增长或权益融资活动。

综上所述，戴德金分割法是一种常用的财务指标，用于评估企业资本结构和偿债能力。

然而，它仅提供一个指标，不能独立判断企业财务状况的好坏，还需要结合其他财务指标和行业特点进行综合分析。

第4节集合背景下的新定义问题【基础知识】以集合为背景的新定义问题，集合只是一种表述形式，实质上考查的是考生接受新信息、理解新情境、解决新问题的数学能力．解决此类问题，要从以下两点入手：(1)正确理解创新定义．分析新定义的表述意义，把新定义所表达的数学本质弄清楚，进而转化成熟知的数学情境，并能够应用到具体的解题之中，这是解决问题的基础．(2)合理利用集合性质．运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质．对于新定义问题，我们只要透过现象看本质，他们考查的还是基本知识，所以新定义不一定是难题，只要我们掌握好双基，以不变应万变就是制胜的法宝。

1、对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号；2、细细品味新定义的概念、法则，对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以寻找相近知识点，明确它们的共同点和不同点；3、对新定义中提取的知识点进行转换，有效的输出，其中对定义信息中的提取和化归转化是解题的关键，也是解题的难点。

如果是新定义的运算、法则，直接按照运算法则计算即可；若是新定义的性质，一般就要判断性质的适用性，能否利用定义外延；也可用特殊值排除等方法。

【规律技巧】（1）准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．(2)方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解．（3）遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质．按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．对于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解.【典例讲解】【例1】设集合M＝x |3m≤x≤m＋1n－≤x≤n3，且M，N都是集合{0|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫作集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是()1 3 A.23B.C.112D.512【点评】本题的难点是理解集合的“长度”，解题时紧扣新定义与基础知识之间的相互联系，把此类问题转化成熟悉的问题进行求解.【例2】在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2011∈[1]②－3∈[3]③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”，其中，正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选C①2011＝2010＋1＝402×5＋1∈[1]，正确；由－3＝－5＋2∈[2]可知②不正确；根据题意信息可知③正确；若整数a，b属于同一类，不妨设a，b∈[k]＝{5n＋k|n∈Z}，则a＝5n＋k，b＝5m＋k，n，m为整数，a－b＝5(n－m)＋0∈[0]正确，故①③④正确．【针对训练】1、以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x) ＝x3，φ2(x)＝sin x时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题：①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b”；②若函数f(x)∈B，则f(x)有最大值和最小值；③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x)B；④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋(x＞－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.其中的真命题有__________．(写出所有真命题的序号)2、设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S＝{a＋bi|a，b为整数，i为虚数单位}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集．其中的真命题是______．(写出所有真命题的序号)答案①②3、所谓戴德金分割,是指将有理数集划分为两个非空的子集与,且满足,,中的每一个元素都小于中的每一个元素,则称为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割,下列选项中,不可能成立的是（）A．没有最大元素,有一个最小元素B．没有最大元素,也没有最小元素C．有一个最大元素,有一个最小元素D．有一个最大元素,没有最小元素【答案】C4．【2015届广东省汕头市澄海凤翔中学高三上学期第三次段考理科数学试卷】设整数，集合．令集合．若和都在中，则下列选项正确的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】试题分析：∵（x，y，z）∈S，（z，w，x）∈S，∴x＜y＜z①，y＜z＜x②，z＜x＜y③三个式子中恰有一个成立；z＜w＜x④，w＜x＜z⑤，x＜z＜w⑥三个式子中恰有一个成立．配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时w＜x＜y＜z，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；第二种：①⑥成立，此时x＜y＜z＜w，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；；第三种：②④成立，此时y＜z＜w＜x，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；第四种：③④成立，此时z＜w＜x＜y，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；．综合上述四种情况，可得（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S，故选B．考点：考查了新定义的集合问题．5．【2015届四川省成都外国语学校高三10月月考理科数学试卷】用C(A)表示非空集合A 中的元素个数，定义A*B=.若A={1,2},B=，且A*B=1，设实数的所有可能取值集合是S，则C(S)= （）A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】试题分析：因为，所以或.由得：.当时，，满足题设.对，当时，，此时符合题意.当时，或，此时必有，不符合题意.所以.选B.考点：1、新定义；2、一元二次方程.6．【2014届江苏省淮安市淮海中学高三Ⅲ级部决战四统测三数学试卷】已知等比数列的首项为，公比为，其前项和记为，又设，的所有非空子集中的最小元素的和为，则的最小正整数为．【答案】457．【2014-2015学年四川省成都石室中学高二上学期10月月考理科数学卷】已知函数，集合，集合.（1）求集合对应区域的面积;（2）若点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【练习巩固】1、定义集合运算:A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和为()A．0B．2C．3D．6解析：根据题中定义的集合运算知A*B＝{0,2,4}，故应选择D.2．设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，定义A⊙B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A⊙B中元素的个数是()A．7B．10C．25D．52解析：A∩B＝{2,3}，A∪B＝{1,2,3,4,5}，由列举法可知A⊙B＝{(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)}，共有10个元素，故选B.3.定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．其中正确结论的序号是__________．4．对于复数a，b，c，d，若集合S＝{a，b，c，d}具有性质“对任意x，y∈S，必有xy ∈S”，则当时，b＋c＋d等于______5．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x＜1}，Q ＝{x||x－2|＜1}，那么P－Q等于()A．{x|0＜x＜1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0≤x＜2}解析：由log2x＜1，得0＜x＜2，所以P＝{x|0＜x＜2}；由|x－2|＜1，得1＜x＜3，所以Q＝{x|1＜x＜3}．由题意，得P－Q＝{x|0＜x≤1}．答案：B6．设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：(1)T＝{f(x)|x∈S}；(2)对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f(x1)＜f(x2)，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是()A．A＝N*，B＝N B．A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8或0＜x ≤10}C．A＝{x|0＜x＜1}，B＝R D．A＝Z，B＝Q7.定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,3,6}，则N－M＝________.解析：关键是理解A－B运算的法则，N－M＝{x|x∈N，且x∉M}＝{6}．答案：{6}8.如图所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义A*B表示阴影部分集合，若x，y∈R，A ＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝3x，x＞0}，则A*B＝________.解析：∵A＝{x|y＝2x－x2}＝[0,2]，B＝{y|y＝3x，x＞0}＝(1，＋∞)，∴A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝(1,2]，∴A*B＝[0,1]∪(2，＋∞)．答案：[0,1]∪(2，＋∞)9.对于集合A＝{a1，a2，…，a n}(n∈N*，n≥3)，定义集合S＝{x|x＝a i＋a j,1≤i＜j≤n}，记集合S中的元素个数为S(A)．若a1，a2，…，a n是公差大于零的等差数列，则S(A)＝________.10.设P，Q是两个数集，P中含有0,2两个元素，Q中含有1,2两个元素，定义集合P＋Q 中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是________．解析：由于a∈P，a＝0或2，b∈Q，b＝1或2，因此a＋b的值为1,2,3,4，共4个．答案：4。

戴德金分割简介戴德金由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪。

直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。

定义戴德金的方法也称为戴德金分割,是将一切有理数的集合划分为两个非空不相交的子集A和B,使得A中的每一个元素小于B中的每一个元素,这时戴德金把这个划分定义为有理数的一个分割（有些分割是有理数产生的,在这样的分割中,要么有最大元素,要么有最小元素.但有些分割却不是）案例例如,若是由满足的一切正有理数组成,是由一切其余的有理数组成,则既不存在的最大元素,也不存在的最小元素,因为不存在有理数使得.戴德金说;每当我们考虑一个不是由有理数产生的分割时,就得到一个新数即无理数,我们认为这个数是由分割完全确定的.因此,戴德金就把一切实数组成的集合定义为有理数集的一切分割,而一个实数就是一个分割.在这一定义中,由一个给定的有理数产生的两个实质上等价的分割(视是的最大元素还是的最小元素而定)被看成是同一的.函数解析在解析函数中，对实数定义大意是，先从自然数出发定义正有理数，然后通过无穷多个有理数的集合来定义实数；戴德金把这种划分定义为有理数的一个分割，记为（A，B）。

因为不存在有理数X使得X 的平方等于2，戴德金说，考虑一个不是由有理数产生的分割（A，B）时，就得到一个新数，即无理数a，这个数是由分割（A，B）完全确定的。

因此，戴德金就把一切实数组成的集合R定义为有理数集的一切分割，而一个实数a就是一个分割（A，B）。

在这一定义中，由一个给定的有理数r产生的两个实质上等价的分割被看成是同一的。

假设给定某种方法把所有的有理数分为两个集合，A和B，A中的每一个元素都小于B中的每一个元素，任何一种分类方法称为有理数的一个分割。

对于任一分割, 必有3种可能, 其中有且只有1种成立:A有一个最大元素a，B没有最小元素。

人教版高中选修4-72.黄金分割法——0.618法课程设计一、课程目标通过本课程的学习，学生应该能够：1.了解黄金分割法的概念及其应用；2.掌握黄金分割法的计算方法；3.熟悉黄金分割法在各个领域中的应用，并能够分析其优缺点；4.能够运用黄金分割法进行创作和设计，并得出更优美的结果。

二、教学内容本课程主要涉及以下内容：1.黄金分割法的概念和应用背景；2.黄金分割法的计算方法和实例讲解；3.黄金分割法在美学、建筑、艺术、设计等领域的应用实践；4.黄金分割法的优缺点分析及其与其他比例关系的比较。

三、教学重点与难点3.1 教学重点1.黄金分割法的计算和应用；2.黄金分割法在各个领域中的应用实践。

3.2 教学难点1.黄金分割法的概念理解和计算方法；2.黄金分割法与其他比例关系的比较。

四、教学方法本课程采用“讲授+练习”的教学方法。

具体而言，包括以下教学环节：1.讲述黄金分割法的概念和计算方法；2.给出实例讲解，引导学生进行独立计算；3.分析黄金分割法在不同领域中的应用，并让学生进行模拟设计实践；4.对黄金分割法与其他比例关系进行比较，让学生自主思考、讨论。

五、教学评估本课程的教学评估形式主要采用作业和小测验的方式。

具体而言，分为以下两个环节：1.作业：设计题，学生可以根据所学的黄金分割法知识进行实践创作或进行计算实例；2.小测验：测试学生对于黄金分割法的掌握情况，包括选择题和计算题等。

六、课程安排本课程建议分为三次课程，详细安排如下：课程内容学时安排黄金分割法的概念和计算方法1学时黄金分割法在不同领域的应用实践 1.5学时黄金分割法与其他比例关系的比较0.5学时七、参考文献1.许闯，罗颖等. 现代美术概论. 北京：中国青年出版社，2020.2.汤本庆夫. 黄金比例设计. 北京化学工业出版社，2010.3.耿建平. 建筑美学学习与实践. 北京：中国建筑工业出版社，2015.。

dedekind和的一个性质
德德金定律，也称雪崩式截断，是源自18世纪德国数学家弗朗茨·安斯
特·德德金（Franz Antont Dedekin）研究实数系统时发现的一种实际性质。

该定律表明，实数分水系统中每条线段上的点有且仅有一个唯一分割点，使得分割点左边的点集合与右边的点集合的值相等或满足其它一些定义的属性。

传统意义上，实数分拆系统是指以实数轴线作为展示实数数据的图表，而德德
金定律是这种实数分拆系统的一个重要性质，用于计算实数分拆系统中唯一分割点的位置。

以实数轴线上的点为例，根据德德金定律，我们可以在每个点上回答实数分拆系统中唯一分割点的位置，即得到系统中每个点上的值，从而确定实数分拆系统的分割点的位置。

考虑实数分拆系统的另一个性质—有序性，在实数分拆系统中每个点上的值必
须从左到右的顺序递增或者递减，如果不能符合有序性，那么根据德德金定律找到的唯一分割点就会出现问题，从而影响实数分拆系统的正确性。

德德金定律被广泛运用于数学计算，其重要性不言而喻，它能够辅助用以正确
分割实数分拆系统，从而求得实数分拆系统中每个点上的值。

同时，它能够明确指出实数分拆系统中每个点上的值应该有序（从左到右或者从右到左）增长或者减少。