从调和级数到平方倒数和的意外-惠文高中
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5
1 1
42
6
1 2 3 4 5 6 2 6 12 20 30 42
在同一個方陣中，每一列相加後的總和為1 1 1 1 1 1 1 A 23456
而每一行相加後的總和為 1 2 3 4 5 6 A ，這實在是一件非常怪異的事情， 2 6 12 20 30 42
Bernoulli ,1667-1748))提出另一種證法並延伸出平方倒數和的問題，伯努利兄弟是萊布尼茲的學生，
他們的證明方法是延續萊布尼茲對特定無窮級數的結論，底下來看看他們的手法：
首先考慮無窮級數 1 1 1 1 1 1 ，其中各項分母的差為等差 1 3 6 10 15 21
1 1 1 1 1 1 1 2 6 12 20 30 42
1 1 1 1 1 1
6 12 20 30 42
2
1 1 1 1 1
12 20 30 42
3
1 1 1 1
20 30 42
4
1 1 1
30 42
專題教材
從調和級數到平方倒數和的意外
范志軒 編輯
為什麼說是意外？這得要先從底下這個無窮級數談起：
1 1 1 1 1 1
k1 k 1 2 3 4
n
這級數在數學上稱為調和級數，非常單純的只是取正整數的倒數相加，直覺上，當級數的項
數加到無窮多項時，因為加上去的數字趨近於 0，其總和應該會非常靠近一個定值(因為加上
去的數字無限接近 0，有加等於沒有加)，但是這樣的直覺卻是錯誤的，其總和不但不是定值，
卻反而是無限大，最早發現這個事實的人是尼科爾．奧里斯姆(Nicole Oresme，1323—1382)，他並給出
了證明，可惜知道的人不多，其後才由伯努利兄弟(雅各．伯努利(Jacob Bernoulli，1654-1705) 和約翰．伯努利(Johann
12 22 32 42
k2
4 9 16
k2
其中 1 4
1，1 39
1 6
，1 16
1 10
，
1 25
1 15
，…，
1 k2
1 k(k 1)
，…其中 k
1
2
即1 1 1 1 1 1 1 1 2 (注意到嗎？萊布尼茲再次出現)
4 9 16
369
因此伯努利斷定 1 1 1 1 1 不會發散，因為其和小於 2，但緊接著大問題就
1 S (1 1) (1 1) (1 1) (1 1) (1 1) 2 12 23 34 45 56
兩兩相消得： 1 S 1 2
故S 111 1 1 1 2 1 3 6 10 15 21
即 1 1 1 1 1 1 1 2 6 12 20 30 42
2
2
所以 lim m
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A2m
lim (1
m
m) 2
lim
m
A2m
，
故數列
An
發散，即調和級數 1 發散。
n
k 1 k
Q.E.D. 截至目前為止，關於調和級數發散的證明方式，大約有二十種左右，有興趣研究的同學不仿
嘗試自己找找看或證證看，接下來說明平方倒數和。
伯努利兄弟自從發現了調和級數發散此一結果後，一發不可收拾，緊接著，他們開始考慮如
果將每一項安裝上平方後會怎麼樣，如
k 1
1 k2
1 12
1 22
1 32
1 42
1 n2
？在收斂速度加
快的情況下，無窮級數和還會是發散嗎？若是不會發散，那會不會趨近於哪一個定值呢？而
這一次，他們踢到了鐵板！
伯努利首先注意到 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
12 22 32 42
k2
來了，若是
1 不會發散，那麼會不會收斂到哪一個定值？這個問題，難倒了包括伯努利在
k2
k 1
內的許多大數學家，最後由他們的學生尤拉找出了答案，這個答案，震動了整個數學界。
雖然在兩兩相消到無窮多項時，所謂的最後一項到底會怎麼樣，萊布尼茲並沒有交代清楚， 但毫無疑問地，證明的手法創意十足，在得到上述結果後，伯努利兄弟接著發揮：
從調和級數到平方倒數和的意外 第 1 頁 共 5 頁
令A 111111 234567
考慮底下這個詭異的方陣：
12 3 4 5 6 2 6 12 20 30 42
定理 1： 1 發散 k 1 k
證明：令
An
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1 ，是有限項級數 n
而
A2m
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 2m
， 2m
n
，是
An
的部分級數
則
A2m
1 1
1 2
(1 3
1) (1 45
1 6
1 7
A 竟然等於1 A，約翰．伯努利對此的解釋是：只有 A 在無限大的情況之下，才有可能發生
A 等於1 A這種事情，因此，他證明了 1 1 1 1 1 1 1 無限大 (這種解釋聽起來 1234567
比上面的結果更加怪異)。無論如何，事情總是告一個段落，儘管證明過程並不完美，但他們 在直觀上的想像與堆砌數字的努力中，得出了令人意外卻是正確的結果。底下列出另一種證 明方式，稱之為比較審斂法，近似於最早由尼科爾．奧里斯姆所提出的證明方式：
這是惠更斯考驗萊布尼茲的題目之一(惠更斯是萊布尼茲的老師)，關於此式的解法，萊布尼 茲提出以下看法：
令S 111 1 1 1 1 3 6 10 15 21
兩邊同乘 1 得： 2
1S11 1 1 1 1 2 2 6 12 20 30 42 右側拆開成兩項相減：
1) (1 89
1 ) 16
(
1 2m1
1
1 2m1
2
1 2m
)
11 1 2 1 4 1 8 1 2 4 8 16
2m1
1 2m
從調和級數到平方倒數和的意外 第 2 頁 共 5 頁
1(1 1 1) 1 m
22
