2014年10月绵阳一诊数学试卷

四川省绵阳市高中2014届高三数学第一次诊断性考试试题 理 新人教A 版一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若集合A ＝{x ｜1＜x ＜4}，集合B ＝{y ｜y 2＜4}，则A ∩B ＝( ) (A)∅ (B){1，2} (C)（1,2） (D)（1,4）2.对于非零向量a ，b ，“a ∥b ”是“a ＋b ＝0”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件3.若向量a ＝（1,2），b ＝（1，－1），则2a ＋b 与b 的夹角为( ) (A)0 (B)3π (C)2π(D)π4.已知命题p q ：空集是集合A 的子集，下列判断正确的是( ) (A)p q ∨为假命题 (B)p q ∧真命题 (C)()()p q ⌝∨⌝为假命题 (D)()()p q ⌝∧⌝为假命题5.下列不等式中，正确的是( )(A)sin1°＞cos1 (B)sin1＞cos1° (C)sin1＜sin2 (D)sin2＜sin36.已知函数f （x ）＝k (01)x x a a a a --≠＞且在R 上是奇函数，且是增函数，则函 数g （x ）＝log a （x －k ）的大致图象是( )7.若正数a，b满足的最小值为( )(A)1 (B)6 (C)9 (D)168.已知函数其中k＞0，若当自变量x在任何两个整数间（包括整数本身）变化时，至少含有2个周期，则最小的正整数k为( )(A)50 (B)51 (C)12 (D)139.已知,αβ都是锐角，且4cos)5ααβ=+=，则tanβ为( )(A)2 (B)－211(C)－211或2 (D)211或－210.已知O 为△ABC 的外心， 1cos ,,3A AO AB AC αβαβ==++若则的最大值为( ) (A)13 (B)12 (C)23 (D)34第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上） 11.设数列{n a }的前n 项和为2n S n =，中5a ＝＿＿＿.12.计算：＝＿＿＿＿＿.13.已知变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为＿＿＿.14.已知f（x）是R上的减函数，A（3，－1），B（0,1）是其图象上两个点，则不等式｜f（1＋lnx）｜＜1的解集是＿＿＿＿.15.对于定义域为［0，1］的函数f（x），如果同时满足以下三条：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，都有f（x1+x2）≥f （x1）+f（x2）成立，则称函数f（x）为“美好函数”，给出下列结论：(1)若函数f（x）为美好函数，则f（0）＝0；(2)函数g（x）=2x-1（x∈[0，1]）不是美好函数；(3)函数是美好函数；(4)若函数f（x）为美好函数，且∃x0∈[0，1]，使得f（f（x0））=x0，则f（x0）=x0．以上说法中正确的是＿＿＿＿＿＿（写出所有正确的结论的序号）显然=在[0，1]满足条件①()0()h x xαg=.若g x≥,也满足条件②(1)三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.已知函数sin2(sin cos) ()cosx x xf xx-= .（I）求函数f（x）的定义域及最大值；（II）求使f（x）≥0成立的x的取值集合.17.已知{n a }为等差数列，且45814,48a a a =+=. （I ）求{n a }的通项公式；（II ）设n S 是等比数列{n b }的前n 项和，若成等差数列，求S 4.18.安通驾校拟围着一座山修建一条环形训练道路OASBCD，道路的平面图如图所示（单位：km），已知曲线ASB为函数的图象，且最高点为S（1,2），折线段AOD为固定线路，其中AO OD＝4，折线段BCD为可变线路，但为保证驾驶安全，限定∠BCD＝120°. （I）求的值；（II）应如何设计，才能使折线段道路BCD最长？19.（本题满分12分）已知函数（I）若函数f（x）满足f（3＋x）＝f（－x），求使不等式f（x）≥g（x）成立的x的取值集合；（II）若函数h（x）＝f（x）＋g（x）＋2在（0,2）上有两个不同的零点求实数b的取值范围.20.（本题满分13分）.已知函数y＝lg（1＋tx－x2）的定义域为M，其中t R（I）若，求函数在M上的最小值及相应的x的值；（II）若对任意函数满足求t的取值范围.【解析】21.（本题满分14分）已知函数（I）若函数f（x）的图象在x＝0处的切线方程为y＝2x＋b，求a，b的值；（II）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（III）如果函数恰好有两个不同的极值点证明：【解析】。

绵阳市高2011级第一次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．CBCDC ABBAD 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．912．613．514．21()e e， 15．①④三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（Ⅰ） cos x ≠0知x ≠k π，k ∈Z ，即函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠k π，k ∈Z }．………………………3分 又∵ x xx x x x x x x x x f 2sin 22cos 12cos sin 2sin 2cos )cos (sin cos sin 2)(2--⨯=-=-=)2cos 2(sin 1x x +-= )42sin(21π+-=x ，∴ 21)(max +=x f ． ……………………………………………………………8分（II ）由题意得1)4πx +≥0，即sin(2)4πx + 解得324πk π+≤24πx +≤924πk π+，k ∈Z ， 整理得4πk π+≤x ≤k ππ+，k ∈Z ．结合x ≠k π，k ∈Z 知满足f (x )≥0的x 的取值集合为 {x |4πk π+≤x <k ππ+，k ∈Z }．………………………………………………12分 17．解：（I ）设{a n }的公差为d ，则由题知⎩⎨⎧=+++=+，，4874143111d a d a d a 解得a 1=2，d =4． ……………………………………4分 ∴a n =2+4(n -1)=4n -2．…………………………………………………………6分 （II ）设{b n }的公比为q ，若q =1，则S 1=b 1，S 2=2b 1，S 3=3b 1，由已知312322S S S +=⨯，代入得8b 1=4b 1，而b 1≠0，故q =1不合题意．…………………………………………………………7分若q ≠1，则S 1=b 1，q q b S --=1)1(212，qq b S --=1)1(313，于是23111(1)(1)22311b q b q b q q--⨯⨯=+--，整理得：4q 2=3q +q 3，解得q =0（舍去），q =1（舍去），q =3， ………10分 ∴8031)31(244=--⨯=S ． ………………………………………………………12分18．解：（I ）由已知A =2，且有3)0sin(2=+⋅ϕω，即23sin =ϕ， 由|ϕ|<2π得3πϕ=．又∵ 最高点为(1，2)， ∴ ，2)3sin(2=+πω 解得6πω=．∴ )36sin(2ππ+=x y ．…………………………………………………………6分（II ）∵ B 点的横坐标为3，代入函数解析式得2sin(3)63B ππy =⨯+=1， ∴ 2)34(122=-+=BD ．…………………………………………………8分 在△BCD 中，设∠CBD =θ，则∠BDC =180º-120º-θ=60º-θ． 由正弦定理有)60sin(sin 120sin θθ-︒==︒BCCD BD ，∴ θsin 362=CD ，)60sin(362θ-︒=BC ， …………………………………9分 ∴ )]60sin([sin 362θθ-︒+=+CD BC ]sin 21cos 23[sin 362θθθ-+=)3sin(362πθ+=． ∴ 当且仅当6πθ=时，折线段BCD 最长，最长为362千米．…………12分 19．解：（I ）由于f (3+x )=f (-x )知函数f (x )关于23=x 对称， 即232=-b ，解得b =-3，于是 f (x )=x 2-3x +2．………………………………3分 22111()111x x x g x x x ⎧-≤-≥⎪=⎨--<<⎪⎩，或，，， 当x ≤-1，或x ≥1时，由f (x )≥g (x )有x 2-3x +2≥x 2-1，解得x ≤1， ∴ 此时x 的范围为x ≤-1，或x =1．当-1<x <1时，由f (x )≥g (x )有x 2-3x +2≥1-x 2，解得x ≤12或x ≥1， ∴ 此时x 的范围为-1<x ≤21． ∴ 综上知，使不等式f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |x ≤12或x =1}． ………………………………………………………………7分（II ）⎩⎨⎧<<-+≥-≤++=，，，或，1151132)(2x bx x x bx x x h若b=0时，22311()51 1.x x x h x x ⎧+≤-≥=⎨-<<⎩，或，，显然h (x )>0恒成立，不满足条件． (9)分若b ≠0时，函数ϕ(x )=bx +5在(0，1)上是单调函数， 即ϕ(x )在(0，1)上至多一个零点，不妨设0<x 1<x 2<2．①如果0<x 1<1，1≤x 2<2时，则0)1()0(<ϕϕ，且(1)(2)h h ≤0，即50(5)(211)0b b b +<⎧⎨++≤⎩，，解得112-≤5b <-． 经检验211-=b 时，)(x h 的零点为1011，2（舍去），∴112-<5b <-． ②若1≤x 1<x 2<2时2(1)1(2)0124240h h b b ≥⎧⎪>⎪⎪⎨<-<⎪⎪->⎪⎩，，，，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-<<->+≥+，或，，，626248011205b b b b b 得：-5≤b <- ∴ 综上所述b的取值范围为112b -<<- ……………………………12分 20．解：（I ）由02312>-+x x 解得221<<-x ．即)221(，-=M ．……………2分∵x x x x x f 24)2(3243)(22⋅-⋅=-⋅=+， 令2x =t ，则422<<t ， 34)32(343)()(22+-=-==t t t t g x f ， ∴ g (t )在)422(，上是增函数． ∴ g (t )在)422(，上无最小值，即f (x )在M 上无最小值． ……………………………………………………7分（II ）∵0)1()1(2)(222>+-+='x x tx x g ， ∴ g (x )在M 上是增函数． ……………………………………………………8分 设1+tx -x 2=0的两根为α，β(α<β)，则α+β=t ，αβ=-1，M =(α，β)． 于是1212)()(22+--+-=-ααββαβt t g g )1)(1()1)(2()1)(2(22+++--+-=βαβααβt t 12)()())(()(2)(222+-+++-----=αββααββαβαβαβααβt224)()(4t t +----=βαβα=αβ-αββα4)(2-+=42+=t ．由题意知，要使原不等式恒成立，只需342<+t ，解得[t ∈．……………………………………………………………………………13分21．解：（I ）∵a x e x f x --=')(，∴ a f -='1)0(．于是由题知1-a =2，解得a =-1． ∴ x x e x f x +-=221)(． ∴ (0)1f =，于是1=2×0+b ，解得b =1．……………………………………………………4分 （II ）由题意0)(>'x f 即0>--a x e x 恒成立， ∴ x e a x -<恒成立．设x e x h x -=)(，则1)(-='x e x h ．min ∴ a <1．…………………………………………………………………………9分（III ）由已知ax ax e x ax ax x e x g x x --=+---=22222121)(，∴ a ax e x g x --='2)(．∵ x 1，x 2是函数g (x )的两个不同极值点（不妨设x 1<x 2），∴ a >0（若a ≤0时，0)(>'x g ，即g (x )是R 上的增函数，与已知矛盾），且0)(1='x g ，0)(2='x g ．∴ 0211=--a ax e x ，0222=--a ax e x ． 两式相减得：21212x x e e a x x --=，于是要证明a xx 2ln 221<+，即证明2122121x x e e ex x x x --<+， 两边同除以2x e，即证21212121x x e e x x x x --<--，即证(x 1-x 2)221x x e ->121--x x e ，即证(x 1-x 2)221x x e --121x x e -+>0，令x 1-x 2=t ，t <0． 即证不等式012>+-t t e te 当t <0时恒成立．设2()1t t φt te e =-+， ∴ t tt e e t e t -⋅⋅+='21)(22ϕ t te e t-+=2)12( )]12([22+--=tee t t ． ∵由(II)知122+>t et ，即0)12(2>+-te t， ∴ ϕ(t )<0，∴ ϕ(t )在t <0时是减函数．∴ ϕ(t )在t =0处取得极小值ϕ(0)=0． ∴ ϕ(t )>0，得证． ∴ a x x 2ln 221<+．……………………………………………………………14分。

(第8题图）ABCDEF绵阳市2014年一诊检测数学试题一、选择题（每小题3分，共36分）1、下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ．2、、如图，在Rt △ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE =45°， 将△ADC 绕点A 顺时针旋转90︒后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论： ①△AED ≌△AEF ；②△ABE ≌△ACD ；③BE DC DE +=； ④222BE DC DE +=其中正确的是（ ）A ．②④；B ．①④；C ．②③；D ．①③．3、如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 旋转45º得到正方形AB 1C 1D 1，边B 1C 1与CD 交于点O ，则四边形AB 1OD 的周长是A ． 2B ．2 2C ．1＋ 2D ．34、用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是（ ）A 、225x x -= B 、2245x x -= C 、225x x += D 、245x x -=5、某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程中正确的是( )A. ()22891256x -= B. ()22561289x -= C. 289(1-2x)=256 D.256(1-2x)=2896.设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度(m)h 与飞行时间(s)t 的关系式是252012h t t =-++，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ） （Ａ）3s（Ｂ）4s（Ｃ）5s（Ｄ）6s7.方程k 012x 2=--x 有实数根，则k 的取值范围是（ ）A.k≠0且k≥-1B. k≥-1C. k≠0且k≤-1D. k≠0或k≥-18. 如图，MN 是O 的直径，2MN =，点A 在O 上，30AMN =∠，B 为AN的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA PB +的最小值．．．为（ ） A．．1 D ．29.关于x 的二次函数y=-(x-1)2+2下列说法正确．．的是（ ） A 、图像开口向上 B 、图像顶点坐标为（-1,2） C 、当x>1时，y 随x 的增大而减小 D 、图像与y 轴的交点坐标为（0，2）10.用圆心角为120°，半径为6cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的高是（ ） A ．4 cm B ．4 cm C ．3cm D ．cm11.小明从图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确．．信息的个数有（ ）(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个12.若实数a 、b 满足21202a ab b -++=，则a 的取值范围是（ ）N第8题第10题图A 、a ≤-2B 、a ≥4C 、a ≤-2或a ≥4D 、-2≤a ≤4二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案直接填写在题中横线上．13. 若关于x 的一元二次方程(a +1)x 2+4x +a 2-1=0的一根是0，则a ＝ 。