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习题11-1．已知质点位矢随时间变化的函数形式为(cos sin )r =R ωt i ωt j +v v v其中ω为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。
解：(1) 由(cos sin )r =R ωt i ωt j +v v v，知：cos x R t ω= ，sin y R t ω=消去t 可得轨道方程：222x y R +=∴质点的轨道为圆心在（0，0）处，半径为R 的圆；（2）由d rv dt=v v ，有速度：sin Rcos v R t i t j ωωωω=-+v v v而v v =v v，有速率：1222[(sin )(cos )]v R t R t R ωωωωω=-+=。
1-2．已知质点位矢随时间变化的函数形式为24(32)r t i t j =++v v v ，式中r 的单位为m ，t 的单位为s 。
求：（1）质点的轨道；（2）从0=t 到1=t 秒的位移；（3）0=t 和1=t 秒两时刻的速度。
解：（1）由24(32)r t i t j =++v v v ，可知24x t = ，32y t =+消去t 得轨道方程为：x =2(3)y -，∴质点的轨道为抛物线。
（2）由d r v dt=v v ，有速度：82v t i j =+v v v从0=t 到1=t 秒的位移为：110(82)42r v d t t i j d t i j ∆==+=+⎰⎰v v v v v v（3）0=t 和1=t 秒两时刻的速度为：(0)2v j =v v，(1)82v i j =+v v v 。
1-3．已知质点位矢随时间变化的函数形式为22r t i t j =+v v v，式中r 的单位为m ，t 的单位为s .求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。
解：(1)由d r v dt =v v ，有：22v t i j =+v v v ，d v a dt=v v ，有：2a i =v v ；（2）而v v =v v，有速率：12222[(2)2]21v t t =+=+∴t dv a dt=21t =+，利用222t n a a a =+有： 22221n t a a a t =-=+。
上海交大版大学物理参考答案公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-版权归原着所有 本答案仅供参考习题99-1．在容积3V L =的容器中盛有理想气体，气体密度为ρ=L 。
容器与大气相通排出一部分气体后，气压下降了。
若温度不变，求排出气体的质量。
解：根据题意，可知： 1.78P atm =，01P atm =，3V L =。
由于温度不变，∴00PV PV =，有：001.783PVV L P ==⨯， 那么，逃出的气体在1atm 下体积为：' 1.78330.78V L L L =⨯-=，这部分气体在1.78atm 下体积为：''V =0'0.7831.78PV L P ⨯= 则排除的气体的质量为：0.783'' 1.3 1.71.78g Lm V g L ρ⨯∆==⨯= 。
根据题意pV RT ν=，可得：mpV RT M=，1V p RT p M m ρ==9-2．有一截面均匀的封闭圆筒，中间被一光滑的活塞分割成两边。
如果其中的一边装有某一温度的氢气，为了使活塞停留在圆筒的正中央，则另一边装入的同一温度的氧气质量为多少 解：平衡时，两边氢、氧气体的压强、体积、温度相同，利用pV RT ν=，知两气体摩尔数相同，即：H O νν=，∴O H HOm mM M =，代入数据有： 1.6O m kg = 。
9-3．如图所示，两容器的体积相同，装有相同质量的氮气和氧气。
用一内壁光滑的水平细玻璃管相通，管的正中间有一小滴水银。
要保持水银滴在管的正中间，并维持氧气温度比氮气温度高30o C ，则氮气的温度应是多少则体积和压强相同，如图。
由：mol mpV RT M =，有：2222(30)O N O N m m R T RT M M +=， 而：20.032O M kg =，20.028N M kg =，可得：30282103028T K ⨯==+ 。
习题11-1．已知质点位矢随时间变化的函数形式为(cos sin )r =R ωt i ωt j + 其中ω为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。
解：(1) 由(cos sin )r =R ωt i ωt j +，知：cos x R t ω= ，sin y R t ω=消去t 可得轨道方程：222x y R +=∴质点的轨道为圆心在（0，0）处，半径为R 的圆；而v v =，有速率：1222[(sin )(cos )]v R t R t R ωωωωω=-+=。
1-2．已知质点位矢随时间变化的函数形式为24(32)r t i t j =++，式中r 的单位为m ，t 的单位为s 。
求：（1）质点的轨道；（2）从0=t 到1=t 秒的位移；（3）0=t 和1=t 秒两时刻的速度。
解：（1）由24(32)r t i t j =++，可知24x t = ，32y t =+ 消去t 得轨道方程为：x =2(3)y -，∴质点的轨道为抛物线。
（2）由d rv dt=，有速度：82v t i j =+ 从0=t 到1=t 秒的位移为：11(82)42r v d t t i j d t i j ∆==+=+⎰⎰（3）0=t 和1=t 秒两时刻的速度为：(0)2v j =，(1)82v i j =+ 。
1-3．已知质点位矢随时间变化的函数形式为22r t i t j =+，式中r 的单位为m ，t 的单位为s .求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。
解：(1)由d r v dt =，有：22v t i j =+，d va dt=，有：2a i =； （2）而v v =，有速率：12222[(2)2]21v t t =+=+∴t dva dt==222t n a a a =+有： n a ==1-4．一升降机以加速度a 上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为d ，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。
大学物理（下册）答案第十一章 静电场【例题精选】例11-1 如图所示，在坐标(a ，0)处放置一点电荷+q ，在坐标(-a ，0)处放置另一点电荷－q ．P 点是x 轴上的一点，坐标为(x ，0)．当x >>a 时，该点场强的大小为：(A)x q 04επ． (B) 30x qa επ． (C) 302x qa επ． (D) 204x qεπ． [ B ]例11-2半径为R 的均匀带电球体的静电场中各点的电场强度的大小E 与距球心的距离r的关系曲线为：[ B ]例11-3 半径为R 的“无限长”均匀带电圆柱面的静电场中各点的电场强度的大小E 与距轴线的距离r 的关系曲线为：[ B ]例11-4一半径为R 的带有一缺口的细圆环，缺口长度为 d (d<<R)环上均匀带有正电，电荷为q ，如图所示．则圆心O 处的场强大小E ＝ ；场强方向为 ．()30220824Rqdd R R qd εεπ≈-ππ 从O 点指向缺口中心点． 例11-5 均匀带电直线长为d ，电荷线密度为＋λ，以导线中点O 为球心，R 为半径(R ＞d )作一球面，如图所示，则通过该球面的电场强度通量为______。
带电直线的延长线与球面交点P 处的电场强度的大小为_____，方向________。
0/ελd ； ()2204d R d-πελ ；沿矢径OP例11-6 有一边长为a 的正方形平面，在其中垂线上距中心O 点a /2处，EO r(A) E ∝1/r有一电荷为q 的正点电荷，如图，则通过该平面的电场强度通量为 (A)03εq ． (B) 04επq (C) 03επq ． (D) 06εq [ D ] 例11-7 两块“无限大”的均匀带电平行平板，其电荷面密度分别 为σ( σ＞0)及－2 σ，如图所示。
试写出各区域的电场强度E 。
Ⅰ区E 的大小__________________，方向____________。
)s 习题44-1．如图所示的圆锥摆，绳长为l ，绳子一端固定，另一端系一质量为m 的质点，以匀角速ω绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为θ。
在质点旋转一周的过程中，试求：（1）质点所受合外力的冲量I；（2）质点所受张力T 的冲量T I。
解：（1）设周期为τ，因质点转动一周的过程中，速度没有变化，12v v =，由I mv =∆ ，∴旋转一周的冲量0I =；（2）如图该质点受的外力有重力和拉力，且cos T mg θ=，∴张力T 旋转一周的冲量：2cos T I T j mg j πθτω=⋅=⋅所以拉力产生的冲量为2mgπω，方向竖直向上。
4-2．一物体在多个外力作用下作匀速直线运动，速度4/v m s =。
已知其中一力F方向恒与运动方向一致，大小随时间变化内关系曲线为半个椭圆，如图。
求：（1）力F在1s 到3s 间所做的功；（2）其他力在1s 到3s 间所做的功。
解：（1）半椭圆面积⋅====⋅=⎰⎰⎰⎰v t F v t Fv x F x F A d d d dJ 6.12540201214==⨯⨯⨯=ππ（2）由动能定理可知，当物体速度不变时，外力做的总功为零，所以当该F做的功为125.6J 时，其他的力 的功为-125.6J 。
4-3．质量为m 的质点在Oxy 平面内运动，运动学方程为cos sin r a t i b t j ωω=+，求：（1）质点在任一时刻的动量；（2）从0=t 到ωπ/2=t 的时间内质点受到的冲量。
解：（1）根据动量的定义：P mv = ，而drv dt== sin cos a t i b t j ωωωω-+ ， ∴()(sin cos )P t m a t i b t j ωωω=-- ；（2）由2()(0)0I mv P P m b j m b j πωωω=∆=-=-= ， 所以冲量为零。
4-4．质量为M =2.0kg 的物体（不考虑体积），用一根长为l =1.0m 的细绳悬挂在天花板上。
习题11-1．已知质点位矢随时间变化的函数形式为(cos sin )r =R ωt i ωt j +vvv其中ω为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。
解：(1) 由(cos sin )r =R ωt i ωt j +v v v，知：cos x R t ω= ，sin y R t ω=消去t 可得轨道方程：222x y R +=∴质点的轨道为圆心在（0，0）处，半径为R 的圆；（2）由d rv dt=v v ，有速度：sin Rcos v R t i t j ωωωω=-+v v v而v v =v v，有速率：1222[(sin )(cos )]v R t R t R ωωωωω=-+=。
1-2．已知质点位矢随时间变化的函数形式为24(32)r t i t j =++v v v，式中r 的单位为m ，t 的单位为s 。
求：（1）质点的轨道；（2）从0=t 到1=t 秒的位移；（3）0=t 和1=t 秒两时刻的速度。
解：（1）由24(32)r t i t j =++v v v，可知24x t = ，32y t =+消去t 得轨道方程为：x =2(3)y -，∴质点的轨道为抛物线。
（2）由d rv dt=v v ，有速度：82v t i j =+v v v从0=t 到1=t 秒的位移为：1100(82)42r v d t t i j d t i j ∆==+=+⎰⎰v v v v v v（3）0=t 和1=t 秒两时刻的速度为：(0)2v j =v v，(1)82v i j =+v v v 。
1-3．已知质点位矢随时间变化的函数形式为22r t i t j =+v v v，式中r 的单位为m ，t 的单位为s .求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。
解：(1)由d r v dt =v v ，有：22v t i j =+v v v，d v a dt=v v ，有：2a i =v v ；（2）而v v =v v ，有速率：12222[(2)2]21v t t =+=+∴t dv a dt =21t =+，利用222t n a a a =+有： 22221n t a a a t =-=+。
习题20
20-1．从某湖水表面反射来的日光正好是完全偏振光，己知湖水的折射率为33.1。
推算太阳在地平线上的仰角，并说明反射光中光矢量的振动方向。
解：由布儒斯特定律：tan n i =，有入射角：arctan1.3353i ==，
∴仰角9037i θ=-=。
光是横波，光矢量的振动方向垂直于入射光线、折射光线和法线在所在的平面。
20-2．自然光投射到叠在一起的两块偏振片上，则两偏振片的偏振化方向夹角为多大才能使：
（1）透射光强为入射光强的3/1；
（2）透射光强为最大透射光强的3/1。
(均不计吸收)
解：设两偏振片的偏振化方向夹角为α，自然光光强为0I 。
则自然光通过第一块偏振片之后，透射光强012I ，通过第二块偏振片之后：α20cos 21I I =，
（1）由已知条件，透射光强为入射光强的13，得：20011cos 2
3I I α=，有： 2
35.263α==
（2）同样由题意当透射光强为最大透射光强的3/1时，得：200111cos ()232I I α=，有： 3arccos 54.733α==。
20-3．设一部分偏振光由一自然光和一线偏振光混合构成。
现通过偏振片观察到这部分偏振光在偏振片由对应最大透射光强位置转过
60时，透射光强减为一半，试求部分偏振光中自然光和线偏振光两光强各占的比例。
解:由题意知：max 012max 011211cos 602
2I I I I I I =⎧⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩⇒max 01
max 0112111224I I I I I I ⎧⎪⎪⎨=+=+⎪⎪⎩⇒01I I =， ∴即得0111I I =::。
20-4．由钠灯射出的波长为589.0nm 的平行光束以
50角入射到方解石制成的晶片上，晶片光轴垂直于入射面且平行于晶片表面，已知折射率 1.65o n =， 1.486e n =，求：
（1）在晶片内o 光与e 光的波长；
（2）o 光与e 光两光束间的夹角。
解：（1）由c n v =，而c λν=，有：c o o n λλ=，c e e n λλ=
∴589.0356.971.65c o o nm n λλ===，589.0396.371.486c e e nm n λλ===；
（2）又∵sin sin i n γ=
，有：sin 50arcsin 27.66o o n γ==，sin 50arcsin 31.03e e n γ==，
∴o 光与e 光两光束间的夹角为： 3.37e o γγγ∆=-=。
20-5．在偏振化方向正交的两偏振片
1P ，2P 之间，插入一晶片，其光轴平行于表面且与起偏器的偏振化方向成 35，求：
（1）由晶片分成的o 光和e 光强度之比；
（2）经检偏器2P 后上述两光的强度之比。
解：（1）由晶片分成的o 光振幅：θsin A A O =，e 光的振幅：θcos A A e =，
其强度之比为振幅的平方比，所以：22222sin sin35()0.49cos cos35o e I A I A θθ===；
（2）经检偏器后，上述两光中o 光的振幅：
'sin cos o A A θθ=， e 光的振幅：'cos sin e A A θθ=， 可见振幅相同，所以两光强度之比为1：1。
20-6．把一个楔角为 33.0的石英劈尖(光轴平行于棱)放在偏振化方向正交的两偏振片之间。
用654.3nm λ=的红光垂直照射，并将透射光的干涉条纹显示在屏上。
已知石英的折射率
1.5419, 1.5509
o e n n ==，计算相邻干涉条纹的间距。
解：选择劈尖的暗条纹，则条纹位置为： 221e o n n d k π
ππλ-+=+()（） e o n n d k λ
-=()，
sin d
l θ∆∆= ∴劈尖的相邻干涉条纹的间距： 654.312.6sin 1.5509 1.54190.33180e o nm l mm n n λπθ∆=
==--⨯⨯()()。
思考题20
20-1．用偏振片怎样来区分自然光、部分偏振光和线偏振光？
答：将光通过偏振片，光强无变化的为自然光；光强有变化但不会出现完全消光的为部分偏振光；光强有变化且在某个方向为零的为线偏振光。
20-2．如图所示，玻璃片堆A 的折射率为n ，二分之一波片C 的光轴与y 轴夹角为0
30，偏振片P 的偏振化方向沿y 轴方向，自然光沿水平方向入射。
（1）欲使反射光为完全偏振光，玻璃片堆A 的倾角θ应为多少？在图中画出反射光的偏振态；
（2）若将部分偏振光看作自然光与线偏振光两部分的叠
加，则经过C 后线偏振光的振动面有何变化？说明理由；
（3）若透射光中自然光的光强为I ，偏振光的光强为I 3，
计算透过P 后的光强。
答：（1）根据马吕斯定律：arctan 2i n i πθ==-，。
（2）椭圆偏振光
（3）可用相干叠加公式计算。
（略）
20-3．在图示的装置中，1P 、2P 为两个正交的偏振片，C 为四分之一波片，其光轴与1P 的偏振化方向间夹角为060，强度为I 的单色自然光垂直入射于1P 。
（1）试述①、②、③各区光的偏振态；
（2）计算①、②、③各区的光强。
答：（1）①区：为线偏振光；②区为椭圆偏振光；③区为椭圆偏振光。
（2）①区光强：021I ，
②区的光强：O 光的光强：
02083sin 21I I I O ==
θ， e 光的光强：02081cos 21I I I e ==θ
③区的光强：022323cos sin 21I I O ==θθ 022323cos sin 21I I e ==θθ
两者发生干涉现象，并且干涉加强：0163I I I I e O =+=。
20-4．如图所示的偏振光干涉装置中，C 是劈尖角很小的双折射晶片，折射率0e n n >，1P 、2P 的偏振化方向相互正交，与光轴方向皆成045角。
若以波长为λ的单色自然光垂直照射，试讨论：
（1）通过晶片C 不同厚度处出射光的偏振态；
（2）经过偏振片2P 的出射光干涉相长及相消位置与劈尖厚度d 之间的关系，并求干涉相长的光强与入射光光强之比；
（3）若转动2P 到与1P 平行时，干涉条纹如何变化？为什么？
答：（1）通过晶片C 不同厚度处出射光的偏振态为圆偏振光。
（2）这是一个劈尖干涉的情况，所以列式：
ππλπk d n n O e 22=+-）（，（明条纹）
ππλπ）（）（122+=+-k d n n O e ，（暗条纹） 干涉相长时的光强：
0222241cos sin 21cos sin 21I I I I e O =+=+=θθθθ
干涉相长的光强与入射光光强之比为：1：4； （3）若转动2P 到与1P 平行时，相位差中的π就没有了，所以干涉条纹中明暗条纹互换位置。
