专题10 指数函数(解析版)

专题10 基本初等函数（知识梳理）一、指数与指数函数(一)指数式的化简与求值1、化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂； ③化小数为分数； ④注意运算的先后顺序。

提醒：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算。

2、结果要求：①题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②题目以分数指数幂形式给出，则结果用分数指数幂形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂。

例1-1．已知41<a ，则化简42)14(-a 的结果是( )。

A 、a 41-- B 、14--a C 、14-a D 、a 41- 【答案】D【解析】a a a 41)41()14(4242-=-=-，故选D 。

变式1-1．化简3a a ⋅-的结果是( )。

A 、65a - B 、65a -- C 、65a - D 、52a -【答案】B【解析】∵0≤a ，则656565312131213)()()()()(a a a a a a a a a --=--=--=-⋅--=⋅-=⋅-，故选B 。

变式1-2．已知31=+-x x ，求下列各式的值：(1)2121-+xx ；(2)22-+x x ；(3)2323-+xx 。

【解析】(1)∵52)(2)()(1221212122122121=++=+⋅+=+----x x xxx x xx ，∴52121±=+-x x ，又由31=+-x x 得0>x ，∴52121=+-xx ；(2)72)(2122=-+=+--x x x x ； (3)]1))[((])())[(()()(12121221212122121213213212323-++=+⋅-+=+=+-------x x xx xxx x xx xx xx52)13(5=-=。

(二)指数函数的图像和性质1、定义：一般地，函数x a x f =)((0>a 且1≠a )叫做指数函数，其中x 是自变量。

专题10 解析几何专题（新定义）一、单选题1．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似于伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系xOy 中（O 为坐标原点），把到定点1(,0)F c −和2(,0)F c 距离之积等于2(0)c c >的点的轨迹称为双纽线，记为Γ，已知()00,P x y 为双纽线Γ上任意一点，有下列命题： ①双纽线Γ的方程为()()2222222x y c x y +=−； ②12F PF △面积最大值为212c ；③022c c y −≤≤；④PO ．其中所有正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．①②③C ．②③④D ．①②③④【答案】D【分析】由已知212PF PF c ⋅=，代入坐标整理即可得出方程，判断①；根据正弦定理，结合已知条件，即可判断②；根据面积公式，结合②的结论，即可判断③；根据余弦定理，以及向量可推得222212||cos 2PO c c F PF c ∠=+≤，即可判断④.【详解】对于①，由定义212PF PF c ⋅=2c =， 即()()222222400000022x y c cx x y c cx c +++⋅++−=，整理可得()()22222200002x y c x y +=−，所以双纽线Γ的方程为()()2222222x y c x y +=−，故①正确； 对于②，1212121sin 2F PF SPF PF F PF ∠=221211sin 22c F PF c ∠=≤，故②正确；对于③，因为12212001122F PF SF F y c y c =⨯=≤，所以022c cy −≤≤，故③正确； 对于④，12F PF △中，由余弦定理可得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+−⋅⋅∠， 所以2222121242cos PF PF c c F PF ∠+=+. 又因为122PO PF PF =+，所以()()22122POPF PF =+uu u ruuu r uuu r 2212122PF PF PF PF =++⋅uuu r uuu r uuu r uuu r 221212122cos PF PF PF PF F PF =++⋅∠uuu r uuu r uuu r uuu r.所以，()22122PO F F +22212212121221212c 2cos os PF PF PF PF PF PF PF F PF F P PF F =++⋅∠++−⋅⋅∠()22122PF PF =+，即()22221244242cos PO c c c F PF ∠+=⨯+，整理可得222212||cos 2PO c c F PF c ∠=+≤，所以||PO ≤，故④正确.故选：D.2．（2023春·四川达州·高二四川省宣汉中学校考开学考试）定义： 椭圆 22221(1)x y a b a b +=>>中长度为整数的焦点弦(过焦点的弦)为 “好弦”． 则椭圆221259x y +=中所有 “好弦” 的长度之和为（ ）A ．162B ．166C ．312D ．364【答案】B【分析】根据题意分类讨论结合韦达定理求弦长的取值范围，进而判断“好弦” 的长度的取值可能，注意椭圆对称性的应用.【详解】由已知可得 5,3a b ==， 所以4c =，即椭圆221259x y +=的右焦点坐标为()4,0，对于过右焦点的弦AB ，则有：当弦AB 与x 轴重合时，则弦长210AB a ==，当弦AB 不与x 轴重合时，设()()1122:4,,,,AB x my A x y B x y =+，联立方程2241259x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得：()2292572810m y my ++−=，则()()()()2221212227281Δ72492581810010,,925925m m m m x x x x m m =−+⨯−=+>+=−=−++，故()22290116101925925m AB m m +⎛⎫==− ⎪++⎝⎭， ∵20m ≥，则221192525,092525m m +≥<≤+，可得21616025925m −≤−<+，即29161125925m ≤−<+， ∴18,105AB ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，综上所述：18,105AB ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故弦长为整数有4,5,6,7,8,9,10，由椭圆的对称性可得：“好弦” 的长度和为 ()445678910166⨯++++++=． 故选 ：B ．3．（2023秋·湖南郴州·高二校考期末）城市的许多街道是互相垂直或平行的，因此往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.如果按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点()()1122,,,A x y B x y ，定义两点间“距离”为()1212,d A B x x y y =−+−，则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“距离”之和等于定值（大于()12,d F F ）的点的轨迹可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分横坐标在1F 、2F 之外（内）的区域两种情况讨论，结合所给距离公式判断即可. 【详解】解：根据题意，横坐标在1F 、2F 之外的区域，不能出现与x 轴垂直的线段， 否则该线段上的点与1F 、2F 的“距离”之和不会是定值；横坐标在1F 、2F 之内的区域，则必须与x 轴平行，否则该线段上的点与1F 、2F 的“距离”之和不会是定值. 故选：A.4．（2022·江苏·高二专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点.，M 为蒙日圆上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线，与蒙日圆分别交于P ，Q 两点，若MPQ 面积的最大值为36，则椭圆C 的长轴长为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】利用椭圆的离心率可得a =，分析可知PQ 为圆2223x y b +=的一条直径，利用勾股定理得出222236MP MQ PQ c +==，再利用基本不等式即可求即解【详解】因为椭圆C 的离心率5c e a ==，所以a =. 因为222a b c =+，所以2b c =，所以椭圆C 3c =. 因为MP MQ ⊥，所以PQ 为蒙日圆的直径， 所以6PQ c =，所以222236MP MQ PQ c +==.因为222182MP MQMP MQ c +⋅≤=，当MP MQ ==时，等号成立， 所以MPQ 面积的最大值为：2192MP MQ c ⋅=.由MPQ 面积的最大值为36，得2936c =，得2c =，进而有24b c ==，a =，故椭圆C 的长轴长为 故选：B5．（2023·全国·高三专题练习）加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆 22:154x y C +=的蒙日圆的半径为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】由蒙日圆的定义，确定出圆上的一点即可求出圆的半径.【详解】由蒙日圆的定义，可知椭圆 22:154x y C +=的两条切线2x y =的交点在圆上，所以3R ==， 故选：A6．（2021秋·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（ ） A ．22184x y +=B ．22135x y +=C ．22162x y +=D ．22169x y +=【答案】A. 【详解】由“对偶椭圆”定义得：短半轴长b 与半焦距c 相等的椭圆是“对偶椭圆”， 对于A ，22844c b =−==，即b c =，A 是“对偶椭圆”； 对于B ，22532c b =−=≠，即b c ≠，B 不是“对偶椭圆”； 对于C ，22624c b =−=≠，即b c ≠，C 不是“对偶椭圆”； 对于D ，22963c b =−=≠，即b c ≠，D 不是“对偶椭圆”. 故选：A7．（2021春·上海闵行·高二闵行中学校考期末）若曲线0(),f x y =上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（ ）A ．210x y +−=B ．10x =C ．2210x y x x +−−−=D ．2310x xy −+=【分析】通过图象，观察其图象是否满足在其图象上存在两个不同点处的切线重合，从而确定是否存在自公切线，进而得到结论.【详解】A ：因为210x y +−=，即21y x =−是抛物线，没有自公切线，故A 错误；B ：因为10x =，表示的是图形中的实线部分，没有自公切线，故B 错误；C ：因为2210x y x x +−−−=，表示的是图形中的实线部分，由两圆相交，可知公切线，故有自公切线，故C 正确；D ：因为2310x xy −+=，即13y x x=+是双勾函数，没有自公切线，故D 错误； 故选：C.8．（2021·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）在平面直角坐标系中，定义x y +称为点(,)P x y 的“δ和”，其中O 为坐标原点，对于下列结论：（1）“δ和”为1的点(,)P x y 的轨迹围成的图形面积为2；（2）设P 是直线240x y −−=上任意一点，则点(,)P x y 的“δ和”的最小值为2；（3）设P 是直线0ax y b −+=上任意一点，则使得“δ和”最小的点有无数个”的充要条件是1a =；（4）设P 是椭圆2212y x +=上任意一点，则“δ和”的最其中正确的结论序号为（ ） A ．（1）（2）（3） B ．（1）（2）（4） C ．（1）（3）（4）D ．（2）（3）（4）【解析】根据新定义“δ和”，通过数形结合判断（1）正确，通过研究函数最值对选项（2）（3）（4）逐一判断即可.【详解】（1）当1x y +=时，点(,)P x y 的轨迹如图，其面积为2，正确；（2）P 是直线240x y −−=上的一点，24y x ∴=−，24x y x x ∴+=+−43,0,4,02,34,2,x x x x x x −≤⎧⎪=−<<⎨⎪−≥⎩可知，0x ≤，02x <<时递减，2x ≥时递增，故x y +的最小值在2x =时取得，min ()2x y +=，正确；（3）同（2），x y x ax b +=++，可知当1a =±时，都满足，“δ和”最小的点有无数个，故错误；（4）可设椭圆参数方程为,,x y θθ=⎧⎪⎨⎪⎩cos x y θθ∴+=，. 故选：B.【点睛】本题的解题关键是认真读题，理解新定义“δ和”，再通过数形结合和函数最值的研究逐一判断即突破难点.9．（2022秋·四川成都·高二成都外国语学校校考期中）若椭圆或双曲线上存在点P ，使得点P 到两个焦点12,F F 的距离之比为2:1，且存在12PF F △，则称此椭圆或双曲线存在“Ω点”，下列曲线中存在“Ω点”的是（ ）A ．2213632x y +=B ．2211615x y +=C ．22154x y −=D ．22115y x −=【答案】C【分析】求出满足条件1221PF PF =时的1PF 和2PF ，再求出12F F ，验证1PF ，2PF ，12F F能否是三角形的三边长，即可得． 【详解】1221PF PF =，则122PF PF =，若是椭圆，则12232PF PF PF a +==，223a PF =，143a PF =， 若是双曲线，则1222PF PF PF a −==，14PF a =，A 中椭圆，6,2a c ==，24PF =，18PF =，124F F =，不存在12PF F △；B 中椭圆，4,1a c ==，183PF =，1163PF =，122F F =，不存在12PF F △C中双曲线，3a c ==，双曲线上点到到右焦点距离的最小值是233ac a −=<，2PF =1PF =126F F =，构成12PF F △，存在“Ω点”，D 中双曲线，1a =，4c =，22PF =，14PF =，128F F =，不存在12PF F △ 故选：C ．【点睛】本题考查新定义“Ω点”，解题方法是弱化条件，求出满足部分条件的P 点具有的性质，验证是否满足另外的条件：构成三角形．从而完成求解．10．（2022秋·广西钦州·高二校考阶段练习）已知椭圆22:14x C y +=的焦点为1F 、2F ，若点P 在椭圆上，且满足212PO PF PF =⋅（其中O 为坐标原点），则称点P 为“★”点.下列结论正确的是（ ） A ．椭圆C 上的所有点都是“★”点 B ．椭圆C 上仅有有限个点是“★”点 C ．椭圆C 上的所有点都不是“★”点D ．椭圆C 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“★”点 【答案】B【分析】设点(),P x y ，由212PO PF PF =⋅得出关于x 、y 的等式，由2214xy =−，求出方程的解，即可得出结论.【详解】设点(),P x y ，则2214x y =−，()1F、)2F ，122PF x ===+，21442222PF PF ⎛⎫=−=−+=− ⎪ ⎪⎝⎭，由212PO PF PF =⋅，得222222x y ⎛⎫⎛⎫+=+− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即22331444x x +=−，解得x =2y =±， 所以，椭圆C 上有且只有4个点是“★”点. 故选：B.【点睛】本题考查椭圆中的新定义，考查椭圆方程的应用，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 11．（2019秋·北京·高二北京市第十三中学校考期中）已知两定点()1,0M −，()1,0N ，若直线上存在点P ，使||||4PM PN +=，则该直线为“A 型直线”，给出下列直线，其中是“A 型直线”的是（ ） ①1y x =+；②2y =；③3y x =−+；④23y x =−+ A ．①③ B ．①②C ．③④D ．①④【答案】D【分析】易得点P 在以M 、N 为焦点的椭圆22143x y +=上，“A 型直线”和椭圆有公共点，逐个选项联立方程由判别式验证即可.【详解】两定点()1,0M −，()1,0N ，||||4PM PN +=， P ∴在以M 、N 为焦点的椭圆上，且22,1,3a c b ===，故椭圆的方程为22143x y +=，满足题意的“A 型直线”和椭圆有公共点，联立1y x =+和22143x y+=，消y 整理可得27880x x −−=，故0∆>，即直线与椭圆有公共点，即为“A 型直线”，联立2y =和22143x y+=，显然无交点，故不是“A 型直线”，联立3y x =−+和22143x y +=，消y 整理可得2724240x x −+=，故Δ0<，故不是“A 型直线”，联立23y x =−+和22143x y +=消y 整理可得21948240x x −+=，故0∆>，即直线与椭圆有公共点，即为“A 型直线”， 故选：D【点睛】本题考查了椭圆的定义以及椭圆的标准方程，此题属于圆锥曲线的新定义题目，同时考查了直线与椭圆位置关系的判断，属于中等题.12．（2017春·吉林·高一统考期末）已知平面上一点M (5,0)，若直线上存在点P 使|PM |≤4，则称该直线为“ 切割型直线” , 下列直线中是“ 切割型直线” 的是( ) ①1y x =+;②2y =;③43y x =;④21y x =+. A ．①③ B ．①②C ．②③D ．③④【答案】C【分析】根据已知条件，利用点到直线的距离公式进行计算.【详解】对于①，点M 到直线y =x +1的距离14d ==，故不存在点P 使|PM |≤4，故①不是；对于②，点M 到直线y =2的距离d 2=2＜4，故存在点P 使|PM |≤4，故②是； 对于③，直线方程为4x -3y =0，点M 到直线4x -3y =0的距离3543045d ⨯−⨯== ，故存在点P 使|PM |≤4，故③是；对于④，点M 到直线y =2x +1的距离44d =，故不存在点P 使|PM |≤4，故④不是. 综上可知符合条件的有②③.故A ，B ，D 错误. 故选：C.二、多选题13．（2022秋·福建厦门·高三厦门双十中学校考阶段练习）2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo .设计师的灵感来源于曲线C ：||1n nx y +=.其中星形线E ：22331x y =+常用于超轻材料的设计.则下列关于星形线说法正确的是（ ） A ．E 关于y 轴对称B ．E 上的点到x 轴、y 轴的距离之积不超过18C ．E 上的点到原点距离的最小值为14D ．曲线E 所围成图形的面积小于2 【答案】ABD【分析】A 由(,)x y 、(,)x y −均在曲线上即可判断；B 应用基本不等式2233x y ≥+即可判断；C 由22223333()()x y x y +=+，结合立方和公式及B 的结论即可判断；D 根据2233x y +与||||x y +图形的位置关系判断.【详解】若(,)x y 在星形线E 上，则(,)x y −也在E 上，故E 关于y 轴对称，A 正确；由12233312||x y xy =≥=+，则1||8xy ≤当且仅当||||x y =时等号成立，B 正确；由222222222233233333333()1()())3()31([(])4x y x y x y x y xy xy +=+=+=−+−≥，当且仅当||||x y =时等号成立，故E 上的点到原点距离的最小值为12，C 错误；曲线E 过(1,0)±，(0,1)±，由2233||||1x y x y ++≥=，则2233x y +在||||x y +所围成的区域内部，而||||1x y +=所围成的面积为2，故曲线E 所围成图形的面积小于2，D 正确. 故选：ABD【点睛】关键点点睛：应用基本不等式有2233x y ≥+由22223333()()x y x y +=+及立方和公式求两点距离，利用2233x y +与||||x y +图形的位置判断面积大小.14．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线C 的方程为0(),F x y =，集合{}(,)|() 0,T x y F x y ==，若对于任意的11(,)x y T ∈，都存在22(,)x y T ∈，使得12120x x y y +=成立，则称曲线C 为Σ曲线.下列方程所表示的曲线中，是Σ曲线的有（ ）A ．22143x y +=B ．221x y −=C ．22y x =D ．1y x =+ 【答案】AC【分析】问题转化为11(,)P x y T ∈，存在22(,)Q x y T ∈，使得OP OQ ⊥，根据这一条件逐一判断即可.【详解】A ：22143x y +=的图象既关于x 轴对称，也关于y 轴对称，且图象是封闭图形.所以对于任意的点11(,)P x y T ∈，存在着点Q （x 2，y 2）使得OP OQ ⊥，所以满足；B ：221x y −=的图象是双曲线，且双曲线的渐近线斜率为±1，所以渐近线将平面分为四个夹角为90°的区域，当P ，Q 在双曲线同一支上，此时90POQ ∠<︒，当P ，Q 不在双曲线同一支上，此时90POQ ∠>︒，所以90,POQ OP OQ ∠≠︒⊥不满足；C ：22y x =的图象是焦点在x 轴上的抛物线，且关于x 轴对称，设P 为抛物线上一点，过O 点作OP 的垂线，则垂线一定与抛物线交于Q 点，所以90,POQ ∠=︒，所以OP OQ ⊥D ：取P （0，1），若OP OQ ⊥，则有20y =显然不成立，所以此时OP OQ ⊥不成立， 故选：AC【点睛】关键点睛：运用圆锥曲线的性质是解题的关键.15．（2021秋·河北保定·高二顺平县中学校考阶段练习）在平面内，若曲线C 上存在点P ，使点P 到点()3,0A ，()3,0B −的距离之和为10，则称曲线C 为“有用曲线”，以下曲线是“有用曲线”的是（ ）A ．5x y +=B ．229x y +=C ．221259x y +=D ．216x y =【答案】ACD【分析】利用有用曲线的定义逐项判断即可. 【详解】解：设点P 的坐标为(),x y ，因为点P 到点()3,0A ，()3,0B −的距离之和为10，由椭圆的定义可得点P 的轨迹方程为：2212516x y +=，对A ，由22512516x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得2412502250x x −+=2Δ250441225256000=−⨯⨯=>因此曲线5x y +=上存在点P 满足条件，所以5x y +=是“有用曲线”，故A 正确；对B ，因为曲线229x y +=在曲线2212516x y +=的内部，无交点，所以229x y +=不是“有用曲线”，故B 错误；对C ，曲线221259x y +=与2212516x y +=有交点()5,0与()5,0−，所以221259x y +=是“有用曲线”，故C 正确；对D ，曲线216x y =与2212516x y +=也有交点，所以216x y =是“有用曲线"，故D 正确. 故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题利用所给曲线的定义进行判断，关键是由题意得出点P 满足的方程，所给选项中的曲线只要与点P 满足的方程有交点即符合题意.16．（2021秋·辽宁·高二辽宁实验中学校考期中）双纽线也称伯努利双纽线，是指定线段AB 长度为2a ，动点M 满足2MA MB a ⋅=，那么M 的轨迹称为双纽线.已知曲线1C =为双纽线，下列选项判断正确的是（ ） A ．曲线C 过点()0,0B．曲线C上的点的纵坐标的取值范围是⎡⎣ C ．曲线C 关于x 轴对称D ．P 为曲线C 上的动点，,A B 的坐标为()0,1和()0,1−，则PAB 面积的最大值为2【答案】ABC【分析】将点()0,0代入曲线C 方程可知A 正确；1y ≥−1y ≥+可求得211y −≤，进而求得y 的范围，知B 正确；设曲线C 上的点(),x y 关于x 轴的对称点(),x y −代入曲线C 方程可知C 正确； 由1sin 2PABSPA PB θ=⋅知当PA PB ⊥时，PAB 面积最大，验证可知曲线C 上存在点P 使得PA PB ⊥，可知()max 12PAB S=，D 错误. 【详解】对于A ，将()0,0代入曲线C 方程，知方程成立，∴曲线C 过点()0,0，A 正确； 对于B ，(21x y y +≥=−（当且仅当0x =时取等号），1y =+（当且仅当0x =时取等号）， 2111y y y ≥−⋅+=−（当且仅当0x=时取等号），即211y −≤，2111y ∴−≤−≤，解得：y ≤即曲线C 上的点的纵坐标的取值范围是⎡⎣，B 正确；对于C ，设曲线C 上任一点为(),x y ，则其关于x 轴对称的点为(),x y −， 1==，即点(),x y −也在曲线C 上，∴曲线C 关于x 轴对称，C 正确； 对于D ，设APB θ∠=，则1sin 2PABSPA PB θ=⋅， P 为曲线C 上的点，1PA PB ∴⋅=，1sin 2PABSθ∴=， 则当sin 1θ=，即PA PB ⊥时，()max 12PABS=， 当PA PB ⊥时，设()00,P x y ，则220011x y ⎧+==，解得：0012x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 即曲线C 上存在点P ，使得PA PB ⊥，()max 12PAB S ∴=，D 错误. 故选：ABC.17．（2021秋·江苏南通·具有严格的比例性、艺术性，和谐性，蕴含着丰富的美学价值．这一比值能够引起人们的美感，是建筑和艺术中最理想的比例．我们把离心率e =的椭圆称为“黄金椭圆”，则以下说法正确的是（ ） A ．椭圆2212x =是“黄金椭圆” B ．若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，且满足2b ac =，则该椭圆为“黄金椭圆”C ．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为B ，右顶点为A ，若90ABF ∠=︒，则该椭圆为“黄金椭圆”D ．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是1F ，2F ，若21211=⋅F F AF F B ，则该椭圆为“黄金椭圆” 【答案】ABC【分析】定义离心率12e =的椭圆称为“黄金椭圆”，根据各命题中的椭圆方程，由题设及c e a =、222a b c =+列方程求椭圆离心率即可确定是否为“黄金椭圆”【详解】对于A ：由题意得21a =，22b =，故e ==2212x =是“黄金椭圆”，故A 正确； 对于B ：2b ac =，即22a c ac −=，故210e e +−=，解得e =e =（舍去），故该椭圆是“黄金椭圆”， 故B 正确；对于C ：由90ABF ∠=︒得22222()+=+++a c a b b c ，化简可知210e e +−=，解得12e =或e =（舍去），故该椭圆是“黄金椭圆”， 故C 正确；对于D ：由21211=⋅F F AF F B ，得2(2)()()=−+c a c a c ，则e =（负值舍去），故该椭圆不是“黄金椭圆”， 故D 错误． 故选：ABC三、填空题18．（2023春·北京·高三北京市陈经纶中学校考开学考试）卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆C 的方程为：()221224x y x x +=>−+，O 为坐标原点，点(1,0)A ，点P 为卵圆上任意一点，则下列说法中正确的是________.①卵圆C 关于x 轴对称②卵圆上不存在两点关于直线12x =对称 ③线段PO 长度的取值范围是[1,2] ④OAP △的面积最大值为1 【答案】①③④【分析】利用点(),x y 和(),x y −均满足方程，即可判断①；设()00,x y 和()001,x y −都在卵圆C 上，再解()22000200012411124x y x x y x ⎧+=⎪+⎪⎨−⎪+=⎪−+⎩即可判断②；利用两点间的距离公式表示2OP ，然后利用导数研究其最值，即可判断③；利用三角形的面积公式表示出OAP S △，然后利用导数研究其最值，即可判断④. 【详解】对于①，设(),x y 是卵圆C 上的任意一个点，因为()222212424y x x y x x −+=+=++，所以点(),x y −也在卵圆C 上，又点(),x y 和点(),x y −关于x 轴对称， 所以卵圆C 关于x 轴对称，故①正确；对于②，设()00,x y 在卵圆C 上，()00,x y 关于直线12x =对称的点()001,x y −也在卵圆C 上， 则()2200200012411124x y x x y x ⎧+=⎪+⎪⎨−⎪+=⎪−+⎩，解得0010x y =−⎧⎨=⎩或0020x y =⎧⎨=⎩， 所以卵圆上存在()()1,0,2,0−两点关于直线12x =对称，故②错误； 对于③，由22124x y x +=+，得22124x y x =−+， 所以212x x ≤+，又2x >−，所以12x −≤≤，设点()[],,1,2P x y x ∈−，则2322222241422x x x OP x y x x x ⎛⎫−=+=+−=+ ⎪++⎝⎭， 令()[]()3224,1,22x x f x x x −=+∈−+，则()()()[]()2224,1,22x x x f x x x +−'=∈−+，令()0f x '=，则0x =或1−±，当10x −<<或12x −+<<时，()0f x ¢>，当01x <<−()0f x '<，所以函数()f x 在()()1,0,1−−上递增，在(0,1−上递减，又()()(()11,04,12624f f f f −==−=−=，且261−>，所以()()min max 1,4f x f x ==，即[]21,4OP ∈，所以[]1,2OP ∈，故③正确； 对于④，点()[],,1,2P x y x ∈−，1122OAPSOA y =⋅=⨯= 令()2,122x g x x x =−≤≤+，则()()()24,122x x g x x x +'=−≤≤+， 当10x −<<时，()0g x '<，当02x <<时，()0g x '>， 所以()g x 在()1,0−上递减，在()0,2上递增， 所以()()min 00g x g ==，此时OAP △的面积取得最大值1，故④正确. 故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题考查了圆锥曲线的新定义问题，解决此类问题的关键在于理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答. 19．（2023·高二课时练习）在平面直角坐标系中，()1,0A −，()10B ,，若在曲线C 上存在一点P ，使得∠APB 为钝角，则称曲线上存在“钝点”，下列曲线中，有“钝点”的曲线为______．（填序号）①24x y =；②22132x y +=；③221x y −=；④()()22224x y −+−=；⑤344x y +=．【答案】①④⑤【分析】根据曲线上存在“钝点”的定义，依次判断各曲线是否存在“钝点”即可.【详解】设点P 的坐标为(),x y ， 若∠APB 为钝角，则1cos 0APB −<∠<， 所以0PA PB ⋅<，且,,A P B 不共线， 所以()()()()110x x y y −−−+−−<，且0y ≠， 化简可得221,0x y y +<≠，反之若221,0x y y +<≠，则∠APB 为钝角， 对于曲线24x y =，取曲线上的点11,216E ⎛⎫⎪⎝⎭，因为221111,021616⎛⎫⎛⎫+<≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以AEB ∠为钝角，故曲线24x y =为有“钝点”的曲线；对于曲线22132x y +=，若曲线上的点()11,F x y 为“钝点”，则2211132x y +=，221111,0x y y +<≠，所以21113x <−，矛盾所以曲线22132x y +=不是有“钝点”的曲线；对于曲线221x y −=，若曲线上点()22,G x y 为“钝点”，则22221x y −=，222221,0x y y +<≠，所以220y <，矛盾 所以曲线221x y −=不是有“钝点”的曲线；对于曲线()()22224x y −+−=，取曲线上的点(2M ，因为((2222121,20+=−<≠，所以AMB ∠为钝角，故曲线()()22224x y −+−=为有“钝点”的曲线； 对于曲线344x y +=，取曲线上的点()21,32N， 因为222111,0322⎛⎫⎛⎫+<≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ANB ∠为钝角，故曲线344x y +=为有“钝点”的曲线. 所以曲线①④⑤为有“钝点”的曲线. 故答案为：①④⑤.20．（2023秋·广东茂名·高二统考期末）法国数学家蒙日(),17461818Monge −发现：双曲线()2222:10x y a b a bΓ=>>−的两条互相垂直切线的交点P 的轨迹方程为：2222x y a b +=−，这个圆被称为蒙日圆.若某双曲线()22210x y a a −=>对应的蒙日圆方程为223x y +=，则=a ___________.【答案】2【分析】根据题意写出双曲线()22210x y a a −=>对应的蒙日圆方程，可得出关于a 的等式，即可求得正数a 的值.【详解】由双曲线()22210x y a a−=>的方程可得21b =，由蒙日圆的定义可得双曲线()22210x y a a −=>对应的蒙日圆方程223x y +=，所以223a b −=，即213a −=，可得2a =. 故答案为：2.21．（2023·全国·高三专题练习）一条抛物线把平面划分为二个区域，如果一个平面图形完全落在抛物线含有焦点的区域内，我们就称此平面图形被该抛物线覆盖.那么下列命题中，正确的是___________.(填写序号) （1）任意一个多边形所围区域总能被某一条抛物线覆盖； （2）与抛物线对称轴不平行､不共线的射线不能被该抛物线覆盖；（3 （4）任意有限多条抛物线都不能覆盖整个平面. 【答案】（1）（2）（4）【分析】由平面图形被该抛物线覆盖的定义逐项分析判断即可【详解】解：由抛物线的图像和性质可知，由于任意一个多边形所围区域沿着抛物线顶点出发向抛物线对称轴所在直线平移，总能把有限的区域放入抛物线内部，所以（1）正确；由于过抛物线内部一点的直线（不平行于轴）与抛物线都有两个交点，故抛物线无法覆盖一条直线，也不能覆盖与轴不平行、不共线的射线，所以（2）正确；由于锐角是由两条不平行的射线组成，故抛物线不能覆盖任何一个锐角，所以（3）错误；取一条直线，使它不平行于任一抛物线的对称轴，根据抛物线的图像和性质可知直线上的点不能被完全覆盖，如图，因为一条直线若被抛物线覆盖，它必须是抛物线的对称轴，所以任意有限多条抛物线都不能覆盖整个平面，所以（4）正确故答案为：（1）（2）（4）【点睛】关键点点睛：此题考查新定义，考查抛物线的性质的应用，解题的关键是对新定义的正确理解，属于中档题22．（2023·全国·高三专题练习）定义：点P 为曲线L 外的一点，,A B 为L 上的两个动点，则APB ∠取最大值时，APB ∠叫点P 对曲线L 的张角.已知点P 为抛物线2:4C y x =上的动点，设P 对圆22:(3)1M x y −+=的张角为θ，则cos θ的最小值为___________. 【答案】34【分析】先根据新定义，利用二倍角公式判断PM 最小时cos θ最小，再设2,4a P a ⎛⎫⎪⎝⎭，利用距离公式，结合二次函数最值的求法求得PM 最小值，即得结果.【详解】解：如图，2cos cos cos 212sin APB APM APM θ∠∠∠===−，要使cos θ最小，则1sin AM APM PMPM∠==最大，即需PM 最小.设2,4a P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则PM =∴当24a =，即2a =±时，min ||PM =1sin APM PM ∠==， 此时(1,2)P 或(1,2)−，22min 3(cos )12sin 124APM θ∠=−=−⨯=.故答案为：34.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于理解新定义，将cos θ的最小值问题转化为线段PM 最小问题，结合二次函数求最值即突破难点.23．（2022·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，点M 不与原点О重合，称射线OM 与224x y +=的交点N 为点M 的“中心投影点”，曲线2213x y −=上所有点的“中心投影点”构成的曲线长度是_______【答案】83π 【解析】可作出对应曲线的图象，结合图形，求出题中“中心投影点”构成的曲线长度对应圆中的圆心角，从而求出其“中心投影点”构成的曲线的长度.【详解】曲线2213x y −=的渐近线方程为：y = ，设渐近线与圆224x y +=的交点分别为,,,A C B D ,如下图则曲线2213x y −=上所有点的“中心投影点”构成的曲线为圆弧,AB CD由题意6AOx π∠=，所以23AOB π∠=所以24233AB ππ=⨯=,则83AB CD π+= 故答案为：83π24．（2020·浙江·高二期末）把椭圆C 的短轴和焦点连线段中较长者､较短者分别作为椭圆C '的长轴､短轴，使椭圆C 变换成椭圆C '，称之为椭圆的一次“压缩”.按上述定义把椭圆(0,1,2,)i C i =Λ“压缩”成椭圆1i C +，得到一系列椭圆123,,C C C ，…当短轴长与焦距相等时终止“压缩”.经研究发现，某个椭圆0C 经过(3)n n ≥次“压缩”后能终止，则椭圆2n C −的离心率可能是①2，②5中的______.（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②【解析】分类讨论，确定压缩数为2n −时，半长轴、半短轴、半焦距，利用离心率公式，即可求得结论. 【详解】解：依题意，若原椭圆，短轴＞焦距，则压缩数为n 时，半长轴为a ，半短轴为c ，半焦距为c所以压缩数为n 1−a ，半焦距为c ；压缩数为2n −a ∵压缩数为n 时，22222a c c c =+=∴2n C −的离心率==同理，若原椭圆，短轴＜焦距，则压缩数为n 时，半长轴为a ，半短轴为c ，半焦距为c所以压缩数为n 1−c ，半焦距为a ；压缩数为2n −c ∵压缩数为n 时，22222a c c c =+=∴2n C −的离心率== 故答案为：①②.【点睛】本题考查新定义，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.25．（2018·北京·高二统考期末）已知两定点(2,0),(2,0)M N −,若直线上存在点P ,使得||||6PM PN +=,则该直线为“T 型直线”.给出下列直线,其中是“T 型直线”的是___________. ①2y x =+ ②3y = ③3y x =−+ ④132y x =+ 【答案】①③【分析】根据椭圆的定义将“T 型直线”的判定问题转化为直线与椭圆是否有公共点的问题.【详解】由椭圆的定义可知，点P 的轨迹是以,M N 为焦点的椭圆，其方程为22195x y +=，对于①中，直线2y x =+代入椭圆的方程22195x y +=，整理得2143690x x +−=，则236414(9)0∆=−⨯⨯−>，所以2y x =+是“T 型直线”；对于②中，把3y =代入22195x y +=，则29195x +=，此时无解，所以3y =不是“T 型直线”；对于③中，把直线3y x =−+代入椭圆的方程22195x y +=，整理得21454360x x −+=，则254414360∆=−⨯⨯>，所以3y x =−+是“T 型直线”；对于④中，把直线132y x =−+代入椭圆的方程22195x y +=，整理得2291081440x x −+=，可得Δ0<，所以132y x =−+不是“T 型直线”，故答案为：①③.26．（2017·河南漯河·漯河高中校考三模）平面直角坐标系中，(1,0)A −，(1,0)B ，若曲线C 上存在一点P ，使0PA PB ⋅<，则称曲线C 为“合作曲线”，有下列曲线①2212x y +=；②21y x =+；③2221y x −=；④2231x y +=；⑤24x y +=，其中“合作曲线”是__________．（填写所有满足条件的序号） 【答案】①③④【分析】设点(,)P x y ，曲线C 为“合作曲线”⇔存在点(,)x y 使得221x y +<．解出即可判断出结论． 【详解】解：设点(,)P x y ，曲线C 上存在一点P ，使0PA PB ⋅<，∴合作曲线⇔存在点(,)x y 使得221x y +<．①由2212x y +=，则满足存在点(,)x y 使得221x y +<，曲线C 上存在一点P 满足221x y +<，故1为合作曲线； ②令2(,1)P x x +，则222(1)1x x ++<，化为4230x x +<，此时无解，即不满足221x y +<，故2不为合作曲线；③由2221y x −=，可得a =，1b =，则曲线C 上存在一点P 满足221x y +<，故3为合作曲线；④由2231x y +=，可得：1a =，b =，则曲线C 上存在一点P 满足221x y +<，故4为合作曲线； ⑤因为直线圆心到直线24x y +=的距离1d =>，故曲线C 上不存在一点P 满足221x y +<，故5不为合作曲线；综上可得：“合作曲线”是①③④．故答案为：①③④27．（2016·河北衡水·统考一模）如图，将平面直角坐标系中的纵轴绕原点O 顺时针旋转30︒后，构成一个斜坐标平面xOy .在此斜坐标平面xOy 中，点(),P x y 的坐标定义如下：过点P 作两坐标轴的平分线，分别交两轴于,M N 两点，则M 在Ox 轴上表示的数为x ，N 在Oy 轴上表示的数为y .那么以原点O 为圆心的单位圆在此斜坐标系下的方程为___________.【答案】2210x y xy ++−=【分析】过点P 作 ,PA x PB y ⊥⊥， 设(,)P x y 在直角坐标下的坐标为 ()11,P x y ， 因为30,BON ON y ∠==，所以 1,2OB y BN y ==，即111,2y y x x y ==+， 因为()11,P x y 在单位圆上，所以22111x y +=，即221122y x y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得2210x y xy ++−=.考点：圆的一般方程.【方法点晴】本题主要考查了与直角坐标有关的新定义的运算问题，对于新定义试题，要紧紧围绕新定义，根据新定义作出合理的运算与变换，同时着重考查了转化与化归的思想方法的应用，属于中档试题，本题的解答中，设出(,)P x y 在直角坐标下的坐标为11(,)P x y '，建立两个点之间的变换关系，代入单位圆的方程，即可曲解轨迹方程，其中正确得到两点之间的变换关系是解答的关键.28．（2022·全国·高三专题练习）称离心率为e =22221(0,0)x y a b a b −=>>为黄金双曲线.如图是双曲线22221(0,0,x y a b c a b −=>>=的图象，给出以下几个说法：①双曲线221=x 是黄金双曲线； ②若2b ac =，则该双曲线是黄金双曲线；③若F 1，F 2为左右焦点，A 1，A 2为左右顶点，B 1(0,b )，B 2(0,-b )且∠F 1B 1A 2=90°，则该双曲线是黄金双曲线； ④若MN 经过右焦点F 2且MN ⊥F 1F 2，∠MON =90°，则该双曲线是黄金双曲线. 其中正确命题的序号为____________【答案】①②③④【分析】根据双曲线方程求离心率，或由已知条件及双曲线参数关系构造齐次方程求离心率，结合黄金双曲线的定义判断正确命题.【详解】①：双曲线的标准方程为221x =，则2221,a b c ===，故c e a ===，满足； ②：由2222010b ac c ac a e e =⇒−−=⇒−−=，可得e =e =（舍），故满足； ③：由11290F B A ∠=︒，则222112112B F A B F A +=，所以()()222222()c b a b a c b ac +++=+⇒=，由②可得。

指数函数与对数函数专项训练一、单选题1．（23-24高一下·云南玉溪·期末）函数()()2lg 35f x x x =-的定义域为（）A ．()0,∞+B ．50,3⎛⎫⎪C ．()5,0,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪D ．5,3⎛⎫+∞ ⎪【答案】C【详解】由题意知，2350x x ->，即(35)0x x ->，所以0x <或53x >.故选：C.2．（23-24高一上·云南昭通·期末）函数()327x f x x =+-的零点所在的区间是（）A ．()0,1B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,22⎛⎫⎪D ．()2,3【答案】B【详解】∵3x y =和27y x =-均在R 上单调递增，∴()327x f x x =+-在R 上单调递增；又()12f =-，327402f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，∴()f x 在31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一的零点，故选：B.3．（23-24高一上·云南昆明·期末）滇池是云南省面积最大的高原淡水湖，一段时间曾由于人类活动的加剧，滇池水质恶化，藻类水华事件频发．在适当的条件下，藻类的生长会进入指数增长阶段．滇池外海北部某年从1月到7月的水华面积占比符合指数增长，其模型为23 1.65x y -=⨯．经研究“以鱼控藻”模式能有效控制藻类水华．如果3月开始向滇池投放一定量的鱼群后，鱼群消耗水华面积占比呈现一次函数 5.213.5y x =-，将两函数模型放在同期进行比较，如图所示．下列说法正确的是（参考数据：671.6520.2,1.6533.3≈≈）（）A ．水华面积占比每月增长率为1.65B ．如果不采取有效措施，到8月水华的面积占比就会达到60%左右C ．“以鱼控藻”模式并没有对水华面积占比减少起到作用D ．7月后滇池藻类水华会因“以鱼控藻”模式得到彻底治理【答案】B【详解】对于A ，由于模型23 1.65x y -=⨯呈指数增长，故A 错误；对于B ，当8x =时，8220.63 1.605326.y -⨯==⨯≈，故B 正确；对于C ，因为鱼群消耗水华面积占比呈现一次函数 5.213.5y x =-，所以“以鱼控藻”模式对水华面积占比减少起到作用，故C 错误；对于D ，由两函数模型放在同期进行比较的图象可知，7月后滇池藻类水华并不会因“以鱼控藻”模式得到彻底治理，故D 错误.故选：B.4．（23-24高一上·云南昭通·期末）()()1log 14a f x x =-+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点M ，幂函数()g x 过点M ，则12g ⎛⎫⎪⎝⎭为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【详解】()()1log 14a f x x =-+，令11x -=，得2x =，()124f =，则()()1log 14a f x x =-+（0a >且1a ≠）恒过定点12,4M ⎛⎫⎪⎝⎭，设()g x x α=，则124α=，即2α=-，即()2g x x -=，∴142g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选：D.5．（23-24高一下·云南楚雄·期末）已知0.320.3lo g 3,2,lo g 2a b c -===，则（）A ．c b a <<B ．<<b c aC ．<<c a bD ．a b c<<【答案】A【详解】因为2log y x =在(0,)+∞上单调递增，且234<<，所以222log 2log 3log 4<<，所以21log 32<<，即12a <<，因为2x y =在R 上递增，且0.30-<，所以0.300221-<<=，即01b <<，因为0.3log y x =在(0,)+∞上单调递减，且12<，所以0.30.3log 1log 2>，所以0.3log 20<，即0c <，所以c b a <<.故选：A6．（23-24高一上·云南·期末）若()21()ln 1||f x x x =+-，设()0.3(3),(ln2),2a f b f c f =-==，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c a b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b>>【答案】D【详解】由题意知()(),00,x ∈-∞⋃+∞，由()()()21ln 1f x x f x x⎡⎤-=-+-=⎣⎦-，所以()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，当0x >时，由复合函数的单调性法则知()f x 随x 的增大而增大，即()0,x ∈+∞，()21()ln 1||f x x x =+-单调递增，因为()()33a f f =-=，()0.3(ln2),2b f c f ==，且00.3112222=<<=，0ln2lne 1<<=，所以0.3ln 223<<，所以()()()0.3ln223f f f <<-，即b c a <<，也就是a c b >>.故选：D7．（23-24高一下·云南·期末）设222,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程2[()](2)()20f x a f x a -++=恰有5个不同实数解，则实数a 的取值范围是（）A ．[]1,2B ．(2,3]C ．()2,+∞D ．()3,+∞【答案】B【详解】方程2[()](2)()20f x a f x a -++=化为[()2][()]0f x f x a --=，解得()2f x =或()f x a =，函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，函数值的集合为(2,3]，在(0,1]上单调递减，函数值的集合为[0,)+∞，在[1,)+∞上单调递增，函数值的集合为[0,)+∞，在同一坐标系内作出直线2,y y a ==与函数()y f x =的图象，显然直线2y =与函数()y f x =的图象有两个交点，由关于x 的方程2[()](2)()20f x a f x a -++=恰有5个不同实数解，则直线y a =与函数()y f x =的图象有3个交点，此时23a <≤，所以实数a 的取值范围是(2,3].故选：B8．（23-24高一下·云南昆明·期末）若()12:lo g 11,:39a p a q --<<，则p 是q 的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】A【详解】对于()22:log 11log 2p a -<=，则012a <-<，解得13a <<；对于1:39a q -<，则12a -<，解得3a <；因为{}|13a a <<是{}|3a a <的真子集，所以p 是q 的充分不必要条件.故选：A.二、多选题9．（23-24高一上·云南迪庆·期末）已知函数()()2ln 2f x x x =-，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的单调递增区间是[)1,+∞B ．函数()f x 的值域是RC ．函数()f x 的图象关于1x =对称D ．不等式()ln 3f x <的解集是()1,3-【答案】BC【详解】对于A ，当1x =时，2210x x -=-<，此时()()2ln 2f x x x =-无意义，故A 错误；对于B ，由于()22y g x x x ==-的值域为[)1,-+∞，满足()[)0,1,+∞⊆-+∞，所以函数()f x 的值域是R ，故B 正确；对于C ，由题意()()()22ln 2ln 11f x x x x ⎡⎤=-=--⎣⎦，且定义域为()(),02,-∞+∞ ，它满足()()()21ln 11f x x f x+=-=-，即函数()f x 的图象关于1x =对称，故C 正确；对于D ，由于()f x 的定义域为()(),02,-∞+∞ ，故D 错误.故选：BC.10．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数2212,0()2|log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪⎩，若1234x x x x <<<，且()()()()1234fx fx fx fx ===，则下列结论中正确的是（）A ．122x x +=-B ．1204x x <<C ．()41,4x ∈D ．342x x +的取值范围是332,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】BC【详解】作出函数2212,0()2|log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪⎩的图像如图.对于选项A,根据二次函数的对称性知，12()224x x +=⨯=--，故A 项错误；对于选项B ，因120x x <<，由上述分析知124x x +=-，则21212120()()()42x x x x x x --<=-⋅-≤=，因12x x ≠，故有1204x x <<，即B 项正确；对于选项C ，如图，因0x ≤时，2211()2(2)2222f x x x x =--=-++≤，0x >时，2()|log |f x x =，依题意须使20|log |2x <<，由2|log |0x >得1x ≠，由2|log |2x <解得：144x <<，故有3411,144x x <<<<，即C项正确；对于选项D ，由图知2324log log x x -=，可得341x x =，故431x x =，则343322x x x x ++=，3114x <<，不妨设21,(,1)4y x x x =+∈，显然函数2y x x =+在(1,14)上单调递减，故23334x x <+<，即342x x +的取值范围是(333,4)，故D 项错误.故选：BC.11．（23-24高一上·云南昆明·期末）关于函数()ln f x x x =+，以下结论正确的是（）A ．方程()0f x =有唯一的实数解c ，且(0,1)c ∈B ．对,0,()()()x y f xy f x f y ∀>=+恒成立C ．对()1212,0x x x x ∀>≠，都有()()1212f x f x x x ->-D ．对12,0x x ∀>，均有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪【答案】AC【详解】A 选项，由于1y x =在R 上单调递增，2ln y x =在()0,∞+上单调递增，故()ln f x x x =+在定义域()0,∞+上单调递增，又()11ln 30,11033f f ⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭，故由零点存在性定理可得，方程()0f x =有唯一的实数解c ，且(0,1)c ∈，A 正确；B 选项，()ln f xy xy xy =+，()()ln ln ln f x f y x x y y x y xy +=+++=++，显然,0x y ∀>，由于xy 与x y +不一定相等，故()()f x f y +与()f xy 不一定相等，B 错误；C 选项，由A 选项可知，()ln f x x x =+在定义域()0,∞+上单调递增，对()1212,0x x x x ∀>≠，都有()()12120f x f x x x ->-，C 正确；D 选项，12,0x x ∀>，均有121212ln 222x xx x x x f +++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()()12112212121212ln ln ln ln 22222f x f x x x x x x x x x x x x x ++++++==+=+，由于12122x x x x +≥，当且仅当12x x =时，等号成立，故1212ln ln 2x x x x +≥，即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，D 错误.故选：AC 三、填空题12．（23-24高一上·云南昆明·期末）()()2,(1)29,1x a x f x x ax a x ⎧>⎪=⎨-++-≤⎪⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为.【答案】[]2,5【详解】因为在R 递增，则112129a a a a a⎧⎪⎪≥⎨⎪-++-≤⎪⎩＞，解得：25a ≤≤，故答案为：[]2,513．（23-24高一下·云南昆明·期末）设函数()ln(1)f x x =+，2()g x x a =-+，若曲线()y f x =与曲线()y g x =有两个交点，则实数a 的取值范围是．【答案】(0,)+∞【详解】当0x ≥时，()ln(1),f x x =+当0x <时()ln(1),f x x =-+函数图象示意图为则2()g x x a =-+与()ln (1)f x x =+有两个零点知a 的取值范围是(0,)+∞.故答案为：(0,).+∞14．（23-24高一下·云南玉溪·期末）苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier ，1550-1617）在研究天文学的过程中，经过对运算体系的多年研究后发明的对数，为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间.即就是任何一个正实数N 可以表示成10(110,)n N a a n =⨯≤<∈Z ，则lg lg (0lg 1)N n a a =+≤<，这样我们可以知道N 的位数为1n +.已知正整数M ，若10M 是10位数，则M 的值为.（参考数据：0.9 1.1107.94,1012.56≈≈）【答案】8或9【详解】依题意可得910101010M ≤<，两边取常用对数可得91010lg10lg lg10M ≤<，即910lg 10M ≤<，所以0.9lg 1M ≤<，即0.91010M ≤<，又M 为正整数，所以8M =或9M =.故答案为：8或9四、解答题15．（23-24高一上·云南昆明·期末）设函数()log (3)(,10a f x x a =-+>且1)a ≠．(1)若(12)3f =，解不等式()0f x >；(2)若()f x 在[4,5]上的最大值与最小值之差为1，求a 的值．【答案】(1)10(,)3+∞(2)2a =或12a =【详解】（1）由(12)3f =可得log (123)13a -+=，解得3a =，即3()log (3)1,(3)f x x x =-+>，则()0f x >，即3log (3)10x -+>，即310,1333x x x >⎧⎪∴>⎨->⎪⎩，故不等式()0f x >的解集为10(,)3+∞；（2）由于()f x 在[4,5]上的最大值与最小值之差为1，故log 11(log 21)1a a +-+=，即log 21,2a a =∴=或12a =，即a 的值为2a =或12a =.16．（23-24高一上·云南昭通·期末）化简求值：(1)()13103420.027π4160.49--++；(2)ln22311lg125lg40.1e log 9log 1632-+++⨯.【答案】(1)8(2)9【详解】（1）()13103420.027π4160.49--++()()()1313423420.3120.7⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-++⎣⎦⎣⎦⎣⎦0.3180.78=-++=；（2）ln22311lg125lg4lg 0.1e log 9log 1632-++++⨯3211112lg34lg2lg5lg23222lg2lg3=+-++⨯lg 5lg28=++9=.17．（23-24高一上·云南·期末）已知定义域为R 的函数()11333xx m f x +-⋅=+是奇函数．(1)求m 的值并利用定义证明函数()f x 的单调性；(2)若对于任意t ∈R ，不等式()()22620f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)1m =，证明见解析(2)3k <-【详解】（1）因为()f x 是奇函数，函数的定义域为R ，所以(0)0f =，所以1033m-=+，所以1m =，经检验满足()()f x f x -=-易知()11312133331x x x f x +-⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭设12x x <，则2112122(33)()()3(31)(31)x x x x f x f x --=++因为3x y =在实数集上是增函数，故12()()0f x f x ->．所以()f x 在R 上是单调减函数（2）由（1）知()f x 在(,)-∞+∞上为减函数．又因为()f x 是奇函数，所以()()22620f t t f t k -+-<等价于()()2262f t t f k t-<-，因为()f x 为减函数，由上式可得：2262t t k t ->-．即对一切t R ∈有：2360t t k -->，从而判别式361203k k ∆=+<⇒<-．所以k 的取值范围是3k <-．18．（23-24高一下·云南昆明·期末）已知函数1()xx f x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （0a >且1a ≠）．(1)讨论()f x 的单调性（不需证明）；(2)若2a =，（ⅰ）解不等式3()2≤f x x；（ⅱ）若21()(22))2(x g f x t x x f +=-+在区间[]1,1-上的最小值为74-，求t 的值．【答案】(1)答案见解析(2)（ⅰ）(](],10,1-∞-⋃；（ⅱ）2t =-或2t =【详解】（1）若1a >，则1()()x xf x a a=-在R 上单调递增；若01a <<，则1()()x xf x a a=-在R 上单调递减．（2）（ⅰ）3()2≤f x x ，即132()022xx x --≤，设13()2()22xx g x x=--，则(1)0g =，()()g x g x -=-，所以()g x 为奇函数，当0x >时，()g x 单调递增，由()(1)g x g ≤，解得01x <≤，根据奇函数的性质，当0x <时，()(1)g x g ≤的解为1x ≤-，综上所述，3()2≤f x x的解集为(](],10,1-∞-⋃．（ⅱ）2122()2(2)2()222(22)x x x x x g x f x tf x t +--=-+=++-，令22x x m --=，因为[]1,1x ∈-，则33,22m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2()()22g x h m m tm ==++，其图象为开口向上，对称轴为m t=-的抛物线，①当32t -≤-，即32t ≥时，min 39177()()3232444h m h t t =-=-+=-=-，解得2t =．②当3322t -<-<，即3322t -<<时，222min 7()()2224h m h t t t t =-=-+=-+=-，解得1152t =，2152t =-矛盾．③当32t -≥，即32t ≤-时，min 39177()()3232444h m h t t ==++=+=-，解得2t =-．综上所述，2t =-或2t =．19．（23-24高一上·云南昆明·期末）函数()e (0)x f x mx m =-<．(1)求(1)f -和(0)f 的值，判断()f x 的单调性并用定义加以证明；(2)设0x 是函数()f x 的一个零点，当1em <-时，()02f x k >，求整数k 的最大值．【答案】(1)1(1)e f m --=+，(0)1f =，()f x 在定义域R 上单调递增，证明见解析，(2)整数k 的最大值为1-【详解】（1）1(1)e f m --=+，(0)1f =，判断()f x 在定义域R 上单调递增，证明如下：在R 上任取1x ，2x ，且12x x <，则1212121212()()e (e )(e e )()x x x x f x f x mx mx m x x -=---=---，因为12x x <，0m <，所以12e e x x <，120x x -<，0m ->，所以12e e 0x x -<，12()0m x x --<，所以1212(e e )()0x x m x x ---<，即12())0(f x f x -<，所以12()()f x f x <，所以()f x 在定义域R 上单调递增．（2）由题意得0()0f x =，即00e 0x mx -=，1em <-，则10e m +<，即0(1)0()f f x -<=，由()f x 是R 上的增函数，所以01x -<，又0(0)10()f f x =>=，所以010x -<<，0200(2)e 2x f x mx =-002e 2e x x =-，令01e (ext =∈,1)，则22()2(1)1g t t t t =-=--，所以()g t 在1(e ,1)上单调递减，所以()()11g t g >=-，即0(2)1f x >-，当1em <-时，0(2)f x k >，所以1k ≤-，所以整数k 的最大值为1-．。

指数函数讲义经典整理（含答案）一、同步知识梳理知识点1：指数函数函数(01)xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R知识点2：指数函数的图像和性质知识点3：指数函数的底数与图像的关系指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系 如图所示，则01c d a b <<<<<，在y 轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大， 在y 轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大 即无论在y 轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大在第一象限内，“底大图高”知识点4：指数式、指数函数的理解① 分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算② 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视③ 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值④ 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像1223,,21xx y y x y y =⋅===- 等函数均不符合形式()01x y a a a =>≠且，因此，它们都不是指数函数⑤ 画指数函数x y a =的图像，应抓住三个关键点：()()11,,0,1,1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭二、同步题型分析题型1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域例1：已知函数，且． （1）求m 的值；（2）判定f （x ）的奇偶性；（3）判断f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明． 专题： 计算题． 分析：（1）欲求m 的值，只须根据f （4）=的值，当x=4时代入f （x ）解一个指数方程即可；（2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判断f （x ）与f （﹣x ）的关系，即可得到答案； （3）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x1＜x2，只要证明f （x1）＞f （x2），即可． 解答： 解：（1）因为，所以，所以m=1．（2）因为f （x ）的定义域为{x|x≠0}，又，所以f （x ）是奇函数． （3）任取x1＞x2＞0，则，因为x1＞x2＞0，所以，所以f （x1）＞f （x2），所以f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．点评：本题主要考查了函数单调性的判断、函数奇偶性的判断，与证明及指数方程的解法．在判定函数奇偶性时，一定注意函数的定义域关于原点对称，属于基础题．例2：已知函数，（1）讨论函数的奇偶性；（2）证明：f（x）＞0．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：（1）由2x﹣1≠0解得义域为{x|x≠0}，关于原点对称．f（﹣x）=（）（﹣x）=（）x=f（x），故该函数为偶函数．（2）任取x∈{x|x≠0}，当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，故，从而．当x＜0时，﹣x＞0，故f（﹣x）＞0，由函数为偶函数，能证明f（x）＞0在定义域上恒成立．解答：解：（1）该函数为偶函数．由2x﹣1≠0解得x≠0即义域为{x|x≠0}关于原点对称…（2分）f（﹣x）=（）（﹣x）=﹣（+）x=（）x=（）x=（）x=f（x）（6分）故该函数为偶函数．…（7分）（2）证明：任取x∈{x|x≠0}当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，∴2x﹣1＞0，故从而…（11分）当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＞0，…（12分）又因为函数为偶函数，∴f（x）=f（﹣x）＞0，…（13分）∴f（x）＞0在定义域上恒成立．…（14分）点评：本题考查函数的奇偶性的判断和证明f（x）＞0．解题时要认真审题，注意指数函数性质的灵活运用．例3：已知函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a的值；（2）求f（x）+f（1﹣x）的值；（3）求的值．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）由y=ax单调得a+a2=20，由此可求a；（2）写出f（x），代入运算可得；（3）借助（2）问结论分n为奇数、偶数讨论可求；解答：解：（1）∵函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，且y=ax单调，∴a+a2=20，得a=4，或a=﹣5（舍去）；（2）由（1）知，∴====1；（3）由（2）知f（x）+f（1﹣x）=1，得n为奇数时，=×1=；n为偶数时，=+f（）==；综上，=．点评：本题考查指数函数的单调性、最值等知识，属中档题．题型2：指数函数的图像变换．例1：已知函数y=|2x﹣2|（1）作出其图象；（2）由图象指出函数的单调区间；（3）由图象指出当x取何值时，函数有最值，并求出最值．考点：指数函数的图像变换．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到．（2）结合函数的图象，可得函数的减区间和增区间．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．解答：解：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到，如图所示：（2）结合函数的图象，可得函数的减区间为（﹣∞，1]，增区间为（1，+∞）．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．点评：本题主要考查指数函数的图象和性质综合，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．题型3：指数函数单调性例1：已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中常数a，b满足a•b≠0（1）若a•b＞0，判断函数f（x）的单调性；（2）若a=﹣3b，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．考点：指数函数的单调性与特殊点；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）分a＞0，b＞0和a＜0，b＜0两种情况讨论，运用单调性的定义可作出判断；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），分b＞0，b＜0两种情况进行讨论，整理可得指数不等式解出即可；解答：解：（1）当a＞0，b＞0时，任意x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=a（﹣）+b（﹣），∵＜，＜，a＞0，b＞0，∴a（﹣）＜0，b（﹣）＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在R上是增函数；当a＜0，b＜0时，同理，可判断函数f（x）在R上是减函数；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），则f（x+1）＞f（x）即化为b（3x+1﹣3•2x+1）＞b（3x﹣3•2x），若b＞0，则有3x+1﹣3•2x+1＞3x﹣3•2x，整理得，解得x＞1；若b＜0，则有3x+1﹣3•2x+1＜3x﹣3•2x，整理得，解得x＜1；故b＞0时，x的范围是x＞1；当b＜0时，x的范围是x＜1．点评：本题考查函数单调性的判断、指数函数的单调性的应用，考查分类讨论思想，属基础题．例2：已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x）．在x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+2﹣x．（1）试求f（x）的表达式；（2）用定义证明f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）若对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立，求实数t的取值范围．考点：指数函数综合题；奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数可得f（0）=0，x∈（0，1）时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x）；从而写出f（x）的表达式；（2）取值，作差，化简，判号，下结论五步；（3）对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立转化为对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t＞﹣恒成立，从而可得．解答：解：（1）∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，设∈（0，1），则﹣x∈（﹣1，0），则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x），故f（x）=；（2）任取x1，x2∈（﹣1，0），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=+﹣（+）=，∵x1＜x2＜0，∴﹣＜0，0＜＜1，故f（x1）﹣f（x2）＞0，故f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）由题意，t•2x•f（x）＜4x﹣1可化为t•2x•（﹣（2x+2﹣x））＜4x﹣1，化简可得，t＞﹣，令g（x）=﹣=﹣1+，∵x∈（0，1），∴g（x）＜﹣1+=0，故对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立可化为t≥0．点评：本题考查了函数的性质的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于难题．例3：已知函数f（x）=|2x﹣1﹣1|，（x∈R）．（1）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，并指出函数f（x）在区间（﹣∞，1）上的单调性；（2）若函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点A（m，t），B（n，t），其中m＜n，求m+n 的取值范围．考点：指数函数综合题．专题：计算题；证明题．分析：（1）函数单调性的证明，通常依据定义，步骤为：取值，作差，变形，定号，下结论，由于与指数函数有关，求解时要利用到指数函数的单调性；（2）由（1）可知，函数的值域为（0，1），要使函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1）又函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，所以A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故可以求出m+n，进而由t∈（0，1），可求m+n的取值范围．解答：解：（1）证明：任取x1∈（1，+∞），x2∈（1，+∞），且x1＜x2，=，∵x1＜x2，∴，∴，∴f（x1）＜f（x2）．所以f（x）在区间（1，+∞）上为增函数．（5分）函数f（x）在区间（﹣∞，1）上为减函数．（6分）（2）因为函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，相应的函数值为（0，+∞），在区间（﹣∞，1）上为减函数，相应的函数值为（0，1），由题意函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1），（8分）易知A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故2m﹣1﹣1＜0，2n ﹣1﹣1＞0，又A，B两点的坐标满足方程t=|2x﹣1﹣1|，故得t=1﹣2m﹣1，t=2n﹣1﹣1，即m=log2（2﹣2t），n=log2（2+2t），（12分）故m+n=log2（2﹣2t）+log2（2+2t）=log2（4﹣4t2），当0＜t＜1时，0＜4﹣4t2＜4，﹣∞＜log2（4﹣4t2）＜2．因此，m+n的取值范围为（﹣∞，2）．（17分）点评：本题的考点是指数函数综合问题，主要考查函数单调性的证明，考查函数图形的性质，有较强的综合性．依据定义，证明函数的单调性的步骤通常为：取值，作差，变形，定号，下结论三、课堂达标检测检测题1：已知函数f（x）=（其中e=2.71828…是一个无理数）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断奇偶性并证明之；（3）判断单调性并证明之．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：计算题；证明题．分析：（1）把分子整理变化成和分母相同的一部分，进行分子常数化，则变量只在分母上出现，根据分母是一个指数形式，恒大于零，得到函数的定义域是全体实数．（2）根据上一问值函数的定义域关于原点对称，从f（﹣x）入手整理，把负指数变化为正指数，就得到结果，判断函数是一个奇函数．（3）根据判断函数单调性的定义，设出两个任意的自变量，把两个自变量的函数值做差，化成分子和分母都是因式乘积的形式，根据指数函数的性质，判断差和零的关系．解答：解：f（x）==1﹣（1）∵e2x+1恒大于零，∴x∈R（2）函数是奇函数∵f（﹣x）==又由上一问知函数的定义域关于原点对称，∴f（x）为奇函数（3）是一个单调递增函数设x1，x2∈R 且x1＜x2则f（x1）﹣f（x2）=1﹣=∵x1＜x2，∴∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）∴f（x）在R是单调增函数点评：本题考查函数的定义域，考查函数的奇偶性的判断及证明．考查函数单调性的判断及证明，考查解决问题的能力，是一个综合题目．检测题2：已知函数f（x）=2ax+2（a为常数）（1）求函数f（x）的定义域．（2）若a=1，x∈（1，2]，求函数f（x）的值域．（3）若f（x）为减函数，求实数a的取值范围．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；指数函数的单调性与特殊点．专题：常规题型；转化思想．分析：（1）利用指数函数的定义域来考虑．（2）利用函数f（x）在（1，2]上的单调性求函数的值域．（3）根据复合函数的单调性，函数u=ax+2必须为减函数．解答：解：（1）函数y=2ax+2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R．（2）因为a=1，所以f（x）=2x+2．易知此时f（x）为增函数．又因为1＜x≤2，所以f（1）＜f（x）≤f（2），即8＜f（x）≤16．所以函数f（x）的值域为（8，16]．（3）因为f（x）为减函数，而y=2u是增函数，所以函数u=ax+2必须为减函数．所以得a＜0点评：本题考查指数函数的定义域、值域、单调性，复合函数的单调性，体现转化的数学思想．检测题3：设f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（x）对任意不为零的实数x都满足f（﹣x）=﹣f（x）．已知当x＞0时（1）求当x＜0时，f（x）的解析式（2）解不等式．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的性质．专题：常规题型．分析：（1）求当x＜0时，f（x）的解析式，在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值x，再转化到已知区间上求解析式，由f（﹣x）=﹣f（x）解出f（x）即可．（2）解不等式f（x）＜﹣，分x＞0和x＜0两种情况，根据求得的解析式求解即可．解答：解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，=又f（﹣x）=﹣f（x）所以，当x＜0时，（2）x＞0时，，∴化简得∴，解得1＜2x＜4∴0＜x＜2当x＜0时，∴解得2x＞1（舍去）或∴x＜﹣2解集为{x|x＜﹣2或0＜x＜2}点评：本题考查分段函数解析式的求法，注意在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值，再转化到已知的区间上求解析式，再根据奇偶性，解出f（x）来．解不等式也要分段求解，注意x的取值范围．11。

考点14 指数函数【命题解读】在高考中指数函数部分往往与其他知识点交汇考查，也常与函数的图像结合考查。

重点考查与此有关的性质。

【基础知识回顾】 ．指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是变量，函数的定义域是R ，a 是底数． (2)指数函数的图象与性质a ＞10＜a ＜1图象定义域 (1)R 值域(2)(0，＋∞)性质(3)过定点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1(4)当x ＞0时，y ＞1；当x ＜0时，0＜y ＜1 (5)当x ＜0时，y ＞1；当x ＞0时，0＜y ＜1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数[常用结论]1．指数函数图象的画法画指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a .2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝a x，(2)y＝b x，(3)y＝c x，(4)y＝d x的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝a x(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．3．指数函数y＝a x(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究．1、设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．b＜a＜c D．b＜c＜a【答案】C【解析】因为函数y＝0.6x在R上单调递减，所以b＝0.61.5＜a＝0.60.6＜1.又c＝1.50.6＞1，所以b＜a＜c. 2、函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )A.a>1，b<0B.a>1，b>0C.0<a<1，b>0D.0<a<1，b<0【答案】D【解析】由f(x)＝a x－b的图象可以观察出，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a<1. 函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的，所以b<0.3、若函数y＝(a2－1)x是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )A. 1<a< 2B. －2<a<－1C. 1<a<2，或－2<a<－1D.22<a<1，或1<a< 2【答案】C【解析】由y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a2－1<1，∴1<a2<2，即1<a<2或－2<a<－1.∴数a的取值范围是1<a<2或－2<a<－1.故选C.4、已知函数f(x)＝a x－3＋2的图像恒过定点A，则A的坐标为．【答案】(3，3)【解析】 由a 0＝1知，当x －3＝0，即x ＝3时，f(3)＝3，即图像必过定点(3，3)． 5、函数的值域为（ ）A ．B ．C ．（0，]D ．（0，2]【答案】A【解析】令t （x ）＝2x ﹣x 2＝﹣（x ﹣1）2+1≤1 ∵单调递减∴即y故选：A ．考向一 指数函数的性质与应用例1、（1）．已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0．53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b ＜a ＜cB ．c ＜a ＜bC ．c ＜b ＜aD ．a ＜b ＜c ．（2）．如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a ＞0，a ≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a 的值为（ ） A ．3 B ．13 C ．-5 D ．3或13．（3）．已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________． 【解析】（1）．B 由函数f (x )＝2|x－m |－1为偶函数，得m ＝0，即f (x )＝2|x |－1，其图象过原点，且关于y 轴对称， 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． 又a ＝f (log 0．53)＝f (－log 23)＝f (log 23)，b ＝f (log 25)， c ＝f (0)，且0＜log 23＜log 25，所以c ＜a ＜b ．（2）．D 令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2．当a ＞1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去)．当0＜a ＜1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ， 又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上单调递增，则y max ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14，解得a ＝13(负值舍去)． 综上知a ＝3或a ＝13．（3）令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－∞，m 2上单调递减，而y ＝2t 为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．变式1、（1）函数f(x)＝22112x x -++⎛⎫⎪⎝⎭的单调减区间为 ．（2）(一题两空)已知函数f (x )＝a |x ＋1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则a 的取值范围为________，f (－4)与f (1)的大小关系是________．（3）（2019·福建泉州五中模拟）设a >0，且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1，1]上的最大值是14，则实数a 的值为________．【答案】（1） (－∞，1] （2）(1，＋∞) f (－4)＞f (1)（3）13或3【解析】（1）设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝12a⎛⎫⎪⎝⎭在R 上为减函数，∴函数f (x )＝22112x x -++⎛⎫⎪⎝⎭的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]，∴f (x )的减区间为(－∞，1]．（2）因为|x ＋1|≥0，函数f (x )＝a |x ＋1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a ＞1.由于函数f (x )＝a|x ＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x ＝－1对称，则函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数，故f (1)＝f (－3)，f (－4)＞f (1)．（3）令t ＝a x (a >0，且a ≠1)，则原函数化为y ＝f (t )＝(t ＋1)2－2(t >0)．①当0<a <1，x ∈[－1，1]时，t ＝a x∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ，此时f (t )在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上为增函数． 所以f (t )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14.所以⎝⎛⎭⎫1a ＋12＝16，解得a ＝－15(舍去)或a ＝13.②当a >1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，此时f (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上是增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去)．综上得a ＝13或3.变式2、（江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测】不等式23122x x --<的解集为_______. 【答案】(﹣1，2) 【解析】由题23122x x --<则2311222x x ---<=，故23112x x x --<-⇒-<< 故填(﹣1，2)变式3、设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x<0，x ，x ≥0，若f(a)<1，则实数a 的取值范围是 ；【答案】(－3，1)【解析】当a <0时，不等式f (a )<1可化为12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭－7<1，即12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭<8，即12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭<312-⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴a >－3.又a <0，∴－3<a <0.当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1.∴0≤a <1， 综上，a 的取值范围为(－3，1)．变式4、(2020·包头模拟)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为______. 【答案】12.【解析】(1)当a <1时，41－a＝21，解得a ＝12；当a >1时，代入不成立.故a 的值为12.方法总结： 指数函数的性质有着广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和值域、最值等等．(1)比较两个幂值的大小问题是常见问题，解决这类问题首先要分清底数是否相同；若底数相同，则可利用函数的单调性解决；若底数不同，则要利用中间变量进行比较．(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性问题，常常需要借助换元等手段将其化归于指数函数来解，体现化归与转化思想的运用．(3)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时须分底数0<a <1和a >1两种情形进行分类讨论，防止错解考向二 指数函数的图像与性质例2、如图，过原点O 的直线与函数y ＝2x 的图像交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的垂线交函数y ＝4x 的图像于点C ，若AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是________． 【答案】(1,2)．【解析】设C (a,4a )，则A (a,2a )，B (2a,4a )．又O ，A ，B 三点共线，所以2a a ＝4a2a ，故4a ＝2·2a ，所以2a ＝0(舍去)或2a ＝2，即a ＝1，所以点A 的坐标是(1,2)．变式1、（2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟）已知过点O 的直线与函数3x y =的图象交于A 、B 两点，点A 在线段OB 上，过A 作y 轴的平行线交函数9x y =的图象于C 点，当BC ∥x 轴，点A的横坐标是 【答案】3log 2【解析】根据题意，可设点(),3a A a ，则(),9a C a ,由于BC ∥x 轴，故9aC B y y ==，代入3x y =，可得2B x a =，即()2,9aB a ，由于A 在线段OB 上，故OA OB k k =，即392a a a a=，解得 3log 2a =.变式2、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知31log 3a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133log b b =，131log 3cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a << B ．a b c <<C ．b c a <<D ．b a c <<【答案】C 【解析】在同一直角坐标系内，作出函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3log y x =，3x y =，13log y x =的图像如下：因为31log 3a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133log b b =，131log 3cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以a 是13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与3log y x =交点的横坐标；b 是3x y =与13log y x =交点的横坐标；c 是13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与13log y x =交点的横坐标；由图像可得：b c a <<. 故选：C.变式3、（2019·广西北海一中月考）函数y ＝a x－1a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )【答案】D【解析】当a >1时，y ＝a x－1a 是增函数．当x ＝0时，y ＝1－1a ∈(0，1)，A ，B 不满足． 当0<a <1时，y ＝a x－1a 在R 上是减函数．当x ＝0时，y ＝1－1a <0，C 错，D 项满足． 变式4、 已知f(x)＝|2x －1|.(1)求f(x)的单调区间；(2)比较f(x ＋1)与f(x)的大小；(3)试确定函数g(x)＝f(x)－x 2的零点的个数．【解析】 (1)由f(x)＝|2x－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0，1－2x ，x<0可作出函数的图像如图所示．因此函数f(x)的单调减区间是(－∞，0)上，单调增区间是(0，＋∞)． (2)在同一坐标系中，分别作出函数f(x)、f(x ＋1)的图像如图所示．由图像知，当012x +－1＝1－02x ，即x 0＝log 223时，两图像相交，当x<22log 3时，f(x)>f(x ＋1)； 当x ＝22log 3时，f(x)＝f(x ＋1)；当x>22log 3时，f(x)<f(x ＋1)．(3)将g(x)＝f(x)－x 2的零点个数问题转化为函数f(x)与y ＝x 2的图像的交点个数问题，在同一坐标系中，分别作出函数f(x)＝|2x －1|和y ＝x 2的图像(如图所示)，有四个交点，故g(x)有四个零点．方法总结：指数函数的图像直观的刻画了指数函数的性质，在解题中有着十分广泛的应用．(1)已知函数解析式判断其图像一般是取特殊点，判断所给的图像是否过这些点，若不满足则排除； (2)对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论；(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数函数图像，数形结合求解．考向三 指数函数的综合运用例3、关于函数f (x )＝14x＋2的性质，下列说法中正确的是( )A ．函数f (x )的定义域为RB ．函数f (x )的值域为(0，＋∞)C ．方程f (x )＝x 有且只有一个实根D ．函数f (x )的图象是中心对称图形 【答案】 ACD【解析】 函数f (x )＝14x ＋2的定义域为R ，所以A 正确；因为y ＝4x在定义域内单调递增，所以函数f (x )＝14x ＋2在定义域内单调递减，所以函数的值域为⎝⎛⎭⎫0，12，所以方程f (x )＝x 只有一个实根，所以B 不正确，C 正确； 因为f (x ＋1)＋f (－x )＝14x ＋1＋2＋14－x ＋2＝14·4x ＋2＋4x 2·4x ＋1＝12，∴f (x )关于⎝⎛⎭⎫12，14对称，所以D 正确．变式1、（2020届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研(二)）已知函数(),413,1x x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩，若16f f a =，则实数a = _____．【答案】1-【解析】∵函数(),413,1x x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩,16f f a =, ∴当1a ≥时,44a f a ＝,4(())4416aa f f a f ,解得12a =,不合题意． 当1a <时, 3f a a = , 当31a 时,33416af f a f a ==,解得1a =-,当31a 时,33316f f a f a a ==,解得10a =,不合题意．综上,实数1a =-． 故答案为：1-．变式2、已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1) 求a ，b 的值；(2) 若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．【解析】 (1) ∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0，即b －1a ＋2＝0⇒b ＝1，∴f (x )＝1－2xa ＋2x ＋1.又由f (1)＝－f (－1)，得1－2a ＋4＝－1－12a ＋1⇒a ＝2. 经检验知，a ＝2，b ＝1为所求．(2)(方法1)由(1)得f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x ＋1，易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．∵f (x )是奇函数，∴f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0⇔f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)． ∴t 2－2t >k －2t 2，即对一切t 有3t 2－2t －k >0.∴Δ＝4＋12k <0⇒k <－13.(方法2)由(1)知f (x )＝1－2x2＋2x ＋1， ∴222211222ttt t --+-+＋222211222tkt k --+-+<0，即(2212t k -+＋2)(1－222t t -)＋(2222t t -+＋2)(1－222t k -<0，即2322t t k --1，故3t 2－2t －k >0.上式对一切t ∈R 均成立，从而Δ＝4＋12k <0⇒k <－13.变式3、设a 是实数，f (x )＝a －22x ＋1(x ∈R )． (1) 试证明对于任意a ，f (x )都为增函数； (2) 试确定a 的值，使f (x )为奇函数． 【证明】 (1)设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1221x a ⎛⎫- ⎪+⎝⎭－2221x a ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=21222121x x -++＝()()12122(22)2121x x x x -++. 由于指数函数y ＝2x在R 上是增函数，且x 1<x 2，∴12x <22x ，即1222x x -<0.又由2x>0，得12x ＋1>0，22x ＋1>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∵此结论与a 的取值无关，∴对于a 取任意实数， f (x )均为增函数．(2)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即a －22－x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22x＋1，变形得2a ＝2·2x （2－x ＋1）·2x ＋22x ＋1＝2·（2x ＋1）2x ＋1＝2，解得a ＝1. 方法总结：指数函数性质的综合应用，其方法是：首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解以上问题都是指数型函数问题，关键应判断其单调性，对于形如y ＝a f (x )的函数的单调性，它的单调区间与f (x )的单调区间有关：若a >1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝a f (x )的单调增(减)区间；若0<a <1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝a f (x )的单调减(增)区间1、(2018全国卷Ⅱ)函数2()--=x x e e f x x的图像大致为【答案】B【解析】当0<x 时，因为0--<x x e e ，所以此时2()0--=<x x e e f x x，故排除A ．D ；又1(1)2=->f e e ，故排除C ，选B ．2、（2020届山东省烟台市高三上期末）设0.5log 3a =，30.5b =，0.513c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A【解析】 由题,因为0.5log y x =单调递减,则0.50.5log 3log 10a =<=；因为0.5x y =单调递减,则3000.50.51b <=<=；因为3x y =单调递增,则0.50.5013313c -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭,所以01a b c <<<<,故选：A 3、（2017北京）已知函数1()3()3x x f x =-，则()f x A ．是奇函数，且在R 上是增函数 B ．是偶函数，且在R 上是增函数 C ．是奇函数，且在R 上是减函数 D ．是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【解析】11()3()(3())()33x x x x f x f x ---=-=--=-，得()f x 为奇函数， ()(33)3ln33ln30x x x x f x --''=-=+>，所以()f x 在R 上是增函数．选A ．4、（2012山东）若函数在[1,2]-上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(0,1)x f x a a a =>≠()(14g x m =-在上是增函数，则a ＝ ．【答案】 【解析】 当时，有，此时，此时为减函数，不合题意．若，则，故，检验知符合题意． 5、已知函数f (x )＝3x－13|x |． (1)若f (x )＝2，求x 的值；(2)判断x >0时，f (x )的单调性；(3)若3tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈⎣⎡⎦⎤12，1恒成立，求m 的取值范围． 【解析】：(1)当x ≤0时，f (x )＝3x －3x ＝0，不满足f (x )＝2．当x >0时，f (x )＝3x－13x ，令3x －13x ＝2． 03 1.x x >∴>，∴(3x )2－2·3x －1＝0，解得3x ＝1±2．∵3x >1，∴3x ＝1＋2．∴x ＝log 3(1＋2)．0x >，1=33x x f x ∴-函数可化为（）. (2)∵y ＝3x 在(0，＋∞)上单调递增，y ＝13x 在(0，＋∞)上单调递减，∴f (x )＝3x －13x 在(0，＋∞)上单调递增．(3)∵t ∈⎣⎡⎦⎤12，1，∴f (t )＝3t －13t >0．∴3t f (2t )＋mf (t )≥0化为3t⎝⎛⎭⎫32t －132t ＋m ⎝⎛⎭⎫3t －13t ≥0， 即3t⎝⎛⎭⎫3t ＋13t ＋m ≥0，即m ≥－32t －1． 令g (t )＝－32t－1，则g (t )在⎣⎡⎦⎤12，1上递减， ∴g (x )max ＝－4．∴所求实数m 的取值范围是[－4，＋∞)．[0,)+∞141a >214,a a m -==12,2a m ==()g x =01a <<124,a a m -==11,416a m ==。

专题10 任务型阅读解题技巧题型概述对于中考考生来说做“任务型”这样的题目时，普遍觉得不难，而考试结果一出来，却发现得高分的不多，原因就在于这种题型不仅要求考生读懂文章，还要求同学们用自己的语言简练的回答有关问题；既考查了学生的阅读理解能力，也考查了大家的英语表达能力和概括能力，另外，对回答的拼写、语法的正确性的要求，使得做简答题有一定的难度。

再加上解答这样的题型几乎没有猜题的技巧可言，也从某种意义上加大了做题的难度。

要想取得较好的成绩，对于题型的研究，好的解题步骤和技巧是非常重要的。

任务型阅读即根据短文内容回答问题是阅读理解的一道重要题型。

此题为5个问题，问题设计一般比较简单，多数考题针对文章中的事实细节，答案都能在原文中找到出处。

最后一个问题通常为开放性题目，往往需要概括文章主旨要义。

解题步骤1看任务：略读任务记住任务2看文段：略读文段首尾句、段----带着任务细读---在文段中做标记定位--对比文段中标记处和对应任务常见题型1 信息查找题：1.解题关键: 根据问题查找定位信息。

常用方法: 带着问题有意识地在关键处做标记2 信息转换题：解题关键: 根据问题查找定位信息，加工分析并转换成另一种表达方式。

常见的转换方式有：词性转换，词汇转换，句型转换3 信息归纳题：解题关键：根据问题查找定位信息，找共性的东西,归纳概括出最佳答案。

方法技巧技巧一：由一般疑问句引出的判断题解题技巧以be动词、助动词、情态动词为句首，句末有问号（？）的句子。

要用yes 和no回答的句子.例如：Do they do their homework after school?be动词：am, is, are, was, were助动词：do, does, did, will, have, has情态动词：can , may, must, could, should, would技巧二：由选择疑问句引出的判断题解题技巧提出两种或两种以上的情况，要求选择一种情况回答，这种问句叫做选择疑问句，选择疑问句的两种或两种以上的情况用or连接，回答时不能用yes或no。

指数函数典型例题详细解析指数函数·例题解析第一课时例1：求下列函数的定义域与值域：1) $y=\frac{3}{2-x}$解：定义域为$x\in R$且$x\neq 2$，值域为$y>0$且$y\neq1$。

2) $y=2x+2-1$解：由$2^{\frac{x+2}{2}-1}\geq 0$，得定义域为$x\geq -2$，值域为$|y|\geq 0$。

3) $y=3-3x-1$解：由$3-3^{\frac{x-1}{2}}\geq 0$，得定义域为$x\leq 2$，由$3-3^{\frac{x-1}{2}}<3$，得值域为$y<3$。

1.指数函数$y=a^x$（$a>0$且$a\neq 1$）的定义域是$R$，值域是$(0,+\infty)$。

2.求定义域的几个原则：①含根式（被开方数不为负）②含分式，分母不为$0$③形如$a^0$，($a\neq 0$)3.求函数的值域：①利用函数$y=a^x$单调性②函数的有界性($x^2\geq 0;a^x>0$)③换元法。

例如：$y=4x+\frac{6}{2x-8}$($1\leq x\leq 2$)，先换元，再利用二次函数图象与性质（注意新元的范围）。

例2：指数函数$y=a^x$，$y=b^x$，$y=c^x$，$y=d^x$的图像如图2.6-2所示，则$a$、$b$、$c$、$d$、$1$之间的大小关系是？解：选$(c)$，在$x$轴上任取一点$(x,0)$，则得$b<a<1<d<c$。

例3：比较大小：1)$2$、$3^2$、$5^4$、$8^8$、$9^{16}$的大小关系是：$2<3^2<5^4<8^8<9^{16}$。

2)$\frac{0.6}{4}-\frac{5}{13}-2$，$2$的大小关系是：$\frac{0.6}{4}-\frac{5}{13}-2<2$。

专题1.10 零次幂和负整数指数幂（拓展提高）一、单选题1．下列运算正确的是（ ） A ．336x x x += B ．2224(3)6xy x y = C ．1122x x-=D ．725x x x ÷=【答案】D【分析】根据合并同类项法则，积的乘方运算法则，负整数指数幂的意义和同底数幂的除法对四个选项依次判断即可．【详解】解：A 选项，33362x x x x +=≠，故A 选项不符合题意； B 选项，222424(3)96xy x y x y =≠，故B 选项不符合题意；C 选项，12122x x x-=≠，故C 选项不符合题意； D 选项，725x x x ÷=，故D 选项符合题意． 故选：D ．【点睛】本题考查了合并同类项法则，积的乘方运算法则，负整数指数幂的意义和同底数幂的除法，熟练掌握这些知识点是解题关键． 2．如果等式()331x x +-=成立，则使得等式成立的x 的值有几个（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则得出即可． 【详解】解：3(3)1x x +-=，∴若30x +=，解得：3x =-，此时0(6)1-=，符合题意， 当31x -=，解得：4x =，此时711=符合题意，当31x -=-时，解得：2x =，此时5(1)1-=-，不符合题意， 综上所述：满足等式的x 值有2个． 故选：B ．【点睛】此题主要考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方运算，分类讨论得出是解题关键．3．细菌的个体十分微小，大约10亿个细菌堆积起来才有一颗小米粒那么大．某种细菌的直径是0.0000025米，用科学记数法表示这种细菌的直径是（ ） A ．25×10﹣5米B ．25×10﹣6米C ．2.5×10﹣5米D ．2.5×10﹣6米【答案】D【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.0000025=2.5×10-6． 故选：D ．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a ×10-n ，其中1≤|a |＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4．20202021223202120192021202032a b c ⎛⎫⎛⎫==⨯-=-⨯- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，，，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a【答案】D【分析】根据题意，分别将a ，b ，c 的值算出后比较大小即可得解．【详解】解：020211a ==，()()222202012020120202020120201b =-+-=--=-，20202020202032333232222332c ⎛⎫=⨯=-⨯⨯=- ⎪⎛⎝⎫⎛⎫-⨯ ⎪⎪⎝⎝⎭⎭⎭， ∵3112-<-<， ∴c b a <<， 故答案为：D ．【点睛】本题主要考查了幂运算，平方差公式的应用等，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键． 5．据悉，华为Mate40 Pro 和华为Mate40 Pro+搭载业界首款5nm 麒麟90005GSoC 芯片，其中5nm 就是0.000000005m ．将数据0.000000005用科学记数法表示为（ ）A ．9510-⨯B ．80.510-⨯C ．7510-⨯D ．7510⨯【答案】A【分析】绝对值小于1的正数用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，其中110a ≤＜； 【详解】0.000000005=9510-⨯ ， 故选：A ．【点睛】本题考查了科学记数法的形式，正确理解科学记数法是解题的关键；6．我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如下表是两种运算对应关系的一组实例：根据上表规律，某同学写出了三个式子：①4log 162=，②2log 84=，③31log 29=-，其中正确的是（ ） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③【答案】B【分析】根据题中的新定义法则判断即可．【详解】解：根据题意得：①log 416=log 442=2，故①正确； ②322log 8log 23==，故②错误 ③123331log log 9log 329--===-，故③正确． ∴正确的式子是①③， 故选：B ．【点睛】此题考查了有理数的乘方运算和负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．二、填空题7．计算：230248-⨯⨯=_______． 【答案】16.【分析】先分别算出负指数幂、乘方和零指数幂，再计算乘法，即可得出答案． 【详解】解：230248-⨯⨯ 16414=⨯⨯ 16=故答案为：16．【点睛】本题考查的是负指数幂、乘方和零指数幂，熟记负指数幂和零指数幂的性质是解题的关键． 8．若（1﹣x ）1﹣3x ＝1，则满足条件的x 值为__________________． 【答案】0或13【分析】直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则计算得出答案．【详解】解：∵（1﹣x ）1﹣3x＝1，∴当1﹣3x ＝0时， 解得：x ＝13，当1﹣3x ＝1时， 解得：x ＝0， 当1﹣x ＝﹣1时， 解得：x ＝2（不合题意）， 则满足条件的x 值为0或13．故答案为：0或13．【点睛】此题主要考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方运算，正确分类讨论是解题关键． 9．若(3)1x x -=，则x 的值为__． 【答案】0或4或2【分析】分底数为1或-1，指数为0几种情况，分类讨论，列方程求解即可． 【详解】解：当31x -=，解得：4x =， 此时(3)1x x -=，当31x -=-，解得：2x =， 此时(3)1x x -=，当0x =，此时(3)1x x -=，综上所述：x 的值为：0或4或2． 故答案为：0或4或2．【点睛】本题考查了0指数的性质，解题关键是根据底数和指数进行分类讨论，注意：0指数底数不为0． 10．某种细胞可以近似地看成球体，它的半径是0.0000005米，用科学记数法表示为_________米． 【答案】5×10﹣7 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.0000005=5×10-7． 故答案为：5×10-7． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a ×10-n ，其中1≤|a |＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．11．已知关于x 、y 的方程组135x y ax y a +=-⎧⎨-=-⎩，若x y ＝1，则a ＝___．【答案】3或32【分析】由1,y x =可得1,x = 或1,x y =-是偶数，或0,0,x y ≠= 再分三种情况列方程组，解方程组可得答案.【详解】解：1,y x =1,x ∴= 或1,x y =-是偶数，或0,0,x y ≠=当1x =时，11135y a y a +=-⎧∴⎨-=-⎩解得：3,3a y =⎧⎨=-⎩ 当1,x y =-是偶数，11135y a y a -+=-⎧∴⎨--=-⎩解得：11a y =⎧⎨=⎩，不合题意舍去，当0,0,x y ≠=135x a x a =-⎧∴⎨=-⎩解得：3212a x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 综上：a 的值为：3或32故答案为：3或32【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，零次幂的含义，有理数的乘方的应用，掌握以上知识是解题的关键.12．一个正方体集装箱的棱长为0.4m ．（1）用科学记数法表示这个集装箱的体积是_________3m ；（2）若有一个小立方块的棱长为3110m -⨯，则把集装箱装满需要这样的小立方块的个数为_______．（用科学计数法表示）【答案】26.410-⨯ 76.410⨯【分析】（1）利用有理数的乘法运算结合科学记数法的表示方法得出答案； （2）利用有理数的乘除运算法则化简求出答案． 【详解】解：（1）一个正方体集装箱的棱长为0.4m ， ∴这个集装箱的体积是：230.40.40.4 6.410()m -⨯⨯=⨯，答：这个集装箱的体积是236.410m -⨯； 故答案是：26.410-⨯；（2）一个小立方块的棱长为3110m -⨯，23376.410(110) 6.410--∴⨯÷⨯=⨯（个)，即：需要76.410⨯个这样的小立方块才能将集装箱装满． 故答案是：76.410⨯．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a -⨯，其中1||10a <，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．13．已知223x y z x y z -+=-+=，且x 、y 、z 的值中有且仅有一个为0，则()zxy =______． 【答案】1【分析】原式化为2323x y z x y z -+=⎧⎨-+=⎩，得到x +y =0，即可得出z =0，解方程组023x y x y +=⎧⎨-=⎩即可求解．【详解】解：原式化为2323x y z x y z -+=⎧⎨-+=⎩①②，②-①得，0x y +=，∵x ，y ，z 的值中仅有一个为0， ∴0z =，由023x y x y +=⎧⎨-=⎩解得：11x y =⎧⎨=-⎩，∴()[]01(1)1zxy =-=⨯， 故答案为：1．【点睛】本题考查了解三元一次方程组，0指数幂运算，加减消元法消去z 联立关于x 、y 的方程组是解题的关键．14．若a ＝（﹣2）﹣2，b ＝（﹣1）﹣1，c ＝（﹣32）0，则a 、b 、c 的大小关系是_____．【答案】b <a <c【分析】先求出a 、b 、c 的值，再根据有理数大小比较法则比较即可． 【详解】解：∵a =（-2）-2=14，b =（-1）-1=-1，c =（-32）0=1，∴b ＜a ＜c ， 故答案为：b ＜a ＜c ．【点睛】本题考查了有理数的大小比较法则，负整数指数幂，零指数幂的应用，解此题的关键是求出每个式子的值，题目比较典型，难度适中．三、解答题15．（1）计算：20212(2015)()2π--+-+；（2）20132012512()()125-⨯． 【答案】（1）1；（2）512-【分析】（1）原式第一项利用有理数的乘方法则，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负指数幂法则计算，即可得到结果；（2）原式利用同底数幂的乘法法则变形，再利用积的乘方逆运算化简，计算即可得到结果．【详解】解：（1）20212(2015)()2π--+-+= -4+1+4 =1； （2）20132012512()()125-⨯ 20125125()()12512=-⨯⨯- 20125(1)()12=-⨯-512=-【点睛】此题考查了整式的混合运算，以及实数的运算，涉及的知识有：幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．（1）()()()345222a a a ⋅÷- （2）()3242(3)2a a a -⋅+-（3）34()()x y y x -⋅-（4）2201901(1)( 3.14)3π-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭【答案】（1）4a -；（2）6a ；（3）7()x y -；（4）9-． 【分析】（1）先算幂的乘方，再算同底数幂的乘除法即可； （2）先算积的乘方，在算同底数幂的乘法，再合并同类项即可； （3）先利用偶数次幂变底数符号，再计算同底数幂乘法即可； （4）先计算负1的奇数次幂，零指数幂，负指数幂，再算加减法即可． 【详解】解：（1）()()()345222a a a ⋅÷-，= ()6810a a a ⋅÷-，=6810a +--， =4a -；（2）()3242(3)2a a a -⋅+-，=24698a a a ⋅-， =6698a a -， =6a ；（3）34()()x y y x -⋅-， = 34()()x y x y -⋅-， =7()x y -；（4）220191(1)( 3.14)3π-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭，=119-+-， =9-．本题考查整式乘除乘方混合运算和实数幂的混合运算，掌握整式幂指数运算法则，整式乘法与加减混合运算的顺序，以及负数的乘法，零指数幂负指数幂是解题关键． 17．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m 2＋2mn ＋2n 2﹣6n ＋9＝0，求m 和n 的值． 解：∵m 2＋2mn ＋2n 2﹣6n ＋9＝0 ∴m 2＋2mn ＋n 2＋n 2﹣6n ＋9＝0 ∴（m ＋n ）2＋（n ﹣3）2＝0 ∴m ＋n ＝0，n ﹣3＝0 ∴m ＝﹣3，n ＝3（1）若x 2﹣2xy ＋2y 2＋4y ＋4＝0，求x y +的值． （2）已知32b a +=．①用含a 的式子表示b ： ； ②若28317m m ab +=-，求()mab 的值．【答案】（1）4x y +=-；（2）①23b a =-；②81【分析】（1）根据完全平方公式把原式变形，根据非负数的性质分别求出x 、y ，即可求解； （2）①根据32b a +=可得32a b =-；②根据①中结果将32a b =-代入28317m m ab +=-，配成完全平方式，根据非负数的性质求出各字母的值即可解答．【详解】解：（1）原式=2222440x xy y y y -++++=， 即22()(2)0x y y -++=， ∴2,2y x =-=-， ∴224x y +=--=-； （2）①∵32b a +=， ∴23b a =-； 故答案为：23b a =-②将32a b =-代入28317m m ab +=-， 得28(2)17m m b b +=--，2281720m m b b +++-=，整理得： 22816210m m b b +++-+=， 即： 22(4)(1)0m b ++-=， ∴4,1m b =-=， ∵32a b =-， ∴13a =，∴()41(1)813m ab -=⨯=．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据题意将原式适当变形，整理为完全平方式是解题关键． 18．如图1是一个长为4a ，宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四个全等的小长方形，然后用这四块小长方形拼成如图2的正方形．（1）观察图2，直接写出（a +b ）2，（a ﹣b ）2，ab 三者的等量关系式； （2）用（1）的结论解答：①若m +2m ﹣1＝3，求m ﹣2m ﹣1的值；②如图3，正方形ABCD 与AEFG 边长分别为x ，y ．若xy ＝15，BE ＝2，求图3中阴影部分的面积和．【答案】（1）（a +b ）2=（a -b ）2+4ab ．（2）±1；（3）8【分析】（1）根据大正方形的面积等于4个小长方形和小正方形面积之和，可得结论； （2）利用（1）中关系式计算可得结论；（3）利用三角形的面积公式计算出阴影部分的面积，然后整体代入即可． 【详解】解：（1）∵大正方形的面积等于4个小长方形和小正方形面积之和， ∴（a +b ）2=4ab +（b -a ）2． ∴（a +b ）2=（a -b ）2+4ab ． 故答案为：（a +b ）2=（a -b ）2+4ab ．（2）由（1）得：（m +2m ﹣1）2=（m -2m ﹣1）2+4×m ×2m ﹣1． ∴（m -2m ﹣1）2=（m +2m ﹣1）2-8∴（m -2m ﹣1）2=9-8=1．∴m -2m ﹣1=±1．（3）∵ABCD ，AEFG 为正方形，边长分别为x ，y ．BE =2，∴DG =BE =2，x -y =2．∴（x -y ）2=4．∴x 2-2xy +y 2=4．∵xy =15∴x 2+y 2=34，∴x 2+2xy +y 2=34+30，∴（x +y ）2=64．∵x ＞0，y ＞0，∴x +y =8．∴S 阴影＝12BE •EF +12CD •DG =y +x =8．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，利用图形面积之间的关系得到（a +b ）2，（a -b ）2，ab 之间的等量关系式是解题的关键．19．我国是最早采用十进制进行计算的国家，研究发现，使用十进制跟我们有十根手指头有关．进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法，对于任何一种进制一X 进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X 进一位，十进制是逢十进一，二进制就是逢二进一，十六进制是逢十六进一，以此类作．X 进制就是逢X 进一．为与十进制进行区分，我们常把用X 进制表示的数a 写成(a )X ．X 进制的数转化为十进制数的方法；X 进制表示的数(1111)X 中，从右边数起，第一位上的1表示1×X 0，第二位上的1表示1×X 1，第三位上的1表示1×X 2，第四位上的1表示1×X 3，故(1111)X 转化为十进制为：(1111)X ＝1×X 3+1×X 2+1×X 1+1×X 0（规定当X ≠0时，X 0＝1） 例如：(101)2＝1×22+0×21+1×20＝5，(1023)5＝1×53+0×52+2×51+3×50＝138． 根据材料，完成以下问题：（1）把下列进制表示的数转化为十进制表示的数：(10101)3＝________，(257)8＝________；（2）一个四进制三位数(a 3b )4与七进制三位数(3ba )7之和能被8整除（1≤a ≤3，1≤b ≤3．且a ，b 均为整数），求a 的值；（3）若一个八进制数与一个六进制数之差为420，则称这两个数为“坤鹏数”，试判断(mm 4)8与(n 2n )6是否为“坤鹏数”并说明理由．【答案】（1）91，175；（2）a 的值是1；（3）(mm 4)8与(n 2n )6是“坤鹏数”，理由见解析【分析】（1）根据进制的定义以及转化方法计算即可；（2）先转化为十进制数，再根据之和能被8整除求解；（3）先转化为十进制数，根据差为420列二元一次方程，求是否有不大于10的自然数解．【详解】解：（1）(10101)3＝1×34+0×33+1×32+0×31+1×30=91， (257)8＝2×82+5×81+7×80=175；（2）∵(a 3b )4=a ×42+3×41+b ×40=16a +12+b ， (3ba )7= 3×72+b ×71+a ×70=147+7b +a ，∴(a 3b )4+(3ba )7=17a +8b +159=17a +8b +8×19+7，∵(a 3b )4+(3ba )7能被8整除，∴17a +7能被8整除，当a =1时，17a +7=24，能被8整除；当a =2时，17a +7=41，不能被8整除；当a =3时，17a +7=58，不能被8整除；综上可知，(a 3b )4+(3ba )7能被8整除时，a 的值是1；（3）∵(mm 4)8=m ×82+m ×81+4×80= 72m +4，(n 2n )6=n ×62+2×61+n ×60=37n +12， ∴(mm 4)8-(n 2n )6= 72m +4-37n -12=420，∴72m -37n =428，∵m ，n 是不大于10的自然数，∴m =8，n =4，∴当m =8，n =4时，(mm 4)8与(n 2n )6是“坤鹏数”．【点睛】本题考查数的新定义、列代数式、整式的加减、以及二元一次方程的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键．20．我们规定：1(0)p p a a a -=≠，即a 的负P 次幂等于a 的p 次幂的倒数．例：22144-= （1）计算：25-=_____；2(2)--=_____；（2）如果128p -=，那么p =_____；如果212a -=，那么a =_____；（3）如果116p a -=，且a 、p 为整数，求满足条件的a 、p 的取值．【答案】（1）125，14；（2）3，（3）a =16时，p =1；a =±4时，p =2；a =±2时，p =4 【分析】（1）根据负整数指数幂的计算法则计算即可求解；（2）根据负整数指数幂的计算法则找到指数即可求解；（3）根据负整数指数幂的计算法则找到底数和指数即可求解．【详解】解：（1）25-=125；2(2)--=14； （2）如果128p -=，则311228p -==， 那么p =3； 如果212a -=，则()22112a -==，那么a =（3）由于a 、p 为整数，所以当a =16时，p =1；当a =±4时，p =2； 当a =±2时，p =4． 【点睛】本题考查了负整数指数幂，负整数指数幂：1p pa a -=（a ≠0，p 为正整数），注意：①a ≠0；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（-3）-2=（-3）×（-2）的错误；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数；④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．。