2004625144331《计算方法》模拟试题2

模拟试题四一、 单选题（每题3分，共15分）1) ∏的近似值3.1428是准确到 位的近似值。

A 、2B 、3C 、4D 、52) 已知求积公式)2(61)23()1(61)(12f Af f dx x f ++=⎰，则A= 。

A 、 1/6 B 、 1/3 C 、 1/2 D 、 2/33) 若求方程f(x)=0的根的牛顿法收敛，则它具有 收敛速度。

A 、线性B 、 超越性C 、平方D 、三次4) 改进的欧拉法的局部截断误差为 。

A 、O(h 5)B 、O(h 4)C 、O(h 3)D 、O(h 2)5) 通过点x 0，x 1，… x n 处的拉格朗日插值多项式是 。

A 、n 次的B 、n+1次的C 、n-1次的D 、不超过n 次的二、 填空题（每小题3分，共15分）1) 如果x >>1，计算公式xx x x 11--+比较精确的等价公式为_____ 。

2) 满足f(x a )=y a , f(x b )=y b ，f(x c )=y c 的拉格朗日插值余项为 。

3) 幂法是求实方阵A 的 的一种迭代方法。

4) 设A=（a ij ）为n 阶方阵，若满足 ，则称A 为按行严格对角占优矩阵。

5) 如果函数f(x)在区间[a,b] 上连续、单调，且满足f(a)f(b)<0,即方程f(x)=0在（a,b ）内有 根。

三、（15分）用一般迭代法求方程x 3-4x+1=0在[0，0.5]内的根，1) 写出一般迭代法迭代公式；2) 说明迭代法的收敛性；3) 取初始值x 0=0.5，求出x 1 。

四、（15分）已知方程组 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111.210131012321＝x x x ， 1) 证明高斯—塞德尔迭代法收敛；2) 写出高斯—塞德尔迭代公式；3) 取初始值x （0）=(0,0,0)T ，求出 x （1） 。

五、（10分）确定积分公式)1()0()1()(11210f f f dx x f ααα++-=-⎰中的待定参数，使其代数精度尽量高。

《计算方法》试卷 A 第1页（共2页）《计算方法》试卷（A 卷）一、填空题（每空3分，共27分）1、若15.3=x 是π的的近似值，则误差限是 0.05 ，有 2 位有效数字。

2、方程013=--x x 在区间]2,1[根的牛顿迭代格式为1312131-)()(23231-+=---='-=+k k k k k k k k k k x x x x x x x f x f x x 。

3、对252)(23-+-=x x x f ，差商 =]3,3,3,3[432f -2 ，=]3,3,3,3,3[5432f 0 。

4、数值积分中的梯形公式为)]()([2)(b f a f ab dx x f ba+-≈⎰，Simpson 公式为 )]()2(4)([6)(b f ba f a f ab dx x f ba+++-≈⎰。

5、求解微分方程初值问题⎩⎨⎧==∈=5.01)0(]1,0['h y x xy y 用欧拉公式计算得到=1y 1 ，用改进的欧拉公式计算得到=1y 1.125 。

二、已知方程14-=x x 在区间]2,0[内有根 （1）用二分法求该方程的根，要求误差不超过0.5。

（2）写出求解方程的一种收敛的简单迭代格式，并说明收敛原因。

解：（1）由题意，令分。

3....,.........013)2(,01)0(,1)(4<-=>=+-=f f x x x f 列表如下：所以取1满足误差不超过0.5。

...........................................7 分 (2) 原方程等价变形为41+=x x ，迭代函数41)(+=x x ϕ，……………………….2分则43)1(41)(+='x x ϕ且在区间]2,0[上141)1(41)(043<<+='<x x ϕ，即1)(<'x ϕ…......5分 所以41)(+=x x ϕ单调递增且在区间]2,0[上23)2(1)()0(1044<=≤+=≤=<ϕϕϕx x ，.7分符合简单收敛的全局收敛条件，所以收敛的简单迭代格式可构造为：315+=+k k x x .............................................8 分三、利用x x f sin )(=在点2,6,0ππ的函数值：(1)建立其拉格朗日插值多项式，并进行误差分析；(2)构造差商表，建立牛顿插值多项式。

模拟试卷一一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 以下误差限公式不正确的是（ ） A ．()()()1212x x x x εεε-=- B. ()()()1212x x x x εεε+=+C ．()()()122112x x x x x x εεε=+ D. ()()22x x x εε=2. 步长为h 的等距节点的插值型求积公式，当2n =时的牛顿－科茨求积公式为（ ） A ．()()()2bahf x dx f a f b ≈+⎡⎤⎣⎦⎰B ．()()()432bah a b f x dx f a f f b ⎡+⎤⎛⎫≈++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰ C ．()()()32bah a b f x dx f a f f b ⎡+⎤⎛⎫≈++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰D ．()()34424bah b a a b b a f x dx f a f a f f a ⎡-+-⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫≈+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰3. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ．()00l x ＝0，()110l x = B ． ()00l x ＝0，()111l x = C ．()00l x ＝1，()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x =4. 用二分法求方程()0f x =在区间[],a b 上的根，若给定误差限ε，则计算二分次数的公式是n ≥（ ）A ．ln()ln 1ln 2b a ε-++ B. ln()ln 1ln 2b a ε-+-C.ln()ln 1ln 2b a ε--+ D. ln()ln 1ln 2b a ε--- 5. 若用列主元消去法求解下列线性方程组，其主元必定在系数矩阵主对角线上的方程组是（ ）A ．123123123104025261x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=-⎩ B.12312312331520261x x x x x x x x x -+=⎧⎪--+=⎨⎪++=-⎩ C. 12312312322051260x x x x x x x x x -+=⎧⎪--+=⎨⎪++=⎩ D.12312312310402501x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=-⎩二、 填空题（每小题3分，共15分）7. 已知函数()y f x =在点12x =和25x =处的函数值分别是12和18，已知()52f '≈，则()2f '≈8．过n 对不同数据(),,1,2,i i x y i =···,n ，的拟合直线10y a x a =+，那么10,a a 满足的法方程组是9. 已知函数()f x 的函数值()()()()()0,2,3,5,6f f f f f ，以及均差如下 ()()()()()00,0,24,0,2,35,0,2,3,51,0,2,3,5,6f f f f f ===== 那么由这些数据构造的牛顿插值多项式的最高次幂的系数是10．解初值问题()()[]()00,,y f x y x a b y x y '=⎧⎪∈⎨=⎪⎩的龙格－库塔法就是求出公式 ()()()()[]11,,,,0,1,2,k k k k k k k y x y x hf y x x k ζζζ++-=∈=···,1n - 中的平均斜率()(),kk fy ζζ，其中,k h x 分别是n 等分[],a b 的步长合节点。

《计算方法》练习题一 参考答案练习题第1套参考答案 一．填空题 1．210- 2．))((!2)(b x a x f --''ξ ３．52４．按模最大 ５．]0,2[- 二．单选题１．Ｃ ２．Ａ ３．Ｃ ４．Ｂ ５．Ｃ 三．计算题１．22122122121)2()42()3(),(--+-++-+=x x x x x x x x ϕ，由0,021=∂∂=∂∂x x ϕϕ得：⎩⎨⎧=+=+9629232121x x x x ， 解得149,71821==x x 。

２．⎰≈++++≈21697.0]217868581[81x dx ，9611612)(2=⨯≤M x R 。

３．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1142242644223214264426453426352回代得：Tx )1,1,1(-=４．因为Ａ为严格对角占优阵，所以雅可比法收敛。

雅可比迭代公式为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=+=+++Λ,1,0,)1(41)3(41)1(41)(2)1(3)(3)(1)1(2)(2)1(1m x x x x x x x m m m m m m m 。

取T x )1,1,1()0(=计算得： T x )5.0,25.1,5.0()1(=。

５．因为0875.0)5.0(,01)0(<-=>=f f ，所以]5.0,0[*∈x ，在]5.0,0[上，06)(,043)(2≥=''<-='x x f x x f 。

由0)()(0≥''x f x f ，选00=x ，由迭代公式：Λ,1,0,4314231=-+--=+n x x x x x n n n n n 计算得：25.01=x 。

四．证明题１．设))()(()()()(),)()(()(10110x t x t x k t L t f t g x x x x x k x R ----=--=，有x x x ,,10为三个零点。

复习题与答案复习题一 复习题一答案 复习题二复习题二答案 复习题三 复习题三答案 复习题四复习题四答案 自测题复习题（一）一、填空题：1、求方程011015.02=--x x 的根，要求结果至少具有6位有效数字。

已知0099.10110203≈，则两个根为=1x ，=2x .（要有计算过程和结果）2、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

3、⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5321A ，则=)(A ρ ，=∞A . 4、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用抛物线（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ，用三点式求得≈')1(f .5、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 . 二、单项选择题：1、 Jacobi 迭代法解方程组b x =A 的必要条件是（ ）. A ．A 的各阶顺序主子式不为零 B. 1)(<A ρ C. n i a ii ,,2,1,0 =≠ D. 1≤A2、设753)(99-+-=x x x f ，均差]2,,2,2,1[992 f =( ) .A.3B. -3C. 5D.03、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=700150322A ，则)(A ρ为( ). A. 2 B. 5 C. 7 D. 3 4、三点的高斯求积公式的代数精度为( ). A. 2 B.5 C. 3 D. 45、幂法的收敛速度与特征值的分布（ ）。

A. 有关 B. 不一定 C. 无关三、计算题：1、用高斯-塞德尔方法解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++225218241124321321321x x x x x x x x x ，取T)0,0,0()0(=x ，迭代四次(要求按五位有效数字计算).2、求A 、B 使求积公式⎰-+-++-≈11)]21()21([)]1()1([)(f f B f f A dx x f 的代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求⎰=211dxx I (保留四位小数)。

《计算方法》练习题一练习题第1套参考答案 一、填空题1． 14159.3=π的近似值3.1428，准确数位是（210- ）。

2．满足d b f c a f ==)(,)(的插值余项=)(x R （))((!2)(b x a x f --''ξ ）。

3．设)}({x P k 为勒让德多项式，则=))(),((22x P x P （52）。

4．乘幂法是求实方阵（按模最大 ）特征值与特征向量的迭代法。

5．欧拉法的绝对稳定实区间是（]0,2[- ）。

二、单选题1．已知近似数,,b a 的误差限)(),(b a εε，则=)(ab ε（C ）。

A ．)()(b a εε Ｂ．)()(b a εε+ Ｃ．)()(b b a a εε+ Ｄ．)()(a b b a εε+ 2．设x x x f +=2)(，则=]3,2,1[f （A ）。

Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 3．设Ａ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡3113，则化Ａ为对角阵的平面旋转=θ（C ）． Ａ．2π Ｂ．3π Ｃ．4π Ｄ．6π 4．若双点弦法收敛，则双点弦法具有（B ）敛速．Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次5．改进欧拉法的局部截断误差阶是（C ）.A ．)(h o Ｂ．)(2h o Ｃ．)(3h o Ｄ．)(4h o 三、计算题1．求矛盾方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2423212121x x x x x x 的最小二乘解。

解：22122122121)2()42()3(),(--+-++-+=x x x x x x x x ϕ，由0,021=∂∂=∂∂x x ϕϕ得：⎩⎨⎧=+=+9629232121x x x x ， 解得149,71821==x x 。

2．用4=n 的复化梯形公式计算积分⎰211dx x，并估计误差。

解：⎰≈++++≈21697.0]217868581[81x dx ， 9611612)(2=⨯≤M x R 。