2016年福建省泉州市南安一中高二上学期数学期中试卷和解析(理科)

福建省南安第一中学2016-2017学年高二上学期第一阶段（10月）考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.（1）12(4,0)(4,0)F F -、为两个定点，P 为动点，若128PF PF +=，则动点P 的轨迹为(A)椭圆 (B)直线 (C)射线 (D)线段（2）过点(3,2)-且与椭圆223824x y +=有相同焦点的椭圆方程为 (A) 221510x y += (B) 2211015x y += (C) 2211510x y += (D)2212510x y += （3）已知12,F F 是椭圆2212516x y +=的两焦点，过点2F 的直线交椭圆于,A B 两点．在1AF B ∆中，若有两边之和是15，则第三边的长度为（A ）6 （B ）5 （C ）4 （D ）3（4）已知双曲线C 的两条渐近线为02=±y x且过点(，则双曲线C 的标准方程是 (A) 22182x y -= (B) 22128x y -= (C) 22182y x -= (D) 22128y x -= （5）下列有关命题的说法错误．．的是 (A)命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题为：“两直线不平行，同位角不相等”(B)“若实数,x y 满足220x y +=，则,x y 全为0”的否命题为真命题 (C)若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题(D)对于命题p ：0x ∃∈R ，200220x x ++≤，则⌝p ：x ∀∈R ， 2220x x ++>（6）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>，则双曲线C 的渐近线方程为（A ）4y x =± （B ）2y x =±（C ）12y x =± （D ）12y x =±（7）“0,0m n ><”是“方程221x y m n +=表示双曲线”的(A)必要但不充分条件 (B)充分但不必要条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件（8）双曲线223x y k -=的焦距是8，则k 的值为(A) 12± (B) 12 (C) 48± (D) 48（9）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 (A)54 (B)53 (C) 52 (D)51(10) 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22(2x y +=相切，则双曲线的离心率为 （A（B ）2 （C（D） (11)221y +=与直线10x y +-=交于,P Q 两点， M 为PQ 中点，则OM k =(A)(B)(12) 已知O 为坐标原点，F 是椭圆()222:1016x y C a a +=>的左焦点，,A B 分别为C 的左右顶点．P 为C 上一点，且PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则a =（A）（B）（C） （D）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）(13)命题“0,21xx ∀>>”的否定 ．(14) 双曲线2288mx my -=的一个焦点是()3,0，那么m 的值为 ． (15)人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆．设地球半径为R ，卫星近地点、远地点离地面的距离分别为12,r r ，则卫星轨道的离心率 ．(请用12,,R r r 表示)(16) 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,连接,AF BF ,若310,6,cos 5AB AF FAB ==∠=,则C 的离心率e = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（17）（本小题满分10分）分别求适合下列条件的双曲线的标准方程．(Ⅰ)焦点在y 轴上，焦距是16，离心率43e =； (Ⅱ)一个焦点为()6,0F -的等轴双曲线．（18）（本小题满分12分）已知双曲线C 与椭圆221259x y +=共焦点，且它们的离心率之和为245，求双曲线C 的标准方程及其渐进线方程．（19）（本小题满分12分）已知()2,0A ，M 是椭圆222:1x C y a+=（其中1a >）的右焦点，P 是椭圆C 上的动点． (Ⅰ)若M 与A 重合，求椭圆C 的离心率；(Ⅱ)若3a =，求PA 的最大值与最小值．（20）（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点()()12,F F -, 且过点P ． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当m 为何值时，直线:l y m =+与椭圆相交，并求此时相交弦的中点坐标．（21）（本小题满分12分）已知动圆P 过定点(A -，且内切于定圆22:(36B x y -+=． (Ⅰ)求动圆圆心P 的轨迹C 方程；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，记轨迹C 被y x m =+所截得的弦长为()f m ，求()f m 的解析式及其最大值．（22）（本小题满分12分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为12，左顶点()20A ,-． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线l ：()x my t t a =+≠-与椭圆C 交于不同两点B,C ,且满足AB AC ⊥．求证：直线l 恒过定点，并求出定点M 的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过A 作AD l ⊥，垂足为D ，求D 的轨迹方程．：。

福建省南安一中高二数学上学期期中试题 文【会员独享】一.选择题（每题5分，共60分）1.数列3，5，9，17，33，…的通项公式n a 等于（ ）A ．n2B ．12+nC ．12-nD ．12+n2.等差数列{}n a 中，12010=S ，那么101a a +的值是（ ）A ．12B ．24C ．36D ．483.设4321,,,a a a a 成等比数列，其公比为2，则432122a a a a ++的值为（ ）A ．41 B ．21 C ．81D ．14.不等式2210x x -->的解集是（ ） A ． 1(,1)2-B ．(1,)+∞C ． (,1)(2,)-∞⋃+∞D ． 1(,)(1,)2-∞-⋃+∞ 5. 数列{}n a 的满足1111,(2)1n n n a a a n a --==≥+，则5a 为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．166. 若变量x,y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则z=2x+y 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47.一元二次不等式210mx mx ++≥对一切实数x 都成立，则m 的取值范围是（ ） A. 04m <≤ B. 01m ≤≤ C.4m ≥ D.04m ≤≤ 8.设n s 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=则52S S =( ) A ．-11 B ．-8 C ．5 D ．119.数列 ,1614,813,412,211前n 项的和为（ ） A ．2212n n n ++B ．12212+++-nn n C ．2212nn n ++-D ． 22121nn n -+-+10.某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为( )A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 11.已知01x ≤≤，则函数21y x x =-的最大值是（ ）A ．0B ．1C ．34D ．1212.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳．．．．坑位的编号为（ ） A ．①和B ．⑨和⑩ C. ⑨和D ． ⑩和二、填空题（每题4分，共16分）13.已知{}n a 是递增等比数列，2432,4a a a =-=，则此数列的公比=q ．14. 若数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，则n a =15.已知,0,x y >21x y +=,则81x y+的最小值为 16.设()0,0A ,()4,0B ,()4,3C t +，(),3D t 。

南安一中2015～2016学年度高二上学期期中考数学（理）科试卷（答案）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）：1～6 C B A C B B 7～12 B D C C C C 二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分）：13．存在01,0200≤+-∈x x R x 使 14．15． 16． 1 三．解答题（本大题共6小题，共74分): 17．解：∴双曲线的一条渐近线方程为，即 ……8分 ∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 ……12分 18．解:: 由得： ……2分: 令，由对恒成立.（1）当时, ,符合题意. ……3分（2）当时，，由得，解得： ……5分 综上得：:. …… 6分因为为真命题，为假命题，所以命题一个为真,一个为假.… 7分或∴ 或 …… 11分∴或 ………………12分 19．方法一：证：（1）在Rt △BAD 中，AD =2，BD =， ∴AB =2，ABCD 为正方形，因此BD ⊥AC . ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PA .又∵PA ∩AC =A ∴BD ⊥平面PAC . ……４分（2）解：∵PA =AB =AD =2，∴PB =PD =BD = ，设C 到面PBD 的距离为d ，由，有d S PA S PBD BCD ∙∙=∙∙∆∆3131， 即d ∙∙∙=⨯⨯⨯∙0260sin )22(21312222131，得 ……12分 方法二：证：（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系，则A （0，0，0）、D （0，2，0）、P （0，0，2）.在Rt △BAD 中，AD =2，BD =， ∴AB =2.∴B （2，0，0）、C （2，2，0），……2分∴)0,2,2(),0,2,2(),2,0,0(-=== ∵0,0=∙=∙， 即BD ⊥AP ，BD ⊥AC ，又AP ∩AC =A ，∴BD ⊥平面PAC .……5分 （2）由（Ⅰ）得)2,2,0(),2,0,2(-=-=，设平面PBD 的法向量为， 则0,022=∙=∙PD n PB n ，即，∴x =y =z ，故平面PBD 的法向量可取为.∵)2,2,2(-=PC ，∴C 到面PBD的距离为332==d ……12分 20．（1）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得：，并作差得：(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，又x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝，代入得k=y 1－y 2x 1－x 2＝－1. 则此弦所在直线方程是y －＝－（x －1） 即x ＋y －＝0. ……5分 (2)易知直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋2. ……6分将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0. ……7分 令Δ＝144k 2－36(1＋3k 2)>0，得k 2>1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2. ……8分所以S △AOB ＝|S △POB －S △POA |＝12×2×|x 1－x 2|＝|x 1－x 2|.因为(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1＋3k 22－361＋3k 2＝36（k 2－1）（1＋3k 2）2， ……10分设k 2－1＝t (t >0)，则(x 1－x 2)2＝36t （3t ＋4）2＝369t ＋16t＋24≤3629t ×16t＋24＝34.……12分 当且仅当9t ＝16t ，即t ＝43 ,k 2－1＝43, k 2＝时 等号成立，此时△AOB 面积取得最大值32. ……13分 21．解：方法一(几何方法)：(1)证明：如图①，连接AD 1，由ABCD ­A 1B 1C 1D 1是正方体，知BC 1∥AD 1.当λ＝1时，P 是DD 1的中点，又F 是AD 的中点，所以FP ∥AD 1，所以BC 1∥FP . 而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ .图① 图②(2)如图②，连接BD .因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，且EF ＝12BD .又DP ＝BQ ，DP ∥BQ ，所以四边形PQBD 是平行四边形，故PQ ∥BD ，且PQ ＝BD ，从而EF ∥PQ ，且EF ＝12PQ .在Rt △EBQ 和Rt △FDP 中，因为BQ ＝DP ＝λ，BE ＝DF ＝1， 于是EQ ＝FP ＝1＋λ2，所以四边形EFPQ 也是等腰梯形． 同理可证四边形PQMN 也是等腰梯形．分别取EF ，PQ ，MN 的中点为H ，O ，G ，连接OH ，OG ， 则GO ⊥PQ ，HO ⊥PQ ，而GO ∩HO ＝O ，故∠GOH 是面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角的平面角．若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则∠GOH ＝90°. 连接EM ，FN ，则由EF ∥MN ，且EF ＝MN 知四边形EFNM 是平行四边形． 连接GH ，因为H ，G 是EF ，MN 的中点， 所以GH ＝ME ＝2.在△GOH 中，GH 2＝4，OH 2＝1＋λ2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝λ2＋12，OG 2＝1＋(2－λ)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝(2－λ)2＋12，由OG 2＋OH 2＝GH 2，得(2－λ)2＋12＋λ2＋12＝4，解得λ＝1±22，故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角． 方法二(向量方法)：以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系．由已知得B (2，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，1，0)，F (1，0，0)，P (0，0，λ)．图③BC 1→＝(－2，0，2)，FP ＝(－1，0，λ)，FE ＝(1，1，0)．(1)证明：当λ＝1时，FP ＝(－1，0，1)， 因为BC 1→＝(－2，0，2)， 所以BC 1→＝2FP →，即BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧FE →·n ＝0，FP →·n ＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0.于是可取n ＝(λ，－λ，1)．同理可得平面MNPQ 的一个法向量为m ＝(λ－2，2－λ，1)． 若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角， 则m ·n ＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0， 即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±22. 故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角． 22．解：（Ⅰ）∵过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8．∴4a=8，∴a=2∵e=，∴c=1∴b 2=a 2﹣c 2=3∴椭圆E 的方程为．……4分（Ⅱ）由，消元可得（4k 2+3）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0……5分∵动直线l ：y=kx+m 与椭圆E 有且只有一个公共点P （x 0，y 0）∴m ≠0，△=0，∴（8km ）2﹣4×（4k 2+3）×（4m 2﹣12）=0∴4k 2﹣m 2+3=0① 此时x 0==，y 0=，即P （，） 由得Q （4，4k+m ） ……8分 取k=0，m=，此时P （0，），Q （4，），以PQ 为直径的圆为（x ﹣2）2+（y ﹣）2=4，交x 轴于点M 1（1，0）M 2（3，0）取k=，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x﹣）2+（y﹣）2=，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）故若满足条件的点M存在，即M（1，0），……1２分证明如下∵∴故以PQ为直径的圆恒过轴上的定点M（1，0）……1４分。

福建省南安第一中学2015-2016学年高二上学期期末考试理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1．()⎰=-201dx x （ ） A ．1- B ．1 错误！未找到引用源。

C ．0 D ．22．复数i i4334-+()为虚数单位i 的共轭复数对应的点位于复平面内（ ）A ．第一象限B ．第二象限错误！未找到引用源。

C ．第三象限D ．第四象限错误！未找到引用源。

3．如果复数222(32)z a a a a i =+-+-+为纯虚数，那么实数a 的值为（ ）A ．2-B ．1 错误！未找到引用源。

C ．2D ．21-或4．函数23)(23++=x ax x f ，若4)1(=-'f ，则a 的值等于( )A ．193B ．163 错误！未找到引用源。

C ．133D ．1035．下列函数求导运算正确的个数为( )①()e x x 3log 33='；②()2ln 1log 2x x ='③()x x e e ='；④x x ='⎪⎭⎫ ⎝⎛ln 1；⑤1)(+='⋅x x e e x A ．1 B ．2 错误！未找到引用源。

C ．3 D ．46．设函数()y f x =的图像如右图，则导函数'()y f x =的图像可能是下图中的( )7．如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（ ）B. C. D. 8．若直线kx y =与曲线3232y x x x =-+相切，则k 的值为（ ）A ．23B ．230或 错误！未找到引用源。

C ．2或41- D ．2 9．若函数1ln 21)(2+-=x x x f 在其定义域内的一个子区间)1,1(+-k k 内不是单调函数，则实数k 的取值范围 （ ）A ．[)+∞,1B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,1C ．[)2,1+D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,23 10．若120()2(),f x x f x dx =+⎰则10()f x dx =⎰（ ） A. 1- B.13- C.13D.1 11．平面几何中，若△ABC 的内切圆半径为r ，其三边长分别为,,,c b a 则△ABC 的面积r c b a S ⋅++=)(21。

南安一中-高二上期中考试数学试卷（文）一.选择题（每题5分，共60分）1.数列3，5，9，17，33，…的通项公式n a 等于（ ）A ．n 2B ．12+nC ．12-nD ．12+n2.等差数列{}n a 中，12010=S ，那么101a a +的值是（ ）A ．12B ．24C ．36D ．483.设4321,,,a a a a 成等比数列，其公比为2，则432122a a a a ++的值为（ ）A ．41 B ．21 C ．81D ．14.不等式2210x x -->的解集是（ ） A ． 1(,1)2-B ．(1,)+∞C ． (,1)(2,)-∞⋃+∞D ． 1(,)(1,)2-∞-⋃+∞ 5. 数列{}n a 的满足1111,(2)1n n n a a a n a --==≥+，则5a 为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．166. 若变量x,y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则z=2x+y 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47.一元二次不等式210mx mx ++≥对一切实数x 都成立，则m 的取值范围是（ ） A. 04m <≤ B. 01m ≤≤ C.4m ≥ D.04m ≤≤ 8.设n s 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=则52S S =( ) A ．-11B ．-8C ．5D ．119.数列 ,1614,813,412,211前n 项的和为（ ） A ．2212nn n ++B ．12212+++-nn n C ．2212nn n ++-D ． 22121nn n -+-+10.某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为( )A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱11.已知01x ≤≤，则函数y =的最大值是（ ）A ．0B ．1CD ．1212.植树节某班学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳．．．．坑位的编号为（ ） A ．①和B ．⑨和⑩ C. ⑨和D ． ⑩和二、填空题（每题4分，共16分）13.已知{}n a 是递增等比数列，2432,4a a a =-=，则此数列的公比=q ．14. 若数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，则n a =15.已知,0,x y >21x y +=,则81x y+的最小值为 16.设()0,0A ,()4,0B ,()4,3C t +，(),3D t 。

绝密★启用前2015-2016学年福建省南安一中高二上学期期末考试理科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：129分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、若函数=的图像关于直线对称，则的最小值是2、已知定义在R 上的函数满足，则曲线在点处的切线方程是（ ）A ．B ．C ．D ．3、平面几何中，若△的内切圆半径为，其三边长分别为则△的面积。

类比上述命题，若三棱锥的内切球半径为R ，其四个面的面积分别为猜想三棱锥体积V 的一个公式。

若三棱锥的体积V，其四个面的面积均为，根据所猜想的公式计算该三棱锥的内切球半径R 为（ ）A ．B ．C ．D ．4、若则（ ）A ．B ．C ．D ．15、若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k 的取值范围 （ ）A ．B ．C ．D ．6、若直线与曲线相切，则的值为（ ）A ．B ．C ．或D ．7、如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．8、设函数的图像如右图，则导函数的图像可能是下图中的( )9、下列函数求导运算正确的个数为( )①；②③；④；⑤A ．B ．C ．D ．10、函数，若，则a 的值等于( )A ．B ．C ．D ．11、如果复数为纯虚数，那么实数的值为（ ）A ．B ．C ．D ．12、复数的共轭复数对应的点位于复平面内（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13、（）A ．B ．C ．D ．第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）14、函数在处有极值10，求的值为15、的值等于 .16、在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为三、解答题（题型注释）17、已知函数.（1)当时，求函数的单调递减区间；（2）当时，设函数.若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数的取值范围.18、（本小题12分）如图，在四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB＝60°，AB＝2CD＝2，M是线段AB的中点．(1)求证：C1M∥平面A1ADD1；(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1＝，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值．19、某种商品每件进价9元，售价20元，每天可卖出69件．若售价降低，销售量可以增加，且售价降低元时，每天多卖出的件数与成正比．已知商品售价降低3元时，一天可多卖出36件．(Ⅰ）试将该商品一天的销售利润表示成的函数；(Ⅱ）该商品售价为多少元时一天的销售利润最大？20、三棱柱中，，,,，点、分别为、的中点。

福建省泉州市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2016·赤峰模拟) 已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=4x的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，则△AOB的面积为（）A . 2B . 2C .D .2. （2分）命题p：“∃x≥0，e ＜x0+1”，则￢p是（）A . ∀x≥0，ex＜x+1B . ∃x≥0，ex＞x+1C . ∃x≥0，ex≥x+1D . ∀x≥0，ex≥x+13. （2分） (2016高二下·阳高开学考) 设F1 ， F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|：|PF2|=4：3，则△PF1F2的面积为（）A . 4B .C .D . 64. （2分）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）如图，从点M（x0 ， 4）发出的光线，沿平行于抛物线y2=8x的对称轴方向射向此抛物线上的点P，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q，再经抛物线反射后射向直线l：x﹣y﹣10=0上的点N，经直线反射后又回到点M，则x0等于（）A . 5B . 6C . 7D . 86. （2分） (2015高二上·安徽期末) 双曲线方程为，则它的右焦点坐标是（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·大连模拟) 已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），若 =3 ，则直线l的方程为（）A . x﹣2y﹣1=0B . 2x﹣y﹣2=0C . x﹣ y﹣1=0D . x﹣y﹣ =08. （2分） (2017高二上·宜昌期末) 设F1 ， F2分别为椭圆的左右两个焦点，点P为椭圆上任意一点，则使得成立的P点的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 39. （2分）圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为（）A . 3B . 4C . 5D . 610. （2分）已知椭圆的离心率为. 双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（）A .B .C .D .11. （2分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高二上·承德期末) 双曲线的焦点坐标为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·邯郸模拟) 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，以抛物线C上的点M（x0 ， 2）（x0＞）为圆心的圆与线段MF相交于点A，且被直线x= 截得的弦长为 | |，若 =2，则| |=________．14. （1分）已知圆锥的母线长为2，高为，则该圆锥的侧面积是________15. （1分） (2016高二上·泰州期中) 双曲线的渐近线方程为________．16. （1分） (2017高二下·榆社期中) 已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过抛物线上点P（2，y0）的切线为l，过点P作平行于x轴的直线m，过F作平行于l的直线交m于M，若|PM|=5，则p的值为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2018高一下·抚顺期末) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4）．（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．18. （10分） (2018高一上·辽宁月考) 已知函数．（1）判定并证明函数的单调性；（2）是否存在实数m，使得不等式对一切都成立？若存在求出m；若不存在，请说明理由．19. （10分） (2017高三上·唐山期末) 已知抛物线，圆 .（1）若抛物线的焦点在圆上，且为和圆的一个交点，求；（2）若直线与抛物线和圆分别相切于点，求的最小值及相应的值.20. （10分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l经过点M（0，1），且与椭圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程．21. （10分） (2017高二上·集宁月考) 已知抛物线的焦点为 ,其准线与轴交于点 ,过作斜率为的直线与抛物线交于两点,弦的中点为的垂直平分线与轴交于．（1）求的取值范围;（2）求证: .22. （10分） (2019高二上·兴庆期中) 已知椭圆，若不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点.（1）若线段的中点坐标为，求直线的方程；（2）若直线过点，点满足（分别是直线的斜率），求的值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。

2015-2016学年福建省泉州市南安三中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）若集合A={x|0≤x＜1}，B={x|x2＜2x}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0≤x≤1}2．（5分）复数z满足z•i=3﹣i，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）下列命题中正确的结论个数是（）①“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件②命题“若ab=0，则a=0或b=0”的否命题是“若ab≠0，则a≠0且b≠0”③∃x0∈R，使．A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，（+λ）∥，则λ=（）A．B．C．1 D．25．（5分）在等差数列{a n}中，a9=a12+6，则数列{a n}的前11项和S11=（）A．24 B．48 C．66 D．1326．（5分）已知等于（）A．B．C．D．7．（5分）已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（）A．B．C．D．8．（5分）下列函数中，既是奇函数又在区间[﹣2，2]上单调递增的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=a x+a﹣x（a＞0，a≠1）C．f（x）=ln D．f（x）=a x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）9．（5分）已知数列{a n}通项a n=10n（n∈N*），，则数列{b n}前n项和为（）A．B．C． D．10．（5分）直线y=与曲线y=2sin（x+）cos（x﹣）在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，则|等于（）A．6πB．7πC．12πD．13π11．（5分）已知函数f（x）=的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，]C．[1，2]D．[，2]12．（5分）已知函数f（x）=（b∈R）．若存在x∈[，2]，使得f （x）+xf′（x）＞0，则实数b的取值范围是（）A．（﹣∞，3）B．（﹣∞，）C．（﹣∞，） D．（﹣∞，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）求曲线y=，y=x2所围成图形的面积．14．（5分）设f（x）=lg（10x+1）+ax是偶函数，g（x）=是奇函数，那么a+b的值为．15．（5分）已知点P是边长为4的正三角形ABC的边BC上的中点，则•（+）=．16．（5分）已知y=sinx+cosx，给出以下四个命题：①若x∈[0，π]，则；②直线是函数y=sinx+cosx图象的一条对称轴；③在区间上函数y=sinx+cosx是增函数；④函数y=sinx+cosx的图象可由的图象向右平移个单位而得到．其中正确命题的序号为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知等比数列{a n}满足2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+log2，S n=b1+b2+…b n，求使S n﹣2n+1+47＜0 成立的正整数n的最小值．18．（12分）在用“五点法”画函数f（x）=Asinx（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一周期内的图象时，列表并填人了部分数据，如表：（1）请将上表中①②③④处数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移π个单位，得到y=g（x）的图象，求g（x）在z∈[﹣2π，2π]时的单调递增区间．19．（12分）若函数在点P（2，f（2））处的切线为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）讨论方程f（x）=k实数解的个数．20．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，AB=2，BC=．D为AC延长线上一点，且CD=+1．（Ⅰ）求∠BCD的大小；（Ⅱ）求BD的长及△ABC的面积．21．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）在数列{b n}中，b1=5，b n+1=b n+a n，求数列{log9（b n﹣4）}的前n项和T n．22．（12分）已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a≤0）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意的a∈（﹣3，﹣2），x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．2015-2016学年福建省泉州市南安三中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）若集合A={x|0≤x＜1}，B={x|x2＜2x}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0≤x≤1}【解答】解：由B中的不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即B={x|0＜x＜2}，∵A={x|0≤x＜1}，∴A∩B={x|0＜x＜1}．故选：A．2．（5分）复数z满足z•i=3﹣i，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由z•i=3﹣i，得，∴复数z对应的点的坐标为（﹣1，﹣3），位于第三象限．故选：C．3．（5分）下列命题中正确的结论个数是（）①“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件②命题“若ab=0，则a=0或b=0”的否命题是“若ab≠0，则a≠0且b≠0”③∃x0∈R，使．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①中，“p且q为真命题”⇒p，q都为真命题，⇒“p或q为真命题”，反之“p或q为真命题”时，⇒p，q至少一个为真命题，不一定⇒“p且q为真命题”，故“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，故①错误；②中命题“若ab=0，则a=0或b=0”的否命题是“若ab≠0，则a≠0且b≠0”，故②正确；③方程x2+2x+3=0的△=4﹣12＜0，故方程无实数根，命题③错误；综上所述，三个命题中正确的命题个数为1．故选：B．4．（5分）已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，（+λ）∥，则λ=（）A．B．C．1 D．2【解答】解：∵向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．∴=（1+λ，2）∵（+λ）∥，∴4（1+λ）﹣6=0，∴故选：B．5．（5分）在等差数列{a n}中，a9=a12+6，则数列{a n}的前11项和S11=（）A．24 B．48 C．66 D．132【解答】解：∵列{a n}为等差数列，设其公差为d，∵a9=，∴a1+8d=（a1+11d）+6，∴a1+5d=12，即a6=12．∴数列{a n}的前11项和S11=a1+a2+…+a11=（a1+a11）+（a2+a10）+…+（a5+a7）+a6=11a6=132．故选：D．6．（5分）已知等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵tanα=2，∴====．故选：A．7．（5分）已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（）A．B．C．D．【解答】解：对于振幅大于1时，三角函数的周期为：，∵|a|＞1，∴T＜2π，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期小于2π．对于选项A，a＜1，T＞2π，满足函数与图象的对应关系，故选：D．8．（5分）下列函数中，既是奇函数又在区间[﹣2，2]上单调递增的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=a x+a﹣x（a＞0，a≠1）C．f（x）=ln D．f（x）=a x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）【解答】解：A．sinx在[]上单调递减；B．f（0）=2≠0，∴f（x）不是奇函数；C．f（﹣x）=ln=﹣ln=﹣f（x），∴f（x）是奇函数，设x1，x2∈[﹣2，2]，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=ln﹣ln=ln，∵x1＜x2，∴3+x1＜3+x2，3﹣x2＜3﹣x1，∴＜1，∴ln＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在区间[﹣2，2]上单调递增，D．f′（x）=（a x+a﹣x）lna；∴0＜a＜1时，lna＜0，f′（x）＜0；∴f（x）单调递减．故选：C．9．（5分）已知数列{a n}通项a n=10n（n∈N*），，则数列{b n}前n项和为（）A．B．C． D．【解答】解：∵数列{a n}通项a n=10n（n∈N*），，∴b n==（﹣），∴数列{b n}前n项和为（1﹣+﹣+…+﹣）=（1+﹣﹣），故选：C．10．（5分）直线y=与曲线y=2sin（x+）cos（x﹣）在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，则|等于（）A．6πB．7πC．12πD．13π【解答】解：∵y=2sin（x+）cos（x﹣）=2cosxsinx=sin2x，∴由题意得：sin2x=，∴2x=2kπ+或2x=2kπ+，∴x=kπ+或x=kπ+，k∈Z，∵正弦曲线y=sin2x与直线y=在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，∴得M1（，0），M2（，0），M3（π+），M4（π+），…M13（6π+，0），∴=（6π，0），∴||=6π．故选：A．11．（5分）已知函数f（x）=的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，]C．[1，2]D．[，2]【解答】解：∵函数f（x）=的图象如下图所示：∵函数f（x）的值域是[0，2]，∴1∈[0，a]，即a≥1，又由当y=2时，x3﹣3x=0，x=（0，﹣舍去），∴a∴a的取值范围是[1，]．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=（b∈R）．若存在x∈[，2]，使得f （x）+xf′（x）＞0，则实数b的取值范围是（）A．（﹣∞，3）B．（﹣∞，）C．（﹣∞，） D．（﹣∞，）【解答】解：∵f（x）=f（x）=，x＞0，∴f′（x）=，∴f（x）+xf′（x）=+=，∵存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，∴1+2x（x﹣b）＞0∴b＜x+，设g（x）=x+，∴b＜g（x）max，∴g′（x）=1﹣=，当g′（x）=0时，解的x=，当g′（x）＞0时，即＜x≤2时，函数单调递增，当g′（x）＜0时，即≤x＜2时，函数单调递减，∴当x=2时，函数g（x）取最大值，最大值为g（2）=2+=∴b＜，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）求曲线y=，y=x2所围成图形的面积．【解答】解：由，解得x=0，1．∴曲线所围成图形的面积===．故答案是．14．（5分）设f（x）=lg（10x+1）+ax是偶函数，g（x）=是奇函数，那么a+b的值为．【解答】解：∵f（x）=lg（10x+1）+ax是偶函数∴f（﹣x）=f（x）对任意的x都成立∴lg（10x+1）+ax=lg（10﹣x+1）﹣ax∴=lg（10x+1）﹣x∴（2a+1）x=0∴2a+1=0即∵g（x）=是奇函数∴g（0）=1﹣b=0∴b=1∴故答案为：15．（5分）已知点P是边长为4的正三角形ABC的边BC上的中点，则•（+）=24．【解答】解：由P为边长为4的正三角形ABC的边BC上的中点，可得=（+），•=||•||•cosA=4×4×=8，则•（+）=（+）2=（2+2+2•）=×（16+16+16）=24．故答案为：24．16．（5分）已知y=sinx+cosx，给出以下四个命题：①若x∈[0，π]，则；②直线是函数y=sinx+cosx图象的一条对称轴；③在区间上函数y=sinx+cosx是增函数；④函数y=sinx+cosx的图象可由的图象向右平移个单位而得到．其中正确命题的序号为②④．【解答】解：函数y=sinx+cosx=sin（x+），x∈[0，π]，y∈[﹣1．，]①错误；直线是函数y=sinx+cosx图象的一条对称轴，②正确；在区间上函数y=sinx+cosx是减函数，③不正确；④函数y=sinx+cosx的图象可由的图象向右平移个单位而得到．正确；故答案为：②④三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知等比数列{a n}满足2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+log2，S n=b1+b2+…b n，求使S n﹣2n+1+47＜0 成立的正整数n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，依题意，∵2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项∴由①得q2﹣3q+2=0，解得q=1或q=2．当q=1时，不合题意舍；当q=2时，代入（2）得a1=2，所以a n=2n．…．…（6分）（Ⅱ）=2n﹣n．…．…（7分）所以S n=b1+b2+…b n=（2+22++2n）﹣（1+2+…+n）=2n+1﹣2﹣﹣n2…．…（10分）因为，所以2n+1﹣2﹣﹣n2﹣2n+1+47＜0，即n2+n﹣90＞0，解得n＞9或n＜﹣10．…．…（12分）故使成立的正整数n的最小值为10．…．（13分）18．（12分）在用“五点法”画函数f（x）=Asinx（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一周期内的图象时，列表并填人了部分数据，如表：（1）请将上表中①②③④处数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移π个单位，得到y=g（x）的图象，求g（x）在z∈[﹣2π，2π]时的单调递增区间．【解答】解：（1）由表格可得A=2，再根据ω•2π+φ=，ω•5π+φ=，求得ω=，φ=﹣，令x﹣=0，求得x=故①为．令x﹣=π，求得x=，Asin0=0，故②为，④为0．令x﹣=2π，求得x=，故③为．函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（x﹣），（2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到y=2sin（x﹣），再将所得图象向左平移π个单位，得到y=g（x）=2sin[（x+π）﹣]=2sin（x+）的图象．由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，求得4kπ﹣≤x≤4kπ+，k∈Z，故g（x）在z∈[﹣2π，2π]时的单调递增区间为[﹣，]．19．（12分）若函数在点P（2，f（2））处的切线为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）讨论方程f（x）=k实数解的个数．【解答】解：（1）∵函数，f'（x）=x2+2ax﹣b，根据题意得f'（2）=4，即4a﹣b=0，又，即有+4a﹣2b+4=8﹣，解得，∴；（2）∵，∴f'（x）=x2+x﹣2=（x+2）（x﹣1），令f'（x）＞0解得x＜﹣2或x＞1，f'（x）＜0解得﹣2＜x＜1，即有f（x）的增区间为（﹣∞，﹣2），（1，+∞），减区间为（﹣2，1），即有x=1处取得极小值，且为，x=﹣2处取得极大值，且为．则当k＜或k＞时，方程k=f（x）有一个解；当k=或k=时，方程k=f（x）有两个解；当＜k＜时，方程k=f（x）有三个解．20．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，AB=2，BC=．D为AC延长线上一点，且CD=+1．（Ⅰ）求∠BCD的大小；（Ⅱ）求BD的长及△ABC的面积．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，因为，，由正弦定理可得，即，所以．因为∠ACB为钝角，所以．所以．…（6分）（Ⅱ）在△BCD中，由余弦定理可知BD2=CB2+DC2﹣2CB•DC•cos∠BCD，即，整理得BD=2．在△ABC中，由余弦定理可知BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA，即，整理得．解得．因为∠ACB为钝角，所以AC＜AB=2．所以．所以△ABC的面积．…．（13分）21．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）在数列{b n}中，b1=5，b n+1=b n+a n，求数列{log9（b n﹣4）}的前n项和T n．【解答】解：（I）∵S n=﹣1（n∈N*），∴当n=1时，a1=﹣1，解得a1=2．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣，化为：a n=3a n﹣1．∴数列{a n}是等比数列，首项为2，公比为3．∴a n=2•3n﹣1．（II）∵b n=b n+a n，+1﹣b n=2×3n﹣1．∴b n+1∴b n=（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1=2×（3n﹣2+3n﹣3+…+3+1）+5=2×+5=3n﹣1+4．∴log9（b n﹣4）==．∴数列{log9（b n﹣4）}的前n项和T n==．22．（12分）已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a≤0）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意的a∈（﹣3，﹣2），x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞），当a=0时，f（x）=2lnx+，f′（x）=﹣=，令f′（x）=0，解得x=，当0＜x＜时，f′（x）＜0；当x≥时，f′（x）＞0又∵f（）=2ln=2﹣2ln2∴f（x）的极小值为2﹣2ln2，无极大值．（Ⅱ）f′（x）=﹣+2a=，当a＜﹣2时，﹣＜，令f′（x）＜0 得0＜x＜﹣或x＞，令f′（x）＞0 得﹣＜x＜；当﹣2＜a＜0时，得﹣＞，令f′（x）＜0 得0＜x＜或x＞﹣，令f′（x）＞0 得＜x＜﹣；当a=﹣2时，f′（x）=﹣≤0，综上所述，当a＜﹣2时f（x），的递减区间为（0，﹣）和（，+∞），递增区间为（﹣，）；当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；当﹣2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，）和（﹣，+∞），递增区间为（，﹣）．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a∈（﹣3，﹣2）时，f（x）在区间[1，3]上单调递减，当x=1时，f（x）取最大值；当x=3时，f（x）取最小值；|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（3）=（1+2a）﹣[（2﹣a）ln3++6a]=﹣4a+（a﹣2）ln3，∵（m+ln3）a﹣ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，∴（m+ln3）a﹣2ln3＞﹣4a+（a﹣2）ln3整理得ma＞﹣4a，∵a＜0，∴m＜﹣4恒成立，∵﹣3＜a＜﹣2，∴﹣＜﹣4＜﹣，∴m≤﹣．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x=为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

福建省南安一中高二数学上学期期中试题 理【会员独享】考试内容：数列、不等式、常用逻辑用语、椭圆 考试时间：120分钟班级_____ _姓名____________座号______第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确，请把答案填在答题卡上）：1.等差数列{}n a 的前项和为n S ，若===432,3,1S a a 则 （ ）A ．12B ．10C ．8D ．62.已知01a b <<-，，则下列不等式成立的是 （ ） A ．2a a a b b >> B ．2a a a b b >> C ．2a a a b b >> D ．2a aa b b>> 3.若集合{}{}|21|3,(21)(3)0,A x x B x x x =-<=+->则A ∩B 是 （ ）A ．11232x x x ⎧⎫-<<-<<⎨⎬⎩⎭或B ．{}23x x << C ．122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ D ．112x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭4.“a b >”是“22a b ab +⎛⎫> ⎪⎝⎭”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.在等比数列{}n a 中，若81,141==a a ，则该数列的前10项和为 （ ） A ．10212- B ．11212- C ．4212-D ．9212-6.若椭圆2212x y m +=的离心率为12，则实数m 等于 （ ） A ．3823或 B ．32 C ．38 D ．3283或7.已知命题p ；对任意2,2210x R x x ∈-+≤；命题q ：存在,sin cos 2x R x x ∈+=断：①p 且q 是真命题；②p 或q 是真命题；③q 是假命题；④p ⌝是真命题，其中正确的是 （ ） A ．①④ B ．②③ C ．③④ D ．②④8.设变量x 、y 满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+3213y x y x y x ，则目标函数y x z 32+=的最小值为 （ ）A ．6B ．7C ．8D ．239.已知0,0,228x y x y xy >>++=，则2x y +的最小值是 （ ） A ．3 B ．4 C ．92 D ．11210.数列}{n a 满足==<<≤≤-=+200711,52,121,210,122{a a a a a a a nn n nn 则若 （ ） A ．51 B ．52 C ．53 D ．5411.已知命题p ：“对,x R m R ∀∈∃∈，使4210x xm ++=”.若命题p ⌝是假命题，则实数m 的取值范围是 （ ） A.2m ≤- B.22m -≤≤ C ．2m ≥ D.2m ≤-或2m ≥ 12.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a 、b ∈R ，满足()f ab =()()af b bf a +，(2)2f =，(2)n n f a n =（n *∈N ），(2)2n n nf b =（n *∈N ）.考查下列结论：①(0)(1)f f =；②()f x 为偶函数；③数列{}n a 为等比数列；④{}n b 为等差数列。

2015-2016学年福建省泉州市南安一中高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）：1．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．4 B．4 C．2 D．22．已知p：2+2=5，q：3≥2，则下列判断中，错误的是（）A．p或q为真，非q为假B．p或q为真，非p为真C．p且q为假，非p为假D．p且q为假，p或q为真3．抛物线的焦点坐标是（）A．（﹣2，0）B．（2，0） C．D．4．根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）A．25 B．30 C．31 D．615．若椭圆+=1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|﹣|MF2|=1，则△MF1F2是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形6．对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．8．有下列四个命题：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆命题；④“若x+y≠3，则x≠1或y≠2”，其中真命题有（）A．①② B．②③ C．①③ D．①③④9．若向量=（1，λ，2），=（2，﹣1，2），且与的夹角余弦值为，则λ等于（）A．2 B．﹣2 C．﹣2或 D．2或﹣10．双曲线C的中心在原点，焦点在x轴，离心率e=，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B点，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．2 C．4 D．811．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOF 的面积为（）A．B．C．D．212．执行如图的程序框图，如果输入的d=0.01，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．8二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分，请把答案写在答题卡上）：13．命题“对任意的x∈R，x2﹣x+1≥0”的否定是．14．已知向量=（2，﹣1，3），=（﹣4，2，x），若∥，则x= ．15．已知双曲线的渐近线方程为y=±x，且过点M（﹣1，3），则该双曲线的标准方程为．16．若二进制数100y011和八进制数x03相等，则x+y= ．三．解答题（本大题共6小题，共74分）：17．已知双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，求该双曲线的焦点到其渐近线的距离．18．命题p：“方程+=1表示双曲线”（k∈R）；命题q：y=log2（kx2+kx+1）定义域为R，若命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数k的取值范围．19．如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P﹣CD﹣B余弦值的大小；（3）求点C到平面PBD的距离．20．椭圆C： +y2=1，直线l交椭圆C于A，B两点．（1）若l过点P（1，）且弦AB恰好被点P平分，求直线l方程．（2）若l过点Q（0，2），求△AOB（O为原点）面积的最大值．21．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）（Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．22．如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．2015-2016学年福建省泉州市南安一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）：1．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．4 B．4 C．2 D．2【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线方程化为标准方程，即可确定实轴长．【解答】解：双曲线2x2﹣y2=8，可化为∴a=2，∴双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是4故选B．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．2．已知p：2+2=5，q：3≥2，则下列判断中，错误的是（）A．p或q为真，非q为假B．p或q为真，非p为真C．p且q为假，非p为假D．p且q为假，p或q为真【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】对于命题p：2+2=5，是假命题；对于q：3≥2，是真命题．利用复合命题的真假判定方法即可判断出．【解答】解：对于命题p：2+2=5，是假命题；对于q：3≥2，是真命题．∴p∨q为真命题，p∧q是假命题，￢p为真命题，￢q为假命题．∴C是假命题．故选：C．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．抛物线的焦点坐标是（）A．（﹣2，0）B．（2，0） C．D．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】将方程化为标准方程，再求焦点坐标．【解答】解：抛物线的标准方程为y2=﹣8x，则2p=8，∴∴抛物线的焦点坐标是（﹣2，0）故选A．【点评】本题考查抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．4．根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）A．25 B．30 C．31 D．61【考点】伪代码．【专题】算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数 y=的函数值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数 y=的函数值．当x=60时，则y=25+0.6（60﹣50）=31，故选：C．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．5．若椭圆+=1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|﹣|MF2|=1，则△MF1F2是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形【考点】椭圆的简单性质；三角形的形状判断．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由椭圆的定义知，|F1F2|=2，|MF1|+|MF2|=4，又由|MF1|﹣|MF2|=1可知，|MF2|2+|F1F2|2=|MF1|2．【解答】解：由题意，|F1F2|=2，|MF1|+|MF2|=4，∵|MF1|﹣|MF2|=1，∴|MF1|=，|MF2|=，∴|MF2|2+|F1F2|2=|MF1|2，故选B．【点评】本题考查了椭圆的定义应用，属于基础题．6．对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】常规题型．【分析】先根据mn＞0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出mn＞0，即可得到结论．【解答】解：当mn＞0时，方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆；或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充分条件；当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0，且两个量不相等，得到mn＞0；由上可得：“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选B．【点评】本题主要考查充分必要条件，考查椭圆的方程，注意对于椭圆的方程中，系数要满足大于0且不相等，本题是一个基础题．7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的应用；数列的应用．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，由题意可知：a+c=2b，由此可以导出该椭圆的离心率．【解答】解：设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，则2a+2c=2×2b，即a+c=2b⇒（a+c）2=4b2=4（a2﹣c2），所以3a2﹣5c2=2ac，同除a2，整理得5e2+2e﹣3=0，∴或e=﹣1（舍去），故选B．【点评】本题考查等差数列和椭圆的离心率，难度不大，只需细心运算就行．8．有下列四个命题：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆命题；④“若x+y≠3，则x≠1或y≠2”，其中真命题有（）A．①② B．②③ C．①③ D．①③④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；简易逻辑；推理和证明．【分析】根据原命题，结合四种命题的定义，分析给出原命题的逆命题，否命题和逆否命题，判断真假后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x+y=0”为真命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等”为假命题；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆命题为“若x2+2x+q=0有实根，则q≤1”，由△=4﹣4q≥0得q≤1，即为真命题；④“若x+y≠3，则x≠1或y≠2”的逆否命题为：“若x=1且y=2，则x+y=3”为真命题，故原命题也为真，故真命题有：①③④，故选：D．【点评】本题以命题的真假判断和应用为载体，考查四种命题，正确理解四种命题的相互关系及真假性关系，是解答的关键．9．若向量=（1，λ，2），=（2，﹣1，2），且与的夹角余弦值为，则λ等于（）A．2 B．﹣2 C．﹣2或 D．2或﹣【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】计算题．【分析】用向量的内积公式建立方程，本题中知道了夹角的余弦值为，故应用内积公式的变形来建立关于参数λ的方程求λ．【解答】解：由题意向量=（1，λ，2），=（2，﹣1，2），且与的夹角余弦值为，故有cos＜，＞===，解得：λ=﹣2或．故应选C．【点评】本题考查向量的数量积公式，属于基本知识应用题，难度一般较低．10．双曲线C的中心在原点，焦点在x轴，离心率e=，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B点，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．2 C．4 D．8【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【专题】计算题；函数思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用|AB|=4，即可求得结论．【解答】解：双曲线C的中心在原点，焦点在x轴，离心率e=，设等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=λ．（1）∵抛物线y2=16x，2p=16，p=8，∴ =4．∴抛物线的准线方程为x=﹣4．C与抛物线y2=16x的准线交于A，B点，|AB|=4，设等轴双曲线与抛物线的准线x=﹣4的两个交点A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），代入（1），得（﹣4）2﹣（2）2=λ，∴λ=4．∴等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=4，即，∴C的实轴长为4．故选：C．【点评】本题考查抛物线、双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．11．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOF 的面积为（）A．B．C．D．2【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用抛物线的定义，求出A的坐标，再计算△AOF的面积．【解答】解：抛物线y2=4x的准线l：x=﹣1．∵|AF|=3，∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3∴1+x A=3∴x A=2，∴y A=±2，∴△AOF的面积为=．故选：B．【点评】本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定A的坐标是解题的关键．12．执行如图的程序框图，如果输入的d=0.01，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；分类讨论；试验法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的m，n，a，b的值，当b=，a=时满足条件：|a﹣b|＜0.001，退出循环，输出n的值为7．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1，b=2，n=0，m=，n=1满足条件：f（1）•f（）＜0，b=，不满足条件：|a﹣b|＜0.001，m=，n=2，不满足条件：f（1）•f（）＜0，a=，不满足条件：|a﹣b|＜0.001，m=，n=3，不满足条件：f（）•f（）＜0，a=，不满足条件：|a﹣b|＜0.001，m=，n=4，不满足条件：f（）•f（）＜0，a=，不满足条件：|a﹣b|＜0.001，m=，n=5，不满足条件：f（）•f（）＜0，a=，不满足条件：|a﹣b|＜0.001，m=，n=6，不满足条件：f（）•f（）＜0，a=，不满足条件：|a﹣b|＜0.001，m=，n=7，不满足条件：f（）•f（）＜0，a=，满足条件：|a﹣b|＜0.001，退出循环，输出n的值为7．故选：C．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基础题．二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分，请把答案写在答题卡上）：13．命题“对任意的x∈R，x2﹣x+1≥0”的否定是存在x∈R，使x2﹣x+1＜0 ．【考点】命题的否定；全称命题．【专题】阅读型．【分析】命题“对任意的x∈R，x2﹣x+1≥0”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化．【解答】解：命题“对任意的x∈R，x2﹣x+1≥0”是全称命题，否定时将量词对任意的x∈R变为存在x∈R，再将不等号≥变为＜即可．∴命题“对任意的x∈R，x2﹣x+1≥0”的否定是存在x∈R，使x2﹣x+1＜0，故答案为：存在x∈R，使x2﹣x+1＜0．【点评】本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查．注意在写命题的否定时量词的变化．14．已知向量=（2，﹣1，3），=（﹣4，2，x），若∥，则x= ﹣6 ．【考点】共线向量与共面向量．【专题】空间向量及应用．【分析】由于∥，可得存在实数λ使得．利用向量相等即可得出．【解答】解：∵∥，∴存在实数λ使得．∴，解得x=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了向量共线定理、向量相等，属于基础题．15．已知双曲线的渐近线方程为y=±x，且过点M（﹣1，3），则该双曲线的标准方程为．【考点】双曲线的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设双曲线方程为=λ，λ≠0，把点M（﹣1，3）代入，能求出该双曲线的标准方程．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y=±x，∴设双曲线方程为=λ，λ≠0，把点M（﹣1，3）代入，得1﹣3=λ=﹣2，∴x2﹣=﹣2，整理，得．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的标准方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．16．若二进制数100y011和八进制数x03相等，则x+y= 1 ．【考点】进位制．【专题】计算题；转化思想；分析法；算法和程序框图．【分析】将二进制、八进制转化为十进制，利用两数相等及进制数的性质，即可解得x，y 的值，从而得解．【解答】解：∵100y011（2）=1+1×21+y×23+1×26=67+8y，x03（8）=3+x×82=3+64x，∴由3+64x=67+8y，解得：8+y=8x，∵y∈{0，1}，x∈{0，1，2，3，4，5，6，7，}，∴解得：x=1，y=0．x+y=1．故答案为：1．【点评】本题考查的知识点是不同进制数之间的转换，解答的关键是熟练掌握不同进制之间数的转化规则．三．解答题（本大题共6小题，共74分）：17．已知双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，求该双曲线的焦点到其渐近线的距离．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先求出抛物线y2=12x的焦点坐标，由此得到双曲线的右焦点，从而求出b的值，进而得到该双曲线的离心率与渐近线方程，从而可求该双曲线的焦点到其渐近线的距离．．【解答】解：∵抛物线y2=12x的p=6，开口方向向右，∴焦点是（3，0），∵双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，∴4+b2=9，∴b2=5∴双曲线的渐近线方程为y=，即∴双曲线的焦点到其渐近线的距离为=．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，考查了学生对基础知识的综合把握能力，属于中档题．18．命题p：“方程+=1表示双曲线”（k∈R）；命题q：y=log2（kx2+kx+1）定义域为R，若命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数k的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】计算题；简易逻辑．【分析】先对命题p，q 化简，再由命题p∨q为真命题，p∧q为假命题知命题p，q一个为真，一个为假．从而解出实数k的取值范围．【解答】解：p：由（k﹣3）（k+3）＜0得：﹣3＜k＜3；q：令t=kx2+kx+1，由t＞0对x∈R恒成立．（1）当k=0时，1＞0，∴k=0符合题意．（2）当k≠0时，，由△=k2﹣4×k×1＜0得k（k﹣4）＜0，解得：0＜k＜4；综上得：q：0≤k＜4．因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以命题p，q一个为真，一个为假．∴或；∴﹣3＜k＜0或3≤k＜4．【点评】本题考查了命题的化简及复合命题真假性的判断，注意分类讨论的标准．19．如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P﹣CD﹣B余弦值的大小；（3）求点C到平面PBD的距离．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．【专题】计算题．【分析】（1）证明直线BD所在的向量与平面内两个不共线的向量垂直，即可得到直线与平面内的两条相交直线垂直，进而得到线面垂直．（2）由题意求出两个平面的法向量，求出两个向量的夹角，进而转化为二面角P﹣CD﹣B的平面角即可．（3）求出平面PBD的法向量，再求出平面的斜线PC所在的向量，然后求出在法向量上的射影即可得到点到平面的距离．【解答】解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）．在Rt△BAD中，AD=2，BD=，∴AB=2．∴B（2，0，0）、C（2，2，0），∴∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，又因为AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．解：（2）由（1）得．设平面PCD的法向量为，则，即，∴，故平面PCD的法向量可取为∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量．设二面角P﹣CD﹣B的大小为θ，依题意可得．（3）由（Ⅰ）得，设平面PBD的法向量为，则，即，∴x=y=z，故可取为．∵，∴C到面PBD的距离为【点评】解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，以便建立空间直角坐标系利用向量的基本运算解决线面共线、空间角与空间距离等问题．20．椭圆C： +y2=1，直线l交椭圆C于A，B两点．（1）若l过点P（1，）且弦AB恰好被点P平分，求直线l方程．（2）若l过点Q（0，2），求△AOB（O为原点）面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）设出A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，利用中点弦的坐标，求出直线的斜率，即得直线方程；（2）设出直线方程，直线方程与椭圆方程联立，消去y，得关于x的一元二次方程；由此求出△AOB的面积表达式，求出它的最大值即可．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得：+=1， +=1；两式作差得：（x1+x2）（x1﹣x2）+（y1+y2）（y1﹣y2）=0，又x1+x2=2，y1+y2=，代入得k==﹣1，∴此弦所在的直线方程是y﹣=﹣（x﹣1），即x+y﹣=0；…（2）易知直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+2，…将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去y得（1+3k2）x2+12kx+9=0；…令△=144k2﹣36（1+3k2）＞0，得k2＞1；设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2=﹣，x1x2=；…∴S△AOB=|S△POB﹣S△POA|=×2×|x1﹣x2|=|x1﹣x2|，∵=﹣4x1x2=﹣=，…设k2﹣1=t（t＞0），∴==≤=，…当且仅当9t=，即t=，k2﹣1=，k2=时等号成立，此时△AOB面积取得最大值．…【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的应用问题，也考查了圆锥曲线中的最值问题，解题时应用根与系数的关系，结合基本不等式，进行解答，是难题目．21．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）（Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）建立坐标系，求出=2，可得BC1∥FP，利用线面平行的判定定理，可以证明直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）求出平面EFPQ的一个法向量、平面MNPQ的一个法向量，利用面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，建立方程，即可得出结论．【解答】（Ⅰ）证明：以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴，建立坐标系，则B（2，2，0），C1（0，2，2），E（2，1，0），F（1，0，0），P（0，0，λ），∴=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，λ），=（1，1，0）λ=1时， =（﹣2，0，2），=（﹣1，0，1），∴=2，∴BC1∥FP，∵FP⊂平面EFPQ，BC1⊄平面EFPQ，∴直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）设平面EFPQ的一个法向量为=（x，y，z），则，∴取=（λ，﹣λ，1）．同理可得平面MNPQ的一个法向量为=（λ﹣2，2﹣λ，1），若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则•=λ（λ﹣2）﹣λ（2﹣λ）+1=0，∴λ=1±．∴存在λ=1±，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查存在性问题，解题时要合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用．22．如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】综合题；压轴题．【分析】（Ⅰ）根据过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8，可得4a=8，即a=2，利用e=，b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆E的方程．（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，利用动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0），可得m≠0，△=0，进而可得P（，），由得Q（4，4k+m），取k=0，m=；k=，m=2，猜想满足条件的点M存在，只能是M（1，0），再进行证明即可．【解答】解：（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．∴4a=8，∴a=2∵e=，∴c=1∴b2=a2﹣c2=3∴椭圆E的方程为．（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）∴m≠0，△=0，∴（8km）2﹣4×（4k2+3）×（4m2﹣12）=0∴4k2﹣m2+3=0①此时x0==，y0=，即P（，）由得Q（4，4k+m）取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x﹣2）2+（y﹣）2=4，交x轴于点M（1，0）或M2（3，0）1取k=，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x﹣）2+（y﹣）2=，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下∵∴故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）方法二：假设平面内存在定点M满足条件，因为对于任意以PQ为直径的圆恒过定点M，所以当PQ平行于x轴时，圆也过定点M，即此时P点坐标为（0，）或（0，﹣），由图形对称性知两个圆在x轴上过相同的交点，即点M必在x轴上．设M（x1，0），则•=0对满足①式的m，k恒成立．因为=（﹣﹣x1，），=（4﹣x1，4k+m），由•=0得﹣+﹣4x1+x12++3=0，整理得（4x1﹣4）+x12﹣4x1+3=0．②由于②式对满足①式的m，k恒成立，所以，解得x1=1．故存在定点M（1，0），使得以PQ为直径的圆恒过点M．【点评】本题主要考查抛物线的定义域性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．。