2021年高中数学第一章统计相关性教案北师大版必修3

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．在两组数据中，平均值较大的一组方差较大B ．平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小C ．方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和D ．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高 【解析】 平均值的大小与方差的大小无任何联系，故A 错，由方差的公式s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]知C 错．对于D ，方差大的表示其射击环数比较分散，而非射击水平高，故D 错．【答案】 B2．一个样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，其中位数为22，则x 为 ( )A ．21B ．22C ．20D ．23【解析】 由中位数的概念知x ＋232＝22，所以x ＝21. 【答案】 A3．(2016·长沙四校联考)为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩(满分100分)进行统计，作出的茎叶图如图1-4-3所示，则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是( )图1-4-3A ．中位数为83B ．众数为85C ．平均数为85D ．方差为19【解析】易知该同学的6次数学测试成绩的中位数为84，众数为83，平均数为85.【答案】 C4．为了了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高为1.60 m；从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50 m．由此可推断我国13岁男孩的平均身高为()A．1.54 m B．1.55 mC．1.56 m D．1.57 m【解析】x＝300×1.60＋200×1.50300＋200＝1.56(m)．【答案】 C5．为了普及环保知识，增强环境意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(10分制)如图1-4-4所示，假设得分值的中位数为m e，众数为m0，平均值为x，则()图1-4-4A．m e＝m0＝xB．m e＝m0＜xC．m e＜m0＜xD．m0＜m e＜x【解析】由图知30名学生的得分情况依次为2个人得3分，3个人得4分、10个人得5分、6个人得6分、3个人得7分，2个人得8分、2个人得9分、2个人得10分，中位数为第15、16个数的平均数，即m e＝5＋62＝5.5,5出现次数最多，故m0＝5.x＝130(2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10)≈5.97.于是m 0＜m e ＜x . 【答案】 D 二、填空题6．某年级举行校园歌曲演唱比赛，七位评委为学生甲打出的演唱分数的茎叶图如右图1-4-5所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为________．图1-4-5【解析】 由茎叶图可知，学生甲的演唱分数分别为79,83,84,86,84,88,93，去掉一个最高分和一个最低分后，得分如下：83,84,84,86,88，则平均数为85，方差为s 2＝15×[(－2)2＋(－1)2＋(－1)2＋12＋32]＝3.2.【答案】 85,3.27．一组数据的方差为s 2，将这一组数据中的每个数都乘2，所得到的一组新数据的方差为________．【解析】 每个数都乘以2，则x ＝2x ， S ＝1n [(2x 1－2x )2＋…＋(2x n －2x )2] ＝4n [(x 1－x )2＋…＋(x n －x )2]＝4s 2. 【答案】 4s 28．由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________(从小到大排列)．【解析】 不妨设x 1≤x 2≤x 3≤x 4且x 1，x 2，x 3，x 4为正整数． 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋x 3＋x 44＝2，x 2＋x 32＝2，即⎩⎨⎧x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝8，x 2＋x 3＝4，又x1、x2、x3、x4为正整数，∴x1＝x2＝x3＝x4＝2或x1＝1，x2＝x3＝2，x4＝3或x1＝x2＝1，x3＝x4＝3. ∵s＝1 4[](x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2＋(x4－2)2＝1，∴x1＝x2＝1，x3＝x4＝3.由此可得4个数分别为1,1,3,3.【答案】1,1,3,3三、解答题9．为了了解市民的环保意识，某校高一(1)班50名学生在6月5日(世界环境日)这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况，有关数据如下表：(1)求这50(2)求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的标准差．【解】(1)平均数x＝150×(2×6＋3×16＋4×15＋5×13)＝18550＝3.7.众数是3，中位数是4.(2)这50户居民每天丢弃旧塑料袋的方差为s2＝150×[6×(2－3.7)2＋16×(3－3.7)2＋15×(4－3.7)2＋13×(5－3.7)2]＝150×48.5＝0.97.所以标准差s≈0.985.10．(2014·广东高考)某车间20名工人年龄数据如下表：(1)求这20名工人年龄的众数与极差；(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； (3)求这20名工人年龄的方差．【解】 (1)这20名工人年龄的众数为：30；这20名工人年龄的极差为：40－19＝21.(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图如下：(3)这20名工人年龄的平均数为：(19＋28×3＋29×3＋30×5＋31×4＋32×3＋40)÷20＝30；所以这20名工人年龄的方差为：120(30－19)2＋320(30－28)2＋320(30－29)2＋520(30－30)2＋420(30－31)2＋320(30－32)2＋120(30－40)2＝12.6.[能力提升]1．(2015·山东高考)为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图1-4-5所示的茎叶图．考虑以下结论：图1-4-5①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的序号为()A．①③B．①④C．②③D．②④【解析】甲地该月14时的气温数据分布在26和31之间，且数据波动较大，而乙地该月14时的气温数据分布在28和32之间，且数据波动较小，可以判断结论①④正确，故选B.【答案】 B2．对“小康县”的经济评价标准：①年人均收入不小于7 000元；②年人均食品支出不大于收入的35%.某县有40万人口，年人均收入如下表所示，年人均食品支出如图1-4-6所示．则该县()图1-4-6A．是小康县B．达到标准①，未达到标准②，不是小康县C．达到标准②，未达到标准①，不是小康县D．两个标准都未达到，不是小康县【解析】 由图表可知年人均收入为(2 000×3＋4 000×5＋6 000×5＋8 000×6＋10 000×7＋12 000×5＋16 000×3)÷40＝7 050(元)>7 000元，达到了标准①；年人均食品支出为(1 400×3＋2 000×5＋2 400×13＋3 000×10＋3 600×9)÷40＝2 695(元)，则年人均食品支出占收入的2 6957 050×100%≈38.2%>35%，未达到标准②.所以不是小康县．【答案】 B3．已知样本9,10,11，x ，y 的平均数为10，方差为4，则xy ＝________. 【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9＋10＋11＋x ＋y5＝10，15[(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(x －10)2＋(y －10)2]＝4.化简得x ＋y ＝20， ① (x －10)2＋(y －10)2＝18， ② 由①得x 2＋y 2＋2xy ＝400， ③ 代入②化简得xy ＝91. 【答案】 914．某校甲班、乙班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩(满分100分)统计如下表：(1)甲班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了！”(2)请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，并提出教学建议．【解】 (1)由中位数可知，85分排在第25名之后，从名次上讲，85分不算是上游．但也不能单以名次来判断学习成绩的好坏，小刚得了85分，说明他对本阶段的学习内容掌握较好．(2)甲班学生成绩的中位数为87分，说明高于或等于87分的学生占一半以上，而平均分为79分，标准差很大，说明低分也多，两极分化严重，建议对学习有困难的同学多给一些帮助；乙班学生成绩的中位数和平均分均为79分，标准差小，说明学生成绩之间差别较小，成绩很差的学生少，但成绩优异的学生也很少，建议采取措施提高优秀率．。

§5 用样本估计总体 5.1 估计总体的分布学习 目标1.理解什么是频率分布表、频率分布直方图、频率折线图．(数学抽象)2.会列频率分布表，会画频率分布直方图和频率折线图，能根据频率分布直方图解决问题．(数据分析、直观想象)3.了解用样本估计总体的意义．(数学抽象)导思 1.频率分布直方图纵轴的含义是什么？2.频率分布直方图的制作步骤是什么？3.如何画频率折线图？1．频率分布表和频率分布直方图 (1)频率分布表编制的方法步骤：(2)频率分布表与频率分布直方图有什么不同？提示：频率分布表能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数，而频率分布直方图则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度来表示数据分布的规律．2．频率折线图(1)在频率分布直方图中，按照分组原则，在左边和右边各加一个区间，从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，我们称之为频率折线图．(2)当样本容量不断增大时，样本中落在每个区间内的样本数的频率会越来越稳定于总体在相应区间内取值的概率．也就是说，一般地，样本容量越大，用样本的频率分布去估计总体的分布就越精确．(3)随着样本量的增大，所划分的区间数也可以随之增多，而每个区间的长度则会相应随之减小，相应的频率折线图就会越来越接近于一条光滑曲线．频率分布表、频率分布直方图与频率折线图各有什么优缺点？提示：①频率分布表：优点：频率分布表在数量表示上比较确切；缺点：不够直观、形象，分析数据分布的总体趋势不太方便；②频率分布直方图：优点：频率分布直方图能非常直观地表明数据分布的形状，使我们能够看到在分布表中看不清楚的数据模式；缺点：从直方图本身得不出原始的数据内容，也就是说，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了；③频率折线图：优点是它反映了数据的变化趋势．缺点：由图本身得不到原始的数据信息．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)频率分布直方图中的纵坐标指的是频率的值．()(2)频率分布直方图的宽度没有实际意义．()(3)频率分布直方图中各小矩形的面积之和可以不为1.()(4)在画频率折线图时，可以画成与横轴相连．()提示：(1)×.纵坐标指的是频率与组距的比值．(2) ×.频率分布直方图的宽度表示组距．(3)×.各小矩形的面积之和一定为1.(4) √.为了方便看图，一般习惯把频率折线图画成与横轴相连，所以横轴上左右两端点没有实际的意义．2．已知一个容量为40的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别为5，6，7，10，第五组的频率是0.2，那么第六组的频数是________，频率是________. 【解析】第五组的频数为0.2×40＝8.所以第六组的频数为40－5－6－7－10－8＝4.频率为440＝0.1.答案：40.13．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，时速在[50，60)内的汽车有________.【解析】因为小长方形的面积即为对应的频率，时速在[50，60)内的频率为0.3，所以有200×0.3＝60(辆).答案：60辆4．(教材例题改编)一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为50和0.25，则n＝________．【解析】由题意得50n＝0.25，所以n＝200.答案：200类型一频率分布直方图的绘制(数据分析、直观想象)【典例】1.频率分布直方图中，小矩形的面积等于()A．组距B．频率C．组数D．频数2．调查某校高一年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据(单位：cm)如下：171 163 163 166 166 168 168 160 168 165 171 169 167 169 151 168 170 168 160 174 165 168 174 159 167 156 157 164 169 180 176 157 162 161 158 164 163 163 167 161(1)作出频率分布表；(2)画出频率分布直方图．【思路导引】1.根据频率直方图中小矩形的几何意义，即可求解． 2．极差＝180－151＝29，组距为3，可分为10组．【解析】1.选B.根据小矩形的宽及高的意义，可知小矩形的面积为一组样本数据的频率．2．(1)①求极差：从数据中可看出，最大值是180，最小值是151，故极差为180－151＝29.②确定组距与组数：取3为组距，则极差组距 ＝293 ＝923 ，故可将样本数据分成10组．③第一组起点定为150.5，组距为3，这样分出10组：[150.5，153.5)，[153.5，156.5)，[156.5，159．5)，[159.5，162.5)，[162.5，165.5)，[165.5，168.5)，[168.5，171.5)，[171.5，174.5)，[174.5，177.5)，[177.5，180.5]. ④列频率分布表174.5～177.510.025177.5～180.510.025(2)画频率分布直方图如图所示：绘制频率分布直方图的注意事项(1)计算极差，需要找出这组数的最大值和最小值，当数据很多时，可选一个数当参照．(2)将一批数据分组，目的是要描述数据分布规律，要根据数据多少来确定分组数目，一般来说，数据越多，分组越多．(3)将数据分组，决定分点时，一般使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一点．(4)列频率分布表时，可通过逐一判断各个数据落在哪个小组内，以“正”字确定各个小组内数据的个数．(5)画频率分布直方图时，纵坐标表示频率与组距的比值，一定不能标成频率．1．有一个容量为45的样本数据，分组后各组的频数如下：(12.5，15.5]，3；(15.5，18.5]，8；(18.5，21.5]，9；(21.5，24.5]，11；(24.5，27.5]，10；(27.5，30.5]，4.由此估计，不大于27.5的数据约为总体的()A．91% B．92% C．95% D．30%【解析】选A.不大于27.5的样本数为：3＋8＋9＋11＋10＝41，所以约占总体百分比为4145×100%≈91%.2．某中学同年级40名男生的体重数据如下(单位：千克)：616059595958585757575756 565656565656555555555454 54545353525252525251515150504948列出样本的频率分布表，画出频率分布直方图． 【解析】①计算极差：61－48＝13(千克)； ②决定组距与组数，取组距为2，因为132 ＝612 ，所以共分7组；③决定分点，使分点比数据多一位小数．并把第1小组的分点减小0.5，即分成如下7组：47．5～49.5，49.5～51.5，51.5～53.5，53.5～55.5，55.5～57.5，57.5～59.5，59.5～61.5.④列出频率分布表如下：分组(Δx i ) 频数(n i ) 频率(f i ) 47.5～49.5 2 0.05 49.5～51.5 5 0.125 51.5～53.5 7 0.175 53.5～55.5 8 0.20 55.5～57.5 11 0.275 57.5～59.5 5 0.125 59.5～61.5 2 0.05 合计401.00⑤作出频率分布直方图如下：3．某花木公司为了调查某种树苗的生长情况，抽取了一个容量为100的样本，测得树苗的高度(cm)数据的分组及相应频数如下：107～109，3株；109～111，9株；111～113，13株；113～115，16株；115～117，26株；117～119，20株；119～121，7株；121～123，4株；123～125，2株．(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)据上述图表，估计数据在109～121范围内的可能性是百分之几．【解析】(1)频率分布表如下：分组频数频率累积频率107～10930.030.03109～11190.090.12111～113130.130.25113～115160.160.41115～117260.260.67117～119200.200.87119～12170.070.94121～12340.040.98123～12520.02 1.00合计100 1.00(2)频率分布直方图如下：(3)由上述图表可知数据落在109～121范围内的频率为：0.94－0.03＝0.91，即数据落在109～121范围内的可能性是91%.类型二频率折线图的画法及应用【典例】从高三学生中抽取50名同学参加数学竞赛，成绩的分组及各组的频数如下(单位：分)：40～50，2；50～60，3；60～70，10；70～80，15；80～90，12；90～100，8.(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图及频率折线图； (3)估计成绩在60～90分的学生比例．【思路导引】画频率分布直方图和折线图⇒制作好频率分布表⇒纵坐标表示频率与组距的比值．【解析】(1)样本的频率分布表如下：成绩分组(Δx i ) 频数(n i ) 频率(f i ) f i Δx i 40～50 2 0.04 0.004 50～60 3 0.06 0.006 60～70 10 0.2 0.02 70～80 15 0.3 0.03 80～90 12 0.24 0.024 90～10080.160.016(2)频率分布直方图及频率折线图如图所示：(3)成绩在60～90的频率为1－0.04－0.06－0.16＝0.74， 所以可估计成绩在60～90分的学生比例为74%.本例条件不变，估计成绩在50～80分的学生的比例．【解析】成绩在50～60分的学生的频数为3，在60～70的学生的频数为10，在70～80分的学生的频数为15，所以成绩在50～80分的学生的频数为28，占总体的2850 ＝1425 .频率折线图的作法及应用(1)作法：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.(2)应用：频率折线图也是用一个单位长度表示一定的数量，但是，它是根据数量的多少在图中描出各个点，然后把各个点用线段顺次连接成的折线，因此，它不但可以表现出数量的多少，而且能够以折线的起伏，清楚而直观地表示出数量的增减变化的情况．提醒：画图时，横轴和纵轴的单位可不一致．有一个容量为100的某校毕业生起始月薪的样本，数据的分组及各组的频数如下：起始月薪(百元)[13，14)[14，15)[15，16)[16，17) 频数7112623起始月薪(百元)[17，18)[18，19)[19，20)[20，21]频数1584 6(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图和频率折线图；(3)根据频率分布估计该校毕业生起始月薪低于2 000元的频率．【解析】(1)样本的频率分布表为起始月薪(百元)频数频率[13，14)70.07[14，15)110.11[15，16)260.26[16，17)230.23[17，18)150.15[18，19)80.08[19，20)40.04[20，21]60.06总计100 1.00(2)频率分布直方图和频率折线图如图．(3)起始月薪低于2 000元的频率为0.07＋0.11＋…＋0.04＝0.94，故起始月薪低于2 000元的频率的估计值是0.94.【补偿训练】某学校随机抽取部分新生调查其上学路上所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中，上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80), [80，100].(1)求直方图中x的值；(2)如果上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿，请估计学校1 000名新生中有多少名学生可以申请住宿．【解析】(1)由(x＋0.012 5＋0.006 5＋0.003×2)×20＝1，解得x＝0.025.(2)上学所需时间不少于40分钟的学生的频率为：(0.006 5＋0.003×2)×20＝0.25，估计学校1 000名新生中有1 000×0.25＝250名学生可以申请住宿．答：估计学校1 000名新生中有250名学生可以申请住宿．类型三用样本分布估计总体分布【典例】1.(2021·全国甲卷)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是()A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间2．为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110以上(含110次)为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少；(3)在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由．【思路导引】1．利用频率分布直方图，计算出低于60分的人数的频率p，利用频数除以相应的频率p 得总人数．2．利用110次以上(含110次)的矩形面积除以所有的矩形面积之和，即可估计高一学生的达标率．【解析】1.选C. 低于4.5万元的比率估计为0.02×1＋0.04×1＝0.06＝6%，故A 正确；不低于10.5万元的比率估计为(0.04＋0.02×3)×1＝0.1＝10%，故B 正确；平均值为：(3×0.02＋4×0.04＋5×0.1＋6×0.14＋7×0.2＋8×0.2＋9×0.1＋10×0.1＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02)×1＝7.68万元，故C 不正确；4.5万元到8.5万元的比率为：0.1×1＋0.14×1＋0.2×1＋0.2×1＝0.64＝64%，故D 正确．2．(1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此，第二小组的频率为：42＋4＋17＋15＋9＋3＝0.08. 又因为第二小组频率＝第二小组频数样本容量， 所以样本容量＝第二小组频数第二小组频率＝120.08 ＝150. (2)由图可估计该学校高一学生的达标率约为17＋15＋9＋32＋4＋17＋15＋9＋3×100%＝88%. (3)由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内．用样本估计总体的常用方法(1)用频率分布表估计总体分布．根据样本数据可以制作频率分布表，利用频率分布表中的数据，如各小组的频数、频率，可以对总体中的有关量进行估计．(2)用频率分布直方图估计总体分布．根据样本数据绘制出的频率分布直方图具有直观的特点，可以直接判断出样本中数据的分布特点和变化趋势与规律，并由此对总体进行估计．(3)用频率折线图估计总体分布．由样本频率分布直方图可以绘制出频率折线图，且样本容量越大，分组的组距不断缩小，那么折线图就越接近于总体分布，从而由频率折线图对总体估计就越精确．某幼儿园根据部分同年龄段女童的身高数据绘制了频率分布直方图，其中身高的变化范围是[96，106](单位：厘米)，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106].(1)求出x 的值；(2)已知样本中身高小于100厘米的人数是36，求出样本容量N 的数值；(3)根据频率分布直方图提供的数据，求出样本中身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的学生数．【解析】(1)由题意可知：(0.050＋0.100＋0.150＋0.125＋x )×2＝1，解得：x ＝0.075.(2)设样本中身高小于100厘米的频率为p 1，所以，p 1＝(0.050＋0.100)×2＝0.30，而p 1＝36N ，所以N ＝36p 1＝360.30 ＝120. (3)样本中身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的频率为p 2＝(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的学生数n ＝p 2N ＝120×0.75＝90.。

高中必修三数学统计教案
主题：统计学概述
目标：学生能够了解统计学的基本概念和应用，并掌握一些基本的统计方法。

一、引入
通过实例引入统计学的概念，让学生了解统计学在日常生活中的重要性。

二、概念介绍
1.统计学的定义和作用：统计学是研究数据收集、整理、分析和解释的一门学科，是现代科学和社会科学中不可或缺的工具。

2.统计学的基本概念：总体、样本、抽样、数据等。

三、常用统计方法
1.描述统计方法：平均数、中位数、众数等。

2.概率统计方法：频率分布、概率分布、期望值等。

3.推断统计方法：参数估计、假设检验等。

四、练习
1.实例分析：通过实例让学生掌握如何应用统计方法进行数据分析。

2.练习题：让学生做一些实践练习，巩固所学的统计方法。

五、总结
总结本节课的内容，强调统计学的重要性，并展望后续学习内容。

六、作业
布置相关作业，让学生进一步巩固所学知识。

七、扩展
介绍一些统计学在现代科学研究和社会应用中的具体案例，激发学生对统计学的兴趣和好奇心。

注：此为一份简单的高中必修三数学统计教案范本，具体教学内容和方法可根据教学需求进行调整和改进。

一数列的概念(20分钟35分)1.已知数列-1,,-,…,(-1)n,…,它的第5项的值为( )A.B.-C. D.-【解析】选D.a5=(-1)5×=-.2.下列四个数中,哪一个是数列{n(n+1)}中的一项( )A.380B.391C.352D.23【解析】选A.由n(n+1)=380得n=19.可验证其他项不符合.3.数列,,,,…的第10项是( )A. B. C. D.【解题指南】由数列,,,,…可得一个通项公式a n=,即可得出.【解析】选C.由数列,,,,…可得一个通项公式a n=,所以a10==.4.数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式是a n等于( )A. B.C.cosπD.cosπ【解析】选D.A项,展开可得数列为0,1,0,1,…不符合题意.B项,展开可得数列为0,-1,0,1,…不符合题意.C项,展开可得数列为-1,0,1,0,…不符合题意.D项,展开可得数列为0,1,0,-1,…符合题意.5.(2020·某某高一检测)已知数列满足a1=1,a n+1=2a n+1(n∈N*),则a5=.【解题指南】根据数列的首项及递推公式依次求出a2,a3,…a5即可.【解析】因为a1=1,a n+1=2a n+1,所以a2=2a1+1=3,a3=2a2+1=7,a4=2a3+1=15,a5=2a4+1=31,答案:316.写出下列数列的一个通项公式:(1)0,3,8,15,24,…(2)1,2,3,4,…(3)1,11,111,1111,…【解析】(1)观察数列中的数,可以看到0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,…所以它的一个通项公式是a n=n2-1.(2)此数列的整数部分1,2,3,4,…恰好是序号n,分数部分与序号n的关系为,故所求的数列的一个通项公式为a n=n+=.(3)原数列的各项可变为×9,×99,×999,×9 999,…易知数列9,99,999,9 999,…的一个通项公式为a n=10n-1.所以原数列的一个通项公式为a n=(10n-1).(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.有下列一列数:,1,1,1,( ),,,,,…,按照规律,括号中的数应为( )A.B. C. D.【解析】选B.把数列变为,,,,( ),,,,,…可得分子为连续的奇数,分母为连续的质数,故括号中的数应该为.【易错提醒】本题中不知道对第2,3,4项进行变形,使整个数列遵循同样的规律是解不出题的主要原因.2.数列2,5,11,20,32,x,…中的x等于( )A.28B.32C.33D.47【解析】选D.由5-2=3,11-5=6,20-11=9,32-20=12,则x-32=15,所以x=47.3.已知数列{a n}满足a n+2=a n+1-a n,若a1=1,a3=3,则a17=( )A.-4B.-3C.3D.4【解析】选A.因为数列满足a n+2=a n+1-a n,故有a n+3=a n+2-a n+1=-a n+1=-a n,所以a n+6=-a n+3=a n,故数列是以6为周期的周期数列,所以a17=a5=-a2,又因为a1=1,a3=3,a3=a2-a1得a2=4,故a17=-4.4.若一个数列的前三项依次为6,18,54,则此数列的一个通项公式为( )A.a n=4n-2B.a n=2n+4C.a n=2×3nD.a n=3×2n【解题指南】6=1×6=30×6,18=3×6=31×6,54=9×6=32×6,可以归纳出数列的通项公式. 【解析】选C.依题意,6=1×6=30×6,18=3×6=31×6,54=9×6=32×6,所以此数列的一个通项公式为a n=6×3n-1=2×3n.5.(2020·某某高一检测)数列,,,,…的递推公式可以是( )A.a n=B.a n=C.a n+1=a nD.a n+1=2a n【解题指南】观察数列,数列从第二项起,可知每一项是前一项的,由此可以得到递推公式,得出结果.【解析】选C.由题意可知,数列从第二项起,后一项是前一项的,所以递推公式为a n+1=a n.二、填空题(每小题5分,共15分)6.正整数列满足a1=a,且对于n∈N*有a n+1=,若a6=1,则a的所有可能取值为.【解析】因为正整数列满足a1=a,且对于n∈N*有a n+1=, 由a6=1,得a5=2或a5=0(舍),则a4=4,则a3=1,a2=2,a1=4或a3=8,a2=16,a1=5或a3=8,a2=16,a1=32,即a的所有可能取值为4,5或32.答案:4,5或327.将正偶数按下表排列则2010在第行第列.【解析】由题意可知,2 010是第1 005个正偶数,因为1 005÷4=251……1,所以2 010在第252行.观察表格知,第偶数行的四个数字从第4列开始从右至左排列,所以2 010在第252行,第4列.答案:252 48.如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案,会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图2中的直角三角形继续作下去,记OA1,OA2,…,OA n,…的长度构成数列{a n},则此数列的通项公式为a n=.【解析】因为OA1=1,OA2=,OA3=,…,OA n=,…,所以a1=1,a2=,a3=,…,a n=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知数列的通项公式为a n=.(1)求a10.(2)是否是这个数列中的项?(3)这个数列中有多少整数项?【解析】(1)a10==.(2)由a n==,解得,n=100.即是这个数列中的项,且是第100项.(3)由a n=为整数项可知,n=1,n=2,n=3,n=6,即数列中有4个整数项.10.写出数列的一个通项公式,使它的前几项分别为下列各数.(1)3,5,9,17,33;(2)4,-4,4,-4,4;(3)1,0,1,0;(4),,,.【解析】(1)每项都可以看成2的n次幂加1的形式,所以a n=2n+1.(2)数列中的每一项的绝对值均等于4,只有各项的系数的符号正负相间,所以a n=4(-1)n+1(答案不唯一).(3)原数列可改写为+,-,+,…,所以a n=+(-1)n+1(答案不唯一).(4)可将分子、分母分别求其通项,再合并,分子通项为2n-1,分母通项为2n+1,所以a n=.1.已知f(1)=2,f(n+1)=(n∈N+),则f(4)=.【解析】因为f(1)=2,f(n+1)=,所以f(2)==,f(3)===,f(4)===.答案:2.如图,下列四个图形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项,求这个数列的一个通项公式.【解析】4个图形中着色三角形的个数依次为1,3,9,27,都是3的指数幂,猜想数列的通项公式为a n=3n-1.。

§4数据的数字特征4．1 平均数、中位数、众数、极差、方差4．2 标准差整体设计教学分析在义务教育阶段，学生已经通过实例，学习了平均数、中位数、众数、极差、方差等，并能解决简单的实际问题．在这个基础上，高中阶段还将进一步学习标准差，并在学习中不断地体会它们各自的特点，达到在具体的问题中能根据情况有针对性地选择一些合适的数字特征．三维目标1．能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息，培养学生解决问题的能力．2．通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差，提高学生的运算能力．重点难点教学重点：平均数、中位数、众数、极差、方差的计算、意义和作用．教学难点：根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息．课时安排1课时教学过程导入新课思路那么怎样判断中国女排和俄罗斯女排的队员谁的身材更为高大？我们分别求出两队球员的平均身高，谁的平均身高数值大，谁的身材就更高大，教师点出课题：数据的数字特征．思路 2.小明开设了一个生产玩具的小工厂，管理人员由小明、他的弟弟和六个亲戚组成．工作人员由五个领工和十个工人组成．工厂经营得很顺利，需要增加一个新工人，小亮需要一份工作，应聘而来与小明交谈．小明说：“我们这里报酬不错，平均薪金是每周300元．你在学徒期每周75元，不过很快就可以加工资了．”小亮工作几天后找到小明说：“你欺骗了我，我已经找其他工人核对过了，没有一个人的工资超过每周100元，平均工资怎么可能是一周300元呢？”小明说：“小亮啊，不要激动，平均工资是300元，你看，这是一张工资表．”工资表如下：人员 小明 小明弟弟 亲戚 领工 工人 周工资 2 400 1 000 250 200 100 人数 1 1 6 5 10 合计2 4001 0001 5001 0001 000这到底是怎么了？教师点出课题：数据的数字特征． 推进新课 新知探究 提出问题1．什么叫平均数？有什么意义？ 2．什么叫中位数？有什么意义？ 3．什么叫众数？有什么意义？ 4．什么叫极差？有什么意义？ 5．什么叫标准差？有什么意义？ 6．什么叫方差？有什么意义？ 讨论结果：1．一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数．数据x 1，x 2，…，x n的平均数为x ＝x 1＋x 2＋…＋x nn.平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平．任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质．2．一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数．一组数据中的中位数是唯一的，反映了该组数据的集中趋势．3．一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数．一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有，反映了该组数据的集中趋势．4．一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差，表示该组数据之间的差异情况．5．标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示，通常用公式s ＝1n[x 1－x 2＋x 2－x 2＋…＋x n －x 2]来计算．可以用计算器或计算机计算标准差．标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差大，数据的离散程度大；标准差小，数据的离散程度小．标准差的取值范围是[0，＋∞)．样本数据x 1，x 2，…，x n 的标准差的计算步骤：(1)计算样本数据的平均数，用x 来表示；(2)计算每个样本数据与样本数据平均数的差：x i －x (i ＝1,2，…，n )； (3)计算x i －x (i ＝1,2，…，n )的平方；(4)计算这n 个x i －x (i ＝1,2，…，n )的平方的平均数，即方差；(5)计算方差的算术平方根，即为样本标准差．6．方差等于标准差的平方，即s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，与标准差的作用相同，描述一组数据围绕平均数波动的程度的大小．方差的取值范围是[0，＋∞)．应用示例思路1(1)分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数和众数．(2)公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工的月工资情况？税务官呢？工会领导呢？解：(1)经过简单计算可以得出：该公司员工的月工资平均数为1 373元，中位数为800元，众数为700元．(2)公司经理为了显示本公司员工的收入高，采用平均数1 373元作为月工资的代表；而税务官希望取中位数800元，以便知道目前的所得税率对该公司的多数员工是否有利；工会领导则主张用众数700元作为代表，因为每月拿700元的员工数最多．点评：平均数是将所有的数据都考虑进去得到的度量，它是反映数据平均水平最常用的统计量；中位数将观测数据分成相同数目的两部分，其中一部分都比这个数小而另一部分都比这个数大，对于非对称的数据集，中位数更实际地描述了数据的中心；当变量是分类变量时，众数往往经常被使用. 变式训练请参照这个表解答下列问题：(1)用含x ，y 的代数式表示该班参加“环保知识竞赛”的班平均分f ； (2)若该班这次竞赛的平均分为2.5分，求x ，y 的值．解：(1)f ＝3x ＋5y ＋5940；(2)依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝41，x ＋y ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝4.2.某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人(1)该风景区调整前后这5个景点门票的平均收费不变，平均日总收入持平，问风景区是怎样计算的？(2)游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%，问游客是怎样计算的？(3)你认为风景区和游客哪一方的说法较能反映整体实际？ 解：(1)风景区是这样计算的： 调整前的平均价格： 10＋10＋15＋20＋255＝16(元)，调整后的平均价格：5＋5＋15＋25＋305＝16(元)，因为调整前后的平均价格不变，平均日人数不变， 所以平均日总收入不变． (2)游客是这样计算的： 原平均日总收入：10×1＋10×1＋15×2＋20×3＋25×2＝160(千元)， 现平均日总收入：5×1＋5×1＋15×2＋25×3＋30×2＝175(千元)，所以平均日总收入增加了175－160160≈9.4%.(3)游客的说法较能反映整体实际.例2 甲、乙两台机床同时生产直径是40 mm 的零件．为了检验产品质量，从两台机床生产的产品中各抽取10件进行测量，结果如下表所示. 甲机床直径/mm 40.0 39.8 40.1 40.2 39.9 40.0 40.2 39.8 40.2 39.8 乙机床直径/mm40.040.039.940.039.940.1 40.140.140.039.9分别计算上面从甲、乙两台机床抽取的10件产品直径的标准差，并判断哪台机床生产过程更稳定．解：从数据很容易得到甲、乙两台机床生产的这10件产品直径的平均值x 甲＝x 乙＝40(mm)．我们分别计算它们直径的标准差：s 甲＝[40－402＋39.8－402＋…＋39.8－402]/10＝0.161(mm)， s 乙＝[40－402＋40－402＋…＋39.9－402]/10＝0.077(mm)．由上面的计算可以看出：甲、乙两台机床生产的产品直径的平均值相同，而甲机床生产的产品直径的标准差为0.161 mm ，比乙机床的标准差0.077 mm 大，说明乙机床生产的零件要更标准些，即乙机床的生产过程更稳定一些．点评：对数据数字特征内容的评价，应当更多地关注对其本身意义的理解和在新情境中的应用，而不是记忆和使用的熟练程度. 变式训练设有容量为n 的样本x 1，x 2，…，x n ，其标准差为s x ，另有容量为n 的样本y 1，y 2，…，y n ，其标准差为s y ，且y k ＝3x k ＋5(k ＝1,2，…，n )，则下列关系正确的是( )．A ．s y ＝3s x ＋5B ．s y ＝3s xC ．s y ＝3s xD ．s y ＝3s x ＋5 答案：B思路2例1 800 800 800 800 800 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 500 1 5001 5001 5001 5001 5001 500(1)计算该公司员工的月工资的平均数、中位数和众数；(2)假如你去这家企业应聘职位，你会如何看待员工的收入情况？分析：(1)根据平均数、中位数和众数的定义可以分别求得；(2)主要根据月工资的平均数来看待员工的收入情况，当然也要考虑中位数和众数．解：(1)公司员工的月工资的平均数为5×800＋10×1 000＋20×1 200＋7×1 500＋5×2 000＋3×2 50050＝1 320(元)，中位数为1 200元，众数为1 200元．(2)由于该公司员工的月工资的中位数和众数与平均数比较接近， 所以主要考虑月工资的平均数1 320元作为月工资的代表，这样以该公司月平均工资1 320元与同类企业的工资待遇作比较即可． 点评：大多情况下人们会把眼光仅停留在工资表中的最大与最小值处，把最高工资作为一个单位工资的评价，这是一种错误的评价方式. 变式训练1．已知10个数据：1 203,1 201,1 194,1 200,1 204,1 201,1 199,1 204，1 195，1 199，它们的平均数是( )．A ．1 400B ．1 300C ．1 200D ．1 100 答案：C2根据表中提供的信息填空：(1)该公司每人所创的年利润的平均数是__________万元． (2)该公司每人所创的年利润的中位数是__________万元．(3)你认为应该使用平均数和中位数中哪一个来描述该公司每人所创的年利润的一般水平？答案：(1)3.36 (2)2.1 (3)中位数.(1)甲、乙的平均成绩谁较好？ (2)谁的各门功课发展较平衡？分析：(1)利用公式计算平均数；(2)计算方差来分析．解：(1)∵x 甲＝15(60＋80＋70＋90＋70)＝74，x 乙＝15(80＋60＋70＋80＋75)＝73，∴甲的平均成绩较好．(2)s 2甲＝15(142＋62＋42＋162＋42)＝104，s 2乙＝15(72＋132＋32＋72＋22)＝56，∵s 2甲＞s 2乙，∴乙的各门功课发展较平衡．点评：平均数和方差是样本的两个重要数字特征，方差越大，表明数据越分散，相反地，方差越小，数据越集中、稳定；平均数越大表明数据的平均水平越高，平均数越小表明数据的平均水平越低. 变式训练已知一个样本中含有5个数据3,5,7,4,6，则样本方差为( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：∵x ＝3＋5＋7＋4＋65＝5，∴方差s 2＝15[(5－3)2＋(5－5)2＋(5－7)2＋(5－4)2＋(5－6)2]＝2.答案：B 知能训练1．下列说法正确的是( )．A ．甲、乙两个班期末考试数学平均成绩相同，这表明这两个班数学学习情况一样B ．期末考试数学成绩的方差甲班比乙班的小，这表明甲班的数学学习情况比乙班好C ．期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班大，则数学学习甲班比乙班好D ．期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班小，则数学学习甲班比乙班好答案：D2．在一次数学测验中，某小组14名学生分别与全班的平均分85分的差是：2,3，－3，－5，12,12,8,2，－1,4，－10，－2,5,5，那么这个小组的平均分是__________分．( )．A ．97.2B ．87.29C ．92.32D ．82.86 答案：B3s 1，s 2，s 3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有( )． A ．s 3＞s 1＞s 2 B ．s 2＞s 1＞s 3 C ．s 1＞s 2＞s 3 D ．s 2＞s 3＞s 1解析：方法一：计算得x 甲＝x 乙＝x 丙＝8.5，s 21＝2520，s 22＝2820，s 23＝2120，则s 2＞s 1＞s 3；方法二：可以计算三名运动员成绩的平均数都等于8.5，观察对比三个表格，相比之下丙的环数集中在8.5周围，比甲和乙要稳定，乙的环数比甲更分散，则有s 1＞s 3，s 2＞s 1.答案：B4．某人射击5次，分别为8,7,6,5,9环，则这个人射击命中的平均环数为__________． 答案：75．华山鞋厂为了了解中学生穿鞋的鞋号情况，对某中学八年级(1)班的20名男生所穿鞋号的统计如下表：鞋号 23.5 24 24.5 25 25.5 26 人数344711那么这20名男生鞋号数据的平均数是__________，中位数是__________，众数是__________，在平均数、中位数和众数中，鞋厂最感兴趣的是__________．答案：24.55 24.5 25 众数6．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是__________．答案：－3拓展提升甲 25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙27164427441640401640问：(1)哪种玉米的苗长得高？(2)哪种玉米的苗长得齐？解：(1)∵x 甲＝110(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝110×300＝30(cm)，x 乙＝110(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝110×310＝31(cm)，∴x 甲＜x 乙，即乙种玉米的苗长得高．(2)∵s 2甲＝104.2(cm 2)，s 2乙＝128.8(cm 2)，∴s 2甲＜s 2乙，即甲种玉米的苗长得齐． 课堂小结本节课学习了平均数、中位数、众数、极差、方差的计算、意义和作用． 作业习题1－4 1,2.设计感想本节教学设计依据课程标准，在义务教育阶段的基础上，进一步掌握平均数、中位数、众数、极差、方差的计算、意义和作用，重在应用．备课资料备选习题1．现有同一型号的汽车50辆．为了了解这种汽车每耗油1 L 所行路程的情况，要从中抽出5辆汽车在同一条件下进行耗油 1 L 所行路程的试验，得到如下数据(单位：km)：11,15,9,12,13.则样本方差是( )．A ．20B ．12C ．4D ．2解析：可以计算得平均数x ＝11＋15＋9＋12＋135＝12，则方差s 2＝15[(11－12)2＋(15－12)2＋(9－12)2＋(12－12)2＋(13－12)2]＝4.答案：C2．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y |的值为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由平均数为10，得(x ＋y ＋10＋11＋9)×15＝10，整理得x ＋y ＝20；又由于方差为2，则15×[(x －10)2＋(y －10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(9－10)2]＝2，整理得x 2＋y 2－20(x ＋y )＋192＝0，所以x 2＋y 2＝208，则2xy ＝192.故|x －y |＝x －y 2＝x 2＋y 2－2xy ＝4.答案：D3．某农科所为寻找高产稳定的油菜品种，选了三个不同的油菜品种进行试验，每一品试评定哪一品种既高产又稳定．解：∵三个品种的产量的平均数分别为x1＝21.0(kg)，x2＝21.0(kg)，x3＝20.48(kg)，方差为s21＝0.572，s22＝2.572，s23＝3.597 6，∴x1＝x2＞x3，s21＜s22＜s23.故第一个品种既高产又稳定．已经算得两个组的平均分数都是80分，请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组本次竞赛中的成绩哪组更好一些，并说明理由．分析：该题不仅运用了统计的有关基础知识，还考查应用数学的意识，结论具有开放性，从众数、方差、中位数、高分数段以及满分人数全方位进行综合分析、比较，并作出判断．解：分析1：从众数看，甲组成绩的众数是90分，乙组成绩的众数是70分，甲组成绩好一些．分析2：从方差看，s2甲＝172，s2乙＝256，s2甲＜s2乙，甲组成绩较乙组成绩稳定一些．分析3：甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中，甲组成绩在80分以上(含80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(含80分)的有26人，甲组的成绩总体好一些．分析4：从成绩统计表看，甲组成绩高于80分的人数为20人，乙组成绩高于80分的人数为24人，所以乙组成绩在高分段的人数多，同时乙组得满分的人数比甲组多6人，乙组成绩好一些．点评：答案不唯一，只要符合实际数据就行．(设计者：张建国)。

新课标北师大版高中数学教材目录及课时安排必修1（36节）第一章集合（5）§1 集合的含义与表示 1 §2 集合的基本关系1 §3 集合的基本运算第二章函数（9）§1 生活中的变量关系1 §2 对函数的进一步认识3 §3 函数的单调性 1§4 二次函数性质的再研究2 §5 简单的幂函数 1 阅读材料函数概念的发展第三章指数函数和对数函数（14）§1 正整数指数函数 1 §2 指数概念的扩充3 §3 指数函数 3§4 对数 2 §5 对数函数 3 §6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 1第四章函数应用 (7)§1 函数与方程 2 §2 实际问题的函数建模 4必修2（36）第一章立体几何初步（18节）§1 简单几何体 1 §2 直观图 1 §3 三视图 3§4 空间图形的基本关系与公理 2 §5 平行关系 3 §6 垂直关系 4§7 简单几何体的面积和体积 2第二章解析几何初步（18节）§1 直线与直线的方程 8 §2 圆与圆的方程 5 §3 空间直角坐标系 3必修3全书目录第一章统计（16）§1 统计活动：随机选取数字§2 从普查到抽样§3 抽样方法§4 统计图表§5 数据的数字特征§6 用样本估计总体§7 统计活动：结婚年龄的变化§8 相关性§9 最小二乘法第二章算法初步（12）§1 算法的基本思想§2 算法的基本结构及设计§3 排序问题§4 几种基本语句第三章概率（8）§1 随机事件的概率§2 古典概型§3模拟方法――概率的应用必修4第一章三角函数（16）§1 周期现象与周期函数§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数§5 余弦函数§6 正切函数§7 函数的图像§8 同角三角函数的基本关系阅读材料数学与音乐第二章平面向量（12）§1 从位移、速度、力到向量§2 从位移的合成到向量的加法§3 从速度的倍数到数乘向量§4 平面向量的坐标§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例阅读材料向量与中学数学第三章三角恒等变形（8）§1 两角和与差的三角函数§2 二倍角的正弦、余弦和正切§3 半角的三角函数§4 三角函数的和差化积与积化和差§5 三角函数的简单应用必修5第一章数列（12）§1 数列 1.1 数列的概念 1.2 数列的函数特性§2 等差数列 2.1 等差数列 2.2 等差数列的前ｎ项和§3 等比数列 3.1 等比数列 3.2 等比数列的前ｎ项和第二章解三角形（8）§1 正弦定理与余弦定理 1.1 正弦定理 1.2 余弦定理§2 三角形中的几何计算§3 解三角形的实际应用举例第三章不等式（16）§1 不等关系——2 1.1 不等关系 1.2 比较大小§2 一元二次不等式——5 2.1 一元二次不等式的解法 2.2 一元二次不等式的应用§3 基本不等式——— 3 3.1 基本不等式 3.2 基本不等式与最大（小）值§4 简单线性规划——54.1 二元一次不等式（组）与平面区域4.2 简单线性规划 4.3 简单线性规划的应用。

【成才之路】2015-2016学年高中数学第一章统计综合能力测试北师大版必修3本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．时间120分钟，满分150分．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．2015年的世界无烟日(5月31日)之前，小华学习小组为了了解本地区大约有多少成年人吸烟，随机调查了100个成年人，结果其中有15个成年人吸烟．对于这个关于数据收集与处理的问题，下列说法正确的是( )A．调查的方式是普查B．本地区约有15%的成年人吸烟C．样本是15个吸烟的成年人D．本地区只有85个成年人不吸烟[答案] B[解析]调查方式显然是抽样调查，∴A错误．样本是这100个成年人．∴C也错误，显然D不正确．故选B.2．某班的78名同学已编号1,2,3，…，78，为了解该班同学的作业情况，老师收取了学号能被5整除的15名同学的作业本，这里运用的抽样方法是( )A．简单随机抽样法 B.系统抽样法C．分层抽样法 D.抽签法[答案] B[解析]所抽出的编号都间隔5，故是系统抽样．3．下列问题，最适合用简单随机抽样的是( )A．某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号为1～40.有一次报告会坐满了听众，报告会结束后为听取意见，要留下32名听众进行座谈B．从10台冰箱中抽出3台进行质量检查C．某学校在编人员160人．其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人．教育部门为了解学校机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本D．某乡农田有：山地8 000亩，丘陵12 000亩，平地24 000亩，洼地4 000亩. 现抽取农田480亩估计全乡农田某种作物的平均亩产量[答案] B[解析]A项的总体容量较大，用简单随机抽样法比较麻烦；B项的总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便；C项由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大，不宜采用简单随机抽样法；D 项的总体容量较大，且各类田地的产量差别很大，也不宜采用简单随机抽样法．4．一个容量为50的样本数据，分组后，组距与频数如下：[12.5,15.5)，2；[15.5,18.5)，8；[18.5,21.5)，9；[21.5，24.5)，11；[24.5,27.5)，10；[27.5,30.5)，6；[30.5,33.5)，4.根据分组情况估计小于30.5的数据占( )A ．18% B.30% C ．60% D.92%[答案] D[解析] (2＋8＋9＋11＋10＋6)÷50＝92%.5．如图所示的是2006年至2015年某省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图，图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以得到2006年至2015年此省城镇居民百户家庭人口数的平均数为( )2 9 1 1 5 83 0 2 6 31247[答案] B[解析] 由茎叶图得到2006年至2015年城镇居民百户家庭人口数为：291,291,295,298,302,306,310,312,314,317，所以平均数为291＋291＋295＋298＋302＋306＋310＋312＋314＋31710＝3 03610＝303.6.6．某地区共有10万户居民，该地区城市住户与农村住户之比为4∶6，根据分层抽样方法，调查了该地区1 000户居民冰箱拥有情况，调查结果如下表所示，那么可以估计该地区农村住户中无冰箱的总户数约为( )万户 C ．1.76万户 D.0.24万户[答案] A[解析] 由于城市住户与农村住户之比为4∶6，城市住户有4万户，农村住户有6万户，调查的1 000户居民中共400户城市住户，有600户农村住户，其中农村住户中无冰箱的有160户，所以可估计该地区农村住户中无冰箱的总户数约为10×1601 000＝1.6(万户)．7．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )1 2 520 2 3 33 1 24 4 8 94 5 5 5 7 7 8 8 950 0 1 1 4 7 96 17 8A.46,45,56B.46,45,53C．47,45,56 D.45,47,53[答案] A[解析]本题考查了茎叶图的应用及其样本的中位数、众数、极差等数字特征，由茎叶图可知，中位数为46，众数为45，极差为68－12＝56.在求一组数据的中位数时，一定不要忘记先将这些数据排序再判断．8．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12)内的频数为( )A．18 B.36C．54 D.72[答案] B[解析]频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，每个小矩形的面积表示样本数据落在该区间内的频率，故样本数据落在区间[10,12)内的频率为1－2×(0.02＋0.05＋0.15＋0.19)＝0.18，故样本数据落在区间[10,12)内的频数为0.18×200＝36.9.已知两个变量x，y之间具有线性相关关系，测得(x，y)的四组值分别为(1,2)，(2,4)，(3,5)，(4,7)，则y与x之间的回归直线方程为( )A．y＝0.8x＋3 B.y＝－1.2x＋7.5C．y＝1.6x＋0.5 D.y＝1.3x＋1.2[答案] C[解析] 利用排除法． ∵x ＝14(1＋2＋3＋4)＝ 2.5，y ＝14(2＋4＋5＋7)＝4.5，由于回归直线方程y ＝bx ＋a 必过定点(2.5,4.5)，故排除A 、D.又由四组数值知y 随x 的增大而增大，知b >0，排除B.10．某路段检查站监控录像显示，在某时段内，有 1 000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如下图的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽车中速度不小于90 km/h 的约有( )A ．100辆 B.200辆 C ．300辆 D.400辆[答案] C[解析] 由题图可知汽车中车速在[60,90)的频率为10×(0.01＋0.02＋0.04)＝0.7， ∴在[90,110]的频率为(1－0.7)＝0.3.∴车速不小于90 km/h 的汽车数量约为0.3×1 000＝300辆．11.某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10,11,9，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y |的值为( )A ．1 B.2 C ．3 D.4[答案] D[解析] 依题意，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧10＝x ＋y ＋10＋11＋95，2＝15[x －102＋y －102＋10－102＋11－102＋9－102]，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝20，x －102＋y －102＝8，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8y ＝12，所以|x－y|＝4.12．甲，乙，丙三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图1，图2和图3，若s甲，s乙，s丙分别表示他们测试成绩的标准差，则( )A．s甲<s乙<s丙 B.s甲<s丙<s乙C．s乙<s甲<s丙 D.s丙<s甲<s乙[答案] D[解析]由频率分布条形图可得甲，乙，丙三名运动员的平均成绩分别为x－甲＝0.25×(7＋8＋9＋10)＝8.5；x－乙＝0.3×7＋8×0.2＋9×0.2＋10×0.3＝8.5；x－丙＝0.2×7＋8×0.3＋9×0.3＋10×0.2＝8.5，s2甲＝0.25×(1.52＋0.52＋0.52＋1.52)＝1.25；s2乙＝0.3×1.52＋0.52×0.2＋0.52×0.2＋1.52×0.3＝1.45；s2丙＝0.2×1.52＋0.52×0.3＋0.52×0.3＋1.52×0.2＝1.05，∴s丙<s甲<s乙．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13．一个容量为40的样本，共分成6组，第1～4组的频数分别为10,5,7,6，第5组的频率是0.10，则第6组的频率是________．[答案]0.20[解析]第5组的频数为40×0.10＝4，第6组的频数为40－(10＋5＋7＋6＋4)＝8，则频率为840＝0.20.14．(2015·某某文，12)已知样本数据x1，x2，…，x n的均值x＝5，则样本数据2x1＋1,2x2＋1，…，2x n＋1的均值为________．[答案]11[解析]因为样本数据x1，x2，…，x n的均值x＝5，所以样本数据2x1＋1,2x2＋1，…，2x n＋1的均值为2x＋1＝2×5＋1＝11.15．(2014·某某，6)设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100cm.[答案] 24[解析] 本题考查频率分布直方图．由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm 的株数为(0.015＋0.025)×10×60＝24.频率分布直方图中的纵坐标为频率组距，此处经常误认为纵坐标是频率．16．下图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________.0 8 9 10 3 5(注：方差s 2＝1n[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]，其中x －为x 1，x 2，…，x n 的平均数)[答案] 6.8[解析] 本题考查茎叶图、方差的概念． 由茎叶图知x －＝8＋9＋10＋13＋155＝11，∴s 2＝15[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝6.8.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在同等条件下，对30辆同一型号的汽车进行耗油1升所行走路程的试验，得到如下数据(单位：km)：14．1 12.3 13.7 14.0 12.8 12.9 13.1 13．6 14.4 13.8 12.6 13.8 12.6 13.2 13．3 14.2 13.9 12.7 13.0 13.2 13.5 13．6 13.4 13.6 12.1 12.5 13.1 13.5 13．2 13.4以前两位数为茎画出上面数据的茎叶图(只有单侧有数据)，并找出中位数．[解析]茎叶图如图所示.1213566789130112223445566 6 788914012 4中位数为13.35.18．(本小题满分12分)某高级中学共有学生3 000名，各年级男、女人数如下表：高一年级高二年级高三年级女生523x y男生487490z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.17.(1)问高二年级有多少名女生？(2)现对各年级用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，问应在高三年级抽取多少名学生？[解析](1)由题设可知x3000＝0.17，所以x＝510.(2)高三年级人数为y＋z＝3000－(523＋487＋490＋510)＝990，现用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，应在高三年级抽取的人数为：3003000×990＝99名．答：(1)高二年级有510名女生；(2)在高三年级抽取99名学生．19．(本小题满分12分)为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量(单位：千克)，并将所得数据分组，画出频率分布直方图(如图所示)．分组频率[1.00,1.05)(1)(2)估计数据落在[1.15，1.30)中的概率为多少；(3)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数．[解析] (1)根据频率分布直方图可知，频率＝组距×频率组距故可得下表：(2)0.30＋0.15＋0.02＝中的概率约为0.47. (3)120×1006＝2000.所以水库中鱼的总条数约为2000条．20．(本小题满分12分)某农场为了从三种不同的西红柿品种中选出高产稳定的西红柿品种，分别在5块试验田上试种，每块试验田均为0.5公顷，产量情况如下表：问哪一种西红柿既高产又稳定？[解析] 因为x 甲＝15(21.5＋20.4＋22.0＋21.2＋19.9)＝21.0(kg)，x 乙＝15(21.3＋18.9＋18.9＋21.4＋19.8)＝20.06(kg)， x 丙＝15(17.8＋23.3＋21.4＋19.9＋20.9)＝20.66(kg)，所以s 甲＝15[21.5－21.02＋…＋19.9－21.02]≈0.756(kg)；s 乙＝15[21.3－21.062＋…＋19.8－21.062]≈1.104(kg)；s 丙＝15[17.8－20.662＋…＋20.9－20.662]≈1.807(kg)．由于x 甲>x 丙>x 乙，s 甲<s 乙<s 丙，所以甲种西红柿既高产又稳定．21．(本小题满分12分)某某统计局就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1 000,1 500))．(1)求居民月收入在[3 000,3 500)的频率； (2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中用分层抽样的方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2 500,3 000)的这段应抽多少人？[解析] (1)月收入在[3 000,3 500)的频率为0.000 3×(3 500－3 000)＝0.15. (2)∵0.000 2×(1 500－1 000)＝0.1， 0．000 4×(2 000－1 500)＝0.2， 0．000 5×(2 500－2 000)＝0.25，0．1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5.∴样本数据的中位数为2 000＋0.5－0.1＋0.20.000 5＝2 000＋400＝2 400(元)．(3)居民月收入在[2 500,3 000)的频率为0.000 5×(3 000－2 500)＝0.25， 所以10 000人中月收入在[2 500,3 000)的人数为0.25×10 000＝2 500(人)， 再从10 000人中分层抽样方法抽出100人，则月收入在[2 500,3 000)的这段应抽取100×2 50010 000＝25(人)．22.(本小题满分12分)(2015·新课标Ⅰ理，19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中w i ＝x i ，w ＝，(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题：(①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为word 11 / 11 β^＝，α^＝v －β^u .[解析] (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适合作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于d ^＝∑i ＝18w i －wy i －y ∑i ＝18 w i －w2＝108.81.6＝68， c ^＝y －d ^w ＝563－68×6.8＝100.6.∴y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ，∴y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x .(3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ^＝100.6＋6849＝576.6，年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32.②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值z ^＝0.2(100.6＋68x )－x＝－x ＋13.6x ＋20.12，∴当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值． 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．。