三角形三条边的关系(融合版)

三角形三条边的关系是在学生初步认识三角形的基础上进行教学的，“任意两边长度之和大于第三边”是三角形边的重要性质，是判断任意三条线段能否组成三角形的依据。

熟练灵活地运用三角形三边关系有助于学生理解和掌握三角形的特征，提高学生全面思考问题的能力。

对于小学生来说，三角形三边关系不难理解，却不容易被发现，需要学生带着问题，在活动操作中将数和形有机融合，借形顿悟，以数释形，才能抓住图形的本质，增进对三角形三边关系的本质理解。

下面，我们以苏教版四年级下册“三角形三边关系”的教学为例，谈谈如何在图形教学中做到数形结合，提高学生对图形本质的理解力。

一、动手操作，以形助数，促进理解实际教学中如何将一目了然的常识与数学定理有机结合，是许多一线教师困惑的地方。

“两点之间线段最短”与“三角形任意两边长度和大于第三边”既有联系又有区别，虽然这两个结论学生接受起来容易，但他们往往难以洞悉结论背后隐藏的推理思考。

学生需要经历“动手实验—观察分析—猜想验证”等过程才能明白。

我们认为，在这个过程中教师要还原数学的思考过程，巧妙地化数为形、以形助数，将枯燥的推理形象化、直观化。

从学生动手操作，收集实验数据进行探究开始，教师可设计如下表格，引导学生操作实验（如图1）。

教学文/宋丽容蔡铭墀注重数形结合增进图形理解———以“三角形三边关系”的教学为例[摘要]数形结合,可以帮助学生认识事物的特征,更快地抓住数学本质,促进学生理解,让学习真实发生。

在“三角形三边关系”的教学中,教师要引导学生动手操作,借助图形直观化数据,促进其理解;巧妙设计问题,用数据刻画图形,实现有效理解;引导学生对比发现,数形交替,使其深度理解。

[关键词]三角形;三边关系;数形结合;图形理解[作者简介]宋丽容,福鼎市实验小学一级教师;蔡铭墀,福鼎市实验小学副校长,高级教师图1第1根小棒第2根小棒()cm ()cm ()cm ()cm ()cm ()cm ()cm ()cm 能否围成三角形(能的打“√”,不能的打“×”)第3根小棒()cm ()cm ()cm ()cm我会探索:从4根小棒中任意挑选3根小棒,能围成三角形吗?8cm4cm 5cm2cm44教学教师让学生判断“能否围成三角形”，并观察表格说说有什么发现，明确指导学生需要做什么、该怎么做。

“三边关系”指的是三角形的三边关系，涉及到三角形的边与边的长度之间的关系。

根据三角形的基本性质，我们知道三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

这是初中数学中关于三角形的一个重要知识点。

如果你在数学题中遇到有关三边关系的题目，你需要利用上述的性质来解题。

例如，给定三角形的三条边的长度，你需要判断这个三角形是否可能存在，或者根据三角形的两边求第三边的长度等。

如果你可以提供具体的题目或问题，我会更具体地为你解答。

三角形的边角关系定理三角形的边角关系定理是指在一个三角形中，三条边与三个内角之间存在一定的关系。

这个定理可以帮助我们解决与三角形相关的各种问题，例如求解缺失的边长或角度，判断三角形的类型等等。

在研究三角形的边角关系定理之前，我们首先需要了解一些基本的概念。

一个三角形由三条边和三个内角组成。

三角形的内角和为180度，即三个内角的度数之和为180度。

首先，我们来介绍三角形的最基本的边角关系定理——三角形内角和定理。

在任意三角形中，三个角的度数之和等于180度。

也就是说，对于一个三角形ABC来说，∠A + ∠B + ∠C = 180度。

在三角形的边角关系定理中，我们通常还会用到正弦定理和余弦定理。

正弦定理是指在任意三角形ABC中，三边的比值与其对应的角度正弦值的比值是相等的。

即对于一个三角形ABC来说，可以得到以下公式：a/sin∠A = b/sin∠B = c/sin∠C其中，a、b、c分别为三角形ABC的三条边的长度，∠A、∠B、∠C为三角形ABC的三个内角的度数。

余弦定理是指在任意三角形ABC中，任意两边的平方和减去它们的连乘积，再减去对应的两倍边长与夹角余弦值的乘积，等于第三边的平方。

即对于一个三角形ABC来说，可以得到以下公式：c² = a² + b² - 2abcos∠C这个公式在解决三角形相关问题时非常有用，可以帮助我们求解缺失的边长或角度。

三角形的边角关系定理还包括余弦定理的两个变形形式——正弦定理和弦定理。

正弦定理是余弦定理的一个变形形式，利用正弦定理可以帮助我们求解缺失的边长或角度。

正弦定理可以表示为：sin∠A/a = sin∠B/b = sin∠C/c弦定理是余弦定理的另一个变形形式，利用弦定理可以帮助我们求解缺失的边长或角度。

弦定理可以表示为：c/sin∠C = 2R （R为三角形的外接圆半径）在解决三角形问题时，我们可以根据具体情况选择使用三角形的边角关系定理中的哪个公式，以便更加准确地计算出所需要的结果。

《三角形三边关系》教学设计一、教学目标1、让学生经历探究、发现规律的过程，理解并掌握三角形三边的关系，能运用所学知识解决生活中的实际问题，提高应用能力。

2、引导学生经历猜想、验证、总结的过程，积累数学活动经验。

3、在学习过程中，建立知识与生活的联系，激发学习兴趣，培养学生动手操作和探究问题的策略意识，发展学生思维。

二、课前口算现在我们开始今天的口算，准备好的同学请你以端正的坐姿告诉老师，看来同学们口算进步真不小，相信在不久的将来你们都能成为小神算子！有没有信心？那同学们我们开始上课好吗？三、教学活动（一）激趣导入今天王老师给同学们带来了一个神秘的朋友，谁来大胆的猜一猜？你观察的真仔细，那同学们他到底猜的对不对我们需要验证一下。

同学们对三角形有了一定的了解，那什么是三角形呢？是不是有三条线段一定能围成三角形呢？谁来猜一猜？（有的同学说能有的同学说不能）谁来试着围一围？那现在王老师再问你：有三条线段一定能围成三角形吗？能不能围成三角形跟什么有关呢？（三边）这节课我们一起来探究三角形的三边关系（二）活动探究刚才王老师看到同学们都想亲自试着围一围三角形，那现在就给你这个机会。

请看活动要求：1、以小组为单位，任意选取3根小棒，试着围三角形。

2、把每次使用的小棒的长度及实验结果写在学习单的表格中。

3、把任意两条边的长度加起来，再与第三条边进行比较（用式子表示）4、观察并思考：三边在什么情况下，能围成三角形，什么情况下不能围成三角形。

学生汇报1、两边长度之和大于第三边时能围成三角形学生完善2、任意两边长度之和大于第三边时能围成三角形结论到底是不是请同学们验证任意画1个三角形，测量3条边的长度（以毫米单位）并算一算看看是不是我们的结论是不是仍然成立。

通过验证我们得出：三角形的任意两边长度之和大于第三边（四）知识提升现在给你三根小棒你能判断它是不是能围成三角形了吗？有没有更简单的方法？（两条短边长度之和大于第三边就一定能围成）现在你能快速判断吗？看着我们的课堂这么热闹，姚明也想参与进来：姚明腿长1.28米，有人说他一步能走三米，你相信吗？说说你的依据。

三角形对边斜边邻边的位置关系
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

即：有一直角三角形，它的两个直角边的长度分别为a、b,它的斜边长为c，则a、b、c三者存在以下关系：a2+b2=c2。

（a2表示a的平方）
等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：具有稳定性、内角和为°。

两直角边相等，两锐角为45°，斜边上中线、角平分线、垂线三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为此三角形外接圆的半径r。

这个定理又叫作勾股定理，勾股定理就是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等同于斜边的平方。

中国古代表示直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为搓，另一短直角边为股，斜边为弦，所以表示这个定理为勾股定理，也有人称商低定理。

公元前十一世纪，数学家商高（西周初年人）就提出“勾三、股四、弦五”。

编写于公元前一世纪以前的《周髀算经》中记录着商高与周公的一段对话。

商高说：“……故折矩，勾广三，股修四，经隅五。

”意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5。

以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，根据该典故称勾股定理为商高定理。

公元三世纪，三国时代的赵爽对《周髀算是经》内的勾股定理做出了详尽注解，记录于《九章算术》中“勾股各自乘坐，并而开方除之，即为弦”，赵爽编定了一幅“勾股圆方图”，用数形融合获得方法，得出了勾股定理的详尽证明。

后刘徽在刘徽注中亦证明了勾股定理。

在中国清朝末年，数学家华蘅芳提出了二十多种对于勾股定理证法。