三角形的三条边的关系

三角形的相关知识点一直都是考试的重点知识，那么三角形的三边关系指的是什么？打击一起来看看吧。

三角形三边关系公式
三角形是由不在同一直线上的三条线段，首尾顺次相接所组成的封闭图形。

在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

若两条较短边的和小于最长边，则不能构成三角形。

三角形边长公式：c²=a²+b²。

已知三角形两条直角边的长度，可按公式
c²=a²+b²计算斜边。

三角形三边关系例题
1、若等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为_______；若等腰三角形的两边长分别是3和4，则它的周长为_____。

2、长为10、7、5、3的四跟木条，选其中三根组成三角形有___种选法。

3、已知线段3cm，5cm，xcm，x为偶数，以3，5，x为边能组成______个三角形。

4、在△ABC中，下列a与bsinA的关系正确的是()
A．a>bsinA
B．a≥bsinA
C．a<bsinA
D．a≤bsinA
5、△ABC中，a＝5，b＝3，sinB＝22，则符合条件的三角形有()
A．1个
B．2个
C．3个
D．0个
以上就是三角形三边关系的相关知识以及一些例题，希望对大家有所帮助。

三角形三边关系三角形是几何图形中最基本也是最重要的图形之一。

三角形的三边关系是三角形性质的基石，掌握好这一基本概念对于理解其他几何概念非常重要。

本文将详细介绍三角形三边关系及其应用。

一、三角形三边关系的定义三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接所组成的图形。

根据三角形的定义，我们可以知道三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

这种性质通常被称为“三角形三边关系”。

二、三角形三边关系的证明证明三角形三边关系有多种方法，其中最经典的是利用“反证法”。

假设三角形三边a、b、c满足a<b+c，我们来证明这与假设矛盾。

假设反面成立，即a≥b+c，那么b+c≥a+c，即b≥a+c-c=a，这与题目中a>b矛盾。

因此，我们的假设是错误的，所以三角形三边关系成立。

三、三角形三边关系的几何应用三角形三边关系在几何学中有着广泛的应用。

例如，它可以用来判断三条线段能否组成一个三角形，或者比较两条线段的长度大小。

它还可以用于解决一些与三角形有关的实际问题，如测量不可直接测量的距离或高度等。

四、总结三角形三边关系是几何学中的一个基本概念，它反映了三角形中任意两边之和与第三边的关系。

这一性质不仅在几何学中有着广泛的应用，而且在解决实际问题时也具有重要意义。

掌握好三角形三边关系对于理解其他几何概念也是非常有帮助的。

三角形三边的关系在几何学中，三角形是一种基本的图形，其三边之间的关系是构成三角形的核心要素。

本文将探讨三角形三边的关系，以及其在实际生活中的应用。

一、三角形三边的关系三角形三边的关系可以用以下三个基本定理来描述：1、三角形两边之和大于第三边。

这意味着，任意两边之和必须大于第三边，否则不能构成三角形。

2、三角形两边之差小于第三边。

这意味着，任意两边之差必须小于第三边，否则也不能构成三角形。

3、三角形的任意两边之和大于第三边，同时任意两边之差小于第三边。

这个定理实际上是前两个定理的组合。

直角三角形三条边的关系公式
直角三角形是指其中一个角是90度的三角形。

在直角三角形中，三条边之间有着重要的关系，可以用数学公式来表示。

1. 勾股定理：勾股定理是直角三角形中最基本的关系公式，它表示直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

即a²+b²=c²，其中a和b分别表示直角三角形的两条直角边，c表示斜边。

2. 正弦定理：正弦定理表示直角三角形中，任意一条边的长度与其对应的角度之间的关系。

即a/sinA=b/sinB=c/sinC，其中a、b、c分别表示直角三角形的三条边，A、B、C分别表示对应的角度。

3. 余弦定理：余弦定理表示直角三角形中，任意一条边的长度与其对应的角度之间的关系。

即a²=b²+c²-2bc*cosA，b²=a²+c²-2ac*cosB，c²=a²+b²-2ab*cosC，其中a、b、c分别表示直角三角形的三条边，A、B、C分别表示对应的角度。

这些公式的应用可以帮助我们解决直角三角形的各种问题，如求解三角形的边长、角度大小等等。

三边关系定理三边关系定理是指三角形中，三条边与相关角之间的关系。

下面是三个常见的三边关系定理：1.三角不等式定理（Triangle Inequality Theorem）：对于三角形的任意两边之和要大于第三边的长度。

换句话说，对于三角形的三边a、b、c，满足以下不等式：a + b > c，a + c > b，b + c > a。

如果不等式中的“>”换成“≥”，则表示三角形是退化的（例如，三边长度相等的直线）。

2.三角形两边之和大于第三边（Sum of Two Sides of a TriangleTheorem）：对于三角形的两边之和大于第三边的长度。

换句话说，对于三角形的三边a、b、c，满足以下不等式：a+ b ≥ c，a + c ≥ b，b + c ≥ a。

这个定理是三角不等式定理的推广。

3.应用于边长的三边关系（Side-Length Relations）：假设a、b、c分别为三角形的三边，α、β、γ分别为与边a、b、c对应的角，则有以下关系：o正弦定理（Sine Law）：a/sinα = b/sinβ = c/sinγ。

这个定理表明三角形的三边与其对应的角的正弦值成比例关系。

o余弦定理（Cosine Law）：c² = a² + b² - 2abcosγ。

这个定理可以用来计算三角形的某个角度的余弦、某个边的长度，或者两个边和相应角的关系。

o正弦定理的推论（Sine Law Consequence）：Sinα/a = Sinβ/b = Sinγ/c。

这个定理是以上正弦定理的推论，可以用来计算三角形的角的正弦值。

这些三边关系定理在三角形的几何性质和计算中都有重要的应用，使我们能够了解和计算各边和角之间的关系。

三角形三边关系的考点问题三角形的三条边之间主要有这样的关系：三角形的两边的和大于第三边，三角形的两边的差小于第三边.利用这两个关系可以解决许多典型的几何题目.现举例说明.一、确定三角形某一边的取值范围问题根据三角形三边之间关系定理和推论可得结论：三角形的两边为a、b，那么第三边c 满足|a－b|＜c＜a＋b.例1 用三条绳子打结成三角形(不考虑结头长)，其中两条长分别是3m和7m，问第三条绳子的长有什么限制.简析设第三条绳子的长为x m，那么7－3＜x＜7＋3，即4＜x＜10.故第三条绳子的长应大于4m且小于10m。

二、判定三条线段能否组成三角形问题根据三角形的三边关系，只需判断最小的两边之和是否大于第三边即可.例2〔1〕以下长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是〔〕A，5cm、7cm、10cm B，7cm、10cm、13cmC，5cm、7cm、13cm D，5cm、10cm、13cm〔2〕〔2004年哈尔滨市中考试题〕以以下各组线段为边，能组成三角形的是〔〕A，1cm,2cm,4cm B，8cm,6cm,4cm C，12cm,5cm,6cm D，2cm,3cm,6cm 简析由三角形的三边关系可知：(1)5+7＜13，故应选C；(2)6+4＞8，故应选B.例3 有以下长度的三条线段能否组成三角形？〔1〕a－3，a，3(其中a＞3)；〔2〕a，a＋4，a＋6(其中a＞0)；〔3〕a＋1，a＋1，2a(其中a＞0).简析〔1〕因为(a－3)＋3=a，所以以线段a－3，a，3为边的三条线段不能组成三角形.〔2〕因为(a＋6)－a =6，而6与a＋4的大小关系不能确定，所以以线段a，a＋4，a＋6为边的三条线段不一定能组成三角形.〔3〕因为(a＋1)＋(a＋1)=2a＋2＞2，(a＋1)＋2a=3a＋1＞(a＋1)，所以以线段a ＋1，a＋1，2a为边的三条线段一定能组成三角形.三、求三角形某一边的长度问题此类问题往往有陷阱，即在根据题设条件求得结论时，其中可能有一个答案是错误的，需要我们去鉴别，而鉴别的依据就是这里的定理及推论.例4 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两局部，求这个三角形的腰长.简析如图1，设腰AB=x cm，底BC=y cm，D为AC边的中点.根据题意，得x+12x＝12，且y+12x＝21；或x+12x＝21，且y+12x＝12.解得x＝8，y＝17；或x＝14，y＝5.显然当x=8，y=17时，8＋8＜17不符合定理，应舍去.故此三角形的腰长是14cm.例5一个三角形的两边分别是2厘米和9厘米，第三边长是一个奇数，那么第三边长为______.简析设第三边长为x厘米，因为9-2<x<9+2，即7<x<11，而x是奇数，所以x=9.故应填上9厘米.四、 求三角形的周长问题此类求三角形的周长问题和求三角形某一边的长度问题一样，也会设计陷阱，所以也应防止答案的错误.例6 等腰三角形的一边等于5,另一边等于6,那么它的周长等于_______. 简析 等腰三角形的一边等于5,另一边等于6，并没有指明是腰还是底，故应由三角形的三边关系进行分类讨论，当5是腰时，那么底是6，即周长等于16；当6是腰时，那么底是5，即周长等于17.故这个等腰三角形的周长是16或17.五、判断三角形的形状问题判断三角形的形状主要是根据条件寻找边之间的关系.例7 a 、b 、c 是三角形的三边，且满足a 2+b 2+c 2－ab －bc －ca =0.试判断三角形的形状. 简析 因为a 2+b 2+c 2－ab －bc －ca =0，那么有2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca =0.于是有〔a－b 〕2+〔ｂ－ｃ〕2+〔ｃ－a 〕2＝0.此时有非负数的性质知〔a －b 〕2=0；〔ｂ－ｃ〕2=0；〔ｃ－a 〕2＝0，即a －b =0；ｂ－ｃ=0；ｃ－a =0.故a =b =c .所以此三角形是等边三角形.六、化简代数式问题这里主要是运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，从而确定代数式的符号. 例8 三角形三边长为a 、b 、c ，且|a ＋b －c|＋|a －b －c|=10，求b 的值.简析 因a ＋b ＞c ，故a ＋b －c ＞0`因a －b ＜c ，故a －b －c ＜0.所以|a ＋b －c|＋|a －b －c |= a ＋b －c －(a －b －c )=2b =10.故b =5.七、确定组成三角形的个数问题要确定三角形的个数只需根据题意，运用三角形三边关系逐一验证，做到不漏不重. 例9 现有长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为〔 〕A.1B.2C.3D.4简析 由三角形的三边关系知：假设以长度分别为2cm 、3cm 、4cm ，那么可以组成三角形；假设以长度分别为3cm 、4cm 、5cm ，那么可以组成三角形；假设以长度分别为2cm 、3cm 、5cm ，那么不可以组成三角形；假设以长度分别为2cm 、4cm 、5cm ，那么也可以组成三角形.即分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为3，故应选C .例10 求各边长互不相等且都是整数、周长为24的三角形共有多少个？简析 设较大边长为a ，另两边长为b 、c .因为a ＜b ＋c ，故2a ＜a ＋b ＋c ，a ＜21(a ＋b ＋c ).又a ＋a ＞b ＋c ，即2a ＞b ＋c .所以3a ＞a ＋b ＋c ，a ＞31(a ＋b ＋c ).所以，31(a ＋b ＋c )＜aB C 图2 图1 D CB A＜21(a ＋b ＋c ).31×24＜a ＜21×24.所以8＜a ＜12.即a 应为9，10，11.由三角形三边关系定理和推论讨论知：⎪⎩⎪⎨⎧===,7,8,9c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,6,8,10c b a⎪⎩⎪⎨⎧===,5,9,10c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,6,7,11c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,5,8,11c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,4,9,11c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===.3,10,11c b a由此知符合条件的三角形一共有7个.八、说明线段的不等问题在平面几何问题中，线段之间的不等关系的说明，很多情况下必须借助三角形三边之间的关系定理及推论.有时可直接加以运用，有时那么需要添加辅助线，创造条件才能运用.例11 P 是△ABC 内任意一点，试说明AB ＋BC ＋CA ＞P A ＋PB ＋PC ＞21(AB ＋BC ＋CA )的理由.简析 如图2，延长BP 交AC 于D 点.在△ABD 中，可证明AB ＋AD ＞BP ＋PD .在△PDC 中，可证明PD ＋DC ＞PC .两式相加，可得AB ＋AC ＞BP ＋PC ，同理可得AB ＋BC ＞P A ＋PC ，BC ＋CA ＞P A ＋PB .把三式相加后除以2，得AB ＋BC ＋CA＞P A ＋PB ＋PC .在△P AB 中，P A ＋PB ＞AB ；在△PBC 中，PB ＋PC ＞BC ；在△P AC 中，P A ＋PC ＞CA .上面三式相加后除以2，得P A ＋PB ＋PC ＞21(AB ＋BC ＋CA )，综上所述：AB ＋BC ＋CA ＞P A ＋PB ＋PC ＞21(AB ＋BC ＋CA ).课堂练习1. 假设三角形的两边长分别为6、7，那么第三边长a 的取值范围是__________。

三角形三边关系申思
三角形的三边关系是指三角形三条边之间的关系。

在任意三角
形中，三条边的长度之间存在着一定的关系，这些关系可以通过几
何定理和三角函数来描述。

首先，我们来谈谈三角形的三条边之间的大小关系。

对于任意
三角形，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

这
个性质被称为三角形的边长关系定理，也被称为三角不等式定理。

这个定理的意义在于，如果我们知道了三角形的两条边的长度，就
可以根据这个定理来判断第三条边的取值范围，从而避免构造不成
三角形的情况。

其次，我们可以通过三角函数来描述三角形的三边关系。

在三
角形中，我们通常会用正弦、余弦和正切等三角函数来描述角和边
的关系。

例如，正弦定理指出，在任意三角形ABC中，三条边a、b、c和对应的角A、B、C之间满足以下关系，
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，其中R为三角形外接圆的半径。

这个定
理可以用来求解三角形的边长或角度，特别适用于不等边三角形的
计算。

此外，还有余弦定理和正弦定理等可以描述三角形三边关系的
定理。

余弦定理可以用来计算三角形的边长，而正弦定理则可以用
来计算三角形的面积等。

总的来说，三角形的三边关系涉及到了三角形的边长大小关系、三角函数和三角形的几何性质。

通过这些关系，我们可以更好地理
解和计算三角形的各种性质，从而更好地解决与三角形相关的问题。

三角形三边关系（1）三角形三边关系定理及推论定理：三角形两边的和大于第三边。

（2）表达式：△ABC 中，设a ＞b ＞c 则b-c ＜a ＜b+ca-c ＜b ＜a+ca-b ＜c ＜a+b （3）应用1、给出三条线段的长度，判断它们能否构成三角形。

方法（设a 、b 、c 为三边的长）①若a+b ＞c ，a+c ＞b ，b+c ＞a 都成立，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形； ②若c 为最长边且a+b ＞c ，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形；③若c 为最短边且c ＞|a-b|，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形。

2、已知三角形两边长为a 、b ，求第三边x 的范围：|a-b|＜x ＜a+b 。

3、已知三角形两边长为a 、b(a ＞b)，求周长L 的范围：2a ＜L ＜2(a+b)。

4、证明线段之间的不等关系。

复习巩固，引入新课2、已知：如图△ABC 中AG 是BC 中线，AB=5cm AC=3cm ，则△ABG 和△ACG 的周长的差为多少？△ABG 和△ACG的面积有何关系？3、三角形的角平分线、中线、高线都是（ ）A 、直线B 、线段C 、射线D 、以上都不对4、三角形三条高的交点一定在（ ）A 、三角形的内部B 、三角形的外部C 、顶点上D 、以上三种情况都有可能5、直角三角形中高线的条数是（ ）A 、3B 、2C 、1D 、06、判断：（1） 有理数可分为正数和负数。

（2） 有理数可分为正有理数、正分数、负有理数和负分数。

BE FB C7、现有10cm 的线段三条，15cm 的线段一条，20cm 的线段一条，将它们任意组合能够得到几种不同形状的三角形？三角形三边的关系一、三角形按边分类（见同步辅导二）练习１、两种分类方法是否准确：不等边三角形 不等三角形三角形 三角形 等腰三角形等腰三角形 等边三角形2、如图，从家A 上学时要走近路到学校B ，你会选哪条路线？ ３、以下各组里的三条线段组成什么形状的三角形？（1）3cm 4cm 6cm （2）4cm 4cm 6cm（3）7cm 7cm 7cm （4）3cm 3cm ７ｃｍ４、求复习巩固，引入新课中的练习４中各三角形的任意两边的和，比较与第三边的关系。

直角三角形的三边关系与计算直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。

在直角三角形中，三条边之间存在着一定的关系，可以通过已知条件计算出未知边的长度。

本文将详细介绍直角三角形的三边关系与常见的计算方法。

1. 三边关系在直角三角形中，三条边分别称为斜边、邻边和对边。

根据三边关系，我们可以得出以下结论：1.1 斜边与邻边的关系斜边是直角三角形中最长的一条边，通常用字母c表示。

邻边是直角三角形中与直角相邻的边，通常用字母a表示。

根据勾股定理，斜边的长度c可以通过邻边的长度a和对边的长度b计算得出，即c^2 = a^2 + b^2。

1.2 对边与邻边的关系对边是直角三角形中与直角相对的边，通常用字母b表示。

根据三角函数定义，正弦函数（sin）可以用对边与斜边的比值来表示，即sin(A) = b / c，其中A为直角对边所对的角。

1.3 对边与斜边的关系根据三角函数定义，正切函数（tan）可以用对边与邻边的比值来表示，即tan(A) = b / a。

2. 计算方法在已知直角三角形的一些条件下，可以使用上述三边关系来计算未知边的长度。

2.1 已知斜边和一边如果已知斜边c的长度和邻边a（或对边b）的长度，可以使用勾股定理来计算未知的边。

例如，已知斜边c = 5，邻边a = 3，可以使用勾股定理计算对边b 的长度：b = √(c^2 - a^2) = √(5^2 - 3^2) = √(25 - 9) = √16 = 42.2 已知对边和邻边如果已知对边b和邻边a的长度，可以使用正切函数来计算斜边c 的长度。

例如，已知对边b = 4，邻边a = 3，可以使用正切函数计算斜边c 的长度：tan(A) = b / ac = √(a^2 + b^2) = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 52.3 已知斜边和对边如果已知斜边c和对边b的长度，可以使用正弦函数来计算邻边a 的长度。

普通三角形三边关系三角形是几何学中的基本图形之一，它由三条边和三个角组成。

在普通三角形中，三条边的关系是其中一个重要的性质，它们之间存在着一定的关系。

我们来讨论三边之间的关系。

对于一个普通三角形ABC，它的三条边分别为a、b、c。

根据三角形的定义，任意两边之和大于第三边，即a+b>c，a+c>b，b+c>a。

这是因为，如果两边之和等于第三边，那么这三条边就不能构成一个三角形，而是一条直线。

如果两边之和小于第三边，那么这三条边也无法连接起来形成一个封闭图形。

所以，三边之间的关系可以表达为a+b>c，a+c>b，b+c>a。

接下来，我们来探讨三边的长度关系。

在普通三角形中，三边的长度不一定相等，但它们之间有一定的大小关系。

根据三角形三边关系定理，如果一个三角形的两条边的长度之和大于第三条边的长度，那么这两条边所对应的两个角的夹角就是锐角。

如果两条边的长度之和等于第三条边的长度，那么这两条边所对应的两个角的夹角就是直角。

如果两条边的长度之和小于第三条边的长度，那么这两条边所对应的两个角的夹角就是钝角。

三边之间还存在着一种关系，即三边的长度之间的比值关系。

在普通三角形中，三边的长度之间满足一定的比例关系。

这个比例关系可以通过正弦定理、余弦定理和正切定理来描述，但在本文中我们不涉及公式。

简单来说，如果已知三角形的一个角和两边的长度，那么可以通过正弦、余弦或正切函数来计算出其余两边的长度。

这些函数可以帮助我们解决一些实际问题，比如测量无法直接测量的距离。

我们来总结一下普通三角形三边关系的要点。

在普通三角形中，三边之间满足a+b>c，a+c>b，b+c>a的关系。

三边的长度之间也存在着一定的大小关系，可以分为锐角、直角和钝角三种情况。

此外，三边的长度之间还满足一定的比例关系，可以通过正弦、余弦或正切函数来计算出未知边的长度。

这些关系和定理在解决实际问题时非常有用，可以帮助我们更好地理解和应用三角形的性质。

认识三角形的三边关系学习三角形的三边关系和判定方法认识三角形的三边关系，学习三角形的三边关系和判定方法三角形是初中数学中重要的基础知识，掌握三角形的相关性质和关系对于解题和证明非常重要。

其中，三边关系是三角形的基本性质之一，能够帮助我们判定和描述三角形的形状和大小。

本文将介绍三角形的三边关系以及相应的判定方法。

一、三角形的三边关系三角形的三边关系主要包括三边长关系和三边之间的角关系。

1. 三边长关系在任意一个三角形ABC中，三边的关系可以通过三边的长短来描述。

设三角形的三边分别为a、b、c，其中a和b为两个较短的边，c为最长的边。

根据三边关系的定义，有以下结论：（1）任意两边之和大于第三边：a + b > c，a + c > b，b + c > a。

这是三角形存在的必要条件，通过这个条件可以帮助我们判定一组边长是否能够组成三角形。

（2）任意两边之差小于第三边：|a - b| < c，|a - c| < b，|b - c| < a。

这个条件通常用于判断一个三边长是否构成某种特殊的三角形，比如等边三角形、等腰三角形等。

2. 三边之间的角关系在一个三角形ABC中，三角形的三个内角之间也存在一定的关系。

（1）三角形内角和：在三角形ABC中，三个内角的和为180°，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。

（2）三角形内角之间的大小关系：任意两个角之和大于第三个角，即∠A + ∠B > ∠C，∠A + ∠C > ∠B，∠B + ∠C > ∠A。

二、三边关系的判定方法通过三边关系可以帮助我们判定给定的边长是否构成三角形，并且可以判断三角形的特殊性质。

1. 判定三边是否能够构成三角形根据三边关系的第一个条件，可以得到以下判定方法：给定三个边长a、b、c，如果满足a + b > c，a + c > b，b + c > a，那么这三条边长可以构成一个三角形；否则，无法构成三角形。

直角三角形三边关系直角三角形三边关系：任意两边长度之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

①三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

（三角形两边之和大于第三边中的两边是指两条较小的边，两边之差小于第三边的两边是指两条较大的边。

）②在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。

直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。

*勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

④三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点。

⑤三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。

⑥等底同高的三角形面积相等。

⑦底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。

⑧三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。

⑨等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高、底边上的中线在一条直线上（三线合一）。

判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。

判定2：若a^2+b^2=c^2，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形（勾股定理的逆定理）。

判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。

判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。

判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。

那么这个三角形为直角三角形。

判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。

参考直角三角形斜边中线定理判定7：一个三角形30°角所对的边等于某一邻边的一半，则这个三角形为直角三角形。

感谢您的阅读，祝您生活愉快。

三角形的三边关系教学目标1.了解三角形的定义及分类。

2.理解三角形中三边之间的关系。

3.能够利用三边关系求出三角形中未知边或角的大小。

教学内容一、三角形的定义及分类1.1 三角形的定义三角形是由三条线段组成的图形，其任意两线段相交于一点，形成三个内角和三条边。

1.2 三角形的分类按边长分： - 等边三角形：三边相等。

- 等腰三角形：两边相等。

- 普通三角形：三边均不相等。

按角度分： - 直角三角形：其中一个内角为直角（90度）。

- 锐角三角形：三个内角均小于90度。

- 钝角三角形：其中一个内角大于90度。

二、三角形中三边之间的关系2.1 三边关系在任意一个三角形中，任意两边之和大于第三边。

2.2 三角形中的角三角形中的三个内角和为180度。

2.3 相似三角形两个三角形如果对应的角相等，则它们为相似三角形。

相似三角形的对应边比例相等。

三、利用三边关系求未知边或角的大小3.1 应用三边关系求边长利用三边关系，可以求出三角形中任意一边的长度。

假设三角形的三边分别为a、b、c，则可以得到以下公式：若a和b已知，则c = a + b。

若a和c已知，则b = c - a。

若b和c已知，则a = c - b。

3.2 应用三角形的角度关系求未知角度三角形中的三个内角和为180度，可以利用这个性质求出三角形中任意一个角的大小。

对于锐角三角形，可以利用正弦、余弦、正切函数来求解。

例如，对于三角形ABC，假设已知边长a、b和角C（已知），可以通过以下公式求解：sin(C) = a / c cos(C) = b / c tan(C) = a / b其中，c为三角形中第三条边的长度。

对于钝角三角形，利用余弦和正弦函数来求解。

以三角形ABC为例，假设已知边长a、b和角C，可以通过以下公式求解：cos(C) = -a / c sin(C) = b / c教学步骤一、引入三角形的定义和分类首先介绍三角形的基本概念，包括三边、三角和内角和为180度等。

三角形三边关系三角形内角和定理三角形三边关系与三角形内角和定理三角形是几何学中的基本图形，由三条边和三个顶点构成。

在三角形中，三边之间有一系列内在的关系，而三角形的内角和也有一个重要的定理与之对应。

本文将详细介绍三角形三边关系和三角形内角和定理。

一、三角形三边关系三角形的三边之间存在着一系列特殊的关系，下面将介绍三个重要的三边关系。

1. 三边长关系在任意三角形中，任意两条边之和大于第三条边的长度。

即对于三角形的边长a、b、c，有以下关系：a +b > ca + c > bb +c > a这个关系被称为三边长关系，它是构成三角形的必要条件。

2. 三边长比较关系当我们知道三角形的两条边长和它们的夹角时，可以通过角的余弦定理来比较三条边的长度。

角的余弦定理表达式如下：c² = a² + b² - 2ab*cos(C)其中，a、b、c分别表示三角形的边长，C表示夹角的度数。

3. 直角三角形的特殊边关系直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。

在直角三角形中，三边之间有一种特殊的关系，即勾股定理。

勾股定理表达式如下：c² = a² + b²其中，a、b分别表示直角三角形的两条直角边，c表示斜边的长度。

二、三角形内角和定理三角形的内角和定理是指三角形内角的度数和为180度。

即在任意三角形ABC中，有以下关系：∠A + ∠B + ∠C = 180°这个定理是三角形的基本性质之一，有助于我们在解决三角形相关问题时进行推理和计算。

三、应用举例三角形的三边关系和内角和定理在几何学中有着广泛的应用。

下面将通过几个具体的例子来展示其应用。

例1：已知三角形的两边长分别为3cm和4cm，夹角为60度，求第三边的长度。

根据角的余弦定理，可以得到：c² = 3² + 4² - 2*3*4*cos(60°)= 9 + 16 - 24*cos(60°)= 25 - 12= 13因此，第三边的长度为√13 cm。

三角形的三边关系【知识要点梳理】1．三角形的三边关系是指：三角形任意两边之和大于第三边； 三角形任意两边之差小于第三边．2．三角形的分类：①按角分为：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形； ②按边分为：等腰三角形和不等边三角形；等边三角形是等腰三角形中的特殊三角形．【典型例题探究】例1. 已知等腰三角形一边长为12cm ，腰长是底边长的34，求这个三角形的周长.例2．若a 、b 、c 为△ABC 的三边之长，化简：.a b c b c a c a b --+--+--例3．一个三角形有两边相等,周长为18cm,其中一边长为4cm,求其它两边的长.例4．（1）小明从家C 点去学校B 点，有两条路可走，C →O →B ；C →A →B ，可小明每回上学都走C →O →B ，因为他认为该路比另一条要近，小明的想法对吗？为什么？（2）若C →O →B 这条路被改成 C →E →D →B ，则与C →A →B 比较起来,走哪一条路更近？为什么？【基础达标演练】一、选择题1．以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（ ）A 、1cm ，2cm ，4cmB 、8cm ，6cm ，4cmC 、12cm ，5cm ，6cmD 、2cm ，3cm ，6cm 2．有长度分别为10cm ，7cm ，5cm 和3cm 的四根铁丝，选其中三根组成三角形则（ ） A 、共有4种选法B 、只有3种选法C 、只有2种选法D 、只有1种选法3．已知三角形三条边的长分别是5，6和a ，则a 的取值范围是（ ） A 、111<<a B 、62<<a C 、2>aD 、51<<a4．在一个三角形中，两条边长分别为2和7，另一条边的长是奇数，符合这样条件的三角形（ ）A 、不存在B 、只有一个C 、只有两个D 、有三个BAP QEDAOCB5．ABC ∆的三边c b a ,,，且()()0=--+c a c b a ，那么ABC ∆中（ ）A 、c b a >>B 、c b a =+C 、c a =D 、不能确定其边的关系 6．某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为（ ） A ．9cmB. cm 12C. cm 15D. 12cm 或15cm7．三角形的两边长分别为2和5，则三角形的周长t 的取值范围是（ ） A 、73<<t B 、129<<tC 、1410<<tD 、无法确定二、解答题8．三角形的两条边长分别为3cm 和4cm ．①求第三边c 的取值范围．②当周长为偶数时，求第三边的长．9.已知△ABC 的周长为18cm ，且a +b =2c ,b =2a ，求a 、b 、c.【能力提升训练】1．下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（ ） A 、3,3,6B 、3,7,11C 、2.5,4.5,2D 、41,31,21 2．等腰三角形的一边长为2cm ，另一边长为6cm ，则其第三边长（ ） A 、2cmB 、5cmC 、7cmD 、6cm3. 已知三角形的两边长为2和7，第三边的数值是奇数，那么这个三角形的周长是（ ） A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 4．已知三角形三条边的长分别是2，3和a ，则a 的取值范围是（ ） A 、32<<aB 、50<<aC 、2>aD 、51<<a5.一棵9m 高的大树从离地面4m 高的地方折断,则树顶与地面的接触点距离树根可能是( )A ．1mB ．3mC ．9mD ．13m 6．已知三角形的三边长分别是3，8，x ，若x 的值为偶数，则x 的值为（ ） A ．6个B. 5个C. 4个D. 3个二、解答题B第1题7.设a 、b 、c 是△ABC 的三边，化简a b c a b c +++--8．已知等腰三角形的周长为20．（1）当一边长为6时，另两边的长是多少？（2）当一边长为4时，另两边的长是多少？【走近中考前沿】1.（2009 黑龙江）如图，为估计池塘岸边A 、B 两点的 距离，小方在池塘的一侧选取一点O ，测得15=OA 米，10=OB 米，A 、B 间的距离不可能是（ ）A ．5米B ．10米C ．15米D ．20米 2.(2009温州)下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) A ．1cm ， 2cm ， 3．5cm B ．4cm ， 5cm ， 9cmC ．5cm ，8cm ， 15cmD ．6cm ，8cm ， 9cm3.（2009崇左）一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ）A ．7B ．9C ．12D ．9或124.（2009长沙）已知三角形的两边长分别为3cm 和8cm ，则此三角形的第三边的长可能是（ ） A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．13cm5.（2009台湾） 若 ABC 中，∠B 为钝角，且AB =8，BC =6，则下列何者可能为AC 之长度？（ ）A. 5B. 8C. 11D. 146．(深圳中考)已知三角形的三边长分别为3，8，x,若x 的值为偶数，则x 的值有( )A. 6个B. 5个C. 4个D. 3个7.(2008威海) 若三角形的三边长分别为3，4，x-1, 则x 的取值范围( ) A.80<<x B. 62<<x C. 60<<x D. 82<<x8.(2009达州)长度为2㎝、3㎝、4㎝、5㎝的四条线段，从中任取三条线段能组成三角形的概率是______________.【数学竞赛花园】* 1. 如图所示，已知P 是△ABC 内任意一点，求证：1()2AB BC CA PA ++<+PB PC AB +<BC CA ++* 2．已知三角形的一边是另一边的两倍，求证：它的最小边在它的周长的61与41之间.CBAP。

三角型三边的关系三角形是几何学中最基本的形状之一，它由三条线段组成，这三条线段被称为三角形的三边。

三角形的三边之间存在着一些特殊的关系，这些关系在几何学中有着重要的应用。

我们来讨论三角形的边长关系。

对于任意一个三角形来说，它的任意两边之和必须大于第三边。

这个关系被称为三角形边长的三角不等式定理。

换句话说，如果一个线段的长度大于另外两个线段的长度之和，那么这三个线段无法构成一个三角形。

接下来，我们来探讨三角形边长之间的其他关系。

对于一个等边三角形来说，它的三条边的长度是相等的。

而对于一个等腰三角形来说，它的两条边的长度是相等的。

此外，对于一个直角三角形来说，它的两条直角边的平方和等于斜边的平方，这被称为勾股定理。

这些关系在解决几何问题时非常有用。

除了边长关系，三角形的角度关系也是非常重要的。

三角形的内角和等于180度，这是三角形内角和定理。

根据这个定理，我们可以得出等边三角形的内角都是60度，等腰三角形的两个底角相等，直角三角形的一个角是90度。

这些角度关系在解决几何问题时也非常有用。

三角形的边长和角度之间还有一些其他的关系。

例如，对于一个等腰三角形来说，它的底角等于两个顶角的一半。

对于一个直角三角形来说，正弦定理和余弦定理可以用来计算三角形的边长和角度。

这些定理在实际应用中非常重要，例如在测量不规则地形的高度时，可以利用这些定理来计算出角度和边长。

三角形的三边之间存在着多种关系，这些关系在几何学中有着重要的应用。

通过研究三角形的边长和角度关系，我们可以解决各种几何问题，包括测量和计算等。

因此，对于几何学的学习和应用来说，掌握三角形的三边关系是非常重要的。

无论是解决实际问题还是提高几何学知识水平，我们都应该深入研究和理解三角形的三边关系。