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背包问题是一种常见的优化问题，它涉及到给定一组物品，每个物品都有各自的重量和价值，背包的总容量有限。
目标是选择一些物品，使得背包中物品的总价值最大，同时不超过背包的总容量。
算法设计策略：1.问题建模：首先，需要建立一个数学模型以描述背包问题。
通常，这可以通过一个二元决策图来实现。
决策图中的每个节点代表一个物品，每个边代表一个决策，即是否选择该物品。
2.状态空间树：在背包问题中，状态空间树是一个非常有用的工具。
它可以帮助我们系统地搜索所有可能的物品组合，从而找到最优解。
状态空间树以背包的当前容量为根节点，然后每个子节点代表一个可能的物品选择。
3.剪枝函数：在回溯法中，剪枝函数是一个关键的工具，它可以用来避免对不可能产生最优解的子节点进行搜索。
例如，如果当前选择的物品已经超过背包的容量，那么我们可以立即剪去该子树，因为它不可能产生最优解。
4.动态规划：动态规划是一种可以用来解决背包问题的算法。
它的思想是将问题分解为更小的子问题，并将这些子问题的解存储起来，以便在解决更大的问题时可以重复使用。
在背包问题中，动态规划可以帮助我们避免重复计算相同的子问题。
5.启发式搜索：虽然动态规划可以保证找到最优解，但它需要大量的存储空间。
如果物品的数量很大，那么动态规划可能不实用。
在这种情况下，可以使用启发式搜索方法，如遗传算法或模拟退火算法，来找到一个好的解决方案。
总的来说，背包问题的算法设计策略涉及到多个步骤，包括建立数学模型，使用状态空间树进行系统搜索，使用剪枝函数避免无效搜索，使用动态规划避免重复计算，以及使用启发式搜索方法在大型问题中寻找近似解。
分支限界法求解背包问题/*此程序实现，分支限界法求解背包问题，分支限界法是根据上界=当前背包的价值+背包剩余载重* （剩余物品最大价值/质量）*/分支r 10 I 分S： 104 1.200060' 6 2.i/eeoe#i nclude <stdio.h> #i nclude <stdlib.h>#include <time.h>#include <sys/time.h>#include <assert.h>#define MAXSIZE 20000//#define BAGWEIGHT 200 int a[MAXSIZE] = {0};int array[MAXSIZE] = {0};int weightarray[MAXSIZE] = {0}; /* 存放各物品重量*/int valuearray[MAXSIZE] = {0}; /* 存放各物品价值*/int lastweight[MAXSIZE]={0}; int lastvalue[MAXSIZE]={0}; int qq=0;/* 上面的数组，变量都是蛮力法所用到，下面的都是分支限界法所用到*/ int BAGWEIGHT; /* 背包的载重*/int n; /* 物品的数量*/int weightarrayb[MAXSIZE] = {0}; intvaluearrayb[MAXSIZE] = {0}; float costarrayb[MAXSIZE] = {0}; intfinalb[MAXSIZE] = {0};int finalweightb[MAXSIZE] = {0};/* 从文件读取数据*/void readb()int nn = 1,ii = 1;int i = 1;FILE *fp;fp = fopen("in.dat","rb");while(!feof(fp)){if(fscanf(fp,"%d%d",&weightarrayb[nn],&valuearrayb[nn]) != EOF)nn++;i++;elsebreak;fclose(fp);printf(" weight ");printf("value\n");for(ii = 1;ii < nn;ii++)printf("no%d: %-5d%-5d",ii,weightarrayb[ii],valuearrayb[ii]);printf("\n");/* 把读取的数据按照性价比从大到小排序*/ void rangeb()int i,j,k;int tempvalue,tempweight,tempcost;for(i = 1;i <= n;i++)printf(" weight ");costarrayb[i] = valuearrayb[i]/weightarrayb[i];for(j = 1;j <= n;j++)for(k = j;k <= n;k++)if(costarrayb[j] < costarrayb[k+1])tempcost = costarrayb[j];costarrayb[j] = costarrayb[k+1];costarrayb[k+1] = tempcost;tempweight = weightarrayb[j];weightarrayb[j] = weightarrayb[k+1];weightarrayb[k+1] = tempweight;tempvalue = valuearrayb[j];valuearrayb[j] = valuearrayb[k+1];valuearrayb[k+1] = tempvalue;printf("value ");printf("cost\n");for(i = 1;i <= n;i++)printf("no%d: %-5d%-5d %- f",i,weightarrayb[i],valuearrayb[i],costarrayb[i]); printf("\n");/* 分支限界法运算*/void branchb()int i,k,j,u = 1;int emptyweight = BAGWEIGHT;int tempweight = 0;int tempvalue = 0;float ub;float exub;int extempweightb[MAXSIZE] = {0};int extempvalueb[MAXSIZE] = {0};int exemptyweightb[MAXSIZE] = {0};int allweight = 0;int allvalue = 0;ub = tempvalue + emptyweight * costarrayb[1];exemptyweightb[0] = BAGWEIGHT;printf("include 0: weight=0 value=0 ub = %f\n",ub);printf("\n");i = 1;while(weightarrayb[i] != 0)tempweight = tempweight + weightarrayb[i];tempvalue = tempvalue + valuearrayb[i];emptyweight = BAGWEIGHT - tempweight;if(tempweight > BAGWEIGHT)printf("include %d: weight=%d can't\n",i,tempweight);tempweight = extempweightb[i-1];tempvalue = extempvalueb[i-1];emptyweight = exemptyweightb[i-1];ub = 0;elseub = tempvalue + emptyweight * costarrayb[i+1];printf("include %d: weight=%d value=%d ub=%f\n",i,tempweight,tempvalue,ub); extempvalueb[i] = tempvalue;extempweightb[i] = tempweight;exemptyweightb[i] = emptyweight;exub = extempvalueb[i-1] + exemptyweightb[i-1] * costarrayb[i+1]; printf("exclude %d: weight=%d value=%dub=%f\n",i,extempweightb[i-1],extempvalueb[i-1],exub);printf("\n");if(ub < exub || ub == 0)finalb[i] = 2;if(ub >= exub)finalb[i] = 1;i++;printf("the final answer is: ");for(i = 1;i <= n;i++)if(finalb[i] == 1)printf("%d ",i);finalweightb[u] = i;u++;else if(finalb[i] == 2)continue;printf("\n");for(i = 1;i <= u;i++)allweight = allweight + weightarrayb[finalweightb[i]]; allvalue = allvalue + valuearrayb[finalweightb[i]];printf("the final weight is :%d\n",allweight);printf("the final value is : %d\n",allvalue);/* 自动生成文件*/void become()int i;FILE *fp;fp = fopen("in.dat","w");//srand(unsigned(time(NULL)));for(i=0;i<n;i++)fprintf(fp,"%d %d\n",rand()%9+1,rand()%41+10);fclose(fp);/* 删除文件*/void del()remove("in.dat");int main()printf(" 请输入背包负重(大于0 的整数):"); scanf("%d",&BAGWEIGHT);printf(" 请输入物品数量(大于0 的整数):"); scanf("%d",&n);float time_usea=0;float time_useb=0;struct timeval starta;struct timeval enda;struct timeval startb;struct timeval endb;int k = 0,i,j,u,loop;loop=0;gettimeofday(&startb,NULL);become();readb();由于分支限界太效率，时常显示 0 毫秒，为了能读出时间，让其运行 100 次后总时间再除以 100*/rangeb();branchb();gettimeofday(&endb,NULL);time_useb=(__sec)*1000+(_usec- _usec)/1000;// 毫秒printf("\n");for(i=0;i<100;i++) /*printf("It took you %f 毫秒\n", time_useb/100);/* 最后把算到的时间读出到文件*/FILE *fp = NULL;fp = fopen("OUT.DAT", "a+");if(NULL == fp)printf("wrong");return 0;//fprintf(fp, " 蛮力: %d %d %f\n", BAGWEIGHT,n,time_usea); fprintf(fp, " 分支: %d %d %f\n", BAGWEIGHT,n,time_useb/100); fclose(fp);del(); /* 要运算多次，生成多次文件，所以每次算完删除文件*/printf（" 如果需要再算一次，请按1\n"）; printf（" 如果需要退出，请按2\n"）; scanf("%d",&loop);switch(loop)case 1:return main();case 2:return;default:return;return 0;}。
0-1背包问题计科1班朱润华 32方法1：回溯法一、回溯法描述：用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。
问题的解空间至少包含问题的一个（最优）解。
对于0-1背包问题，解空间由长度为n的0-1向量组成。
该解空间包含对变量的所有0-1赋值。
例如n=3时，解空间为：｛（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，0，0），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）｝然后可将解空间组织成树或图的形式，0-1背包则可用完全二叉树表示其解空间给定n种物品和一背包。
物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。
问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,), xi∈{0,1}, ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。
二、回溯法步骤思想描述：0-1背包问题是子集选取问题。
0-1 背包问题的解空间可以用子集树表示。
在搜索解空间树时，只要其左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树。
当右子树中有可能含有最优解时，才进入右子树搜索。
否则，将右子树剪去。
设r是当前剩余物品价值总和，cp是当前价值；bestp是当前最优价值。
当cp+r<=bestp时，可剪去右子树。
计算右子树上界的更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序，然后依次装入物品，直至装不下时，再装入物品一部分而装满背包。
例如：对于0-1背包问题的一个实例，n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1]。
这4个物品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。
以物品单位重量价值的递减序装入物品。
先装入物品4，然后装入物品3和1.装入这3个物品后，剩余的背包容量为1，只能装的物品2。
由此得一个解为[1,,1,1]，其相应价值为22。
尽管这不是一个可行解，但可以证明其价值是最优值的上界。
背包问题的分支定界法
背包问题的分支定界法是一种求解背包问题的有效方法。
分支定界法的基本思想是将问题分解为若干个子问题，通过逐个解决子问题来逼近原问题的解。
在背包问题中，分支定界法通过将问题分解为一系列背包问题，从最简单的情况开始逐步扩展问题的规模，从而逐步逼近最优解。
分支限界法求解：
1．初始化：首先确定问题的约束条件和目标函数，并初始化问题的解空间树。
解空间树是问题解的搜索空间，其中每个节点表示一个可能的解。
2．搜索：从根节点开始，按照广度优先或最小耗费优先的方式搜索解空间树。
在搜索过程中，每个节点代表一个子问题，通过对子问题进行求解，可以逐步逼近原问题的解。
3．剪枝：在搜索过程中，根据问题的约束条件和目标函数，对一些不可能成为最优解的节点进行剪枝，从而减少搜索空间的大小。
剪枝可以提高搜索效率，但需要注意避免剪枝过度导致最优解丢失。
4．求解：当搜索到叶子节点时，表示找到了一个可行的解。
此时需要对叶子节点进行评估，确定其是否为最优解。
如果叶子节点的价值大于当前最优解的价值，则更新最优解；否则将叶子节点加入到已访问节点集合中。
5．回溯：如果搜索到叶子节点时发现当前最优解的价值不小于已访问节点集合中的最大价值，则说明当前最优解已经是最优解或者已经超出了搜索空间的上限。
此时需要进行回溯操作，即从当前节点向上回溯到上一层节点，并继续搜索。
6．结束：当搜索到根节点时，表示已经搜索完了解空间树。
此时需要判断是否找到了最优解，如果没有找到则需要进一步调整搜索策略或调整问题的约束条件和目标函数。
背包问题动态规划背包问题是一个经典的动态规划问题，主要是在给定的一些物品中选择一部分物品放入背包中，使得放入背包的物品总价值最大。
背包问题是动态规划中的一个重要问题，可以用来解决多种实际问题，比如旅行商问题、资源分配等。
在背包问题中，我们有一个容量为W的背包和n个物品，每个物品都有一个重量和一个价值。
我们需要选择一些物品放入背包中，使得放入背包的物品总重量不超过背包容量，并且总价值最大。
动态规划是一种算法解决问题的思想，其基本思路是将问题划分为重复的子问题，并利用子问题的解来构建原问题的解。
在背包问题中，动态规划可以分为以下几步：1. 状态定义：定义一个二维数组dp[i][j]，表示在前i个物品中，背包容量为j时的最大价值。
2. 状态转移方程：dp[i][j]的状态转移方程可以表示为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])，其中w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值。
3. 边界条件：当i=0时，dp[0][j] = 0，表示没有物品可选时的情况；当j=0时，dp[i][0] = 0，表示背包容量为0时，无论有多少物品可选，最大价值都为0。
4. 最优解求取：根据状态转移方程，我们可以通过填充dp数组来求取最优解。
在填充dp数组时，需要注意边界条件和状态转移方程的递推关系。
5. 回溯求解：通过填充dp数组，我们可以得到最大价值，但是无法得到具体的物品组合。
为了得到具体的物品组合，我们可以采用回溯的方法，从dp数组中找到最大价值的物品。
从最后一个物品开始，倒着依次回溯，如果dp[i][j] > dp[i-1][j]，表示第i个物品被选中，否则不被选中。
通过以上步骤，我们可以解决背包问题，并得到最优解。
背包问题的动态规划算法时间复杂度为O(nW)，其中n表示物品的个数，W表示背包的容量。
由于需要填充dp数组，所以需要额外的空间来存储dp数组，空间复杂度为O(nW)。
分⽀限界法0-1背包问题-队列式⼀.分⽀限界法概述（1）分⽀限界法就是采⽤⼴度优先的策略，依次搜索活结点所有的分枝，也就额是所有的相邻结点。
在求最优解时采⽤⼀个限界函数，计算限界函数值，选择⼀个最有利的⼦节点作为扩展结点，使搜索树朝着解空间树上有最优解的分⽀推进，以便尽快找出⼀个最优解。
（2）常见的两种分⽀限界法 先进先出（FIFO）队列式:在先进先出的分⽀限界法中，⽤队列作为组织活结点表的数据结构，并按照队列先进先出的原则选择结点作为扩展结点。
优先队列（PQ）：⽤优先队列作为组织活结点表的数据结构。
⼆.0-1背包问题问题：给定n种物品和⼀背包。
物品i的重量是wi，其价值为pi，背包的容量为C。
问应如何选择装⼊背包的物品，使得装⼊背包中物品的总价值最⼤?#include<iostream>#include<queue>using namespace std;const int maxn=99;int n,c;int w[maxn];int v[maxn];int bestv=0;int bestx[maxn];int total=1; //解空间中的节点数累计，全局变量struct nodetype //队列中的结点类型{int no; //结点编号，从1开始int i; //当前结点在搜索空间中的层次int w; //当前结点的总重量int v; //当前结点的总价值int x[maxn]; //当前结点包含的解向量double ub; //上界};void input(){cout<<"请输⼊物品的个数："<<endl;cin>>n;cout<<"请输⼊每个物品的重量及价值(如5 4):"<<endl;for(int i = 1; i <= n; i++){cin>>w[i]>>v[i];}cout<<"请输⼊背包的容量："<<endl;cin>>c;}void bound(nodetype &e) //计算分⽀结点e的上界{int i=e.i+1; //考虑结点e的余下物品int sumw=e.w;double sumv=e.v;while((sumw+w[i]<=c)&&i<=n){sumw+=w[i];sumv+=v[i];i++;}if(i<=n) //余下物品只能部分装⼊e.ub=sumv+(c-sumw)*v[i]/w[i];else e.ub=sumv;}void enqueue(nodetype e,queue<nodetype> &qu)//结点e进队qu{if(e.i==n) //到达叶⼦节点，不在扩展对应⼀个解{if(e.v>bestv) //找到更⼤价值的解{bestv=e.v;for(int j=1;j<=n;j++)bestx[j]=e.x[j];}}else qu.push(e); //⾮叶⼦结点进队}void bfs(){int j;nodetype e,e1,e2;queue<nodetype> qu;e.i=0;e.w=0;e.v=0;e.no=total++;for(j=1;j<=n;j++)e.x[j]=0;bound(e);qu.push(e);while(!qu.empty()){e=qu.front();qu.pop(); //出队结点eif(e.w+w[e.i+1]<=c) //剪枝，检查左孩⼦结点{e1.no=total++; //建⽴左孩⼦结点e1.i=e.i+1;e1.w=e.w+w[e1.i];e1.v=e.v+v[e1.i];for(j=1;j<=n;j++)e1.x[j]=e.x[j];e1.x[e1.i]=1;bound(e1); //求左孩⼦的上界enqueue(e1,qu); //左孩⼦结点进队}e2.no=total++;e2.i=e.i+1;e2.w=e.w;e2.v=e.v;for(j=1;j<=n;j++)e2.x[j]=e.x[j];e2.x[e2.i]=0;bound(e2);if(e2.ub>bestv) //若右孩⼦结点可⾏，则进队，否则被剪枝 enqueue(e2,qu);}}void output(){cout<<"最优值是:"<<bestv<<endl;cout<<"(";for(int i=1;i<=n;i++)cout<<bestx[i]<<"";cout<<")";}int main(){input();bfs();output();return0;}。
分⽀界限法0-1背包问题（优先队列式分⽀限界法）输⼊要求有多组数据。
每组数据包含2部分。
第⼀部分包含两个整数C （1 <= C <= 10000）和 n （1 <= n <= 10，分别表⽰背包的容量和物品的个数。
第⼆部分由n⾏数据，每⾏包括2个整数 wi（0< wi <= 100）和 vi（0 < vi <= 100），分别表⽰第i个物品的总量和价值输出要求对于每组输⼊数据，按出队次序输出每个结点的信息，包括所在层数，编号，背包中物品重量和价值。
每个结点的信息占⼀⾏，如果是叶⼦结点且其所代表的背包中物品价值⼤于当前最优值（初始为0），则输出当前最优值 bestv 和最优解bestx（另占⼀⾏）参见样例输出测试数据输⼊⽰例5 32 23 22 3输出⽰例1 1 0 02 2 2 23 5 2 24 10 4 5bestv=5, bestx=[ 1 0 1 ]4 11 2 23 4 5 42 3 0 0⼩贴⼠可采⽤如下的结构体存储结点：typedef struct{int no; // 结点在堆中的标号int sw; // 背包中物品的重量int sv; // 背包中物品的价值double prior; // 优先值 sv/sw}Node;#include<stdio.h>#include<math.h>#include<string.h>typedef struct {int no; // 结点标号int id; // 节点idint sw; // 背包中物品的重量int sv; // 背包中物品的价值double prior; // sv/sw}Node;int surplusValue(int *v,int n,int y) {int sum = 0;for(int i = y; i <= n; i++) {sum += v[i];}return sum;}void qsort(Node *que,int l,int r) {int len = r - l + 1;int flag;for(int i = 0; i < len; i ++) {flag = 0;for(int j = l; j < l + len - i; j++) {if(que[j].prior < que[j+1].prior) {Node t = que[j];que[j] = que[j+1];que[j+1] = t;flag = 1;}}//if(!flag ) return;}}void branchknap(int *w,int *v,int c,int n) {int bestv = 0;int f = 0;int r = 0;Node que[3000];memset(que,0,sizeof(que));int path[15];que[0].no = 1;que[0].id = que[0].sv = que[0].sw = que[0].prior = 0;while(f <= r) {Node node = que[f];printf("%d %d %d %d\n",node.id+1,node.no,node.sw,node.sv);if(node.no >= pow(2,n)) {if(node.sv > bestv) {bestv = node.sv;printf("bestv=%d, bestx=[",bestv);int temp = node.no;int i = 0;while(temp > 1) {if(temp % 2 == 0)path[i] = 1;elsepath[i] = 0;temp /= 2;i++ ;}i--;while(i >= 0) {while(i >= 0) {printf(" %d",path[i]);i--;}printf(" ]\n");}} else {if((node.sw + w[node.id + 1]) <= c && surplusValue(v,n,node.id+1) + node.sv > bestv) { r++;que[r].id = node.id + 1;que[r].no = node.no*2;int id = node.id + 1;que[r].sv = node.sv + v[id];que[r].sw = node.sw + w[id];que[r].prior = que[r].sv / (que[r].sw*1.0);}if(surplusValue(v,n,node.id+2) + node.sv > bestv) {r++;que[r].id = node.id + 1;que[r].no = node.no*2 + 1;que[r].sv = node.sv;que[r].sw = node.sw;que[r].prior = node.prior;}}f++;qsort(que,f,r);}}int main() {int c,n;int w[15],v[15];while(~scanf("%d %d",&c,&n)){for(int i = 1; i <= n; i++) {scanf("%d %d",&w[i],&v[i]);}branchknap(w,v,c,n);}return 0;}#include<stdio.h>#include<math.h>#include<string.h>typedef int bool;#define true 1#define false 0struct Node{int no; // ?áµ?±êo?int id; //jie dian idint sw; // ±3°ü?D·µá?int sv; // ±3°ü?D·µ?µdouble prior;};struct Node queuee[2000];int w[15],v[15];int bestv = 0,c,n;int path[15]; //lu jingint surplusValue(int y) {int sum = 0;for(int i = y; i <= n; i++)sum += v[i];return sum;}void qsort(int l,int r) {// printf("------\n");int len = r - l + 1;//printf("----%d %d %d-----\n",l,r,len);bool flag;for(int i = 0; i < len ; i++) {flag = false;for(int j = l; j <l+ len -i ;j++) {if(queuee[j].prior < queuee[j+1].prior) {struct Node temp = queuee[j];queuee[j] = queuee[j+1];queuee[j+1] = temp;flag = true;}//if(!flag) return;}}// printf("---排序嘻嘻---\n");//for(int i = l; i <= r;i++ )// printf("***%d : %.2lf\n",queuee[i].no,queuee[i].prior);// printf("\n------\n");}void branchknap() {bestv = 0;int f = 0;int r = 0;queuee[0].no = 1;queuee[0].id = 0;queuee[0].sv = 0;queuee[0].sw = 0;queuee[0].prior = 0;// printf("f: %d r: %d\n",f,r);while(f <= r) {struct Node node = queuee[f];printf("%d %d %d %d\n",node.id+1,node.no,node.sw,node.sv);if(node.no >= pow(2,n)) {if(node.sv > bestv) {bestv = node.sv;//TODOprintf("bestv=%d, bestx=[",bestv);int temp = node.no;int i = 0;while(temp > 1) {if(temp%2 == 0)path[i] = 1;elsepath[i] = 0;temp /= 2;i++;}i--;while(i >= 0) {while(i >= 0) {printf(" %d",path[i]);i--;}printf(" ]\n");}} else {if((node.sw + w[node.id+1]) <= c && surplusValue(node.id+1) + node.sv > bestv) { r++;//printf("%d\n",(node.sw + w[node.id+1]));queuee[r].id = node.id+1;queuee[r].no = node.no*2;int id = node.id+1;queuee[r].sv = node.sv + v[id];queuee[r].sw = node.sw + w[id];queuee[r].prior = queuee[r].sv/(queuee[r].sw*1.0);//printf("进队id： %d\n",queuee[r].no) ;//printf("%d %d %d\n",id,v[id], w[id]);}if(surplusValue(node.id+2) + node.sv > bestv) {r++;queuee[r].id = node.id+1;queuee[r].no = node.no*2 + 1;queuee[r].sv = node.sv ;queuee[r].sw = node.sw ;queuee[r].prior = node.prior;//printf("进队id： %d\n",queuee[r].no) ;}}f++;qsort(f,r);}}int main() {while(~scanf("%d %d",&c,&n)){memset(queuee,0,sizeof(queuee));for(int i = 1; i <= n; i++) {scanf("%d %d",&w[i],&v[i]);}branchknap();}return 0;}。
回溯法和分支限界法解决0-1背包题要点0-1背包问题计科1班朱润华 2012040732方法1：回溯法一、回溯法描述：用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。
问题的解空间至少包含问题的一个（最优）解。
对于0-1背包问题，解空间由长度为n的0-1向量组成。
该解空间包含对变量的所有0-1赋值。
例如n=3时，解空间为：｛（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，0，0），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）｝然后可将解空间组织成树或图的形式，0-1背包则可用完全二叉树表示其解空间给定n种物品和一背包。
物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。
问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,), xi∈{0,1}, ? ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。
二、回溯法步骤思想描述：0-1背包问题是子集选取问题。
0-1 背包问题的解空间可以用子集树表示。
在搜索解空间树时，只要其左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树。
当右子树中有可能含有最优解时，才进入右子树搜索。
否则，将右子树剪去。
设r是当前剩余物品价值总和，cp是当前价值；bestp是当前最优价值。
当cp+r<=bestp时，可剪去右子树。
计算右子树上界的更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序，然后依次装入物品，直至装不下时，再装入物品一部分而装满背包。
例如：对于0-1背包问题的一个实例，n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1]。
这4个物品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。
以物品单位重量价值的递减序装入物品。
先装入物品4，然后装入物品3和1.装入这3个物品后，剩余的背包容量为1，只能装0.2的物品2。
算法背包问题的五种方法1. 动态规划背包问题是一种经典的组合优化问题，动态规划是解决背包问题的常用方法之一。
动态规划将问题分解为子问题，并利用已解决子问题的结果来求解更大规模的问题。
对于背包问题，动态规划算法的基本思想是创建一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中选择若干个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。
通过填表格的方式，从子问题逐步求解到原问题，最终得到最优解。
2. 贪心算法贪心算法是另一种解决背包问题的方法。
它的基本思想是每一步都选择当前看起来最好的选择，而不考虑之前的选择对后续步骤的影响。
在背包问题中，贪心算法通常是按照物品的价值密度（价值与重量的比值）进行排序，然后依次选择价值密度最高的物品放入背包，直到背包容量不足为止。
贪心算法的优势在于其简单性和高效性，但它并不一定能得到最优解。
3. 分支定界法分支定界法是一种通过搜索方式求解背包问题的方法。
它的基本思想是通过搜索可能的解空间，并根据当前搜索路径的特性进行剪枝操作，从而减少搜索的时间和空间复杂度。
在背包问题中，分支定界法通常根据当前节点的上界（通过松弛问题得到）与当前最优解进行比较，如果上界小于当前最优解，则该节点不再继续拓展，从而减少搜索空间的大小，提高求解效率。
4. 回溯算法回溯算法是一种通过不断试探和回退的方式求解背包问题的方法。
它的基本思想是从问题的初始状态开始，不断地尝试不同的决策，并根据约束条件判断该决策是否可行。
如果决策可行，则继续尝试下一步决策；如果不可行，则回退到上一步并尝试其他决策。
在背包问题中，回溯算法通过递归的方式依次尝试每个物品的放入与不放入两种选择，直到找到满足约束条件的解或者穷尽所有可能。
5. 近似算法近似算法是一种通过快速求解背包问题的“近似”解来减小计算复杂度的方法。
它的基本思想是用一种简单而快速的策略求解背包问题，并且能够保证求解结果的近似程度。
在背包问题中，常见的近似算法有贪心算法和启发式算法。
分支限界法解决背包问题的判定树引言背包问题是一个经典的组合优化问题，常见于计算机科学和运筹学领域。
在给定的一组物品中，每个物品有自己的重量和价值，背包有一定的容量限制。
目标是找到一个最优的组合，使得背包中物品的总价值最大化，同时不超过背包的容量。
分支限界法是解决背包问题的一种常用算法。
它通过构建一个判定树来搜索可能的解空间，并剪枝以提高搜索效率。
本文将详细介绍分支限界法解决背包问题的判定树。
二级标题1：背包问题的定义背包问题可以用以下方式进行定义：1.给定一组物品，每个物品有自己的重量和价值。
2.给定一个背包的容量限制。
3.目标是找到一个最优的物品组合，使得背包中物品的总价值最大化，同时不超过背包的容量。
二级标题2：分支限界法的基本思想分支限界法是一种基于回溯法的搜索算法，它通过构建一个判定树来搜索可能的解空间。
其基本思想可以总结如下：1.将问题抽象成一个树结构，树的每个节点表示一个状态，树的分支表示状态的扩展。
2.使用优先队列来存储待扩展的节点，优先队列按照某个评估函数对节点进行排序。
3.从优先队列中选择评估函数最优的节点进行扩展，生成新的节点。
4.对新生成的节点进行剪枝操作，去除不可能达到最优解的节点。
5.重复步骤3和步骤4，直到找到一个最优解或者所有节点都被扩展完。
分支限界法通过构建一个判定树来搜索可能的解空间。
判定树的每个节点表示一个状态，节点的分支表示状态的扩展。
构建判定树的过程可以分为以下几个步骤：1.将初始状态作为根节点，将根节点加入优先队列。
2.从优先队列中选择评估函数最优的节点进行扩展。
3.对选中的节点进行扩展，生成新的节点。
4.对新生成的节点进行剪枝操作，去除不可能达到最优解的节点。
5.将剪枝后的节点加入优先队列。
6.重复步骤2到步骤5，直到找到一个最优解或者所有节点都被扩展完。
三级标题1：优先队列的选择分支限界法中使用优先队列来存储待扩展的节点，并按照某个评估函数对节点进行排序。
背包问题背包问题是计算机科学里的经典问题。
在最简单的形式中，包括试图将不同重量的数据项放到背包中．以使背包最后达到指定的总重量。
不需要把所有的选项都放入背包中。
举例来说，假设想要背包精确地承重20磅，并且有5个可以选择放入的数据项，它们的重量依次为11磅、8磅、7磅、6磅和5磅。
对于选择放入的数据项数量不大时，人类很善于通过观察就可以解决这个问题。
于是大概可以计算出只有8磅、7磅和5磅的数据项加在一起和为20磅。
如果想要计算机来解决这个问题，就需要给计算机更详细的指令。
算法如下：1．如果在这个过程中的任何时刻，选择的数据项的总和符合目标重量，工作就完成了。
2．从选择第一个数据项开始。
剩余的数据项的加和必须符合背包的目标重量减去第一个数据项的重量；这是一个新的目标重量。
3．逐个地试每种剩余数据顶组合的可能性。
但是，注意并不需要去试所有的组合，因为只要数据顶朗和大于目标重量的时候，就停止添加数据项。
4．如果设有组合合适的话，放弃第—‘个数据项，并且从第二个数据项开始再重复一边整个过程。
5．继续从第三个数据项开始，如此下去直到你已经试过所有的组合，这时知道没有解决答案。
[java]view plaincopypublic class Beibao {2static int[] a = new int[5]; // 背包重量3static int[] b = new int[5]; // 结果数组4static int flag = 0; // 下一个候选项5static int bound = 20; // 总重量6static int totle = 0; // 每次选择后的总重量7 /**8 * 背包9 *10 * @param i11 * 元素坐标12 * @param leftbound13 * 目标重量14 * @param t15 */16public static void inserttry(int i, int leftbound, int t) {17if (i < 5 && leftbound <= totle) {18if (a[i] < leftbound) { // 当前的所选的数小于已选数的总和，将当前所选的数放入结果数组，从目标重量减掉当前所选数，递归，选择后的重量数减掉当前所选数19 b[t++] = a[i];20 totle = totle - a[i];21 leftbound = leftbound - a[i];22 i++;23 inserttry(i, leftbound, t);24 } else if (a[i] > leftbound) { // 当前的所选的数大于已选数的总和，不符合条件，选择后的重量数减掉当前所选数，递归25 totle = totle - a[i];26 i++;27 inserttry(i, leftbound, t);28 } else { // 当前所选的数等于已选数的总和30return;31 }32 } else { // 数组中没有符合当前条件的元素，将前一个数值移除，递归33 leftbound = leftbound + b[--t];34for (int f = 0; f < 5; f++) {35if (a[f] == b[t]) {36 flag = ++f;37break;38 }39 }40 b[t] = 0;41 totle = 0;42for (int m = flag; m < 5; m++) {43 totle += a[m];44 }45 inserttry(flag, leftbound, t);46 }47return;48 }49public static void main(String[] args) {50 a[0] = 11;51 a[1] = 8;52 a[2] = 6;53 a[3] = 7;54 a[4] = 5;55for (int i = 0; i < 5; i++) {56 b[i] = 0;57 }58for (int i = 0; i < 5; i++) {60 }61 inserttry(0, 20, 0);62for (int i = 0; i < 5; i++) {63 System.out.println(b[i]);64 }65 }66}。
分支限界法解01背包问题学院：网研院姓名：XXX 学号：2013XXXXXX 一、分支限界法原理分支限界法类似于回溯法，也是在问题的解空间上搜索问题解的算法。
一般情况下，分支限界法与回溯法的求解目标不同。
回溯法的求解目标是找出解空间中满足约束条件的所有解；而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解中找出使某一目标函数值达到极大或极小的解，即在某种意义下的最优解。
由于求解目标不同，导致分支限界法与回溯法对解空间的搜索方式也不相同。
回溯法以深度优先的方式搜索解空间，而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间。
分支限界法的搜索策略是，在扩展结点处，先生成其所有的儿子结点(分支)，然后再从当前的活结点表中选择下一扩展结点。
为了有效地选择下一扩展结点，加速搜索的进程，在每一个活结点处，计算一个函数值(限界)，并根据函数值，从当前活结点表中选择一个最有利的结点作为扩展结点，使搜索朝着解空间上有最优解的分支推进，以便尽快地找出一个最优解。
常见的分支限界法有如下两种：队列式（FIFO）分支限界法：按照先进先出原则选取下一个节点为扩展节点。
活结点表是先进先出队列。
FIFO分支限界法搜索策略：◆一开始，根结点是唯一的活结点，根结点入队。
◆从活结点队中取出根结点后，作为当前扩展结点。
◆对当前扩展结点，先从左到右地产生它的所有儿子，用约束条件检查，把所有满足约束函数的儿子加入活结点队列中。
◆再从活结点表中取出队首结点（队中最先进来的结点）为当前扩展结点，重复上述过程，直到找到一个解或活结点队列为空为止。
LC（least cost）分支限界法（优先队列式分支限界法）：按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节点成为当前扩展节点。
活结点表是优先权队列，LC分支限界法将选取具有最高优先级的活结点出队列，成为新的扩展节点。
优先队列式分支限界法搜索策略：◆对每一活结点计算一个优先级（某些信息的函数值）；◆根据这些优先级从当前活结点表中优先选择一个优先级最高（最有利）的结点作为扩展结点，使搜索朝着解空间树上有最优解的分支推进，以便尽快地找出一个最优解。
数据结构背包问题背包问题是数据结构中的一个经典问题，它在计算机科学和算法设计中有着广泛的应用。
本文将详细介绍背包问题的定义、解决思路以及常见的解决方法。
一、背包问题的定义背包问题是指在给定的一组物品中，选择一些物品放入背包中，使得背包中物品的总价值最大化，同时受到背包的容量限制。
每一个物品都有自己的分量和价值，背包的容量是事先确定的。
二、解决思路背包问题可以使用动态规划的思想进行求解。
具体来说，可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中，背包容量为j时所能获得的最大价值。
然后根据状态转移方程进行递推求解。
三、常见的解决方法1. 0-1背包问题0-1背包问题是最基本的背包问题，每一个物品要末完整地放入背包中，要末不放入。
具体的解决方法是使用动态规划，根据状态转移方程进行递推计算。
2. 彻底背包问题彻底背包问题相较于0-1背包问题，每一个物品可以无限次地放入背包中。
同样使用动态规划进行求解，但在状态转移方程中需要进行一些调整。
3. 多重背包问题多重背包问题是在彻底背包问题的基础上，对每一个物品的数量进行了限制。
可以将多重背包问题转化为0-1背包问题进行求解。
4. 分组背包问题分组背包问题是在背包问题的基础上，将物品进行了分组。
每一个组内的物品只能选择一个放入背包中。
可以使用动态规划进行求解，需要对状态转移方程进行一些修改。
四、示例假设有一个背包的容量为10，有以下物品可供选择：物品1：分量3，价值4物品2：分量4，价值5物品3：分量5，价值6物品4：分量2，价值3我们可以使用动态规划来解决这个问题。
首先初始化一个二维数组dp，大小为(n+1)×(W+1)，其中n为物品的个数，W为背包的容量。
然后根据状态转移方程进行递推计算，最终得到dp[n][W]即为所求的最大价值。
具体的计算过程如下：1. 初始化dp数组，dp[0][j]和dp[i][0]均为0，表示背包容量为0或者没有物品可选时的最大价值为0。
《程序设计创新》分支限界法解决01背包问题一、引言分枝限界法通常以广度优先或最小成本（最大收益）优先搜索问题的解空间树。
在分枝限界方法中，每个活动节点只有一次成为扩展节点的机会。
当活动节点成为扩展节点时，将同时生成所有子节点。
这些子节点将丢弃不可执行或非最优解的子节点，并将剩余的子节点添加到活动节点表中。
然后，从活动节点表中选择节点作为当前扩展节点，然后重复上述节点扩展过程。
此过程将持续到所需的解决方案或节点表为空。
二、研究背景在生活或企业活动中，我们常常会遇到一些装在问题。
例如在生活中我们要出去旅游，背包的容量是有限的而要装物品可能很多，但是每个物品的装载优先级肯定是不一样的，那么怎么装更合适一些呢。
在企业活动中，比如轮船集装箱装载问题，集装箱是有限的，那么怎么装载这些货物才能每次都是装载最多的，只有这样企业利润才能最大化。
三、相关技术介绍上述问题就是我们算法中会遇到的背包问题。
而背包问题又分许多。
如背包问题，通常用贪心法解决。
如01背包问题通常用动态规划或者分支限界法解决。
本次我们考虑使用分支限界法来解决01背包问题四、应用示例在01背包问题中，假设有四个物品。
重量W（4,7,5,3），价值V（40,42,25,12），背包重量W为10，试求出最佳装载方案。
定义限界函数： ub = v + （W-w）×（Vi+1/W+1）画出状态空间树的搜索图步骤：①在根结点1，没有将任何物品装入背包，因此，背包的重量和获得的价值均为0，根据限界函数计算结点1的目标函数值为10×10=100；②在结点2，将物品1装入背包，因此，背包的重量为4，获得的价值为40，目标函数值为40 + (10-4)×6=76，将结点2加入待处理结点表PT中；在结点3，没有将物品1装入背包，因此，背包的重量和获得的价值仍为0，目标函数值为10×6＝60，将结点3加入表PT 中；③在表PT中选取目标函数值取得极大的结点2优先进行搜索；④在结点4，将物品2装入背包，因此，背包的重量为11，不满足约束条件，将结点4丢弃；在结点5，没有将物品2装入背包，因此，背包的重量和获得的价值与结点2相同，目标函数值为40 + (10-4)×5=70，将结点5加入表PT中；⑤在表PT中选取目标函数值取得极大的结点5优先进行搜索；⑥在结点6，将物品3装入背包，因此，背包的重量为9，获得的价值为65，目标函数值为65 + (10-9)×4=69，将结点6加入表PT中；在结点7，没有将物品3装入背包，因此，背包的重量和获得的价值与结点5相同，目标函数值为40 + (10-4)×4＝64，将结点6加入表PT中；⑦在表PT中选取目标函数值取得极大的结点6优先进行搜索；⑧在结点8，将物品4装入背包，因此，背包的重量为12，不满足约束条件，将结点8丢弃；在结点9，没有将物品4装入背包，因此，背包的重量和获得的价值与结点6相同，目标函数值为65；⑨由于结点9是叶子结点，同时结点9的目标函数值是表PT中的极大值，所以，结点9对应的解即是问题的最优解，搜索结束。
数据结构背包问题背景介绍：数据结构是计算机科学中的一个重要分支，它研究数据的组织、存储、管理和操作的方法。
背包问题是数据结构中的一个经典问题，它在组合优化和算法设计中具有重要的应用价值。
背包问题可以分为0-1背包问题、完全背包问题和多重背包问题等多种类型。
问题描述：背包问题是指在给定的一组物品中，选择若干物品放入背包中，使得物品的总价值最大，且背包的容量不超过限定值。
每个物品都有自己的重量和价值，背包的容量限制了所能放入物品的总重量。
解决思路：背包问题可以使用动态规划算法来求解。
动态规划算法的基本思想是将原问题分解成若干个子问题，通过求解子问题的最优解来求解原问题的最优解。
对于背包问题，可以使用一个二维数组来记录每个子问题的最优解，然后逐步构建出整个问题的最优解。
具体步骤：1. 定义问题：- 物品集合：假设有n个物品，编号为1到n。
- 物品重量：w1, w2, ..., wn，其中wi表示第i个物品的重量。
- 物品价值：v1, v2, ..., vn，其中vi表示第i个物品的价值。
- 背包容量：C，表示背包能够承受的最大重量。
- 最优解：使用一个二维数组dp[n+1][C+1]来存储每个子问题的最优解，其中dp[i][j]表示在考虑前i个物品、背包容量为j的情况下的最优解。
2. 初始化：- 将dp数组的第一行和第一列都初始化为0，表示背包容量为0或物品数量为0时的最优解都为0。
3. 动态规划求解：- 对于每个子问题dp[i][j]，可以分为两种情况讨论：a. 第i个物品不放入背包：此时最优解为dp[i-1][j]，即在考虑前i-1个物品、背包容量为j的情况下的最优解。
b. 第i个物品放入背包：此时最优解为dp[i-1][j-wi]+vi，即在考虑前i-1个物品、背包容量为j-wi的情况下的最优解加上第i个物品的价值。
- 取两种情况的较大值作为dp[i][j]的最优解。
- 依次填充dp数组，直到计算出dp[n][C]，即问题的最优解。
队列分支限界法背包问题队列分支限界法背包问题，这名字一听就让人有点头大，对吧？别急，咱慢慢聊，保证你听得懂，想得通。
你看，生活中是不是经常遇到这么个情形：背包有点小，想装的东西很多，而且每样都很重要，选哪个好呢？这就是典型的“背包问题”。
想象一下，你去旅行，背包有限，行李太多，你得决定要带哪个，带多少。
只要选对了方法，就能装得既满又不超负荷。
是不是很像做决定？哈哈，是吧！行了，咱不绕弯子，直接进入正题。
队列分支限界法其实就是解决这个“背包问题”的一种聪明的方式。
想象一下你要去超市购物，拿着购物车，不知道要拿哪个商品好。
你站在货架前，左看看右看看，然后做个决定，把一个商品放进车里。
你又想，这个商品放进去是不是占了太多空间？不太合适啊。
于是你又把它拿出来，重新挑选。
是不是有点像这种感觉？队列分支限界法就像这种“反复尝试”和“做出决策”的过程，目标就是在众多的选择中找到那个最适合的最优解。
队列分支限界法的“分支”就好像树枝一样，咱们从根出发，一步一步地探寻可能的选择。
有点像打游戏的时候，你不断做选择，然后每次都会有新的路径、不同的结局。
你走错了路，还可以回来重新选择。
通过“限界”来控制范围，不能随便乱走。
这个“限界”是什么意思呢？就是你得给自己设个底线，不能一直试下去，得有个结束的时候。
想象一下你吃饭，不能老是吃，得停一停，不然撑死！在背包问题中，限界就是设置一个最大容量，超了就不行。
话说回来，队列分支限界法虽然听起来复杂，实际上它就像是咱们日常做选择时的那种“精打细算”。
你知道，选择背包里的物品要权衡重量和价值。
你能不能带一箱苹果，还是带个贵重的电子产品，或者你选择一个体积小但很有价值的小东西？每一种选择背后都有不同的权衡。
这个法子通过限制每一步的选择，排除掉那些明显不可能的解，剩下的就都是比较靠谱的选项了。
你说得对，这么一想，好像没那么难。
对了，还有个重要的点：队列！队列在这儿就像是一个按顺序来的排队。
