背包问题-贪心法和动态规划法求解

数据结构背包问题背景介绍：数据结构是计算机科学中非常重要的一门学科，它研究的是数据组织、存储和管理的方式。

背包问题是数据结构中的一个经典问题，它涉及到在给定的一组物品中选择一些物品放入背包中，使得背包的总重量或总价值达到最大化。

在本文中，我们将详细介绍背包问题的定义、解决方法和应用领域。

一、问题定义背包问题可以被描述为：给定一个背包，它能容纳一定的重量，再给定一组物品，每个物品有自己的重量和价值。

我们的目标是找到一种方式将物品放入背包中，使得背包的总重量不超过其容量，同时背包中物品的总价值最大化。

二、解决方法1. 贪心算法贪心算法是一种简单而有效的解决背包问题的方法。

它基于贪心的思想，每次选择当前具有最大价值重量比的物品放入背包中。

具体步骤如下：- 计算每个物品的价值重量比，即物品的价值除以其重量。

- 按照价值重量比从大到小对物品进行排序。

- 依次将物品放入背包中，直到背包的总重量达到容量限制或所有物品都放入背包。

贪心算法的优点是简单快速，但它并不能保证一定能找到最优解。

2. 动态规划动态规划是解决背包问题的一种经典方法。

它将问题划分为若干子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原问题的最优解。

具体步骤如下：- 定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中，背包容量为j时的最大价值。

- 初始化dp数组的第一行和第一列为0，表示背包容量为0或物品数量为0时的最大价值都为0。

- 逐行填充dp数组，对于每个物品，考虑将其放入背包或不放入背包两种情况，选择价值最大的方案更新dp数组。

- 最终dp数组的最后一个元素dp[n][m]即为问题的最优解，其中n为物品数量，m为背包容量。

动态规划方法能够保证找到最优解，但其时间复杂度较高，对于大规模的问题可能会耗费较长的计算时间。

三、应用领域背包问题在实际生活和工程领域中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：1. 物流配送在物流配送中，背包问题可以用来优化货车的装载方案，使得货车的装载量最大化，从而减少运输成本。

问题描述0/1 背包问题 :现有 n 种物品，对 1<=i<=n ，已知第 i 种物品的重量为正整数 W i ，价值为正整数 V i ， 背包能承受的最大载重量为正整数 W ，现要求找出这 n 种物品的一个子集，使得子集中物 品的总重量不超过 W 且总价值尽量大。

(注意：这里对每种物品或者全取或者一点都不取， 不允许只取一部分)算法分析根据问题描述，可以将其转化为如下的约束条件和目标函数：nw i x i W i 1 i i(1)x i { 0,1}( 1 i n)nmax v i x i (2) i1于是，问题就归结为寻找一个满足约束条件( 1 )，并使目标函数式( 2 )达到最大的 解向量 X (x 1, x 2 ,x 3, ........... , x n ) 。

首先说明一下 0-1 背包问题拥有最优解。

假设 (x 1,x 2,x 3, ........ ,x n ) 是所给的问题的一个最优解， 则(x 2,x 3, ............... ,x n )是下面问题的n n n个问 题 的 一 个 最 优解 ， 则v i y iv i x i ， 且 w 1x 1w i y i W 。

因此 ，i 2 i 2 i 2一个最优解：w i x i Wi2w 1x 1nmax v i x i 。

如果不是的话，设(y 2,y 3, , y n ) 是这x i {0,1}( 2 i n)i2n n nv1x1 v i y i v1x1 v i x i v i x i ，这说明(x1,y2,y3, ............. ,y n) 是所给的0-1 背包问i 2 i 2 i 1题比( x1 , x 2 , x3 , ... , x n ) 更优的解，从而与假设矛盾。

穷举法：用穷举法解决0-1 背包问题，需要考虑给定n 个物品集合的所有子集，找出所有可能的子集(总重量不超过背包重量的子集) ，计算每个子集的总重量，然后在他们中找到价值最大的子集。

一、 问题描述0/1背包问题:现有n 种物品，对1<=i<=n ，已知第i 种物品的重量为正整数W i ，价值为正整数V i ，背包能承受的最大载重量为正整数W ，现要求找出这n 种物品的一个子集，使得子集中物品的总重量不超过W 且总价值尽量大。

（注意：这里对每种物品或者全取或者一点都不取，不允许只取一部分）二、 算法分析根据问题描述，可以将其转化为如下的约束条件和目标函数：)2(max )1()1}(1,0{11∑∑==⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈≤ni i i ini i i x v n i x Wx w 于是，问题就归结为寻找一个满足约束条件（1），并使目标函数式（2）达到最大的解向量),......,,,(321n x x x x X =。

首先说明一下0-1背包问题拥有最优解。

假设),......,,,(321n x x x x 是所给的问题的一个最优解，则),......,,(32n x x x 是下面问题的一个最优解：∑∑==⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈-≤ni i i ini i i x v n i x x w W x w 2211max )2}(1,0{。

如果不是的话，设),......,,(32n y y y 是这个问题的一个最优解，则∑∑==>n i ni ii ii xv y v 22，且∑=≤+ni iiW yw x w 211。

因此，∑∑∑====+>+ni i i n i n i i i i i x v x v x v y v x v 1221111，这说明),........,,,(321n y y y x 是所给的0-1背包问题比),........,,,(321n x x x x 更优的解，从而与假设矛盾。

穷举法：用穷举法解决0-1背包问题，需要考虑给定n 个物品集合的所有子集，找出所有可能的子集（总重量不超过背包重量的子集），计算每个子集的总重量，然后在他们中找到价值最大的子集。

本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==背包问题实验报告篇一：背包问题实验报告课程名称：任课教师：班级:201X姓名：实验报告算法设计与分析实验名称：解0-1背包问题王锦彪专业：计算机应用技术学号：11201X 严焱心完成日期： 201X年11月一、实验目的：掌握动态规划、贪心算法、回溯法、分支限界法的原理，并能够按其原理编程实现解决0-1背包问题，以加深对上述方法的理解。

二、实验内容及要求：1．要求分别用动态规划、贪心算法、回溯法和分支限界法求解0-1背包问题；2．要求显示结果。

三、实验环境和工具：操作系统：Windows7 开发工具：Eclipse3.7.1 jdk6 开发语言：Java四、实验问题描述：0/1背包问题:现有n种物品，对1<=i<=n，第i种物品的重量为正整数Wi，价值为正整数Vi，背包能承受的最大载重量为正整数C，现要求找出这n种物品的一个子集，使得子集中物品的总重量不超过C且总价值尽量大。

动态规划算法描述:根据问题描述，可以将其转化为如下的约束条件和目标函数：nmax?vixi?n??wixi?C?i?1?x?{0,1}(1?i?n)?i寻找一个满足约束条件，并使目标函数式达到最大的解向量nX?(x1,x2,x3,......,xn)wixi，使得?i?1?C，而且?vixii?1n达到最大。

0-1背包问题具有最优子结构性质。

假设(x1,x2,x3,......,xn)是所给的问题的一个最优解，则(x2,x3,......,xn)是下面问题的一个最优解：?n??wixi?C?w1x1max?i?2?x?{0,1}(2?i?n)?i如果不是的话，设(y?vixi。

i?2nn2,y3,......,yn)是这个问题的一个最优解，则?viyi??vixi，且w1x1 i?2i?2n??wiyii?2?C。

消 费 电子 Байду номын сангаас
２ ０ １ ３年 １ ０月下 Ｃ ｏ ｎ ｓ ｕ ｍｅ ｒ Ｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｏ ｎ ｉ ｃ ｓ Ｍａ ｇ ａ ｚ ｉ ｎ ｅ 技 术 交 流
浅谈 ０ － １ 背包问题的常用算法
汤赫 男
（ 吉林工商学院信息工程学院，长春 １ ３ ０ ０ ６ ２） 摘 要 ：０ －１ 背 包问题是典型的 ＮＰ ～完全问题 ，无论从 理论 上还是 实践上都有一定的研究意义。本文综述 了几 种０ — １背包问题的 常用算法 ，分析算法的优劣 ，预 测 ０ － １背包问题的发展方向。 关键 词 ：０ — １背包问题 ；动 态规划法 ；贪心法 ；分支界限法
一
、
∑ｗ ，
ｌ ｛
㈠ ｛ “ ｝ ｍ ａ ｘ ∑
｛ ｊ
二 、常用 的 ０ － １ 背 包问题算法 （ 一） 蛮力法。 蛮 力法又称穷举法或枚举法，是一种简单、 直接、有效的方法，是初学者入 门的方法 。蛮力法要求遍历所 有可能情 况一次且仅一次 ，筛选 出符合要求 的解。应用蛮力法 求解 ０ － １ 背包 问题， 需要考虑给定的 ｎ 个物品集合的所有子集， 找出所有总重量不超过背包容量的子集 ，计算每个可能子集的 总价值，然后找 出价值最大的子集 。对于一个具有 ｎ个元素的 集合 ，其子集数量是 ２ “，所 以，不论生成子集 的算法效率有 多高 ，蛮力法求解 ０ － １ 背包 问题都会导致一个 Ｑ （ ２ ｎ ）的算法 。 （ 二 ）动 态规划法。动态规划 法是一种通用 的算 法设计 技术用来求解 多阶段决策最优 化问题。这类 问题都满 足最优 性原理，即原 问题 的最优 性包含着子 问题 的最优性 。 应用 动态规划法 求解 ０ － １ 背包 问题 ，可 以将 ０ — １背包 问 题看 作一个 多阶段决策最 优化 问题 。ｎ个物 品集合 的所 有子 集可 以看 作该 问题 的所有 可行解；这些可行解 都是满足约束 条件 的，可行解可能不止一个，通过 目标 函数找到最优解 。 动态 规划 法求解 ０ － １ 背包 问题 的算法描述 ： 设Ｖ （ ｎ ， Ｃ ）表 示将 ｎ个 物 品装入 容量 为 Ｃ的背 包获 得 的 最大价值 。 初 始 状 态 ：Ｖ （ ｉ ， ０ ） ＝ Ｖ （ ０ ， ｊ ） ＝ ０ ， ０≤ ｉ ≤ｎ ， ０≤ ｊ≤ Ｃ 则Ｖ （ ｉ ， ｊ ）表示 将前 ｉ 个 物 品装入 容量 为 ｊ的背 包获 得

}
printf("\n");
}
｝
以下要依次判断每个子集的可行性，找出可行解:
voidpanduan(inta[][4],intcw[])////判断每个子集的可行性，如果可行则计算其价值存入数组cw,不可行则存入0
{
int i,j;
int n=16;
int sw,sv;
for(i=0;i<16;i++)
用蛮力法解决0/1背包问题，需要考虑给定n个物品集合的所有子集，找出所有可能的子集（总重量不超过背包容量的子集），计算每个子集的总价值，然后在他们中找到价值最大的子集。
所以蛮力法解0/1背包问题的关键是如何求n个物品集合的所有子集，n个物品的子集有2的n次方个，用一个2的n次方行n列的数组保存生成的子集，以下是生成子集的算法：void force(int a[][4])//蛮力法产生4个物品的子集
{
int i,j;
int n=16;
int m,t;
for(i=0;i<16;i++)
{t=i;
for(j=3;j>=0;j--)
{
m=t%2;
a[i][j]=m;
t=t/2;
}
}
for(i=0;i<16;i++)//输出保存子集的二维数组
{
for(j=0;j<4;j++)
{
printf("%d",a[i][j]);
i++;
}
return maxprice;
}
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

第4 章
背包问题
如果给你一个背包，要你从许多东西里选择一些装进来，只要这个包装得下，你就可 以将包里的东西全部拿走了，那么你会如何选择物品呢？这里你需要考虑的是背包的体积 和承重限制，当然最重要的是你拿走的东西的总价值最大。这样的问题就是背包问题，许 多问题都可以转化为背包问题来考虑。背包问题是一个在运筹学领域里常见的典型 NP-C 难题，对该问题的求解方法的研究无论是在理论上，还是在实践中都具有一定的意义。
while (goods[0].flag<goods[i].flag) {
goods[i+1]=goods[i]; i--; } goods[i+1]=goods[0]; } ///////////////////////////////////////////
·78·
第 4 章 背包问题
cout<<"最优解为:"<<endl; for(i=1;i<=n;i++) {
4.3.1 〖案例 2〗0/1 背包
需对容量为 c 的背包进行装载。从 n 个物品中选取装入背包的物品，每件物品 i 的重 量为 wi，价值为 pi。对于可行的背包装载，背包中物品的总重量不能超过背包的容量，最 佳装载是指所装入的物品价值最高。限制：每个物品不能被分割，要不被装载，要不不被 装载。
第一行物品个数，接下来分别为物品价值，再接下来分别为物品的价值。再接下来分 别为物品的重量，最后为背包的容量。
数据结构与算法： 不需要特殊的数据结构 算法采用贪婪法 首先输入物品信息和背包容量,然后每次选比重最大的装载。
struct goodinfo
{ float p; float w; float X; int flag;

实验四“0-1”背包问题一、实验目的与要求熟悉C/C++语言的集成开发环境；通过本实验加深对贪心算法、动态规划算法的理解。

二、实验内容:掌握贪心算法、动态规划算法的概念和基本思想，分析并掌握“0-1”背包问题的求解方法，并分析其优缺点。

三、实验题1.“0-1”背包问题的贪心算法2.“0-1”背包问题的动态规划算法说明：背包实例采用教材P132习题六的6-1中的描述。

要求每种的算法都给出最大收益和最优解。

设有背包问题实例n=7，M=15,，(w0,w1,。

w6)=（2,3,5,7,1,4,1），物品装入背包的收益为：（p0，p1，。

，p6）=（10,5,15,7,6,18,3）。

求这一实例的最优解和最大收益。

四、实验步骤理解算法思想和问题要求；编程实现题目要求；上机输入和调试自己所编的程序；验证分析实验结果；整理出实验报告。

五、实验程序// 贪心法求解#include<iostream>#include"iomanip"using namespace std;//按照单位物品收益排序，传入参数单位物品收益，物品收益和物品重量的数组，运用冒泡排序void AvgBenefitsSort(float *arry_avgp,float *arry_p,float *arry_w ); //获取最优解方法，传入参数为物品收益数组，物品重量数组，最后装载物品最优解的数组和还可以装载物品的重量float GetBestBenifit(float*arry_p,float*arry_w,float*arry_x,float u);int main(){float w[7]={2,3,5,7,1,4,1}; //物品重量数组float p[7]={10,5,15,7,6,18,3}; //物品收益数组float avgp[7]={0}; //单位毒品的收益数组float x[7]={0}; //最后装载物品的最优解数组const float M=15; //背包所能的载重float ben=0; //最后的收益AvgBenefitsSort(avgp,p,w);ben=GetBestBenifit(p,w,x,M);cout<<endl<<ben<<endl; //输出最后的收益system("pause");return 0;}//按照单位物品收益排序，传入参数单位物品收益，物品收益和物品重量的数组，运用冒泡排序void AvgBenefitsSort(float *arry_avgp,float *arry_p,float *arry_w ) {//求出物品的单位收益for(int i=0;i<7;i++){arry_avgp[i]=arry_p[i]/arry_w[i];}cout<<endl;//把求出的单位收益排序，冒泡排序法int exchange=7;int bound=0;float temp=0;while(exchange){bound=exchange;exchange=0;for(int i=0;i<bound;i++){if(arry_avgp[i]<arry_avgp[i+1]){//交换单位收益数组temp=arry_avgp[i];arry_avgp[i]=arry_avgp[i+1];arry_avgp[i+1]=temp;//交换收益数组temp=arry_p[i];arry_p[i]=arry_p[i+1];arry_p[i+1]=temp;//交换重量数组temp=arry_w[i];arry_w[i]=arry_w[i+1];arry_w[i+1]=temp;exchange=i;}}}}//获取最优解方法，传入参数为物品收益数组，物品重量数组，最后装载物品最优解的数组和还可以装载物品的重量float GetBestBenifit(float*arry_p,float*arry_w,float*arry_x,float u) {int i=0; //循环变量ifloat benifit=0; //最后收益while(i<7){if(u-arry_w[i]>0){arry_x[i]=arry_w[i]; //把当前物品重量缴入最优解数组benifit+=arry_p[i]; //收益增加当前物品收益u-=arry_w[i]; //背包还能载重量减去当前物品重量cout<<arry_x[i]<<" "; //输出最优解}i++;}return benifit; //返回最后收益}//动态规划法求解#include<stdio.h>#include<math.h>#define n 6void DKNAP(int p[],int w[],int M,const int m); void main(){int p[n+1],w[n+1];int M,i,j;int m=1;for(i=1;i<=n;i++){m=m*2;printf("\nin put the weight and the p:");scanf("%d %d",&w[i],&p[i]);}printf("%d",m);printf("\n in put the max weight M:");scanf("%d",&M);DKNAP(p,w,M,m);}void DKNAP(int p[],int w[],int M,const int m) {int p2[m],w2[m],pp,ww,px;int F[n+1],pk,q,k,l,h,u,i,j,next,max,s[n+1];F[0]=1;p2[1]=w2[1]=0;l=h=1;F[1]=next=2;for(i=1;i<n;i++){k=l;max=0;u=l;for(q=l;q<=h;q++)if((w2[q]+w[i]<=M)&&max<=w2[q]+w[i]){u=q;max=w2[q]+w[i];}for(j=l;j<=u;j++){pp=p2[j]+p[i];ww=w2[j]+w[i];while(k<=h&&w2[k]<ww){p2[next]=p2[k];w2[next]=w2[k];next++;k++;}if(k<=h&&w2[k]==ww){if(pp<=p2[k])pp=p2[k];k++;}else if(pp>p2[next-1]){p2[next]=pp;w2[next]=ww;next++;}while(k<=h&&p2[k]<=p2[next-1])k++;}while(k<=h){p2[next]=p2[k];w2[next]=w2[k];next=next+1;k++;}l=h+1;h=next-1;F[i+1]=next;}for(i=1;i<next;i++)printf("%2d%2d ",p2[i],w2[i]);for(i=n;i>0;i--){next=F[i];next--;pp=pk=p2[next];ww=w2[next];while(ww+w[i]>M&&next>F[i-1]){next=next-1;pp=p2[next];ww=w2[next];}if(ww+w[i]<=M&&next>F[i-1])px=pp+p[i];if(px>pk&&ww+w[i]<=M){s[i]=1;M=M-w[i];printf("M=%d ",M);}else s[i]=0;}for(i=1;i<=n;i++)printf("%2d ",s[i]);}六、实验结果1、贪心法截图：七、实验分析。

（0-1）背包问题的解法小结1．动态规划法递推关系：– 考虑一个由前i 个物品(1≤i ≤n )定义的实例，物品的重量分别为w 1,…,w i ，价值分别为v 1，…，v i ，背包的承重量为j (1≤j ≤W )。

设V [I,j]为该实例的最优解的物品总价值– 分成两类子集：• 根据定义，在不包括第i 个物品的子集中，最优子集的价值是V [i -1,j ]• 在包括第i 个物品的子集中(因此，j －w ≥0)，最优子集是由该物品和前i -1个物品中能够放进承重量为i －w j 的背包的最优子集组成。

这种最忧子集的总价值等于v i +V [i -1,j -w i ].0]0,[时，0 当0;][0,时，0初始条件：当],1[}],1[],,1[max{],[=≥=≥<≥⎩⎨⎧-+---=i V i j V j w j w j j i V v w j i V j i V j i V i i i i以记忆功能为基础的算法：用自顶向下的方式对给定的问题求解，另外维护一个类似自底向上动态规划算法使用的表格。

一开始的时候，用一种“null”符号创始化表中所有的单元，用来表明它们还没有被计算过。

然后，一旦需要计算一个新的值，该方法先检查表中相应的单元：如果该单元不是“null ”，它就简单地从表中取值；否则，就使用递归调用进行计算，然后把返回的结果记录在表中。

算法 MFKnapsack(I,j)//对背包问题实现记忆功能方法//输入：一个非负整数i 指出先考虑的物品数量，一个非负整数j 指出了背包的承重量 //输出：前i 个物品的最伏可行子集的价值//注意：我们把输入数组Weights[1..n],Values[1..n]和表格V[0..n,0..W]作为全局变量，除了行0和列0用0初始化以外，V 的所有单元都用-1做初始化。

if V[I,j]<01if j<Weights[i]value ←MFKnapsack(i-1,j)elsevalue ←max(MFKnapsack(i-1),j), Value[i]+MFKnapsack(i-1,j-eights[i]))V[I,j]←valuereturn V[I,j]2．贪心算法1) 背包问题基本步骤：首先计算每种物品单位重量的价值Vi/Wi ，然后，依贪心选择策略，将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包。

回溯法
要点一
总结词
通过递归和剪枝来减少搜索空间，但仍然时间复杂度高。
要点二
详细描述
回溯法是一种基于递归的搜索算法，通过深度优先搜索来 找出所有可能的解。在0-1背包问题中，回溯法会尝试将物 品放入背包中，并递归地考虑下一个物品。如果当前物品 无法放入背包或放入背包的总价值不增加，则剪枝该分支 。回溯法能够避免搜索一些无效的组合，但仍然需要遍历 所有可能的组合，时间复杂度较高。
缺点
需要存储所有子问题的解，因此空间 复杂度较高。对于状态转移方程的确 定和状态空间的填充需要仔细考虑， 否则可能导致错误的结果。
04
0-1背包问题的动态规划解法
状态定义
状态定义
dp[i][ j]表示在前i个物品中选，总 重量不超过j的情况下，能够获得 的最大价值。
状态转移方程
dp[i][ j] = max(dp[i-1][ j], dp[i1][ j-w[i]] + v[i])，其中w[i]和v[i] 分别表示第i个物品的重量和价值。
02
计算时间复杂度：时间复杂度是指求解问题所需的时间与问题规模之间的关系。对 于0-1背包问题，时间复杂度主要取决于状态总数。由于每个状态都需要被遍历， 因此时间复杂度为O(2^n)，其中n是物品的数量。
03
空间复杂度：空间复杂度是指求解问题所需的空间与问题规模之间的关系。在0-1 背包问题中，空间复杂度主要取决于状态总数。由于每个状态都需要被存储，因此 空间复杂度也为O(2^n)，其中n是物品的数量。
06
0-1背包问题的扩展和实际应用
多多个物品和多个 背包，每个物品有各自的重量和价值， 每个背包有各自的容量，目标是选择物 品，使得在不超过背包容量限制的情况 下，所选物品的总价值最大。

Wi Xi
16.5 20 20 20
Vi X i
24.25 28.2 31 31.5
先检验这四个为可行解*,即满足约束条件(4.2.2),(4.2.3).再比 较目标函数值,∑vixi .知④组解效益值最大.该组解是背包问题的最 优解。(见定理4.2）
6
例4.4 n＝3,c＝20, (V1,V2,V3) (25, 24,15) (W1,W2,W3) (18,15,10)
7
，且物品2的24/15 = v2/w2 较物品3的15/10＝ v3/w3效益值高。按 此选择策略,得②即(1, 2/15, 0),∑vixi=28.2 .此解是一个次优解。 显然，按物品效益值的非增次序装包不能得最优解。
原因：背包可用容量消耗过快。
（2）以容量作为量度。即按物品重量的非降次序将物
—选取最优的量度标准实为用贪心方法求解问题的核心.
16
4.3 贪心算法的基本要素
1.贪心选择性质
所谓贪心选择性质是指所求问题的整体最优解可以 通过一系列局部最优的选择，即贪心选择来达到。这 是贪心算法可行的第一个基本要素，也是贪心算法与 动态规划算法的主要区别。
动态规划算法通常以自底向上的方式解各子问 题，而贪心算法则通常以自顶向下的方式进行，以迭 代的方式作出相继的贪心选择，每作一次贪心选择就 将所求问题简化为规模更小的子问题。
品装包。如例4.4中的解③（让背包尽可能慢被消耗）
排序 : (w3,w2,w1)= (10,15,18)
(V3,V2,V1) (15, 24, 25)
V3=15,x3=1,w3=10,背包剩余C－10＝10;物品2有次大重量(w2＝15), 但包装不下。使用x2＝2/3，刚好装满背包且物品2装入2/3与物品1 装入5/9的容量均为10个单位。但前者的效益值24×2/3=16 >后者

组合优化中的背包问题背景介绍：组合优化是一种数学领域的研究，它主要关注如何在给定的限制条件下，找到最佳的组合方式。

背包问题是组合优化中的经典问题之一，它在实际生活和工业领域中都有广泛的应用。

本文将重点探讨组合优化中的背包问题。

一、问题描述：背包问题是指在给定的一组物品中，选择一部分放入背包中，使得所选物品的总价值最大化，同时不超过背包的容量限制。

背包问题通常包括两种类型：0-1背包和分数背包。

1. 0-1背包问题：0-1背包问题是指每个物品要么完全装入背包，要么完全不装入背包。

每个物品的重量和价值可能不同，背包的容量限制固定。

2. 分数背包问题：分数背包问题允许物品被分割成若干部分，可以选择物品的一部分放入背包，以满足容量的限制。

每个物品的重量和价值可能不同，背包的容量限制也可能不同。

二、解决方法：1. 动态规划：动态规划是解决背包问题最常用的方法之一。

通过构建一个二维数组，其中行表示物品的选择，列表示背包的容量限制，数组中的每个元素表示当前状态下的最优解。

通过迭代计算，找到最优解并记录在数组中。

2. 贪心算法：贪心算法是另一种解决背包问题的方法。

贪心算法的基本思想是每次选择当前状态下最优的物品放入背包中，直到达到容量限制或者所有物品都被选择。

贪心算法可能并不一定能得到全局最优解，但在某些情况下可以得到较好的结果。

三、应用领域：背包问题在实际生活和工业领域中有广泛的应用，如以下几个例子：1. 物流配送问题：在物流配送中，背包问题可以用来决定每个物流车辆应该运输哪些货物，以最大化运输总价值，同时不超过车辆的运载能力。

2. 投资组合优化问题：在金融领域中，背包问题可以用来优化投资组合，选择哪些证券或资产应该包括在投资组合中，以最大化组合的收益，同时控制总投资金额。

3. 选课问题：在学校选课系统中，背包问题可以用来确定学生应该选择哪些课程，以满足学分要求，并尽可能选择喜欢的课程。

结论：以上是关于组合优化中的背包问题的介绍。

第1篇一、实验目的1. 理解背包问题的基本概念和分类。

2. 掌握不同背包问题的解决算法，如0-1背包问题、完全背包问题、多重背包问题等。

3. 分析背包问题的复杂度，比较不同算法的效率。

4. 通过实验验证算法的正确性和实用性。

二、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：Python3.73. 开发工具：PyCharm4. 实验数据：随机生成的背包物品数据三、实验内容1. 0-1背包问题（1）问题描述：给定n个物品，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]，背包的容量为C。

求将哪些物品装入背包，使得背包内物品的总价值最大。

（2）解决算法：动态规划法（3）实验步骤：a. 初始化一个二维数组dp[n+1][C+1]，其中dp[i][j]表示前i个物品在容量为j 的背包中的最大价值。

b. 遍历每个物品，对于每个容量，根据物品的重量和价值计算dp值。

c. 返回dp[n][C]，即为最大价值。

2. 完全背包问题（1）问题描述：给定n个物品，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]，背包的容量为C。

求将哪些物品装入背包，使得背包内物品的总价值最大，且每个物品可以重复取。

（2）解决算法：动态规划法（3）实验步骤：a. 初始化一个一维数组dp[C+1]，其中dp[j]表示容量为j的背包的最大价值。

b. 遍历每个物品，对于每个容量，根据物品的重量和价值更新dp值。

c. 返回dp[C]，即为最大价值。

3. 多重背包问题（1）问题描述：给定n个物品，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]，背包的容量为C。

每个物品有无限个，求将哪些物品装入背包，使得背包内物品的总价值最大。

（2）解决算法：动态规划法（3）实验步骤：a. 初始化一个一维数组dp[C+1]，其中dp[j]表示容量为j的背包的最大价值。

b. 遍历每个物品，对于每个容量，根据物品的重量和价值更新dp值。

c. 返回dp[C]，即为最大价值。

四、实验结果与分析1. 0-1背包问题实验结果显示，在背包容量为100时，最大价值为298。

背包问题常州一中林厚从背包问题是信息学奥赛中的经典问题。

背包问题可以分为0-1背包和部分背包两种类型，0-1背包还可以再分为有限背包和无限背包（完全背包）。

背包问题的求解涉及到贪心、递归、递推、动态规划、搜索等多种算法。

熟练掌握各种背包问题及其变形试题的解法，是信息学奥赛选手从入门走向提高的必经之路。

先简单归纳一下涉及到的这几种重要算法：1、贪心：贪心法可以归纳为“每步取优”。

假设你的程序要走1~n共n步，则你只要保证在第i步（i=1..n）时走出的这一步是最优的。

所以，贪心法不是穷举，而只是一种每步都取优的走法。

但由于目光短浅，不考虑整体和全局，所以“步步最优”并不能保证最后的结果最优。

比如经典的“两头取数”问题、“n个整数连接成最大数”问题、“删数”问题等。

2、递归：递归算法可以归纳为将问题“由大化小”。

也就是将一个大问题分解为若干个“性质相同”的子问题，求解的的过程，一般是通过“函数的递归调用”，不断将大问题逐步细化、直至元问题（边界情况），最后通过递归函数的自动返回得到问题的解。

递归算法的关键是递归函数的构造，它的效率往往比较低，原因在于大量的“冗余”计算。

比如经典的“斐波那挈数列”问题，在递归实现时效率极低，存在着大量的冗余计算，可以采用“记忆化”的方法优化。

3、递推：递推问题往往有一个“递推公式”，其实和“递归公式”差不多，但是出发点不一样，递归的思想是“要想求什么就要先求出什么”。

而递推是从问题的边界情况（初始状态）出发，一步步往下走，直到走完n步，判断最后的解。

由于其中的每一步并不知道当前一步的哪一个值对后面的步骤有用，所以只能把所有情况（一步的所有走法）全部计算出来，也造成了很多的“冗余计算”。

时间上往往没有太多的优化余地，但空间上经常利用“滚动数组”等方式，把空间复杂度由O（n2）降到O（2n）。

比如经典的“杨辉三角形”问题、“判断n是否是斐波那挈数”问题等。

4、动态规划：本质上是一种克服了“冗余”的“递归”算法。

运筹学背包问题例题
运筹学中的背包问题是一个经典的组合优化问题，通常分为0-1背包问题和分数背包问题。

这个问题可以用来描述一个背包有限的容量，以及一系列物品，每个物品都有自己的重量和价值。

问题的目标是找到一个组合，使得放入背包的物品总重量不超过背包容量，同时使得这些物品的总价值最大化。

举一个例子来说明背包问题：假设有一个背包容量为10kg，现有以下物品：
物品A，重量3kg，价值150元。

物品B，重量4kg，价值300元。

物品C，重量5kg，价值200元。

针对这个例子，我们可以用动态规划或者贪心算法来解决背包问题。

在0-1背包问题中，每个物品只能选择放或者不放，不能进行分割。

而在分数背包问题中，物品可以进行分割放入背包。

解决背包问题的关键是建立递推关系和状态转移方程，以确定
如何选择物品放入背包以达到最优解。

动态规划是解决背包问题的
常用方法，通过填写一个二维的状态转移表格来逐步求解最优解。

贪心算法则是通过每一步选择当前最优的策略，不断迭代直至达到
最优解。

除了动态规划和贪心算法，还有其他方法可以解决背包问题，
比如分支限界法、回溯法等。

每种方法都有其适用的场景和局限性。

总的来说，背包问题是运筹学中的一个经典问题，有着广泛的
应用。

通过合适的算法和方法，我们可以有效地解决背包问题，找
到最优的放置方案，这对于资源分配、生产调度等实际问题有着重
要的意义。

背包问题的解决算法在日常生活中，我们常常会遇到背包问题。

比如说，你需要出门远足，但是又不想背太多的东西，怎么办？这时候，你就需要一种背包算法，用以帮助你选出最好的装备。

当然，背包算法不仅仅局限于这种场景，还可以应用于计算机科学等领域。

背包问题可以定义为：在限定容量下，找到能够装下最大价值物品的选择方案。

在计算机科学中，背包问题又分为0/1背包和无限背包两种类型。

0/1背包指的是在数量有限的情况下，每种物品只能选择一次；无限背包则意味着每种物品可以重复选择。

现在，我们来讨论一下几种常见的背包算法。

1. 贪心算法贪心算法是一种常见的解决背包问题的方法。

首先，根据每个物品的价值大小来求解。

然后，将每个物品按照其价值排序。

按照顺序，从价值最高的开始选择，在能够装下的情况下，尽量选择多的物品。

这种方法容易理解，但是它并不一定能够获得最优解。

2. 动态规划算法动态规划是解决背包问题最常用的算法。

它将问题分解成多个子问题，并且利用已经求解过的子问题来递推求解更大的问题。

具体来说，动态规划算法需要在每个状态中维护当前已经选择的物品，以及它们的价值和总重量。

然后，根据每个物品的价值，计算出在当前重量下选择这个物品的最大价值，同时比较这个价值和不选择这个物品的价值大小，最终得出最优解。

3. 回溯算法回溯算法也是一种解决背包问题的方法。

它的基本思想是，从初始状态开始，考虑每种可能的选择，最终找到最优解。

相比其他算法，回溯算法需要考虑所有可能的解，因此在问题较大的时候，它的时间复杂度可能较高。

但是，回溯算法通常能够得到最优解。

4. 分支定界算法分支定界算法也是一种解决背包问题的方法。

它通过确定每种物品能否被选择，来缩小解空间并加速搜索。

具体来说，它会根据价值和重量来对物品进行排序，并尝试从价值最高的物品开始选择。

然后，将剩余的物品按选择顺序进行排序，并对每个物品进行深度优先搜索，直到搜索到了可行解或者不可行解为止。

在实际应用中，以上几种算法都有其优缺点。

《程序设计创新》分支限界法解决01背包问题一、引言分枝限界法通常以广度优先或最小成本（最大收益）优先搜索问题的解空间树。

在分枝限界方法中，每个活动节点只有一次成为扩展节点的机会。

当活动节点成为扩展节点时，将同时生成所有子节点。

这些子节点将丢弃不可执行或非最优解的子节点，并将剩余的子节点添加到活动节点表中。

然后，从活动节点表中选择节点作为当前扩展节点，然后重复上述节点扩展过程。

此过程将持续到所需的解决方案或节点表为空。

二、研究背景在生活或企业活动中，我们常常会遇到一些装在问题。

例如在生活中我们要出去旅游，背包的容量是有限的而要装物品可能很多，但是每个物品的装载优先级肯定是不一样的，那么怎么装更合适一些呢。

在企业活动中，比如轮船集装箱装载问题，集装箱是有限的，那么怎么装载这些货物才能每次都是装载最多的，只有这样企业利润才能最大化。

三、相关技术介绍上述问题就是我们算法中会遇到的背包问题。

而背包问题又分许多。

如背包问题，通常用贪心法解决。

如01背包问题通常用动态规划或者分支限界法解决。

本次我们考虑使用分支限界法来解决01背包问题四、应用示例在01背包问题中，假设有四个物品。

重量W（4,7,5,3），价值V（40,42,25,12），背包重量W为10，试求出最佳装载方案。

定义限界函数： ub = v + （W-w）×（Vi+1/W+1）画出状态空间树的搜索图步骤：①在根结点1，没有将任何物品装入背包，因此，背包的重量和获得的价值均为0，根据限界函数计算结点1的目标函数值为10×10=100；②在结点2，将物品1装入背包，因此，背包的重量为4，获得的价值为40，目标函数值为40 + (10-4)×6=76，将结点2加入待处理结点表PT中；在结点3，没有将物品1装入背包，因此，背包的重量和获得的价值仍为0，目标函数值为10×6＝60，将结点3加入表PT 中；③在表PT中选取目标函数值取得极大的结点2优先进行搜索；④在结点4，将物品2装入背包，因此，背包的重量为11，不满足约束条件，将结点4丢弃；在结点5，没有将物品2装入背包，因此，背包的重量和获得的价值与结点2相同，目标函数值为40 + (10-4)×5=70，将结点5加入表PT中；⑤在表PT中选取目标函数值取得极大的结点5优先进行搜索；⑥在结点6，将物品3装入背包，因此，背包的重量为9，获得的价值为65，目标函数值为65 + (10-9)×4=69，将结点6加入表PT中；在结点7，没有将物品3装入背包，因此，背包的重量和获得的价值与结点5相同，目标函数值为40 + (10-4)×4＝64，将结点6加入表PT中；⑦在表PT中选取目标函数值取得极大的结点6优先进行搜索；⑧在结点8，将物品4装入背包，因此，背包的重量为12，不满足约束条件，将结点8丢弃；在结点9，没有将物品4装入背包，因此，背包的重量和获得的价值与结点6相同，目标函数值为65；⑨由于结点9是叶子结点，同时结点9的目标函数值是表PT中的极大值，所以，结点9对应的解即是问题的最优解，搜索结束。