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三角函数线
三角函数线是正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线和余割线的总称（有时还包括正矢线、余矢线等，是三角函数的几何表示。
如图：
设任意角a的顶点在原点O（单位圆的圆心），始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P（x，y），过点P作x轴的垂线，，垂足为点M；过点A（1,0）作单位圆的切线，设它与角a的终边（当a位于第一、第四象限时）或其反向延长线（当a位于第二、第三象限是）相交于点T，于是有sin a=y=MP，cos a=x=OM，tan a=y/x=PM/OM=AT/OA=AT.
我们规定与坐标轴同向时，方向为正方向，与坐标轴反向时，方向为负向，则有向线段MP,OM,AT,分别叫做角a的正弦线、余弦线、正切线，他们统称三角函数线。
（1）三角函数线的意义是可以表示三角函数的值，其长度等于三角
函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负。
（2）因为三角函数线是与单位圆有关的有向线段，所以作角的三角函数线时，一定要先做单位圆。
（3）有向线段的书写：有向线段的起点字母写在前面，终点字母写在后面。
高考数学知识点：三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）高考数学知识点：三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P（x，y），过P点作x轴的垂线，垂足为M，过点A（1，0）作单位圆的切线,高二，设它与角α的终边或其反向延长线相交于点T，则有向线段MP、OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线，正切线，即：sinα=MP，cosα=OM，ta nα=AT，如下图：注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负。
关于三角函数线，要注意以下几点：（1）正弦线、余弦线、正切线都是有向线段，利用它们的数量来表示三角函数值，是数形结合的典型体现。
三角函数线表示三角的函数值的符号规定如下：正弦线MP、正切线AT方向与y轴平行，向上为正，向下为负；余弦线OM在x 轴上，向右为正，向左为负。
（2）作三角函数线时，所用字母一般都是固定的，书写顺序也不能颠倒。
特别要注意正切线必在过A（1，0）的单位圆的切线上（其中二、三象限角需作终边的反向延长线）。
（3）对于终边在坐标轴上的角，有时三角函数线退化为一个点，有时又为整个半径。
当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在。
（4）当时，正弦线、余弦线、正切线与角α并不是一一对应的。
一般地，每一个确定的MP、OM、AT都对应两个α的值。
诱导公式：公式一公式二公式三公式四公式五公式六规律：奇变偶不变，符号看象限。
即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。
形如2k×90°±α，则函数名称不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。
三角函数线证明不等式
我们要证明的不等式是：对于任意实数x，有sin x ≤x ≤tan x。
第一步，根据三角函数线的基本性质，我们知道在单位圆上，正弦线、余弦线、正切线与x轴围成的面积分别等于1/2、1/4、1/4。
第二步，由于正弦线与x轴围成的面积大于余弦线与x轴围成的面积，所以对于任意实数x，有sin x > cos x。
第三步，由于正切线与x轴围成的面积等于正弦线与x轴围成的面积的一半，所以对于任意实数x，有tan x > sin x。
第四步，由于正弦线与x轴围成的面积小于正切线与x轴围成的面积，所以对于任意实数x，有sin x < tan x。
综上，我们证明了对于任意实数x，有sin x ≤x ≤tan x。
高考数学知识点：三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）_知识点总结高考数学知识点：三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P（x，y），过P点作x轴的垂线，垂足为M，过点A（1，0）作单位圆的切线,高二，设它与角α的终边或其反向延长线相交于点T，则有向线段MP、OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线，正切线，即：sinα=MP，cosα=OM，tanα=AT，如下图：注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负。
关于三角函数线，要注意以下几点：（1）正弦线、余弦线、正切线都是有向线段，利用它们的数量来表示三角函数值，是数形结合的典型体现。
三角函数线表示三角的函数值的符号规定如下：正弦线MP、正切线AT 方向与y轴平行，向上为正，向下为负；余弦线OM在x轴上，向右为正，向左为负。
（2）作三角函数线时，所用字母一般都是固定的，书写顺序也不能颠倒。
特别要注意正切线必在过A（1，0）的单位圆的切线上（其中二、三象限角需作终边的反向延长线）。
（3）对于终边在坐标轴上的角，有时三角函数线退化为一个点，有时又为整个半径。
当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在。
（4）当时，正弦线、余弦线、正切线与角α并不是一一对应的。
一般地，每一个确定的MP、OM、AT都对应两个α的值。
诱导公式：公式一公式二公式三公式四公式五公式六规律：奇变偶不变，符号看象限。
即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。
形如2k×90°±α，则函数名称不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。
三角函数线教学目的：1.理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.2.理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.3.掌握正弦线、余弦线、正切线.教学重点：三角函数在各象限内的符号,掌握三角函数线教学难点：正确理解三角函数可看作以“实数”为自变量的函数教学过程：一、基础梳理：（1）单位圆：半径等于_________的圆叫做单位圆.（2）有向线段：带有_____的线段叫做有向线段.设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x,y),过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点A(1,0)作单位圆的切线，设它与角α的终边（当α在第一、四象限角时）或其反向延长线（当α为第二、三象限角时）相交于T.规定：当OM 与x 轴同向时为正值，当OM 与x 轴反向时为负值；当MP 与y 轴同向时为正值，当MP 与y 轴反向时为负值；当AT 与y 轴同向时为正值，当AT 与y 轴反向时为负值；根据上面规定，则OM=x, MP=y ,(3)三角函数线根据正弦、余弦、正切的定义，就有sin _____,cos _____,tan ____.11y y x x y MP AT y x r r x OM OAααα============这三条与单位圆有关的有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线（4）三角函数在各象限内的符号规律：ααcsc sin 为正 全正 ααcot tan 为正 ααsec cos 为正符号的记忆口诀：____________________________________________ 二、自测自评：1.已知角α的正弦线长度为单位长度，那么角α 终边（ ）（A ）在x 轴上 （B ）在y轴上 （C ）在直线y=x上 （D ）在直线y=-x 上2.如果42ππα〈〈，那么下列各式中正确的是（ ）（A ）cos tan sin ααα〈〈（B ）sin cos tan ααα〈〈 （C ）tan sin cos ααα〈〈（D ）cos sin tan ααα〈〈 正切、余切余弦、正割正弦、余割3.sin1_____sin3π(填大于或小于) 三、讲解范例：例1 确定下列三角函数值的符号(1)cos250° （2）)4sin(π- （3）tan （－672°） (4))311tan(π例2 若⎩⎨⎧><0tan 0sin θθ，则角θ为第几象限角？例3 求函数cos sin tan |cot ||sin |cos tan cot x x x x y x x x x=+++的值域四、课堂练习：1.确定下列各式的符号(1)sin100°·cos240° (2)sin5+tan52. x 取什么值时,xx x tan cos sin +有意义? 3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为……（ ）A 锐角三角形B 钝角三角形C 直角三角形D 以上三种情况都可能4．若是第三象限角，则下列各式中不成立的是………………（ ）A ：sin α+cos α<0B ：tan α-sin α<0C ：cos α-cot α<0D ：cot αcsc α<05．已知θ是第三象限角且cos 02θ<，问2θ是第几象限角？。
