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第一讲：为什么要学习数学教育学第一节数学教育成为一个专业的历史数学教师是一种职业，是一种需要特殊培养的专业人士。
古代：学校教育的主要目的是培养大大小小的官吏、僧侣和文职人员西方：数学教育的目的主要是为了训练学生的心智，<七艺教育：文法、修辞、逻辑学、算术、几何、天文、音乐）b5E2RGbCAP中国：古代算学以测量田亩、计算税收等为目的，主要用于国家管理,数学教育的主要目的是为了经世致用，地位不高。
(六艺教育：礼、乐、射、御、书、数>p1EanqFDPw进入19世纪，数学在学校教育中占据重要地位：西方——古典教育与科学教育之争；中国——西方传教士兴办教会学校，但数学未普及。
Jeremy Kilpatrick<杰瑞M·克伯屈）《一份数学教育研究的历史》：19世纪末，人们意识到，教好数学需要既懂数学又懂教案法。
DXDiTa9E3d20世纪，数学教育开始成为一门专业⑴1911年，F·Klein指导的第一个数学教育博士Rudolf Schimmack毕业。
⑵隶属于国际数学联合会的国际数学教育委员会<ICMI）成立。
⑶各国教师培养计划中重视和加强教案法培训的倾向更加明显。
第二节数学教育成为一门科学学科的历史有两门学科对数学教育研究有过根本性影响的，而且继续发挥影响：数学和心理学此外，哲学、社会学、人类学、经济学、政治学、生态学等不断影响数学教育领域，尤其是人类文化视角深刻地影响着人们对数学教育的认识。
RTCrpUDGiT⑴数学——Felix Klein，首任ICMI主席，热心倡导数学教育改革，一再强调：①数学教师应该具有较高的观点——掌握或了解数学概念、方法及其发展与完善的过程及数学教育演化的经过；②教育应该是发生性的——空间直观、数学应用、函数概念非常必要；③应该用综合起来的一般概念和方法来解决问题；④应该以函数为中心将算术、代数与几何综合起来。
总之，数学影响教案内容的选取。
九年级数学精讲班讲义一、一元二次方程。
1. 定义。
- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)。
- 举例：x^2+2x - 3 = 0，这里a = 1，b = 2，c=- 3。
2. 解法。
- 直接开平方法。
- 对于方程x^2=k(k≥slant0)，解得x=±√(k)。
- 例如：(x - 1)^2=4，则x - 1=±2，x = 1±2，即x = 3或x=-1。
- 配方法。
- 步骤：先将二次项系数化为1，然后在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程化为(x + m)^2=n的形式再求解。
- 例如：x^2+4x - 1 = 0，x^2+4x = 1，x^2+4x + 4 = 1+4，(x + 2)^2=5，x=-2±√(5)。
- 公式法。
- 求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
- 对于方程2x^2-3x - 1 = 0，a = 2，b=-3，c = - 1，代入公式可得x=frac{3±√((-3)^2)-4×2×(-1)}{2×2}=(3±√(17))/(4)。
- 因式分解法。
- 把方程化为(mx + n)(px + q)=0的形式，则mx + n = 0或px + q = 0。
- 例如：x^2-3x + 2 = 0，分解为(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2。
3. 根的判别式Δ=b^2-4ac- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。
- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
- 当Δ<0时，方程没有实数根。
- 例如：对于方程x^2-2x + 1 = 0，Δ=(-2)^2-4×1×1 = 0，方程有两个相等的实数根x = 1；对于方程x^2+1 = 0，Δ = 0 - 4×1×1=-4<0，方程没有实数根。
三陶教育数学讲义数学是一门有着悠久历史的学科，也是抽象思维能力最发达的学科之一。
随着现代社会的发展，数学在日常生活中起着极为重要的作用，它对个人发展非常重要，对于多元就业者来说，尤其重要。
因此，数学教育也变得十分重要。
本讲义试图以朴素的方式来深入讨论三陶教育数学。
三陶教育数学是一种新型的数学教育方式，它的主要目的是激发学生的智力潜能、培养学生的创造性思维、提高学生的分析能力、消除学生的学习压力。
三陶教育数学着重于培养学生的正确思维方式，强调以“问题引导”的方式来进行教学，重视学生的自主学习能力。
通过解决实际问题，培养学生的分析、解决问题和应用数学知识的能力，激发学生的学习兴趣。
首先，三陶教育数学注重教学环境的改善，以提升学生的学习效率和成绩。
数学教育应该创造一个轻松、愉快、有活力的学习氛围，同时让学生了解数学知识的价值，以及利用数学知识进行学习和实践的重要性。
其次，三陶教育数学注重培养学生的抽象思维能力、逻辑思维能力以及推理能力。
学生应该学会用实际例子来概括数学思想，学会从复杂的公式中不断抽象出普遍性，学会从复杂的问题中抽出定义、研究和推理出解答。
最后，三陶教育数学注重培养学生的应用能力以及创新能力。
学生应该学会以创新的思路去解决实际问题，掌握数学的应用规律，学会使用数学知识来处理复杂的实际问题，并激发他们的创新潜质。
进行三陶教育数学的实施，教师首先要了解数学的基本概念，牢记其核心原理和普遍性，并熟知基本运算。
此外，应该开设一系列实际问题，结合学生的兴趣和自身情况，让他们在解决实际问题中学习数学，培养他们的分析思维能力。
同时，针对不同学生的特点，教师应该采取多种教学方式，激发学生的学习兴趣。
最后，应该指导学生评价自己学习的情况，结合学生的特点，不断改进教学方法，有效提高数学教学质量。
总之，三陶教育数学充分发挥了数学作为一门学科所拥有的独特优势，对学生的发展具有重要的意义。
只有强调教育的质量，注重教师和学生体验，才能有效推进教育进步。
第1讲数学教育概论
数学教育概论是一门重要的理论课程，是数学教育学科的基础课程，
它包括数学教育发展的历史、内容概念与教学方法、教育心理学等内容，
为数学教育学科建设和数学教育实践提供基础理论依据。
数学教育发展的历史主要从狄拉克对数学运用抽象思维的概念到现代
数学教育理论的发展，反映了数学教育及其发展的实际情况。
狄拉克认为，数学是抽象思维的研究，其历史也追溯到古希腊，他提出了“建立系统的
数学”，代表着数学教育理论的最初阶段，也是现代数学教育理论发展的
基础。
到20世纪的晚期，数学教育理论及其发展又有了新的变化，数学
教育从一般意义上的“讲授”转变为“活动式”的学习数学。
在这种思想
指导下，数学教育走向更广阔的空间，也更加重视学生自主学习的能力。
数学教育内容概念和教学方法涉及到数学内容的认知，这就引出了数
学教育中的意义概念和内容理论、抽象原理的把握和系统建构、解决问题
的策略和方法以及具体数学技能等内容。
小学数学讲义专题讲义15讲(基础+提高)1. 引言本文档是小学数学讲义的专题讲义，共包括15个讲座，涵盖了基础和提高的内容。
该系列讲座旨在帮助小学生提升数学能力，加深对数学知识的理解和运用。
2. 讲座目录以下是本讲义专题的15个讲座的简要概述：讲座1: 数的认识和计数法- 数的基本概念- 计数法的原理和应用讲座2: 加法和减法基础- 加法的概念和运算规则- 减法的概念和运算规则讲座3: 乘法和除法入门- 乘法的概念和运算规则- 除法的概念和运算规则讲座4: 分数的认识和比较- 分数的概念和表示方法- 分数的比较和运算讲座5: 小数的认识和运算- 小数的概念和表示方法- 小数的加减乘除运算讲座6: 数字的位置和顺序- 数字的位置- 数字的顺序和大小比较讲座7: 数量和图形的关系- 重量和容量的概念和测量方法- 图形的分类和性质讲座8: 时间和日历的应用- 时间的表示和读写方法- 日历的使用和应用讲座9: 数据的整理和统计- 数据的收集和整理方法- 数据的统计和分析讲座10: 长度和面积的计算- 长度的计量单位和换算- 面积的计算和应用讲座11: 三角形和四边形- 三角形的性质和分类- 四边形的性质和分类讲座12: 时钟和角度的测量- 时钟的读取和应用- 角度的测量和运用讲座13: 整数的认识和运算- 整数的概念和表示方法- 整数的加减乘除运算讲座14: 平均数和比例的应用- 平均数的计算和应用- 比例的概念和解题方法讲座15: 图形的坐标和对称- 坐标系和平面直角坐标系- 图形的对称和判断方法3. 总结本文档涵盖了小学数学基础和提高的15个专题讲座。
通过学习这些讲座，小学生可以加深对数学概念和运算规则的理解，提升数学能力，并应用于实际问题中。
希望该讲义专题能对小学生的数学学习有所帮助。
教材教法讲义目录第一章义务教育数学课程标准 (2)第一节基本理念 (2)第二节课程目标 (5)第三节教学建议与评价建议 (6)第四节数学教学目标 (11)第五节数学教学的原则与方法、模式与设计 (13)第六节数学教学的内容 (18)第二章普通高中数学新课程标准 (20)第一节课程性质 (20)第二节、课程的基本理念 (20)第三节、课程设计思路 (22)第四节课程目标 (24)第五节内容标准 (25)第六节实施建议 (26)第三章课标习题............................................................................. 错误!未定义书签。
第四章教学知识............................................................................. 错误!未定义书签。
第一节数学教学方法............................................................. 错误!未定义书签。
第二节数学教学知识............................................................. 错误!未定义书签。
第三节数学教学过程............................................................. 错误!未定义书签。
第五章教学设计.. (33)第一章义务教育数学课程标准第一节基本理念一、课程性质义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性。
数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能；培养学生的抽象思维和推理能力；培养学生的创新意识和实践能力；促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。
义务教育的数学课程能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础。
数学教育学讲稿第一讲数学教育学研究的内容和方法一,数学教育历史的简单回顾·数学教育的历史,可以追溯到人类开始记数的原始社会.古希腊的柏拉图学院门口写着:"不懂几何学的不准入内".中国《周礼》中提出六艺:"礼,乐,射,御,书,数"数,指九数,也即数学.·真正的数学教育始于工业革命时代.1760年,英国的普里斯特利首先提出基础的学术性课程,其中包括数学课程.此后欧美各国发展了内容大致相同的数学课程,并逐步推广到全世界.中国由于清政府只重"洋务"(发展工业),忽视数学等基本理论的发展和教育,真正兴办学校,普及西算,即建立学校数学课程,乃是1911年辛亥革命之后的事了.上述简单的历史回顾,说明:·数学教育的历史虽长,但现代意义下的"学校数学教育"不过200年的历史,在中国则还不到100年的历史,和人类科学文化的整个历史相比,这段时间不算长,数学教育仍是比较年轻的学科.二,数学教育的研究内容数学教育的理论研究较之教学实践更为薄弱.多年以来.我们一直来用"数学教材教法"来代替这门学科,基本上是经验性地描述数学教学的过程,成为当时"大纲教材"的解释和说明.80年代以来,国外的一些教科书介绍进来,很多以"数学教育学"为题.我国的"数学教材教法"课程也开始改为"数学教育学"了,并且获得了飞速的发展.关于数学教育学的研究对象的几种不同的提法(1)前苏联数学教育专家A·A·斯托利亚尔在《数学教育学》一书中提到:"数学教育学的对象是数学教学".也就是研究数学教学过程的一门科学.他把教学过程分解成下列要素:①教学目的(为什么教);②教学对象(教谁);③教学内容(教什么);④教学方法(如何教).按照斯托利亚尔的这个观点,似乎数学教育学的内容就是我们通常所说的数学"教材教法"的总论和分论,因为"教材教法"也是研究这些问题.(2)美国的凯伦(Tom Kieren)在一篇题为《数学教育研究——三角形》的文章里,对数学教育的研究对象作了形象的比喻和描述, 数学教育学有三个研究领域,这就是课程论;教学论和学习论.课程(教材编写者)学习论(学生) 教学论(教师)①数学学习论②数学教学论③数学课程论由此可以看出:·数学教育学研究的对象是紧密相联的三个方面:学习论,课程论和教学论.(3)日本学者横地清教授在他的《数学教育学序说》一书中提出了数学教育学的研究对象,他认为数学教育学有七个研究领域:·关于学习者的数学的认识和实践的研究;·关于教授——学习的研究;·关于教育内容的确定和教育课程的研究;·关于公共教育机关(保育院,幼儿园,小学,初中,高中,大学)的数学教育的研究;·关于数学在社会中的作用的研究;·关于数学教育史的研究;·关于世界数学教育的研究.这里的前三项实际上属于学习论,教学论和课程论范踌,而后四项从属于"三论",并且是为研究"三论"服务的.一般地,认为数学教育学是以数学的课程论,教学论和学习论为主要对象的一门实践性很强的综合性科学.三,数学教育学的学科特点(1)综合性:是一门与数学,哲学,教育学,心理学,逻辑学等学科相关联的综合性学科.(2)实践性:是研究中学数学教学的规律. 表现在以下三个方面:第一,以广泛的实践经验为其背景.第二,问题来自于实践.第三,研究的结果指导数学教学实践,并通过实践检验其理论.(3)理论性理论性体现在,研究要符合数学学习,数学教学的一般规律,符合事物发展的趋势,符合其它学科的一般规律,符合实际.要根据数学学习和教学过程的固有特性和本质规律来揭示数学教育的本质,对数学学习,数学教学等方面的问题给予系统的回答.(4)发展性研究要跟上时代发展的步伐.由于社会的不断发展,社会对基础教育不断提出新的要求,数学教学的目的,内容以及教学方法也要不断的改进.事实上,四个特点有其各自的作用.综合性是数学教育理论研究的依托,实践性是数学教育研究的出发点与归宿,理论性是数学教育研究的基本要求,发展性是使数学教育研究丰富的源泉.四个特点本身也是相关的,没有实践性与发展性就谈不上理论性,实践性,理论性本身就有数学教学研究的因素等等.四,数学教育学的研究方法可以归纳为如下几种:1,历史的研究方法研究和利用数学史及数学教育发展史.数学发展史给我们提供了数学概念,理论,思想,方法,语言发展的历史道路的重要知识,数学发展史是人类认识数学的历史.学生学习数学的过程和人类认识数学的过程有一致性.参照历史过程往往能够找到学生学习数学的合理程序以及形成和发展这些概念,理论,思想,方法,语言的途径;历史的研究方法是要从历史中吸取教育思想的启迪,不是去重复和复制历史;把现实的研究问题放到数学和数学教育历史中看清其历史地位;把历史资料和现实资料加以对比分析,从历史的全局上把握本质.2,理论的研究方法中学数学教学论是一门实践性很强的理论学科,并不否定理论的研究或思辨性研究,而往往要用思辨性的研究作理论分析,分解出研究问题的构成因素,形成假说;研究各种因素的性质和相互关系;从众多资料中作理论概括,抽出规律,形成理论体系.3,实证的研究方法通过收集资料,进行调查和统计,分析和比较以及剖析典型事例,来研究构成教育问题的基本因素,以把握问题的实质和规律性.常用的方法是观察和调查.比如通过自己的数学教学实践,或通过调查了解有关中学的数学教学工作,可能发现一些有价值的问题,对这些问题进行深入全面的分析,制订解决方案,进行实践,通过解决问题,可能总结出一些规律性的东西,充实数学教学论的内容.4,实验的研究方法实验研究中也采用许多实证研究的方法,如观察和调查,但有本质的区别.这就是实验研究中,人为地制造了严密地验证实验假说的系统和环境,既要有严格的控制条件.首先要提出和论证实验课题,作出实验假说.实验课题要明确,要有必要性,假说要简明,要具有可验证性,充分性和无矛盾性.根据实验假说确定实验类型,取样,控制实验条件,进行教学实验;采用研究性谈话,问卷,测试,系统观察与个案研究等方法收集资料;使用经验归纳法,统计分析法等方法分析处理资料,得出结论,最后写出实验报告或论文.在研究方法上,要特别注意做到以下几个方面的结合(1)宏观分析与微观分析相结合(2)动态分析与静态分析相结合(3)定性分析与定量分析相结合(4)理论研究和实验研究相结合第二讲数学学习理论一,认知——发现理论和数学学习布鲁纳是西方认知心理学的主要代表人物之一,他的认知——发现理论起源于完形说.他在《教育的过程》中系统地阐述了自己的教学思想,主要包括以下几个方面:教育在智育方面的目标是传授知识和发展智力;要让学生学习学科知识的基本结构;布鲁纳认为:将学科基本结构作为教学的中心内容,让学生掌握学科的基本结构有如下好处: 懂得基本原理可以使得学科更加容易理解.因为抓住了基本原理,就可以根据这个原理去理解许多特殊的现象和事实.掌握基本结构有助于知识的记忆.因为没有形成结构的知识,很快就会遗忘.降低遗忘率的好方法,就是根据基本原理来组织论据;需要时只要借助这些基本原理来推断论据,就可将一件事实重新回忆起来.掌握基本原理有助于学习的迁移.将事物作为基本原理的特例去理解,可以使学生根据已学得的知识去推及以后遇到的问题.从小就开始学习学科的基本结构,有利于缩小目前小学,中学和大学的学习过程中"低级"知识和"高级"知识之间的差距.注重儿童的早期智力开发;提倡"发现学习"的方法所谓发现学习,就是学生不是从教师的讲述中得到一个概念或原则,而是在教师组织的学习情境中,学生通过自己的头脑亲自获得知识的一种方法.(5)布鲁纳的四个数学学习原理:①建构原理. ②符号原理. ②比较和变式原理. ④关联原理.布鲁纳的教学和学习理论,对我们有如下几点启示:(1)在数学教学过程中,不仅应使学生掌握数学知识的概念,定理,公式等,还应理解数学知识的来龙去脉,应注重知识的产生过程,而不是孤立地记住一些数学结论.(2)在表示数学知识时,要根据学生的情况,考虑是通过一系列实例呢,还是通过一些概念和原理,或是一系列符号.(3)在数学教学过程中,应把学习过的数学知识按一定的方式构造好,以便于学生记忆和保持.(4)为了"迁移"做好充分的准备,应使学生对数学基本原理有深刻的理解,从而根据原理的结构,把掌握的模式应用到类似的事物中.(5)要使学生享受到数学智力活动的乐趣,把从中得到的愉悦作为鼓励学生学习的重要手段. 二,认知——接受理论和数学学习他的理论属于认知心理学范畴,但他不象布鲁纳那样强调发现学习,而是强调有意义的接受学习.因而他的理论可以称为认知——有意义接受学习理论.奥苏伯认为,学习过程是在原有认知结构基础上,形成新的认知结构的过程;原有的认知结构对于新的学习始终是一个最关键的因素;一切新的学习都是在过去学习的基础上产生的,新的概念,命题等总是通过与学生原来的有关知识相互联系,相互作用条件下转化为主体的知识结构.奥苏伯尔为了说明他的有意义学习理论,把学习从两个维度上进行划分:根据学习的内容,把学习分为机械学习和有意义学习;根据学习的方式,把学习分成接受学习和发现学习.机械学习是指学生并未理解由符号所代表的知识,仅仅记住某个数学符号或某个词句的组合. 有意义学习就是学生能理解由符号所代表的新知识,理解符号所代表的实际内容,并能融会贯通.再以函数为例,不仅理解函数概念的文字意义,而且能理解符号意义.即理解了:(1)函数的定义关键在于定义域和对应法则,而与函数符号中用什么字母表示无关;(2)谈论函数一刻也离不开定义域,有时没有明确指明定义域,而且还可用表格,图像给出;(4)"随处定义和单值定义"这两条本质特征缺一不可,否则不成其为函数了.这样的学习才是有意义学习.奥苏伯尔认为,学习者原有认知结构中的适当知识是否与新的学习材料建立"非人为的联系"和"实质性联系",乃是区分有意义学习和机械学习的两个标准.接受学习指学习的全部内容是以定论的形式呈现给学习者.这种学习不涉及学生任何独立的发现,只需要他将所学的新材料与旧知识有机地结合起来(即内化)即可.发现学习的主要特征是不把学习的主要内容提供给学习者,而必须由学生独立发现,然后内化. 有意学习有意义的接受学习有意义的发现学习机械学习机械的接受学习机械的发现学习接受学习发现学习奥苏伯尔关于有意义学习的基本观点是:在学校条件下,学生的学习应当是有意义的,而不是机械的.从这一观点出发,他认为好的讲授教学是促进有意义学习的唯一有效方法.探究学习,发现学习等在学校里不应经常使用.即奥苏伯尔提倡有意义的接受学习.基于上述观点,奥苏伯尔对产生有意义学习的条件作了探讨.他认为要产生有意义的接受学习,学习者必须具备两个条件:第一,学习者必须具有意义学习的心向,即学生必须把学习任务和适当的目的联系起来.如果学生企图理解学习材料,有把新学习的和以前学过的东西联系起来的愿望,那么该生就是以有意义的方式学习新内容.如果学习者不想把新知识与以前学习的知识联系起来,那么有意义学习就不会发生.第二,新学习的内容和学习者原有的认知结构之间具有潜在的意义.通过把新的数学概念和原理与已有的数学知识相联系,学生就能把新内容同化到原有的认知结构中去.为了保证有意义学习,教师必须帮助学生建立他们自己的认知结构与数学学科结构之间的联系.使得每一个新的数学概念或原理都与学习者原有认知结构中相应的数学概念和原理相联系.从奥苏伯尔的学习理论,至少可以得到以下几点启示:(1)在数学教育改革进一步深化的今天,数学教育界提出了各种教学方法,实际上,教学方法的作用是不能离开特定的教学情境的,某种教学方法在这种教学情境中有效,也许在另一种教学情境中无效或效果很小.(2)在班级授课制这一教学组织形式下,以接受前人发现的知识为主的学生应以有意义的接受学习作为主要的学习方法,辅助以发现学习,因为发现学习对于激发学生的智慧潜能,学会发现的技巧具有积极意义.这样,数学教育工作者就应当把更多的精力放在有效的讲授教学方法上.(3)教学的一个最重要的出发点是学生已经知道了什么.教学的策略就在于怎样建立学生原有认知结构中相应的知识和新知识的联系,以及激发学生有意义学习的心向.三,数学学习中的"建构学说"由上述数学学习一般过程的认知理论可见,数学学习并非是一个被动的接受过程,而是一个主动的建构过程.也就是说,数学知识不能从一个人迁移到另一个人,一个人的数学知识必须基于个人对经验的操作,交流,通过反省来主动建构.这就是建构主义的数学学习观或称为数学学习的建构学说.下面就此观点作些说明:1,关于数学学习活动"建构性"的断言,不仅是认知心理学的一般原理在数学中的直接应用,而且也是数学特殊性质的具体表明.任何数学知识的获得都必须经历"建构"这样一个由"外"到"内"的转化过程.2,已有的知识,经验等构成了新的认识,亦即新的建构活动的必要基础3,与具体的,零散的知识相比,整体性的知识是更为重要的,因为只有后者才能为新的认识活动提供必要的"认识框架".4,要注意所说的"建构"活动的"社会性质".就学生的数学学习过程而言,尽管数学知识的"建构"活动最终是由学生相对独立地完成的,但必定是在一定的"社会环境"之中进行的.我们应当首先看到数学教师的作用,同时也应充分重视"学习共同体",即同学,小组,班级,学校,家庭对学生认识活动的影响. 建构学说对数学学习有何指导意义呢可以从三方面来看:(1)建构学说强调主体的感知.既然数学学习是一个主动的建构过程,从而就必须突出学习者的主体作用.(2)建构学说又强调外部环境的制约和影响.要使数学学习学有所得,真正形成优良的认知结构,那就必须有一个反思,交流,批判,检验,改进,发展的过程.(3)建构学说还强调学习是发展,是改变观念.第二节数学学习的心理过程以布鲁纳,奥苏伯尔等为代表的认知学习理论认为,学习过程是学生原有认知结构中的有关知识和新学习内容相互作用,形成新的认知结构的过程.以下我们在认知学习理论基础上来探讨学生数学学习的心理过程.一,数学认知结构数学学习过程是学生把人类积累的数学知识通过认识活动转化为个体头脑中的知识结构的过程.知识结构,也就是知识本身的逻辑体系.数学知识结构是以最基本的原理和方法为基本出发点,逻辑地组织起来的,因而具有逻辑性,系统性的特点.知识结构对学习者来说是认识的客体.认识结构(或心理结构),即人在认识活动中的心理过程(感觉,知觉,思维,想象,注意,记忆等)以及个性心理特征(情感,意志,兴趣,体质等),认识结构对学习者来说是主体特征.认知结构,它是学习者头脑里的知识结构,是学习者观念的全部内容和组织.也就是说,认知结构不仅包括学习者头脑中的全部知识,而且还有这些知识的内部组织方式.知识结构,认识结构和认知结构三者之间的关系如下图:相互作用(客体) (主体)图4—1数学认知结构,就是学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度,广度,结合着自己的感觉,知觉,记忆,思维,联想等认知特点,组合成的一个具有内部规律的整体结构.实践表明,学生的数学认知结构有其固有的特点,这些特点是:第一,数学认知结构是数学知识结构和学生的心理结构相互作用的产物.第二,数学认知结构是学生头脑中已有数学知识,经验的组织.第三,数学认知结构可以在各种抽象水平上来表征数学知识.第四,每一个学生的认知结构各有特点,学生的心理素质存在差异,决定了每个学生的认知方式和认知水平也有明显差异,因而他们的认知结构必然要具有自己的个性特点.第五,数学认知结构不是一种消极的组织,而是一种积极的组织,它在数学认知活动中,乃至一般的认知活动中发挥着作用.第六,数学认知结构是在数学认知活动中形成和发展起来的,不断发展和完善的动态组织.第七,从功能上来说,学生既能借助已有认知结构去掌握现有的知识(例如,平行四边形概念的学习,实质上是平行概念和一般四边形概念的结合,学生就是在这一认知结构基础上学会平行四边形概念的);又能借助于原有认知结构创造性地去解决问题.数学认知结构是数学学习过程的一个中心的心理成份.二,数学学习的四个阶段数学学习过程可以分为四个阶段:输入阶段,相互作用阶段,操作阶段和输出阶段.数学学习的一般认知过程可图示如下:输入作用操作输出阶段阶段阶段阶段图4—2从上图看出数学学习过程包括四个阶段:输入阶段,新旧知识相互作用阶段,操作阶段和输出阶段.1.输入阶段2.相互作用阶段用瑞士心理学家皮亚杰的话说,"刺激输入的过滤或改变叫同化;内部图式的改变,以适应现实,叫做顺应".同化是把新内容纳入原有数学认知结构,从而扩大原有认知结构的过程.改造原有的认知结构,以使新内容能适应这种认知结构,这就是顺应如果说同化是改造新学习内容使之与原有认知结构相吻合的话,那么,顺应则是改造学生的认知结构以适应新学习内容的需要.同化和顺应是认知过程中学生原有数学认知结构和新学习内容相互作用的两种不同形式,它们往往存在于同一个学习过程中,只是各侧重不同而已.新旧知识相互作用阶段的关键是学生头脑中是否有相应的知识与新知识发生作用,学生不但必须具有与新内容相适应的知识,而且必须能顺利地提取出来.教师的作用就在于查明学生头脑中是否具有相应的知识,并通过恰当的手段促进原有知识和新知识的相互作用.3.操作阶段4.输出阶段第三节数学学习的迁移一,迁移的一般概念学习的迁移是指学习者所习得的学习结果对其他学习的影响.在学习过程中,先前的学习会影响到以后的学习;同时,后面的学习有时也会影响以前的学习.我们把前者叫做顺迁移,后者叫逆迁移.起积极的,促进作用的影响叫做正迁移;起消极的抑制作用的影响,叫做负迁移.根据上面的分析,关于数学学习的迁移可作如下分类:顺向正迁移正迁移逆向正迁移迁移顺向负迁移负迁移逆向负迁移二,迁移现象的本质数学教育的目标归根到底是为了达到正迁移,因而搞清楚迁移的实质对于数学教学中最大限度地实现迁移有着重要的意义.心理学历史上,存在着各种学习的迁移理论:形式训练说,相同要素说,概括化理论,以及现代认知心理学从认知结构出发的迁移理论.尽管各种理论各自有其片面性,但他们有着其可鉴借之处.1,形式训练说该学说认为,多是通过对组成心智的各种官能的训练,以提高各种能力如注意力,记忆力,推理能力,想象力等而实现的.人的心智是由"意志",记忆,"思维","推理"等官能组成的.学习要收到迁移的效果,就要经历"形式训练",使之在不同的学习中认出形式上相似的东西.按照形式训练说的观点,数学教学中让学生做难题,则是训练"心智"的好方法,这能让学生学会观察,分析,比较,比记住一些具体知识更有益.但形式训练说片面地强调了"形式",而低估了实在内容的价值.2,相同要素说(共同要素说)该学说是19世纪末,20世纪初桑代克提出的.相同要素说认为,一学习之所以有助于另一学习是因为两种学习具有相同因素的原因.若两种情境含有共同因素,不管学习者是否觉察到这种因素的共同性,总有迁移现象发生.3,概括化理论和桑代克同时期的贾德提出迁移的概括化理论.该理论认为,两个学习活动之间存在的相同要素,只是产生迁移的前提,而产生迁移的关键则是学习者在两种活动中概括出它们的共同原理,例如,学生在学习解二元一次方程组时,获得了"消元"这一解二元一次方程组的一般原理,紧接着在学生解三元一次方程组时,如果学生能把"消元"和解三元一次方程组联系起来,那么就能把解二元一次方程组的一般原理"消元"迁移到解三元一次方程组中去.4,认知结构观点现代认知学派的代表布鲁纳认为:掌握学科的基本结构,领会基本的原理和观念,才是通向迁移的大道.两种学习并不能直接发生作用,而是通过学生原有认知结构间接地发生作用的;也就是说学生认知结构的特点影响着迁移的范围和程度.如果学生认知结构中具有较高抽象,概括水平的观念,对于新学习是有利的.三,影响学习迁移的因素分析从上面有关学习迁移的各种理论分析看,影响学习迁移的因素是多方面的,既有客观因素,又有主观因素,下面就影响数学学习迁移的主要因素作一简单的分析讨论.1,客观因素:两种学习之间的类似性若两种学习活动之间存在着许多类似的东西,那么这两种学习之间容易产生相互间的影响.学习活动的类似性包括学习情境的类似性,学习材料的类似性,反应结果的类似性.当两种学习情境类似时,由于学习者对前一学习活动情的熟悉感,就会指引他进行类似的学习,就是说迁移容易在情境类似的两种学习间发生.当两种学习活动中学习的材料彼此类似时也容易实现迁移.例如:解二元一次方程组的学习活动和解三元一次方程组的学习活动之间很容易产生相互影响.这是因为学习内容的相似性,学生很容易做出概括.反应结果类似的两种学习活动同样也可相互影响,例如:"日常的垂直"概念会影响"几何的垂直"概念的学习,这种学习的迁移就是由于它们的反应结果类似——"垂直"——而行起的.2,主观因素:知识的概括水平学生头脑里知识的概括程度是影响学习迁移的重要因素之一.美国心理学家贾得的迁移实验表明,掌握一般原理,有利于迁移.布鲁纳强调学科的知识结构,其主要目的也在于此.如果学生能发现两种学习之间的关系,概括出两种学习的共同本质要素,那么这两种学习之间就能产生迁移.而能否概括出两种学习之间的共同要素,依赖于学生的概括能力的发展水平.实验表明:数学概括能力强的学生,很容易概括出问题的结构,把解决一个问题的方法迁移到解决类似的。
