(完整版)解斜三角形

解斜三角形一、基本知识 1. 正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 是△ABC 外接圆半径） 2.余弦定理A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+=bc a c b A 2cos 222-+=ac b c a B 2cos 222-+=abc b a C 2cos 222-+=3. C ab S ABC sin 21=∆ r c b a S ABC)(21++=∆（r 是△ABC 内接圆半径） 4. 重要结论（1） C B A sin )sin(=+C B A cos )cos(-=+ C B A tan )tan(-=+（2） 2cos 2sinCB A =+ 2sin 2cos C B A =+（3） =++C B A tan tan tan C B A tan tan tan ••5. 考题分类题型一: 求解斜三角形中的基本元素 题型二：判断三角形的形状 题型三：解决与面积有关问题 题型四：三角形中求值问题题型五：实际应用二、例题解析【例1】已知△ABC 中，,sin )()sin (sin 2222B b a C A -=-外接圆半径为2，求角C 。

分析： 由,sin )()sin (sin 2222B b a C A -=-得Rbb a Rc R a 2)()44(222222-=- 由于，2=R ，代入并整理，得ab c b a =-+222所以，2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C 所以，3π=C 。

【例2】设ABC ∆的内角..A B C 所对的边分别为..a b c ，已知11. 2.cos .4a b C === （Ⅰ）求ABC ∆的周长 （Ⅱ）求()cos A C -的值本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力解析：（Ⅰ）∵441441cos 2222=⨯-+=-+=C ab b a c ∴2=c∴ABC ∆的周长为5221=++=++c b a .（Ⅱ）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C C ，∴8152415sin sin ===c C a A ∵b a <，∴B A <,故A 为锐角，∴878151sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16114158154187=⨯+⨯=. 【例3】在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若AB，求BC 边的长 解：（Ⅰ）π()C A B =-+，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯． 又0πC <<，3π4C ∴=．（Ⅱ）由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin 17A =．sin sin AB BC C A=，sin sin A BC AB C∴=⨯= 例4 根据下列条件判断三角形ABC 的形状：(1)若22tan tan a B =b A ；(2)b 2sin 2C + c 2sin 2B =2bc cos B cosC ;解（1）由已知及正弦定理得(2RsinA)2B cos B sin = (2RsinB)2⇒Acos A sin 2sinAcosA=2sinBcosB ⇒sin2A=sin2B ⇒2cos(A + B)sin(A – B)=0 ∴ A + B=90o或 A – B=0所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 解（1）由正弦定理得sin 2Bsin 2C=sinBsinCcosBcosC∵ sin B sin C ≠0, ∴ sin B sin C =cos B cos C , 即 cos(B + C )=0, ∴ B + C =90o, A =90o, 故△ABC 是直角三角形.【例5】如图，海中小岛A 周围20海里内有暗礁，一船向南航行，在B 处BC测得小岛A 在船的南偏东30º；航行30海里后，在C 处测得小岛A 在船的南偏东60º。

如果此船不改变航行方向，继续向前行驶，有无触礁危险。

【解】过A 作BC AD ⊥于D ，由正弦定理易求得26315≈=AD （海里）20>（海里），所以继续航行没有触礁的危险。

【例6】已知圆内接四边形ABCD 的边长,6,2==BC AB 4==DA CD ，求四边形ABCD 的面积。

【解】连结BD ，则有四边形ABCD 的面积CBD ABD S S S ∆∆+=+•=A AD AB sin 21C DC BC sin 21• ∵ π=+C A ∴ C A sin sin =∴ AD AB S •=(21A DC BC sin )•+=⨯+⨯=A sin )4642(21A sin 16=由余弦定理，在△ABD 中，得 =•-+=A AD AB AD AB BD cos 2222A A cos 1620cos 4224222-=⨯⨯-+在△CBD 中，=•-+=C CD CB CD CB BD cos 2222 C A cos 4852cos 4624622-=⨯⨯-+∴ C A cos 4852cos 1620-=- ∵ C A cos cos -=∴ 32cos 64-=A∴ 21cos -=A 23sin =AB∴ 382316=⨯=S 解斜三角形训练题一、选择题1. 在ABC ∆中，已知222c bc b a ++=，则角A 为（ C ） A.3π B6π C.32π D. 3π或32π 2. 三角形三边长分别为c b a ,,，且满足关系ab c b a c b a 3))((=-+++，则c 的对角是（C. ）A ︒15 B. ︒45 C. ︒60 D. ︒1203. （15年广东文科）设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos A =b c <，则b =（ ）A B ．2 C ． D ．3 【答案】B 【解析】试题分析：由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A ，所以(22222b b =+-⨯⨯即2680b b -+=，解得：2b =或4b =，因为b c <，所以2b =，故选B ．4.ABC ∆的内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，若a c ac b 2,2==，则=B cos （ B ）A.41 B43 C.42 D. 32 解： 因为 a c ac b 2,2==，由余弦定理得，432cos 222=-+=ca b a c B 5. 在△ABC 中，C BA sin 2tan=+，给出下面四个结论：①1cot tan =•B A ； ②2sin sin 0≤+<B A ；③1cos sin 22=+B A ； ④1cos cos 22=+B A其中正确的是（ B. ）A ①③ B. ②④ C. ①④ D ②③6. 已知三角形的三边之比是8:7:5，则最大角与最小角之和为（ B ） A ︒90 B. ︒120C. ︒135 D ︒1507. [2014·江西七校联考] 在△ABC 中，若sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )，则△ABC 的形状一定是( )A ．等边三角形B ．不含60°的等腰三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形解：D [解析] 由题意得，1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )＝1－2cos A sin B ，又sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ，所以sin A cos B ＋cos A sin B ＝1，即sin(A ＋B )＝1，所以A ＋B ＝π2，故△ABC 一定为直角三角形．8 在△ABC 中，A b B a tan tan 22=，则△ABC 是（D. ） A 等腰三角形 B.等腰直角三角形于A . 1 B.1- C. 2 D. 2-二、填空题1．ABC ∆中,已知AB AB BC ,10,3,==边的中线为7，则ABC ∆的面积是2315 2 在△ABC 中，若面积)(41222c b a S -+=则C ∠的度数为______︒45___。

由，C ab c b a S sin 21)(41222=-+=得12cos sin 2ab C ab C ••=所以， C C sin cos = 得，︒=45C3. 在△ABC 中，若︒=∠60C ，则=+++ca b c b a _____1____。

由︒=∠60C ，得⇒=-+ab c b a 222ab c b a +=+2221))(()()(222=++++++=+++++=+++c ac bc ab bc ac b a c a c b c b b c a a c a b c b a 4. 在△ABC 中，6cos 4sin 3=+B A ，1cos 3sin 4=+A B 则C ∠的度数为____2π_____。

（可得21)sin(=+B A ）5．如图，在四边形ABCD 中，28,16,10,135,90===︒=∠︒=∠CD AC AB D DAB ，则=AD )13(8- ，=BC 14 。

简解：由正弦定理，得︒=∠30DAC 于是，︒=∠15DCB 再由正弦定理，得︒=︒135sin 1615sin AD ，得 )13(8426216-=-•=AD 。

在ABC ∆中,，应用余弦定理，得 22221421161021610=•••-+=BC 所以，14=BC6 在△ABC 中，31cos ,3==A a ，则=+2cos 2CB ___31______。

7 在△ABC 中，若2cos sin sin 2A C B =，则△ABC 的形状是__等腰三角形____。

8.在ABC ∆中，8:7:5sin :sin :sin =C B A ，则B 的大小是（ 3π）A.6π B 3πC. 43πD. 65π三、解答题1．在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45︒ 求A 、C 及c解：由正弦定理得：23245sin 3sin sin === b B a A ABD┘∵B=45︒<90︒ 即b <a ∴A=60︒或120︒当A=60︒时C=75︒ 22645sin 75sin 2sin sin +===BCb c 当A=120︒时C=15︒ 22645sin 15sin 2sin sin -===B C b c 2. 一海轮以20海里/小时的速度向东航行，它在A 点时测得灯塔P 在船的北60º东，2小时后到达B 点时测得灯塔P 在船的北45º东，求： （1）船在B 点时与灯塔P 的距离；（2）已知以点P 为圆心，55海里为半径的水域内有暗礁，那么这船继续向正东航行，有 无触礁为危险？3 辽宁08）在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=． （Ⅰ）若ABC △3a b ，；（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积． 4 ABC △中，5cos 13A =-，3cos 5B =． 黑龙江2008 （Ⅰ）求sinC 的值；（Ⅱ）设5BC =，求ABC △的面积． 解：（Ⅰ）由5cos 13A =-，得12sin 13A =， 由3cos 5B =，得4sin 5B =．所以16sin sin()sin cos cos sin 65C A B A B A B =+=+=． （Ⅱ）由正弦定理得45sin 13512sin 313BC B AC A ⨯⨯=== 所以ABC △的面积1sin 2S BC AC C =⨯⨯⨯1131652365=⨯⨯⨯83=．10分（2008重庆）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c .已知222b c a +=，求：（Ⅰ）A 的大小;（Ⅱ）2sin cos sin()B C B C --的值. 解：(Ⅰ)由余弦定理，2222cos ,a b c bc A =+-222cos 2.6b c a A bc A π+-====故所以(Ⅱ) 2sin cos sin()B C B C --2sin cos (sin cos cos sin )sin cos cos sin sin()sin()1sin .2B C B C B C B C B CB C A A π=--=+=+=-==5. （江西17）（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，已知2sin 1cos sin CC C -=+. （1）求C sin 的值；（2）若8)(422-+=+b a b a ，求边c 的值. 【解析】（1）由已知得2sin 12sin 212cos 2sin22CC C C -=-+，即 0)12sin 22cos 2(2sin =+-C C C ，由02sin ≠C 得012sin 22cos 2=+-CC即212cos 2sin=-C C ，两边平方得：3sin 4C = （2）由0212cos 2sin >=-C C 知2cos 2sin C C >，则224ππ<<C ，即ππ<<C 2，则由432sin=C 得47cos -=C 由余弦定理得728cos 2222+=-+=C ab b a c ，所以17+=c .．。