2021届湖南四大名校新高考原创预测试卷(十八)数学

湖南省湘潭市2021届新高考数学模拟试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．方程2(1)sin 10x x π-+=在区间[]2,4-内的所有解之和等于( )A ．4B ．6C ．8D ．10 【答案】C【解析】【分析】画出函数sin y x =π和12(1)y x =--的图像，sin y x =π和12(1)y x =--均关于点()1,0中心对称，计算得到答案.【详解】 2(1)sin 10x x π-+=，验证知1x =不成立，故1sin 2(1)x x π=--， 画出函数sin y x =π和12(1)y x =--的图像， 易知：sin y x =π和12(1)y x =--均关于点()1,0中心对称，图像共有8个交点， 故所有解之和等于428⨯=.故选：C .【点睛】本题考查了方程解的问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数关于点()1,0中心对称是解题的关键.2．已知集合A {x x 0}︱=>，2B {x x x b 0}=-+=︱，若{3}A B ⋂=，则b =（ ） A ．6- B ．6 C ．5 D ．5-【答案】A【解析】【分析】由{}3A B ⋂=，得3B ∈，代入集合B 即可得b .【详解】{}3A B ⋂=Q ，3B ∴∈，930b ∴-+=，即：6b =-，故选：A【点睛】本题考查了集合交集的含义，也考查了元素与集合的关系，属于基础题.3．从集合{}3,2,1,1,2,3,4---中随机选取一个数记为m ，从集合{}2,1,2,3,4--中随机选取一个数记为n ，则在方程221x y m n +=表示双曲线的条件下，方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上的双曲线的概率为（ ）A ．917B ．817C ．1735D ．935【答案】A【解析】【分析】设事件A 为“方程221x y m n +=表示双曲线”，事件B 为“方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上的双曲线”，分别计算出(),()P A P AB ，再利用公式()(/)()P AB P B A P A =计算即可. 【详解】 设事件A 为“方程221x y m n +=表示双曲线”，事件B 为“方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上 的双曲线”，由题意，334217()7535P A ⨯+⨯==⨯，339()7535P AB ⨯==⨯，则所求的概率为 ()9(/)()17P AB P B A P A ==. 故选：A.【点睛】 本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到双曲线的定义，是一道容易题.4．已知实数x 、y 满足不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =-+的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．32- D ．2-【答案】A【解析】【分析】 画出不等式组所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解，得到答案．【详解】画出不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩所表示平面区域，如图所示，由目标函数3z x y =-+，化为直线3y x z =+，当直线3y x z =+过点A 时，此时直线3y x z =+在y 轴上的截距最大，目标函数取得最大值，又由2100x y y -+=⎧⎨=⎩，解得(1,0)A -， 所以目标函数的最大值为3(1)03z =-⨯-+=，故选A ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．5．曲线312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3B ．2C ．32D ．1【答案】A【解析】【分析】 根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率3k ≥，即可得出答案.【详解】解：由于312ln 3y x x =+，根据导数的几何意义得：()()2221130k f x x x x x x x '==+=++≥=>， 即切线斜率3k ≥，当且仅当1x =等号成立， 所以312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为3. 故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力.6．已知正项等比数列{}n a 满足76523a a a =+，若存在两项m a ，n a ，使得219m n a a a ⋅=，则19m n+的最小值为（ ）.A ．16B ．283C ．5D ．4【答案】D【解析】【分析】由76523a a a =+，可得3q =，由219m n a a a ⋅=，可得4m n +=，再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值.【详解】设等比数列公比为(0)q q >，由已知，525523a a q a q =+，即223q q =+，解得3q =或1q =-（舍），又219m n a a a ⋅=，所以211111339m n a a a --⋅=， 即2233m n +-=，故4m n +=，所以1914m n +=1919()()(10)4n m m n m n m n++=++ 1(1044≥+=，当且仅当1,3m n ==时，等号成立. 故选：D.【点睛】本题考查利用基本不等式求式子和的最小值问题，涉及到等比数列的知识，是一道中档题.7．已知函数31,0()(),0x x f x g x x ⎧+>=⎨<⎩是奇函数，则((1))g f -的值为（ ）A ．－10B ．－9C ．－7D ．1【答案】B【解析】【分析】根据分段函数表达式，先求得()1f -的值，然后结合()f x 的奇偶性，求得((1))g f -的值.【详解】因为函数3,0()(),0x x x f x g x x ⎧+≥=⎨<⎩是奇函数，所以(1)(1)2f f -=-=-，((1))(2)(2)(2)10g f g f f -=-=-=-=-.故选：B【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，考查数形结合思想.意在考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力.8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且282,10a a =-=，则9S =（ ）A ．45B ．42C ．25D ．36 【答案】D【解析】【分析】由等差数列的性质可知1928a a a a +=+,进而代入等差数列的前n 项和的公式即可.【详解】由题,192899()9()9(210)36222a a a a S ++⨯-+====. 故选:D【点睛】本题考查等差数列的性质,考查等差数列的前n 项和.9．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（ ） A ．43 B ．916 C ．34 D ．169【答案】D【解析】【分析】分别求出球和圆柱的体积，然后可得比值.【详解】设圆柱的底面圆半径为r ，则r ，所以圆柱的体积2126V =π⋅⨯=π.又球的体积32432233V =π⨯=π，所以球的体积与圆柱的体积的比213216369V V ππ==，故选D. 【点睛】本题主要考查几何体的体积求解，侧重考查数学运算的核心素养.10．设椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 、C 为椭圆上关于原点对称的两点，直线BF 交直线AC 于M ，且M 为AC 的中点，则椭圆E 的离心率是（ ）A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】C【解析】【分析】连接OM ，OM 为ABC ∆的中位线，从而OFM AFB ∆∆:，且12OF FA =，进而12c a c =-，由此能求出椭圆的离心率.【详解】如图，连接OM ，Q 椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的右顶点为A ，右焦点为F ， B 、C 为椭圆上关于原点对称的两点，不妨设B 在第二象限，直线BF 交直线AC 于M ，且M 为AC 的中点∴OM 为ABC ∆的中位线，∴OFM AFB ∆∆:，且12OFFA =， 12c a c ∴=-， 解得椭圆E 的离心率13c e a ==. 故选：C【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了运算求解能力，属于基础题.11．已知集合{2,3,4}A =，集合{},2B m m =+，若{2}A B =I ，则m =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4 【答案】A【解析】【分析】根据2m =或22m +=，验证交集后求得m 的值.【详解】因为{2}A B =I ，所以2m =或22m +=.当2m =时，{2,4}A B =I ，不符合题意，当22m +=时，0m =.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集概念及运算，属于基础题.12．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，22()log (1)1f x x ax a =++-+(a 为常数)，则不等式(34)5f x +>-的解集为（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(2,)-+∞【答案】D【解析】【分析】由(0)0f =可得1a =，所以22()log (1)(0)f x x x x =+≥+，由()f x 为定义在R 上的奇函数结合增函数+增函数=增函数，可知()y f x =在R 上单调递增，注意到(2)(2)5f f -=-=-，再利用函数单调性即可解决.【详解】因为()f x 在R 上是奇函数.所以(0)0f =，解得1a =，所以当0x ≥时，22()log (1)f x x x =++，且[0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，所以()y f x =在R 上单调递增，因为(2)5(2)5f f =-=-，，故有342x +>-，解得2x >-.故选：D.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查学生对函数性质的灵活运用能力，是一道中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南省2021届高三调研考试数学试卷一、选择题1.若集合{}2|40A x x =-<， {}|lg 0x B x =<，则AB =( )A.()2,1- B ．()22-， C ．()0,1D ．()0,22.已知命题:p x ∀∈R ，20x ≥，则p ⌝是（ ） A ．x ∀∈R ，20x <B ．x ∀∉R ，20x ≥C ．0x ∃∈R ，200x ≥D ．0x ∃∈R ，200x <3.复数1cos isin z x x =-，2sin icos z x x =-，则12z z ⋅=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44.某班45名同学都参加了立定跳远和100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和100米跑合格的人数分别为30和35，两项都不合格的人数为5。

现从这45名同学中按测试是否合格分层(分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅100米跑合格、两项都不合格四种)抽出9人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有( ) A.1人B.2人C.5人D.6人5.如图，将地球近似看作球体，设地球表面某地正午太阳高度角为,θδ为此时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），ϕ为该地的纬度值．已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即2326,2326[]δ︒'︒-'∈．北京天安门广场的汉白玉华表高为9.57米，北京天安门广场的纬度为北纬395427︒'"，若某天的正午时刻，测得华表的影长恰好为9.57米，则该天的太阳直射纬度为（ ）A ．北纬5°5′33″B ．南纬5°5′33″C ．北纬5°54′27″D ．南纬5°54′27″6.若函数()32(1)2f x ax a x x =+--为奇函数，则曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程为（ ） A ．4y x =+B ．4y x =-C ．2y x =+D ．2y x =-7.已知12F F 、分别是双曲线22221()00a b y x a b-=>>，的上、下焦点，过点2F 的直线与双曲线的上支交于点P ，若过原点O 作直线2PF 的垂线，垂足为M ，OM a =，23PM F M=，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．34y x =±B ．43y x =±C ．35y x =±D ．53y x =±8.已知2ln πm =，2ln π1n =-，22ln πp =-，则( )A ．n m p >>B ．p n m >>C ．m n p >>D ．n p m >>9.在ABC △中，2AB =，1AC =，2AB AC AP +=，则下列结论正确的是( ) A ．0PB PC ⋅>B ．0PB PC += C ．1122PB AB AC =-D ．34AP BP ⋅=-二、填空题10.262(1)()x x x+-展开式中含2x 的项的系数为_______________．（用数字填写答案）11.一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同现从 中任意取出3个小球，其中恰有2个小球颜色相同的概率是______；若变量X 为取出的三个小球中红球的个数，则X 的数学期望()E X =______．12.如下图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为Rt ABC △的斜边AB 、直角边BC ，AC ，点N 为AC 的中点,点D 在以AC 为直径的半圆上．已知以直角边AC ，BC 为直径的两个半圆的面积之比为3，3sin 5DAB ∠=，则cos DNC ∠=___________.13.已知正方形的棱长为1，以顶点为球心，22为半经作一个球，则球面与正方体的表面相交所得的曲线的长等于__________.三、解答题14.已知ABC △的面积为 （1）b 和c 的值； （2）sin()A B -的值．条件①:6a =,1cos 3C =-；条件②:A C =,7cos 9B =-.15.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足23n n S na n -=(n N *∈)，且25a =． （1）证明：数列{}n a 为等差数列，并求其通项公式； （2）设n b =，n T 为数列{}n b 的前n项和，求使n T >成立的最小正整数n 的值．16.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB AC ==，14AA =，AB AC ⊥，1BE AB ⊥交1AA 于点,E D 为1CC 的中点.（1）求证：BE ⊥平面1AB C ； （2）求二面角1C AB D --的余弦值.17.红铃虫（Pectinophora gossypiella ）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数y （个）和温度x （℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①e bx a y +=，②2y cx d =+分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．根据收集到的数据，计算得到如下值：表中ln i i z y =；8118i i z z ==∑；2i i t x =；8118i i t t ==∑；（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（2）根据（1）中所选择的模型，求出y 关于x 的回归方程（计算过程中四舍五入保留两位小数），并求温度为34℃时，产卵数y 的预报值． 参考数据： 5.41e 224≈， 5.50e 245≈， 5.59e 268≈．附：对于一组数据(1ω，1v )，(2ω，2v )，…，(n ω，n v )，其回归直线ˆˆˆvαβω=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1122ˆni i ii ni vn v n ωβωωω===--∑∑，ˆˆv αβω=-． 18.已知椭圆22:142x y C +=.（1）求椭圆C 的离心率和长轴长；（2）已知直线2y kx =+与椭圆C 有两个不同的交点,A B ，P 为x 轴上一点.是否存在实数k ，使得PAB △是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k 的值及点P 的坐标；若不存在，说明理由.19.已知函数()e sin 1x f x ax x =-+-．（1）若函数()f x 在()0,∞+上为增函数，求实数a 的取值范围； （2）当12a ≤<时，证明：函数()()()2g x x f x =-有且仅有3个零点．参考答案1.答案：C 解析：2.答案：D解析：根据全称命题的否定为特称命题，则p ⌝是“0x ∃∈R ，200x <”.故选：D. 3.答案：A 解析： 4.答案：C解析：由题意，该班级中，两项测试都合格的一共有(3035)(455)25+--=（人）解析： 6.答案：C 解析： 7.答案：A 解析： 8.答案：D 解析： 9.答案：BCD 解析： 10.答案：100- 解析： 11.答案：36,105解析：12. 解析：13. 解析：14.答案：若选择条件①：解：（1）在ABC △中，因为1cos 3C =-，所以π,π,sin 2C C ⎛⎫∈== ⎪⎝⎭.因为1sin 62S ab C a ===，所以2b =.由余弦定理，2222cos 48c a b ab C =+-=，所以c =若选择条件②：在ABC △中，因为A C =，所以a c =.因为7cos 9B =-，所以π,π,sin 29B B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.因为211sin 22S ac B c ===所以a c ==由余弦定理，2222cos 64b a c ac B =+-=，所以8b =. （2） 若选择条件①:由正弦定理sin sin sin a b cA B C ==，可得62sin sin A B ==.所以sin A B ==因为π,0,2A B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos A B所以sin()sin cos cos sin A B A B A B -=-=. 若选择条件②：在ABC △中，因为A C =，所以a c =.因为7cos 9B =-，所以π,π2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin B ==.因为211sin 22S ac B c ===所以a c ==由余弦定理，2222cos 64b a c ac B =+-=，所以8b =. 由正弦定理得sin sin a bA B=，所以1sin sin 3a A Bb ===.因为π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos A =所以sin()sin cos cos sin A B A B A B -=-17233927⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭. 解析：15.答案：解：（1）由23n n S na n -=①可得， 当2n ≥时，()()112131n n S n a n ----=-②，①－②得，()()11232n n n a n a n ----=≥（），所以当3n ≥时，()()21233n n n a n a -----=， 所以()()()()1211223n n n n n a n a n a n a ------=---， 整理得1223n n n a a a n --=+≥（），所以{}n a 为等差数列． 又1123S a -=，所以13a =，又25a =，所以212a a -=， 所以()21n a n n N *=+∈． （2）由（1）可得，n b ====12=，所以12n T =12=-．要使n T >，只需12-> 解得638n >，又n *∈N ，所以n 的最小值为8． 解析：16.答案：（1）因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1AA ⊥平面ABC ， 所以1AA AC ⊥.因为AC AB ⊥，1AB AA A ⋂=，所以AC ⊥平面11AA B B . 因为BE ⊂平面11AA B B ，所以AC BE ⊥. 因为1BE AB ⊥，1AC AB A ⋂=， 所以BE ⊥平面1AB C .（2）由（1）知1,,AB AC AA 两两垂直， 如图建立空间直角坐标系A xyz -.则()000A ，，,1(2,0,4)B ,(0,2,2)D ,(2,0,0)B .设)(0,0,E a ，所以1(0,2,2),(2,0,4),(2,0,)AD AB BE a ===-， 因为AB BE ⊥，所以440a -=，即1a =. 所以平面1AB C 的一个法向量为(2,0,1)BE =-. 设平面1AB D 的法向量为(,,)n x y z =， 所以100n AD n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以220,240.y z x z +=⎧⎨+=⎩即,2.y z x z =-⎧⎨=-⎩ 令1z =-，则2,1x y ==，所以平面1AB D 的一个法向量为(2,1,1)n =-.所以cos ,||||6n BE BE n n BE ⋅<>===由已知，二面角1C AB D --为锐角， 所以二面角1C AB D --. 解析：17.答案：（1）应该选择模型①．由于模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适．（2）令ln z y =，z 与温度x 可以用线性回归方程来拟合，则ˆˆˆza bx =+. ()()()88118811222ˆ48.480.29168i ii i i i i i i i x x z z bx x z nx z nx x x====--===≈---∑∑∑∑，所以ˆˆ 2.890.2925 4.36a z bx =-=-⨯≈-，则z 关于x 的线性回归方程为ˆ0.29 4.36zx =-. 于是有ln 0.29 4.36y x =-，所以产卵数y 关于温度x 的回归方程为0.29 4.36ˆe x y -=当34x =时，0.2934 4.365.50ee 245y ⨯-==≈（个）所以，在气温在34℃时，一个红铃虫的产卵数的预报值为245个． 解析：18.答案：解：（1）由题意：224,2a b ==，所以2a =.因为222a b c =+，所以22,c c ==所以c e a ==.所以椭圆C，长轴长为4.（2）联立222142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 整理得：()2221840k x kc +++=.因为直线与椭圆交于,A B 两点，故Δ0>，解得212k >.设()()1122,,,A x y B x y ，则12122284,2121k x x x x k k -+==++. 设AB 中点()00,G x y ， 则120002242,222121x x k x y kx k k +-===+=++，故2242,2121kG k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭.假设存在k 和点(,0)P m ，使得PAB △是以P 为直角顶点的等腰直角三角形， 则PG AB ⊥，故1FG As k k ⋅=-，所以22221 1,421k k k m k +⨯=---+解得2221k m k -=+，故22,021k P k -⎛⎫ ⎪+⎝⎭.又因为π2APB ∠=，所以0PA PB ⋅=. 所以()()1122,,0x m y x m y -⋅-=，即()()11120x m x m y y --+=.整理得 ()()2212121(2)40k x x k m x x m ++-+++=. 所以()2222481(2)402121kk k m m k k +⋅--⋅++=++，代入2221km k -=+，整理得41k =，即21k =. 当1k =-时，P 点坐标为2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭；当1k =时，P 点坐标为2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.此时，PAB △是以P 为直角顶点的等腰直角三角形. 解析：19.答案：（1）因为()cos x f x e a x '=-+，由函数()f x 在()0,∞+上为增函数，则cos x a e x ≤+在()0,x ∈+∞上恒成立. 令()cos x h x e x =+，()0,x ∈+∞，()sin x h x e x '=- 当0x >时，e 1x >，所以()sin 0x h x e x '=->恒成立. 所以()h x 在()0,∞+为增函数．所以()()02h x h >= 所以2a ≤．（2）由()()()()()2sin 12x e ax g x f x x x x -+=---=，则()()2=00=0g g ， 所以2x =，0x =是()()()2g x x f x =-的两个零点．因为12a ≤<，由（1）知，函数()f x 在()0,∞+上为增函数，()()00f x f >=，无零点． 所以下面证函数()f x 在(),0-∞上有且仅有1个零点．①当(],πx ∈-∞-时，∵12a ≤<，∴πax -≥，∴()πsin 10x f x e x ≥++->．无零点． ②当()π,0x ∈-时，∵sin 0x <，设()()(),sin 0x u x f x u x e x ''==->， ∴()f x '在()π,0-上递增，又∵()020f a '=->，()ππ10f e a -'-=--<， ∴存在唯一零点()0π,0x ∈-，使得()00f x '=． 当()0π,x x ∈-时，()0f x '<，()f x 在()0π,x -上递减； 当()0,0x x ∈时，()0f x '>，()f x 在()0,0x 上递增． 所以，函数()f x 在()π,0-上有且仅有1个零点． 故函数()f x 在(),0-∞上有且仅有1个零点．综上：当12a ≤<时，函数()()()2g x x f x =-有且仅有3个零点．。

2021届湖南四大名校联考新高考模拟试卷（十八）物理试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列说法中正确的是（）A. 伽利略在研究自由落体运动时，采用了科学实验和逻辑推理相结合的方法B. 卡文迪许在使用扭秤测定万有引力常量时，采用了控制变量的方法C. 库仑在研究电荷间相互作用的规律时，采用了等效替代的方法D. 法拉第提出用电场线来描述电场，采用了类比的方法【答案】A【解析】【详解】A．伽利略认为自由落体运动就是物体在倾角为90 的斜面上的运动，再根据铜球在斜面上的运动规律得出自由落体的运动规律，这是采用了实验和逻辑推理相结合的方法，故A正确；B．卡文迪许在测量万有引力常量时用了放大法，故B错误；C．库仑在研究电荷间相互作用的规律时，采用了控制变量法，故C错误；D ．法拉第提出用电场线来描述电场，采用了等效替代法，故D 错误。

2021年湖南省新高考数学模拟试卷解析版
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2＝x}，则A∩B＝（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．{0，1，2}【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，1，2}，
B＝{x|x2＝x}＝{0，1}，
∴A∩B＝{0，1}．
故选：C．
【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（1+i）2＝（）
A．2i B．﹣2i C．2D．﹣2
【分析】直接展开两数和的平方求解．
【解答】解：（1+i）2＝1+2i+i2＝2i．
故选：A．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
3．下列命题中的假命题是（）
A．∃x∈R，lgx＝0B．∃x∈R，tan x＝1
C．∀x∈R，x2＞0D．∀x∈R，3x＞0
【分析】由x＝1计算可判断A；由x ＝时，计算可判断B；由完全平方数非负可判断C；由指数函数的值域可判断D．
【解答】解：当x＝1时，lgx＝0，故A正确；
当x ＝时，tan x＝1，故B正确；
∀x∈R，x2≥0，故C错误；
由指数函数的值域可得，3x＞0恒成立，故D正确．
故选：C．
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2021届湖南四大名校联考新高三原创预测试卷（十六）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，2{|ln(1)}A x y x ==-，2{|4}x B y y -==，则()U A B =（ ）A ．(1,0)-B ．[0,1)C ．(0,1)D ．(1,0]-2．已知1a >，则“log log a a x y <”是“2x xy <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数2()(2)g x f x x =-是减函数，且(1)2f =，则(1)f -=（ ）2244．已知α是第一象限角，24sin 25α=，则tan 2α=（ ） A ．43- B ．43 C ．34- D ．345．设向量(2,2)=a ，b 与a 的夹角为3π4，且2⋅=-a b ，则b 的坐标为（ ）A ．(0,1)-B ．(1,0)-C ．(0,1)-或(1,0)-D ．以上都不对6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，则n S =（ ） A ．12n -B ．13()2n -C ．12()3n -D ．11()2n -7．已知α为锐角，则32tan tan 2αα+的最小值为（ ）A ．1B ．2CD8．已知a ，b 是两条异面直线，直线c 与a ，b 都垂直，则下列说法正确的是（ ） A ．若c ⊂平面α，则a α⊥ B ．若c ⊥平面α，则a α∥，b α∥C ．若存在平面α，使得c α⊥，a α⊂，b α∥D ．若存在平面α，使得c α∥，a α⊥，b α⊥9．已知两点(,0)A a ，(,0)(0)B a a ->，若圆22((1)1x y +-=上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则正实数a 的取值范围为（ ）A ．(0,3]B ．[1,3]C ．[2,3]D ．[1,2]10．在区间[0,2]上随机取一个数x，使πsin 22x ≥的概率为（ ） A ．13B ．12 C ．23D ．3411．已知1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，B 为C 的短轴的一个端点，直线1BF 与C 的另一个交点为A ，若2BAF △为等腰三角形，则12||||AF AF =（ ）32312．已知函数2()ln(||1)f x x x =++，若对于[1,2]x ∈-，22(22)9ln 4f x ax a +-<+恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．261a --<<B ．11a -<<C ．26a +>或26a -<D ．2626a -+<<第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知i 为虚数单位，复数3i2ia +的实部与虚部相等，则实数a = ． 14．执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为 ．15．某工厂为了解某车间生产的每件产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了200件产品的净重，所得数据均在[96,106]内，将所得数据按[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]分成五组，其频率分布直方图如图所示，且五个小矩形的高构成一个等差数列，则在抽测的200件产品中，净重在区间[98,102)内的产品件数是 ．16．在平面直角坐标系xOy 中，(1,2)P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线l 上的一点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，若1290F PF ∠=︒，则双曲线的左顶点到直线l 的距离为 ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222b c a bc +=+． （1）求角A 的大小；（2）若sin 2sin cos A B C =，是判断ABC △的形状并给出证明．18．（12分）某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x （单位：万元）和收益y （单位：万元）的数据如下表：他们用两种模型①y bx a =+，②bxy ae =分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计了的值：残差图（1）根据残差图，比较模型①②的拟合效果，应选则那个模型？并说明理由；（2）残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除：（ⅰ）剔除异常数据后，求出（1）中所选模型的回归方程；（ⅱ）广告投入量18x=时，（1）中所选模型收益的预报值是多少？附：对于一组数据11(,)x y，22(,)x y，，(,)n nx y，其回归直线方程ˆˆˆy bx a=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1122211()()ˆ()n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nxybx x x nx====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-．19．（12分）如图，三棱台ABC EFG-的底面是正三角形，平面ABC⊥平面BCGF，2CB GF=，BF CF=．（1）求证：AB CG⊥；（2）若ABC△和梯形BCGF3G ABE-的体积．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x C y +=，点11(,)P x y ，22(,)Q x y 是椭圆C 上两个动点，直线OP ，OQ 的斜率分别为1k ，2k ，若11(,)2x y =m ，22(,)2xy =n ，0⋅=m n ．（1）求证：1214k k ⋅=-； （2）试探求OPQ △的面积S 是否为定值．21．（12分）已知函数()(ln )xf x xe a x x =-+，a ∈R ． （1）当a e =时，判断()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C的参数方程为2sin x y αα⎧=⎪⎨⎪=⎩（α为参数），以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）P ，Q 为曲线C 上两点，若0OP OQ ⋅=，求2222||||||||OP OQ OP OQ ⋅+的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数1()||()3f x x a a =-∈R ． （1）当2a =时，解不等式1||()13x f x -+≥；（2）设不等式1||()3x f x x -+≤的解集为M ，若11[,]32M ⊆，求实数a 的取值范围数 学答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】2{|10}(1,1)A x x =->=-，{|0}B y y =>，所以{|0}UB y y =≤，所以()(1,0]U AB =-．2．【答案】A【解析】因为1a >，所以由log log a a x y <，得0x y <<，2()x xy x x y -=-， 显然当0x y <<时，2x xy <，所以充分性成立，当1x =-，2y =-时，2x xy <，而log a x ，log a y 无意义，故必要性不成立． 3．【答案】A【解析】令12x =，11()(1)24g f =-， 因为(1)2f =，所以117()2244g =-=，令12x =-，则11()(1)24g f -=--，11(1)()24f g -=-+，因为()g x 是偶函数，所以117()()224g g -=-=-，所以713(1)442f -=-+=-．4．【答案】D【解析】因为α是第一象限角，24sin 25α=，所以7cos 25α===， 所以sin 24tan cos 7ααα==，22tan242tan 71tan 2ααα==-， 整理得212tan 7tan 12022αα+-=，解得3tan 24α=或4tan 23α=-（舍去）．5．【答案】C【解析】设(,)x y =b ，则222x y ⋅=+=-a b ，即1x y +=-①，又3πcos4||||⋅=⋅a ba b，即2-=221x y +=②．由①②，得10x y =-⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=-⎩，故(0,1)=-b 或(1,0)=-b ．6．【答案】B【解析】方法一：当1n =时，1122S a a ==，则212a =， 当12n ≥时，12n n S a -=，则1122n n n n n S S a a a -+-==-，所以132n n a a +=，所以数列{}n a 从第二项起是公比为32的等比数列，所以21,113(),222n n n a n -=⎧⎪=⎨⨯≥⎪⎩，所以2113131()22222n n S -=++⨯++⨯=1113[1()]3221()3212n n --⨯-+=-．方法二：当1n =时，1122S a a ==，则212a =，所以213122S =+=， 结合选项可得只有B 满足． 7．【答案】D【解析】方法一：∵α为锐角，∴tan 0α>， ∴233(1tan )1312tan 2tan (tan )tan 22tan 2tan 2ααααααα-+=+=+≥⨯=，当且仅当3tan tan αα=，即tan α=π3α=时等号成立． 方法二：∵α为锐角，∴sin 0α>，cos 0α>，∴22232sin 3cos 24sin 3cos 2sin 3cos 2tan tan 2cos sin 22sin cos 2sin cos aααααααααααααα+++=+==1sin 3cos 1()2cos sin 2αααα=+≥=， 当且仅当sin 3cos cos sin αααα=，即π3α=时，等号成立． 8．【答案】C【解析】对于A ，直线a 可以在平面α内，也可以与平面α相交； 对于B ，直线a 可以在平面α内，或者b 在平面α内；对于D ，如果a α⊥，b α⊥，则有a b ∥，与条件中两直线异面矛盾． 9．【答案】B【解析】以AB 为直径的圆的方程为222x y a +=，则由题意知圆22((1)1x y +-=与圆222x y a +=有公共点，则|1|1a a -≤≤+，解得13a ≤≤． 10．【答案】A【解析】当[0,2]x ∈时，π0π2x ≤≤，所以πsin 2x ≥， 所以ππ2π323x ≤≤，所以2433x ≤≤，故由几何概型的知识可知，所求概率4213323P -==．11．【答案】A【解析】如图不妨设点B 在y 轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得12||||2BF BF a +=，12||||2AF AF a +=， 由题意知2||||AB AF =，所以12||||BF BF a ==，1||2a AF =，23||2aAF =，所以12||1||3AF AF =．12．【答案】A【解析】易知函数2()ln(||1)f x x x =++是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递增， 又29ln 43ln(|3|1)(3)f +=++=，所以不等式22(22)9ln 4f x ax a +-<+对于[1,2]x ∈-恒成立， 等价于22|22|3x ax a +-<对于[1,2]x ∈-恒成立，即2222223223x ax a x ax a ⎧+-<⎨+->-⎩①②对于[1,2]x ∈-恒成立． 令22()223g x x ax a =+--，则22(1)2220(2)2410g a a g a a ⎧-=---<⎨=-++<⎩， 解得26a +>或26a -<令22()223h x x ax a =+-+，令222230x ax a +-+=， 则当2248120Δa a =+-<时，即11a -<<时，满足②式子； 当2248120Δa a =+-=，即1a =±时，不满足②式； 当2248120Δa a =+->，即1a <-或1a >时，由2(1)12230h a a -=--+>，2(2)44230h a a =+-+>， 且1a -<-或2a ->，知不存在a 使②式成立．综上所述，实数a 的取值范围是1a -<<．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】3- 【解析】3i (3i)i 3i 2i 222a a a ++==---，由题意知322a=-，解得3a =-． 14．【答案】2017 【解析】易知数列π{sin1}()2n n *+∈N 的周期为4，各项依次为2，1，0，1，2，1，0，1，，执行程序框图，1n =，2s =；2n =，3s =；3n =，3s =；4n =，4s =；；2016n =，2016s =；2017n =，2018s =，不满足判断框中的条件，退出循环， 此时输出的2017n =． 15．【答案】100【解析】由题意可知0.050，a ，b ，c ，d 构成等差数列，设公差为t ，由小矩形的面积之和为1，可得(0.050)21a b c d ++++⨯=， 即0.0500.5a b c d ++++=，所以5450.0500.52t ⨯⨯+⨯=，解得0.025t =， 所以0.0500.02520.100b =+⨯=，0.0500.02540.150d =+⨯=， 所以净重在[98,102)内的频率为()2(0.1000.150)20.5b d +⨯=+⨯=， 则净重在区间[98,102)内的产品件数为2000.5100⨯=．16．【答案】5【解析】由题意知双曲线的一条渐近线l 的方程为2ba=，所以直线l 的方程为2y x =． 在12PF F Rt △中，原点O 为线段12F F 的中点，所以121||||2OP F F c ==，又||OP ==c =，又222c a b =+，2ba=，所以1a =，2b =， 则双曲线的左顶点的坐标为(1,0)-，该点到直线l 的距离为d ==三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）π3A =；（2）ABC △为等边三角形，证明见解析． 【解析】（1）由222b c a bc +=+，可知222122b c a bc +-=， 根据余弦定理可知，1cos 2A =， 又A 为ABC △的内角，所以π3A =．（2）方法一：ABC △为等边三角形．由三角形内角和定理得π()A B C =-+，故sin sin()A B C =+，根据已知条件，可得sin()2sin cos B C B C +=，整理得sin cos cos sin 0B C B C -=， 所以sin()0B C -=，又(π,π)B C -∈-，所以B C =， 又由（1）知π3A =，所以ABC △为等边三角形． 方法二：ABC △为等边三角形．由正弦定理和余弦定理及已知条件，得22222a b c a b ab+-=⨯，整理得22b c =，即b c =，又由（1）知π3A =，所以ABC △为等边三角形． 18．【答案】（1）应该选择模型①，详见解析；（2）（ⅰ）ˆ38.04y x =+；（ⅱ）62.04万元．【解析】（1）应该选择模型①，因为模型①的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中， 且模型①的带状区域比模型②的带状区域窄， 所以模型①的拟合精度高，回归方程的预报精度高． （2）（ⅰ）剔除异常数据， 即3月份的数据后，得1(766)7.25x =⨯⨯-=，1(30631.8)39.645y =⨯⨯-=， 11464.246 1.81273.44ni ii x y==-⨯=∑，2213646328ni i x ==-=∑，122151273.4457.229.64206.4ˆ332857.27.268.85ni ii nii x y xybxx ==--⨯⨯====-⨯⨯-∑∑，ˆˆ29.643.28.04ay bx =-=-⨯=， 所以y 关于x 的回归方程为ˆ38.04yx =+． （ⅱ）把18x =代入（ⅰ）中所求回归方程得ˆ3188.0462.04y=⨯+=． 19．【答案】（1）证明见解析；（2）13． 【解析】（1）如图，取BC 的中点为D ，连接DF ， 由题意得，平面ABC ∥平面EFG ，平面ABC 平面BCGF BC =，平面EFG平面BCGF FG =，∴BC FG ∥，∵2CB GF =，∴CD GF ∥，CD GF =， ∴四边形CDFG 为平行四边形，∴CG DF ∥，∵BF CF =，D 为BC 的中点，∴DF BC ⊥，∴CG BC ⊥． ∵平面ABC ⊥平面BCGF ，且平面ABC 平面BCGF BC =，CG ⊂平面BCGF ，∴CG ⊥平面ABC ，又AB ⊂平面ABC ，∴AB CG ⊥．（2）∵2CB GF =，∴2AC EG =， 又AC EG ∥，∴2ACG AEC S S =△△， ∴1122G ABE B AEG B ACG G ABC V V V V ----===三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥， 由（1）知CG ⊥平面ABC ，∴CG BC ⊥． ∵正三角形ABC 3∴2BC =，1CF =，直角梯形BCGF 3∴(12)32CG+⋅=23CG =， 11112233ABC G ABE G ABC V V S CG --==⨯⨯⨯=△三棱锥三棱锥．20．【答案】（1）证明见解析；（2）为定值，详见解析． 【解析】（1）∵1k ，2k 存在，∴120x x ≠， ∵0⋅=m n ，∴121204x x y y +=，∴12121214y y k k x x ⋅==-．（2）①当直线PQ 斜率不存在时，即12x x =，12y y =-时，由121214y y x x =-，得221114x y -=， 又由11(,)P x y 在椭圆上，得221114x y +=， ∴1||2x ，12||2y =，∴1121||||12POQ S x y y =⋅-=△． ②当直线PQ 斜率存在时，设直线PQ 的方程为(0)y kx b b =+≠，由2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(41)8440k x kbx b +++-=，222222644(41)(44)16(41)0Δk b k b k b =-+-=+->，∴122841kbx x k -+=+，21224441b x x k -=+， ∵121204x x y y +=，∴1212()()04x xkx b kx b +++=，得22241b k -=，满足0Δ>，∴211||||2||12241POQS PQ b b k ====+△， ∴OPQ △的面积S 为定值．21．【答案】（1）()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增；（2）(,)e +∞． 【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，当a e =时，(1)()()x x xe e f x x+-'=，令()0f x '=，得1x =，∵当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>， ∴()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．（2）记ln t x x =+，则ln t x x =+在(0,)+∞上单调递增，且t ∈R ， ∴()(ln )xy f x xe a x x ==-+，即ty e at =-，令()tg t e at =-，∴()f x 在0x >上有两个零点等价于()tg t e at =-在t ∈R 上有两个零点．①当0a =时，()tg t e =，在R 上单调递增，且()0g t >，故()g t 无零点； ②当0a <时，()0t g t e a '=->，()g t 在R 上单调递增，又(0)10g =>，11()10a g e a=-<，故()g t 在R 上只有一个零点；③当0a >时，由()0tg t e a '=-=可知()g t 在ln t a =时有唯一的极小值(ln )(1ln )g a a a =-．若0a e <<，()(1ln )0g t a a =->极小值，()g t 无零点； 若a e =，()0g t =极小值，()g t 只有一个零点；若a e >，()(1ln )0g t a a =-<极小值，而(0)10g =>， 由ln x y x=在x e >时为减函数，可知当a e >时，2a e e a a >>，从而2()0a g a e a =->， ∴()g x 在(0,ln )a 和(ln ,)a +∞上各有一个零点，综上当a e >时，()f x 有两个零点，即实数a 的取值范围是(,)e +∞．22．【答案】（1）2253sin 2ρθ=+；（2）57． 【解析】（1）由cos 2sin x y αα⎧=⎪⎨⎪=⎩，得曲线C 的普通方程是22215x y +=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得2222sin 2cos 5ρθρθ+=， 即2253sin 2ρθ=+（22255sin 2cos ρθθ=+）．（2）因为22255sin 2cos ρθθ=+，所以22212cos sin 5θθρ=+， 由0OP OQ ⋅=，得OP OQ ⊥，设点P 的极坐标为1(,)ρθ，则点Q 的极坐标可设为2π(,)2ρθ±， 所以22222222222212||||11111112cos 2sin ||||sin cos ||||55OP OQ OP OQ OP OQ θθθθρρ⋅===++++++152715==+． 23．【答案】（1）{|0x x ≤或1}x ≥；（2）14[,]23-．【解析】（1）当2a =时，1||()13x f x -+≥，即|31||2|3x x -+-≥． ①当13x ≤时，不等式即1323x x -+-≥，解得0x ≤，所以0x ≤； ②当123x <<时，不等式即3123x x -+-≥，解得1x ≥，所以12x ≤<； ③当2x ≥时，不等式即3123x x -+-≥，解得32x ≥，所以2x ≥，综上所述，当2a =时，不等式的解集为{|0x x ≤或1}x ≥．（2）不等式1||()3x f x x -+≤可化为|31|||3x x a x -+-≤， 依题意不等式|31|||3x x a x -+-≤在11[,]32x ∈上恒成立，所以31||3x x a x -+-≤，即||1x a -≤，即11a x a -≤≤+，所以113112a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1423a -≤≤，故实数a 的取值范围是14[,]23-。

湖南省湘西自治州四校2021年高考数学三角函数与解三角形多选题与热点解答题组合练附答案一、三角函数与解三角形多选题1．已知函数()(|sin |cos )(sin cos )f x x x x x =-+，x ∈R ，则（ ）A ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 是周期为2π的函数C ．()f x 有对称轴D ．函数()f x 在(0,2)π上有3个零点【答案】BD 【分析】先判断出()f x 是周期为2π的函数，再在给定的范围上研究()f x 的单调性和零点，从而可判断BCD 的正误，再利用反证法可判断C 不正确. 【详解】因为[][]()(2)|sin(2)|cos(2)(sin(2)cos(2))f x x x x x f x πππππ+=+-+⋅+++=， 故()f x 是周期为2π的函数，故B 正确. 当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，22()sin cos cos 2f x x x x =-=-， 因为220,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而cos y u =-在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数， 故()cos2f x x =-在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，故A 错误.由(sin cos )(sin cos )002x x x x x π⎧-+=⎨<<⎩可得4x π=或34x π=或74x π=，故D 正确.若()f x 的图象有对称轴x a =，因为()f x 的周期为2π，故可设[)0,2a π∈， 则()()2f x f a x =-对任意的x ∈R 恒成立，所以()()02f f a =即1(|sin 2|cos 2)(sin 2cos 2)a a a a -=-+①， 也有222f f a ππ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1(|cos 2|sin 2)(cos 2sin 2)a a a a =--+②，也有222f f a ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1(|cos 2|sin 2)(cos 2sin 2)a a a a -=+-③， 由②③可得cos 2sin 20cos 2sin 2cos 2sin 2a a a a a a -≠⎧⎨+=-⎩， 故sin 20a =，由①②可得cos21a =-，故π2a或32a π=.若π2a，则21313136222f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 而2713131362226f f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=-+≠- ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 若32a π=，则21913131362222226f f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=-+≠- ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭这与()()2f x f a x =-对任意的x ∈R 恒成立矛盾， 故D 不成立. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：与三角函数相关的函数性质的研究，应该依据一定次序，比如先研究函数的奇偶性或周期性，再根据前者把函数的研究限制在一定的范围内进行讨论.2．函数()sin()f x x ωϕ=+的部分图像如图中实线所示，图中的M 、N 是圆C 与()f x 图像的两个交点，其中M 在y 轴上，C 是()f x 图像与x 轴的交点，则下列说法中正确的是（ ）A ．函数()y f x =的一个周期为56B ．函数()f x 的图像关于点4,03成中心对称C ．函数()f x 在11,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．圆C 的面积为3136π【答案】BD 【分析】根据图象，结合三角函数的对称性、周期性、值域以及圆的中心对称性，可得,,C M N 的坐标，进而可得()f x 的最小正周期、对称中心、单调减区间，及圆的半径，故可判断选项的正误. 【详解】由图知：1(,0)3C ，3)M ，23()3N ，∴()f x 中111()2362T =--=，即1T =；对称中心为1,0,23k k Z ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭；单调减区间为17,,1212k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；圆的半径6r ==，则圆的面积为3136π； 综上，知：AC 错误，而BD 正确. 故选：BD. 【点睛】本题考查了三角函数的性质，结合了圆的中心对称性质判断三角函数的周期、对称中心、单调区间及求圆的面积，属于难题.3．函数()cos |cos |f x x x =+，x ∈R 是（ ） A ．最小正周期是π B ．区间[0，1]上的减函数 C ．图象关于点(k π，0)()k Z ∈对称 D ．周期函数且图象有无数条对称轴 【答案】BD 【分析】根据绝对值的意义先求出分段函数的解析式，作出函数图象，利用函数性质与图象关系分别对函数的周期、单调区间、对称中心和对称轴进行判断求解. 【详解】2cos (22)22()30(22)22x k x k f x k x k ππππππππ⎧-+⎪⎪=⎨⎪+<≤+⎪⎩，则对应的图象如图：A 中由图象知函数的最小正周期为2π，故A 错误，B 中函数在[0,]2π上为减函数，故B 正确，C 中函数关于x k π=对称，故C 错误，D 中函数由无数条对称轴，且周期是2π，故D 正确 故正确的是B D 故选：BD【点睛】本题考查由有解析式的函数图象的性质. 有关函数图象识别问题的思路:①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置； ②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性； ④由函数的周期性，判断图象的循环往复．4．已知函数()f x 的定义域为D ，若对于任意()()()a b c D f a f b f c ∈，，，，，分别为某个三角形的边长，则称()f x 为“三角形函数”，其中为“三角形函数”的函数是（ ） A ．()4sin f x x =- B ．()22sin 10cos 13f x x x =-++C ．()tan 2x f x = D ．()sin 2230,34f x x x ππ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 【答案】AD 【分析】结合三角形的性质有:两边之差小于第三边，得若()f x 为 “三角形函数”则()()()max min min f x f x f x <-恒成立，即()()max min 2f x f x <恒成立即可，根据条件求出函数的最大值和最小值，进行判断即可. 【详解】解:①()4sin f x x =-，则()max 415f x =+=，()min 413f x =-= 则()()max min 2f x f x <恒成立,则A 满足条件②()22532cos 10cos 112cos 22f x x x x ⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0cos 1x ≤≤∴当cos 0x =时，函数()f x 取得最小值()min 11f x =,当cos 1x =时，函数()f x 取得最大值，()max 23f x =则()()max min 2f x f x <不恒成立，则B 不满足条件③()()()tan ,00,2xf x =∈-∞⋃+∞，则不满足条件()()max min 2f x f x <恒成立，故C 不是④()sin 23f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，52,336x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，则()max sin12f x π=+=+()min 51sin62f x π=+=+则()min 21f x =+，则()()max min 2f x f x <恒成立，故D 满足条件 故选AD 【点睛】本题考查了三角形的性质及“三角形函数”的概念，根据条件转化为()()max min 2f x f x <恒成立是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度.5．将函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x 图象的一个对称中心 C ．函数()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()g x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是⎡⎢⎣⎦【答案】BC 【分析】首先求得函数()sin 23g x x π=-⎛⎫⎪⎝⎭，再根据选项，整体代入，判断函数的性质. 【详解】()2sin 2sin 2633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1sin 462g ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；sin 0633g πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,,33622x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，故C 正确；,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当232x ππ-=-时，函数取得最小值-1，当233x ππ-=时，函数取得最大值3，所以函数的值域是31,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：BC 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.6．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的周期为πB ．函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减 C ．函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称 D ．该图象向右平移6π个单位可得2sin 2y x =的图象 【答案】ACD 【分析】先根据图像求出()y f x =的解析式，再分别验证A 、B 、C 、D 是否正确.对于A ：利用周期公式求周期；对于B ：利用复合函数“同增异减”求单调区间； 对于C ：计算512f π⎛-⎫⎪⎝⎭，看512x π=-是否经过顶点； 对于D ：利用“左加右减”判断. 【详解】由图像可知：A =2，周期24,2312T T ππππω⎛⎫=-=∴==⎪⎝⎭；由=2sin 2212122f ππϕπϕ⎧⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪<⎪⎩解得：3πϕ=故函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ：4312T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故A 正确； 对于B ：当236x ππ-≤≤- 时203x ππ-≤+≤，所以()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调.故B 错误； 对于C ：当512x π=-时255s 2121232in f πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎭⎝-⎪⎭+⎝⨯，即直线512x π=-是()y f x =的一条对称轴.故C 正确；对于D ：()y f x =向右平移6π个单位得到2sin 222sin 263y x x ππ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.7．下列结论正确的是（ ）A ．在三角形ABC 中，若AB >，则sin sin A B > B ．在锐角三角形ABC 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则三角形ABC 为等腰三角形D ．在锐角三角形ABC 中,sin sin cos cos A B A B +>+ 【答案】ABD【分析】由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，利用锐角△ABC 这个条件,可得2A B π+>，结合三角函数的单调性比较sin A 与cos B 大小即可判断D ． 【详解】ABC 中，A B a b >⇔>，由sin sin a bA B=，得sin sin A B >，A 正确； 在锐角三角形ABC 中，222222cos 0,02b c a A b c a bc+-=>∴+->，B 正确；ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B ︒+=，即A B =或90A B ︒+=，ABC 为等腰三角形或直角三角形，C 错误；在锐角三角形ABC 中,2A B π+>,022A B ππ∴>>->,sin sin 2A B π⎛⎫∴>- ⎪⎝⎭,即sin cos A B >，同理：sin cos B A >sin sin cos cos A B A B ∴+>+，D 正确.故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，诱导公式等，学会公式的灵活应用是解答本题的关键.8．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的初相为6π- B ．若函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则(0,2]ω∈ C ．若函数()f x 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω可以为12D ．将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到的新函数是偶函数，则ω可以为2023 【答案】AB 【分析】根据选项条件一一判断即可得结果. 【详解】A 选项：函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的初相为6π-，正确； B 选项：若函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则2266k ππωππ-+≤-，2362k πωπππ-≤+，k Z ∈，所以21226k k ω-+≤≤+，k Z ∈，又因为0ω<，则02ω<≤，正确；C 选项：若函数()f x 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则,26k k Z πωππ-=∈，所以12,3k k Z ω=+∈故ω不可以为12，错误； D 选项：将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到()12sin 6f x x πωω⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭是偶函数，则,62k k Z ππωπ-=+∈，所以2,3k k Z πωπ=+∈故ω不是整数，则ω不可以为2023，错误； 故选：AB 【点睛】掌握三角函数图象与性质是解题的关键.9．将函数cos 2y x =的图象上所有点向左平移6π个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数()y f x =的图象，则（ ） A ．()f x 的图象的对称轴方程为()62k x k Z ππ=-+∈ B ．()f x 的图象的对称中心坐标为(),0212k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ C ．()f x 的单调递增区间为()2,36k k k Z ππππ⎡⎫-+-+∈⎪⎢⎣⎭D ．()f x 的单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】AC 【分析】首先根据图象平移求函数()y f x =的解析式，再根据整体代入的方法判断函数的对称性和单调区间. 【详解】cos 2y x =的图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向下平移1个单位长度后得到()cos 213y f x x π⎛⎫==+- ⎪⎝⎭， 对于A ，令23x k ππ+=，解得,62k x k Z ππ=-+∈，函数的对称轴是,62k x k Z ππ=-+∈，故A 正确； 对于B ，令232x k πππ+=+，解得：,122k x k Z ππ=+∈，所以函数的对称中心,1,122k k Z ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭，故B 不正确； 对于C ，令2223k x k ππππ-+≤+≤，解得：236k x k ππ-+π≤≤-+π，所以函数的单调递增区间是2,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦，由于单点不具有单调性，所以()f x 的单调递增区间为()2,36k k k Z ππππ⎡⎫-+-+∈⎪⎢⎣⎭也正确，故C 正确；对于D ，令2223k x k ππππ≤+≤+，解得：63k x k ππππ-+≤≤+，所以函数单调递减区间是,63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，故D 不正确.故选：AC 【点睛】方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及()sin y A ωx φ=+的性质，属于中档题型，()sin y A x ϕ=+的横坐标伸长（或缩短）到原来的1ω倍，得到函数的解析式是()sin y A ωx φ=+，若sin y A x ω=向右（或左）平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到函数的解析式是()sin y A x ωϕ=-⎡⎤⎣⎦或()sin y A x ωϕ=+⎡⎤⎣⎦.10．在ABC 中，下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B > B ．若2C π>，则222sin sin sin C A B >+C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形D ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ 【答案】ABC【分析】根据大角对大边，以及正弦定理，判断选项A ；利用余弦定理和正弦定理边角互化，判断选项B ；结合诱导公式，以及三角函数的单调性判断CD.【详解】A.A B >，a b ∴>，根据正弦定理sin sin a b A B =，可知sin sin A B >，故A 正确； B.2C π>，222cos 02a b c C ab +-∴=<，即222a b c +<，由正弦定理边角互化可知222sin sin sin C A B >+，故B 正确；C.当02A π<<时，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭，即22A B A B ππ->⇒+<，即2C π>，则ABC 为钝角三角形，若2A π>，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭，即22A B A B ππ->⇒>+成立，A 是钝角，当2A π=是，sin cos A B >，所以综上可知：若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形，故C 正确；D.A B A B ππ+<⇒<-，0,0A B πππ<<<-<，()cos cos cos A B B π∴>-=-，即cos cos 0A B +>，故D 不正确.故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题考查判断三角形的形状，关键知识点是正弦定理和余弦定理，判断三角形形状，以及诱导公式和三角函数的单调性.。

2021年湖南省长沙市四大名校高考数学猜题试卷（A卷）一．单项选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x||x|＜2，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{﹣3}B．{﹣1，1}C．{﹣1，0，1}D．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}2．若z＝，则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i3．一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下．佛塔依山势自上而下，按1、3、3、5、5、7、9、11、13、15、17、19的奇数排列成十二行，塔体分为4种类型：第1层塔身覆钵式，2～4层为八角鼓腹锥顶状，5～6层呈葫芦状，7～12层呈宝瓶状，现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1，2，3，4，…，108．则编号为26的佛塔所在层数和塔体形状分别为（）A．第5行，呈葫芦状B．第6行，呈葫芦状C．第7行，呈宝瓶状D．第8行，呈宝瓶状4．一次表彰大会上，计划安排这5名优秀学生代表上台发言．这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三年级1名．发言时若要求来自同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有（）种．A．36B．48C．72D．1205．将函数y＝sin x﹣cos x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y＝f（x）是奇函数B．y＝f（x）的图象关于直线x＝π对称C．y＝f（x）的周期是πD．y＝f（x）在区间上单调递减6．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，，．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（）A．甲同学和乙同学B．丙同学和乙同学C．乙同学和甲同学D．丙同学和甲同学7．有两条互相垂直的直线XX'和YY'，有一条定长的线段AB，它的两个端点分别被限制于这两条直线上．点P是AB上的一个确定点，即点P到点A和点B的距离的比值是一个定值．那么，随着线段AB的运动，点P的运动轨迹及焦距长为（）A．椭圆，焦距长为|AB|B．椭圆，焦距长为C．双曲线，焦距长为|2||PA|﹣|PB|||D．双曲线，焦距长为8．设函数f：R→R满足f（0）＝﹣1，且对∀x，y∈R，都有2f（xy）+f（y）（f（x）+1）＝2（x﹣1）．令集合A＝，则集合A中的元素个数为（）A．2020B．2021C．4040D．4042二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产量分别为360、240、120，为检验产品的质量，现需从以上所有产品中抽取一个容量为60的样本进行检验，则下列说法正确的是（）A．如果采用系统抽样的方法抽取，不需要先剔除个体B．如果采用分层抽样的方法抽取，需要先剔除个体C．如果采用系统抽样的方法抽取，抽取过程不需要运用简单随机抽样的方法D．如果采用分层抽样的方法抽取时，所有产品被抽中的概率相等10．设实数a、b、c满足b+c＝6﹣4a+3a2，c﹣b＝4﹣4a+a2，则下列不等式成立的是（）A．c＜b B．b≥1C．b≤a D．a＜c11．设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点F在线段A1C1上运动，则下列说法正确的是（）A．若点F为线段A1C1的中点时，AC1⊥CFB．若点F与点A重合时，异面直线CF与B1D1所成角的大小为C．若A1F＝时，二面角F﹣AB﹣A1的正切值为D．若F与点C1重合时，三棱锥C﹣BDF外接球的表面积为3π12．已知函数f（x）＝e x﹣ex，g（x）＝x2﹣x，若关于x的方程f（x）＝ag（x）的解x0∈（0，1），则实数a的可能取值为（）A．﹣e B．﹣1C．0D．1三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知平面向量，，设，||＝．14．已知的展开式中有且仅有两项的系数为有理数，试写出符合题意的一个n的值．15．已知等比数列{a n}中，a2＝2，a5＝，则满足a1a2+a2a3+⋅⋅⋅+a n a n+1≤成立的最大正整数n的值为．16．双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA、OC所在的直线，点为该双曲线的右焦点，若过点F的直线与直线OA、OC的分别相交于M、N两点，则△OMN内切圆半径的最大值为．四．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等比数列{a n}的各项均为正数，a6，，a7成等差数列，且a5＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log a a n（a＞0且a≠1），求数列{b n}的前n项和S n的最值．18．某市一湿地公园建设项目中，拟在如图所示一片水域打造一个浅水滩，并在A、B、C、D四个位置建四座观景台，在凸四边形ABCD中，AB＝千米．AD＝BC＝CD＝1千米．（1）用cos A表示cos C；（2）现要在A、C两处连接一根水下直管道，已知cos A＝，问最少应准备多少千米管道（结果可用根式表示）．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝，△PDC是边长为2的等边三角形，平面PDC⊥平面ABCD，E为PC中点．（1）设平面PAD∩平面PBC＝l，证明：DE⊥l；（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．20．核酸检测是诊断新冠病毒（nCoV）的重要标准之一，通过被检者核酸检测可以尽早发现感染者，感染者新冠病毒核酸检测呈阳性．2020年抗疫期间，某社区拟对其中850户4口之家以家庭为单位进行核酸检测，假定每个人核酸检测呈阳性还是阴性相互独立，且每个人核酸检测呈阳性的概率都是p（0＜p＜1）．在进行核酸检测时，可以逐个检测，也可以将几个样本混合在一起检测．检测方式有三种选择：方式一：逐个检测；方式二：将每个4口之家检测样本平均分成两组后，分组混合检测；方式三：将每个4口之家4个检测样本混合在一起检测；其中，若混合样本1次检测结果呈阴性，则认为该组样本核酸检测全部呈阴性，不再检测，若混合样本1次检测结果呈阳性，则对该组样本中的各个样本再逐个检测．（1）假设某4口之家中有2个样本呈阳性，逐个检测，求恰好经过3次检测能把这个家庭阳性样本全部检测出来的概率；（2）若p＝0.01，分别求该社区选择上述三种检测方式，对其中850户4口之家进行核酸检测次数的数学期望，你建议选择哪种检测方式较好，请简述其实际意义（不要求证明）．（附：0.992≈0.98，0.993≈0.97，0.994≈0.96．）21．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点（m，1）在抛物线C上，该点到原点的距离与到C的准线的距离相等．（1）求抛物线C的方程；（2）过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且与以焦点F为圆心2为半径的圆交于M，N两点，点B，N在y轴右侧．①证明：当直线l与x轴不平行时，|AM|≠|BN|；②过点A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，l1与l2相交于点D，求△DAM与△DBN的面积之积的取值范围．22．已知函数f（x）＝ae x﹣ln（x+1）+lna．（1）当a＝1时，求函数y＝f（x）的单调区间；（2）当a∈[1，+∞）时，求证：f（x）总存在唯一的极小值点x0，且f（x0）≥1．参考答案一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合A＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x||x|＜2，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{﹣3}B．{﹣1，1}C．{﹣1，0，1}D．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}解：∵B＝{x||x|＜2，x∈Z}＝{x|﹣2＜x＜2，x∈Z}＝{﹣1，0，1}，∴A∩B＝{﹣1，0，1}．故选：C．2．若z＝，则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i解：．故选：D．3．一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下．佛塔依山势自上而下，按1、3、3、5、5、7、9、11、13、15、17、19的奇数排列成十二行，塔体分为4种类型：第1层塔身覆钵式，2～4层为八角鼓腹锥顶状，5～6层呈葫芦状，7～12层呈宝瓶状，现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1，2，3，4，…，108．则编号为26的佛塔所在层数和塔体形状分别为（）A．第5行，呈葫芦状B．第6行，呈葫芦状C．第7行，呈宝瓶状D．第8行，呈宝瓶状解：∵1+3+3+5+5+7＝24，∴编号为26的佛塔在第7行，呈室瓶状．故选：C．4．一次表彰大会上，计划安排这5名优秀学生代表上台发言．这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三年级1名．发言时若要求来自同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有（）种．A．36B．48C．72D．120解：先排高一年级学生，有种排法，①若高一年级学生中间有高三学生，有种排法，②若高一学生中间无高三学生，有种排法，所以共有种排法．故选：B．5．将函数y＝sin x﹣cos x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y＝f（x）是奇函数B．y＝f（x）的图象关于直线x＝π对称C．y＝f（x）的周期是πD．y＝f（x）在区间上单调递减解：函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，由于为奇函数，故A正确；显然，y＝f（x）的图象关于原点对称，不关于直线x＝π对称，故B错误；f（x）的最小值个周期为2π，故C错误；显然，y＝f（x）在区间上单调递增，故D错误，故选：A．6．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，，．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（）A．甲同学和乙同学B．丙同学和乙同学C．乙同学和甲同学D．丙同学和甲同学解：因为，，又25＜32，所以，又，，所以，故，又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄．故选：C．7．有两条互相垂直的直线XX'和YY'，有一条定长的线段AB，它的两个端点分别被限制于这两条直线上．点P是AB上的一个确定点，即点P到点A和点B的距离的比值是一个定值．那么，随着线段AB的运动，点P的运动轨迹及焦距长为（）A．椭圆，焦距长为|AB|B．椭圆，焦距长为C．双曲线，焦距长为|2||PA|﹣|PB|||D．双曲线，焦距长为解：此题为椭圆规画椭圆的原理．在两条互相垂直的直线XX'和YY'上建立平面直角坐标系，当点P在第一象限时，设AB与X轴的夹角为θ，则P的坐标为（|PB|cosθ，|PA|sinθ），从而可知，点P在椭圆上，点P的轨迹是四分之一个椭圆，当点P在其它几个象限或坐标轴上时，点P的坐标满足方程，所以点P的轨迹是一个椭圆，焦距长为．故选：B．8．设函数f：R→R满足f（0）＝﹣1，且对∀x，y∈R，都有2f（xy）+f（y）（f（x）+1）＝2（x﹣1）．令集合A＝，则集合A中的元素个数为（）A．2020B．2021C．4040D．4042解：令y＝0，则有2f（0）+f（0）（f（x）+1）＝2（x﹣1），又f（0）＝﹣1，∴f（x）＝﹣2x﹣1．从而集合A中，可化为．即t（t+2x+1）＝2×62020＝22021×32020．∵t∈N*，x∈N*，∴t，t+2x+1必定为一奇一偶．若t为偶数时，t的取值可以为22021，22021×3，22021×32，…，22021×32020，共有2021个（t，x）．若t+2x+1为偶数时，同理也有2021个（t，x）．∴集合A中的元素个数共有2021×2＝4042（个）．故选：D．二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产量分别为360、240、120，为检验产品的质量，现需从以上所有产品中抽取一个容量为60的样本进行检验，则下列说法正确的是（）A．如果采用系统抽样的方法抽取，不需要先剔除个体B．如果采用分层抽样的方法抽取，需要先剔除个体C．如果采用系统抽样的方法抽取，抽取过程不需要运用简单随机抽样的方法D．如果采用分层抽样的方法抽取时，所有产品被抽中的概率相等解：由题中数据可知，（360+240+120）÷60＝360÷60+240÷60+120÷60＝6+4+2＝8，所以用系统抽样和分层抽样，都不需要先剔除个体，A正确，B错误．系统抽样确定起始号时需要用到简单随机抽样，所以C错误．无论利用哪种抽样方法，每个个体被抽到的机会均等，所以D正确．故选：AD．10．设实数a、b、c满足b+c＝6﹣4a+3a2，c﹣b＝4﹣4a+a2，则下列不等式成立的是（）A．c＜b B．b≥1C．b≤a D．a＜c解：∵，由①﹣②得2b＝2a2+2，即b＝a2+1，∴b≥1，又，∴b＞a，而c﹣b＝4﹣4a+a2＝（a﹣2）2≥0，∴c≥b，从而c≥b＞a．故选：BD．11．设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点F在线段A1C1上运动，则下列说法正确的是（）A．若点F为线段A1C1的中点时，AC1⊥CFB．若点F与点A重合时，异面直线CF与B1D1所成角的大小为C．若A1F＝时，二面角F﹣AB﹣A1的正切值为D．若F与点C1重合时，三棱锥C﹣BDF外接球的表面积为3π解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，易证AC1⊥B1C，AC1⊥B1D1，又B1C∩B1D1＝B，所以有AC1⊥面B1D1C，当F为A1C1中点时，CF⊂面B1D1C，∴AC1⊥CF，A正确；对于B，∵B1D1⊥A1C1，B1D1⊥AA1，∴B1D1⊥面AA1C1C，CA1⊂面AA1C1C，∴B1D1⊥CA1．若F与A1重合时，异面直线CF 与B1D1所成角为，B错误；对于C，当时，过F作FH⊥A1D1，垂足为H，则FH∥AB，．易证BA⊥面AA1D1D，从而由BA⊥AA1，BA⊥AH可得二面角F﹣AB﹣A1的平面角为∠A1AH．∴，C正确．对于D，点F与C1重合时，三棱锥C﹣BDF的外接球即正方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球，其直径．∴其表面积S＝4πR2＝3π，D正确．故选：ACD．12．已知函数f（x）＝e x﹣ex，g（x）＝x2﹣x，若关于x的方程f（x）＝ag（x）的解x0∈（0，1），则实数a的可能取值为（）A．﹣e B．﹣1C．0D．1解：易证e x≥ex，∴f（x）＝e x﹣ex≥0恒成立，所以C错误；令h（x）＝f（x）﹣ag（x）＝e x﹣ex﹣ax2+ax，若a＝1，则h（x）＝e x﹣ex﹣（x2﹣x），则x∈（0，1）时，﹣（x2﹣x）＞0，此时h（x）＞0恒成立，显然D错误，对于A、B，h（1）＝0，h'（x）＝e x﹣e﹣a（2x﹣1），h''（x）＝e x﹣2a，当a＜0时，h''（x）在（0，1）上恒为正，故h'（x）在（0，1）上单调递增，又因为h'（0）＝1﹣e+a＜0，h'（1）＝﹣a＞0，∴h'（x）在（0，1）上存在唯一零点x0，x∈（0，x0），h'（x）＜0；x∈（x0，1），h'（x）＞0，∴h（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，1）上单调递增，∴h（x0）＜h（1）＝0，而h（0）＝1＞0，故h（x）在（0，x0）上存在唯一零点，故A、B正确；故选：AB．三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知平面向量，，设，||＝．解：∵平面向量，，∴＝（1，5），∴||＝＝，故答案为：．14．已知的展开式中有且仅有两项的系数为有理数，试写出符合题意的一个n的值n可取6，8，9，10，11中任意一个值．解：的展开式的通项为，r≤n，r∈N．若系数为有理数，则，且．当n＝3时，r＝0；n＝4时，r＝4；n＝5时，r＝2；n＝6时r＝0，6；n＝7时，r无解；n＝8时，r＝2，8；n＝9时，r＝0，6；n＝10时r＝4，10；n＝11时，r＝2，8，n＝12时，r＝0，6，12．所以，n可取6，8，9，10，11中的任意一个值，故答案为：n可取6，8，9，10，11中的任意一个值．15．已知等比数列{a n}中，a2＝2，a5＝，则满足a1a2+a2a3+⋅⋅⋅+a n a n+1≤成立的最大正整数n的值为3．解：设等比数列{a n}的公比为q，由得，，，解得，又a2＝2．∴a1＝4．易得数列{a n a n+1}也是等比数列，其首项为a1a2＝8，公比为．∴，从而有．∴n≤3．故n max＝3．故答案为：3．16．双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA、OC所在的直线，点为该双曲线的右焦点，若过点F的直线与直线OA、OC的分别相交于M、N两点，则△OMN内切圆半径的最大值为2﹣．解：由题意得∠AOF＝45°＝∠COF，过M、N向x轴作垂线，垂足分别为M1，N1．设|OM|＝m，|ON|＝n，则，．，所以有mn＝m+n．又，有mn≥4．（当且仅当m＝n时等号成立）．Rt△OMN的内切圆半径，令t＝mn，t≥4，则，在[4，+∞）上单调递减．∴当t＝4时，r有最大值为．故答案为：．四．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等比数列{a n}的各项均为正数，a6，，a7成等差数列，且a5＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log a a n（a＞0且a≠1），求数列{b n}的前n项和S n的最值．解：（1）设等比数列的首项为a1，公比为q＞0，由得，q＝2．所以．（2）b n＝log a a n＝（n﹣6）log a2．数列{b n}是首项为﹣5log a2，公差为log a2的等差数列．方法一：①当0＜a＜1时，log a2＜0，数列{b n}是首项为正的递减等差数列．由b n≥0，得n≤6，（S n）max＝S5＝S6＝﹣15log a2，S n没有最小值．②当a＞1时，log a2＞0，数列{b n}是首项为负的递增等差数列．由b n≤0，得n≤6，所以（S n）min＝S5＝S6＝﹣15log a2，S n没有最大值．方法二：利用等差数列求和公式得．①当a＞1时，log a2＞0，此时（S n）min＝S5＝S6＝﹣15log a2，S n没有最大值．②当0＜a＜1时，log a2＜0，此时（S n）max＝S5＝S6＝﹣15log a2，S n没有最小值．18．某市一湿地公园建设项目中，拟在如图所示一片水域打造一个浅水滩，并在A、B、C、D四个位置建四座观景台，在凸四边形ABCD中，AB＝千米．AD＝BC＝CD＝1千米．（1）用cos A表示cos C；（2）现要在A、C两处连接一根水下直管道，已知cos A＝，问最少应准备多少千米管道（结果可用根式表示）．解：（1）连结BD，如图所示：在△ABD中，由余弦定理得．在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2+CD2﹣2BC×CD×cos C＝2﹣2cos C，所以，解得，所以用cos A表示cos C为cos C＝cos A﹣1．（2）因为，所以由（1）可得，C∈（0，π），所以，由CD＝BC，所以．△ABD中，由余弦定理得．由AB＝BD，所以△ABD为等腰三角形．所以，，计算．△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2+CD2﹣2AD×CD×cos∠ADC＝．解得；所以应准备千米的管道．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝，△PDC是边长为2的等边三角形，平面PDC⊥平面ABCD，E为PC中点．（1）设平面PAD∩平面PBC＝l，证明：DE⊥l；（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：因为平面PDC⊥平面ABCD，且平面PDC∩平面ABCD＝DC．BC ⊥CD，所以BC⊥平面PDC．又BC⊂平面PBC．从而平面PDC⊥平面PBC．已知△PDC为等边三角形，E为PC中点，所以DE⊥PC，故平面PDC∩平面PBC＝PC，故DE⊥平面PBC．由已知l⊂平面PBC，所以DE⊥l．（2）方法一：设DC中点为O，则PO⊥DC，因为平面PDC⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，如图，以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间坐标系，由已知有，，D（0，﹣1，0），，C（0，1，0）．设平面PAD的法向量，因为，，，，所以，令，则，设平面PBC的法向量，∵，，，，，令z2＝1，则，因为，，所以．所以平面PAD和平面PBC所成二面角的余弦值为．方法二：设CB与DA相交于点F，PF即平面PAD与平面PBC的交线．过E设EH⊥PF，垂足为H．连结DH．由（1）知DE⊥平面PBC，所以PF⊥DE，从而PF⊥平面DEH．所以PH⊥DH，故∠DHE是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角．由已知易得，且，由（1）知△PCF为直角三角形，∠C为直角，从而，所以，故，所以．20．核酸检测是诊断新冠病毒（nCoV）的重要标准之一，通过被检者核酸检测可以尽早发现感染者，感染者新冠病毒核酸检测呈阳性．2020年抗疫期间，某社区拟对其中850户4口之家以家庭为单位进行核酸检测，假定每个人核酸检测呈阳性还是阴性相互独立，且每个人核酸检测呈阳性的概率都是p（0＜p＜1）．在进行核酸检测时，可以逐个检测，也可以将几个样本混合在一起检测．检测方式有三种选择：方式一：逐个检测；方式二：将每个4口之家检测样本平均分成两组后，分组混合检测；方式三：将每个4口之家4个检测样本混合在一起检测；其中，若混合样本1次检测结果呈阴性，则认为该组样本核酸检测全部呈阴性，不再检测，若混合样本1次检测结果呈阳性，则对该组样本中的各个样本再逐个检测．（1）假设某4口之家中有2个样本呈阳性，逐个检测，求恰好经过3次检测能把这个家庭阳性样本全部检测出来的概率；（2）若p＝0.01，分别求该社区选择上述三种检测方式，对其中850户4口之家进行核酸检测次数的数学期望，你建议选择哪种检测方式较好，请简述其实际意义（不要求证明）．（附：0.992≈0.98，0.993≈0.97，0.994≈0.96．）解：（1）记恰好经过3次检测能把这个家庭阳性样本全部检测出来为事件A，则P（A）＝＝．（2）当P＝0.01时，每个人核酸检测呈阴性的概率为0.99．若选择方式一，该社区对其中850户4口之家需进行X1＝3400次核酸检测．若选择方式二，记每个4口之家检测次数为ξ2，则ξ2可能取值为2，4，6，其分布列为ξ2246P0.994（1﹣0.992）2．故该社区对其中1000户4口之家进行核酸检测总次数期望EX2＝850Eξ2＝1768次．若选择方式三进行核酸检测，记每个4口之家检测次数为ξ3，则ξ3可能取值为1，5．其分布列为ξ312P0.9941﹣0.994故选择方式三每个4口之家检测次数的期望为故该社区对其中1000户4口之家进行核酸检测总次数期望为EX3＝850×1.16≈986次．显然EX3＜EX2＜EX1由上可知，当每个人核酸检测呈阳性概率很小时，采取每个家庭检测样本混合在一起检测时，检测总次数期望相较其他方式少，对人数众多的群体采用方式三进行核酸检测显著提高了检测效率，大大节约了检测成本．21．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点（m，1）在抛物线C上，该点到原点的距离与到C的准线的距离相等．（1）求抛物线C的方程；（2）过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且与以焦点F为圆心2为半径的圆交于M，N两点，点B，N在y轴右侧．①证明：当直线l与x轴不平行时，|AM|≠|BN|；②过点A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，l1与l2相交于点D，求△DAM与△DBN的面积之积的取值范围．解：（1）由题意可得，解得p＝4，所以抛物线C的方程为x2＝8y．（2）由（1）知，圆F方程为：x2+（y﹣2）2＝1，由已知可设l：y＝kx+2，且A（x1，y1），B（x2，y2），由得x2﹣8kx﹣16＝0，设Q（x0，y0）是抛物线C上任一点，则，故抛物线与圆相离．①证明：当直线l与x轴不平行时，有k≠0，方法一：由抛物线定义知，|AF|＝y1+2，|BF|＝y2+2．所以||AM|﹣|BN||＝|（|AF|﹣2）﹣（|BF|﹣2）|＝||AF|﹣|BF||＝|y1﹣y2|＝|（kx1+2）﹣（kx2+2）|＝＝，所以|AM|≠|BN|方法二：因为A、M、N、B四点共线，M、N中点为F（0，2），若|AM|＝|BN|，则必有AB中点与M、N中点重合，即x1+x2＝0，因为x1+x2＝8k≠0，所以|AM|≠|BN|．②由（1）知抛物线方程为．所以．所以过点A的切线，即．同理可得，过点B的切线l2为．由l1，l2方程联立，得，解之，得，又得，所以．D（4k，﹣2）到l：y＝kx+2的距离，|AM|⋅|BN|＝（|AF|﹣2）（|BF|﹣2）＝[（y1+2）﹣2][（y2+2）﹣2]＝，从而＝．22．已知函数f（x）＝ae x﹣ln（x+1）+lna．（1）当a＝1时，求函数y＝f（x）的单调区间；（2）当a∈[1，+∞）时，求证：f（x）总存在唯一的极小值点x0，且f（x0）≥1．【解答】（1）解：函数y＝f（x）的定义域为（﹣1，+∞）．当a＝1时，f（x）＝e x﹣ln（x+1），所以，易知f'（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且f'（0）＝0．则在（﹣1，0）上f'（x）＜0，在（0，+∞）上f'（x）＞0，从而f（x）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．（2）证明：f（x）＝ae x﹣ln（x+1）+lna，所以，且a≥1．设g（x）＝f'（x），则，所以g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，即f'（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，由，得，设h（x）＝（x+1）e x h'（x）＝（x+2）e x＞0，则h（x）在[﹣1，+∞）上单调递增且h（﹣1）＝0．则当a∈[1，+∞）时，都恰有一个x0＞﹣1，使得，且当x∈（﹣1，x0）时f'（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时f'（x）＞0，因此f（x）总有唯一的极小值点x0．所以，从而lna＝﹣ln（x0+1）﹣x0，极小值由lna＝﹣ln（x0+1）﹣x0，可得当a∈[1，+∞）时，﹣ln（x0+1）﹣x0≥0，即ln（x0+1）+x0≤0，ln（x0+1）+x0随x0增大而增大，易得x0∈（﹣1，0]．令t＝x0+1，则t∈（0，1]，设，φ（1）＝1，所以φ（t）在（0，1]上单调递减，且φ（1）＝1，从而φ（t）≥1．即f（x0）≥1．。

湖南省高考数学考前押题（文）试卷（含答案）一、单选题1．已知2(1)i z-=1i +（i 为虚数单位），则复数z = （ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --2．设集合(){}(){}2,2,,A x y x y B x y y x =+===，则AB =（ ）A ．(){}1,1B ．(){}2,4-C ．()(){}1,1,2,4-D ．∅3．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．已知直线,a b 表示不同的直线，则//a b 的充要条件是（ ） A ．存在平面α，使//,//a b αα B ．存在平面α，使,a b αα⊥⊥ C ．存在直线c ，使 ,a c b c ⊥⊥D ．存在直线c ，使,a b 与直线c 所成角都是60︒ 5．函数()24sin f x x x =-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体体积是（ ）A．4 B．43C．83D．27．“割圆术”是我国古代计算圆周率π的一种方法.在公元263年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明.其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求π.当时刘微就是利用这种方法，把π的近似值计算到3.1415和3.1416之间，这是当时世界上对圆周率π的计算最精确的数据.这种方法的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的.为此，刘微把它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这种方法极其重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分.根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周率π，则π的近似值是（）（精确到0.01）（参考数据sin150.2588≈）A．3.05B．3.10C ．3.11D ．3.148．关于函数()sincos 22x xf x =+ 有下述三个结论： ①函数()f x 的图象既不关于原点对称，也不关于y 轴对称； ②函数()f x 的最小正周期为π；③0x ∃∈R ，()01f x =.其中正确结论的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．39．设,,(0,)2A B C π∈,且cos cos cos ,sin sin sin A B C A B C +=-=,则C A -=（ ）A ．6π-B ．3π-C ．3π D ．-33ππ或10．已知椭圆222:1(02)4x y C b b+=<<,作倾斜角为34π的直线交椭圆C 于,A B 两点,线段AB 的中点为,M O 为坐标原点OM 与MA 的夹角为θ,且|tan |3θ=，则b =( )A ．1BC D ．211．在四面体ABCD 中，AB AC ==，6BC =，AD ⊥底面ABC ，G 为DBC △的重心，且直线DG 与平面ABC 所成的角是30°，若该四面体ABCD 的顶点均在球O 的表面上，则球O 的表面积是（ ） A ．24πB ．32πC ．46πD ．49π12．已知函数()1ln m f x n x x =--（0m >，0e n ≤≤）在区间[1,e]内有唯一零点，则21n m ++的取值范围为（ ） A ．22,112e e e e +⎡⎤+⎢⎥++⎣⎦B ．22,11e e e e +⎡⎤+⎢⎥++⎣⎦ C ．2,11e e ⎡⎤+⎢⎥+⎣⎦D ．1,12e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦二、填空题13．执行如图所示的程序框图，输出S 的值是______.14．在锐角三角形ABC 中，sin 22C C =，cos cos c B b C +=则ABC 的面积的取值范围为______．15．已知P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点，点M ，N 分别在直线11:3l y x =与21:3l y x =-上，且2//PM l ，1//PN l ，若22PM PN +为定值，则椭圆的离心率为______.16．已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-，若不等式223(5)n n n a λ--<-，对n N +∀∈恒成立，则整数λ的最大值为______．三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*10,N a a a a =>∈，1nn Spa +=（0p ≠且1p ≠-，*N n ∈）． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在①1k a +，3k a +，2k a +，②2k a +，1k a +，3k a +这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，要使问题成立：对任意的正整数k ，若将1k a +，2k a +，3k a +按______的顺序排列后构成等差数列，且公差为k d ，求p 的值及对应的k d ．18．如图，在三棱锥A BCD -中，ABD ∆是等边三角形，平面ABD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，BC CD ==E 为三棱锥A BCD -外一点，且CDE ∆为等边三角形.（1）证明：AC BD ⊥；（2）若AE ⊥平面CDE ，求点E 到平面BCD 的距离.19．已知M 过点)A，且与(2216N x y ++=：内切，设M 的圆心M 的轨迹为C ，（1）求轨迹C 的方程；（2）设直线l 不经过点()20B ，且与曲线C 交于点P Q ，两点，若直线PB 与直线QB 的斜率之积为12-，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，请说明理由．20．2019年，中国的国内生产总值（GDP ）已经达到约100万亿元人民币，位居世界第二，这其中实体经济的贡献功不可没实体经济组织一般按照市场化原则运行，某生产企业一种产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本y （元）与生产该产品的数量x （千件）有关，经统计得到如下数据：根据以上数据，绘制了如下的散点图.现考虑用反比例函数模型b y a x=+和指数函数模型dxy ce =分别对两个变量的关系进行拟合.为此变换如下：令1xμ=，则y a b μ=+，即y 与μ满足线性关系；令ln νμ=，则ln c dx ν=+，即ν与x 也满足线性关系.这样就可以使用最小二乘法求得非线性的回归方程.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为96.54dx y e =，ν与x 的相关系数10.94r =-，其他参考数据如表（其中1ln i i i iy x μν==）.（1）求指数函数模型和反比例函数模型中y 关于x 的回归方程；（2）试计算y 与μ的相关系数2r ，并用相关系数判断：选择反比例函数和指数函数两个模型中的哪一个拟合效果更好（计算精确到0.01）？（3）根据（2）小题的选择结果，该企业采取订单生产模式（即根据订单数量进行生产，产品全部售出）.根据市场调研数据，该产品单价定为100元时得到签订订单的情况如表：已知每件产品的原料成本为10元，试估算企业的利润是多少？（精确到1千元） 参考公式：对于一组数据()11,μν，()22,μν，⋅⋅⋅，(),n n μν，其回归直线ναβμ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1221ni i i nii n n μνμνβμμ==-=-∑∑，ανβμ=-，相关系数ni in r μνμν-=∑.21．已知函数()()ln f x x ax a R =-∈. （1）讨论()f x 的单调性； （2）当1a =时，设()()1f x g x xex -=--（e 为自然对数的底）.若正实数1λ、2λ满足121λλ+=，1x 、()()2120,x x x ∈+∞≠，证明：()()()11221122g x x g x g x λλλλ+<+. 22．在直角坐标系.xOy 中，曲线C 1的参数方程为22cos .2sin x y φφ=+⎧⎨=⎩（φ 为参数），以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin θ. （1）求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）已知曲线C 3的极坐标方程为()0π,R θααρ=<<∈，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，且|AB，求α的值. 23．已知函数()2f x x a x a =---，a R ∈． （Ⅰ）若(1)1f >，求a 的取值范围；（Ⅱ）若0a <，对x ∀，(],y a ∈-∞，都有不等式()(2020)f x y y a ≤++-恒成立，求a 的取值范围．答 案1．D 2．C 3．B 4．B 5．D 6．B 【详解】如图所示，在棱长为2的正方体中，三视图表示图中的棱锥P ABC -，其中C 点为中点，该几何体的体积为：ABC11142223323V S h ⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.本题选择B 选项.7．C 【详解】 设圆的半径为r ，以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的24个等腰三角形 且顶角为3601524= 所以正二十四边形的面积为2124sin1512sin152⋅⋅⋅⋅=r r r 所以2212sin1512sin15 3.11ππ=⇒=≈r r 故选：C8．B 【详解】依题意，()()()sincos sin cos ()2222x x x xf x f x ---=+=+=， 故函数f x （）的图象关于y 轴对称，故①错误；因为()sin cos cos sin ()222222x x x x f x f x πππ⎛⎫⎛⎫+=+++==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故x π=是函数f x （）的一个周期，且当[0,)x π∈时()sincos 2224x x x f x π⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，故②正确，③错误. 故选B . 9．B 【分析】把题设中的两个等式移项后平方再相加，则有()1cos 2C A -=，再根据,0,2C A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭及sin sin A C >可得C A -的大小.【详解】因为cos cos cos A B C +=，故cos cos cos B C A =-，222cos 2cos cos cos cos C C A A B -+=，同理222sin 2sin sin sin sin C C A A B -+=，所以()12cos cos sin sin 0A C A C -+=即()1cos 2C A -=. 因为,0,2C A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故,22C A ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，3C A π-=±，根据sin sin sin A B C =+得到sin sin A C >，因,0,2C A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故C A <，故3C A π-=-，故选B.【点睛】三角函数的求值问题，需要观察给定的三角函数式的结构形式，再根据已有的公式的结构特点对原有的三角函数式变形化简.知道角的三角函数值，应该根据题设条件去挖掘隐含的角与角的大小关系，从而可对所得结果进行取舍. 10．B 【解析】分析：设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，利用“点差法”可得2004y b x =，设直线OM 的倾斜角为α，则4πθα=+或3tan 1,tan 41tan παθαθα+=-=±-，又200tan 4y b x α==，由2214314b b +=-，从而可得结果.详解：设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，则22112222221414x y b x y b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得()()()()12121212204x x x x y y y y b -+-++=，00122121,04x y y y x x b -=-∴-=-，即2004y b x =，设直线OM 的倾斜角为α，则4πθα=+或3tan 1,tan 41tan παθαθα+=-=±-， 又200tan 4y b x α==，由2214314b b +=-，解得22b =，即b =B.点睛：本题考查椭圆的性质，点差法和运算求解能力. 对于有弦关中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解. 11．D 【分析】四面体ABCD 与球O 的位置关系如图所示，设F 为BC 的中点，O '为ABC 外接圆的圆心.由条件可得AF =又直线DG 与平面ABC 所成的角等于直线DF 与平面ABC 所成的角即DFA ∠，求出球O 的半径，即可得答案； 【详解】四面体ABCD 与球O 的位置关系如图所示，设E 为BC 的中点，O '为ABC 外接圆的圆心.由条件可得AE =又直线DG 与平面ABC 所成的角等于直线DE 与平面ABC 所成的角即DEA ∠.则由tan AD DEA AE ∠==，∴1AD =. 由2221cos 22AB AC BC BAC AB AC +-∠==-⋅，120BAC ∠=所以2sin ∠'==B CACB AO在四边形'OO AD 中，//'OO AD ，90'︒∠=O A O ，'=AO OA OD =.所以(22214924OA ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，所以球O 的表面积为49π. 故选：D. 【点睛】本题考查四面体与球的切接问题、球的表面积，考查空间想象能力、运算求解能力. 12．A 【分析】由函数在区间[1,e]内有唯一零点，根据零点存在性定理即函数单调性可得(1)0,(e)0,f f ≥⎧⎨<⎩或(1)0,(e)0,f f >⎧⎨≤⎩化简可得关于.m n 的约束条件，利用线性规划求解即可. 【详解】22()m n m nx f x x x x '+=--=-，当0n =时，2()0m f x x '=-<， 当0e n <≤时，令()0f x '=，则0mx n =-<，所以函数()f x 在[1,e]上单调递减，由函数()f x 在区间[]1,e 内有唯一零点，得(1)0,(e)0,f f ≥⎧⎨<⎩,即10,10,em m n -≥⎧⎪⎨--<⎪⎩ 即10,e e 0,m m n -≥⎧⎨--<⎩或(1)0, (e)0,f f >⎧⎨≤⎩,即10,e e 0,m m n ->⎧⎨--≤⎩,又0m >，0n e ≤≤， 所以10,e e 0,0,0e,m m n m n -≥⎧⎪--<⎪⎨>⎪⎪≤≤⎩ （1）或10,e e 0,0,0e,m m n m n ->⎧⎪--≤⎪⎨>⎪⎪≤≤⎩ （2） 所以m ，n 满足的可行域如图（1）或图（2）中的阴影部分所示， 则2(2)1(1)n n m m +--=+--表示点（m ，n ）与点（－1，－2）所在直线的斜率，综上可得21n m ++的最小值在A 点处取得，根据e e 0,e,m n n --=⎧⎨=⎩得A 点坐标满足2e e,e,m n ⎧=+⎨=⎩，所以最小值为2e 2e e 1+++，故选A.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，函数零点，线性规划，属于难题. 13．0 【分析】模拟运行程序，得出该程序框图S 的值会以3为周期循环出现，根据20193673=⨯，即可得出答案. 【详解】1,0tan3n S π==+= 22,tan03n S π=== 33,0tan03n S π==+= 44,0tan3n S π==+= 55,tan03n S π=== 6,0tan603n S π==+=由于()tan 3f n n π=的周期33T ππ==，则tan 3n π的值以3为周期循环出现即该程序框图S 的值会以3为周期循环出现因为20193673=⨯，所以2019n =时，0S =，此时循环终止，输出的0S = 故答案为：0 【点睛】本题主要考查了循环结构框图计算输出值，属于中档题. 14．【分析】利用辅助角公式，结合锐角三角形特点可求得C ；利用余弦定理化简已知等式可求得a ；利用正弦定理和锐角三角形角的大小可确定,sin c B 的取值范围，代入三角形面积公式可得结果. 【详解】由sin 22C C =+sin 222sin 23C C C π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭sin 23C π⎛⎫∴-=⎪⎝⎭， ABC 为锐角三角形，0,2C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，22,333C πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，3C π∴=，由余弦定理知：222222cos cos 22a c b a b c c B b C a a a+-+-+=+==ABC 为锐角三角形且3C π=，,62A ππ⎛⎫∴∈⎪⎝⎭，,62B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 1sin ,12A ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，1sin ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由正弦定理知：sin sin a C c A ==，1sin sin 2ABCSac B B ∴==∈．故答案为：.【点睛】本题考查利用正余弦定理求解三角形面积取值范围的问题，关键是能够熟练应用正余弦定理进行边角转化，从而求得所需的边和角的取值范围，代入三角形面积公式求得结果. 15【分析】设00(,)P x y ，求出M ，N 的坐标，得出22PM PN +关于00,x y 的式子，根据P 在椭圆上得到,a b 的关系，进而求出离心率. 【详解】设00(,)P x y ，则直线PM 的方程为00133x y x y =-++，直线PN 的方程为00133x y x y =-+，联立方程组0013313x y x y y x⎧=-++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得00003(,)2262x x y M y ++，联立方程组0013313x y x y y x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得00003(,)2262x x y N y --+，则222222220000000000335()()()()5226222629x y x y x x y PM PN y x y +=-++-++++=+ 又点P 在椭圆上，则有22222200b x a y a b +=，因为2200559x y +为定值，则2251959b a ==，222289a b e a -==，e =【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，有一定的难度. 16．4 【详解】当1n =时，21122S a =-，得14a =，当2n ≥时，122nn n S a -=-， 又122n n n S a +=-，两式相减得1222n n n n a a a -=--，得122nn n a a -=+，所以11122n n n n a a ---=． 又1122a =，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列， 12n na n =+，即(1)2nn a n =+⋅． 因为0n a >，所以不等式223(5)n n n a λ--<-，等价于2352nn λ-->． 记122311,,224n nn b b b -==-=， 2n ≥时，112121223462n n nnn b n n b n ++--==--． 所以3n ≥时，11,n nb b +< 综上，max 33()8n b b ==，所以33375,5888λλ-><-=，所以整数λ的最大值为4． 考点：1．数列的通项公式；2．解不等式．17．（1）()()2112n n a n a a p n p p -⎧=⎪=⎨⎛⎫+≥⎪ ⎪⎝⎭⎩；（2）见解析【分析】（1）由1n n S pa +=再写式子12n n S pa n -=≥（），两式作差得到11n n a pa p++=（n ≥2），所以数列{a n }从第二项起是公比为1p p+的等比数列，又当n ＝1时2aa p =，从而可得通项公式；（2）由（1）分别写出1k a +，2k a +，3k a +，若选①，则1232k k k a a a ++++=，解出p 值，即可求得k d ；同理若选②，则2312k k k a a a ++++=，解出p 值，求得k d . 【详解】（1）因为1n n S pa +=，当2n ≥时，1n n S pa -=，两式相减，得()112n n a p n a p ++=≥，故数列{}n a 从第二项起是公比为1p p+的等比数列， 又当1n =时，120a pa -=，1a a =，所以2a a p =，从而()()2112n n a n a a p n p p -⎧=⎪=⎨⎛⎫+≥⎪ ⎪⎝⎭⎩．（2）由（1）得111k k a p a p p -+⎛⎫+= ⎪⎝⎭，21k k a p a p p +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，131k k a p a p p ++⎛⎫+= ⎪⎝⎭，若选①，则1232k k k a a a ++++=，11p p +=或112p p +=-，得23p =-， 所以113122k k a a -+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，133122k k a a ++⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以1319182k k k k a d a a -++⎛⎫=-=⨯- ⎪⎝⎭．若选②，则2312k k k a a a ++++=，11p p +=或12p p +=-，得13p =-， 所以()1132k k a a -+=--，()232kk a a +=--，所以()11292k k k k d a a a -++=-=-⋅-．【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，考查等差数列的性质，考查计算能力，属于中档题． 18．（1）证明见解析（2）7【分析】（1）要证AC BD ⊥，只需证BD ⊥平面AOC ，即可求得答案；（2）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面CBD CD =，所以AO ⊥平面BCD ，且2BD =，AO =CD 的中点F ，连接OF ，EF ，同理可证CD ⊥平面EOF ，CD ⊥平面AOF ，结合已知，即可求得答案.【详解】（1）取BD 的中点O ，连接OC ，OA ，ABD ∆是等边三角形， ∴AO BD ⊥，又BC CD =，∴CO BD ⊥，CO AO O ⋂=，∴BD ⊥平面AOC ，AC ⊂平面AOC ，故AC BD ⊥. （2）平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面CBD CD =，∴AO ⊥平面BCD ，且2BD =，AO =取CD 的中点F ，连接OF ，EF ，同理可证CD ⊥平面EOF ，CD ⊥平面AOF ，A ∴，O ，F ，E 共面，∴平面BCD ⊥平面OFE ，作EH 垂直OF 于点H ，则EH ⊥平面BCD ，故点E 到平面BCD 的距离即为EH ， 又AE ⊥平面CDE ，所以AE EF ⊥，AE EC ⊥，∴OF =，EF =，AF =AE =由sin sin()EFO AFO AFE ∠=∠+∠sin cos cos sin AFO AFE AFO AFE =∠∠+∠∠∴2277EH +=⨯=. 【点睛】本题主要考查了求证异面直线垂直和求点到面距离，解题关键是掌握将求证线线垂直转化为线面垂直的证法和点到面距离的定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.19．（1）2214x y +=；（2）l 过定点203，． 【分析】（1）由题意结合圆的性质可得4MA MN +=，利用椭圆的定义即可得解；（2）当直线l 斜率不存在时，求出各点坐标后即可得l 与x 轴的交点为203⎛⎫ ⎪⎝⎭，；当l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx b =+，联立方程可得122814kb x x k -+=+，21224414b x x k-=+，进而可转化条件()242PB QB b k k k b k -⋅=+，得出23b k =-后即可得解.【详解】 （1）由题意M过点)A，且与(2216N x y ++=：内切，易知点()N ，N 半径为4，设两圆切点为D ，所以4MD MN ND +==，在M 中，MD MA =，所以4MA MN MA +=>，所以M 的轨迹为椭圆，由椭圆定义可知24a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以2221b a c =-=，所以轨迹C 的方程为2214x y +=；（2）①当l 的斜率不存在的时，设()00P x y ，，所以()00Q x y -，， 所以000022001222 14PB QB y y k k x x x y -⎧⋅=⋅=-⎪--⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得0023x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或002 0x y =⎧⎨=⎩（舍），所以l 与x 轴的交点为203⎛⎫ ⎪⎝⎭，； ②当l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx b =+，联立2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消元可得()222148440k x kbx b +++-=， ()()()222228414446416160kb k b k b ∆=-+-=-+>，所以2241k b >-，由韦达定理122814kb x x k -+=+，21224414b x x k-=+， 则()()()()()222121212112121212()222224PB QBkx b k x x kb x x b y y kx b k k x x x x x x x x +++++⋅=⋅=⋅=-----++ ()()()()2222222222222244822414144484242241414b k b k b b k b k b k k k b kb k b k b k k⋅⋅--+-+-++===--++-+++， 又因为20k b +≠，所以()21422b k b k -=-+，即23b k =-，所以22221143b k k ⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭，所以23b k =-成立，所以2233y kx k k x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当23x =时，0y =，所以l 过203⎛⎫⎪⎝⎭，， 综上所述，l 过定点203⎛⎫⎪⎝⎭，. 【点睛】本题考查了椭圆定义的应用和直线与椭圆的综合问题，考查了计算能力，属于中档题. 20．（1）指数模型回归方程为0.296.54x y e -=，反比例函数回归方程为10011y x=+；（2）20.99r ≈；用反比例函数模型拟合效果更好；（3）612（千元）.【分析】（1）由96.54dx y e =，得ln ln 96.54 4.6y dx dx ν=+⇔=+，将 3.7ν=， 4.5x =代入可得指数模型回归方程.令1xμ=，则y b a μ=+，代入y ，求得b ，a ，可得反比例函数回归方程.（2）求得y 与u 的相关系数为2r ，由12r r <，可得结论. （3）设该企业的订单期望为S （千件），则109811011111123101122222S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可求得订单的期望，从而求得该企业的利润约. 【详解】解：（1）因为96.54dx y e =，所以ln ln 96.54 4.6y dx dx ν=+⇔=+， 将 3.7ν=， 4.5x =代入上式，得0.2d =-，所以0.296.54x y e -=. 令1xμ=，则y b a μ=+， 因为360458y ==，所以182218183.480.34451001.5380.1158ni ii i i u y u yb u u==-⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑，则451000.3411a y b u =-⋅=-⨯=，所以11100y u =+， 所以y关于x 的回归方程为10011y x=+. 综上，指数模型回归方程为0.296.54x y e -=，反比例函数回归方程为10011y x=+. （2）y 与u 的相关系数为828610.9961.4i iu y u yr -⋅===≈∑，因为12r r <，所以用反比例函数模型拟合效果更好. （3）设该企业的订单期望为S （千件），则109811011111123101122222S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令109811111123102222T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①， 则111092111111*********T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②， ②-①，得11109211111522222T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得10192T ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以101391292256S ⎛⎫=+⨯=+ ⎪⎝⎭，所以该企业的利润约为：3310091009101161232562569256⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎛⎫+⨯-+⨯++≈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭+⎢⎥⎣⎦（千元）. 【点睛】本题考查线性回归方程的求得，相关系数的比较，以及运用数学期望求利润，属于中档题. 21．（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）求得函数()y f x =的定义域与导数，对实数a 进行分类讨论，分析导数的符号变化，可得出函数()y f x =的单调递增区间和递减区间； （2）由题意得出()1xg x e x =--，构造函数()()()()()()211121g x g x H x g x g x x x x x -=----，证明出存在()12,x x ξ∈，使得()()()()2121g x g x g x x ξ'-=-，可推导出()()()()21121g x g x g x x x '->-，设()31122121x x x λλλλ=++=，可得()()()()132312g x g x g x x x λ'>+-，()()()()231321g x g x g x x x λ'>+-，利用待定系数法可证得不等式成立.【详解】（1）函数()y f x =的定义域为()0,∞+，()11axf x a x x-'=-=. ①当0a ≤时，()0f x '>，函数()y f x =在()0,∞+上单调递增； ②当0a >时，令()0f x '>，解得10x a <<；令()0f x '<解得1x a>. 故此时函数()y f x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）当1a =时，()()ln ln 111x x x x x g x xex xe x e x ---=--=--=--，()()100x g x e x '=->>，不妨设120x x <<，先证：存在()12,x x ξ∈，使得()()()()2121g x g x g x x ξ'-=-， 构造函数()()()()()()211121g x g x H x g x g x x x x x -=----，显然()()12H x H x =，且()()()()2121g x g x H x g x x x -''=--，()()()21212111121121212111111x x x x x x x x x e x e x e e e H x ee e x x x x x x ------⎛⎫--'=--=-=- ⎪---⎝⎭()22121211x x x e x x e x x -⎡⎤=--+⎣⎦-， 210x x >>，则210x x ->，()()22212110x x g x x e x x -∴-=--->，()10H x '∴<，同理可证()()212212212212110x x x x x x e e e H x e e x x x x x x --'⎡⎤=-=--->⎣⎦--， 由零点存在定理可知，存在()12,x x ξ∈，使得()()()()21210g x g x H g x x ξξ-''=-=-，即存在()12,x x ξ∈，使得()()()()2121g x g x g x x ξ'-=-，又()1xg x e '=-为增函数，()()()()()()2121121g x g x g x x g x x x ξ''∴-=->-，即()()()()21121g x g x g x x x '>+-，设()31122121x x x λλλλ=++=，则()1311221x x x x λλ-=--，()2322111x x x x λλ-=--，()()()()()()()133133311221g x g x g x x x g x g x x x λλ''∴>+-=+--⎡⎤⎣⎦()()()32312g x g x x x λ'=+-，①()()()()()()()233233322111g x g x g x x x g x g x x x λλ''>+-=+--⎡⎤⎣⎦()()()31321g x g x x x λ'=+-，②由①1λ⨯+②2λ⨯得：()()()()112231122g x g x g x g x x λλλλ+>=+， 即()()()11221122g x x g x g x λλλλ+<+. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明函数不等式，构造新函数是解答的关键，考查计算能力与推理能力，属于难题. 22．（1）()2224x y -+=，()2224x y +-=,；（2）34πα= 【分析】（1）由曲线C 1的参数方程消去参数求出曲线的普通方程；曲线C 2的极坐标方程左右同乘ρ，即可求出直角坐标方程；（2）曲线C 1化为极坐标方程4cos ρθ=，设1122(,),(,)A B ραρα，从而12||||AB ρρ=-计算即得解. 【详解】（1）曲线C 1的参数方程为22cos .2sin x y φφ=+⎧⎨=⎩,消去参数得到普通方程：22(2)4x y -+=曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ，两边同乘ρ得到24sin ρρθ= 故C 2的直角坐标方程为：22(2)4x y +-=.（2）曲线C 122(2)4x y -+=化为极坐标方程4cos ρθ=,设1122(,),(,)A B ραρα因为曲线C 3的极坐标方程为：(0),R θααπρ=<<∈点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，且|AB |=412|||||4sin 4cos |sin()|4AB πρρααα∴=-=-=-=sin()1,04πααπ∴-=±<<3424πππαα∴-=∴=【点睛】本题考查了极坐标，参数方程综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 23．（Ⅰ）(,1)(1,)-∞-+∞；（Ⅱ）[)1010,0-.【分析】（Ⅰ）由题意不等式化为1211a a --->，利用分类讨论法去掉绝对值求出不等式的解集即可；（Ⅱ）由题意把问题转化为()min max 2020f x y y a ⎡⎤⎡⎤≤++-⎣⎦⎣⎦，分别求出()max f x ⎡⎤⎣⎦和min 2020y y a ⎡⎤++-⎣⎦，列出不等式求解即可．【详解】 （Ⅰ）由题意知，()11211f a a =--->，若12a ≤，则不等式化为1211a a --+>，解得1a <-； 若112a <<，则不等式化为()2111a a --->，解得1a >，即不等式无解； 若1a ≥，则不等式化为2111a a -+->，解得1a >， 综上所述，a 的取值范围是()(),11,-∞-⋃+∞； （Ⅱ）由题意知，要使得不等式()(2020)f x y y a ≤++-恒成立，只需()min max 2020f x y y a ⎡⎤⎡⎤≤++-⎣⎦⎣⎦， 当(,]x a ∈-∞时，2x a x a a ---≤-，()max f x a ⎡⎤=-⎣⎦，因为20202020y y a a ++-≥+，所以当()()20200y y a +-≤时，min 20202020y y a a ⎡⎤++-=+⎣⎦，即2020a a -≤+，解得1010a ≥-，结合0a <，所以a 的取值范围是[)1010,0-.。

2021届湖南四大名校新高考原创预测试卷（二）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若复数z 满足()12z i i +=（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．1B ．2C 2D ． 32．已知{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列，则q ＝ ( ). A ．1或－12 B ．1 C ．－12D ．－2[ 3．已知()()tan ,1,1,2a b θ=-=-，其中θ为锐角，若a b +与a b -夹角为90，则212sin cos cos θθθ=+（ ）A ．1B ．1-C ．5D ．154．已知21()sin()42f x x x π=++，'()f x 为()f x 的导函数，则'()f x 的图象是（ ） A ．B ．C ．D ．5．抛物线C :22y px =(0)p >的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p 的值为（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．16 6．下列四种说法正确的个数有（ ）①若,,A B C 为三个集合，满足A B B C ⋃=⋂，则一定有A C ⊆； ②函数的图像与垂直于x 轴的直线的交点有且仅有一个； ③若,A U B U ⊆⊆,则()()U A A B A C B =⋂⋃⋂；④若函数()f x 在[,]a b 和[,]b c 都为增函数，则()f x 在[,]a c 为增函数. A ．1个B ．2个C ．3 个D ．4个7．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ） A ．1440种B ．960种C ．720种D ．480种8．已知数列{}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为 （ ） A ．56 B.58 C.62 D ．609．（错题再现）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）种A ．120B ．260C ．340D ．42010．设函数()31,1{2,1xx x f x x -<=≥，则满足()()()2f a f f a =的a 的取值范围是（ ） A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．0,1 C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)1,+∞ 11．（错题再现）已知函数，，若与的图象上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．12．已知点P 是△ABC 的中位线EF 上任意一点，且EF ∥BC ，实数x ,y 满足+x +y=，设△ABC 、 △PBC 、△PCA 、△PAB 的面积分别为S 、S 、S 、S ，记11S S λ=,22SS λ=,33S Sλ=, 则·取最大值时，3x +y 的值为( ) A ．B ．C ．1D ．2二、填空题：（本大题共4题，每小题5分，共20分.）13．若将函数()5f x x =表示为()()()()250125111f x a a x a x a x =+++++++其中0a ，1a ，2a ，…，5a 为实数，则3a ＝______________．14．对于正项数列{}n a ，定义12323n nnH a a a na =++++为{}n a 的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为22n H n =+，则数列{}n a 的通项公式为_____． 15．在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）.16．（错题再现）把边长为1的正方形ABCD 如图放置，A 、D 别在x 轴、y 轴的非负半轴上滑动．则OB OC ⋅的最大值是____________．三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．设数列的前n 项和为S n =2n 2，为等比数列，且（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列前n 项和T n .18．已知向量()cos2,m x a =， (),23sin2n a x =+，且函数()().5?f x m n a R =-∈ （1）当函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3时，求a 的值； （2）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的t R ∈，函数()y f x =，,]t t b +在（上的图像与直线1y =-有且仅有两个不同的交点，试确定b 的值.并求函数()y f x =在(]0,b 上的单调递减区间.19．已知长方形ABCD 中，1AB =，2AD =，现将长方形沿对角线BD 折起，使AC a =，得到一个四面体A BCD -，如图所示.（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB 与CD 能否垂直？若能垂直，求出相应的a 的值；若不垂直，请说明理由；（2）当四面体A BCD -体积最大时，求二面角A CD B --的余弦值.20．已知函数()ln xe f x a x ax x=--+，a R ∈.（1）当0a <时，讨论()f x 的单调性；（2）设()()()'g x f x xf x =+，若关于x 的不等式()()212xx g x e a x ≤-++-在[]1,2上有解，求a 的取值范围.21．给定椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，称圆心在坐标原点O椭圆C 的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是())12,F F .（1）若椭圆C 上一动点1M 满足11124M F M F +=，求椭圆C 及其“伴随圆”的方程； （2）在（1）的条件下，过点()()0,0P t t <作直线l 与椭圆C 只有一个交点，且截椭圆C 的“伴随圆”所得弦长为P 点的坐标； （3）已知()()cos 3,,0,sin sin m n mn m n θθπθθ+=-=-≠∈，是否存在a ，b ，使椭圆C 的“伴随圆”上的点到过两点()()22,,,m mn n 的直线的最短距离mindb =.若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为x m y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.以原点O为极点，以x 轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系相同的长度单位.圆C 的方程为,l ρθ=被圆C .（1）求实数m 的值；（2）设圆C 与直线l 交于点A B 、，若点P 的坐标为(m ，且0m >，求PA PB +的值.选修4-5：不等式选讲23．已知实数正数x , y 满足1x y +=．（1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤； （2）证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若复数z 满足()12z i i +=（i 为虚数单位），则z =（ C ）A ．1B ．2CD ．【答案】C 【解析】试题分析：因为(1)2z i i +=，所以22(1)1,12i i i z i i -===++因此1z i =+= 2．已知{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列，则q ＝ ( A ). A ．1或－12 B ．1 C ．－12D ．－2[ 【答案】A.【解析】 根据题意，有21112a q a a q =+，因为10a ≠，所以221q q =+，解得q =1或－12.3.已知()()tan ,1,1,2a b θ=-=-，其中θ为锐角，若a b +与a b -夹角为90，则212sin cos cos θθθ=+（ A ）A ．1B ．1-C ．5D ．15【答案】A 【详解】由()()tan ,1,1,2a b θ=-=-，a b +与a b -夹角为90， 则22()()0a b a b a b +⋅-=-=，所以2tan 150θ+-=，θ为锐角，解得tan 2θ=.222221sin cos tan 14112sin cos cos 2sin cos cos 2tan 141θθθθθθθθθθ+++====++++. 故选A. 4．已知21()sin()42f x x x π=++，'()f x 为()f x 的导函数，则'()f x 的图象是（ A ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【详解】 由f （x ）＝2211sin cos 424x x x x π⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭， ∴1()sin 2f x x x '=-，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ，D ． 又1()cos 2f x x ''=-，当﹣3π＜x ＜3π时，cosx ＞12，∴()f x ''＜0，故函数y ＝'()f x 在区间,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 上单调递减，故排除C ． 故选A ．5．抛物线C :22y px =(0)p >的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p 的值为（ B ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．16【答案】B 【详解】由题意，容易知6r =，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故外接圆圆心的横坐标为4p 因为外接圆与准线相切， 故可得642p p+= 解得8p =. 故选：B.6．下列四种说法正确的个数有（ C ）①若,,A B C 为三个集合，满足A B B C ⋃=⋂，则一定有A C ⊆； ②函数的图像与垂直于x 轴的直线的交点有且仅有一个； ③若,A U B U ⊆⊆,则()()U A A B A C B =⋂⋃⋂；④若函数()f x 在[,]a b 和[,]b c 都为增函数，则()f x 在[,]a c 为增函数. A ．1个 B ．2个C ．3 个D ．4个【答案】C 【解析】①若,,A B C 为三个集合，满足A B B C ⋃=⋂，则一定有A B C ⊆⊆，正确；②根据函数的定义知函数的图象与垂直于x 轴的直线的交点至多有一个，正确；③若,A U B U ⊆⊆,则()()U A A B A C B =⋂⋃⋂，正确；④对于函数()1,101,01x x f x x x +-≤≤⎧=⎨-≤≤⎩ ，可知函数()f x 在[]1,0-和[]0,1都为增函数，则()f x 在[]1,1-不是增函数，函数()f x 在[],a b 和[],b c 都为增函数，则()f x 在[],a c 为增函数错误，故选C.7．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ B ） A ．1440种 B ．960种 C ．720种 D ．480种【答案】B【解析】 5名志愿者先排成一排，有55A 种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有5524A ⋅⋅=960种不同的排法，选B ．8．已知数列{}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为 （ D ） A ．56 B.58 C.62 D ．60 【答案】D 【解析】试题分析：当2n ≥时，()()22152151226n n n a S S n n n n n -=-=-+--+--=-，当1n =时，112a S ==-，则前10项依次为2,2,0,2,4,6,8,10,12,14,--所以数列{}n a 的前10项和为60.9．（错题再现）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ D ）种A ．120B ．260C ．340D ．420【答案】D【解析】 由题意可知上下两块区域可以相同，也可以不同， 则共有5431354322180240420⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+= 故选D10．设函数()31,1{2,1xx x f x x -<=≥，则满足()()()2f a f f a =的a 的取值范围是（ C ） A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．0,1C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)1,+∞ 【答案】C【详解】 令()f a t =，则()2tf t =，当1t <时，312t t --，由()312tg t t =--的导数为()32ln 2t g t =-'，当1t <时，在(,1)-∞递增，即有()()10g t g <=，则方程无解；当1t ≥时，22t t =成立，由()1f a ≥，即311a -≥，解得23a ≥且1a <；或1,21a a ≥≥解得0a ≥，即为1a ≥，综上所述实数a 的取值范围是2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选C.【方法点晴】本题主要考查了分段函数的综合应用，其中解答中涉及到函数的单调性、利用导数研究函数的单调性、函数的最值等知识点的综合考查，注重考查了分类讨论思想和转化与化归思想，以及学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中构造新的函数()312tg t t =--，利用新函数的性质是解答的关键.11．（错题再现）已知函数，，若与的图象上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是（B ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 设为函数上的一点,则关于直线的对称点为在函数上,所以,,则,所以在上为减函数,在上为增函数,所以当时,当时,故,选B.考点：1.函数图象的对称；2.利用导数研究函数的最值. 【思路点晴】在本题中,先由两函数的图象存在点关于直线对称,则设点为函数上,关于直线的对称点为在函数上,得到,再利用导数求出的范围来.本题注意从对称找突破口.12．已知点P 是△ABC 的中位线EF 上任意一点，且EF ∥BC ，实数x ,y 满足+x +y=，设△ABC 、 △PBC 、△PCA 、△PAB 的面积分别为S 、S 、S 、S ，记11S S λ=,22SS λ=,33S Sλ=, 则·取最大值时，3x +y 的值为( D ) A ．B ．C ．1D ．2【答案】D【解析】由条件可知1231λλλ++=，1231122λλλ=+=，，那么223231216λλλλ+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭ ，等号成立的条件为2314λλ==，说明点P 在线段EF 的中点处，此时，()1PA PB PC 2=-+ ，所有x=y=12，3x+y=2，故选D.二、填空题：（本大题共4题，每小题5分，共20分.） 13．若将函数()5f x x =表示为()()()()250125111f x a a x a x a x =+++++++其中0a ，1a ，2a ，…，5a 为实数，则3a ＝______________．【答案】10 【解析】法一：由等式两边对应项系数相等．即：54554331554431{0100a C a a a C a C a a =+=⇒=++=．法二：对等式：()()()()2550125111f x x a a x a x a x ==+++++++两边连续对x 求导三次得：2234560624(1)60(1)x a a x a x =++++，再运用赋值法，令1x =-得：3606a =，即310a =14．对于正项数列{}n a ，定义12323n nnH a a a na =++++为{}n a 的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为22n H n =+，则数列{}n a 的通项公式为_____． 【答案】212n n a n+= 【详解】 ∵12323n nnH a a a na =++++∴122n nn a a na H +++=∵22n H n =+ ∴()12222n n n a a na +++⋯+=①∴()()()12111212n n n a a n a --++++-=②①-②得()()()21121222n n n n n n na +-++=-=∴212n n a n+=故答案为：212n n a n+=15．在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）. 【答案】34【详解】已知A C E F B C D 、、、共线；、、共线；六个点任取三个不同取法总数为：36C ；可构成三角形的个数为：33364315C C C --=，所以所求概率为：3336433634C C C C --=. 16．（错题再现）把边长为1的正方形ABCD 如图放置，A 、D 别在x 轴、y 轴的非负半轴上滑动．则OB OC ⋅的最大值是____________．【答案】2 【解析】设BAx ODA θ∠=∠=，则(cos sin ,sin )OB θθθ=+，(cos ,sin cos )OC θθθ=+，所以OB OC ⋅=sin 212θ+≤．点睛：处理数量积问题主要手段有：定义法、代数法、几何法、基底法、极化恒等式等等，本题引入角参数，利用坐标法把问题转化为三角函数的最值问题.三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．设数列的前n 项和为S n =2n 2，为等比数列，且（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列前n 项和T n .【答案】（1）（2），【解析】：（1）当故{a n }的通项公式为的等差数列.————3分设的公比为则故，即的通项公式为————6分（2）————7分—————8分 两式相减得————12分点评：本题考查了等差、等比数列的概念及通项公式、数列前N 项和的求法，要求学生掌握最常用的求解方法，区别数列求和的类型18．已知向量()cos2,m x a =， (),23sin2n a x =+，且函数()().5?f x m n a R =-∈ （1）当函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3时，求a 的值； （2）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的t R ∈，函数()y f x =，,]t t b +在（上的图像与直线1y =-有且仅有两个不同的交点，试确定b 的值.并求函数()y f x =在(]0,b 上的单调递减区间.【答案】(1) 2a =；(2) 函数()y f x =在[]0,π上的单调递减区间为2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】 （1）由已知得，()522252225,0,62f x m n acos x x a asin x a x ππ⎛⎫⎡⎤=⋅-=++-=++-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦时，712,,2,166662x sin x ππππ⎡⎤⎛⎫⎡⎤+∈+∈- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦————3分 当0a >时， ()f x 的最大值为453a -=，所以2a =； 当0a <时， ()f x 的最大值为53a -=，故8a =（舍去） 综上：函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3时， 2a = ————6分 （2）当2a =时， ()4216y f x sin x π⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，由()y f x =的最小正周期为π可知， b 的值为π. 又由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，可得， 2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，∵[]0,x π∈， ∴函数()y f x =在[]0,π上的单调递减区间为2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ————12分19．已知长方形ABCD 中，1AB =，AD =，现将长方形沿对角线BD 折起，使AC a =，得到一个四面体A BCD -，如图所示.（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB 与CD 能否垂直？若能垂直，求出相应的a 的值；若不垂直，请说明理由；（2）当四面体A BCD -体积最大时，求二面角A CD B --的余弦值. 【答案】（1）1；（2）27. 【详解】(1)若AB ⊥CD ，因为AB ⊥AD ，AD ∩CD ＝D ， 所以AB ⊥面ACD ⇒AB ⊥AC . 由于AB=1, AD=BC=2 ,AC=a , 由于AB ⊥AC .,所以AB 2＋a 2＝BC,所以12＋a 2＝(2)2⇒a ＝1,所以在折叠的过程中，异面直线AB 与CD 可以垂直,此时a 的值为1 ————5分 (2)要使四面体A －BCD 体积最大，因为△BCD 面积为定值22， 所以只需三棱锥A －BCD 的高最大即可，此时面ABD ⊥面BCD . ————6分 过A 作AO ⊥BD 于O ，则AO ⊥面BCD ，以O 为原点建立空间直角坐标系o xyz - (如图)，则易知,显然，面BCD 的法向量为 , ————8分设面ACD 的法向量为n ＝(x ，y ，z ), 因为所以，令y ＝2，得n ＝(1，2，2)， ————10分故二面角A －CD －B 的余弦值即为|cos n OA ，. ——12分【点睛】传统方法求线面角和二面角，一般采用“一作，二证、三求”三个步骤，首先根据二面角的定义结合几何体图形中的线面关系作出线面角或二面角的平面角，进而求出；而角的计算大多采用建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用线面角和二面角公式，借助法向量求空间角.20．已知函数()ln xe f x a x ax x=--+，a R ∈.（1）当0a <时，讨论()f x 的单调性；（2）设()()()'g x f x xf x =+，若关于x 的不等式()()212x xg x e a x ≤-++-在[]1,2上有解，求a 的取值范围.【答案】(1) 函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减;(2) a 的取值范围为(],0-∞.【解析】 （1）由题意知，()()()221x x x ax e x a xe e f x a x x x---=--='+， 令()()()1xF x ax ex =--，当0a <时，0xax e-<恒成立，∴当1x >时，()0F x <；当01x <<时，()0F x >，∴函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减. ————4分 （2）∵()()()g x f x xf x =+'，∴()ln 2xg x a x e ax a =--+-，由题意知，存在[]01,2x ∈，使得()()0200012x x g x e a x ≤-++-成立.即存在[]01,2x ∈，使得()2000ln 102x a x a x a -++--≤成立， ————5分令()()[]2ln 1,1,22x h x a x a x a x =-++--∈，∴()()()[]11,1,2x a x ah x a x x x x---=++-=-∈'. ————6分 ①1a ≤时，[]1,2x ∈，则()0h x '≤，∴函数()h x 在[]1,2上单调递减， ∴()()min 2ln20h x h a a ==-+≤成立，解得0a ≤，∴0a ≤； ————8分 ②当12a <<时，令()0h x '>，解得1x a <<；令()0h x '<，解得2a x <<， ∴函数()h x 在[]1,a 上单调递增，在[],2a 上单调递减， 又()112h =，∴()2ln20h a a =-+≤，解得0a ≤，∴a 无解； ——10分 ③当2a ≥时，[]1,2x ∈，则()0h x '≥，∴函数()h x 在[]1,2上单调递增， ∴()()min 1102h x h ==>，不符合题意，舍去； 综上所述，a 的取值范围为(],0-∞. ————12分21．给定椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，称圆心在坐标原点O椭圆C 的“伴随圆”，已知椭圆C 的两个焦点分别是())12,F F .（1）若椭圆C 上一动点1M 满足11124M F M F +=，求椭圆C 及其“伴随圆”的方程； （2）在（1）的条件下，过点()()0,0P t t <作直线l 与椭圆C 只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为23，求P 点的坐标； （3）已知()()cos 3,,0,sin sin m n mn m n θθπθθ+=-=-≠∈，是否存在a ，b ，使椭圆C 的“伴随圆”上的点到过两点()()22,,,m mn n 的直线的最短距离22minda b b =+-.若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）椭圆方程，伴随圆方程；（2）；（3）存在，．【解析】 【详解】试题分析：（1）这是基本题，题设实质已知，要求椭圆标准方程，已知圆心及半径求圆的方程；（2）为了求点坐标，我们可设直线方程为，直线与椭圆只有一个公共点，即直线的方程与椭圆的方程联立方程组，这个方程组只有一个解，消元后利用可得的一个方程，又直线截圆所得弦长为，又得一个关于的方程，联立可解得；（3）这是解析几何中的存在性问题，解决方法都是假设存在，然后去求出这个，能求出就说明存在，不能求出就说明不存在．解法如下，写出过点的直线方程，求出圆心到这条直线的距离为，可见当圆半径不小于3时，圆上的点到这条直线的最短距离为0，即当时，，但由于，无解，当圆半径小于3时，圆上的点到这条直线的最短距离为，由此得，又有，可解得，故存在．解析：（1）由题意：，则，所以椭圆的方程为，其“伴随圆”的方程为． ————3分（2）设直线的方程为由得则有得， ① ————5分 由直线截椭圆的“伴随圆”所得弦长为，可得，得②由①②得，又，故，所以点坐标为． ——7分（3）过的直线的方程为：，即，得 ————8分 由于圆心到直线的距离为， ————9分当时，，但，所以，等式不能成立；当时，，由得所以因为，所以，得．所以————12分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为252x m ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.以原点O为极点，以x 轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系相同的长度单位.圆C 的方程为25,l ρθ=被圆C 2.（1）求实数m 的值；（2）设圆C 与直线l 交于点A B 、，若点P的坐标为(m ，且0m >，求PA PB +的值. 【答案】（1）33m m ==-或；（2）【详解】（1）由ρθ=得220,x y +-=即(225x y +=.直线的普通方程为0x y m +-=， ————2分 被圆C，，=解得33m m ==-或. ————5分 （2）法1：当3m =时，将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程得，())2235+=，即2220t -+=，由于(24420∆=-⨯=>，故可设12t t ，是上述方程的两实根，所以12121t t t t ⎧+=⎪⎨⎪=⎩————7分 又直线l过点(P ，故由上式及t 的几何意义得，PA PB += 122(|t |+|t |)= 122(t +t )=——10分法2：当3m =时点(3P ，易知点P 在直线l 上.又2235+>，所以点P 在圆外.联立(22530x y x y ⎧+-=⎪⎨⎪+-=⎩消去y 得，2320x x -+=.不妨设((2A B ，、， 所以PA PB +==————10分23．[选修4-5：不等式选讲]已知实数正数x , y 满足1x y +=．（1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤；（2）证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1)1[,1)6.(2)见解析.【详解】（1）1,0,0x y x y +=>>且 0152522212x x y x y x x <<⎧⎪∴++-≤⇔⎨-+-≤⎪⎩ 010*********22x x x x x x x <<⎧<<⎧⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎛⎫-+≤-≤+-≤+ ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩ ——————3分 解得116x ≤<，所以不等式的解集为1,16⎡⎫⎪⎢⎣⎭——————5分 （2）解法1： 1,x y +=且0,0x y >>，()()222222221111x y x x y y x y x y +-+-⎛⎫⎛⎫∴--=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222222xy y xy x x y ++=⋅ 222222y y x x x x y y ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 225x y y x =++59≥=. 当且仅当12x y ==时，等号成立. ——————10分 解法2： 1,x y +=且0,0x y >>，222222111111x y x y x y ⎛⎫--⎛⎫∴--=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()221111x x y y x y +-+-=⋅ ()()2211x y y x x y ++=⋅ 1x y xy xy +++= 21xy =+ 22192x y ≥+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭ 当且仅当12x y ==时，等号成立. ————10分。