2021届湖南四大名校新高考原创预测试卷(九)数学

2021届湖南四大名校联考新高三原创预测试卷（二十三）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知集合M ＝{x |－4<x <2}，N ＝{x |x 2－x －6<0}，则M ∩N 等于( ) A.{x |－4<x <3} B.{x |－4<x <－2} C.{x |－2<x <2}D.{x |2<x <3}2.设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( ) A.(x ＋1)2＋y 2＝1 B.(x －1)2＋y 2＝1 C.x 2＋(y －1)2＝1 D.x 2＋(y ＋1)2＝13.若a >b ，则( )A.ln(a －b )>0B.3a <3bC.a 3－b 3>0D.|a |>|b |4.已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos(－α)，sin(－α))，那么“a ·b ＝0”是“α＝k π＋π4(k ∈Z )”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点.若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( ) A.324 B.322 C.2 2 D.3 26.已知正项等比数列{a n }满足：a 2a 8＝16a 5，a 3＋a 5＝20，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝32，则1m ＋4n 的最小值为( ) A.34 B.910 C.32 D.957.已知四棱锥M －ABCD ，MA ⊥平面ABCD ，AB ⊥BC ，∠BCD ＋∠BAD ＝180°，MA ＝2，BC ＝26，∠ABM ＝30°.若四面体MACD 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( ) A.20π B.22π C.40π D.44π8.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝π3，AD →＝2DB →，P 为CD 上一点，且满足AP →＝mAC →＋12AB →，若△ABC 的面积为23，则|AP |的最小值为( )A. 2B. 3C.3D.43二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.如图，在以下四个正方体中，直线AB 与平面CDE 垂直的是( )10.“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量.2007～2018年，某企业连续12年累计研发投入达4 100亿元，我们将研发投入与经营投入的比值记为研发投入占营收比，这12年间的研发投入(单位：十亿元)用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示.根据折线图和条形图，下列结论正确的有( )A.2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年研发投入占营收比增量大B.2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年研发投入增量小C.该企业连续12年来研发投入逐年增加D.该企业连续12年来研发投入占营收比逐年增加11.将函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1的图象向左平移π3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g (x )的图象，则下列关于函数g (x )的说法正确的是( ) A.最大值为3，图象关于直线x ＝π12对称 B.图象关于y 轴对称 C.最小正周期为πD.图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称12.已知函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则下列判断正确的是( )A.函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－3，－12内单调递增 B.当x ＝－2时，函数y ＝f (x )取得极小值 C.函数y ＝f (x )在区间(－2,2)内单调递增 D.当x ＝3时，函数y ＝f (x )有极小值三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人.若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为________.14.已知(2－x 2)(1＋ax )3的展开式的所有项系数之和为27，则实数a ＝________，展开式中含x 2的项的系数是________.15. “中国梦”的英文翻译为“ChinaDream ”，其中China 又可以简写为CN ，从“CN Dream ”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea ”字母组合(顺序不变)的不同排列共有________种. 16.若函数f (x )＝a ln x (a ∈R )与函数g (x )＝x 在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为________.四、解答题（本题共6小题，共70分）17.（10分）已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋n －1. (1)设b n ＝a n ＋n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求S n .18.（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3b 2＋3c 2－42bc ＝3a 2. (1)求sin A ；(2)若3c sin A ＝2a sin B ，△ABC 的面积为2，求△ABC 的周长.19.（12分）已知如图1直角梯形ABCD ，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，E 为AB 的中点，沿EC 将梯形ABCD 折起(如图2)，使平面BED ⊥平面AECD .(1)证明：BE ⊥平面AECD ；(2)在线段CD 上是否存在点F ，使得平面FAB 与平面EBC 所成的锐二面角的余弦值为23，若存在，求出点F 的位置；若不存在，请说明理由.20.（12分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，且椭圆C 过点⎝⎛⎭⎫32，22. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且与圆：x 2＋y 2＝2交于E ，F 两点，求|AB |·|EF |2的取值范围. 21.（12分）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调査.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0，30]内，按[0，5]，(5，10]，(10，15]，(15，20]，(20，25]，(25，30]分成6组，其频率分布直方图如图所示.(1)估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；(2)将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；男 女 总计 网购迷 20 非网购迷 45 总计100(3)调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：网购总次数支付宝支付次数银行卡支付次数微信支付次数甲 80 40 16 24 乙90601812将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为ξ，求ξ的期望.附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d . 临界值表：P (K 2≥k 0)0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.87910.82822.（12分）已知函数f (x )＝x －1＋a e x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝－1时，设－1<x 1<0，x 2>0且f (x 1)＋f (x 2)＝－5，证明：x 1－2x 2>－4＋1e .参考答案一、单选 1.答案 C解析 ∵N ＝{x |－2<x <3}，M ＝{x |－4<x <2}， ∴M ∩N ＝{x |－2<x <2}，故选C. 2.答案 C解析 ∵z 在复平面内对应的点为(x ，y )， ∴z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ). 3.答案 C解析 由函数y ＝ln x 的图象(图略)知，当0<a －b <1时，ln(a －b )<0，故A 不正确；因为函数y ＝3x 在R 上单调递增，所以当a >b 时，3a >3b ，故B 不正确；因为函数y ＝x 3在R 上单调递增，所以当a >b 时，a 3>b 3，即a 3－b 3>0，故C 正确；当b <a <0时，|a |<|b |，故D 不正确.故选C. ∵|z －i|＝1，∴|x ＋(y －1)i|＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1.故选C. 4.答案 B解析 ∵a ·b ＝0＝cos α·cos(－α)＋sin α·sin(－α)＝cos 2a －sin 2α＝cos 2α， ∴2α＝2k π±π2(k ∈Z )， 解得α＝k π±π4(k ∈Z )，∴a ·b ＝0是α＝k π＋π4(k ∈Z )的必要不充分条件，故选B. 5.答案 A解析 不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6， 所以|OF |＝ 6. 6.答案 A解析 因为数列{a n }是正项等比数列， a 2a 8＝a 25＝16a 5， 所以a 5＝16， 又a 3＋a 5＝20， 所以a 3＝4， 所以q ＝2，a 1＝1， 所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1， 因为a m a n ＝32，所以2m －12n －1＝210，即m ＋n ＝12，所以1m ＋4n ＝112(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝112⎝⎛⎭⎫5＋n m ＋4m n ≥112⎝⎛⎭⎫5＋2n m ·4m n ＝34(m >0，n >0)，当且仅当n ＝2m ，即m ＝4，n ＝8时“＝”成立， 所以1m ＋4n 的最小值为34.又tan ∠POF ＝b a ＝22，所以等腰△POF 的高h ＝62×22＝32，所以S △PFO ＝12×6×32＝324. 7.答案 C解析 因为∠BCD ＋∠BAD ＝180°，所以A ，B ，C ，D 四点共圆，∠ADC ＝∠ABC ＝90°.由tan 30°＝2AB ，得AB ＝23，所以AC ＝(23)2＋(26)2＝6. 设AC 的中点为E ，MC 的中点为O ，则OE ∥MA ， 因为MA ⊥平面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD . 点O 到M ，A ，C ，D 四点距离相等， 易知点O 为四面体MACD 外接球的球心， 所以OC ＝⎝⎛⎭⎫622＋⎝⎛⎭⎫222＝10，所以该球的表面积S ＝4π·OC 2＝40π. 8.答案 B解析 设|AB →|＝3a ，|AC →|＝b ，则△ABC 的面积为12×3ab sin π3＝23， 解得ab ＝83，由AP →＝mAC →＋12AB →＝mAC →＋34AD →，且C ，P ，D 三点共线，可知m ＋34＝1，即m ＝14， 故AP →＝14AC →＋34AD →.以AB 所在直线为x 轴，以A 为坐标原点，过A 作AB 的垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，D (2a ，0)，B (3a ，0)，C ⎝⎛⎭⎫12b ，32b ， 则AC →＝⎝⎛⎭⎫12b ，32b ，AD →＝(2a ，0)，AP →＝⎝⎛⎭⎫18b ＋32a ，38b ，则|AP →|2＝⎝⎛⎭⎫18b ＋32a 2＋⎝⎛⎭⎫38b 2＝164b 2＋94a 2＋38ab ＋364b 2＝116b 2＋94a 2＋1 ≥2116b 2×94a 2＋1＝34ab ＋1＝3.⎝⎛⎭⎫当且仅当116b 2＝94a 2即b ＝6a 时取“＝” 故||AP 的最小值为 3. 二、多选 9.答案 BD解析 在A 中，AB 与CE 的夹角为45°，所以直线AB 与平面CDE 不垂直，故A 不符合； 在B 中，AB ⊥CE ，AB ⊥DE ，CE ∩DE ＝E ，所以AB ⊥平面CDE ，故B 符合； 在C 中，AB 与EC 的夹角为60°，所以直线AB 与平面CDE 不垂直，故C 不符合； 在D 中，AB ⊥DE ，AB ⊥CE ，DE ∩CE ＝E ，所以AB ⊥平面CDE ，故D 符合. 10.答案 ABC解析 对于选项A,2012年至2013年研发投入占营收比增量为2%,2017年至2018年研发投入占营收比增量为0.3%，所以该选项正确；对于选项B,2013年至2014年研发投入增量为2,2015年至2016年研发投入增量为19，所以该选项正确；对于选项C ，该企业连续12年来研发投入逐年增加，所以该选项是正确的；对于选项D ，该企业连续12年来研发投入占营收比不是逐年增加，如2009年就比2008年的研发投入占营收比下降了.所以该选项是错误的. 11.答案 BCD解析 将函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1的图象向左平移π3个单位长度，得到y ＝3cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π3－1＝3cos(2x ＋π)－1＝－3cos 2x －1的图象；再向上平移1个单位长度，得到函数g (x )＝－3cos 2x 的图象，对于函数g (x )，它的最大值为3，由于当x ＝π12时，g (x )＝－32，不是最值，故g (x )的图象不关于直线x ＝π12对称，故A 错误； 由于该函数为偶函数，故它的图象关于y 轴对称，故B 正确； 它的最小正周期为2π2＝π，故C 正确；当x ＝π4时，g (x )＝0，故函数g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称，故D 正确. 12.答案 BC解析 对于A ，函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－3，－12内有增有减，故A 不正确； 对于B ，当x ＝－2时，函数y ＝f (x )取得极小值，故B 正确；对于C ，当x ∈(－2,2)时，恒有f ′(x )>0，则函数y ＝f (x )在区间(－2,2)上单调递增，故C 正确； 对于D ，当x ＝3时，f ′(x )≠0，故D 不正确. 三、填空 13.答案 1 200解析 由题意知高三年级抽取了100－24－26＝50(人)， 所以该校学生总人数为600÷50100＝1 200. 14.答案 2 23解析 由已知可得，(2－12)(1＋a )3＝27，则a ＝2.所以(2－x 2)(1＋ax )3＝(2－x 2)(1＋2x )3＝(2－x 2)(1＋6x ＋12x 2＋8x 3)， 所以展开式中含x 2的项的系数是2×12－1＝23. 15.答案 600解析 根据题意，分2步进行分析：先从其他5个字母中任取4个，有C 45＝5(种)选法，再将“ea ”看成一个整体，与选出的4个字母全排列，有A 55＝120(种)情况，则不同的排列有5×120＝600(种). 16.答案 e 2解析 函数f (x )＝a ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ，g ′(x )＝12x ， 设曲线f (x )＝a ln x 与曲线g (x )＝x 的公共点为(x 0，y 0)， 由于在公共点处有共同的切线， ∴a x 0＝12x 0，解得x 0＝4a 2，a >0. 由f (x 0)＝g (x 0)，可得a ln x 0＝x 0.联立⎩⎨⎧x 0＝4a 2，a ln x 0＝x 0，解得a ＝e 2.四、解答题17.(1)证明 数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋n －1. 由b n ＝a n ＋n ，那么b n ＋1＝a n ＋1＋n ＋1， ∴b n ＋1b n ＝a n ＋1＋n ＋1a n ＋n ＝2a n ＋n －1＋n ＋1a n ＋n ＝2； 即公比q ＝2，b 1＝a 1＋1＝2，∴数列{b n }是首项为2，公比为2的等比数列. (2)解 由(1)可得b n ＝2n ， ∴a n ＋n ＝2n ，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －n ， ∴数列{a n }的前n 项和为S n ＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n －n ＝(21＋22＋…＋2n )－(1＋2＋3＋…＋n ) ＝2n ＋1－2－n 22－n2.18.解 (1)因为3b 2＋3c 2－42bc ＝3a 2， 所以b 2＋c 2－a 2＝423bc ，在△ABC 中，由余弦定理得， cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝223， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－89＝13.(2)因为3c sin A ＝2a sin B ， 所以3ac ＝2ab ，即b ＝3c2.因为△ABC 的面积为2，所以12bc sin A ＝2， 即12×3c 22×13＝2，解得c ＝2. 所以b ＝32，在△ABC 中，由余弦定理得， a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝6， 所以a ＝6，所以△ABC 的周长为2＋32＋ 6. 19.(1)证明 连接AC ，则AC ⊥DE ，又平面BDE ⊥平面AECD ，平面BDE ∩平面AECD ＝DE ，AC ⊂平面AECD ， 所以AC ⊥平面BDE ， 所以AC ⊥BE .又BE ⊥CE ，AC ∩CE ＝C ，AC ，CE ⊂平面AECD ， 所以BE ⊥平面AECD .(2)解 如图，由(1)得BE ⊥平面AECD ，所以BE ⊥AE .所以EA ，EB ，EC 两两垂直，分别以EA →，EB →，EC →方向为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系E －xyz 如图所示，则E (0，0，0)，A (2，0，0)，B (0，2，0)， 设F (a ，0，2)，0≤a ≤2，所以AF →＝(a －2，0，2)，BF →＝(a ，－2，2)， 设平面FAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧AF →·n ＝(a －2)x ＋2z ＝0，BF →·n ＝ax －2y ＋2z ＝0， 取x ＝2，得n ＝(2，2，2－a ). 取平面EBC 的法向量为m ＝(1，0，0). 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m ||n |＝2a 2－4a ＋12＝23， 所以a ＝1.所以线段CD 上存在点F ，且F 为CD 中点时，使得平面FAB 与平面EBC 所成的锐二面角的余弦值为23.20.解 (1)由已知可得c a ＝33， 所以a 2＝32b 2，所以椭圆C 的方程为x 232b2＋y 2b 2＝1，将点⎝⎛⎭⎫32，22代入方程得b 2＝2，即a 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 23＋y 22＝1. (2)由(1)知椭圆的右焦点为(1，0).①若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝1， 不妨设A ⎝⎛⎭⎫1，233，B ⎝⎛⎭⎫1，－233，E (1，1)，F (1，－1)， 所以|AB |＝433，|EF |2＝4，|AB |·|EF |2＝1633； ②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线l 与椭圆方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 22＝1，y ＝k (x －1)， 可得(2＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0， 则x 1＋x 2＝6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2， 所以|AB |＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫6k 22＋3k 22－4×3k 2－62＋3k 2＝43(k 2＋1)2＋3k 2，因为圆心(0，0)到直线l 的距离d ＝|k |k 2＋1， 所以|EF |2＝4⎝⎛⎭⎫2－k 2k 2＋1＝4(k 2＋2)k 2＋1， 所以|AB |·|EF |2＝43(k 2＋1)2＋3k 2·4(k 2＋2)k 2＋1 ＝163(k 2＋2)2＋3k 2＝1633·k 2＋2k 2＋23＝1633⎝⎛⎭⎪⎫1＋43k 2＋23，因为k 2∈[0，＋∞)，所以|AB |·|EF |2∈⎝⎛⎦⎤1633，163， 综上，|AB |·|EF |2的取值范围是⎣⎡⎦⎤1633，163. 21.解 (1)在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为(0.01＋0.02＋0.04)×5＝0.35， 后2个小矩形的面积之和为(0.04＋0.03)×5＝0.35，所以中位数位于区间(15，20]内.设直方图的面积平分线为15＋x ，则0.06x ＝0.5－0.35＝0.15，得x ＝2.5，所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元.(2)由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为0.35×100＝35， 所以“网购迷”共有35人，由列联表知，其中女性有20人，则男性有15人. 所以补全的列联表如下：因为K 2＝100(45×20－15×20)260×40×35×65＝60091≈6.593>5.024，查表得P (K 2≥5.024)＝0.025， 所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”.(3)由表知，甲，乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为12，23. 设甲、乙两人采用支付宝支付的次数分别为X ，Y ，由题意知，X ～B ⎝⎛⎭⎫2，12，Y ～B ⎝⎛⎭⎫2，23.所以E (X )＝2×12＝1，E (Y )＝2×23＝43. 因为ξ＝X ＋Y ，则E (ξ)＝E (X )＋E (Y )＝73， 所以ξ的期望为73. 22.(1)解 f ′(x )＝1＋a e x ， 当a ≥0时，f ′(x )>0， 则f (x )在R 上单调递增.当a <0时，令f ′(x )>0，得x <ln ⎝⎛⎭⎫－1a ， 则f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－1a ， 令f ′(x )<0，得x >ln ⎝⎛⎭⎫－1a ，则f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞.综上所述，当a ≥0时，f (x )在R 上单调递增；当a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上单调递减.(2)证明 方法一 设g (x )＝f (x )＋2x ＝－e x ＋3x －1，则g ′(x )＝－e x ＋3， 由g ′(x )<0得x >ln 3； 由g ′(x )>0得x <ln 3，故g (x )max ＝g (ln 3)＝3ln 3－4<0， 从而得g (x )＝f (x )＋2x <0， ∵f (x 1)＋f (x 2)＝－5，∴f (x 2)＋2x 2＝－5－f (x 1)＋2x 2<0， 即x 1－2x 2>－4＋1e .方法二 ∵f (x 1)＋f (x 2)＝－5， ∴x 1＝1e x ＋2e x －x 2－3， ∴x 1－2x 2＝1e x ＋2e x －3x 2－3， 设g (x )＝e x －3x ，则g ′(x )＝e x －3， 由g ′(x )<0得x <ln 3， 由g ′(x )>0得x >ln 3， 故g (x )min ＝g (ln 3)＝3－3ln 3. ∵－1<x 1<0，x 2>0，∴x 1－2x 2>e －1＋3－3ln 3－3＝1e －3ln 3，∵3ln 3＝ln 27<4， ∴x 1－2x 2>－4＋1e .。

2021届湖南四大名校新高考原创预测试卷（三十）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（綦江）已知集合{}02|2<--=x x x A ，{}0log |2<=x x B ，则=B A （ ）A ．)2,1(-B ．)1,0(C ．)2,(-∞D ．)1,1(-2．（铜梁）设ii z 312+=,则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（实验）命题“3210x x x ∀∈-+≤R ，”的否定是（ ） A ．不存在3200010x x x ∈-+≤R ，B ．3200010x x x ∃∈-+≥R ，C ．3200010x x x ∃∈-+>R ，D ．3210x x x ∀∈-+>R ，4．（綦江）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4634a a a +=+，则9S =（ ） A ．18B ．24C ．48D ．365．（实验）已知直线l 和两个不同的平面βα，，则下列结论正确的是（ ） A ．若//l α，l β⊥，则βα⊥ B ．若αβα⊥⊥l ，，则β⊥l C ．若//l α，//l β，则βα// D ．若αβα//l ，⊥，则β⊥l 6．（长寿）如图所示,给出的是求：99151311+⋯+++的值的 一个程序框图, 判断框内应填入的条件是（ ）. A ．?99≤i B ．?99<i C ．?99≥i D ．?99>i7．（大足）《算数书》竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍， 其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给 出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式h L V 2361≈它实际上是将 圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式h L V 21123≈相当于将圆锥体积 公式中的π近似取为（ ） A ．722 B ．852 C ．982 D ．2782 8．（綦江）函数x x x x f cos )sin 3()(-=在[]ππ,-上的大致图象是（ ）9．（实验）已知直线)0(≠=k kx y 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>交于B A ,两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ．若ABF ∆的面积为24a ，则双曲线的离心率是（ ） A ．3B ．2C ．5D ．210．（綦江）受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭。

2021届湖南四大名校联考新高考原创预测试卷（九）生物★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题1. 2007年5月由于连续高温高热，导致太湖蓝藻在短期内积聚爆发，水源水质恶化，最终使城区出现了大范围的自来水发臭现象。

下列关于蓝藻的描述正确的是（）A. 蓝藻的遗传物质分布于细胞核内B. 蓝藻的生命活动所需能量直接由光能提供C. 蓝藻利用核糖体合成自身的蛋白质D. 蓝藻光合作用的场所是叶绿体【答案】C【解析】【分析】颤藻、蓝球藻、念珠藻和发菜都属于蓝藻，它们是引起水体富营养化的主要生物，蓝藻细胞内含有藻蓝素和叶绿素，是能进行光合作用的自养生物，细胞中的绝大多数种类是营腐生或寄生生活的异养生物，在蓝藻和细菌的细胞中，没有成型的细胞核。

【详解】A、蓝藻是原核生物，其遗传物质分布于拟核内，A错误；B、蓝藻的生命活动所需能量直接由ATP 提供，B错误；C、蓝藻具有核糖体一种细胞器，能利用核糖体合成自身的蛋白质，C正确；D、蓝藻没有叶绿体，其光合作用的场所是细胞质，D错误。

2021年湖南省长沙市四大名校高考数学猜题试卷（A卷）一．单项选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x||x|＜2，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{﹣3}B．{﹣1，1}C．{﹣1，0，1}D．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}2．若z＝，则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i3．一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下．佛塔依山势自上而下，按1、3、3、5、5、7、9、11、13、15、17、19的奇数排列成十二行，塔体分为4种类型：第1层塔身覆钵式，2～4层为八角鼓腹锥顶状，5～6层呈葫芦状，7～12层呈宝瓶状，现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1，2，3，4，…，108．则编号为26的佛塔所在层数和塔体形状分别为（）A．第5行，呈葫芦状B．第6行，呈葫芦状C．第7行，呈宝瓶状D．第8行，呈宝瓶状4．一次表彰大会上，计划安排这5名优秀学生代表上台发言．这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三年级1名．发言时若要求来自同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有（）种．A．36B．48C．72D．1205．将函数y＝sin x﹣cos x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y＝f（x）是奇函数B．y＝f（x）的图象关于直线x＝π对称C．y＝f（x）的周期是πD．y＝f（x）在区间上单调递减6．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，，．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（）A．甲同学和乙同学B．丙同学和乙同学C．乙同学和甲同学D．丙同学和甲同学7．有两条互相垂直的直线XX'和YY'，有一条定长的线段AB，它的两个端点分别被限制于这两条直线上．点P是AB上的一个确定点，即点P到点A和点B的距离的比值是一个定值．那么，随着线段AB的运动，点P的运动轨迹及焦距长为（）A．椭圆，焦距长为|AB|B．椭圆，焦距长为C．双曲线，焦距长为|2||PA|﹣|PB|||D．双曲线，焦距长为8．设函数f：R→R满足f（0）＝﹣1，且对∀x，y∈R，都有2f（xy）+f（y）（f（x）+1）＝2（x﹣1）．令集合A＝，则集合A中的元素个数为（）A．2020B．2021C．4040D．4042二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产量分别为360、240、120，为检验产品的质量，现需从以上所有产品中抽取一个容量为60的样本进行检验，则下列说法正确的是（）A．如果采用系统抽样的方法抽取，不需要先剔除个体B．如果采用分层抽样的方法抽取，需要先剔除个体C．如果采用系统抽样的方法抽取，抽取过程不需要运用简单随机抽样的方法D．如果采用分层抽样的方法抽取时，所有产品被抽中的概率相等10．设实数a、b、c满足b+c＝6﹣4a+3a2，c﹣b＝4﹣4a+a2，则下列不等式成立的是（）A．c＜b B．b≥1C．b≤a D．a＜c11．设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点F在线段A1C1上运动，则下列说法正确的是（）A．若点F为线段A1C1的中点时，AC1⊥CFB．若点F与点A重合时，异面直线CF与B1D1所成角的大小为C．若A1F＝时，二面角F﹣AB﹣A1的正切值为D．若F与点C1重合时，三棱锥C﹣BDF外接球的表面积为3π12．已知函数f（x）＝e x﹣ex，g（x）＝x2﹣x，若关于x的方程f（x）＝ag（x）的解x0∈（0，1），则实数a的可能取值为（）A．﹣e B．﹣1C．0D．1三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知平面向量，，设，||＝．14．已知的展开式中有且仅有两项的系数为有理数，试写出符合题意的一个n的值．15．已知等比数列{a n}中，a2＝2，a5＝，则满足a1a2+a2a3+⋅⋅⋅+a n a n+1≤成立的最大正整数n的值为．16．双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA、OC所在的直线，点为该双曲线的右焦点，若过点F的直线与直线OA、OC的分别相交于M、N两点，则△OMN内切圆半径的最大值为．四．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等比数列{a n}的各项均为正数，a6，，a7成等差数列，且a5＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log a a n（a＞0且a≠1），求数列{b n}的前n项和S n的最值．18．某市一湿地公园建设项目中，拟在如图所示一片水域打造一个浅水滩，并在A、B、C、D四个位置建四座观景台，在凸四边形ABCD中，AB＝千米．AD＝BC＝CD＝1千米．（1）用cos A表示cos C；（2）现要在A、C两处连接一根水下直管道，已知cos A＝，问最少应准备多少千米管道（结果可用根式表示）．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝，△PDC是边长为2的等边三角形，平面PDC⊥平面ABCD，E为PC中点．（1）设平面PAD∩平面PBC＝l，证明：DE⊥l；（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．20．核酸检测是诊断新冠病毒（nCoV）的重要标准之一，通过被检者核酸检测可以尽早发现感染者，感染者新冠病毒核酸检测呈阳性．2020年抗疫期间，某社区拟对其中850户4口之家以家庭为单位进行核酸检测，假定每个人核酸检测呈阳性还是阴性相互独立，且每个人核酸检测呈阳性的概率都是p（0＜p＜1）．在进行核酸检测时，可以逐个检测，也可以将几个样本混合在一起检测．检测方式有三种选择：方式一：逐个检测；方式二：将每个4口之家检测样本平均分成两组后，分组混合检测；方式三：将每个4口之家4个检测样本混合在一起检测；其中，若混合样本1次检测结果呈阴性，则认为该组样本核酸检测全部呈阴性，不再检测，若混合样本1次检测结果呈阳性，则对该组样本中的各个样本再逐个检测．（1）假设某4口之家中有2个样本呈阳性，逐个检测，求恰好经过3次检测能把这个家庭阳性样本全部检测出来的概率；（2）若p＝0.01，分别求该社区选择上述三种检测方式，对其中850户4口之家进行核酸检测次数的数学期望，你建议选择哪种检测方式较好，请简述其实际意义（不要求证明）．（附：0.992≈0.98，0.993≈0.97，0.994≈0.96．）21．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点（m，1）在抛物线C上，该点到原点的距离与到C的准线的距离相等．（1）求抛物线C的方程；（2）过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且与以焦点F为圆心2为半径的圆交于M，N两点，点B，N在y轴右侧．①证明：当直线l与x轴不平行时，|AM|≠|BN|；②过点A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，l1与l2相交于点D，求△DAM与△DBN的面积之积的取值范围．22．已知函数f（x）＝ae x﹣ln（x+1）+lna．（1）当a＝1时，求函数y＝f（x）的单调区间；（2）当a∈[1，+∞）时，求证：f（x）总存在唯一的极小值点x0，且f（x0）≥1．参考答案一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合A＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x||x|＜2，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{﹣3}B．{﹣1，1}C．{﹣1，0，1}D．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}解：∵B＝{x||x|＜2，x∈Z}＝{x|﹣2＜x＜2，x∈Z}＝{﹣1，0，1}，∴A∩B＝{﹣1，0，1}．故选：C．2．若z＝，则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i解：．故选：D．3．一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下．佛塔依山势自上而下，按1、3、3、5、5、7、9、11、13、15、17、19的奇数排列成十二行，塔体分为4种类型：第1层塔身覆钵式，2～4层为八角鼓腹锥顶状，5～6层呈葫芦状，7～12层呈宝瓶状，现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1，2，3，4，…，108．则编号为26的佛塔所在层数和塔体形状分别为（）A．第5行，呈葫芦状B．第6行，呈葫芦状C．第7行，呈宝瓶状D．第8行，呈宝瓶状解：∵1+3+3+5+5+7＝24，∴编号为26的佛塔在第7行，呈室瓶状．故选：C．4．一次表彰大会上，计划安排这5名优秀学生代表上台发言．这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三年级1名．发言时若要求来自同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有（）种．A．36B．48C．72D．120解：先排高一年级学生，有种排法，①若高一年级学生中间有高三学生，有种排法，②若高一学生中间无高三学生，有种排法，所以共有种排法．故选：B．5．将函数y＝sin x﹣cos x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y＝f（x）是奇函数B．y＝f（x）的图象关于直线x＝π对称C．y＝f（x）的周期是πD．y＝f（x）在区间上单调递减解：函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，由于为奇函数，故A正确；显然，y＝f（x）的图象关于原点对称，不关于直线x＝π对称，故B错误；f（x）的最小值个周期为2π，故C错误；显然，y＝f（x）在区间上单调递增，故D错误，故选：A．6．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，，．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（）A．甲同学和乙同学B．丙同学和乙同学C．乙同学和甲同学D．丙同学和甲同学解：因为，，又25＜32，所以，又，，所以，故，又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄．故选：C．7．有两条互相垂直的直线XX'和YY'，有一条定长的线段AB，它的两个端点分别被限制于这两条直线上．点P是AB上的一个确定点，即点P到点A和点B的距离的比值是一个定值．那么，随着线段AB的运动，点P的运动轨迹及焦距长为（）A．椭圆，焦距长为|AB|B．椭圆，焦距长为C．双曲线，焦距长为|2||PA|﹣|PB|||D．双曲线，焦距长为解：此题为椭圆规画椭圆的原理．在两条互相垂直的直线XX'和YY'上建立平面直角坐标系，当点P在第一象限时，设AB与X轴的夹角为θ，则P的坐标为（|PB|cosθ，|PA|sinθ），从而可知，点P在椭圆上，点P的轨迹是四分之一个椭圆，当点P在其它几个象限或坐标轴上时，点P的坐标满足方程，所以点P的轨迹是一个椭圆，焦距长为．故选：B．8．设函数f：R→R满足f（0）＝﹣1，且对∀x，y∈R，都有2f（xy）+f（y）（f（x）+1）＝2（x﹣1）．令集合A＝，则集合A中的元素个数为（）A．2020B．2021C．4040D．4042解：令y＝0，则有2f（0）+f（0）（f（x）+1）＝2（x﹣1），又f（0）＝﹣1，∴f（x）＝﹣2x﹣1．从而集合A中，可化为．即t（t+2x+1）＝2×62020＝22021×32020．∵t∈N*，x∈N*，∴t，t+2x+1必定为一奇一偶．若t为偶数时，t的取值可以为22021，22021×3，22021×32，…，22021×32020，共有2021个（t，x）．若t+2x+1为偶数时，同理也有2021个（t，x）．∴集合A中的元素个数共有2021×2＝4042（个）．故选：D．二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产量分别为360、240、120，为检验产品的质量，现需从以上所有产品中抽取一个容量为60的样本进行检验，则下列说法正确的是（）A．如果采用系统抽样的方法抽取，不需要先剔除个体B．如果采用分层抽样的方法抽取，需要先剔除个体C．如果采用系统抽样的方法抽取，抽取过程不需要运用简单随机抽样的方法D．如果采用分层抽样的方法抽取时，所有产品被抽中的概率相等解：由题中数据可知，（360+240+120）÷60＝360÷60+240÷60+120÷60＝6+4+2＝8，所以用系统抽样和分层抽样，都不需要先剔除个体，A正确，B错误．系统抽样确定起始号时需要用到简单随机抽样，所以C错误．无论利用哪种抽样方法，每个个体被抽到的机会均等，所以D正确．故选：AD．10．设实数a、b、c满足b+c＝6﹣4a+3a2，c﹣b＝4﹣4a+a2，则下列不等式成立的是（）A．c＜b B．b≥1C．b≤a D．a＜c解：∵，由①﹣②得2b＝2a2+2，即b＝a2+1，∴b≥1，又，∴b＞a，而c﹣b＝4﹣4a+a2＝（a﹣2）2≥0，∴c≥b，从而c≥b＞a．故选：BD．11．设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点F在线段A1C1上运动，则下列说法正确的是（）A．若点F为线段A1C1的中点时，AC1⊥CFB．若点F与点A重合时，异面直线CF与B1D1所成角的大小为C．若A1F＝时，二面角F﹣AB﹣A1的正切值为D．若F与点C1重合时，三棱锥C﹣BDF外接球的表面积为3π解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，易证AC1⊥B1C，AC1⊥B1D1，又B1C∩B1D1＝B，所以有AC1⊥面B1D1C，当F为A1C1中点时，CF⊂面B1D1C，∴AC1⊥CF，A正确；对于B，∵B1D1⊥A1C1，B1D1⊥AA1，∴B1D1⊥面AA1C1C，CA1⊂面AA1C1C，∴B1D1⊥CA1．若F与A1重合时，异面直线CF 与B1D1所成角为，B错误；对于C，当时，过F作FH⊥A1D1，垂足为H，则FH∥AB，．易证BA⊥面AA1D1D，从而由BA⊥AA1，BA⊥AH可得二面角F﹣AB﹣A1的平面角为∠A1AH．∴，C正确．对于D，点F与C1重合时，三棱锥C﹣BDF的外接球即正方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球，其直径．∴其表面积S＝4πR2＝3π，D正确．故选：ACD．12．已知函数f（x）＝e x﹣ex，g（x）＝x2﹣x，若关于x的方程f（x）＝ag（x）的解x0∈（0，1），则实数a的可能取值为（）A．﹣e B．﹣1C．0D．1解：易证e x≥ex，∴f（x）＝e x﹣ex≥0恒成立，所以C错误；令h（x）＝f（x）﹣ag（x）＝e x﹣ex﹣ax2+ax，若a＝1，则h（x）＝e x﹣ex﹣（x2﹣x），则x∈（0，1）时，﹣（x2﹣x）＞0，此时h（x）＞0恒成立，显然D错误，对于A、B，h（1）＝0，h'（x）＝e x﹣e﹣a（2x﹣1），h''（x）＝e x﹣2a，当a＜0时，h''（x）在（0，1）上恒为正，故h'（x）在（0，1）上单调递增，又因为h'（0）＝1﹣e+a＜0，h'（1）＝﹣a＞0，∴h'（x）在（0，1）上存在唯一零点x0，x∈（0，x0），h'（x）＜0；x∈（x0，1），h'（x）＞0，∴h（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，1）上单调递增，∴h（x0）＜h（1）＝0，而h（0）＝1＞0，故h（x）在（0，x0）上存在唯一零点，故A、B正确；故选：AB．三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知平面向量，，设，||＝．解：∵平面向量，，∴＝（1，5），∴||＝＝，故答案为：．14．已知的展开式中有且仅有两项的系数为有理数，试写出符合题意的一个n的值n可取6，8，9，10，11中任意一个值．解：的展开式的通项为，r≤n，r∈N．若系数为有理数，则，且．当n＝3时，r＝0；n＝4时，r＝4；n＝5时，r＝2；n＝6时r＝0，6；n＝7时，r无解；n＝8时，r＝2，8；n＝9时，r＝0，6；n＝10时r＝4，10；n＝11时，r＝2，8，n＝12时，r＝0，6，12．所以，n可取6，8，9，10，11中的任意一个值，故答案为：n可取6，8，9，10，11中的任意一个值．15．已知等比数列{a n}中，a2＝2，a5＝，则满足a1a2+a2a3+⋅⋅⋅+a n a n+1≤成立的最大正整数n的值为3．解：设等比数列{a n}的公比为q，由得，，，解得，又a2＝2．∴a1＝4．易得数列{a n a n+1}也是等比数列，其首项为a1a2＝8，公比为．∴，从而有．∴n≤3．故n max＝3．故答案为：3．16．双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA、OC所在的直线，点为该双曲线的右焦点，若过点F的直线与直线OA、OC的分别相交于M、N两点，则△OMN内切圆半径的最大值为2﹣．解：由题意得∠AOF＝45°＝∠COF，过M、N向x轴作垂线，垂足分别为M1，N1．设|OM|＝m，|ON|＝n，则，．，所以有mn＝m+n．又，有mn≥4．（当且仅当m＝n时等号成立）．Rt△OMN的内切圆半径，令t＝mn，t≥4，则，在[4，+∞）上单调递减．∴当t＝4时，r有最大值为．故答案为：．四．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等比数列{a n}的各项均为正数，a6，，a7成等差数列，且a5＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log a a n（a＞0且a≠1），求数列{b n}的前n项和S n的最值．解：（1）设等比数列的首项为a1，公比为q＞0，由得，q＝2．所以．（2）b n＝log a a n＝（n﹣6）log a2．数列{b n}是首项为﹣5log a2，公差为log a2的等差数列．方法一：①当0＜a＜1时，log a2＜0，数列{b n}是首项为正的递减等差数列．由b n≥0，得n≤6，（S n）max＝S5＝S6＝﹣15log a2，S n没有最小值．②当a＞1时，log a2＞0，数列{b n}是首项为负的递增等差数列．由b n≤0，得n≤6，所以（S n）min＝S5＝S6＝﹣15log a2，S n没有最大值．方法二：利用等差数列求和公式得．①当a＞1时，log a2＞0，此时（S n）min＝S5＝S6＝﹣15log a2，S n没有最大值．②当0＜a＜1时，log a2＜0，此时（S n）max＝S5＝S6＝﹣15log a2，S n没有最小值．18．某市一湿地公园建设项目中，拟在如图所示一片水域打造一个浅水滩，并在A、B、C、D四个位置建四座观景台，在凸四边形ABCD中，AB＝千米．AD＝BC＝CD＝1千米．（1）用cos A表示cos C；（2）现要在A、C两处连接一根水下直管道，已知cos A＝，问最少应准备多少千米管道（结果可用根式表示）．解：（1）连结BD，如图所示：在△ABD中，由余弦定理得．在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2+CD2﹣2BC×CD×cos C＝2﹣2cos C，所以，解得，所以用cos A表示cos C为cos C＝cos A﹣1．（2）因为，所以由（1）可得，C∈（0，π），所以，由CD＝BC，所以．△ABD中，由余弦定理得．由AB＝BD，所以△ABD为等腰三角形．所以，，计算．△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2+CD2﹣2AD×CD×cos∠ADC＝．解得；所以应准备千米的管道．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝，△PDC是边长为2的等边三角形，平面PDC⊥平面ABCD，E为PC中点．（1）设平面PAD∩平面PBC＝l，证明：DE⊥l；（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：因为平面PDC⊥平面ABCD，且平面PDC∩平面ABCD＝DC．BC ⊥CD，所以BC⊥平面PDC．又BC⊂平面PBC．从而平面PDC⊥平面PBC．已知△PDC为等边三角形，E为PC中点，所以DE⊥PC，故平面PDC∩平面PBC＝PC，故DE⊥平面PBC．由已知l⊂平面PBC，所以DE⊥l．（2）方法一：设DC中点为O，则PO⊥DC，因为平面PDC⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，如图，以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间坐标系，由已知有，，D（0，﹣1，0），，C（0，1，0）．设平面PAD的法向量，因为，，，，所以，令，则，设平面PBC的法向量，∵，，，，，令z2＝1，则，因为，，所以．所以平面PAD和平面PBC所成二面角的余弦值为．方法二：设CB与DA相交于点F，PF即平面PAD与平面PBC的交线．过E设EH⊥PF，垂足为H．连结DH．由（1）知DE⊥平面PBC，所以PF⊥DE，从而PF⊥平面DEH．所以PH⊥DH，故∠DHE是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角．由已知易得，且，由（1）知△PCF为直角三角形，∠C为直角，从而，所以，故，所以．20．核酸检测是诊断新冠病毒（nCoV）的重要标准之一，通过被检者核酸检测可以尽早发现感染者，感染者新冠病毒核酸检测呈阳性．2020年抗疫期间，某社区拟对其中850户4口之家以家庭为单位进行核酸检测，假定每个人核酸检测呈阳性还是阴性相互独立，且每个人核酸检测呈阳性的概率都是p（0＜p＜1）．在进行核酸检测时，可以逐个检测，也可以将几个样本混合在一起检测．检测方式有三种选择：方式一：逐个检测；方式二：将每个4口之家检测样本平均分成两组后，分组混合检测；方式三：将每个4口之家4个检测样本混合在一起检测；其中，若混合样本1次检测结果呈阴性，则认为该组样本核酸检测全部呈阴性，不再检测，若混合样本1次检测结果呈阳性，则对该组样本中的各个样本再逐个检测．（1）假设某4口之家中有2个样本呈阳性，逐个检测，求恰好经过3次检测能把这个家庭阳性样本全部检测出来的概率；（2）若p＝0.01，分别求该社区选择上述三种检测方式，对其中850户4口之家进行核酸检测次数的数学期望，你建议选择哪种检测方式较好，请简述其实际意义（不要求证明）．（附：0.992≈0.98，0.993≈0.97，0.994≈0.96．）解：（1）记恰好经过3次检测能把这个家庭阳性样本全部检测出来为事件A，则P（A）＝＝．（2）当P＝0.01时，每个人核酸检测呈阴性的概率为0.99．若选择方式一，该社区对其中850户4口之家需进行X1＝3400次核酸检测．若选择方式二，记每个4口之家检测次数为ξ2，则ξ2可能取值为2，4，6，其分布列为ξ2246P0.994（1﹣0.992）2．故该社区对其中1000户4口之家进行核酸检测总次数期望EX2＝850Eξ2＝1768次．若选择方式三进行核酸检测，记每个4口之家检测次数为ξ3，则ξ3可能取值为1，5．其分布列为ξ312P0.9941﹣0.994故选择方式三每个4口之家检测次数的期望为故该社区对其中1000户4口之家进行核酸检测总次数期望为EX3＝850×1.16≈986次．显然EX3＜EX2＜EX1由上可知，当每个人核酸检测呈阳性概率很小时，采取每个家庭检测样本混合在一起检测时，检测总次数期望相较其他方式少，对人数众多的群体采用方式三进行核酸检测显著提高了检测效率，大大节约了检测成本．21．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点（m，1）在抛物线C上，该点到原点的距离与到C的准线的距离相等．（1）求抛物线C的方程；（2）过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且与以焦点F为圆心2为半径的圆交于M，N两点，点B，N在y轴右侧．①证明：当直线l与x轴不平行时，|AM|≠|BN|；②过点A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，l1与l2相交于点D，求△DAM与△DBN的面积之积的取值范围．解：（1）由题意可得，解得p＝4，所以抛物线C的方程为x2＝8y．（2）由（1）知，圆F方程为：x2+（y﹣2）2＝1，由已知可设l：y＝kx+2，且A（x1，y1），B（x2，y2），由得x2﹣8kx﹣16＝0，设Q（x0，y0）是抛物线C上任一点，则，故抛物线与圆相离．①证明：当直线l与x轴不平行时，有k≠0，方法一：由抛物线定义知，|AF|＝y1+2，|BF|＝y2+2．所以||AM|﹣|BN||＝|（|AF|﹣2）﹣（|BF|﹣2）|＝||AF|﹣|BF||＝|y1﹣y2|＝|（kx1+2）﹣（kx2+2）|＝＝，所以|AM|≠|BN|方法二：因为A、M、N、B四点共线，M、N中点为F（0，2），若|AM|＝|BN|，则必有AB中点与M、N中点重合，即x1+x2＝0，因为x1+x2＝8k≠0，所以|AM|≠|BN|．②由（1）知抛物线方程为．所以．所以过点A的切线，即．同理可得，过点B的切线l2为．由l1，l2方程联立，得，解之，得，又得，所以．D（4k，﹣2）到l：y＝kx+2的距离，|AM|⋅|BN|＝（|AF|﹣2）（|BF|﹣2）＝[（y1+2）﹣2][（y2+2）﹣2]＝，从而＝．22．已知函数f（x）＝ae x﹣ln（x+1）+lna．（1）当a＝1时，求函数y＝f（x）的单调区间；（2）当a∈[1，+∞）时，求证：f（x）总存在唯一的极小值点x0，且f（x0）≥1．【解答】（1）解：函数y＝f（x）的定义域为（﹣1，+∞）．当a＝1时，f（x）＝e x﹣ln（x+1），所以，易知f'（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且f'（0）＝0．则在（﹣1，0）上f'（x）＜0，在（0，+∞）上f'（x）＞0，从而f（x）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．（2）证明：f（x）＝ae x﹣ln（x+1）+lna，所以，且a≥1．设g（x）＝f'（x），则，所以g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，即f'（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，由，得，设h（x）＝（x+1）e x h'（x）＝（x+2）e x＞0，则h（x）在[﹣1，+∞）上单调递增且h（﹣1）＝0．则当a∈[1，+∞）时，都恰有一个x0＞﹣1，使得，且当x∈（﹣1，x0）时f'（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时f'（x）＞0，因此f（x）总有唯一的极小值点x0．所以，从而lna＝﹣ln（x0+1）﹣x0，极小值由lna＝﹣ln（x0+1）﹣x0，可得当a∈[1，+∞）时，﹣ln（x0+1）﹣x0≥0，即ln（x0+1）+x0≤0，ln（x0+1）+x0随x0增大而增大，易得x0∈（﹣1，0]．令t＝x0+1，则t∈（0，1]，设，φ（1）＝1，所以φ（t）在（0，1]上单调递减，且φ（1）＝1，从而φ（t）≥1．即f（x0）≥1．。

2021届湖南四大名校联考新高考模拟试卷（九）化学试卷★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

可能用到的相对原子质量：H-1 B-11 C-12 N-14 O-16 Br-80单选题1.化学与生活密切相关。

下列叙述正确的是（）A. 硫磺皂中的硫单质具有杀菌的功效B. 食品袋中放置的CaO可防止食品氧化变质C. 草木灰与硝酸铵混合施用效果更好D. 用碳酸钡、碳酸镁和氢氧化铝等作抗酸药【答案】A【解析】【分析】【详解】A．硫单质能杀菌，所以硫磺香皂中的硫单质有杀菌的效果，故A正确；B．氧化钙不具有还原性，不能防止食品氧化变质，它能吸水，只作干燥剂，防止食品受潮，故B错误；C．草木灰的主要成分为碳酸钾，碳酸钾水解溶液显碱性，与铵态氮肥混合会反应产生氨气，降低了施肥效果，二者不能混合使用，故C错误；D．碳酸钡与盐酸反应生成易溶于水的氯化钡，钡离子为重金属离子，有毒，所以不能用碳酸钡作抗酸药，故D错误；答案为A。

2021年湖南省高考数学精彩试题及问题详解理科解析汇报版实用文档2021年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共10小题每小题5分共50分湖南）已知=1+i（i为虚数单位）则复数?2021z=（）1．（5分）（A1+iB1﹣iC﹣1+iD﹣1﹣i．．．．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则求得z的值．解答：解：∵已知=1+i（i为虚数单位）∴z===﹣1﹣i故选：D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用属于基础题．分201湖南）是两个集合则B=”是”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考必要条件、充分条件与充要条件的判断专集合；简易逻辑分析直接利用两个集合的交集判断两个集合的关系判断充要条件即可解答：解：A、B是两个集合则“A∩B=A”可得“A?B”“A?B”可得“A∩B=A”．所以A、B是两个集合则“A∩B=A”是“A?B”的充要条件．故选：C．点评：本题考查充要条件的判断与应用集合的交集的求法基本知识的应用．3．（5分）（2021?湖南）执行如图所示的程序框图如果输入n=3则输出的S=（）实用文档DACB．．．．程序框图．考点：的数值满足判断框的条件即可结束循环．S 分析：列出循环过程中与in=3s=0i=1解答：解：判断前第1次循环S=i=2i=3第2次循环S=S=i=4第3次循环满足判断框的条件结束循环输出结果：n此时i＞S===B故选：点评：本题考查循环框图的应用注意判断框的条件的应用考查计算能力的最小值为、xy满足约束条件则z=3x﹣y2021（4．5分）（?湖南）若变量）（21D1﹣A7B﹣C．．．．：考点简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域由图得到最优解求出最优解的坐标数形结合得答案．实用文档解答：解：由约束条件作出可行域如图A由图可知最优解为由）．由解得A（﹣21联立解得C（0﹣1）1）解得B（17．y的最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣∴z=3x﹣A．故选：易错本题考查了简单的线性规划考查了数形结合的解题思想方法是中档题点评是图形中点）是=l1+）l分201湖南）设函x）上是减函数01．奇函数且在（01）上是增函数B．奇函数且在（A1）上是减函数1）上是增函数D．偶函数且在（0偶函数且在（C．0利用导数研究函数的单调性导数的综合应用求出好的定义域判断函数的奇偶性以及函数的单调性推出结果即可析函数的定义域为（1+解：函=l）lx所以x）x）﹣ln（1﹣）]=﹣f（[ln1+_______=lnf函数（﹣x答：）（1﹣）﹣ln（）=﹣（1+x 函数是奇函数．）B只需判断特殊值的大小即可推出选项x=0时f （0AC排除D正确结果在=0；函数是增函（）＜0f）（显然＞）1ln1+=ln（时x=f）（）﹣（﹣=ln31fAB数所以错误正确．A故选：．实用文档点本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用考查计算能力．评：5）（的项的系数为30则）﹣（6．（5分）2021?湖南）已知（的展开式中含xa=BA6DC6﹣﹣．．．．二项式定理的应用．考点：专题：二项式定理．令分析：整理成最简形式项根据所给的二项式利用二项展开式的通项公式写出第r+1再代入系数求出结果．求得rx的指数为解：根据所给的二项式写出展开式的通项解答：=；T=r+130展开式中含x的项的系数为∴解ar=并且D．故选：在这种本题考查二项式定理的应用本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项点评：题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．(曲个点则落入阴影部分湖南）在如图所示的正方形中随机投掷100005分）（2021?（7．）01）的密度曲线）的点的个数的估计值为（（线C为正态分布N2则N=（μa）附“若_﹣=0.6826+σ）．P（μ﹣σ＜_≤μ=0.9544．_2σ＜≤μ+2σ）p（μ﹣4772D2718C3413BA2386．．．．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．考点：计算题；概率与统计．：专题实用文档分析：×0.6826=0.3413即可得出结论．_≤1）=求出P（0＜解答：1）=×0.6826=0.3413P解：由题意（0＜_≤∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.3413=3413．故选：C本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义考查正态分布中两个量μ和σ点评：的应用考查曲线的对称性属于基础题．22的坐标为PBC若点C在圆x+y=1上运动且AB⊥．8（5分）（2021?湖南）已知AB的最大值为（20）则|）|（9C8DBA67．．．．圆的切线方程．：考点计算题；直线与圆．专题：分析：）时1由题意AC为直径所以|0+|=|4+|．B为（﹣|=|27即可得出结论．|4+|≤解答：A为直径所|=|4解：由题意|=|2|4+）时B所以．为（﹣107|≤．所以||的最大值为7．故选：B本题考查向量知识的运用考查学生分析解决问题的能力比较基础．点评：）个单位后=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜?分）（2021湖南）将函数f（x）9．（5=x|x的x、有|x﹣x）的图象．若对满足则得到函数g（x|f（x）﹣g（）|=2min121122）φ=（DBAC．．．．x+φ）的图象变换．：考点函数y=Asin（ω专题：三角函数的图像与性质．分析：的值然后判断选项即可．利用三角函数的最值求出自变量xx21解答：）的周期为π函数的图象向右平移φ（0＜φ＜x解：因为将函数f（）=sin2x的可知两个）（）﹣x|fxg个单位后得到函数（）的图象．若对满足（gx|=221实用文档|=函数的最大值与最小值的差为2有|x﹣xmin12×（=x）在x2φ）﹣2=取得最小值sin即x不妨=x=g（221=此时φ不合题意﹣1=12φ）2=xx=取得最大值sin）在即g（_______=（×﹣212满足题意．=此时φ．故选：D本题考查三角函数的图象平移函数的最值以及函数的周期的应用考查分析问点评：题解决问题的能力是好题题目新颖．有一定难度选择题可以回代验证的方法快速解答．某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削加工成一个湖南）2021?分）10．（5（则原工件材料体积尽可能大的长方体新工件并使新工件的一个面落在原工件的一个面内））的利用率为（材料利用率=（DABC．．．．简单空间图形的三视图．：考点专题：创新题型；空间位置关系与距离；概率与统计．1分析：根据三视图可判断其为圆锥底面半径为高为2求解体积．xn 利用几何体的性质得出此长方体底面边长为的正方形高为求解体积式子利用（利用轴截面的图形可判断得出n=1＜x＜）﹣02导数求解即可最后利用几何概率求解即．实用文档解：根据三视图可判断其为圆锥解答：1高为2∵底面半径为×2=∴V=∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件∴此长方体底面边长为n的正方形高为x∴根据轴截面图得出：=）0﹣＜x＜2（解得；n=122﹣（1∴长方体的体积Ω=2Ω′）x=x﹣4x+2x=∵Ω4x+2=x=∴可判断（0）单调递增2）单调递减（2（=21﹣）×=Ω最大值×∴原工件材料的利用率为==A故选：本题很是新颖知识点融合的很好把立体几何导数概率都相应的考查了点评：综合性强属于难题．分55二、填空题共小题每小题分共25﹣（?2021湖南）x1）dx=0．（5．11（分）：考点定积分．导数的概念及应用．专题：分析：求出被积函数的原函数代入上限和下限求值．解答：(dx=）﹣x（解：1﹣|）x=0；实用文档0．故答案为：本题考查了定积分的计算；关键是求出被积函数的原函数．点评：名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶35（2021?湖南）在一次马拉松比赛中12．（5分）人71﹣35号再用系统抽样方法从中抽取图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为上的运动员人数是则其中成绩在区间[139151]．4茎叶图．考点：专题：概率与统计．根据茎叶图中的数据结合系统抽样方法的特征即可求出正确的结论．分析：解答：解：根据茎叶图中的数据得；151]上的运动员人数是20成绩在区间[139人35人中抽取7用系统抽样方法从上的运动员应抽取[139151]成绩在区间．×=4（人）7．故答案为：4本题考查了茎叶图的应用问题也考查了系统抽样方法的应用问题是基础题目．点评：使PC上存在点C：﹣=1的一个焦点．若．（5分）（2021?湖南）设F是双曲线13．PF的中点恰为其虚轴的一个端点则C的离心率为线段双曲线的简单性质考圆锥曲线的定义、性质与方程专n=2即mP的中点分析的坐标代入双曲线方程结合离心率公式计算即可得到将中解答解：P的中点n=2即m）代入双曲线方程可得将点（2b ﹣=12可得e==5e=解得．．故答案为：实用文档同时考查中点主要考查双曲线的离心率的求法本题考查双曲线的方程和性质点评：坐标公式的运用属于中档题．成等S且3S2S=1S为等比数列{a}的前n项和若a分）14．（5（2021?湖南）设3n21n11n﹣．差数列则a=3n 等差数列与等比数列的综合．考点：等差数列与等比数列．专题：利用已知条件列出方程求出公比然后求解等比数列的通项公式．分析：解答：2S=1且3S{a}的前n项和若a为等比数列解：设等比数列的公比为qS2n1n1成等差数列S3a=1可得4S=S+3S12132．+3q=34（1+q）=1+q+q即1﹣n．a=3∴n1﹣n．故答案为：3本题考查等差数列以及等比数列的应用基本知识的考查．点评：=fx）b使函数g（）2021?湖南）已知函数f（x=若存在实数分）15．（5（1}．或a＞的取值范围是b有两个零点则a{a|a＜0（x）﹣函数的零点计算题；创新题型；函数的性质及应用y=）=有两个零点y==）有两个零点可的图象有两个交点则函数在定义域内不能是单调函数结合函数图象可析范有两个零点）解：=y=的图象有两个交点）=有两个零点y=答x=1可得x==①时函）的图象如图所示此时存满足题意足题意实用文档上单调递增故不符合题意Rf（x）在定义域②当a=1时由于函数）单调递增故不符合题意f（x1③当0＜a＜时函数）单调递增故不符合题a=时y=y=））的图象如图所示此时存时函⑤y=使得有两个交点1＜0或＞aa综上可得1}0{a|a故答案为：＜或＞a实用文档分类讨论的数学思想．渗透了转化思想数形结合、点本题考察了函数的零点问题评：为选修题任选两小题作答如果全做则1817、75分16、三、简答题共1小题共4-1：几何证明选讲按前两题计分选修NCD的中点分别是M2021?湖南）如图在⊙O中相较于点E的两弦AB16．（6分）（F证明：MO与直线CD相较于点直线NOM=180°）∠MEN+∠（1FO．?FN=FM?（2）FE相似三角形的判定．考点：选作题；推理和证明．：专题°MEN+∠NOM=180MEN四点共圆即可证明∠分析：（1）证明O．?FOFN=FM∽△FON即可证明FE?（2）证明△FEM的中点为CD证明：（1）∵N解答：CO的中点AAO=18°ONE=9+9在四边OME中∴OME四点共圆NOM=18∴MEN°FMEFNO=9FO中F）在FE与FE∽FO∴△=∴．?FO∴FE?FN=FM考查学生分析解决问题的能本题考查垂径定理考查三角形相似的判定与应用点评：力比较基础．4-4：坐标系与方程选修x．以坐标原点为极点（t为参数）（2021?湖南）已知直线l：分）17．（6θ．的坐标方程为ρ=2cos轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线CC的极坐标方程化为直坐标方程；（1）将曲线的值．?求的交点为与曲线直线的直角坐标为（）设点（2M5）lCAB|MA||MB|实用文档参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．考点：选作题；坐标系和参数方程．专题：2分析：θ根据极坐标和直角坐标的互化公式得cos）曲线的极坐标方程即ρ=2ρ（122即得它的直角坐标方程；x+y=2x的方程化为普通方程利用切割线定理可得结论．）直线l（2222解答：x故它的直角坐标方程为（+y=2x=2ρcosθ∴x解：（1）∵ρ=2cosθ∴ρ22；﹣1）+y=1）（5（2）直线l：（t为参数）普通方程为在直线l上22﹣=（51）+3﹣1=18过点M作圆的切线切点为T则|MT|2．由切割线定理可得|MT|=|MA|?|MB|=18本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法属于基础题．点评：：不等式选讲选修4-5b＞0且a+b=+．证明：（18．2021?湖南）设a＞0（ⅰ）a+b≥2；22不可能同时成立．+b＜2（ⅱ）a+a ＜2与不等式的证明考不等式的解法及应用专ab=再由基本不等式即可得证（ⅰ）分析结合条件可++可能同时成立．结合条（ⅱ）运用反证法证明．假矛盾即这ab=以及二次不等式的解法可得证（ⅰ）解答证明：则a+b=+=ab=1由于a+b＞0则即有a+b≥2=2取得等号．当且仅当a=b；则a+b≥2222可能同时成立．+b（ⅱ）假设a+a＜2与b＜200可得＜a＜1a+a由a＜2及＞21b02由b+b＜及b＞可得0＜＜矛盾．这与ab=122不可能同时成立．＜b2+aa＜与+b2本题考查不等式的证明主要考查基本不等式的运用和反证法证明不等式的方法点评：属于中档题．实用文档19．（2021?湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、ca=btanA且B为钝角．A=；（Ⅰ）证明：B﹣（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由题意和正弦定理可得sinB=cosA由角的范围和诱导公式可得；(Ⅱ）由题意可得A∈（0）可得0＜sinA＜化简可得sinA+sinC=2﹣2（sinA﹣）+由二次函数区间的最值可得．解答：解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==即sinB=sin（）+A∴sinB=cosAπ）+A又B为钝角∴∈（+A∴B；﹣A=∴B=(Ⅱ）由（Ⅰ）知﹣+A）=2A＞0C=π﹣（A+B）=π﹣（A+∴A∈（02A﹣））∴sinA+sinC=sinA+sin（2=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sinA2﹣）+=﹣2（sinAsinA＜）∴0＜∵A∈（02∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）+≤]∴sinA+sinC的取值范围为（点评：本题考查正弦定理和三角函数公式的应用涉及二次函数区间的最值属基础题．20．（2021?湖南）某商场举行有奖促销活动顾客购买一定金额商品后即可抽奖每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中各随机摸出1个球在摸出的2个球中若都是红球则获一等奖若只有1个红球则获二等奖；若没有红球则不获奖．(1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2）若某顾客有3次抽奖机会记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为_求_的分布列和数学期望．实用文档离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．考点：概率与统计．专题：分析：从乙箱中摸出一个球是={}）记事件A={从甲箱中摸出一个球是红球事件A（121}事件A={顾客抽奖1次获二等奖红球}事件B={顾客抽奖1次获一等奖}21BA相互独立互斥A事件C={顾客抽奖1次能获奖}利用112互斥然后求出所求概率即可．B2．求出概率_～B顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验判断（2）_的分布列然后求解期望．得到解答：从乙箱中摸出一个A={解：（1）记事件A={从甲箱中摸出一个球是红球}事件21}顾客抽奖1次获一等奖}事件A={1次获二等奖球是红球}事件B={顾客抽奖21互斥顾客抽奖1次能获奖}由题意AA相互独立事件C={21=P（A=互斥且B=AAB+）P（A）C=B+B因为BB1222111221=（A））+P（））（B=P=（A）P（=P（B）=P 所以P2121+====）C故所求概率为：P（）=P（B．+B=P（B）+P （）1次获一1）可知顾客抽奖1次可视为2）顾客抽奖13次独立重复试验由（（）．于是P（～所以．等奖的概率为：_B_=0 ）_=2=）=P（_=1=P（=(P_=3=．===）的分布列为：故_3_021P=3_E（）×=．期望是概率论和数理统计的重要概念之一是反映随机变量取值分布的特征数点评：学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫它在市场预测经济统计风险与决策等领域有着广泛的应用为今后学习数学及相关学科产生深远的影响．的正的上、下底面分别是边长为DCB﹣湖南）如图已知四棱台2021．21（?ABCDA63和1111P点上．AADDQAA、分别在棱、BCABCD⊥底面且=6方形111（1AB的中点证明：PQ是P）若DD⊥；11实用文档的余弦值为求四面体ADPQ的体积．﹣QD﹣A（2）若PQ∥平面ABBA二面角P11考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（1）首先以A为原点ABADAA所在直线分别为xyz轴建立空间直角坐1标系求出一些点的坐标Q在棱BC上从而可设Q （6y0）只需求1即可；(2）设P（0yz）根据P在棱DD上从而由即可得到z=12﹣2221与平2y从而表示点P坐标为P（0y12﹣2y）．由PQ∥平面ABBA便知道1222AB的法向量垂直从而得=从点坐标变设平21121面PQD的法向量为根据即可表示平面AQD的一个法向量为从而由即可求出y从而得出P点坐标从而求出三棱锥P﹣AQD2的高而四面体ADPQ的体积等于三棱锥P﹣AQD的体积从而求出四面体的体积．解答：解：根据已知条件知ABADAA三直线两两垂直所以分别以这三直线为xy1z轴建立如图所示空间直角坐标系则：A（000）B（600）D（060）A（006）B（306）D（011136）；Q在棱BC上设Q（6y0）0≤y≤6；11∴（1）证明：若P是DD 的中点则P；1；∴；∴实用文档；∴；∴AB⊥PQ1上；P在棱DDz∈[06]）设（2P（0yz）y12222≤λ≤1；∴0）；λ（0﹣36∴（0y﹣6z）=22；∴2y∴z=12﹣；2212﹣2y）；∴P（0y22；∴平面ABBA的一个法向量为；11A；∵PQ∥平面ABB11；）=0﹣∴=6（yy21=y；∴y21；y0）∴Q（62PQD的法向量为则：设平面；则取z=1；∴；AQD又平面的一个法向量为；的余弦值为﹣又二面角PQD﹣A；∴解得y=4；（舍去）或y=822；40P∴（4）且的高为﹣∴三棱锥PADQ4；==V．V∴ADQ三棱锥ADPQ四面体P﹣实用文档考查建立空间直角坐标系利用空间向量解决异面直线垂直及线面角问题的方法点评：共线向量基本定理直线和平面平行时直线和平面法向量的关系平面法向量的概念以及两平面法向量的夹角和平面二面角大小的关系三棱锥的体积公式．2b＞+=1（：：x=4y的焦点F也是椭圆Ca22．分）（13（2021?湖南）已知抛物线C212．C与C的公共弦长为＞0）的一个焦点．21（Ⅰ）求C的方程；2同向．D两点且与、B两点与C 相交于C、C（Ⅱ）过点F的直线l与相交于A21的斜率；（ⅰ）若|AC|=|BD|求直线l总是钝F旋转时△MFD证明：直线处的切线与x轴的交点为Ml绕点（ⅱ）设C在点A1角三角形．直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程考创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题专2分析：的公共弦长为2=1再根据C 与Ca（Ⅰ）根据两个曲线的焦点相同得到﹣b21=1解得即可求出；得到22x+x）﹣4_______x+x）﹣4x=（x（（Ⅱ）设出点的坐标（ⅰ）根据向量的关系得kC构成方程组利用韦达定理分别代入得到关于设直线l的方程分别与C21方程解得即可；的坐标利用向量A处的切线方程求出点M在点（ⅱ）根据导数的几何意义得到C1的乘积∠AFM是锐角问题得以证明．2解答：的一个焦C1）因为F也是椭圆x解：（Ⅰ）抛物线C：=4y的焦点F的坐标为（021点22=1①∴a﹣b2=4y轴对称且C的方程为xC又C与的公共弦长为2的都关于C与Cy12211的公共点的坐标为（±C与C）由此易知21②=1所以22=8a联立①②得=9b实用文档．故C的方程为+=12xy）C（xy）A（（Ⅱ）设A（xy）B （xy）同向且|AC|=|BD|（ⅰ）因为与所以=即x﹣x=x﹣x于是从而x ﹣x=x﹣x4213231422x③+x）﹣4x）（x+x﹣4_______=（y=kx+1则l的方程为设直线的斜率为k2x是这个方程的两根﹣由得x4kx﹣4=0而x214④+x所以x=4k_______=﹣211222）x+16kx﹣64=0而xx是这个方程的两根得（由9+8k43⑤_______=﹣x所以+x=4433将④⑤代入③1+2=（k+1）即1622×所以（9+8k）=169．解得k=±2得yx′=x（ⅱ）由=4yx﹣在点所以CA处的切线方程为yy=（xx）﹣11112_______即y=x﹣11x=x得令y=01）0xM（1=所以（1﹣x）1实用文档﹣1）而=（xy1122＞0=于是?x﹣y+1=x+1111AFM是钝角是锐角从而∠MFD=180°﹣∠因此∠AFMMFD总是钝角三角形．绕点F旋转时△故直线l本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系关键是联立方程构造方程利用韦达点评：的方程计算量大属于难题．定理以及向量的关系得到关于kax）（x[0∈+∞]）．记x为f202123．（13分）（?湖南）已知a＞0函数f（x）=esinx（xn_N）个极值点．证明：的从小到大的第n（n∈}是等比数列；（Ⅰ）数列{f（x）n_＜x|f（x）|恒成立．（Ⅱ）若a≥则对一切n∈Nnn考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：创新题型；导数的综合应用；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．的根讨论根附近的导0（Ⅰ）求出导数运用两角和的正弦公式化简求出导数为分析：数的符号相反即可得到极值点求得极值运用等比数列的定义即可得证；_π﹣φ＜|f（恒成立．即为nx）|（Ⅱ）由sinφ=可得对一切n∈Nx＜nn π﹣φ）a（n求出=（te＞0）①设恒成立?＜g（t）导数求得最小值由恒成立思想即可得证．解答：axaxx+φ）′（x）=e （asinx+cosx）=?esin（证明：（Ⅰ）fφ=0＜φ＜tan_N∈≥0x+φ=mπ即x=mπ﹣φm′（令fx）=0由x）π﹣2k+2）π﹣φ＜）π＜x+φ＜（2k+2）π即（2k+1x＜（若（对k∈N2k+1φ）符mπ﹣φmπ）上f′（x﹣f则′（x）＜0因此在（（m1）πmπ﹣φ）和（号总相反．__N xn∈Nf（）取得极值所以x=nπ﹣φn∈x=n于是当π﹣φnπ﹣φ）aa（nπ﹣φ）n+1（nφ1）esin（﹣（）此时f（x=esinnπ﹣φ）=nπa是）≠f易知（x0而e==﹣n常数πa（π﹣φ）a故数列）e（f是首项为）}x{f（xsin=eφ公比为﹣的等比数列；1n实用文档_）|恒成立．x＜|f（x可得对一切（Ⅱ）由sinφ=n∈Nnnπ﹣φ）a（n恒成立?即为nπ﹣φ＜e＜①）=）=（t＞0）g′（t （设gt）递增．g′（t）＞0g（ttg当0＜t＜1时′（t）＜0g （）递减当t＞1时t=1时g（t）取得最小值且为e．=eg（1）因此要使①恒成立只需＜且0＜φ＜＞当a=tanφ==a只需π﹣φ2nn＜＜φ＜可得于是π﹣φ＜且当≥2时π﹣φ≥＞＞=e）a即因此an故①亦恒成立．_恒成立．|）x（|f＜x≥综上可得若a∈n则对一切Nnn本题考查导数的运用：求极值和单调区间主要考查三角函数的导数和求值同时考点评：查等比数列的定义和通项公式的运用考查不等式恒成立问题的证明属于难题．实用文档2021年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题共10小题每小题5分共50分湖南）已知=1+i（i为虚数单位）则复数z=（分）（2021?）1．（5A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i2．（5分）（2021?湖南）设A、B是两个集合则“A∩B=A”是“A?B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）（2021?湖南）执行如图所示的程序框图如果输入n=3则输出的S=（）A．B．C．D．4．（5分）（2021?湖南）若变量x、y满足约束条件则z=3x ﹣y的最小值为（）A．﹣7B．﹣1C．1D．25．（5分）（2021?湖南）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）则f（x）是（）A．奇函数且在（01）上是增函数B．奇函数且在（01）上是减函数C．偶函数且在（01）上是增函数D．偶函数且在（01）上是减函数实用文档5的项的系数为30则a=（（﹣）的展开式中含）x湖南）6．（5分）（2021?已知A．B．C．6D．﹣6﹣7．（5分）（2021?湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（01）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）2）则﹣N=（μa附“若_=0.6826．≤μ+σ）P（μ﹣σ＜_=0.9544．≤μ+2σ）p（μ﹣2σ＜_B．2718C．3413D．A．23864772228．（5分）（2021?湖南）已知ABC在圆x+y=1上运动且AB⊥BC若点P的坐标为（20）则||的最大值为（）B．7C．8．A6D．99．（5分）（2021?湖南）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后则得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x）﹣g（x）|=2的x、x有|x﹣x|=min221211φ=（）A．B．C．D．10．（5分）（2021?湖南）某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削加工成一个体积尽可能大的长方体新工件并使新工件的一个面落在原工件的一个面内则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）实用文档D．C．A．B．分共25分5二、填空题共小题每小题5．）dx=11．（5分）（2021湖南）（x﹣1名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶35?湖南）在一次马拉松比赛中（5分）（202112．人735号再用系统抽样方法从中抽取图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣上的运动员人数151][139则其中成绩在区间．是使上存在点P=1的一个焦点．若C?湖南）设F是双曲线：﹣C 分）13．（5（2021．PF的中点恰为其虚轴的一个端点则C的离心率为线段成等S且=13S2S}2021（?湖南）设S为等比数列{a的前n项和若a（14．5分）321n1n．差数列则a=n=f）g使函数（x=f（分）2021?湖南）已知函数（x）若存在实数b5．15（．abx（）﹣有两个零点则的取值范围是实用文档三、简答题共1小题共75分16、17、18为选修题任选两小题作答如果全做则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16．（6分）（2021?湖南）如图在⊙O中相较于点E的两弦ABCD的中点分别是MN直线MO与直线CD相较于点F证明：(1）∠MEN+∠NOM=180°(2）FE?FN=FM?FO．选修4-4：坐标系与方程：（t为参数）．以坐标原点为极点2021?湖南）已知直线lx17．（6分）（轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．(1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；）直线l与曲线C的交点为A5B求|MA|?|MB|的值．（2）设点M的直角坐标为（选修4-5：不等式选讲+．证明：且a+b=a＞0b＞0．18（2021?湖南）设（ⅰ）a+b≥2；222不可能同时成立．+b＜2与b＜（ⅱ）a+aBa=btanA且为钝角．aC的对边分别为、b、cBABC（19．2021?湖南）设△的内角A、、A=；（Ⅰ）证明：B﹣（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．20．（2021?湖南）某商场举行有奖促销活动顾客购买一定金额商品后即可抽奖每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中各随机摸出1个球在摸出的2个球中若都是红球则获一等奖若只有1个红球则获二等奖；若没有红球则不获奖．(1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；实用文档(2）若某顾客有3次抽奖机会记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为_求_的分布列和数学期望．21．（2021?湖南）如图已知四棱台ABCD﹣ABCD的上、下底面分别是边长为3和6的正1111方形AA=6且AA⊥底面ABCD点P、Q分别在棱DD、BC上．111（1）若P是DD的中点证明：AB⊥PQ；11的余弦值为求四面体ADPQ的体积．﹣A二面角P﹣QDA （2）若PQ∥平面ABB112+=1（C：a＞b（2021?湖南）已知抛物线C：x=4y的焦点F 也是椭圆分）22．（13212＞0）的一个焦点．C与C的公共弦长为．21（Ⅰ）求C的方程；2与同向．、D两点且相交于A、B两点与C相交于CC（Ⅱ）过点F的直线l与21求直线l的斜率；（ⅰ）若|AC|=|BD|（ⅱ）设C在点A处的切线与x轴的交点为M 证明：直线l绕点F旋转时△MFD总是钝1角三角形．ax）（_______为f）x∈[0+∞]．记（x0?1323．（分）（2021湖南）已知a＞函数f（）=esinxn_）个极值点．证明：n∈N的从小到大的第n（}）是等比数列；（Ⅰ）数列{f（xn_|）（＜xNn则对一切∈a（Ⅱ）若≥|fx恒成立．nn。

2021届湖南四大名校新高考原创预测试卷（二）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若复数z 满足()12z i i +=（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．1B ．2C 2D ． 32．已知{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列，则q ＝ ( ). A ．1或－12 B ．1 C ．－12D ．－2[ 3．已知()()tan ,1,1,2a b θ=-=-，其中θ为锐角，若a b +与a b -夹角为90，则212sin cos cos θθθ=+（ ）A ．1B ．1-C ．5D ．154．已知21()sin()42f x x x π=++，'()f x 为()f x 的导函数，则'()f x 的图象是（ ） A ．B ．C ．D ．5．抛物线C :22y px =(0)p >的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p 的值为（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．16 6．下列四种说法正确的个数有（ ）①若,,A B C 为三个集合，满足A B B C ⋃=⋂，则一定有A C ⊆； ②函数的图像与垂直于x 轴的直线的交点有且仅有一个； ③若,A U B U ⊆⊆,则()()U A A B A C B =⋂⋃⋂；④若函数()f x 在[,]a b 和[,]b c 都为增函数，则()f x 在[,]a c 为增函数. A ．1个B ．2个C ．3 个D ．4个7．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ） A ．1440种B ．960种C ．720种D ．480种8．已知数列{}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为 （ ） A ．56 B.58 C.62 D ．609．（错题再现）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）种A ．120B ．260C ．340D ．42010．设函数()31,1{2,1xx x f x x -<=≥，则满足()()()2f a f f a =的a 的取值范围是（ ） A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．0,1 C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)1,+∞ 11．（错题再现）已知函数，，若与的图象上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．12．已知点P 是△ABC 的中位线EF 上任意一点，且EF ∥BC ，实数x ,y 满足+x +y=，设△ABC 、 △PBC 、△PCA 、△PAB 的面积分别为S 、S 、S 、S ，记11S S λ=,22SS λ=,33S Sλ=, 则·取最大值时，3x +y 的值为( ) A ．B ．C ．1D ．2二、填空题：（本大题共4题，每小题5分，共20分.）13．若将函数()5f x x =表示为()()()()250125111f x a a x a x a x =+++++++其中0a ，1a ，2a ，…，5a 为实数，则3a ＝______________．14．对于正项数列{}n a ，定义12323n nnH a a a na =++++为{}n a 的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为22n H n =+，则数列{}n a 的通项公式为_____． 15．在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）.16．（错题再现）把边长为1的正方形ABCD 如图放置，A 、D 别在x 轴、y 轴的非负半轴上滑动．则OB OC ⋅的最大值是____________．三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．设数列的前n 项和为S n =2n 2，为等比数列，且（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列前n 项和T n .18．已知向量()cos2,m x a =， (),23sin2n a x =+，且函数()().5?f x m n a R =-∈ （1）当函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3时，求a 的值； （2）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的t R ∈，函数()y f x =，,]t t b +在（上的图像与直线1y =-有且仅有两个不同的交点，试确定b 的值.并求函数()y f x =在(]0,b 上的单调递减区间.19．已知长方形ABCD 中，1AB =，2AD =，现将长方形沿对角线BD 折起，使AC a =，得到一个四面体A BCD -，如图所示.（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB 与CD 能否垂直？若能垂直，求出相应的a 的值；若不垂直，请说明理由；（2）当四面体A BCD -体积最大时，求二面角A CD B --的余弦值.20．已知函数()ln xe f x a x ax x=--+，a R ∈.（1）当0a <时，讨论()f x 的单调性；（2）设()()()'g x f x xf x =+，若关于x 的不等式()()212xx g x e a x ≤-++-在[]1,2上有解，求a 的取值范围.21．给定椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，称圆心在坐标原点O椭圆C 的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是())12,F F .（1）若椭圆C 上一动点1M 满足11124M F M F +=，求椭圆C 及其“伴随圆”的方程； （2）在（1）的条件下，过点()()0,0P t t <作直线l 与椭圆C 只有一个交点，且截椭圆C 的“伴随圆”所得弦长为P 点的坐标； （3）已知()()cos 3,,0,sin sin m n mn m n θθπθθ+=-=-≠∈，是否存在a ，b ，使椭圆C 的“伴随圆”上的点到过两点()()22,,,m mn n 的直线的最短距离mindb =.若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为x m y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.以原点O为极点，以x 轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系相同的长度单位.圆C 的方程为,l ρθ=被圆C .（1）求实数m 的值；（2）设圆C 与直线l 交于点A B 、，若点P 的坐标为(m ，且0m >，求PA PB +的值.选修4-5：不等式选讲23．已知实数正数x , y 满足1x y +=．（1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤； （2）证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若复数z 满足()12z i i +=（i 为虚数单位），则z =（ C ）A ．1B ．2CD ．【答案】C 【解析】试题分析：因为(1)2z i i +=，所以22(1)1,12i i i z i i -===++因此1z i =+= 2．已知{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列，则q ＝ ( A ). A ．1或－12 B ．1 C ．－12D ．－2[ 【答案】A.【解析】 根据题意，有21112a q a a q =+，因为10a ≠，所以221q q =+，解得q =1或－12.3.已知()()tan ,1,1,2a b θ=-=-，其中θ为锐角，若a b +与a b -夹角为90，则212sin cos cos θθθ=+（ A ）A ．1B ．1-C ．5D ．15【答案】A 【详解】由()()tan ,1,1,2a b θ=-=-，a b +与a b -夹角为90， 则22()()0a b a b a b +⋅-=-=，所以2tan 150θ+-=，θ为锐角，解得tan 2θ=.222221sin cos tan 14112sin cos cos 2sin cos cos 2tan 141θθθθθθθθθθ+++====++++. 故选A. 4．已知21()sin()42f x x x π=++，'()f x 为()f x 的导函数，则'()f x 的图象是（ A ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【详解】 由f （x ）＝2211sin cos 424x x x x π⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭， ∴1()sin 2f x x x '=-，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ，D ． 又1()cos 2f x x ''=-，当﹣3π＜x ＜3π时，cosx ＞12，∴()f x ''＜0，故函数y ＝'()f x 在区间,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 上单调递减，故排除C ． 故选A ．5．抛物线C :22y px =(0)p >的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p 的值为（ B ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．16【答案】B 【详解】由题意，容易知6r =，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故外接圆圆心的横坐标为4p 因为外接圆与准线相切， 故可得642p p+= 解得8p =. 故选：B.6．下列四种说法正确的个数有（ C ）①若,,A B C 为三个集合，满足A B B C ⋃=⋂，则一定有A C ⊆； ②函数的图像与垂直于x 轴的直线的交点有且仅有一个； ③若,A U B U ⊆⊆,则()()U A A B A C B =⋂⋃⋂；④若函数()f x 在[,]a b 和[,]b c 都为增函数，则()f x 在[,]a c 为增函数. A ．1个 B ．2个C ．3 个D ．4个【答案】C 【解析】①若,,A B C 为三个集合，满足A B B C ⋃=⋂，则一定有A B C ⊆⊆，正确；②根据函数的定义知函数的图象与垂直于x 轴的直线的交点至多有一个，正确；③若,A U B U ⊆⊆,则()()U A A B A C B =⋂⋃⋂，正确；④对于函数()1,101,01x x f x x x +-≤≤⎧=⎨-≤≤⎩ ，可知函数()f x 在[]1,0-和[]0,1都为增函数，则()f x 在[]1,1-不是增函数，函数()f x 在[],a b 和[],b c 都为增函数，则()f x 在[],a c 为增函数错误，故选C.7．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ B ） A ．1440种 B ．960种 C ．720种 D ．480种【答案】B【解析】 5名志愿者先排成一排，有55A 种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有5524A ⋅⋅=960种不同的排法，选B ．8．已知数列{}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为 （ D ） A ．56 B.58 C.62 D ．60 【答案】D 【解析】试题分析：当2n ≥时，()()22152151226n n n a S S n n n n n -=-=-+--+--=-，当1n =时，112a S ==-，则前10项依次为2,2,0,2,4,6,8,10,12,14,--所以数列{}n a 的前10项和为60.9．（错题再现）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ D ）种A ．120B ．260C ．340D ．420【答案】D【解析】 由题意可知上下两块区域可以相同，也可以不同， 则共有5431354322180240420⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+= 故选D10．设函数()31,1{2,1xx x f x x -<=≥，则满足()()()2f a f f a =的a 的取值范围是（ C ） A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．0,1C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)1,+∞ 【答案】C【详解】 令()f a t =，则()2tf t =，当1t <时，312t t --，由()312tg t t =--的导数为()32ln 2t g t =-'，当1t <时，在(,1)-∞递增，即有()()10g t g <=，则方程无解；当1t ≥时，22t t =成立，由()1f a ≥，即311a -≥，解得23a ≥且1a <；或1,21a a ≥≥解得0a ≥，即为1a ≥，综上所述实数a 的取值范围是2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选C.【方法点晴】本题主要考查了分段函数的综合应用，其中解答中涉及到函数的单调性、利用导数研究函数的单调性、函数的最值等知识点的综合考查，注重考查了分类讨论思想和转化与化归思想，以及学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中构造新的函数()312tg t t =--，利用新函数的性质是解答的关键.11．（错题再现）已知函数，，若与的图象上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是（B ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 设为函数上的一点,则关于直线的对称点为在函数上,所以,,则,所以在上为减函数,在上为增函数,所以当时,当时,故,选B.考点：1.函数图象的对称；2.利用导数研究函数的最值. 【思路点晴】在本题中,先由两函数的图象存在点关于直线对称,则设点为函数上,关于直线的对称点为在函数上,得到,再利用导数求出的范围来.本题注意从对称找突破口.12．已知点P 是△ABC 的中位线EF 上任意一点，且EF ∥BC ，实数x ,y 满足+x +y=，设△ABC 、 △PBC 、△PCA 、△PAB 的面积分别为S 、S 、S 、S ，记11S S λ=,22SS λ=,33S Sλ=, 则·取最大值时，3x +y 的值为( D ) A ．B ．C ．1D ．2【答案】D【解析】由条件可知1231λλλ++=，1231122λλλ=+=，，那么223231216λλλλ+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭ ，等号成立的条件为2314λλ==，说明点P 在线段EF 的中点处，此时，()1PA PB PC 2=-+ ，所有x=y=12，3x+y=2，故选D.二、填空题：（本大题共4题，每小题5分，共20分.） 13．若将函数()5f x x =表示为()()()()250125111f x a a x a x a x =+++++++其中0a ，1a ，2a ，…，5a 为实数，则3a ＝______________．【答案】10 【解析】法一：由等式两边对应项系数相等．即：54554331554431{0100a C a a a C a C a a =+=⇒=++=．法二：对等式：()()()()2550125111f x x a a x a x a x ==+++++++两边连续对x 求导三次得：2234560624(1)60(1)x a a x a x =++++，再运用赋值法，令1x =-得：3606a =，即310a =14．对于正项数列{}n a ，定义12323n nnH a a a na =++++为{}n a 的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为22n H n =+，则数列{}n a 的通项公式为_____． 【答案】212n n a n+= 【详解】 ∵12323n nnH a a a na =++++∴122n nn a a na H +++=∵22n H n =+ ∴()12222n n n a a na +++⋯+=①∴()()()12111212n n n a a n a --++++-=②①-②得()()()21121222n n n n n n na +-++=-=∴212n n a n+=故答案为：212n n a n+=15．在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）. 【答案】34【详解】已知A C E F B C D 、、、共线；、、共线；六个点任取三个不同取法总数为：36C ；可构成三角形的个数为：33364315C C C --=，所以所求概率为：3336433634C C C C --=. 16．（错题再现）把边长为1的正方形ABCD 如图放置，A 、D 别在x 轴、y 轴的非负半轴上滑动．则OB OC ⋅的最大值是____________．【答案】2 【解析】设BAx ODA θ∠=∠=，则(cos sin ,sin )OB θθθ=+，(cos ,sin cos )OC θθθ=+，所以OB OC ⋅=sin 212θ+≤．点睛：处理数量积问题主要手段有：定义法、代数法、几何法、基底法、极化恒等式等等，本题引入角参数，利用坐标法把问题转化为三角函数的最值问题.三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．设数列的前n 项和为S n =2n 2，为等比数列，且（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列前n 项和T n .【答案】（1）（2），【解析】：（1）当故{a n }的通项公式为的等差数列.————3分设的公比为则故，即的通项公式为————6分（2）————7分—————8分 两式相减得————12分点评：本题考查了等差、等比数列的概念及通项公式、数列前N 项和的求法，要求学生掌握最常用的求解方法，区别数列求和的类型18．已知向量()cos2,m x a =， (),23sin2n a x =+，且函数()().5?f x m n a R =-∈ （1）当函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3时，求a 的值； （2）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的t R ∈，函数()y f x =，,]t t b +在（上的图像与直线1y =-有且仅有两个不同的交点，试确定b 的值.并求函数()y f x =在(]0,b 上的单调递减区间.【答案】(1) 2a =；(2) 函数()y f x =在[]0,π上的单调递减区间为2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】 （1）由已知得，()522252225,0,62f x m n acos x x a asin x a x ππ⎛⎫⎡⎤=⋅-=++-=++-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦时，712,,2,166662x sin x ππππ⎡⎤⎛⎫⎡⎤+∈+∈- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦————3分 当0a >时， ()f x 的最大值为453a -=，所以2a =； 当0a <时， ()f x 的最大值为53a -=，故8a =（舍去） 综上：函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3时， 2a = ————6分 （2）当2a =时， ()4216y f x sin x π⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，由()y f x =的最小正周期为π可知， b 的值为π. 又由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，可得， 2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，∵[]0,x π∈， ∴函数()y f x =在[]0,π上的单调递减区间为2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ————12分19．已知长方形ABCD 中，1AB =，AD =，现将长方形沿对角线BD 折起，使AC a =，得到一个四面体A BCD -，如图所示.（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB 与CD 能否垂直？若能垂直，求出相应的a 的值；若不垂直，请说明理由；（2）当四面体A BCD -体积最大时，求二面角A CD B --的余弦值. 【答案】（1）1；（2）27. 【详解】(1)若AB ⊥CD ，因为AB ⊥AD ，AD ∩CD ＝D ， 所以AB ⊥面ACD ⇒AB ⊥AC . 由于AB=1, AD=BC=2 ,AC=a , 由于AB ⊥AC .,所以AB 2＋a 2＝BC,所以12＋a 2＝(2)2⇒a ＝1,所以在折叠的过程中，异面直线AB 与CD 可以垂直,此时a 的值为1 ————5分 (2)要使四面体A －BCD 体积最大，因为△BCD 面积为定值22， 所以只需三棱锥A －BCD 的高最大即可，此时面ABD ⊥面BCD . ————6分 过A 作AO ⊥BD 于O ，则AO ⊥面BCD ，以O 为原点建立空间直角坐标系o xyz - (如图)，则易知,显然，面BCD 的法向量为 , ————8分设面ACD 的法向量为n ＝(x ，y ，z ), 因为所以，令y ＝2，得n ＝(1，2，2)， ————10分故二面角A －CD －B 的余弦值即为|cos n OA ，. ——12分【点睛】传统方法求线面角和二面角，一般采用“一作，二证、三求”三个步骤，首先根据二面角的定义结合几何体图形中的线面关系作出线面角或二面角的平面角，进而求出；而角的计算大多采用建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用线面角和二面角公式，借助法向量求空间角.20．已知函数()ln xe f x a x ax x=--+，a R ∈.（1）当0a <时，讨论()f x 的单调性；（2）设()()()'g x f x xf x =+，若关于x 的不等式()()212x xg x e a x ≤-++-在[]1,2上有解，求a 的取值范围.【答案】(1) 函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减;(2) a 的取值范围为(],0-∞.【解析】 （1）由题意知，()()()221x x x ax e x a xe e f x a x x x---=--='+， 令()()()1xF x ax ex =--，当0a <时，0xax e-<恒成立，∴当1x >时，()0F x <；当01x <<时，()0F x >，∴函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减. ————4分 （2）∵()()()g x f x xf x =+'，∴()ln 2xg x a x e ax a =--+-，由题意知，存在[]01,2x ∈，使得()()0200012x x g x e a x ≤-++-成立.即存在[]01,2x ∈，使得()2000ln 102x a x a x a -++--≤成立， ————5分令()()[]2ln 1,1,22x h x a x a x a x =-++--∈，∴()()()[]11,1,2x a x ah x a x x x x---=++-=-∈'. ————6分 ①1a ≤时，[]1,2x ∈，则()0h x '≤，∴函数()h x 在[]1,2上单调递减， ∴()()min 2ln20h x h a a ==-+≤成立，解得0a ≤，∴0a ≤； ————8分 ②当12a <<时，令()0h x '>，解得1x a <<；令()0h x '<，解得2a x <<， ∴函数()h x 在[]1,a 上单调递增，在[],2a 上单调递减， 又()112h =，∴()2ln20h a a =-+≤，解得0a ≤，∴a 无解； ——10分 ③当2a ≥时，[]1,2x ∈，则()0h x '≥，∴函数()h x 在[]1,2上单调递增， ∴()()min 1102h x h ==>，不符合题意，舍去； 综上所述，a 的取值范围为(],0-∞. ————12分21．给定椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，称圆心在坐标原点O椭圆C 的“伴随圆”，已知椭圆C 的两个焦点分别是())12,F F .（1）若椭圆C 上一动点1M 满足11124M F M F +=，求椭圆C 及其“伴随圆”的方程； （2）在（1）的条件下，过点()()0,0P t t <作直线l 与椭圆C 只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为23，求P 点的坐标； （3）已知()()cos 3,,0,sin sin m n mn m n θθπθθ+=-=-≠∈，是否存在a ，b ，使椭圆C 的“伴随圆”上的点到过两点()()22,,,m mn n 的直线的最短距离22minda b b =+-.若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）椭圆方程，伴随圆方程；（2）；（3）存在，．【解析】 【详解】试题分析：（1）这是基本题，题设实质已知，要求椭圆标准方程，已知圆心及半径求圆的方程；（2）为了求点坐标，我们可设直线方程为，直线与椭圆只有一个公共点，即直线的方程与椭圆的方程联立方程组，这个方程组只有一个解，消元后利用可得的一个方程，又直线截圆所得弦长为，又得一个关于的方程，联立可解得；（3）这是解析几何中的存在性问题，解决方法都是假设存在，然后去求出这个，能求出就说明存在，不能求出就说明不存在．解法如下，写出过点的直线方程，求出圆心到这条直线的距离为，可见当圆半径不小于3时，圆上的点到这条直线的最短距离为0，即当时，，但由于，无解，当圆半径小于3时，圆上的点到这条直线的最短距离为，由此得，又有，可解得，故存在．解析：（1）由题意：，则，所以椭圆的方程为，其“伴随圆”的方程为． ————3分（2）设直线的方程为由得则有得， ① ————5分 由直线截椭圆的“伴随圆”所得弦长为，可得，得②由①②得，又，故，所以点坐标为． ——7分（3）过的直线的方程为：，即，得 ————8分 由于圆心到直线的距离为， ————9分当时，，但，所以，等式不能成立；当时，，由得所以因为，所以，得．所以————12分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为252x m ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.以原点O为极点，以x 轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系相同的长度单位.圆C 的方程为25,l ρθ=被圆C 2.（1）求实数m 的值；（2）设圆C 与直线l 交于点A B 、，若点P的坐标为(m ，且0m >，求PA PB +的值. 【答案】（1）33m m ==-或；（2）【详解】（1）由ρθ=得220,x y +-=即(225x y +=.直线的普通方程为0x y m +-=， ————2分 被圆C，，=解得33m m ==-或. ————5分 （2）法1：当3m =时，将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程得，())2235+=，即2220t -+=，由于(24420∆=-⨯=>，故可设12t t ，是上述方程的两实根，所以12121t t t t ⎧+=⎪⎨⎪=⎩————7分 又直线l过点(P ，故由上式及t 的几何意义得，PA PB += 122(|t |+|t |)= 122(t +t )=——10分法2：当3m =时点(3P ，易知点P 在直线l 上.又2235+>，所以点P 在圆外.联立(22530x y x y ⎧+-=⎪⎨⎪+-=⎩消去y 得，2320x x -+=.不妨设((2A B ，、， 所以PA PB +==————10分23．[选修4-5：不等式选讲]已知实数正数x , y 满足1x y +=．（1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤；（2）证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1)1[,1)6.(2)见解析.【详解】（1）1,0,0x y x y +=>>且 0152522212x x y x y x x <<⎧⎪∴++-≤⇔⎨-+-≤⎪⎩ 010*********22x x x x x x x <<⎧<<⎧⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎛⎫-+≤-≤+-≤+ ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩ ——————3分 解得116x ≤<，所以不等式的解集为1,16⎡⎫⎪⎢⎣⎭——————5分 （2）解法1： 1,x y +=且0,0x y >>，()()222222221111x y x x y y x y x y +-+-⎛⎫⎛⎫∴--=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222222xy y xy x x y ++=⋅ 222222y y x x x x y y ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 225x y y x =++59≥=. 当且仅当12x y ==时，等号成立. ——————10分 解法2： 1,x y +=且0,0x y >>，222222111111x y x y x y ⎛⎫--⎛⎫∴--=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()221111x x y y x y +-+-=⋅ ()()2211x y y x x y ++=⋅ 1x y xy xy +++= 21xy =+ 22192x y ≥+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭ 当且仅当12x y ==时，等号成立. ————10分。

2021届湖南四大名校联考新高三原创预测试卷（十六）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，2{|ln(1)}A x y x ==-，2{|4}x B y y -==，则()U A B =（ ）A ．(1,0)-B ．[0,1)C ．(0,1)D ．(1,0]-2．已知1a >，则“log log a a x y <”是“2x xy <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数2()(2)g x f x x =-是减函数，且(1)2f =，则(1)f -=（ ）2244．已知α是第一象限角，24sin 25α=，则tan 2α=（ ） A ．43- B ．43 C ．34- D ．345．设向量(2,2)=a ，b 与a 的夹角为3π4，且2⋅=-a b ，则b 的坐标为（ ）A ．(0,1)-B ．(1,0)-C ．(0,1)-或(1,0)-D ．以上都不对6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，则n S =（ ） A ．12n -B ．13()2n -C ．12()3n -D ．11()2n -7．已知α为锐角，则32tan tan 2αα+的最小值为（ ）A ．1B ．2CD8．已知a ，b 是两条异面直线，直线c 与a ，b 都垂直，则下列说法正确的是（ ） A ．若c ⊂平面α，则a α⊥ B ．若c ⊥平面α，则a α∥，b α∥C ．若存在平面α，使得c α⊥，a α⊂，b α∥D ．若存在平面α，使得c α∥，a α⊥，b α⊥9．已知两点(,0)A a ，(,0)(0)B a a ->，若圆22((1)1x y +-=上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则正实数a 的取值范围为（ ）A ．(0,3]B ．[1,3]C ．[2,3]D ．[1,2]10．在区间[0,2]上随机取一个数x，使πsin 22x ≥的概率为（ ） A ．13B ．12 C ．23D ．3411．已知1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，B 为C 的短轴的一个端点，直线1BF 与C 的另一个交点为A ，若2BAF △为等腰三角形，则12||||AF AF =（ ）32312．已知函数2()ln(||1)f x x x =++，若对于[1,2]x ∈-，22(22)9ln 4f x ax a +-<+恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．261a --<<B ．11a -<<C ．26a +>或26a -<D ．2626a -+<<第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知i 为虚数单位，复数3i2ia +的实部与虚部相等，则实数a = ． 14．执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为 ．15．某工厂为了解某车间生产的每件产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了200件产品的净重，所得数据均在[96,106]内，将所得数据按[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]分成五组，其频率分布直方图如图所示，且五个小矩形的高构成一个等差数列，则在抽测的200件产品中，净重在区间[98,102)内的产品件数是 ．16．在平面直角坐标系xOy 中，(1,2)P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线l 上的一点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，若1290F PF ∠=︒，则双曲线的左顶点到直线l 的距离为 ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222b c a bc +=+． （1）求角A 的大小；（2）若sin 2sin cos A B C =，是判断ABC △的形状并给出证明．18．（12分）某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x （单位：万元）和收益y （单位：万元）的数据如下表：他们用两种模型①y bx a =+，②bxy ae =分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计了的值：残差图（1）根据残差图，比较模型①②的拟合效果，应选则那个模型？并说明理由；（2）残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除：（ⅰ）剔除异常数据后，求出（1）中所选模型的回归方程；（ⅱ）广告投入量18x=时，（1）中所选模型收益的预报值是多少？附：对于一组数据11(,)x y，22(,)x y，，(,)n nx y，其回归直线方程ˆˆˆy bx a=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1122211()()ˆ()n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nxybx x x nx====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-．19．（12分）如图，三棱台ABC EFG-的底面是正三角形，平面ABC⊥平面BCGF，2CB GF=，BF CF=．（1）求证：AB CG⊥；（2）若ABC△和梯形BCGF3G ABE-的体积．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x C y +=，点11(,)P x y ，22(,)Q x y 是椭圆C 上两个动点，直线OP ，OQ 的斜率分别为1k ，2k ，若11(,)2x y =m ，22(,)2xy =n ，0⋅=m n ．（1）求证：1214k k ⋅=-； （2）试探求OPQ △的面积S 是否为定值．21．（12分）已知函数()(ln )xf x xe a x x =-+，a ∈R ． （1）当a e =时，判断()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C的参数方程为2sin x y αα⎧=⎪⎨⎪=⎩（α为参数），以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）P ，Q 为曲线C 上两点，若0OP OQ ⋅=，求2222||||||||OP OQ OP OQ ⋅+的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数1()||()3f x x a a =-∈R ． （1）当2a =时，解不等式1||()13x f x -+≥；（2）设不等式1||()3x f x x -+≤的解集为M ，若11[,]32M ⊆，求实数a 的取值范围数 学答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】2{|10}(1,1)A x x =->=-，{|0}B y y =>，所以{|0}UB y y =≤，所以()(1,0]U AB =-．2．【答案】A【解析】因为1a >，所以由log log a a x y <，得0x y <<，2()x xy x x y -=-， 显然当0x y <<时，2x xy <，所以充分性成立，当1x =-，2y =-时，2x xy <，而log a x ，log a y 无意义，故必要性不成立． 3．【答案】A【解析】令12x =，11()(1)24g f =-， 因为(1)2f =，所以117()2244g =-=，令12x =-，则11()(1)24g f -=--，11(1)()24f g -=-+，因为()g x 是偶函数，所以117()()224g g -=-=-，所以713(1)442f -=-+=-．4．【答案】D【解析】因为α是第一象限角，24sin 25α=，所以7cos 25α===， 所以sin 24tan cos 7ααα==，22tan242tan 71tan 2ααα==-， 整理得212tan 7tan 12022αα+-=，解得3tan 24α=或4tan 23α=-（舍去）．5．【答案】C【解析】设(,)x y =b ，则222x y ⋅=+=-a b ，即1x y +=-①，又3πcos4||||⋅=⋅a ba b，即2-=221x y +=②．由①②，得10x y =-⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=-⎩，故(0,1)=-b 或(1,0)=-b ．6．【答案】B【解析】方法一：当1n =时，1122S a a ==，则212a =， 当12n ≥时，12n n S a -=，则1122n n n n n S S a a a -+-==-，所以132n n a a +=，所以数列{}n a 从第二项起是公比为32的等比数列，所以21,113(),222n n n a n -=⎧⎪=⎨⨯≥⎪⎩，所以2113131()22222n n S -=++⨯++⨯=1113[1()]3221()3212n n --⨯-+=-．方法二：当1n =时，1122S a a ==，则212a =，所以213122S =+=， 结合选项可得只有B 满足． 7．【答案】D【解析】方法一：∵α为锐角，∴tan 0α>， ∴233(1tan )1312tan 2tan (tan )tan 22tan 2tan 2ααααααα-+=+=+≥⨯=，当且仅当3tan tan αα=，即tan α=π3α=时等号成立． 方法二：∵α为锐角，∴sin 0α>，cos 0α>，∴22232sin 3cos 24sin 3cos 2sin 3cos 2tan tan 2cos sin 22sin cos 2sin cos aααααααααααααα+++=+==1sin 3cos 1()2cos sin 2αααα=+≥=， 当且仅当sin 3cos cos sin αααα=，即π3α=时，等号成立． 8．【答案】C【解析】对于A ，直线a 可以在平面α内，也可以与平面α相交； 对于B ，直线a 可以在平面α内，或者b 在平面α内；对于D ，如果a α⊥，b α⊥，则有a b ∥，与条件中两直线异面矛盾． 9．【答案】B【解析】以AB 为直径的圆的方程为222x y a +=，则由题意知圆22((1)1x y +-=与圆222x y a +=有公共点，则|1|1a a -≤≤+，解得13a ≤≤． 10．【答案】A【解析】当[0,2]x ∈时，π0π2x ≤≤，所以πsin 2x ≥， 所以ππ2π323x ≤≤，所以2433x ≤≤，故由几何概型的知识可知，所求概率4213323P -==．11．【答案】A【解析】如图不妨设点B 在y 轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得12||||2BF BF a +=，12||||2AF AF a +=， 由题意知2||||AB AF =，所以12||||BF BF a ==，1||2a AF =，23||2aAF =，所以12||1||3AF AF =．12．【答案】A【解析】易知函数2()ln(||1)f x x x =++是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递增， 又29ln 43ln(|3|1)(3)f +=++=，所以不等式22(22)9ln 4f x ax a +-<+对于[1,2]x ∈-恒成立， 等价于22|22|3x ax a +-<对于[1,2]x ∈-恒成立，即2222223223x ax a x ax a ⎧+-<⎨+->-⎩①②对于[1,2]x ∈-恒成立． 令22()223g x x ax a =+--，则22(1)2220(2)2410g a a g a a ⎧-=---<⎨=-++<⎩， 解得26a +>或26a -<令22()223h x x ax a =+-+，令222230x ax a +-+=， 则当2248120Δa a =+-<时，即11a -<<时，满足②式子； 当2248120Δa a =+-=，即1a =±时，不满足②式； 当2248120Δa a =+->，即1a <-或1a >时，由2(1)12230h a a -=--+>，2(2)44230h a a =+-+>， 且1a -<-或2a ->，知不存在a 使②式成立．综上所述，实数a 的取值范围是1a -<<．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】3- 【解析】3i (3i)i 3i 2i 222a a a ++==---，由题意知322a=-，解得3a =-． 14．【答案】2017 【解析】易知数列π{sin1}()2n n *+∈N 的周期为4，各项依次为2，1，0，1，2，1，0，1，，执行程序框图，1n =，2s =；2n =，3s =；3n =，3s =；4n =，4s =；；2016n =，2016s =；2017n =，2018s =，不满足判断框中的条件，退出循环， 此时输出的2017n =． 15．【答案】100【解析】由题意可知0.050，a ，b ，c ，d 构成等差数列，设公差为t ，由小矩形的面积之和为1，可得(0.050)21a b c d ++++⨯=， 即0.0500.5a b c d ++++=，所以5450.0500.52t ⨯⨯+⨯=，解得0.025t =， 所以0.0500.02520.100b =+⨯=，0.0500.02540.150d =+⨯=， 所以净重在[98,102)内的频率为()2(0.1000.150)20.5b d +⨯=+⨯=， 则净重在区间[98,102)内的产品件数为2000.5100⨯=．16．【答案】5【解析】由题意知双曲线的一条渐近线l 的方程为2ba=，所以直线l 的方程为2y x =． 在12PF F Rt △中，原点O 为线段12F F 的中点，所以121||||2OP F F c ==，又||OP ==c =，又222c a b =+，2ba=，所以1a =，2b =， 则双曲线的左顶点的坐标为(1,0)-，该点到直线l 的距离为d ==三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）π3A =；（2）ABC △为等边三角形，证明见解析． 【解析】（1）由222b c a bc +=+，可知222122b c a bc +-=， 根据余弦定理可知，1cos 2A =， 又A 为ABC △的内角，所以π3A =．（2）方法一：ABC △为等边三角形．由三角形内角和定理得π()A B C =-+，故sin sin()A B C =+，根据已知条件，可得sin()2sin cos B C B C +=，整理得sin cos cos sin 0B C B C -=， 所以sin()0B C -=，又(π,π)B C -∈-，所以B C =， 又由（1）知π3A =，所以ABC △为等边三角形． 方法二：ABC △为等边三角形．由正弦定理和余弦定理及已知条件，得22222a b c a b ab+-=⨯，整理得22b c =，即b c =，又由（1）知π3A =，所以ABC △为等边三角形． 18．【答案】（1）应该选择模型①，详见解析；（2）（ⅰ）ˆ38.04y x =+；（ⅱ）62.04万元．【解析】（1）应该选择模型①，因为模型①的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中， 且模型①的带状区域比模型②的带状区域窄， 所以模型①的拟合精度高，回归方程的预报精度高． （2）（ⅰ）剔除异常数据， 即3月份的数据后，得1(766)7.25x =⨯⨯-=，1(30631.8)39.645y =⨯⨯-=， 11464.246 1.81273.44ni ii x y==-⨯=∑，2213646328ni i x ==-=∑，122151273.4457.229.64206.4ˆ332857.27.268.85ni ii nii x y xybxx ==--⨯⨯====-⨯⨯-∑∑，ˆˆ29.643.28.04ay bx =-=-⨯=， 所以y 关于x 的回归方程为ˆ38.04yx =+． （ⅱ）把18x =代入（ⅰ）中所求回归方程得ˆ3188.0462.04y=⨯+=． 19．【答案】（1）证明见解析；（2）13． 【解析】（1）如图，取BC 的中点为D ，连接DF ， 由题意得，平面ABC ∥平面EFG ，平面ABC 平面BCGF BC =，平面EFG平面BCGF FG =，∴BC FG ∥，∵2CB GF =，∴CD GF ∥，CD GF =， ∴四边形CDFG 为平行四边形，∴CG DF ∥，∵BF CF =，D 为BC 的中点，∴DF BC ⊥，∴CG BC ⊥． ∵平面ABC ⊥平面BCGF ，且平面ABC 平面BCGF BC =，CG ⊂平面BCGF ，∴CG ⊥平面ABC ，又AB ⊂平面ABC ，∴AB CG ⊥．（2）∵2CB GF =，∴2AC EG =， 又AC EG ∥，∴2ACG AEC S S =△△， ∴1122G ABE B AEG B ACG G ABC V V V V ----===三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥， 由（1）知CG ⊥平面ABC ，∴CG BC ⊥． ∵正三角形ABC 3∴2BC =，1CF =，直角梯形BCGF 3∴(12)32CG+⋅=23CG =， 11112233ABC G ABE G ABC V V S CG --==⨯⨯⨯=△三棱锥三棱锥．20．【答案】（1）证明见解析；（2）为定值，详见解析． 【解析】（1）∵1k ，2k 存在，∴120x x ≠， ∵0⋅=m n ，∴121204x x y y +=，∴12121214y y k k x x ⋅==-．（2）①当直线PQ 斜率不存在时，即12x x =，12y y =-时，由121214y y x x =-，得221114x y -=， 又由11(,)P x y 在椭圆上，得221114x y +=， ∴1||2x ，12||2y =，∴1121||||12POQ S x y y =⋅-=△． ②当直线PQ 斜率存在时，设直线PQ 的方程为(0)y kx b b =+≠，由2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(41)8440k x kbx b +++-=，222222644(41)(44)16(41)0Δk b k b k b =-+-=+->，∴122841kbx x k -+=+，21224441b x x k -=+， ∵121204x x y y +=，∴1212()()04x xkx b kx b +++=，得22241b k -=，满足0Δ>，∴211||||2||12241POQS PQ b b k ====+△， ∴OPQ △的面积S 为定值．21．【答案】（1）()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增；（2）(,)e +∞． 【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，当a e =时，(1)()()x x xe e f x x+-'=，令()0f x '=，得1x =，∵当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>， ∴()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．（2）记ln t x x =+，则ln t x x =+在(0,)+∞上单调递增，且t ∈R ， ∴()(ln )xy f x xe a x x ==-+，即ty e at =-，令()tg t e at =-，∴()f x 在0x >上有两个零点等价于()tg t e at =-在t ∈R 上有两个零点．①当0a =时，()tg t e =，在R 上单调递增，且()0g t >，故()g t 无零点； ②当0a <时，()0t g t e a '=->，()g t 在R 上单调递增，又(0)10g =>，11()10a g e a=-<，故()g t 在R 上只有一个零点；③当0a >时，由()0tg t e a '=-=可知()g t 在ln t a =时有唯一的极小值(ln )(1ln )g a a a =-．若0a e <<，()(1ln )0g t a a =->极小值，()g t 无零点； 若a e =，()0g t =极小值，()g t 只有一个零点；若a e >，()(1ln )0g t a a =-<极小值，而(0)10g =>， 由ln x y x=在x e >时为减函数，可知当a e >时，2a e e a a >>，从而2()0a g a e a =->， ∴()g x 在(0,ln )a 和(ln ,)a +∞上各有一个零点，综上当a e >时，()f x 有两个零点，即实数a 的取值范围是(,)e +∞．22．【答案】（1）2253sin 2ρθ=+；（2）57． 【解析】（1）由cos 2sin x y αα⎧=⎪⎨⎪=⎩，得曲线C 的普通方程是22215x y +=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得2222sin 2cos 5ρθρθ+=， 即2253sin 2ρθ=+（22255sin 2cos ρθθ=+）．（2）因为22255sin 2cos ρθθ=+，所以22212cos sin 5θθρ=+， 由0OP OQ ⋅=，得OP OQ ⊥，设点P 的极坐标为1(,)ρθ，则点Q 的极坐标可设为2π(,)2ρθ±， 所以22222222222212||||11111112cos 2sin ||||sin cos ||||55OP OQ OP OQ OP OQ θθθθρρ⋅===++++++152715==+． 23．【答案】（1）{|0x x ≤或1}x ≥；（2）14[,]23-．【解析】（1）当2a =时，1||()13x f x -+≥，即|31||2|3x x -+-≥． ①当13x ≤时，不等式即1323x x -+-≥，解得0x ≤，所以0x ≤； ②当123x <<时，不等式即3123x x -+-≥，解得1x ≥，所以12x ≤<； ③当2x ≥时，不等式即3123x x -+-≥，解得32x ≥，所以2x ≥，综上所述，当2a =时，不等式的解集为{|0x x ≤或1}x ≥．（2）不等式1||()3x f x x -+≤可化为|31|||3x x a x -+-≤， 依题意不等式|31|||3x x a x -+-≤在11[,]32x ∈上恒成立，所以31||3x x a x -+-≤，即||1x a -≤，即11a x a -≤≤+，所以113112a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1423a -≤≤，故实数a 的取值范围是14[,]23-。

2021届湖南长郡中学新高三原创预测试卷（十）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1. 已知集合{-1,0,1,2}A =,{|lg(1)}B x y x ==-，则AB =A. {2}B. {1,0}-C. {1}-D. {1,0,1}-2. 已知复数z 满足i z11=-，则z =A.i 1122+B.i 1122-C. i 1122-+ D. i 1122-- 3. 已知向量a b (3,1),(3,3)=-=，则向量b 在向量a方向上的投影为A.B.C. 1-D. 14. 已知m n ,为两条不重合直线，,αβ为两个不重合平面，下列条件中，αβ⊥的充分条件是A. m ∥n m n ,,αβ⊂⊂B.m ∥n m n ,,αβ⊥⊥C. m n m ,⊥∥n ,α∥βD. m n m ,⊥n ,αβ⊥⊥5. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A. 103B. 3C. 83D.736. 函数f x x 2()cos(2)3π=+的对称轴不可能为A.x 56π=-B.x 3π=-C. x 6π=D. x 3π=7. 已知f x ()为定义在R 上的奇函数，且满足f x f x (4)(),+=当x (0,2)∈时，f x x 2()2=, 则f (3)=A. 18-B. 18C. 2-D. 28. 已知数列n a {}为等比数列，若a a a 76826++=，且a a 5936⋅=，则a a a 768111++=A.1318 B. 1318或1936 C. 139 D. 136 9. 椭圆x y 22192+=的焦点为F F 12,，点P 在椭圆上，若PF 2||2=，则F PF 12∠的大小为A. 150︒B. 135︒C. 120︒D. 90︒10. 已知b a b c a 0.2121()2,log 0.2,===，则a b c ,,的大小关系是A. a b c <<B. c a b <<C. a c b <<D. b c a <<11. 赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时， 介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三正视图俯视图侧视图角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如 图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正 六边形，设A F F A 2'''=,若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为A.B.413C.D.4712. 已知F F 12,分别为双曲线x y C a b2222:1-=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以F F 12为直径的圆经过点P ，若PF F 12∆2，则双曲线的离心率为A.B. 2C.D. 3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. 二项式x 5(2)-的展开式中x 3的系数为（用数字作答） . 14. 已知两圆相交于两点A a B (,3),(1,1)-，若两圆圆心都在直线x y b 0++=上，则a b +的值是 .15. 若点P (cos ,sin )αα在直线y x 2=上，则cos(2)2πα+的值等于 .16. 已知数列n a {}的前n 项和n n S a 14λ=-+且114a =，设x x f x e e 2()1-=-+，则 f a f a f a 721222(log )(log )(log )+++的值等于 .三、解答题：共70分。

湖南省娄底市2021届新高考数学第四次押题试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知α22sin αα=，则cos2α等于（ ） A ．23B ．29C ．13-D ．49-【答案】C 【解析】 【分析】22sin αα=可得cos α=，再利用2cos 22cos 1αα=-计算即可. 【详解】因为cos 2sin ααα=，sin 0α≠，所以cos 3α=， 所以221cos22cos 1133αα=-=-=-. 故选：C. 【点睛】本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题.2．若双曲线22214x y a -= ）A ．B ．C ．6D ．8【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得24b =，再根据离心率求出2a ，即可求出c ，从而得解； 【详解】解：∵双曲线22214x y a -=所以22413e a=+=，∴22a =，∴c =故选：A 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.3．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = ) A ．85B ．65C ．45D ．25【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，3~(5,)3X B m +，由3533EX m =⨯=+，知3~(5,)5X B ，由此能求出()D X ． 【详解】由题意知，3~(5,)3X B m +， 3533EX m ∴=⨯=+，解得2m =， 3~(5,)5X B ∴，336()5(1)555D X ∴=⨯⨯-=．故选：B ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用． 4．函数sin (3sin 4cos )y x x x =+()x R ∈的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对(,)M T 为（ ） A ．(5,)π B ．(4,)π C ．(1,2)π- D ．(4,2)π【答案】B 【解析】函数23353sin (3sin 4cos )3sin 4sin cos 2sin 2cos 2sin(2)2222y x x x x x x x x x θ=+=+=-+=-+（θ为辅助角）∴函数的最大值为4M =，最小正周期为22T ππ== 故选B5．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的23，且球的表面积也是圆柱表面积的23”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为( ) A ．43π B ．16πC ．163π D ．323π 【答案】D【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为r ,则其母线长为2l r =,由圆柱的表面积求出r ,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积. 【详解】设圆柱的底面半径为r ,则其母线长为2l r =, 因为圆柱的表面积公式为2=22S r rl ππ+圆柱表， 所以222224r r r πππ+⨯=,解得2r =, 因为圆柱的体积公式为2=2V Sh r r π=⋅圆柱, 所以3=22=16V ππ⨯⨯圆柱,由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的23， 所以所求圆柱内切球的体积为2232=16=333V V ππ=⨯圆柱.故选:D 【点睛】本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.6．设12F F ，是双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220OP OF F P +⋅=u u u r u u u u r u u u u r （O 为坐标原点），且12PF =u u u v u u u v，则双曲线的离心率为（ ）A ．12B 1C ．12D 1【答案】D 【解析】 【分析】利用向量运算可得220OA F P ⋅=u u u v u u u u v，即2OA F P ⊥u u u r u u u u r ，由OA 为12PF F ∆的中位线，得到12PF PF ⊥，所以()222122PF PF c +=，再根据双曲线定义即可求得离心率.【详解】取2PF 的中点A ，则由()220OP OF F P +⋅=u u u r u u u u r u u u u r 得220OA F P ⋅=u u u v u u u u v，即2OA F P ⊥u u u r u u u u r ；在12PF F ∆中，OA 为12PF F ∆的中位线， 所以12PF PF ⊥， 所以()222122PF PF c +=；由双曲线定义知122PF PF a -=，且12PF =，所以)12c a =，解得1e =， 故选：D 【点睛】本题综合考查向量运算与双曲线的相关性质，难度一般. 7．已知集合{}1A x x =<，{}1xB x e =<，则（ ） A ．{}1A B x x ⋂=< B ．{}A B x x e ⋃=< C ．{}1A B x x ⋃=< D ．{}01A B x x ⋂=<<【答案】C 【解析】 【分析】求出集合B ，计算出A B I 和A B U ，即可得出结论. 【详解】{}1A x x =<Q ，{}{}10x B x e x x =<=<，{}0A B x x ∴⋂=<，{}1A B x x ⋃=<.故选：C. 【点睛】本题考查交集和并集的计算，考查计算能力，属于基础题.8．已知函数()sin3cos3f x x x =-，给出下列四个结论：①函数()f x 的值域是⎡⎣；②函数4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数；③函数()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减；④若对任意x ∈R ，都有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为3π；其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】化()f x )4x π-可判断①，求出4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的解析式可判断②，由,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得353[,]444x πππ-∈，结合正弦函数得图象即可判断③，由()()()12f x f x f x ≤≤得12min 2Tx x -=可判断④.【详解】由题意，())4f x x π=-，所以()f x ∈⎡⎣，故①正确；4f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭)]44x ππ+-=)2x π+=x 为偶函数，故②错误；当,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，353[,]444x πππ-∈，()f x 单调递减，故③正确；若对任意x ∈R ，都有 ()()()12f x f x f x ≤≤成立，则1x 为最小值点，2x 为最大值点，则12x x -的最小值为23T π=，故④正确. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的综合运用，涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容，是一道较为综合的问题.9．已知复数22z a i a i =--是正实数，则实数a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．1- D ．1±【答案】C 【解析】 【分析】将复数化成标准形式，由题意可得实部大于零，虚部等于零，即可得到答案. 【详解】因为2222(1)z a i a i a a i =--=-+-为正实数，所以20a ->且210a -=，解得1a =-. 故选：C 【点睛】本题考查复数的基本定义，属基础题.10．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】设球心为，三棱柱的上底面的内切圆的圆心为，该圆与边切于点，根据球的几何性质可得为直角三角形，然后根据题中数据求出圆半径，进而求得球的半径，最后可求出球的体积．【详解】如图，设三棱柱为，且，高．所以底面为斜边是的直角三角形，设该三角形的内切圆为圆，圆与边切于点，则圆的半径为．设球心为，则由球的几何知识得为直角三角形，且，所以，即球的半径为，所以球的体积为．故选A．本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个：（1）构造以球半径、球心到小圆圆心的距离和小圆半径为三边的直角三角形，并在此三角形内求出球的半径，这是解决与球有关的问题时常用的方法． （2）若直角三角形的两直角边为，斜边为，则该直角三角形内切圆的半径，合理利用中间结论可提高解题的效率．11．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案. 【详解】解：由题意，若A 、B 的体积不相等，则A 、B 在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，A 、B 在等高处的截面积不恒相等，但A 、B 的体积可能相等，例如A 是一个正放的正四面体，B 一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以p 是q 的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力.12．如图所示点F 是抛物线28y x =的焦点，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆224120x y x +--=的实线部分上运动， 且AB 总是平行于x 轴， 则FAB ∆的周长的取值范围是（ ）A ．(6,10)B ．(8,12)C ．[6,8]D ．[8,12]【解析】 【分析】根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，结合定义表示出AF ；根据抛物线与圆的位置关系和特点，求得B 点横坐标的取值范围，即可由FAB ∆的周长求得其范围. 【详解】抛物线28y x =，则焦点()2,0F ，准线方程为2x =-，根据抛物线定义可得2A AF x =+，圆()22216x y -+=，圆心为()2,0，半径为4，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆224120x y x +--=的实线部分上运动，解得交点横坐标为2. 点A 、B 分别在两个曲线上，AB 总是平行于x 轴，因而两点不能重合，不能在x 轴上，则由圆心和半径可知()2,6B x ∈，则FAB ∆的周长为246A B A B AF AB BF x x x x ++=++-+=+， 所以()68,12B x +∈， 故选：B. 【点睛】本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用，圆的几何性质应用，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。