金陵中学2013-2014学年度第一学期期中考试高三数学答案

江苏省金陵中学高三数学上学期期中【会员独享】 2010—2011学年度高三数学第一学期期中考试试题注意事项：考生答题前请认真阅读注意事项及各题答案要求。

1．本试卷包含填空题（第1题—第4题）、解答题（第15题—第20题）两部分。

本试卷满分160分，考试时间为120分钟。

2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题卡上。

3．作答时必须用斗5写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位 置作答一律无效。

4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，把答案直接填在答题卡相应位置上．1．设集合M={x|0≤x -≤1}，函数()1f x x =-的定义域为N ，则M∩N= 。

2．已知复数z 满足（1+2i ）z=4+3i ，则z= ．3．函数y=x 2—2x (x∈[0，3]的值域是4．已知5cos 3a =。

且a∈（一2π，0）， 则sin(a π-)= 。

5．在△ABC 中，3A=45°，B=75°，则BC 等于 。

6．已知直线12y x b =+是曲线y=lnx(x>0)的 一条切线，则实数b 的值是 。

7．一个算法的流程图如图所示？若输入的n 是100，则输出值S 是 。

8．已知集合A=(x ，y ）|x 一2y 一l=0},B={(x ，y)|ax-by+1=0}，其中a ，b ∈{1,2，3，4，5，6}，则A ∩B=φ的概率为 .9．函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中A>0,0ω>,||2πϕ<)的图象如图所示，则，f(0)= 。

10．已知3()f x x ax =-在区间[1，+∞）上是单调增函数，则实数a 的最大值是 。

11．不等式1||40x a x+-+>对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 。

2013高三上学期数学期中理科试题（有答案）2013-2014学年度第一学期金山中学高三期中考试试卷理科数学一、选择题（每题5分，共40分）1、命题“，≥恒成立”的否定是（）A．，C．，≥成立；D．，2、已知函数的零点为,则所在区间为（）A．B．C．D．3、已知函数为非零常数，则的图像满足（）A．关于点对称B．关于点对称C．关于原点对称D．关于直线轴对称4、函数，如果，则的值是（）A．正数B．负数C．零D．无法确定5、若、,则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不是充分也不是必要条件6、设是定义在上的周期为2的偶函数,当时,,则在区间内零点的个数为（）A．2013B．2014C．3020D．30197、设集合≥，≤≤，如果有，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．8、在R上定义运算：对、，有，如果，则的最小值是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，共30分）9、不等式的解集是.10、已知是R上的奇函数，当时，，则.11、已知函数且，如果对任意，都有成立,则的取值范围是____________.12、如果方程有解，则实数的取值范围是.13、已知函数，则函数过点的切线方程为.14、若对任意，，（、）有唯一确定的，与之对应，称，为关于、的二元函数.现定义满足下列性质的二元函数为关于实数、的广义“距离”；(1)非负性:时取等号；(2)对称性:；(3)三角形不等式:对任意的实数z均成立.今给出三个二元函数,请选出所有能够成为关于、的广义“距离”的序号: ①；②；③能够成为关于的、的广义“距离”的函数的序号是____________.三、解答题（15、16题每题12分，17至20题每题14分，共80分）15、已知函数(1)求的最大值和最小正周期；(2)设,,求的值.16、某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝）17、已知函数满足对，都有，且方程有重根.（1）求函数的解析式；（2）设，求数列的前项和.18、已知函数；（1）如果函数有两个极值点和，求实数、的值；（2）若函数有两个极值点和，且∈，∈，求的最小值.19、已知函数,函数的图象在点处的切线平行于轴.(1)确定与的关系；(2)当时，求函数的单调区间；（3）证明:对任意,都有成立.20、已知，函数，.（其中e是自然对数的底数）（1）当时，求函数的极值；（2）令，若函数在区间上是单调函数，求的取值范围.高三期中考理科数学参考答案：DCABBCAB9、10、111、≤12、或≤13、和14、①15、解:(1)且的最大值为最小正周期(2),又,∴16、解：设楼房每平方米的平均综合费为元，依题意有，故等号成立，当且仅当，即答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层.17、解：（1）由对，都有，∴函数图像的对称轴为，∴，∴，又方程有重根，即有重根，∴，∴故（2）由18、解：（1）由，故，函数有两个极值点-1和2，故∴，.经检验，，满足题意.（2）由函数有两个极值点和，且，故有，即画出上述不等式组的可行域如右图：又表示点到点距离的平方.而点到可行域的点的最小距离是点A到点的距离. 所以,的最小值是，此时，，；经检验，，满足题意.19、解:(1)依题意得,则由函数的图象在点处的切线平行于轴得:∴（2）由，令得或,故、随变化如下表：极大值极小值故函数在上单调递增,在单调递减，在上单调递增.(3)证法一:由(2)知当时,函数在单调递增,,即,令,则,即证法二:构造数列,使其前项和,则当时,,显然也满足该式,故只需证令,即证,记,则,在上单调递增,故,∴成立,即证法三:令,则令则,记∵∴函数在单调递增,又即,∴数列单调递增,又,∴20、解：（1）由，…………1分令，解得：…………2分故、随变化如下表：极小值又，故函数有极小值；…………6分（2）由，令，则，，故在区间上是减函数,从而对，≥.①当≥，即≤时，≥，∴在区间上增函数.故≤，即≤，因此，故在区间上是减函数,≤满足题意.②当时，由，，，且y=在区间的图像是一条连续不断的曲线故y=在区间有唯一零点，设为，，在区间上随变化如下表：极大值故有，而，且y=在区间的图像是一条连续不断的曲线，故y=在区间有唯一零点，设为，即y=在区间有唯一零点，，在区间上随变化如下表：极大值即函数在区间递减，在区间递增，矛盾，>不符题意，综上所述：的取值范围是.。

江苏省南京市金陵中学2014届高三第四次模拟考试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.函数)42cos(3π-=x y 的最小正周期为 . 【知识点】三角函数的周期性及其求法.【答案解析】π解析 ：解：函数)42cos(3π-=x y 的最小正周期为2==2T ππ.【思路点拨】根据sin x y A （）ωϕ=+的周期等于2=T πω，求得结果．2.已知复数z 满足(2)1z i i -=+（i 为虚数单位），则z 的模为 . 【知识点】复数相等的充要条件．【答案解析】解析 ：解：∵复数z 满足(2)1z i i -=+（i 为虚数单位），∴()()211223i i iz i i i -++=+=+=--，∴z ==．【思路点拨】先解出复数z 的式子，再利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，进行运算．【典型总结】本题考查复数的模的定义，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时除以分母的共轭复数．3.抛物线241xy =的准线方程是 ．【知识点】抛物线的简单性质．【答案解析】1y =-解析 ：解：由题得24x y =，所以：2 4.2p p ==所以12p =，故准线方程为：1y =-．故答案为1y =-.【思路点拨】先把其转化为标准形式，求出p 即可得到其准线方程．4．集合{3,2},{,},{2},aA B a b A B A B ====若则 ．【知识点】集合的交集与并集. 【答案解析】{}1,2,3解析 ：解：因为{}2AB =,所以22a=，1a =，则2b =.所以{}1,2,3A B =,故答案为{}1,2,3.【思路点拨】由已知可确定两个集合中必有2这个元素，所以由22a=可确定a ，然后就可以确定b 的值.5.根据如图所示的伪代码,当输入a 的值为3时,最后输出的S 的值 为 ▲ .【知识点】根据伪代码求输出结果.【答案解析】21解析 ：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加，当不满足条件i ≤3时推出循环．此时S=3+6+12=21，故输出的S 值为21．故答案为：21．【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加，当不满足条件i ≤3时推出循环，得到S 的值即可．6.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为 .【知识点】数据的方差;茎叶图.【答案解析】5解析 ：解：∵根据茎叶图可知这组数据的平均数是141718182021186+++++=，∴这组数据的方差是()()()()()()22222211418171818181818201821186⎡⎤-+-+-+-+-+-+⎣⎦ ()1161004956=+++++=，故答案为：5【思路点拨】根据茎叶图所给的数据，做出这组数据的平均数，把所给的数据和平均数代入求方差的个数，求出六个数据与平均数的差的平方的平均数就是这组数据的方差．7．某单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙两人中至少有1人被录用的概率是 . 【知识点】古典概型及其计算公式的应用.【答案解析】56解析 ：解：某单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，Read aS ←0I ←1While I ≤3S ←S ＋aa ←a ×2I ←I ＋1End WhilePrint S第5题∵这4名应聘者被录用的机会均等，∴A ，B 两人都不被录用的概率为222416C C =，∴A ，B 两人中至少有1人被录用的概率2224151166C P C =-=-=．故答案为：56．【思路点拨】先利用排列组织知识求出甲、乙两人都不被录用的概率，再用间接法求出甲、乙两人中至少有1人被录用的概率．8．已知点P (x ，y) 满足条件3),(02,,0+=⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥x z k k y x x y x 若为常数y 的最大值为8，则k = .【知识点】简单线性规划．【答案解析】-6解析 ：解：画出可行域将3z x y 变形为133z yx ，画出直线133zyx 平移至点A 时，纵截距最大，z 最大，联立方程20y xx y k 得33kxk y，代入− 3k +3×(−3k)＝8，∴6k．故答案为6.【思路点拨】画出可行域，将目标函数变形，画出相应的直线，将其平移，数学结合当直线移至点A 时，纵截距最大，z 最大．9.在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点.若·1AC BE =, 则AB 的长为 .【知识点】向量的运算法则;数量积运算法;一元二次方程的解法.【答案解析】12解析 ：解：∵1,,2ACAB AD BEBC CE ADAB∴221111222AC BEAB AD ADAB ADAD AB AB ，∴2ABAD AB ，AB＞0，解得AB ＝12．故答案为：12．【思路点拨】利用向量的运算法则和数量积运算法则即可得出．10.已知正四面体的棱长为2，则它的外接球的表面积的值为． 【知识点】球内接多面体．【答案解析】3解析 ：解：正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球， 正方体的对角线长就是球的直径，正方体的棱长为：1的正四面体的外接球半径为．所以外接球的表面积为23432，故答案为3.【思路点拨】正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，求出直径即可求出外接球半径,可求外接球的表面积． 11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()12,xf x -=-则不等式()12f x <-的解集是__________．【知识点】函数奇偶性的性质．【答案解析】(),1-∞-解析 ：解：当x ＞0时，11212xx与题意不符，当0x 时，012x x f x，，又∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴1221x x fx f x f xf x ，，，∴1121<222x x f x，＜， ∴1x ，∴不等式()12f x <-的解集是,1．故答案为,1．【思路点拨】f x是指定义在R 上的函数，而题目中只给出了0x 的表达式，故先求出当0x 时，f x 的解析式，后再可解此不等式．12．如图，在平面直角坐标系x O y 中，点A 为椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点，B 、C 在椭圆E 上，若四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB ＝30°，则椭圆E 的离心率等于．【知识点】椭圆的对称性以及简单性质.【答案解析】解析 ：解：∵AO 是与X 轴重合的，且四边形OABC为平行四边形,∴BC ∥OA ，B 、C 两点的纵坐标相等，B 、C 的横坐标互为相反数 ∴B 、C 两点是关于Y 轴对称的．由题知：OA=a 四边形OABC 为平行四边形，所以BC=OA=a可设B,2a y ,C ,2a y 代入椭圆方程解得：32y b,设D 为椭圆的右顶点，因为∠OAB＝30°，四边形OABC 为平行四边形所以∠COD=30°,对C 点：tan30°=3232b a解得：a=3b根据：a2=c2+b2得：a2=c2+29a ,e2=89,e=3.故答案为：3．【思路点拨】首先利用椭圆的对称性和OABC 为平行四边形，可以得出B 、C 两点是关于Y轴对称，进而得到BC=OA=a ；设B,2a y ,C ,2a y ，从而求出|y|，然后由∠OAB=∠（第12题）COD=30°，利用tan30°=3232a，求得a=3b ，最后根据a2=c2+b2得出离心率． 13．已知实数,xy满足x y-=，则x y +的最大值为 ．【知识点】基本不等式的应用. 【答案解析】4解析：解：∵x y，∴1322x y x yx y 则224x y x y解得：24x y∴x y 的最大值为4,故答案为：4【思路点拨】先对等式进行变形化简，然后利用2222x yx y x y 的范围，即可求出所求．14．数列{}n a 满足()112,2n n n a a pa n +==+∈*N ,其中p 为常数．若实数p 使得数列{}n a 为等差数列或等比数列，数列{}n a 的前n 项和为n s ，则满足的值为的最小正整数n s n 2014> ．【知识点】数列的判定；等比数列的前n 项和. 【答案解析】10解析 ：解：21232a 2a 22a a 4224p p p p ，，①若数列{}n a 为等差数列，则得210p p 由△=12-4=-3＜0知方程无实根，故不存在实数p ，（3分）②若数列{}n a 为等比数列得22222224p p p （）（），解得p =1则nn1n a a 2,由累加法得：2n1nn 1a a 22222解得n na 2n2（）,显然，当n=1时也适合，故nna 2nN *（）． 故存在实数p =1，使得数列{}n a 为等比数列，其通项公式为nna 2,故121222201412n n nS ，解得9n ，则满足的值为的最小正整数n s n 2014>10，故答案为10.【思路点拨】21232a 2a 22a a 4224p p p p ，，进行分类考虑：①若数列{}n a 为等差数列，则得210p p 由△=12-4=-3＜0知方程无实根，故不存在实数p ，（3分）②若数列{}n a 为等比数列得22222224p p p （）（），解得p =1则其通项公式为nna 2,再由故2014nS ，解得9n ，可得结论.二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．(本题满分14分)如图所示,已知α的终边所在直线上的一点P 的坐标为(3,4)-,β的终边在第一象限且与单位圆的交点Q的纵坐标为10. ⑴求tan(2)αβ-的值；⑵若2παπ<<,20πβ<<,求αβ+.【知识点】任意角的三角函数的定义；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【答案解析】⑴16173 ⑵34解析 ：解：⑴由三角函数的定义知43tan α=-∴242()24341()73tan 2α⨯--==.又由三角函数线知10sin β=,为第一象限角，1tan7，24116177tan 224173177.(2) cos ＝35，∵20＜＜，＜＜2，APBCFE D∴2＜＜32．∵sin sin coscos sin ＝＝4723225105102．又∵2＜＜32，∴＝34．【思路点拨】（Ⅰ）直接根据三角函数的定义，求出sin ，然后再求tan；（Ⅱ）由cos ，求出的正弦值，根据20＜＜，＜＜2，求出．16. （本题满分14分）如图， ABCD 为矩形，CF⊥平面ABCD ，DE⊥平面ABCD ， AB=4a ，BC= CF=2a ， P 为AB 的中点. （1）求证：平面PCF⊥平面PDE ； （2）求四面体PCEF 的体积.【知识点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积.【答案解析】（1）见解析（2）83a3解析 ：解：（1）因为ABCD 为矩形，AB=2BC, P 为AB 的中点，所以三角形PBC 为等腰直角三角形，∠BPC=45°. …………………………2分 同理可证∠AP D=45°.所以∠DPC=90°，即PC⊥PD . …………………………3分 又DE⊥平面ABCD ，PC 在平面ABCD 内，所以PC⊥DE . ………………………4分 因为DE∩PD=D ，所以PC ⊥PDE . …………………………5分 又因为PC 在平面PCF 内，所以平面PCF⊥平面PDE. …………………………7分 （2）因为CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， 所以DE ∥CF ．又DC ⊥CF ，所以S△CEF＝12DC•CF＝12×4a×2a＝4a2．在平面ABCD 内，过P 作PQ ⊥CD 于Q ，则 PQ ∥BC ，PQ=BC=2a ． 因为BC ⊥CD ，BC ⊥CF ，所以BC ⊥平面CEF ，即PQ ⊥平面CEF ， 亦即P 到平面CEF 的距离为PQ=2aVPCEF ＝VP −CEF ＝13PQ•S△CEF＝13•4a2•2a＝83a3．（注：本题亦可利用VP −CEF ＝VB −CEF ＝VE −BCF ＝VD −BCF ＝16DC•BC•CF＝83a3求得）【思路点拨】（1）证明平面PCF 内的直线PC ，垂直平面PDE 内的两条相交直线DE ，PD ，就证明了平面PCF ⊥平面PDE ；（2）说明P 到平面PCEF 的距离为PQ=2a ，求出S△CEF＝12DC•CF的面积，然后求四面体PCEF 的体积．17．(本题满分14分)已知直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点,且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知圆22:1O x y +=,直线:1l mx ny +=.试证明当点(,)P m n 在椭圆C 上运动时,直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；恒过定点的直线；椭圆的标准方程．【答案解析】（1）2212516x y +=（2）,25L ∈解析 ：解：解: （1）由(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈,得(23)(4312)0x y k x y --++-=,则由23043120x y x y --=⎧⎨+-=⎩, 解得F （3,0） (2)分设椭圆C 的方程为22221(0)x ya b a b +=>>, 则22238c a c a b c =⎧⎪+=⎨⎪=+⎩,解得543a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 所以椭圆C 的方程为2212516x y +=.…………… 6分（2）因为点(,)P m n 在椭圆C 上运动,所以222212516m n m n =+<+,…………… 8分从而圆心O 到直线:1l mx ny +=的距离1d r=<=.所以直线l 与圆O 恒相交, …………… 10分AB又直线l 被圆O 截得的弦长为L ===分由于2025m ≤≤,所以2916162525m ≤+≤,则25L ∈,即直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围是[25L ∈…………… 14分【思路点拨】（1）可将直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈改写为(23)(4312)0x y k x y --++-=由于k ∈R 故23043120x y x y --=⎧⎨+-=⎩即F （3，0）然后再根据题中条件即可求出椭圆C 的标准方程．（2）要证明当点(,)P m n 在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交只需证明圆心O 到直线:1l mx ny +=的距离1d r=<=.而要求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围,可利用圆中的弦长公式求出弦长的表达式,再结合参数的取值范围即可得解． 18．（本题满分16分）如图，直角三角形ABC 中，∠B ＝90，AB ＝1，BC M,N 分别在边AB 和AC 上(M 点和B 点不重合)，将△AMN 沿MN 翻折，△AMN 变为△A 'MN ，使顶点A '落 在边BC 上(A '点和B 点不重合).设∠AMN ＝θ． (1) 用θ表示线段AM 的长度，并写出θ的取值范围； (2) 求线段A N '长度的最小值．【知识点】解三角形的实际应用．【答案解析】(1)212sin MA, 4590<θ< (2) 23解析 ：解：解：（1）设MA MA x '==，则1MB x =-．…………2分在Rt △MB A '中，1cos(1802)xx --θ=，…………4分∴2111cos22sin MA x ===-θθ．…………5分∵点M 在线段AB 上，M 点和B 点不重合，A '点和B 点不重合，∴4590<θ<…7分(2) 在△AMN 中，由∠AMN=θ，可得∠ANM= 23,∴根据正弦定理得：2sinsin3AN MA，∴122sin sin3AN令2132sin sin2sinsin cos 322t1sin 2302，459060230150＜＜，＜＜，当且仅当2309060，时，t 有最大值32,则θ=60°时，AN 有最小值为23，即线段A N '长度的最小值为23．【思路点拨】（1）设MA MA x '==，则1MB x =-，在Rt △MBA'中，利用三角函数可求；（2）求线段A'N 长度的最小值，即求线段AN 长度的最小值，再利用三角恒等变换化简，从而求最值．19．设函数22()f x a x =（0a >），()ln g x b x =．(1) 若函数()y fx =图象上的点到直线30x y --=距离的最小值为，求a 的值；(2) 关于x 的不等式2(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围； (3) 对于函数()f x 与()g x 定义域上的任意实数x ，若存在常数,k m ，使得()f x kx m ≥+和()g x kx m ≤+都成立，则称直线y kx m =+为函数()f x 与()g x 的“分界线”．设2a =，b e =，试探究()f x 与()g x 是否存在 “分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断．【答案解析】（1）a =（2）4332a ＜（3）yex2e解析 ：解：（1）因为22()f x a x =，所以2'()2f x a x =，令2'()21f x a x == 得：212x a =，此时214y a =，…………2分则点2211(,)24a a 到直线30x y --=的距离为，即=a =．…………4分 (2)解法一 不等式（x-1）2＞f （x ）的解集中的整数恰有3个，等价于（1-a2）x2-2x+1＞0恰有三个整数解，故1-a2＜0，令h （x ）=（1-a2）x2-2x+1，由h （0）=1＞0且h （1）=-a2＜0（a ＞0）， 所以函数h （x ）=（1-a2）x2-2x+1的一个零点在区间（0，1）， 则另一个零点一定在区间（-3，-2），这是因为此时不等式解集中有-2，-2，0恰好三个整数解，故h （-2）＞0，h （-3）≤0，解之得4332a ＜．解法二不等式（x-1）2＞f （x ）的解集中的整数恰有3个，等价于（1-a2） x2-2x+1＞0 恰有三个整数解，故 1-a2＜0，即 a ＞1， ∴（1-a2） x2-2x+1=[（（1-a ）x-1][（1+a ）x-1]＞0，所以 1111x aa ＜＜，又因为 0＜11a ＜1， 所以 −3≤11a ＜−2，解之得4332a ＜．（3）设21()()()ln 2F x f x g x x e x=-=-，则2'(()e x e x x F x x x x x -+=-==．所以当0x <<时，'()0F x >；当x >'()0F x <．因此x =()F x 取得最小值0，则()f x 与()g x的图象在x =)2e． …………12分 设()f x 与()g x 存在 “分界线”，方程为(2ey k x -=，由ef x kx k e2（），对x∈R恒成立，则2x2kx e2k e0在x∈R恒成立．所以24(k e)0成立，因此10分）下面证明2g x ex e x0（）（＞）恒成立．设G x elnx ex2e（），则e(e x)G xx（）．所以当时，G′（x）＞0；当 x时，G′（x）＜0．因此时，G（x）取得最大值0，则2g x ex e x0（）（＞）成立．故所求“分界线”方程为：y ex2e．【思路点拨】（1）利用点到直线的距离公式解决即可（2）关于由不等式解集整数的个数，然后求未知量取值范围的题目，可利用恒等变换，把它转化为求函数零点的问题，即可求解；（3）设F(x)＝f(x)−g(x)＝12x2−elnx ，利用导数知识判断单调性，求出x e时，F（x）取得最小值0．设f（x）与g （x）存在“分界线”，方程为ekx k e2y，由ef(x)kx k e2，对x∈R恒成立，求得k=．再利用导数证明2g x ex e x0（）（＞）成立，从而得到所求“分界线”方程．20．（本小题满分16分）设等比数列{}na的首项为12a=，公比为q（q为正整数），且满足33a是18a与5a的等差中项；数列{}nb满足232()02n nn t b n b-++=（*,t R n N∈∈）. （1）求数列{}na的通项公式；（2）试确定t的值，使得数列{}nb为等差数列；（3）当{}n b 为等差数列时，对每个正整数k ，在k a 与1k a +之间插入k b 个2，得到一个新数列{}n c . 设n T 是数列{}n c 的前n 项和，试求满足12m m T c +=的所有正整数m .【知识点】等比数列的通项公式；数列的应用． 【答案解析】（1）nn a 2=（2）3=t (3) 满足题意的正整数仅有2=m . 解析 ：解：（1）nn a 2=………………………………………………………4分（2）023)(22=++-n n b n b t n得2322--=n tnn b n ，所以,212,416,42321t b t b t b -=-=-= 则由2312b b b =+，得3=t ……………………………………………………7分当3=t 时，n b n 2=，由21=--n n b b ，所以数列{}n b 为等差数列………9分（3）因为2321===c c c ，可得1=m 不合题意，2=m 合题意…………11分当3≥m 时，若后添入的数12+=m c ，则一定不符合题意，从而1+m c 必是数列{}n a 中的一项1+k a ，则（2+22+…………+2k ）+(++21b b …………n b )=122+⨯k即02221=+--+k k k ………………………………………………………………13分记22)(21+--=+k k k f k 则k k f k 212)2(ln 2)('--=，1+2+22+…………+21-k =)3(1212≥--k k ，所以当3≥k 时，k 2=1+2+22+…………+21-k +1>1+2k ,又,14ln 2ln 2>=.3)(,0)('）递增，在（故∞+>k f k f则由都不合题意无解，即在知3),3[0)(06)3([≥+∞=>=m k f f …………15分 综上可知，满足题意的正整数仅有2=m .…………………………………………16分 【思路点拨】（1）由33a 是18a 与5a 的等差中项得到6a3=8a1+a5，根据首项2和公比q ，利用等比数列的通项公式化简这个式子即可求出q 的值，利用首项和公比即可得到通项公式；（2）由23)(22=++-nnbnbtn解出bn，列举出b1，b2和b3，要使数列{bn}为等差数列，根据等差数列的性质可知b1+b3=2b2，把b1，b2和b3的值代入即可求出t的值；（3）显然2321===ccc，可得1=m不合题意，2=m合题意，然后说明即可.。

2013届南师附中、金陵中学 高三数学调研试卷 2013年3月一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70 分。

1．若集合2{|90}A x x x =-<，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈=*Z y Z y y B 4|且，则集合A B 的元素个数为 2．已知a b ∈R 、，i 是虚数单位，若(2)a i i b i +=+，则a +b 的值是 3．式子22log sinlog cos1212ππ+的值为4．正方体的内切球与其外接球的体积之比为____________.5．在等比数列{n a }中，若271086=a a a ，则=8a _____. 6.如果实数x ,y 满足x 2+y 2=1,则（1+xy ）(1－xy )的最小值为7．已知8)(35-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ，那么=)2(f ____________8．泰州实验中学有学生3000人，其中高三学生600人．为了解学生的身体素质情况， 采用按年级分层抽样的方法，从学生中抽取一个300人的样本． 则样本中高三学生的人数为 ．9．函数x x x f ln )(-=的单调减区间为____________________．10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是 ． 11．在平面直角坐标系中，点A B C ，，的坐标分别为(01)(42)(26)，，，，，． 如果()P x y ，是ABC △围成的区域（含边界）上的点，那么当w xy =取到最大值时， 点P 的坐标是 ．12．如图所示，在△OAB 中，OA ＞OB ，OC ＝OB ，设OA →＝a ，OB →＝b ，若AC →＝λ·AB →，则实数λ的值为 （用向量a ，b 表示 ）注意事项:考生答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1、 本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部份。

一．基础题组1. 【金陵中学2013－2014学年度第一学期高三期中试卷数学】在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 1+ a 2+ a 3 =2, a 3+ a 4+ a 5 =8,则a 4+ a 5+ a 6 = .2. 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】若n S 是等差数列}{n a 的前n 项和,且8320S S -=，则11S 的值为 ．3. 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】等差数列{}n a 中，公差0d ≠，且2371220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =则68b b ＝ ．考点：1.等差数列的性质;2.等比中项4. 【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三学】设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ．则“||q =是“627S S =” 的条件．5.【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三】数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且862a a a =+，则=55a S ．6. 【江苏省扬州中学2013—2014期中考试模拟】等差数列{}n a 中，若124a a +=,91036a a +=，则10S = .考点：等差数列.7. 【江苏省徐州市2013-2014第一学期高三期中试题】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知32=a ，116=a ，则=7S ．8. 【盐城市2014届高三年级第一学期期中考试】在等比数列{}n a 中，22a =，516a =，则10a = .二．能力题组1. 【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试高三数学试卷】 各项均为正数的等比数列{}n a 中，811=a 12...8(2,)m m a a a m m N +⋅⋅⋅=>∈，若从中抽掉一项后，余下的m-1项之积为1m -，则被抽掉的是第 _ 项.2. 【江苏省徐州市2013-2014第一学期高三期中试题】设等比数列{}n a 满足公比*N q ∈，*N a n ∈，且{n a }中的任意两项之积也是该数列中的一项，若8112=a ，则q 的所有可能取值的集合为 ．3. 【盐城市2014届高三年级第一学期期中考试】在数列{}n a 中，11a =，2(1)2n n n a a ++-=，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则60S = .4.【盐城市2014届高三年级第一学期期中考试】在数列{}n a 中，10a =，111111n n a a +-=--，设n b =，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则99S = .5.【江苏启东中学2014届上学期期中模拟高三数学】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，常数0λ>，且11n n a a S S λ=+对一切正整数n 都成立。

2013高三上学期数学期中文科试题（附答案）汕头市金山中学2013-2014学年度第一学期期中考试高三文科数学试题卷本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知，则（）A．B．C．D．2.设,那么“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3.设数列的前n项和，则的值为()A．15B．16C．49D．644.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A．若,,,则B．若,,,则C．若,,,则D．若,,,则5.下列命题中正确的是（）A.的最小值是2B.的最小值是2C.的最大值是D.的最小值是6.经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是（）A．B．C．D．7.已知,则的大小为()A.B.C.D.8.设函，则满足的的取值范围是()A．，2]B．0，2]C．D．9.奇函数在上为减函数，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．（3，）10.设函数(,为自然对数的底数).若存在使成立,则的取值范围是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)11．函数的定义域为___________12．若命题“”是真命题，则实数的取值范围为.13．经过原点且与函数（为自然对数的底数）的图象相切的直线方程为14.定义“正对数”:,现有四个命题:①若,则;②若,则③若,则④若,则其中的真命题有____________(写出所有真命题的序号)三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．（本小题满分12分）已知集合，.（Ⅰ）求集合和集合；（Ⅱ）若，求的取值范围。

16．（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，.已知.（Ⅰ）证明：（Ⅱ）若为的中点，求三菱锥的体积.17.（本小题满分14分）已知函数在、处分别取得极大值和极小值，记点.⑴求的值；⑵证明：线段与曲线存在异于、的公共点；18．（本小题满分14分）已知直线l：(mR)和椭圆C：,椭圆C的离心率为，连接椭圆的四个顶点形成四边形的面积为2.⑴求椭圆C的方程；⑵直线l/与椭圆C有两个不同的交点，求实数的取值范围；⑶当时，设直线l与y轴的交点为P，M为椭圆C上的动点，求线段PM 长度的最大值。

2013届南师附中、金陵中学高三数学调研试卷2013年3月注意事项 :考生答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求1、本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题～第 14 题）、解答题（第15 题～第 20 题）两部份。

本试卷满分 160 分，考试时间为120 分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并回收。

2、答题前，请务势必自已的姓名、考试证号用书写黑色字的0。

5 毫米署名笔填写在试卷及答题卡上。

3、作答时一定用书写黑色笔迹的0。

5 毫米署名笔写在答题卡上的指定地点，在其余地点作答一律无效。

4、若有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描绘清楚。

一、填空题：本大题共14 题，每题 5 分，共70分。

1．若会合A{ x | x29x0}，B y | y Z且4Z，则会合A B 的元素个数为y2．已知a、 b R ，i是虚数单位，若(a2i )i b i ，则a+b的值是3．式子log 2 sin log 2 cos的值为12124．正方体的内切球与其外接球的体积之比为____________.5．在等比数列{ a n } 中，若a6 a8 a1027，则a8_____.2 26.假如实数 x, y 知足 x +y =1,则（1+xy ）(1－xy)的最小值为7．已知 f ( x)x5ax 3bx8 且 f ( 2)10，那么 f (2)____________8．泰州实验中学有学生 3000 人，此中高三学生采纳按年级分层抽样的方法，从学生中抽取一个600 人．为认识学生的身体素质状况，300 人的样本．则样本中高三学生的人数为．9．函数 f ( x) x ln x 的单一减区间为____________________ ．10．已知整体的各个体的值由小到大挨次为2，3，3， 7， a，b， 12， 13.7， 18.3，20，且总体的中位数为 10.5．若要使该整体的方差最小，则a、b 的取值分别是．11．在平面直角坐标系中，点A，B，C 的坐标分别为(01)，，(4，2)，(2，6) ．假如 P( x， y) 是△ ABC 围成的地区（含界限）上的点，那么当w xy 取到最大值时，点 P 的坐标是．12．以下图，在△→→→→OAB 中， OA＞ OB， OC＝ OB，设 OA＝ a，OB＝ b，若 AC＝λ·AB，则实数λ的值为（用向量 a， b 表示）x m 10 建立的一个充足非必需条件是1 x1 13． 若不等式2m3，则实数 m 的取值范x 2围是。

南京市金陵中学2014届高三第四次模拟数学试题2014.5.28一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1.函数)42cos(3π-=x y 的最小正周期为 . 2==2T ππ 2.已知复数z 满足(2)1z i i -=+（i 为虚数单位），则z 的模为 .3.抛物线241x y =的准线方程是 ▲ ．y =-1 4．集合{3,2},{,},{2},a A B a b AB A B ====若则 ▲ ．{1，2，3}5.根据如图所示的伪代码,当输入a 的值为3时,最后输出的S 的值 为 ▲ .216.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为 . 57．某单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙两人中至少有1人被录用的概率是 . 568．已知点P (x ，y ) 满足条件3),(02,,0+=⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥x z k k y x x y x 若为常数y 的最大值为8，则k = .-69.在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AC BE =, 则AB 的长为 .1210.已知正四面体的棱长为2，则它的外接球的表面积的值为 ▲ ．3π11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()12,xf x -=-则不等式()12f x <-的解集是__________．(),1-∞-12．如图，在平面直角坐标系x O y 中，点A 为椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点，B 、C 在椭圆E 上，若四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB ＝30°，则椭圆E 的离心率等于 ▲．第5题（第12题）ABCFED13．已知实数,x y满足x y =，则x y +的最大值为 ▲ ．4 14．数列{}n a 满足()112,2n n n a a pa n +==+∈*N ,其中p 为常数．若实数p 使得数列{}n a 为等差数列或等比数列，数列{}n a 的前n 项和为n s ，则满足的值为的最小正整数n s n 2014> ▲ ．10二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本题满分14分)如图所示,已知α的终边所在直线上的一点P 的坐标为(3,4)-,β的终边在第一象限且与单位圆的交点Q 的纵坐标为10.⑴求tan(2)αβ-的值； ⑵若2παπ<<,20πβ<<,求αβ+.解：⑴由三角函数的定义知43tan α=- ∴42()24341(73tan 2α⨯--==.又由三角函数线知10sin β=,16. （本题满分14分）如图， ABCD 为矩形，CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， AB =4a ，BC = CF =2a ， P 为AB 的中点. （1）求证：平面PCF ⊥平面PDE ； （2）求四面体PCEF 的体积.【证明】（1）因为ABCD 为矩形，AB =2BC , P 为AB 的中点，所以三角形PBC 为等腰直角三角形，∠BPC =45°. …………………………2分同理可证∠APD =45°.所以∠DPC =90°，即PC ⊥PD . …………………………3分 又DE ⊥平面ABC D ，PC 在平面ABCD 内，所以PC ⊥DE. ………………………4分 因为DE ∩PD =D ，所以PC ⊥PDE . …………………………5分 又因为PC 在平面PCF 内，所以平面PCF ⊥平面PDE . …………………………7分17．(本题满分14分)已知直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点,且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知圆22:1O x y +=,直线:1l mx ny +=.试证明当点(,)P m n 在椭圆C 上运动时,直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围. 解: （1）由(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈,得(23)(4312)0x y k x y --++-=,则由23043120x y x y --=⎧⎨+-=⎩, 解得F （3,0） (2)分设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>, 则22238c a c a b c =⎧⎪+=⎨⎪=+⎩,解得543a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为2212516x y +=.…………… 6分 （2）因为点(,)P m n 在椭圆C 上运动,所以222212516m n m n =+<+,…………… 8分 从而圆心O 到直线:1l mx ny +=的距离221d r m n=<=+. 所以直线l 与圆O 恒相交, …………… 10分又直线l 被圆O 截得的弦长为22221221L r d m n =-=-+212191625m =-+………M B 12分由于2025m ≤≤,所以2916162525m ≤+≤,则L ∈, 即直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围是[25L ∈…………… 14分18．（本题满分16分）如图，直角三角形ABC 中，∠B ＝90，AB ＝1，BC M ,N 分别在边AB 和AC 上(M 点和B 点不重合)，将△AMN 沿MN 翻折，△AMN 变为△A 'MN ，使顶点A '落在边BC 上(A '点和B 点不重合).设∠AMN ＝θ．(1) 用θ表示线段AM 的长度，并写出θ的取值范围；(2) 求线段A N '长度的最小值．解：（1）设MA MA x '==，则1MB x =-．…………2分 在Rt △MB A '中，1cos(1802)xx--θ=，…………4分∴2111cos22sin MA x ===-θθ．…………5分 ∵点M 在线段AB 上，M 点和B 点不重合，A'点和B 点不重合，∴4590<θ<． …7分19．设函数22()f x a x =（0a >），()ln g x b x =．(1) 若函数()y f x =图象上的点到直线30x y --=距离的最小值为a 的值； (2) 关于x 的不等式2(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围； (3) 对于函数()f x 与()g x 定义域上的任意实数x ，若存在常数,k m ，使得()f x kx m ≥+和()g x kx m ≤+都成立，则称直线y kx m =+为函数()f x 与()g x 的“分界线”．设2a =，b e =，试探究()f x 与()g x 是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．解：（1）因为22()f x a x =，所以2'()2f x a x =，令2'()21f x a x ==得：212x a =，此时214y a =， …………2分则点2211(,)24a a到直线30x y --=的距离为即=，解之得a =． …………4分（3）设21()()()ln 2F x f x g x x e x =-=-，则2'(()e x e x x F x x x x x-=-==．所以当0x <<'()0F x >；当x >'()0F x <．因此x =()F x 取得最小值0，则()f x 与()g x的图象在x =)2e． …………12分设()f x 与()g x 存在“分界线”，方程为(2ey k x -=，20．（本小题满分16分）设等比数列{}n a 的首项为12a =，公比为q （q 为正整数），且满足33a 是18a 与5a 的等差中项；数列{}n b 满足232()02n n n t b n b -++=（*,t R n N ∈∈）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）试确定t 的值，使得数列{}n b 为等差数列；（3）当{}n b 为等差数列时，对每个正整数k ，在k a 与1k a +之间插入k b 个2，得到一个新数列{}n c . 设n T 是数列{}n c 的前n 项和，试求满足12m m T c +=的所有正整数m . 20解：（1）n n a 2=………………………………………………………4分（2）023)(22=++-n n b n b t n 得2322--=n tnn b n ，所以,212,416,42321t b t b t b -=-=-=则由2312b b b =+，得3=t ……………………………………………………7分当3=t 时，n b n 2=，由21=--n n b b ，所以数列{}n b 为等差数列………9分 （3）因为2321===c c c ，可得1=m 不合题意，2=m 合题意…………11分 当3≥m 时，若后添入的数12+=m c ，则一定不符合题意，从而1+m c 必是数列{}n a 中的一项1+k a ，则（2+22+…………+2k ）+(++21b b …………n b )=122+⨯k即02221=+--+k k k ………………………………………………………………13分记22)(21+--=+k k k f k则k k f k212)2(ln 2)('--=，1+2+22+…………+21-k =)3(1212≥--k k ， 所以当3≥k 时，k 2=1+2+22+…………+21-k +1>1+2k ,又,14ln 2ln 2>=.3)(,0)('）递增，在（故∞+>k f k f则由都不合题意无解，即在知3),3[0)(06)3([≥+∞=>=m k f f …………15分 综上可知，满足题意的正整数仅有2=m .…………………………………………16分。

江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2014届高三联合考试数学Ⅱ参考答案及评分建议说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对于解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，该逻辑链的后续部分就不再给分，但与该步所属的逻辑段并列的逻辑段则仍按相应逻辑段的评分细则给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的．．．．．．．．．．．．答题区域内作．．．．．．答．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，已知△ABC的内角A的平分线交BC于点D，交其外接圆于点E．求证：AB⋅AC=AD⋅AE．证明：连结EC，易得∠B=∠E，……2分由题意，∠BAD=∠CAE，所以△ABD∽△AEC，……6分从而AB ADAE AC=，所以AB⋅AC=AD⋅AE．……10分B．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知点P(a，b)，先对它作矩阵M1212⎡⎢=⎥⎥⎥⎦对应的变换，再作N2002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换，得到的点的坐标为 (8，)，求实数a，b的值．AB CDE(第21—A题)解：依题意，NM 2002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1212⎡⎢⎥⎥⎥⎦11⎡=⎥⎦， …… 4分 由逆矩阵公式得， (NM )1-114⎡⎢=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， …… 8分所以185414⎡⎢⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎣⎣⎢⎥⎣⎦，即有5a =，b =． …… 10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分） 在极坐标系中，设直线l 过点)Aπ6，，()3 B 0，，且直线l 与曲线C ：cos (0)a a ρθ=> 有且只有一个公共点，求实数a 的值． 解：依题意，)Aπ，，()3 B 0，的直角坐标为(32A ，，()3 B 0，， 从而直线l的普通方程为30x -=， …… 4分 曲线C ：cos (0)a a ρθ=>的普通方程为()22224aa x y -+=(0)a >， …… 8分因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，所以3222a a -=(0)a >，解得2a =(负值已舍)． …… 10分D ．选修4—4：不等式证明选讲 （本小题满分10分）已知a ，b ＞0，且a +b =1证明：因为2≤(2a +1+2b +1)(12+12)=8， …… 8分…… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）设ξ为随机变量，从侧面均是等边三角形的正四棱锥的8条棱中任选两条，ξ为这两条 棱所成的角．（1）求概率()P ξπ=2；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)．解：（1）从正四棱锥的8条棱中任选两条，共有28C 种不同方法，其中“ξπ=2”包含了两类情形：①从底面正方形的4条棱中任选两条相邻的棱，共有4种不同方法; ②从4条侧棱中选两条，共有2种不同方法，所以()2842314C P ξπ+===2； …… 4分（2）依题意，ξ的所有可能取值为0，π3，π2，“ξ=0”包含了从底面正方形的4条棱中任选两条对棱，共2种不同方法； 所以()282114C P ξ=0==； …… 6分从而()()()51P P P ξξξππ==-=0-==， …… 8分所以ξ的分布列为：数学期望E (ξ)153290π1471484ππ=⨯+⨯+⨯=32． …… 10分23．（本小题满分10分）设整数n ≥3，集合P ={1，2，3，…，n }，A ，B 是P 的两个非空子集．记a n 为所有满 足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(A ，B )的个数． （1）求a 3； （2）求a n ．解：（1）当n =3时，P ={1，2，3 }，其非空子集为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}， 则所有满足题意的集合对(A ，B )为：({1}，{2})，({1}，{3})，({2}，{3})， ({1}，{2，3}），（{1，2}，{3})共5对，所以a 35=； …… 3分 （2）设A 中的最大数为k ，其中11k n -≤≤,整数n ≥3，则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k 1-可在A 中，故A 的个数为：0111111C C C 2k k k k k -----++⋅⋅⋅+=， …… 5分 B 中必不含元素1，2，…，k ，另元素k +1，k +2，…，k 可在B 中，但不能都不在B 中，故B 的个数为：12C C C 21n k n k n k n k n k -----++⋅⋅⋅+=-， …… 7分 从而集合对(A ，B )的个数为()1221k n k --⋅-=1122n k ---， 所以a n ()11111111222(1)2(2)2112n n n k n n k n n ------=-=-=-⋅-=-⋅+-∑． …… 10分。

（第3题）江苏省金陵中学2014届高三第一次仿真测试数学Ⅰ 2014.5参考公式：（1）样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑.（2）函数()()sin f x x ωϕ=+的导函数()()cos f x x ωωϕ'=⋅+，其中ωϕ，都是常数.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线221y x -=的离心率为 ▲ . 2． 若复数z 满足()12i 34i z +=-+（i 是虚数单位），则z = ▲ .3． 在右图的算法中，最后输出的a ，b 的值依次是 ▲ .4． 一组数据9.8， 9.9， 10，a ， 10.2的平均数为10，则该组数据的方差为 ▲ .5． 设全集U =Z ，集合{}220A x x x x =--∈Z ≥，，则U A =ð ▲ .（用列举法表示）6． 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a = (1，2)，12-a b =(3，1)，则⋅=a b ▲ .7． 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为 ▲ .8. 设P是函数)1y x +图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是 ▲ .9． 如图，矩形ABCD 的三个顶点A 、B 、C分别在函数y x =，12y x =，xy =的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴. 若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为 ▲.DD 1C1 B 1A 1（第9题）(第13题) 10．观察下列等式： 311=，33129+=，33312336++=，33331234100+++=， ……猜想：3333123n +++⋅⋅⋅+= ▲ （n ∈*N ）.11．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、11D C 上的动点，点G 为正方形11B BCC 的中心. 则空间四边形AEFG 在该正方体各个面上的正投影构成的图形中，面积的最大值为 ▲ .12．若12sin a x x a x ≤≤对任意的π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都成立，则21a a -的最小值为 ▲ .13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆22221y x a b +=(0a b >>)的左、右焦点，B ，C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D .若127cos F BF ∠=，则直线CD 的斜率为 ▲ .14．各项均为正偶数的数列a 1，a 2，a 3，a 4中，前三项依次成公差为d （d > 0）的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列. 若4188a a -=，则q 的所有可能的值构成的集合为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c .（1）若2sin cos sin A C B =，求a c 的值；（2）若sin(2)3sin A B B +=，求tan tan A C 的值.16．(本小题满分14分)如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11A B A D =，AB AD =.求证：（1）1AA BD ⊥；（2）11//BB DD .（第18题）17．(本小题满分14分)将52名志愿者分成A ，B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗，B 组种植200捆沙棘树苗．假定A ，B 两组同时开始种植.（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25小时，种植一捆沙棘树苗用时12小时.应如何分配A ，B 两组的人数，使植树活动持续时间最短？ （2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25小时，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23小时，于是从A 组抽调6名志愿者加入B组继续种植，求植树活动所持续的时间.18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22(1)1x y ++=，圆2C ：22(3)(4)1x y -+-=． （1）若过点1(1 0)C -，的直线l 被圆2C 截得的弦长为 6，求直线l 的方程；（2）设动圆C 同时平分圆1C 的周长、圆2C 的周长．①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；②动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．19．(本小题满分16分)已知函数()sin f x x x =+．（1）设P ，Q 是函数()f x 图象上相异的两点，证明：直线PQ 的斜率大于0；（2）求实数a 的取值范围，使不等式()cos f x ax x ≥在π02⎡⎤⎣⎦，上恒成立．20. (本小题满分16分)设数列{n a }的各项均为正数.若对任意的n ∈*N ，存在k ∈*N ，使得22n k n n k a a a ++=⋅成立，则称数列{n a }为“J k 型”数列.（1）若数列{n a }是“J 2型”数列，且28a =，81a =，求2n a ；（2）若数列{n a }既是“J 3型”数列，又是“J 4型”数列，证明：数列{n a }是等比数列.数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲 （本小题满分10分）如图，AB 是半圆O 的直径，延长AB 到C ，使BC =，CD 切半圆O 于点D ， DE ⊥AB ，垂足为E ．若AE ∶EB =3∶1，求DE 的长．B ．选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =在矩阵0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦(41)P , ，求实数k 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆sin a ρθ=（0a >）与直线()cos 1ρθπ+=4相切，求实数a 的值．D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）已知正数a ，b ，c 满足1abc =，求证：(2)(2)(2)27a b c +++≥．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）已知数列{n a }满足：112a =，*12 ()1nn n a a n a +=∈+N ．（1）求2a ，3a 的值；（2）证明：不等式10n n a a +<<对于任意*n ∈N 都成立．23．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的顶点在原点，焦点为F （1，0）．过抛物线在x（第23题）（第3题） （第9题）轴上方的不同两点A 、B 作抛物线的切线AC 、BD ，与x 轴分别交于C 、D 两点，且AC 与BD 交于点M ，直线AD 与直线BC 交于点N ．（1）求抛物线的标准方程；（2）求证：MN ⊥x 轴；（3）若直线MN 与x 轴的交点恰为F （1，0） 求证：直线AB 过定点．数学Ⅰ参考答案及评分建议一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共70分． 1． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线221y x -=的离心率为 ▲ . 2． 若复数z 满足()12i 34i z +=-+（i 是虚数单位），则z = ▲ .答案：1 + 2i3． 在右图的算法中，最后输出的a ，b 的值依次是 ▲ . 答案：2，14． 一组数据9.8， 9.9， 10，a ， 10.2的平均数为10，则该组数据的方差为 ▲ .答案：0.025． 设全集U =Z ，集合{}220A x x x x =--∈Z ≥，，则U A =ð ▲ （用列举法表示）.答案：{0，1}6． 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a = (1，2)，12-a b =(3，1)，则⋅=a b ▲ .答案：07． 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为▲ . 答案：298. 设P 是函数1)y x +图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是 ▲ . 答案：)ππ32⎡⎢⎣，9． 如图，矩形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 分别在函数y x =，12y x =，xy =的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴. 若点A 的纵坐标为2，则 点D 的坐标为 ▲ .(第13题)答案：()1124，10．观察下列等式： 311=，33129+=，33312336++=，33331234100+++=， ……猜想：3333123n +++⋅⋅⋅+= ▲ （n ∈*N ）. 答案：2(1)2n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、11D C 上的动点，点G 为正方形11B BCC 的中心. 则空间四边形AEFG 在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为 ▲ .答案：1212．若12sin a x x a x ≤≤对任意的π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都成立，则21a a -的最小值为 ▲ .答案：21-13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆22221y x a b +=(0a b >>)的左、右焦点，B ，C 分别为椭圆 的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D . 若127cos 25F BF ∠=，则直线CD 的斜率为 ▲ .答案：122514．各项均为正偶数的数列a 1，a 2，a 3，a 4中，前三项依次成公差为d （d > 0）的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列. 若4188a a -=，则q 的所有可能的值构成的集合为 ▲ .答案： {}58 37，二、解答题15．本题主要考查正、余弦定理、两角和与差的正弦公式、三角函数的基本关系式等基础知识，考查运算求解能力．满分14分．在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c .（1）若2sin cos sin A C B =，求a 的值；（2）若sin(2)3sin A B B +=，求tan tan A C的值.A （第16题）B C D D 1 C 1B 1A 1M 解：（1）由正弦定理，得sin sin A a B b=．从而2sin cos sin A C B =可化为2cos a C b =．……………………………3分由余弦定理，得22222a b c a b ab+-⨯=．整理得a c =，即1a c =. …………………………………………………………7分（2）在斜三角形ABC 中，A B C ++=π，所以sin(2)3sin A B B +=可化为()()sin 3sin A C A C π+-=π-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 即()()sin 3sin A C A C --=+．…………………………………………10分 故sin cos cos sin 3(sin cos cos sin )A C A C A C A C -+=+．整理，得4sin cos 2cos sin A C A C =-， …………………………………12分 因为△ABC 是斜三角形，所以sin A cos A cos C 0≠，所以tan 1tan 2A C =-．…………………………………………………………14分16．本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11A B A D =，AB AD =.求证：（1）1AA BD ⊥； （2）11//BB DD .证明：（1）取线段BD 的中点M ，连结AM 、1A M ，因为11A D A B =，AD AB =，所以BD AM ⊥，1BD A M ⊥．…………………3分又1AM A M M =，1AM A M ⊂、平面1A AM ，所以BD ⊥平面1A AM ． 而1AA ⊂平面1A AM ，所以1AA BD ⊥.………………………………7分 （2）因为11//AA CC ，1AA ⊄平面11D DCC ，1CC ⊂平面11D DCC ， 所以1//AA 平面11D DCC ．………………………9分 又1AA ⊂平面11A ADD ，平面11A ADD 平面111D DCC DD =………11分所以11//AA DD ．同理得11//AA BB ，所以11//BB DD ．……………………………………14分17．本题主要考查函数的概念、最值等基础知识，考查数学建模、数学阅读、运算求解及解决实际问题的能力．满分14分．将52名志愿者分成A ，B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗， B 组种植200捆沙棘树苗．假定A ，B 两组同时开始种植．（第18题）（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25小时，种植一捆沙棘树苗用时12小时.应如何分配A ，B 两组的人数，使植树活动持续时间最短？ （2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25小时，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23小时，于是从A 组抽调6名志愿者加入B组继续种植，求植树活动所持续的时间. 解：（1）设A 组人数为x ，且052x <<，x ∈*N ，则A 组活动所需时间2150605()f x x x ⨯==；…………………2分 B 组活动所需时间12001002()g x ⨯==．…………………4分 令()()f x g x =，即60100=，解得392x =．所以两组同时开始的植树活动所需时间**6019()10020.52x x F x x x x ⎧∈⎪=⎨⎪∈-⎩N N ≤， ，，≥， ……………………………………6分 而60(19)19F =，25(20)8F =，故(19)(20)F F >． 所以当A 、B 两组人数分别为20 32，时，使植树活动持续时间最短．……8分 （2）A 组所需时间为1+21502016532067⨯-⨯=-（小时），……………10分 B 组所需时间为220032123133263⨯-⨯+=+（小时）， ……………12分 所以植树活动所持续的时间为637小时． …………………………14分18．知识，考查运算求解、分析探究及推理论证的能力．满分16如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆1C ：22(1)1x y ++=，圆2C ：22(3)(4)x y -+-（1）若过点1(1 0)C -，的直线l 被圆2C 截得的弦长为 65，求直线l 的方程；（2）设动圆C 同时平分圆1C 的周长、圆2C 的周长． ①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；②动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的 坐标；若不经过，请说明理由．解：（1）设直线l 的方程为(1)y k x =+，即0kx y k -+=．因为直线l 被圆2C 截得的弦长为65，而圆2C 的半径为1，所以圆心2(3 4)C ，到l ：0kx y k -+=45=．…………3分化简，得21225120k k -+=，解得43k =或34k =．所以直线l 的方程为4340x y -+=或3430x y -+=．……………………6分 （2）①证明：设圆心( )C x y ，，由题意，得12CC CC =，化简得30x y +-=，即动圆圆心C 在定直线30x y +-=上运动．…………………10分②圆C 过定点，设(3)C m m -，， 则动圆C于是动圆C 的方程为2222()(3)1(1)(3)x m y m m m -+-+=+++-． 整理，得22622(1)0x y y m x y +----+=………………………14分 由2210 620x y x y y -+=⎧⎨+--=⎩，，得1 2x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩或1 2x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以定点的坐标为(1，(1++…………16分19．本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的能力．满分16分．已知函数()sin f x x x =+．（1）设P ，Q 是函数()f x 图象上相异的两点，证明：直线PQ 的斜率大于0；（2）求实数a 的取值范围，使不等式()cos f x ax x ≥在π0⎡⎤⎣⎦，上恒成立．解：（1）由题意，得()1cos 0f x x '=+≥．所以函数()sin f x x x =+在R 上单调递增．设11( )P x y ，，22( )Q x y ，，则有12120y y x x ->-，即0PQ k >． ……………6分 （2）当0a ≤时，()sin 0cos f x x x ax x =+≥≥恒成立．………………8分 当0a >时，令()()cos sin cos g x f x ax x x x ax x =-=+-， ()1cos (cos sin )g'x x a x x x =+-- 1(1)cos sin a x ax x =+-+．①当10a -≥，即01a <≤时，()()11cos sin 0g'x a x ax x =+-+>， 所以()g x 在π02⎡⎤⎣⎦，上为单调增函数．所以()(0)0sin 00cos00g x g a =+-⨯⨯=≥，符合题意． …………10分 ②当10a -<，即1a >时，令()()1(1)cos sin h x g'x a x ax x ==+-+， 于是()(21)sin cos h'x a x ax x =-+．因为1a >，所以210a ->，从而()0h'x ≥． 所以()h x 在π0⎡⎤⎣⎦，上为单调增函数．所以()π(0)()2h h x h ≤≤，即π2()12a h x a -+≤≤，亦即π2()12a g'x a -+≤≤．……………………………………12分（i ）当20a -≥，即12a <≤时，()0g'x ≥，所以()g x 在π02⎡⎤⎣⎦，上为单调增函数．于是()(0)0g x g =≥，符合题意．…14分（ii ）当20a -<，即2a >时，存在()0π02x ∈，，使得当0(0 )x x ∈，时，有()0g'x <，此时()g x 在0(0)x ，上为单调减函数， 从而()(0)0g x g <=，不能使()0g x >恒成立．综上所述，实数a 的取值范围为2a ≤．……………………16分20．本题主要考查数列的通项公式、等比数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及推理论证的能力．满分16分．设数列{n a }的各项均为正数.若对任意的n ∈*N ，存在k ∈*N ，使得22n k n n k a a a ++=⋅成立，则称数列{n a }为“J k 型”数列．（1）若数列{n a }是“J 2型”数列，且28a =，81a =，求2n a ；（2）若数列{n a }既是“J 3型”数列，又是“J 4型”数列，证明：数列{n a }是等比数列. 解：（1）由题意，得2a ，4a ，6a ，8a ，…成等比数列，且公比()18212aq a ==，所以()412212n n n a a q--==． ……………………………4分（2）证明：由{n a }是“4J 型”数列，得1a ，5a ，9a ，13a ，17a ，21a ，…成等比数列，设公比为t . ……………6分由{n a }是“3J 型”数列，得1a ，4a ，7a ，10a ，13a ，…成等比数列，设公比为1α； 2a ，5a ，8a ，11a ，14a ，…成等比数列，设公比为2α； 3a ，6a ，9a ，12a ，15a ，…成等比数列，设公比为3α； 则431311a t a α==，431725a t a α==，432139at a α==． 所以123ααα==，不妨记123αααα===，且4t α=．……………12分 于是(32)113211k k k a a a α----==，2(31)122315111k k k k k a a a t a a ααα------====，13132339111k k k k k a a a t a a ααα----====，所以11n n a a -=，故{n a }为等比数列．………………………16分数学Ⅱ附加题参考答案及评分建议21．【选做题】A ．选修4—1：几何证明选讲本小题主要考查圆的几何性质等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．如图，AB 是半圆O 的直径，延长AB 到C ，使BC =CD 切半圆O 于点D ， DE ⊥AB ，垂足为E ．若AE ∶EB =3∶1，求DE 的长． 解：连接AD 、DO 、DB ．由AE ∶EB =3∶1，得DO ∶OE =2∶1．又DE ⊥AB ，所以60DOE ∠=．故△ODB 为正三角形．……………………………5分 于是30DAC BDC ∠==∠．而60ABD ∠=，故30C BDC ∠==∠． 所以DB BC ==在△OBD中，32DE ==．…………………………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换本小题主要考查二阶矩阵的变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =在矩阵0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到的直线过点(41)P , ，求实数k 的值．解：设变换T ：x x y y '⎡⎤⎡⎤→⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦，则0110x x y y y x '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即 . x y y x '=⎧⎨'=⎩，……………5分 代入直线y kx =，得x ky ''=．将点(4 1)P ，代入上式，得k =4．…………………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程本小题主要考查直线与圆的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 在极坐标系中，已知圆sin a ρθ=（0a >）与直线()cos 1ρθπ+=4相切，求实数a 的值．解：将圆sin a ρθ=化成普通方程为22x y ay +=，整理，得()22224aa x y +-=． 将直线()cos 1ρθπ+=4化成普通方程为0x y -=． ……………………6分2a =．解得4a =+…………………………… 10分D ．选修4—5：不等式选讲本小题主要考查均值不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 已知正数a ，b ，c 满足1abc =，求证：(2)(2)(2)27a b c +++≥．证明：(2)(2)(2)a b c +++(11)(11)(11)a b c =++++++ …………………………………………4分333≥27= 27=（当且仅当1a b c ===时等号成立）． …………………………10分 22．【必做题】本题主要考查数学归纳法等基础知识，考查运算求解、分析探究及推理论证的能力．满分10分．已知数列{n a }满足：112a =，*12 ()1nn n a a n a +=∈+N ．（1）求2a ，3a 的值；（第23题） （2）证明：不等式10n n a a +<<对于任意*n ∈N 都成立．（1）解：由题意，得2324 35a a ==，． …………………………………2分（2）证明：①当1n =时，由（1），知120a a <<，不等式成立．………………4分 ②设当*()n k k =∈N 时，10k k a a +<<成立，………………………6分 则当1n k =+时，由归纳假设，知10k a +>．而()()1111211112121222()011(1)(1)(1)(1)k k k k k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++++-+--=-==>++++++，所以120k k a a ++<<，即当1n k =+时，不等式成立．由①②，得不等式10n n a a +<<对于任意*n ∈N 成立．………………10分23．【必做题】本题主要考查抛物线的标准方程、简单的几何性质等基础知识，考查运算求解、推理论证的能力．满分10分．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的顶点在原点，焦点为F （1，0）．过抛物线在x 轴上方的不同两点A 、B 作抛物线的切线AC 、BD ，与x 轴分别交于C 、D 两点，且AC 与BD交于点M ，直线AD 与直线BC 交于点N ．（1）求抛物线的标准方程；（2）求证：MN ⊥x 轴； （3）若直线MN 与x 轴的交点恰为F （1，0）， 求证：直线AB 过定点．解：（1）设抛物线的标准方程为22(0)y px p =>， 由题意，得1p=，即2p =． 所以抛物线的标准方程为24y x =． （2）设11( )A x y ，，22( )B x y ，，且10y >，20y >．由24yx =（0y >），得y =y'=．所以切线AC 的方程为11)y y x x -=-，即1112()y y x x y -=-．整理，得112()yy x x =+， ① 且C 点坐标为1( 0)x -，．同理得切线BD 的方程为222()yy x x =+，② 且D 点坐标为2( 0)x -，． 由①②消去y ，得122112M x y x y x y y -=-．………………………………5分又直线AD 的方程为1212()y y x x x x =++，③ 直线BC 的方程为2112()y y x x =+． ④ 由③④消去y ，得122112N x y x y x y y -=-．所以M N x x =，即MN ⊥x 轴． …………………………………7分（3）由题意，设0(1 )M y ，，代入（1）中的①②，得0112(1)y y x =+，0222(1)y y x =+．所以1122( ) ( )A x y B x y ，，，都满足方程02(1)y y x =+． 所以直线AB 的方程为02(1)y y x =+．故直线AB 过定点(1 0)-，．………………………………………10分。