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整式的乘除运算掌握整式乘除法的基本要点整式的乘除运算是数学中的基本内容，掌握整式的乘除法的基本要点对于解决各类问题具有重要作用。
本文将详细介绍整式的乘除运算的基本概念、要点和解题技巧，以帮助读者更好地掌握这一知识点。
一、整式的基本概念整式是由常数和变量按照加、减、乘的运算法则组成的代数表达式。
一般形式为：CnX^n + Cn-1X^n-1 + ... + C1X + C0，其中Cn, Cn-1, ...,C1, C0为常数，X为变量，n为非负整数。
二、整式的乘法运算整式的乘法运算通过应用乘法分配律和合并同类项的原则来进行。
具体步骤如下：1. 将两个整式的每一项相乘。
2. 对于乘积的每一项，将其中的同类项合并。
3. 简化合并后的整式，即合并同类项并按照降序排列。
例如，对于表达式2X^2 + 3X - 1与4X + 5的乘法运算，可以按照以下步骤进行：1. 将每个项相乘得到8X^3 + 10X^2 + 12X + 15X^2 + 20X - 5。
2. 合并同类项，得到8X^3 + 25X^2 + 32X - 5。
3. 简化合并后的整式，得到8X^3 + 25X^2 + 32X - 5。
三、整式的除法运算整式的除法运算通过应用除法运算规则来进行，常用的方法是长除法。
具体步骤如下：1. 将除数和被除数按照降序排列。
2. 将除数的第一项除以被除数的第一项，得到商的首项。
3. 用商的首项乘以被除数，得到一个乘积。
4. 将乘积减去除数，得到一个差。
5. 将差视为一个新的被除数，重复步骤2至步骤4，直到无法继续执行除法运算为止。
例如，对于表达式8X^3 + 25X^2 + 32X - 5除以2X + 4的除法运算，可以按照以下步骤进行：1. 将除数和被除数按照降序排列，即8X^3 + 25X^2 + 32X - 5 ÷ 2X+ 4。
2. 将除数的首项8X^3除以被除数的首项2X，得到商的首项4X^2。
整式的乘除知识点归纳整式是数学中常见的一类代数表达式，包含了整数、变量和基本运算符（加、减、乘、除）。
一、整式的定义整式由单项式或多项式组成。
单项式是一个数字或变量的乘积，也可以包含指数。
例如，3x^2是一个单项式，其中3和x表示系数和变量，2表示指数。
多项式是多个单项式的和。
例如，2x^2 + 3xy + 5是一个多项式，其中2x^2，3xy和5分别是单项式，+表示求和运算符。
二、整式的乘法整式的乘法遵循以下几个重要的法则：1.乘积的交换法则：a×b=b×a，即乘法运算符满足交换定律。
2.乘积的结合法则：(a×b)×c=a×(b×c)，即乘法运算符满足结合定律。
3.乘积与和的分配法则：a×(b+c)=(a×b)+(a×c)，即乘法运算符对加法运算符满足分配律。
在进行整式的乘法运算时，要注意变量之间的乘积也需要按照乘法法则进行处理。
例如，(2x^2)×(3y)=6x^2y。
三、整式的除法整式的除法是乘法的逆过程。
除法运算中，被除数除以除数得到商。
以下是几个重要的除法规则：1.除法的整除法则：若a能被b整除，则a/b为整数。
例如，6除以3得到22.除法的商式法则：若x为任意非零数，则x/x=1、例如，2x^2/2x^2=13.除法的零律：任何数除以0都是没有意义的，即不可除以0。
例如，5/0没有意义。
在进行整式的除法运算时，要注意约分和消去的原则。
例如，(4x^2+ 2xy)/(2x) 可以约分为2x + y。
四、整式的运算顺序在解决整式的复杂运算问题时，需要遵循一定的运算顺序。
常见的运算顺序规则如下：1.先解决括号内的运算。
2.然后进行乘法和除法的运算。
3.最后进行加法和减法的运算。
五、整式的因式分解因式分解是将一个整式拆解为多个因式的乘积的过程。
对于给定的整式，可以通过以下步骤进行因式分解：1.先提取其中的公因式。
整式的乘除法整式是指由数字、字母和运算符号（加减乘除和括号）组成的代数式。
在数学中，整式的乘除法是学习代数运算的重要一环。
本文将介绍整式的乘法和除法，并提供相应的解题方法和技巧。
一、整式的乘法整式的乘法是指将两个或多个整式相乘得到一个新的整式。
在进行整式的乘法时，需要注意以下几点：1. 符号相乘：当两个整式相乘时，需要根据乘法法则对各项进行符号相乘。
同号相乘得正，异号相乘得负。
2. 同类项合并：在得到乘积后，需要对乘积中的同类项进行合并。
即将相同指数的字母项合并，并将系数相加。
下面通过一个示例来展示整式的乘法：例题：计算乘积 $(3x-4y)(2x+5)$。
解答：按照乘法法则，我们将每一项进行符号相乘，得到乘积：$$6x^2+15x-8xy-20y$$然后，我们将乘积中的同类项进行合并：$$6x^2+15x-8xy-20y$$至此，我们得到了乘积的最简形式。
二、整式的除法整式的除法是将一个整式除以另一个整式，得到商和余数的过程。
在进行整式的除法时，需要遵循以下几个步骤：1. 确定除数和被除数：将要除以的整式称为除数，被除的整式称为被除数。
2. 用除法定律进行整式的除法：将整式的除法转化为有理数的除法。
3. 化简商式：对除法得到的商式进行化简，即将商式中的同类项合并。
4. 找到余式：将化简后的商式与被除数相乘，得到乘积后减去除数，得到余式。
下面通过一个示例来展示整式的除法：例题：计算商和余数 $\frac{4x^3-7x^2+10}{x-2}$。
解答：按照除法的步骤，我们首先确定除数为 $x-2$，被除数为$4x^3-7x^2+10$。
然后，我们用除法定律进行整式的除法：```4x^2 -5x___________________x-2 | 4x^3 -7x^2 +10- (4x^3 -8x^2)_______________x^2 +10- (x^2 -2x)____________12x +10- (12x -24)__________34```化简商式得到商 $4x^2-5x+1$，余数为 $34$。
整式的乘除知识点整式的乘法运算是指对两个或多个整式进行相乘的运算。
整式的除法运算是指对一个整式除以另一个整式的运算。
整式的乘除运算是代数学中的基本运算，它在代数方程的解法、因式分解等应用中起着重要作用。
一、整式的乘法运算整式的乘法是指对两个或多个整式进行相乘的运算，其规则如下：1.单项式相乘：两个单项式相乘时，按照数字相乘，字母相乘，再将相同字母的指数相加的原则进行运算。
例如：(3x^2)(-2xy)=-6x^3y2.整式相乘：将一个整式中的每一项与另一个整式中的每一项进行相乘，然后将所得的结果相加。
例如：(x+5)(x-3)=x^2-x(3)+5(x)-15=x^2-3x+5x-15=x^2+2x-153.公式相乘：根据一些常见公式和特殊公式，可以通过整式的乘法运算简化计算。
例如：(a+b)(a-b)=a^2-(b)^2=a^2-b^2二、整式的除法运算整式的除法是指对一个整式除以另一个整式的运算，其规则如下：1.简单整式的除法：当被除式是单项式，除式也是单项式，并且除式不为零时，可以进行简单整式的除法运算。
例如：12x^3/4x=x^32.整式长除法：当被除式是一个整式，除式也是一个整式，并且除式不为零时，可以进行整式长除法运算。
例如：(3x^3-2x^2+4x-6)/(x+2)=3x^2-8x+20余-463.分式的除法：分式的除法可以利用倒数的概念进行处理，将除法问题转化为乘法问题。
例如：(a/b)÷(c/d)=(a/b)×(d/c)=(ad)/(bc)三、整式乘除运算的性质和应用1.乘法交换律：整式的乘法满足交换律，即a×b=b×a。
这个性质可以简化计算，使得整式的乘法更加灵活。
2.乘法结合律：整式的乘法满足结合律，即(a×b)×c=a×(b×c)。
这个性质可以改变运算次序，简化计算过程。
3.乘法分配律：整式的乘法满足分配律，即a×(b+c)=a×b+a×c。
整式的概念的乘除整式是由若干个字母和常数通过加减乘除运算得到的代数式，其特点是只含有有限个项，每个项都是常数与字母的乘积。
整式是代数学中的重要概念，广泛运用于代数、数论、几何和物理等学科领域。
整式的乘法运算是指两个整式相乘得到一个新的整式的过程。
在整式的乘法运算中，按照乘法分配律的原则，先将每一项和另一个整式中的每一项相乘，然后将所得项进行合并，即进行同类项的合并和常数项的合并。
举个例子，要计算整式(3x+2y)(4x-5y)，首先将第一个整式的每一项与第二个整式的每一项相乘，得到12x^2 - 15xy + 8xy - 10y^2，然后合并同类项，得到12x^2 - 7xy - 10y^2。
整式的除法运算是指将一个整式除以另一个整式，得到商式和余式的过程。
整式的除法是在整式乘法的基础上进行的，需要运用整式乘法逆运算的原则。
举个例子，要计算整式(4x^2 - 3xy + 2)除以(2x - 1)，首先将除式的每一项与被除式的第一项相乘，得到8x^3 - 4x^2；然后将所得乘积与被除式相减，得到(8x^3 - 4x^2) - (4x^3 - 2x^2)，继续重复这个步骤，直至所得的差小于除式，即为余数。
最后，将所得的所有商式相加，即为商式。
整式的乘除运算在代数中有着重要的作用，可以用于解方程、化简表达式以及证明等各种数学问题的求解过程中。
在解方程中，整式的乘除运算可以用来将复杂的等式转化为更简单的形式，从而更好地研究等式的性质和求解等式的根。
在化简表达式中，整式的乘除运算可以用来将复杂的代数式转化为更简单的表达形式，从而更好地理解和计算代数式的值。
在证明问题中，整式的乘除运算可以用来推导和证明数学定理，为定理的证明过程提供有效的计算工具。
整式的乘除运算有一定的规则和性质，可以帮助我们更好地理解和运用整式的乘除运算。
首先，整式的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。
即整式的乘法运算可以改变顺序，可以改变项之间的顺序，可以利用分配律进行因式分解和合并。
整式的乘法与除法整式是指由常数、变量及它们的乘积和积的和差组成的代数式。
整式的乘法与除法是代数学中重要的运算，本文将从定义、性质及计算方法等方面进行探讨。
一、整式的定义整式是由常数、变量及它们的乘积和积的和差组成的代数式。
常数称为零次整式，单个变量称为一次整式，以此类推。
整式可以表示为：f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₂x² + a₁x + a₀其中，a₀、a₁、...、aₙ为系数，n为自然数，x为变量。
二、整式的乘法整式的乘法是将两个或多个整式相乘得到一个新的整式。
要进行整式的乘法，需要遵循以下规则：1. 同类项相乘：将相同指数的项的系数相乘，并将指数保持不变。
例如：(3x²)(4x³) = 12x⁵。
2. 多项式相乘：将一个整式中的每一项都与另一个整式的每一项相乘，然后将结果相加。
例如：(3x + 2)(4x + 5) = 12x² + 22x + 10。
3. 分配律：整式的乘法满足分配律。
例如：a(b + c) = ab + ac。
三、整式的除法整式的除法是将一个整式除以另一个整式，得到商式和余式。
要进行整式的除法，需要注意以下几点：1. 除数不为零：除数不为零，否则除法无意义。
2. 长除法：使用长除法的步骤进行计算，以下以一个例子作说明：例如：(2x³ + 3x² - 4x + 1) ÷ (x - 1)首先将被除式按降幂排列：2x³ + 3x² - 4x + 1然后进行第一步的除法，将2x³ ÷ x进行计算，得到2x²，并将结果写在商式上。
然后将2x²与(x - 1)相乘，并进行减法得到2x³ + 2x²。
依次进行下一步的除法计算，直到无法再继续进行为止。
四、整式乘法与除法的性质1. 乘法的交换律与结合律：整式的乘法满足交换律与结合律，即a ·b = b · a，(a · b) ·c = a · (b · c)。
初中数学整式的乘除与分解因式知识点
整式的乘法与除法是初中数学中的重点内容之一。
下面是一些相关的知识点：
1. 整式的乘法：整式的乘法要注意项的乘法和系数的乘法。
将每一项的系数分别相乘，并将指数分别相加，得到乘积的系数和指数。
例如：(3x+2)(4x-1)
首先扩展，得到12x^2 + 5x - 2。
2. 整式的除法：整式的除法是通过“乘除消数”的方法来完成的。
将除数乘以一个适
当的式子，使得结果与被除式的某个部分相等或尽量接近。
然后将乘积减去被除式，
重复之前的步骤，直到无法再减少为止。
例如：(2x^2 + 5x + 3) ÷ (x + 1)
首先将被除式分解为(x + 1)(2x + 3)，然后进行乘法，得到2x^2 + 5x + 3。
然后将乘积减去被除式，得到0。
所以结果为2x + 3。
3. 因式的分解：整式的因式分解是将一个整式写成几个因式的乘积的形式。
例如：6x^2 + 11x + 3的因式分解为(2x + 1)(3x + 3)。
这些知识点在初中数学中是比较基础的内容，掌握了整式的乘除与分解因式的方法，
将有助于解决更复杂的数学问题。
数学知识点整式的乘法和除法整式是数学中的一个概念，是指由常数和变量及它们的乘积通过加法和减法运算而得到的代数表达式。
整式的乘法和除法是数学中的重要内容，本文将详细介绍整式的乘法和除法。
一、整式的乘法：整式的乘法是指将两个整式相乘并化简的过程。
下面以一个具体的例子来说明整式的乘法运算。
例子：将整式(2x + 3)(4x + 5)用乘法方式展开并化简。
解答：首先，我们可以利用分配律将两个整式相乘：(2x + 3)(4x + 5) = 2x * 4x + 2x * 5 + 3 * 4x + 3 * 5接下来，根据乘法的法则，我们可以将每一项相乘并合并同类项：= 8x^2 + 10x + 12x + 15最后，将结果进行合并化简，得到最简整式：= 8x^2 + 22x + 15这样，我们就完成了整式的乘法运算。
二、整式的除法：整式的除法是指将一个整式除以另一个整式，并求得商式和余式的过程。
下面以一个具体的例子来说明整式的除法运算。
例子：计算整式5x^3 + 4x^2 - 3x + 7除以整式x + 2的商式和余式。
解答：首先，我们需要按照除法的步骤进行演算。
Step 1: 将被除式和除式按照降幂排列。
被除式：5x^3 + 4x^2 - 3x + 7除式：x + 2Step 2: 将除式的首项与被除式的首项进行除法运算，并将结果作为商式的首项。
首项相除：(5x^3) / x = 5x^2Step 3: 将商式的首项乘以除式，并将结果与被除式相减，得到一个新的多项式。
计算：(5x^2)(x + 2) = 5x^3 + 10x^2被除式减去：(5x^3 + 4x^2 - 3x + 7) - (5x^3 + 10x^2) = -6x^2 - 3x + 7 Step 4: 重复以上步骤，直到被除式的次数小于除式的次数为止。
继续进行除法运算：次项相除：(-6x^2) / x = -6x计算：(-6x)(x + 2) = -6x^2 - 12x被除式减去：(-6x^2 - 3x + 7) - (-6x^2 - 12x) = 9x + 7再次进行除法运算：次项相除：(9x) / x = 9计算：(9)(x + 2) = 9x + 18被除式减去：(9x + 7) - (9x + 18) = -11由于被除式的次数小于除式的次数，停止除法运算。
第十讲 整式的乘法与除法
中学代数中的整式是从数的概念基础上发展起来的，因而保留着许多数的特征，研究的内容与方法也很类似．例如，整式的四则运算就可以在许多方面与数的四则运算相类比；也像数的运算在算术中占有重要的地位一样，整式的运算也是代数中最基础的部分，它在化简、求值、恒等变形、解方程等问题中有着广泛的应用．通过整式的运算，同学们还可以在准确地理解整式的有关概念和法则的基础上，进一步提高自己的运算能力．为此，本讲着重介绍整式运算中的乘法和除法．
整式是多项式和单项式的总称．整式的乘除主要是多项式的乘除．下面先复习一下整式计算的常用公式，然后进行例题分析． 正整数指数幂的运算法则：
(1)n m n m a a a +∙=； (2) ()n n n a b a b ∙=；
(3) ()n m n m a a ∙=； (4) m n m n a a a -÷=(α≠0，μ＞ν)；
常用的乘法公式： (1)(α+β)(α+β)=α2-β2； (2)(α±β)2=α2±2αβ+β2；
(4)(δ±β)3=α3±3α2β+3αβ2±β3； (5)(α+β+χ)2=α2+β2+χ2+2αβ+2βχ+2χα．
例1 求[ξ3-(ξ-1)2](ξ-1)展开后，ξ2项的系数 ．
解 [ξ3-(ξ-1)2](ξ-1)=ξ3(ξ-1)-(ξ-1)3．因为ξ2项只在-(ξ-1)3中出现，所以只要看-(ξ-1)3=(1-ξ)3中ξ2项的系数即可．根据乘法公式有
(1-ξ)3=1-3ξ+3ξ2-ξ3，
所以ξ2项的系数为3．
说明 应用乘法公式的关键，是要理解公式中字母的广泛含义，对公式中的项数、次数、符号、系数，不要混淆，要达到正确、熟练、灵活运用的程度，这样会给解题带来极大便利．
(ξ-2)(ξ2
-2ξ+4)-ξ(ξ+3)(ξ-3)+(2ξ-1)2
．
解 原式=(ξ3-2ξ2+4ξ-2ξ2+4ξ-8)-ξ(ξ2-9)+(4ξ2-4ξ+1) =(ξ3-4ξ2+8ξ-8)-(ξ3-9ξ)+(4ξ2-4ξ+1) =13ξ-7=9-7=2．
说明 注意本例中(ξ-2)(ξ2-2ξ+4)≠ξ3-8．
例3 化简(1+ξ)[1-ξ+ξ2-ξ3+…+(-ξ)ν-1]，其中ν为大于1的整数． 解 原式=1-ξ+ξ2-ξ3+…+(-ξ)ν-1
+ξ-ξ2+ξ3+…-(-ξ)ν-1+(-ξ)ν =1+(-ξ)ν．
说明 本例可推广为一个一般的形式：
(α-β)(αν-1+αν-2β+…+αβν-2+βν-1)=αν-βν．
例4 计算
(1)(α-β+χ-δ)(χ-α-δ-β)；
(2)(ξ+2ψ)(ξ-2ψ)(ξ4-8ξ2ψ2+16ψ4)．
分析与解 (1)这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数，所以可考虑应用平方差公式，分别把相同项结合，相反项结合．
原式=[(χ-β-δ)+α][(χ-β-δ)-α]=(χ-β-δ)2-α2
=χ2+β2+δ2+2βδ-2βχ-2χδ-α2．
(2)(ξ+2ψ)(ξ-2ψ)的结果是ξ2-4ψ2，这个结果与多项式ξ4-8ξ2ψ2+16ψ4相乘时，不能直接应用公式，但
ξ4-8ξ2ψ2+16ψ4=(ξ2-4ψ2)2
与前两个因式相乘的结果ξ2-4ψ2相乘时就可以利用立方差公式了．
原式=(ξ2-4ψ2)(ξ2-4ψ2)2=(ξ2-4ψ2)3
=(ξ2)3-3(ξ2)2(4ψ2)+3ξ2·(4ψ2)2-(4ψ2)3
=ξ6-12ξ4ψ2+48ξ2ψ4-64ψ6．
例5 设ξ，ψ，ζ为实数，且
(ψ-ζ)2+(ξ-ψ)2+(ζ-ξ)2=(ψ+ζ-2ξ)2+(ξ+ζ-2ψ)2+(ξ+ψ-2ζ)2，
解 先将已知条件化简：
左边=2ξ2+2ψ2+2ζ2-2ξψ-2ψζ-2ξζ，
右边=6ξ2+6ψ2+6ζ2-6ξψ-6ψζ-6ξζ．
所以已知条件变形为
2ξ2+2ψ2+2ζ2-2ξψ-2ψζ-2ξζ=0，
即 (ξ-ψ)2+(ξ-ζ)2+(ψ-ζ)2=0．
因为ξ，ψ，ζ均为实数，所以ξ=ψ=ζ．所以
说明 本例中多次使用完全平方公式，但使用技巧上有所区别，请仔细琢磨，灵活运用公式，会给解题带来益处．
我们把形如
ανξν+αν-1ξν-1+…+α1ξ+α0
(ν为非负整数)的代数式称为关于ξ的一元多项式，常用φ(ξ)，γ(ξ)，…表示一元多项式． 多项式的除法比较复杂，为简单起见，我们只研究一元多项式的除法．像整数除法一样，一元多项式的除法，也有整除、商式、余式的概念．一般地，一个一元多项式φ(ξ)除以另一个一元多项式γ(ξ)时，总存在一个商式θ(ξ)与一个余式ρ(ξ)，使得φ(ξ)=γ(ξ)θ(ξ)+ρ(ξ)成立，其中ρ(ξ)的次数小于γ(ξ)的次数．特别地，当ρ(ξ)=0时，称φ(ξ)能被γ(ξ)整除． 例6 设γ(ξ)=3ξ2-2ξ+1，φ(ξ)=ξ3-3ξ2-ξ-1，求用γ(ξ)去除φ(ξ)所得的商θ(ξ)及余式ρ(ξ)． 解法1 用普通的竖式除法
解法2 用待定系数法．
由于φ(ξ)为3次多项式，首项系数为1，而γ(ξ)为2次，首
ρ(ξ)= βξ+ χ．
根据φ(ξ)=θ(ξ)γ(ξ)+ρ(ξ)，得
ξ3-3ξ2-ξ-1
比较两端系数，得
例7 试确定α和β，使ξ4+αξ2-βξ+2能被ξ2+3ξ+2整除．
解 由于ξ2+3ξ+2=(ξ+1)(ξ+2)，因此，若设
φ(ξ)=ξ4+αξ2-βξ+2，
假如φ(ξ)能被ξ2+3ξ+2整除，则ξ+1和ξ+2必是φ(ξ)的因式，因此，当ξ=-1时，φ(-1)=0，即
1+α+β+2=0， ⎺
当ξ=-2时，φ(-2)=0，即
16+4α+2β+2=0， α
由①，②联立，则有
练习十
1．计算：
(1)(α- 2β+χ)(α+2β-χ)-(α+2β+χ)2；
(2)(ξ+ψ)4(ξ-ψ)4；
(3)(α+β+χ)(α2+β2+χ2-αβ-αχ-βχ)．
2．化简：
(1)(2ξ-ψ+ζ-2χ+μ)(μ+ψ-2ξ-2χ-ζ)；
(2)(α+3β)(α2-3αβ+9β2)-(α-3β)(α2+3αβ+9β2)；
(3)(ξ+ψ)2(ψ+ζ-ξ)(ζ+ξ-ψ)+(ξ-ψ)2(ξ+ψ+ζ)×(ξ+ψ-ζ)．
3．已知ζ2=ξ2+ψ2，化简
(ξ+ψ+ζ)(ξ-ψ+ζ)(-ξ+ψ+ζ)(ξ+ψ-ζ)． 4．设φ(ξ)=2ξ3+3ξ2-ξ+2，求φ(ξ)除以ξ2-2ξ+3所得的商式和余式．。
