山东省济南市章丘区2019-2020学年高三上学期期中数学试题

济南市高三期中考试数学试题答案与评分标准填空题13. -25 ; 14.4; 15.1312； 16. 323π。

三、解答题17. 解答:若选①，由题意()()()a b a b a c c +-=-，化简得222122a cb ac +-=，-2分 即1cos ,02B B π=<<，得3B π=。

------------------------3分（1）由余弦定理22()22cos b a c ac ac B =+--，得21124222ac ac =--⋅，解得43ac = 114sin sin 22333S ac B π==⨯⨯=。

----------------------6分（2）由正弦定理4sin sin sin a c b A C B ====，又因为23A C π+=， 所以4(sin sin )a c A C +=+-------------------------------8分24(sin sin())3A A π=+-=1cos )2A A +=)6A π+，-----------10分 因为220,3663A A ππππ<<<+<，1sin()(,1]62A π+∈。

4]a c +∈----------------------------------------------12分若选②，由22cos a c b C -=，得2sin sin 2sin cos A C B C -=，2sin()sin 2sin cos B C C B C +-=，化简得2cos sin sin B C C =，得1cos ,02B B π=<<，得3B π=。

以下与选①同。

若选③，由3(cos )sin a b C c B -=得3(sin sin cos )sin sin A B C C B -=，即3[sin()sin cos ]sin sin B C B C C B +-=，化简得tan 3B =，0B π<<，得3B π=。

山东省济南市章丘区2019-2020学年高三上学期数学期中考试试卷一、单选题1.已知集合 ,则（）A.∞B.C.D.∞2.设 ,则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.命题“ ”的否定为（）A. B.C. D.4.设为非零实数,复数 ,则的最小值为（）A. B. C. D.5.函数f(x)=x2+ 的图象大致为( )A. B. C. D.6.若 ,则（）A. B. C. D.7.在平行四边形中, 与交于点 ,则在方向上的投影为（）A. B. C. D.8.已知函数 ,则“ ”是“ 在上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.∞ ,则的取值范围为（）A.∞B.∞C.∞D.∞10.已知定义在上的函数满足 ,且在∞上单调递增,则（）A. B.C. D.二、多选题11.将曲线上每个点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变),得到的图象,则下列说法正确的是（）A.的图象关于直线对称B.在上的值域为C.的图象关于点对称D.的图象可由的图象向右平移个单位长度得到12.已知函数 ,若 ,且 ,则下列结论正确的是（）A. B. C. D.13.定义在∞上的函数的导函数为′ ,且′对∞恒成立.下列结论正确的是（）A. B.若 ,则C. D.若 ,则三、填空题14.若向量与互相垂直,且 ,则 ________．15.若函数的图象在点处的切线与直线垂直，则________．16.已知是定义在上的奇函数,当时, ,则的解析式为________．不等式的解集为________．17.分别为内角的对边.已知（1） ________．（2）若 ,则 ________．四、解答题。

18.分别为内角的对边.已知 .（1）若的面积为 ,求 ;（2）若 ,求的周长.19.已知 .（1）若 ,求 ;（2）若向量中存在互相垂直的两个向量,求的值.20.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如，地震释放出的能量 (单位:焦耳)与地震里氏震级之间的关系为 .（1）已知地震等级划分为里氏级,根据等级范围又分为三种类型,其中小于级的为“小地震”,介于级到级之间的为“有感地震”,大于级的为“破坏性地震”若某次地震释放能量约焦耳，试确定该次地震的类型;（2）2008年汶川地震为里氏级,2011年日本地震为里氏级,问:2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍? (取 )21.已知函数（1）化简 ,并求的最小正周期;（2）若 ,求 ;（3）求的单调递增区间.22.已知二次函数 .（1）若是的两个不同零点,是否存在实数 ,使成立?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.（2）设 ,函数 ,存在个零点.(i)求的取值范围;(ii)设分别是这个零点中的最小值与最大值,求的最大值.23.已知函数 .（1）讨论的单调性;（2）用表示中的最大值，若函数ℎ只有一个零点,求的取值范围.答案解析部分一、单选题1.【答案】 C【考点】交集及其运算【解析】【解答】解:因为所以 ,故答案为：C.【分析】先由二次不等式的解法求再利用集合交集的运算可得，得解.2.【答案】 D【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算【解析】【解答】解：由题意知 ,即，故在复平面内对应的点位于第四象限，故答案为：D.【分析】先由已知条件求得，再确定在复平面内对应的点位于的象限即可.3.【答案】 C【考点】命题的否定【解析】【解答】解：由特称命题的否定为全称命题,小于零的否定为大于或等于零，即命题“ ”的否定为“ ”，故答案为：C.【分析】由特称命题的否定为全称命题,小于零的否定为大于或等于零,得解.4.【答案】 B【考点】基本不等式在最值问题中的应用，复数代数形式的混合运算，复数求模【解析】【解答】解：因为（ ,所以，当且仅当，即时，等号成立,故的最小值为3.故答案为：B.【分析】由复数的乘法运算得，再结合复数模的运算得，即可求得复数模的最小值.5.【答案】 B【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】【解答】∵f( x)=( x)2+=x2+ =f(x),(∴f(x 是偶函数,其图象关于y轴对称,排除C,D；又∞时，∞ ,排除A,故答案为：B.【分析】利用奇偶性排除C、D；利用∞时，∞ ,排除A,从而可得结论.6.【答案】 D【考点】两角和与差的正切公式，二倍角的正切公式【解析】【解答】解：，，即ABC不符合题意，D符合题意，故答案为：D.【分析】先由，再由两角差的正切公式求出，再利用正切的二倍角公式求出即可得解.7.【答案】 B【考点】向量的投影【解析】【解答】解：因为∠ ,所以∠ .又∠∠，，所以∠∠，故在方向上的投影为 .故答案为：B.【分析】由平面向量的线性运算得∠，又∠∠，，则可得在方向上的投影为∠，得解.8.【答案】 A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：若在上单调递增，则′ ,即在上恒成立.又ℎ在上单调递增,则，所以 .故“ ”是“ 在上单调递增”的充分不必要条件.故答案为：A.【分析】由在上单调递增，等价于在上恒成立，再求得，再判断“ ”与“ ”的充分必要性即可.9.【答案】 B【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】因为∞ ,所以，当且仅当即时等号成立.又，则∞等价于 ,解得：，则的取值范围为∞，故答案为：B.【分析】先由重要不等式求得的最小值为4，再利用配方法求二次函数的最值可得的最大值为，再求解即可.10.【答案】 A【考点】函数单调性的性质，图形的对称性【解析】【解答】解：依题意可得, 的图象关于直线对称.因为 ,则，又在∞上单调递增,所以 .故答案为：A.【分析】由已知可得的图象关于直线对称.因为，又在∞上单调递增,即可得解.二、多选题11.【答案】 B,D【考点】正弦函数的奇偶性与对称性，正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】【解答】解：因为，所以 ,对于A，令，解得（），即函数的对称轴方程为（），即A不符合题意；对于B，因为，所以，即，即在上的值域为，即B符合题意；对于C，令，解得，即的图象关于点对称，则的图象关于点对称，C不符合题意.对于D,由的图象向右平移个单位长度,得到）+的图象,D符合题意.故答案为：BD.【分析】由三角恒等变换可得，再结合三角函数值域的求法、三角函数图像的对称轴、对称中心的求法逐一判断即可得解.12.【答案】 B,C,D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】【解答】画出函数的大致图象如下图，得出 ,则 ,A不符合题意,B符合题意;由图可知 ,C符合题意;因为 ,所以,D符合题意.则结论正确的是BCD，故答案为：BCD.【分析】先作出的图像，再观察图像可得，再结合，求解即可.13.【答案】 C,D【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：设函数，则′′′因为′ ,所以′ ,故在∞上单调递减,从而 ,整理得，,A不符合题意,C符合题意.当时,若 ,因为在∞上单调递减,所以即,即 .D符合题意,从而B不正确.+故答案为：CD.【分析】先构造函数，再利用导数可得在∞上单调递减,再利用函数的单调性判断四个命题即可得解.三、填空题14.【答案】【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】【解答】解：因为向量与互相垂直,可得，又，则，故答案为： .【分析】由向量模的运算，再将已知条件代入运算即可.15.【答案】【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】【解答】解：因为，所以′由已知有′即，故答案为： .【分析】先求原函数的导函数′再利用导数的几何意义可得′得解.16.【答案】；∞【考点】函数单调性的性质，奇函数【解析】【解答】解：设，则，由函数为奇函数，可得，则，又，则，当时， ,所以 ;当时,设ℎ，则函数ℎ为增函数，又ℎ，即ℎ的解集为，即的解集为 .综上的解集为∞ .故答案为：∞ .【分析】先由函数为奇函数，结合时, ,求函数解析式即可；再分时，时求解不等式即可得解.17.【答案】（1）3（2）【考点】两角和与差的正弦公式，同角三角函数基本关系的运用，正弦定理，余弦定理【解析】【解答】（1）解：由 ,得 , 而 ,所以，即 ,故 .（2）因为 ,所以 ,则 ,所以，从而，由正弦定理得 ,则，【分析】(1)由余弦定理可得，再由两角和、差的余弦公式展开运算求解即可；(2)由（1）可得，再由正弦定理可得，得解.四、解答题。

2020届山东省济南市章丘区高三上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}()()|{2,|}520A x x B x x x =>-=+-≤,则A B =（ ）A ．()2,-+∞B ．[]22-,C ．(2,2]-D ．[5,)-+∞【答案】C【解析】先由二次不等式的解法求B 52,|} {x x =-≤≤再利用集合交集的运算可得{ 2 }2|A B x x =-<≤I ，得解.【详解】解:因为{}2,|A x x =>-()()52{|}0B x x x =+-≤()()520{|}x x x -≤=+52,|} {x x =-≤≤所以{ 2 }2|A B x x =-<≤I , 故选:C. 【点睛】本题考查了二次不等式的解法及集合交集的运算，属基础题. 2．设z ii z+=,则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】先由已知条件求得11122i z i i -==--，再确定z 在复平面内对应的点位于的象限即可. 【详解】解：由题意知()1,z i i -=-, 即11122i z i i -==--， 故z 在复平面内对应的点位于第四象限， 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的运算及复数在复平面内对应的点的位置，属基础题. 3．命题“2000,201920200x R x x ∃∈<++”的否定为（ ）A ．2,201920200x R x x ∀∈++<B ．2,201920200x R x x ∀∈++≤C ．2,201920200x R x x ∀∈++≥D ．2,201920200x R x x ∃∈++≥【答案】C【解析】由特称命题的否定为全称命题,小于零的否定为大于或等于零,得解. 【详解】解：由特称命题的否定为全称命题,小于零的否定为大于或等于零，即命题“2000,201920200x R x x ∃∈<++”的否定为“2,201920200x R x x ∀∈++≥”，故选：C. 【点睛】本题考查了特称命题与全称命题的否定,属基础题. 4．设a 为非零实数,复数121,2z a i z i a=+=-,则12z z ⋅的最小值为（ ）A B ．3C ．D ．9【答案】B【解析】由复数的乘法运算得1213 2z z a i a ⋅=+-⎛⎫⎪⎝⎭，再结合复数模的运算得12||z z =⋅.【详解】解：因为1211)(2)3 2z z a i i a i a a ⋅⎛⎫⎪⎝=+-=+⎭-（,所以12||3z z ⋅=≥，当且仅当12a a =，即a =, 故12z z ⋅的最小值为3. 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算及复数模的运算，属基础题. 5．函数f (x )=x 2+2ln||2x x 的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用奇偶性排除选项C 、D ；利用x →+∞时，()f x →+∞,排除A,从而可得结论. 【详解】 ∵f (-x )=( -x )2+2ln||2()x x --=x 2+2ln||2x x=f (x ), ∴f (x )是偶函数,其图象关于y 轴对称,排除C,D ； 又x →+∞时，()f x →+∞,排除A, 故选：B . 【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.6．若)(3tan πα=+则（ ）A ．tan 13α=B ．tan 7α=C ．tan 27α=D ．tan 223α= 【答案】D【解析】先由()33ππαα=+-，再由两角差的正切公式求出tan α，再利用正切的二倍角公式求出2tan α即可得解.【详解】解： )33(tan tan ππαα=+-Q 7==，7tan 2323149α∴==-， 即选项ABC 错误，选项D 正确， 故选：D. 【点睛】本题考查了两角差的正切公式，重点考查了正切的二倍角公式，属基础题.7．在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点(), 1, O BO DC DB BD ⋅-==uuu u r uuu r uu u r uu u r则DA 在DB 方向上的投影为（ ）A ．2 BC ．2-D．【答案】B【解析】由平面向量的线性运算得2BD BC cos DBC ⋅∠=uu u r uu u r，又,BC DA ADB DBC =∠=∠uu u r uu u r，BD =uu u rDA 在DB方向上的投影为BC cos DBC ⋅∠=uu u r.【详解】解：因为()1BO DC DB BO B BO BC c C os DBC ⋅-=⋅=⋅∠=uu u uu u r uu u r uuu r uu u r uu u r uu u r r,所以2BD BC cos DBC ⋅∠=uu u r uu u r .又 ,BC DA ADB DBC =∠=∠uu u r uu u r，BD =uu u r所以DA cos ADB BC cos DBC ⋅∠=⋅∠==uu u r uu u r 故DA 在DB. 故选：B. 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算及平面向量数量积的运算，属中档题.8．已知函数()322f x x ax x =--+,则“2a ≤”是“()f x 在()2,4上单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由()f x 在()2,4上单调递增，等价于23131222x a x x x-≤=-在()2,4上恒成立， 再求得114a ≤，再判断“2a ≤”与“114a ≤”的充分必要性即可. 【详解】解：若()f x 在()2,4上单调递增，则()23210f x x ax '=--≥,即23131222x a x x x-≤=-在()2,4上恒成立. 又31()22h x x x =-在()2,4上单调递增,则3111224x x ->，所以114a ≤. 故“2a ≤”是“()f x 在()2,4上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查了由函数的单调性研究参数的范围，重点考查了充分必要条件，属中档题.9．()2221,,0,,42x y z x y z z m xy∀∈+∞++≥-++,则m 的取值范围为（ ）A ．(,1]-∞B ．(,3]-∞C ．(,2]-∞D ．(,1]-∞【答案】B【解析】先由重要不等式求得2214x y xy++的最小值为4，再利用配方法求二次函数的最值可得22z z m -++的最大值为1m +，再求解即可. 【详解】因为,(0,)x y ∈+∞,所以22111444x y xy xy xy xy ++≥=+≥==，当且仅当22414x y xy xy ⎧=⎪⎨=⎪⎩即121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩时等号成立. 又222(1)11z z m z m m -++=--++≤+，则()2221,,0,,42x y z x y z z m xy∀∈+∞++≥-++等价于14m +≤,解得：3m ≤， 则m 的取值范围为(,3]-∞， 故选为：B. 【点睛】本题考查了重要不等式及不等式恒成立问题，重点考查了恒成立问题最值法，属中档题. 10．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()3221f x f x -=-,且()f x 在[1, )+∞上单调递增,则（ ） A ．()()()0.31.130. 20.54f f log f <<B ．()()()0.31.130. 240.5f f f log <<C ．()()()1.10.3340.20.5f f f log <<D ．()()()0.31.130.50.24f log f f <<【答案】A【解析】由已知可得()f x 的图象关于直线1x =对称.因为0.3 1.130.21log 0.5141-<-<-，又()f x 在[1,)+∞上单调递增,即可得解.【详解】解：依题意可得,()f x 的图象关于直线1x =对称. 因为()()()0.31.1330.20,1,0.5 2 1,,044,8log log ∈=-∈-∈,则0.31.130.21log 0.5141-<-<-，又()f x 在[1,)+∞上单调递增, 所以()()()0.31.130.20.54f f log f <<.故选:A. 【点睛】本题考查了函数的对称性及单调性，重点考查了利用函数的性质判断函数值的大小关系，属中档题.二、多选题11．将曲线()23 2()y sin x x sin x ππ=--+上每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到()g x 的图象,则下列说法正确的是（ ） A ．()g x 的图象关于直线32x π=对称 B ．()g x 在[0,]π上的值域为30, 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．()g x 的图象关于点(,0)6π对称D ．()g x 的图象可由1 2y cos x =+的图象向右平移23π个单位长度得到【答案】BD【解析】由三角恒等变换可得()1(2)6x g x sin π+=-，再结合三角函数值域的求法、三角函数图像的对称轴、对称中心的求法逐一判断即可得解. 【详解】 解：因为()23sin sin 2x x x ππ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭1cos 212sin 2262x x x π-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 所以()1(2)6x g x sin π+=-, 对于选项A ，令62x k πππ-=+，解得23x k ππ=+（k Z ∈），即函数的对称轴方程为23x k ππ=+（k Z ∈），即选项A 错误； 对于选项B ，因为[0,]x π∈，所以5,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，即1(),16 2sin x π⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，即()g x 在[0,]π上的值域为30, 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即选项B 正确；对于选项C ，令6x k ππ-=，解得6x k ππ=+，即()g x 的图象关于点1,,62k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭对称，则()g x 的图象关于点1,62π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故选项C 错误.对于D,由11 222y cos x sin x π⎛⎫ ⎝=+⎪⎭=++的图象向右平移23π个单位长度,得到211= +=sin 232(62y sin x x πππ⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭）的图象,故选项D 正确. 则说法正确的是BD ， 故选：BD. 【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换及伸缩变换，重点考查了三角函数图像的性质，属中档题.12．已知函数()222,0,0x x x f x log x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩,若1234x x x x <<<,且()()()()1234f x f x f x f x ===,则下列结论正确的是（ ）A ．121x x +=-B ．341x x =C ．412x <<D ．12340 1x x x x <<【答案】BCD【解析】先作出()222,0,0x x x f x log x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩的图像，再观察图像可得1223242, x x log x log x +=--=，再结合1234x x x x <<<，求解即可.【详解】画出函数()f x 的大致图象如下图， 得出1223242, x x log x log x +=--=,则341x x =,故A 错误,B 正确;由图可知412x <<,故C 正确;因为()112112 1,2x x x x x -<<-=--=()()221112110,1x x x --=-++∈,所以()1234120,1x x x x x x =∈,故D 正确.则结论正确的是BCD ， 故选：BCD.【点睛】本题考查了函数的零点与函数图像的交点的关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.13．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x ',且()()()212x f x f x x x '+-<+对(0,)x ∈+∞恒成立.下列结论正确的是（ ）A ．()()22315f f ->B ．若()12,1f x =>,则()21122f x x x >++ C ．()()3217f f -< D ．若()12,01f x =<<,则()21122f x x x >++ 【答案】CD【解析】先构造函数()()21f x xg x x -=+，再利用导数可得()g x 在(0, )+∞上单调递减,再利用函数的单调性判断四个命题即可得解. 【详解】解：设函数()()21f x xg x x -=+，则()g x '=()()()()()22211f x x x f x x x '-+--⎡⎤⎣⎦+()()()()()22121x f x f x x x x '+--+=+ 因为()()()21 2x f x f x x x '+-<+,所以()'0g x <,故()g x 在(0, )+∞上单调递减,从而()()()123g g g >>,整理得()()22 315f f -<，()()3 217f f -<,故A 错误,C 正确.当01x <<时,若()12f =,因为()g x 在(0, )+∞上单调递减,所以()()112g x g >=即()21+12f x x x ->,即()21122f x x x >++.故D 正确,从而B 不正确.即结论正确的是CD ， 故选：CD. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，重点考查了函数的单调性，属中档题.三、填空题14．若向量a 与b 互相垂直,且1,2a b ==r r,则2a b +=__________．【解析】由向量模的运算2a b +=r r.【详解】解：因为向量a 与b 互相垂直,可得0a b ⋅=，又1,2a b ==r r，则2a b +===r r【点睛】本题考查了向量模的运算，属基础题. 15．若函数()21kf x x x=+-的图象在点()()1,1f 处的切线与直线510x y +-=垂直，则k =__________． 【答案】3【解析】先求原函数的导函数()22,kf x x x'=+再利用导数的几何意义可得()125,f k '=+=得解.【详解】解：因为()21k f x x x=+-， 所以()22,k f x x x'=+由已知有()125,f k '=+= 即3k =，故答案为：3. 【点睛】本题考查了导数的几何意义及两直线垂直的斜率运算，属基础题.16．已知()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x <时, () 21f x x =+,则()f x 的解析式为__________．不等式()112x f x -⎛⎫ ⎪⎝⎭<的解集为__________．【答案】()21,00,021,0x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪->⎩∞(-,1)【解析】先由函数为奇函数，结合0x <时, () 21f x x =+,求函数解析式即可；再分0x ≤时，0x >时求解不等式即可得解.【详解】解：设0x >，则0x -<，由函数为奇函数，可得()()f x f x =--， 则()[2()1]21f x x x =--+=-， 又(0)0f =，则()21,00,021,0x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪->⎩，当0x ≤时，()111,22x f x -⎛⎫<≥ ⎪⎝⎭,所以()112x f x -⎛⎫⎪⎝⎭<;当0x >时,设()11()2x h x f x -⎛⎫- ⎪⎝⎭=11212x x -⎛⎫⎪⎝⎭=--，则函数()h x 为增函数，又111(1)211()02h -=⨯--=，即()0h x <的解集为()0,1，即()112x f x -⎛⎫⎪⎝⎭<的解集为()0,1.综上()112x f x -⎛⎫ ⎪⎝⎭<的解集为∞(-,1).故答案为：∞(-,1). 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式，重点考查了解分段函数对应的不等式，属中档题.17．,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边.已知()222abcos A B a b c -=+-(1) tan Atan B =__________．(2)若45 ,2A a ==o ,则c =__________．【答案】3【解析】(1)由余弦定理可得()2222 2 2a b c cos A B cos C ab+--=⨯=，再由两角和、差的余弦公式展开运算求解即可；(2)由（1）可得 3tan B =，再由正弦定理可得sin sin 5a C c A ==，得解. 【详解】解：(1)由()222abcos A B a b c -=+-,得()2222 2 2a b c cos A B cos C ab+--=⨯=,而() cos C cos A B =-+,所以() 2cosAcosB sinAsin B cosAcosB sinAsinB +=--， 即3 0cos Acos B sin Asin B -=,故 3 sin Asin Btan Atan B cos Acos B==.(2)因为45A =o ,所以1tanA =,则 3tan B =,所以 sin B B ==，从而() sin C sin A B =+==⎝⎭由正弦定理得sin sin a c A C =,则sin sin a C c A ==，故答案为：(1). 3 (2). 5. 【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了两角和、差的余弦公式，属中档题.四、解答题18．,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边.已知, 6A sin CB π==.(1)若ABC ∆的面积为求b ;(2)若2247c b -=,求ABC ∆的周长. 【答案】(1) 2b =.(2) 1+【解析】(1)由已知 sin C B =，结合正弦定理可得c =，再结合三角形的面积公式12S bcsinA =，将已知条件代入运算即可； (2)由2247c b -=，结合余弦定理得2222 1482372a b c bccos A =+-=+-⨯=,得解. 【详解】解:(1)由 sinC B =,得c = . 因为ABC △的面积为21124S bcsinA bc ====所以2b =.(2)因为2247,c b c -==,可得1,b c ==由余弦定理得2222 1482372a b c bccos A =+-=+-⨯=,所以a =故ABC △的周长为1+【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理及三角形面积公式的应用，属基础题. 19．已知()()()()4,2, ,1,2,3,1,6A B m C D .(1)若//AB CD ,求,cos BD AC uu u r uuu r;(2)若向量,,AB BC CD 中存在互相垂直的两个向量,求m 的值. 【答案】(1)(2) 1m =或4m =-.【解析】(1)由//AB CD ，利用平面向量的坐标运算可得133m =，再由向量的夹角公式可得,BD AC cos BD AC BD AC⋅==uu u r uuu ruu u r uuu r uu u r uuu r ，得解；(2)分别讨论若AB BC ⊥,AB CD ⊥uu u r uu u r ，BC ED ⊥uu u r uu u r，再求解即可.【详解】解:(1)()()4,1, 1,3AB m CD =--=-uu u r uu u rQ ， ∴由//AB CD ,得()13341,3m m -=∴=10,53BD ⎛⎫∴ -⎪⎭=⎝uu u r ，又()2,1,,65BD AC AC cos BD AC BD AC ⋅=-==∴uu u r uuu ruuu r uu u r uuu r uu u r uuu r(2)()()()4,1,2 ,2,1,3AB m BC m CD =--=-=-uu u r uu u r uu u r，若AB BC ⊥,则()()4220m m ---=,即26 100,0m m -+=∆<,方程无解.若AB CD ⊥uu u r uu u r，则430m --=,解得1m =. 若BC ED ⊥uu u r uu u r，则 260m -+=,解得4m =-. 综上, 1m =或4m =-. 【点睛】本题考查了向量共线及垂直的坐标运算，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.20．尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如，地震释放出的能量E (单位:焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为 4.8 1.5lgE M =+. (1)已知地震等级划分为里氏12级,根据等级范围又分为三种类型,其中小于2.5级的为“小地震”,介于2.5级到4.7级之间的为“有感地震”,大于4.7级的为“破坏性地震”若某次地震释放能量约1210焦耳，试确定该次地震的类型;(2)2008年汶川地震为里氏8级,2011年日本地震为里氏9级,问:2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍? (3.2=) 【答案】(1) 破坏性地震 (2) 32倍【解析】(1)先阅读题意，再计算12 10 4.8= 4.81.5lg M -=，即可得解；(2)结合地震释放出的能量E (单位:焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为4.8 1.5lgE M =+，再求出12 ,E E ，再求解即可.【详解】解:(1)当某次地震释放能量约102焦耳时,1210E =，代入 4.8 1.5lg E M =+,得12 10 4.812 4.8= 4.81.5 1.5lg M --==.因为4. 8 4.7>,所以该次地震为“破坏性地震”. (2)设汶川地震、日本地震所释放的能量分别为12,E E . 由题意知,12 16.8, 18.3lg E Ig E ==，即16.818.31210 , 10E E ==,所以1.52110E E ==3.2=,得2132E E = 故2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震的32倍. 【点睛】本题考查了对数函数在实际问题中的应用，重点考查了阅读，处理实际问题的能力，属中档题.21．已知函数()1 11sin x cos x sinx cosxf x sinx cosx sinx cosx+-+=++-1+++(1)化简()f x ,并求()f x 的最小正周期; (2)若()8f a =,求 2cos a ; (3)求()f x 的单调递增区间. 【答案】(1) ()in =2s f x x,最小正周期2π. (2)78(3) 2,2()()2k k k Z ππππ--∈和()()2,22k k k Z ππππ++∈.【解析】(1)由二倍角的正、余弦公式可得()222sin 2sin cos 2222cos 2sin cos222x x x f x x x x +=+2sin x =，得解；(2)由（1）得14sin α=，所以27 212 8cos sin a α==-，得解；(3) 设u sinx =,因为函数2y u=在(,0),(0,)-∞+∞上为减函数，所以要求()f x 的单调递增区间，即求 u sin x = (x k π≠，且 2,2x k k Z ππ≠-+∈)的单调递减区间,再求解即可. 【详解】 解:(1)因为()222sin 2sin cos 2222cos 2sin cos 222x x x f x x x x +=+222cos 2sin cos sin cos 222222sin 2sin 2sin cos cos sin22222x x x x x x x x x x x ++=+=+， 所以最小正周期 2T π=. (2)因为()8f a =,所以14sin α=， 所以27 212 8cos sin a α==-； (3)设u sinx =,因为函数2y u=在(,0),(0,)-∞+∞上为减函数，所以要求()f x 的单调递增区间，即求 u sin x = (x k π≠，且 2,2x k k Z ππ≠-+∈)的单调递减区间,所以()f x 的单调递增区间为2,2()()2k k k Z ππππ--∈和()()2,22k k k Z ππππ++∈.【点睛】本题考查了三角恒等变形及三角函数的单调区间的求法，重点考查了三角函数的定义域，属中档题.22．已知二次函数()2441f x kx kx k =-++.(1)若12,x x 是()f x 的两个不同零点,是否存在实数k ,使()()121211224x x x x ++=成立?若存在,求k 的值;若不存在,请说明理由.(2)设1k =-,函数()()28,048,0f x x t x g x x x t x ⎧--<=⎨--≥⎩,存在3个零点.(i)求t 的取值范围;(ii)设,m n 分别是这3个零点中的最小值与最大值,求n m -的最大值. 【答案】(1) 不存在.理由见解析； (2) (i) 41t <<-(ii)32+【解析】(1) .假设存在实数k 满足题意，由韦达定理可得：()()()21212121212 2224k x x x x x x x x k +++=++=+911144k k +==，解得12k =,又()216 161 160k k k k ∆=-+=->，即k 0<，综合可得假设不成立；(2) (i)作出函数()h x 的图象，观察图像即可求出t 的取值范围;(ii)设直线()41y t t =-<<与此图象的最左边和最右边的交点分别为,A B .即3 2B A n m x x +-=-=，因为25=+510≤+=，代入运算可得解.【详解】解:(1)依题意可知,0k ≠.假设存在实数k ,使()()121211224x x x x ++=成立. 因为()f x 有两个不同零点，.所以()216 161 160k k k k ∆=-+=->,解得k 0<.由韦达定理得121211,4k x x x x k++==所以()()()21212121212 2224k x x x x x x x x k +++=++=+911144k k +== 解得12k =,而k 0<,故不存在. (2)因为1k =-,设()()h x g x t =+,则()2244,0,48,0x x x h x x x x ⎧--<=⎨-≥⎩,当0x <时,()214112()h x x =-++≤;当0x ≥时,()()24144h x x =--≥-.(i)作出函数()h x 的图象，如图所示,所以41t <<-.(ii)设直线()41y t t =-<<与此图象的最左边和最右边的交点分别为,A B .由244x x t --=,得12A m x --==由248x x t -=,得B n x ==所以 B A n m x x -=-=因为25+=+510≤+=，所以当32t =-+.故n m -的最大值为32+.【点睛】本题考查了函数的零点与函数图像的交点之间的关系，重点考查了重要不等式及数形结合的数学思想方法，属中档题.23．已知函数()()2 ,xf x e ax ag x lnx =--=.(1)讨论()f x 的单调性;(2)用{},max m n 表示,m n 中的最大值，若函数()()(){}(),0h x max f x g x x =>只有一个零点,求a 的取值范围.【答案】(1) ()f x 在()(),2ln a -∞上单调递减,在())(2,ln a +∞上单调递增，.(2) )1, [⎪⎪⎩+∞⎭U【解析】(1)先求函数的导函数()'2xf x e a =-，再讨论0a ≤时, 0a >时,函数()f x 的单调性即可；(2)分别讨论函数()()(){}(),0h x max f x g x x =>在当1,() x ∈+∞，当1x =时，当()0,1x ∈时,函数()h x 零点个数，然后结合函数在(0, )+∞的零点个数即可得解.【详解】解:(1)函数()f x 的定义域为R ,且()'2xf x e a =-.当0a ≤时,() 0f x >对x ∈R 恒成立,所以()f x 在R 上单调递增. 当0a >时,令()0f x '=,得() 2x ln a =,当(),2()x ln a ∈-∞时,()0f x '<;当()2,()x ln a ∈+∞时,()0f x '>. 所以()f x 在()(),2ln a -∞上单调递减,在())(2,ln a +∞上单调递增，.(2)①当1,() x ∈+∞时, () 0g x ln x =>,从而()()(){}() ,0h x max f x g x g x =≥>,所以()h x 在(1, )+∞上无零点， ②当1x =时, ()13f e a =-,若()()(){}(),11,1103ea h max f g g ≥===,所以1x =是()h x 的零点; 若()()(){}() ,11,1103ea h max f g f <==>,所以1x =不是()h x 的零点.③当()0,1x ∈时, ()l 0g x n x =<,所以()h x 在()0,1上的零点个数只需要考虑()f x 在()0,1上的零点个数.()f x 在()0,1上的零点个数()0f x ⇔=在()0,1上实根的个数21xe a x ⇔=+在()0,1上实根的个数.令函数()(),0,121xe x x x ϕ=∈+,则()()()22121x x e x x ϕ-'=+,所以()x ϕ在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1(,1)2上单调递增；又()01ϕ=，()31e ϕ=，2e ϕ⎛⎫⎪⎭= ⎝当a <或1a ≥时，()f x 在()0,1上无零点;当a =13ea ≤<时, ()f x 在()0,1上有唯一零点，3ea ≤<时, ()f x 在()0,1上有两个零点，综上可得：当2a <时，()h x 在(0, )+∞上有无零点,当2a =时，()h x 在(0, )+∞上有1个零点,当12a <<时，()h x 在(0, )+∞上有2个零点, 当1a ≥时，()h x 在(0, )+∞上有1个零点,则()h x 在(0, )+∞上有唯一零点, a的取值范围为)1, [⎪⎪⎩+∞⎭U . 【点睛】本题考查了导数的综合应用，重点考查了利用函数研究函数的单调性及函数的大致图像，属难度较大的题型.。

山东省济南章丘区五校联考2019-2020学年中考数学模拟试卷一、选择题1．某游客为爬上3千米高的山顶看日出，先用1小时爬了1千米，休息0.5小时后，再用1.5小时爬上山顶．游客爬山所用时间l 与山高h 间的函数关系用图形表示是（ ）A. B.C. D.2．如图，在△ABC 中，以边BC 为直径做半圆，交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接DE ，若＝2＝2，则下外说法正确的是（ ）A.AB ＝AEB.AB ＝2AEC.3∠A ＝2∠CD.5∠A ＝3∠C3．如图，在▱ABCD 中，AB ＝6，AD ＝9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE ，垂足为G ，BG ＝4，则△CEF 的周长为（ ）A.8B.9.5C.10D.11.5 4．已知关于x 的一元二次方程（k-2）x 2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为（ ）A ．1k >B ．1k >-且0k ≠C ．1k >且2k ≠D ．1k <5．如图，在⊙O 中，已知弦AB 长为16cm ，C 为AB 的中点，OC 交AB 于点M ，且OM ∶MC ＝3∶2，则CM 长为 （ ）A ．2cmB ．4cmC ．6cmD ．8cm6．如图，在平面直角坐标系中，一个含有45〫角的三角板的其中一个锐角顶点置于点A （﹣3，﹣3）处，将其绕点A 旋转，这个45〫角的两边所在的直线分别交x 轴，y 轴的正半轴于点B ，C ，连结BC ，函数y ＝kx（x ＞0）的图象经过BC 的中点D ，则（ ）A.9942k ≤≤ B.94k =C.994k ≤≤ D.92k =7．已知AB 是圆O 的直径，AC 是弦，若AB ＝4，AC ＝，则sin ∠C 等于（ ）A ．2B ．12C ．3D ．38．抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷99次都是正面朝上，则抛掷第100次正面朝上的概率是（ ） A ．小于12B ．等于12C ．大于12D ．无法确定9．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c 的对称轴是x ＝13，小亮通过观察得出了下面四个结论：①c ＜0，②a ﹣b+c ＞0，③2a ﹣3b ＝0，④5b ﹣2c ＜0．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10．下列计算正确的是（ ）A ．3362a a a +=B ．236()a a -=C ．623a a a ÷=D ．538a a a ⋅=11．如图，正方形ABCD 的边长为3厘米，正方形AEFG 的边长为1厘米．如果正方形AEFG 绕点A 旋转，那么C ，F 两点之间的距离的最大值为( )A ．cmB ．3cmC ．D ．4cm12．三棱柱的三视图如图所示，已知△EFG 中，EF ＝8cm ，EG ＝12cm ，∠EFG ＝45°．则AB 的长为（ ）cm ．A ．8B ．12C ．D ．二、填空题13．如图，在∆ABC 中，AB=AC=10，E ，D 分别是AB ，AC 上的点，BE=4，CD=2，且BD=CE ，则BD=________________．14．把多项式34x x -分解因式的结果是______.15．关于x 的方程x 2+5x –m=0的一个根是2，则m=__________．1630°，圆锥的侧面积为_____．17．如图所示，在菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF 为正三角形，点E 、F 分别在菱形的边BC 、CD 上滑动，且E 、F 不与B 、C 、D 重合．当点E 、F 在BC 、CD 上滑动时，则△CEF 的面积最大值是____．18．计算73x x ÷的结果等于_____． 三、解答题19．青少年视力健康问题日趋严重，引起世界各国高度关注，某中学为了解学校2000名学生的视力情况，从各年级学生中随机抽取了40名学生进行检测，其右眼视力的检查结果 4,7，4.8，4.6，4.7，4.7，5.0，4.7，4.5，4.2，4.7 4,3，4.5，5.2，4.6，4.9，4.9，4.5，4.1，4.4，4.0 4,8，4.6，4.5，4.7，4.6，5.2，4.6，4.5，4.3，4.7 4,3，4.4，5.0，4.7，4.8，4.9，4.5，4.2，4.5，4.2 整理数据（1）表中a ＝ ；（2）若视力不低于4.85属视力正常，低于4.85属视力不正常，则在所抽查的学生当中，右眼视力的正常率为多少？（3）根据抽样检测的数据估计该校2000名学生中，右眼视力不正常的学生大约有多少人？（4）通过以上数据及问题解答，你能给出什么合理化的建议．20．解不等式组()2432742x xxx⎧--⎪⎨->⎪⎩…，并将解集在数轴上表示出来．21．计算:220193tan30-+-⎝⎭︒.22．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝2，求AC的长．23．已知：如图，在平行四边形中，点E在BC边上，连接AE．O为AE中点，连接BO并延长交AD于F．（1）求证：△AOF≌△BOE，（2）判断当AE平分∠BAD时，四边形ABEF是什么特殊四边形，并证明你的结论．24．如图1，若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上（点A与点B不重合）我们把这样的两抛物线L1、L2互称为“友好”抛物线，可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有很多条．（1）如图2，已知抛物线L3：y=2x2-8x+4与y轴交于点C，试求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标；（2）请求出以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式，并指出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围；（3）若抛物y=a1（x-m）2+n的任意一条“友好”抛物线的解析式为y=a2（x-h）2+k，请写出a1与a2的关系式，并说明理由．25．随着科技的发展，油电混合动力汽车已经开始普及，某种型号油电混合动力汽车，从甲地到乙地燃油行驶纯燃油费用80元，从甲地到乙地用电行驶纯电费用30元，已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.5元（1）求每行驶1千米纯用电的费用；（2）若要使从甲地到乙地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过50元，则至多用纯燃油行驶多少千米？【参考答案】*** 一、选择题13．14．(2)(2)x x x +- 15．14 16．2π1718．4x 三、解答题19．（1）16（2）17.5％（3）1650（4）见解析 【解析】 【分析】（1）由所给数据即可得； （2）根据百分比的概念求解可得；（3）用总人数乘以样本中对应的百分比可得； （4）合理即可，答案不唯一． 【详解】（1）由所给数据知a ＝16， 故答案为：16；（2）在所抽查的学生当中，右眼视力的正常率为5240+×100%＝17.5%； （3）右眼视力不正常的学生大约有2000×（1﹣17.5%）＝1650（人）；（4）建议中学生应少看电视，少玩游戏，少看手机，才能保护视力（合理即可，不唯一）．本题主要考查样本估计总体，从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．20．﹣1＜x≤2【解析】【分析】首先求出两个不等式的解集，然后根据大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小解不了的口诀求出不等式组的解集．【详解】解：解不等式2x﹣4≥3（x﹣2），得：x≤2，解不等式4x＞72x-，得：x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，将解集表示在数轴上如下：【点睛】考查了不等式组的解法，关键是求出不等式的解集，然后根据口诀求出不等式组的解集．21．12.【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值和绝对值的性质和零指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】原式＝1 1332 -⨯+＝1 12＝12．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．22．（1）见解析.（2）【解析】【分析】（1）先证明四边形BCDE是平行四边形，再证明BE＝DE，根据一组邻边相等的平行四边形为菱形即可判定四边形BCDE是菱形；（2）连接AC，根据平行线的性质及角平分线的定义证得∠BAC＝∠DAC＝∠BCA，即可得AB＝BC＝2，根据锐角三角函数的定义求得∠ADB＝30°，所以∠DAC＝30°，∠ADC＝60°，在Rt△ACD中，即可求得AC＝【详解】（1）证明：∵AD＝2BC，E为AD的中点，∴DE＝BC，∴四边形BCDE是平行四边形，∵∠ABD＝90°，AE＝DE，∴BE＝DE，∴四边形BCDE是菱形．（2）连接AC．∵AD∥BC，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA，∴AB＝BC＝2，∵AD＝2BC＝4，∴sin∠ADB＝12，∴∠ADB＝30°，∵四边形BCDE是菱形．∴∠DAC＝30°，∠ADC＝60°，在Rt△ACD中，∵AD＝4，∴AC＝【点睛】本题考查了菱形的判定及解直角三角形的知识，熟练运用菱形的判定方法及解直角三角形是解决问题的关键.23．（1）求证：见解析；（2）四边形ABEF是菱形，见解析.【解析】【分析】(1)先利用平行四边形的性质得AD∥BC，则∠AFB＝∠CBF，然后根据“AAS”可判断△AOF≌△BOE；(2)利用△AOF≌△BOE得到FO＝BO，则可根据对角线互相平分可判定四边形ABEF是平行四边形，根据AE平分∠BAD，得∠BAE＝∠FAE，又∠FAE＝∠AEB，得∠BAE＝∠AEB，AB＝BE，有一组对边相等的平行四边形是菱形，得四边形ABEF是菱形．【详解】(1)∵O为AE中点，∴AO＝EO，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AFB＝∠CBF，在△AOF和△BOE中AFO EBO AOF EOB AO EO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AOF ≌△BOE ；(2)四边形ABEF 是菱形，理由如下： ∵△AOF ≌△BOE ， ∴FO ＝BO ， 而AO ＝EO ，∴四边形ABEF 是平行四边形， ∵AE 平分∠BAD ， ∴∠BAE ＝∠FAE ， ∵∠FAE ＝∠AEB ， ∴∠BAE ＝∠AEB ， ∴AB ＝BE ，∴四边形ABEF 是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，菱形的判定等，熟练掌握相关的性质与判定定理是解题的关键.24．（1）（4，4）；（2）2≤x≤4；（3）a 1=-a 2，理由如下：见解析 【解析】 【分析】（1）设x ＝0，求出y 的值，即可得到C 的坐标，把抛物线L 3：y ＝2x 2−8x ＋4配方即可得到抛物线的对称轴，由此可求出点C 关于该抛物线对称轴对称的对称点D 的坐标；（2）由（1）可知点D 的坐标为（4，4），再由条件以点D 为顶点的L 3的“友好”抛物线L 4的解析式，可求出L 4的解析式，进而可求出L 3与L 4中y 同时随x 增大而增大的自变量的取值范围；（3）根据：抛物线L 1的顶点A 在抛物线L 2上，抛物线L 2的顶点B 也在抛物线L 1上，可以列出两个方程，相加可得：（a 1＋a 2）（m −h ）2＝0，可得a 1＝−a 2. 【详解】解：（1）∵抛物线L 3：y=2x 2-8x+4， ∴y=2（x-2）2-4，∴顶点为（2，4），对称轴为x=2， 设x=0，则y=4， ∴C （0，4），∴点C 关于该抛物线对称轴对称的对称点D 的坐标为：（4，4）； （2）∵以点D （4，4）为顶点的抛物线L 4过点（2，-4）， 设L 4的解析式2(4)4y a x =-+， 将点（2，-4）代入L 4可得，a=-2， ∴L 4的解析式为y=-2（x-4）2+4，L 3与L 4的两个交点分别为（4，4）和（2，-4）∴L 3与L 4中y 同时随x 增大而增大的自变量的取值范围是：2≤x≤4时； （3）a 1=-a 2， 理由如下：∵抛物线L 1的顶点A 在抛物线L 2上，抛物线L 2的顶点B 也在抛物线L 1上，∴可以列出两个方程2221()()n a m h kk a h m n⎧=-+⎨=-+⎩①②，①+②得：（a1+a2）（m-h）2=0，∴a1=-a2．【点睛】本题属于二次函数的综合题，涉及了抛物线的对称变换、抛物线与坐标轴的交点坐标以及新定义的问题，解答本题的关键是数形结合，特别是（3）问根据已知条件得出方程组求解，有一定难度．25．（1）每行驶1千米纯用电的费用为0.3元；（2）至多用纯燃油行驶40千米．【解析】【分析】（1）根据某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地燃油行驶纯燃油费用76元，从A地到B地用电行驶纯电费用26元，已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.5元，可以列出相应的分式方程，然后解分式方程即可解答本题；（2）根据从甲地到乙地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过50元，结合（1）中用电每千米的费用列出不等式，解不等式即可解答本题．【详解】解：（1）设每行驶1千米纯用电的费用为x元，根据题意，得8030x0.5x=+，解得，x＝0.3，经检验，x＝0.3是原分式方程的解，即每行驶1千米纯用电的费用为0.3元；（2）从甲地到乙地油电混合行驶，设用纯燃油行驶y千米．根据题意，得30(0.30.5)y y0.3500.3⎛⎫++-⨯≤⎪⎝⎭，解得，y≤40．即至多用纯燃油行驶40千米．【点睛】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的分式方程与不等式，注意分式方程要检验．。

2019-2020年高三数学上学期期中试卷理（含解析）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．若全集U=R，集合A={x||2x+3|＜5}，B={x|y=log3（x+2）}，则∁U（A∩B）=（）A． {x|x≤﹣4或x≥1} B． {x|x＜﹣4或x＞1} C． {x|x＜﹣2或x＞1} D． {x|x≤﹣2或x≥1}2．以下说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．若命题p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则﹁p：∀x∈R，都有x2+x+1≥03．已知对任意x∈R，恒有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则当x＜0时有（）A． f′（x）＞0，g′（x）＞0 B． f′（x）＞0，g′（x）＜0 C． f′（x）＜0，g′（x）＞0 D． f′（x）＜0，g′（x）＜04．已知平面上三点A、B、C满足，，，则的值等于（）A． 25 B．﹣25 C． 24 D．﹣245．函数y=sin（2x﹣）在区间的简图是（）A．B．C． D．6．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2+x）=f（2﹣x），则f（4）=（） A． 4 B． 2 C． 0 D．不确定7．已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A． 1 B． 2 C．﹣1 D．﹣28．已知向量，满足=（2，0），．△ABC，=2+2，﹣6，D为BC边的中点，则=（）A． 2 B． 4 C． 6 D． 89．△ABC中，A=，BC=3，则△ABC的周长为（）A． 4sin（B+）+3 B． 4sin（B+）+3 C． 6sin（B+）+3 D． 6sin（B+）+310．设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a＞0，b＞0，若f（x）≤|f（）|对一切x∈R恒成立，则①f（）=0；②|f（）|＜|f（）|；③f（x）既不是奇函数也不是偶函数；④f（x）的单调递增区间是（k∈Z）；⑤存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交．以上结论正确的是（）A．①②④ B．①③ C．①③④ D．①②④⑤二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上）11．已知向量=（sinθ，﹣2），=（1，cosθ），且，则sin2θ+cos2θ的值为．12．已知f（x）为奇函数，g（x）=f（x）+9，g（﹣2）=3，则f（2）= ．13．已知p：，q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＞0，若p是￢q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．14．如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于．15．已知定义在R上的偶函数满足：f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（2）=0；②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[8，10]单调递增；④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8．上述命题中所有正确命题的序号为．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知集合A={x∈R|log2（6x+12）≥log2（x2+3x+2）}，B={x|2＜4x}．求：A∩（∁R B）．17．已知=（1，2），=（2，1）．（1）求向量在向量方向上的投影．（2）若（m+n）⊥（﹣）（m，n∈R），求m2+n2+2m的最小值．18．已知函数f（x）=2x+k•2﹣x，k∈R．（1）若函数f（x）为奇函数，求实数k的值．（2）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2﹣x成立，求实数k的取值范围．19．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，（x∈R）（1）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的最小值和最大值；（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．20．已知函数f（x）=，其中，=（cosωx﹣sinωx，2sinωx），其中ω＞0，若f（x）相邻两对称轴间的距离不小于．（Ⅰ）求ω的取值范围；（Ⅱ）在△ABC中，a，b， c分别是角A，B，C的对边，a=，b+c=3，当ω最大时，f（A）=1，求△ABC的面积．21．已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．xx安徽省蚌埠市铁路中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．若全集U=R，集合A={x||2x+3|＜5}，B={x|y=log3（x+2）}，则∁U（A∩B）=（）A． {x|x≤﹣4或x≥1} B． {x|x＜﹣4或x＞1} C． {x|x＜﹣2或x＞1} D． {x|x≤﹣2或x≥1}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：求出集合A中绝对值不等式的解集，确定出集合A，根据集合B中对数函数的真数大于0，列出关于x的不等式，求出不等式的解集，确定出集合B，找出两集合的公共解集，确定出两集合的交集，根据全集为R，求出交集的补集即可．解答：解：由集合A中的不等式|2x+3|＜5变形得：﹣5＜2x+3＜5，可化为：，解得：﹣4＜x＜1，∴集合A={x|﹣4＜x＜1}，由集合B中的函数y=log3（x+2）有意义，得到x+2＞0，解得：x＞﹣2，∴集合B={x|x＞﹣2}，∴A∩B={x|﹣2＜x＜1}，又全集U=R，则C U（A∩B）={x|x≤﹣2或x≥1}．故选D点评：此题属于以绝对值不等式的解法及对数函数的定义域为平台，考查了交、并、补集的混合运算，是高考中常考的基本题型，学生在求补集时注意全集的范围．2．以下说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．若命题p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则﹁p：∀x∈R，都有x2+x+1≥0考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：写出原命题的逆否命题，可判断A；根据充要条件的定义，可判断B；根据复合命题真假判断的真值表，可判断C；根据特称命题的否定方法，可判断D．解答：解：命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，故A正确；“x=1”时，“x2﹣3x+2=0”成立，故“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分条件；“x2﹣3x+2=0”时，“x=1或x=2”，即“x=1”不一定成立，故“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的不必要条件，故B正确；若p∧q为假命题，则p，q存在至少一个假命题，不一定全为假命题，故C错误；命题p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则﹁p：∀x∈R，都有x2+x+1≥0，故D正确；故选：C点评：本题考查的知识点是四种命题，充要条件，复合命题，特称命题，是简单逻辑的综合考查，难度不大，属于基础题．3．已知对任意x∈R，恒有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则当x＜0时有（）A． f′（x）＞0，g′（x）＞0 B． f′（x）＞0，g′（x）＜0 C． f′（x）＜0，g′（x）＞0 D． f′（x）＜0，g′（x）＜0考点：函数奇偶性的性质；导数的几何意义．专题：计算题；压轴题．分析：由已知对任意x∈R，恒有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，又由当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，可得在区间（0，+∞）上f（x），g（x）均为增函数，然后结合奇函数、偶函数的性质不难得到答案．解答：解：由f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数．又x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，知在区间（0，+∞）上f（x），g（x）均为增函数由奇、偶函数的性质知，在区间（﹣∞，0）上f（x）为增函数，g（x）为减函数则当x＜0时，f′（x）＞0，g′（x）＜0．故选B点评：奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，这是函数奇偶性与函数单调性综合问题的一个最关键的粘合点，故要熟练掌握．4．已知平面上三点A、B、C满足，，，则的值等于（）A． 25 B．﹣25 C． 24 D．﹣24考点：平面向量数量积的运算．专题：向量法．分析：通过勾股定理判断出∠B=90，利用向量垂直的充要条件求出，利用向量的运算法则及向量的运算律求出值．解答：解：∵，，∴∴∠B=90°∴===﹣=﹣25故选B点评：本题考查勾股定理、向量垂直的充要条件、向量的运算法则、向量的运算律．5．函数y=sin（2x﹣）在区间的简图是（）A． B．C． D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：作图题．分析：将x=π代入到函数解析式中求出函数值，可排除B，D，然后将x=代入到函数解析式中求出函数值，可排除C，进而可得答案．解答：解：，排除B、D，，排除C．故选A．点评：本题主要考查三角函数的图象．对于正弦、余弦函数的图象和性质要熟练掌握，这是高考的必考点．6．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2+x）=f（2﹣x），则f（4）=（） A． 4 B． 2 C． 0 D．不确定考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由于函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）=0．根据f（2+x）=f（2﹣x），可得f（4）=f（0）即可得出．解答：解：∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0．又∵f（2+x）=f（2﹣x），∴f（4）=f（0）=0．故选：C．点评：本题考查了函数奇偶性、对称性，属于基础题．7．已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A． 1 B． 2 C．﹣1 D．﹣2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：由y=ln（x+a），得，由直线y=x﹣1与曲线y=ln（x+a）相切，得，所以切点是（1﹣a，0），由此能求出实数a．解答：解：∵y=ln（x+a），∴，∵直线y=x﹣1与曲线y=ln（x+a）相切，∴切线斜率是1，则y'=1，∴，x=1﹣a，y=ln1=0，所以切点是（1﹣a，0），∵切点（1﹣a，0）在切线y=x+1上，所以0=1﹣a+1，解得a=2．故选B．点评：本题考查利用导数求曲线的切线方程的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8．已知向量，满足=（2，0），．△ABC，=2+2，﹣6，D为BC边的中点，则=（）A． 2 B． 4 C． 6 D． 8考点：平面向量的坐标运算；向量的模．专题：计算题．分析：表示出，代入向量，，然后求出，即可．解答：解：因为D为BC边的中点，所以=（）=2﹣2=（1，﹣）=故选A．点评：本题考查平面向量的坐标运算，向量的模，考查计算能力，是基础题．9．△ABC中，A=，BC=3，则△ABC的周长为（）A． 4sin（B+）+3 B． 4sin（B+）+3 C． 6sin（B+）+3 D． 6sin（B+）+3考点：正弦定理．专题：计算题．分析：根据正弦定理分别求得AC和AB，最后三边相加整理即可得到答案．解答：解：根据正弦定理，∴AC==2sinB，AB==3cosB+sinB∴△ABC的周长为2sinB+3cosB+sinB+3=6sin（B+）+3故选D．点评：本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题．10．设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a＞0，b＞0，若f（x）≤|f（）|对一切x∈R恒成立，则①f（）=0；②|f（）|＜|f（）|；③f（x）既不是奇函数也不是偶函数；④f（x）的单调递增区间是（k∈Z）；⑤存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交．以上结论正确的是（）A．①②④ B．①③ C．①③④ D．①②④⑤考点：三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：先将f（x）=asin2x+bcos2x，a＞0，b＞0，变形为f（x）=sin（2x+∅），再由f（x）≤|f（）|对一切x∈R恒成立得a，b之间的关系，然后顺次判断命题真假．解答：解：①f（x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+∅），由f（x）≤|f（）|对一切x∈R恒成立得|f（）|==|asin+bcos|=|+|，即=|+|，两边平方整理得：a=b．∴f（x）=bsin2x+bcos2x=2bsin（2x+）．①f（）=2bsin（+）=0，故①正确；②|f（）|=|f（）|=2bsin，故②错误；③f（﹣x）≠±f（x），故③正确；④∵b＞0，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+（k∈Z）得，kπ﹣≤x≤kπ+（k∈Z），即f（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），故④错误；⑤∵a=b＞0，要经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交，则此直线与x轴平行，又f（x）的振幅为2b＞b，∴直线必与函数f（x）的图象有交点，故⑤错误．综上所述，结论正确的是①③．故选B．点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查复合三角函数的单调性，求得f（x）=2bsin （2x+）是难点，也是关键，考查推理分析与运算能力，属于难题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上）11．已知向量=（sinθ，﹣2），=（1，cosθ），且，则sin2θ+cos2θ的值为 1 ．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得tanθ=2，而sin2θ+cos2θ=，分子分母同除以cos2θ，代入tanθ=2可得答案．解答：解：由题意可得=sinθ﹣2cosθ=0，即tanθ==2，所以sin2θ+cos2θ=====1故答案为：1点评：本题考查三角函数的运算，把函数化为正切函数是解决问题的关键，属基础题．12．已知f（x）为奇函数，g（x）=f（x）+9，g（﹣2）=3，则f（2）= 6 ．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：将等式中的x用2代替；利用奇函数的定义及g（﹣2）=3，求出f（2）的值．解答：解：∵g（﹣2）=f（﹣2）+9∵f（x）为奇函数∴f（﹣2）=﹣f（2）∴g（﹣2）=﹣f（2）+9∵g（﹣2）=3所以f（2）=6故答案为6点评：本题考查奇函数的定义：对于定义域中的任意x都有f（﹣x）=﹣f（x）13．已知p：，q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＞0，若p是￢q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定；一元二次不等式的解法．分析：由已知可得：p：，q：x＜a，或x＞a+1，再由求命题否定的方法求出¬q，结合充要条件的判定方法，不难给出答案．解答：解：∵p：，q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＞0，∴q：x＜a，或x＞a+1∴¬q：a≤x≤a+1又∵p是¬q的充分不必要条件，∴解得：则实数a的取值范围是故答案为：点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．14．如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于．考点：解三角形．专题：计算题；压轴题．分析：由A向BC作垂线，垂足为E，根据三角形为等腰三角形求得BE，进而再Rt△ABE 中，利用BE和AB的长求得B，则AE可求得，然后在Rt△ADE中利用AE和∠ADC求得AD．解答：解：由A向BC作垂线，垂足为E，∵AB=AC∴BE=BC=∵AB=2∴cosB==∴B=30°∴AE=BE•tan30°=1∵∠ADC=45°∴AD==故答案为：点评：本题主要考查了解三角形问题．考查了学生分析问题和解决问题的能力．15．已知定义在R上的偶函数满足：f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（2）=0；②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[8，10]单调递增；④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8．上述命题中所有正确命题的序号为①②④．考点：命题的真假判断与应用；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：根据f（x）是定义在R上的偶函数，及在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=﹣2可得f（﹣2）=f（2）=0，从而有f（x+4）=f（x），故得函数f（x）是周期为4的周期函数，再结合y=f（x）单调递减、奇偶性画出函数f（x）的简图，最后利用从图中可以得出正确的结论．解答：解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x），可得f（﹣2）=f（2），在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=﹣2得f（2）=f（﹣2）+f（2），∴f（﹣2）=f（2）=0，∴f（x+4）=f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，又当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，结合函数的奇偶性画出函数f（x）的简图，如图所示．从图中可以得出：②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[8，10]单调递减；④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8．故答案为：①②④．点评：本题考查函数奇偶性的性质，函数奇偶性的判断，考查学生的综合分析与转化能力，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知集合A={x∈R|log2（6x+12）≥log2（x2+3x+2）}，B={x|2＜4x}．求：A∩（∁R B ）．考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由，得A={x|﹣1＜x≤5}，由B={x|}={x|﹣1＜x＜3}．知C R B={x|x≤﹣1，或x≥3}．由此能求出A∩C R B．解答：（本小题满分12分）解：由，得，…（3分）解得：﹣1≤x≤5．即A={x|﹣1＜x≤5}．…（6分）B={x|}={x|}，由，得x2﹣3＜2x，解得﹣1＜x＜3．即B={x|﹣1＜x＜3}．…（9分）∴C R B={x|x≤﹣1，或x≥3}．∴A∩C R B={x|3≤x≤5}．…（12分）点评：本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的灵活运用．17．已知=（1，2），=（2，1）．（1）求向量在向量方向上的投影．（2）若（m+n）⊥（﹣）（m，n∈R），求m2+n2+2m的最小值．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：（1）求出向量a，b的数量积和向量b的模，再由投影定义，即可得到所求；（2）运用向量垂直的条件及向量的数量积和模的公式，化简得到m=n，再由二次函数的最值，即可得到．解答：解：（1）设与向量的夹角为θ，由题意知向量在向量方向上的投影为||cosθ===；（2）∵（m+n）⊥（﹣），（m+n）•（﹣）=0，即5m+4n﹣4m﹣5n=0，∴m=n．∴m2+n2+2m=2m2+2m=2（m+）2﹣≥﹣，当且仅当m=n=﹣时取等号，∴m2+n2+2m的最小值为﹣．点评：本题考查向量的数量积的坐标表示和向量的模及投影的定义，考查向量垂直的条件，同时考查二次函数的最值，属于中档题．18．已知函数f（x）=2x+k•2﹣x，k∈R．（1）若函数f（x）为奇函数，求实数k的值．（2）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2﹣x成立，求实数k的取值范围．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据函数f（x）为奇函数，建立条件关系即可求实数k的值．（2）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2﹣x成立，进行转化即可求实数k的取值范围．解答：解：（1）∵f（x）=2x+k•2﹣x是奇函数，∴f（0）=0，即1+k=0，∴k=﹣1．（2）∵x∈[0，+∞），均有f（x）＞2﹣x，即2x+k•2﹣x＞2﹣x成立，k＞1﹣22x，∴对x≥0恒成立，∴k＞[1﹣（22x）]max．∵y=1﹣（22x）在[0，+∞）上是减函数，∴[1﹣（22x）]max=1﹣1=0，∴k＞0．点评：本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数恒成立问题，利用指数函数的运算性质是解决本题的关键．19．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，（x∈R）（1）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的最小值和最大值；（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦．专题：综合题；解三角形．分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式，根据变量x的取值范围可求出最小值和最大值；（2）根据C的范围和f（C）=0可求出角C的值，再根据两个向量共线的性质可得sinB﹣2sinA=0，再由正弦定理可得b=2a，最后再由余弦定理得到a与b的等式，解方程组可求出a，b的值．解答：解：（1）函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1，∵x∈[﹣，]∴2x﹣∈[﹣，]则sin（2x﹣）∈[﹣，1]∴函数f（x）的最小值为﹣﹣1和最大值0；（2）∵f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，即 sin（2C﹣）=1，又∵0＜C＜π，﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣=，∴C=．∵向量=（1，sinA）与=（2，sinB）共线，∴sinB﹣2sinA=0．由正弦定理，得 b=2a，①∵c=，由余弦定理得3=a2+b2﹣2abcos，②解方程组①②，得 a=1，b=2．点评：本题主要考查了两角和与差的逆用，以及余弦定理的应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．20．已知函数f（x）=，其中，=（cosωx﹣sinωx，2sinωx），其中ω＞0，若f（x）相邻两对称轴间的距离不小于．（Ⅰ）求ω的取值范围；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=，b+c=3，当ω最大时，f（A）=1，求△ABC的面积．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；平面向量数量积的运算；解三角形．专题：计算题．分析：（I）利用向量的数量积的坐标表示及二倍角公式对函数整理可得，，根据周期公式可得，根据正弦函数的性质相邻两对称轴间的距离即为，从而有代入可求ω的取值范围．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知ω的最大值为1，由f（A）=1可得，结合已知可得，由余弦定理知可得b2+c2﹣bc=3，又b+c=3联立方程可求b，c，代入面积公式可求也可用配方法求得bc=2，直接代入面积公式可求解答：解：（Ⅰ）f（x）=cosωx•sinωx=cos2ωx+sin2ωx=∵ω＞0∴函数f（x）的周期T=，由题意可知，解得0＜ω≤1，即ω的取值范围是{ω|0＜ω≤1}（Ⅱ）由（Ⅰ）可知ω的最大值为1，∴∵f（A）=1∴而，∴2A+π∴A=由余弦定理知cosA=∴b2+c2﹣bc=3，又b+c=3联立解得∴S△ABC=（或用配方法∵∴bc=2∴．点评：本题综合考查了向量的数量积的坐标表示，由函数的部分图象的性质求解函数的解析式，正弦函数的周期公式，由三角函数值求解角，余弦定理及三角形的面积公式等知识的综合，综合的知识比较多，解法灵活，要求考生熟练掌握基础知识并能灵活运用知识进行解题．21．已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；压轴题．分析：（1）对函数求导，根据导函数与0的关系写出函数的单调性和区间，讨论所给的区间和求出的单调区间之间的关系，在不同条件下做出函数的最值．（2）根据两个函数的不等关系恒成立，先求出两个函数的最值，利用最值思想解决，主要看两个函数的最大值和最小值之间的关系，得到结果．（3）要证明不等式成立，问题等价于证明，由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是，构造新函数，得到结论．解答：解：（1）f'（x）=lnx+1，当，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当，f'（x）＞0，f（x）单调递增．①，t无解；②，即时，；③，即时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt；∴．（2）2xlnx≥﹣x2+ax﹣3，则，设，则，x∈（0，1），h'（x）＜0，h（x）单调递减，x∈（1，+∞），h'（x）＞0，h（x）单调递增，所以h（x）min=h（1）=4因为对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，所以a≤h（x）min=4；（3）问题等价于证明，由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是，当且仅当时取到设，则，易得，当且仅当x=1时取到，从而对一切x∈（0，+∞），都有成立．点评：不同考查利用导数研究函数的最值，利用最值解决函数的恒成立思想，不同解题的关键是构造新函数，利用新函数的性质解决问题．。

2019-2020年高三上学期期中数学试卷含解析(II)一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={2，5，8}，B={1，3，5，7}，则（∁U A）∩B 等于( )A．{5} B．{1，3，7}C．{2，8} D．{1，3，4，5，6，7，8}2．函数的定义域是( )A．{x|x＞6} B．{x|﹣3＜x＜6} C．{x|x＞﹣3} D．{x|﹣3≤x＜6}3．已知p：2+2=5，q：3≥2，则下列判断中，错误的是( )A．p或q为真，非q为假B．p或q为真，非p为真C．p且q为假，非p为假D．p且q为假，p或q为真4．下列函数中，既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递增的是( )A．y=x3B．y=cosx C．y=ln|x| D．y=5．对命题“∃x0∈R，x02﹣2x0+4≤0”的否定正确的是( )A．∃x0∈R，x02﹣2x0+4＞0 B．∀x∈R，x2﹣2x+4≤0C．∀x∈R，x2﹣2x+4＞0 D．∀x∈R，x2﹣2x+4≥06．为了得到函数的图象，可以把函数的图象( )A．向左平移3个单位长度 B．向右平移3个单位长度C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度7．如图，是函数y=f（x）的导函数f′（x）的图象，则下面判断正确的是( )A．在区间（﹣2，1）上f（x）是增函数B．在（1，3）上f（x）是减函数C．在（4，5）上f（x）是增函数D．当x=4时，f（x）取极大值8．曲线y=4x﹣x3在点（﹣1，﹣3）处的切线方程是( )A．y=7x+4 B．y=7x+2 C．y=x﹣4 D．y=x﹣29．已知定义域为R的函数f（x）在区间（4，+∞）上为减函数，且函数y=f（x+4）为偶函数，则( )A．f（2）＞f（3）B．f（2）＞f（5）C．f（3）＞f（5）D．f（3）＞f（6）10．已知a＞0且a≠1，若函数f （x）=log a（ax2﹣x）在是增函数，则a的取值范围是( ) A．（1，+∞）B．（，）∪（1，+∞） C．11．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值为( )A．4 B．5 C．6 D．712．已知函数f（x）=，若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是( )A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C．（﹣2，1）D．（﹣1，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知tan（α+β）=，tan（α+）=，则tan（β﹣）=__________．14．函数的导数为__________．15．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=__________．16．给出四个命题：（1）若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；（2）若sinA=cosB，则△ABC 为直角三角形；（3）若sin2A+sin2B+sin2C＜2，则△ABC为钝角三角形；（4）若cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，则△ABC为正三角形，以上正确命题的是__________．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+φ）+b．（1）求这段时间的最大温差；（2）写出这段时间的函数解析式．18．已知命题p：“∀x∈，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0”，若命题“p 且q”是真命题，求实数a的取值范围．19．某商店销售洗衣粉，年销售总量为6000包，每包进价2.8元，销售价3.4元．全年分若干次进货，每次进货均为x包．已知每次进货运输劳务费为62.5元，全年保管费为1.5x元．（1）把该店经销洗衣粉一年的利润y（元）表示为每次进货量x（包）的函数，并指出函数的定义域；（2）为了使利润最大化，问每次该进货多少包？20．已知函数f（x）=（x2+1）（x+a）（a∈R），当f′（﹣1）=0时，求函数y=f（x），在上的最大值和最小值．21．已知函数y=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，且其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行．（1）求函数的单调区间；（2）求函数的极大值与极小值的差．22．已知函数f（x）=e x﹣ln（x+m）（Ι）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0．2015-2016学年贵州省遵义市绥阳县郑场中学高三（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={2，5，8}，B={1，3，5，7}，则（∁U A）∩B 等于( )A．{5} B．{1，3，7}C．{2，8} D．{1，3，4，5，6，7，8}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】利用补集的定义求出C U A；再利用交集的定义求出（∁UA）∩B．【解答】解：∵U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={2，5，8}，∴C U A={1，3，4，6，7}∵B={1，3，5，7}，∴（∁UA）∩B={1，3，7}故选B【点评】本题考查利用集合的交集、补集、并集的定义进行交、并、补的混合运算．2．函数的定义域是( )A．{x|x＞6} B．{x|﹣3＜x＜6} C．{x|x＞﹣3} D．{x|﹣3≤x＜6}【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．【专题】计算题．【分析】要使函数有意义，必须使函数的每一部分都有意义，函数定义域是各部分定义域的交集．【解答】解：要使函数有意义，x+3≥0，且6﹣x＞0∴|﹣3≤x＜6∴函数的定义域为：{x|﹣3≤x＜6}故答案选D．【点评】函数定义域是各部分定义域的交集．3．已知p：2+2=5，q：3≥2，则下列判断中，错误的是( )A．p或q为真，非q为假B．p或q为真，非p为真C．p且q为假，非p为假D．p且q为假，p或q为真【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】对于命题p：2+2=5，是假命题；对于q：3≥2，是真命题．利用复合命题的真假判定方法即可判断出．【解答】解：对于命题p：2+2=5，是假命题；对于q：3≥2，是真命题．∴p∨q为真命题，p∧q是假命题，￢p为真命题，￢q为假命题．∴C是假命题．故选：C．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．下列函数中，既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递增的是( )A．y=x3B．y=cosx C．y=ln|x| D．y=【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性即可．【解答】解：A．y=x3在（﹣∞，0）上单调递增，为奇函数．不满足条件．B．y=cosx在（﹣∞，0）上不单调，为偶函数．不满足条件．C．y=ln|x|=在（﹣∞，0）上单调递减，为偶函数．不满足条件．D．y=在（﹣∞，0）上单调递增，为偶函数，满足条件．故选：D．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性．5．对命题“∃x0∈R，x02﹣2x0+4≤0”的否定正确的是( )A．∃x0∈R，x02﹣2x0+4＞0 B．∀x∈R，x2﹣2x+4≤0C．∀x∈R，x2﹣2x+4＞0 D．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0【考点】特称命题；命题的否定．【专题】常规题型．【分析】通过特称命题的否定是全称命题，直接判断选项即可．【解答】解：因为命题“∃x0∈R，x02﹣2x0+4≤0”的否定是“∀x∈R，x2﹣2x+4＞0”．故选C．【点评】本题考查命题的否定的判断，注意全称命题与特称命题互为否命题．6．为了得到函数的图象，可以把函数的图象( )A．向左平移3个单位长度 B．向右平移3个单位长度C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度【考点】指数函数的图像变换．【专题】转化思想．【分析】将题目中：“函数”的式子化成（x﹣1），对照与函数的关系即可得．【解答】解：∵函数化成：（x﹣1），∴可以把函数的图象向右平移1个单位长度得到函数的图象．故选D．【点评】本题主要考查指数运算以函数图象的平移规律，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．7．如图，是函数y=f（x）的导函数f′（x）的图象，则下面判断正确的是( )A．在区间（﹣2，1）上f（x）是增函数B．在（1，3）上f（x）是减函数C．在（4，5）上f（x）是增函数D．当x=4时，f（x）取极大值【考点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题．【分析】由于f′（x）≥0⇒函数f（x）d单调递增；f′（x）≤0⇒单调f（x）单调递减，观察f′（x）的图象可知，通过观察f′（x）的符号判定函数的单调性即可【解答】解：由于f′（x）≥0⇒函数f（x）d单调递增；f′（x）≤0⇒单调f（x）单调递减观察f′（x）的图象可知，当x∈（﹣2，1）时，函数先递减，后递增，故A错误当x∈（1，3）时，函数先增后减，故B错误当x∈（4，5）时函数递增，故C正确由函数的图象可知函数在4处取得函数的极小值，故D错误故选：C【点评】本题主要考查了导数的应用：通过导数的符号判定函数单调性，要注意不能直接看导函数的单调性，而是通过导函数的正负判定原函数的单调性8．曲线y=4x﹣x3在点（﹣1，﹣3）处的切线方程是( )A．y=7x+4 B．y=7x+2 C．y=x﹣4 D．y=x﹣2【考点】导数的几何意义．【分析】已知点（﹣1，﹣3）在曲线上，若求切线方程，只需求出曲线在此点处的斜率，利用点斜式求出切线方程．【解答】解：∵y=4x﹣x3，∴y'︳x=﹣1=4﹣3x2︳x=﹣1=1，∴曲线在点（﹣1，﹣3）处的切线的斜率为k=1，即利用点斜式求出切线方程是y=x﹣2，【点评】本题属于求过曲线上点的切线方程的基础题，只要利用导数的几何意义，求出该切线的斜率即可．9．已知定义域为R的函数f（x）在区间（4，+∞）上为减函数，且函数y=f（x+4）为偶函数，则( )A．f（2）＞f（3）B．f（2）＞f（5）C．f（3）＞f（5）D．f（3）＞f（6）【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的图象与图象变化．【专题】转化思想．【分析】先利用函数的奇偶性求出f（2）=f（6），f（3）=f（5），再利用单调性判断函数值的大小．【解答】解：∵y=f（x+4）为偶函数，∴f（﹣x+4）=f（x+4）令x=2，得f（2）=f（﹣2+4）=f（2+4）=f（6），同理，f（3）=f（5），又知f（x）在（4，+∞）上为减函数，∵5＜6，∴f（5）＞f（6）；∴f（2）＜f（3）；f（2）=f（6）＜f（5）f（3）=f（5）＞f（6）．故选D【点评】此题主要考查偶函数的图象性质：关于y轴对称及函数的图象中平移变换．10．已知a＞0且a≠1，若函数f （x）=log a（ax2﹣x）在是增函数，则a的取值范围是( )A．（1，+∞）B．（，）∪（1，+∞） C．是增函数，且函数t大于0，故函数f （x）=log a（ax2﹣x）在是增函数．当 1＞a＞0时，由题意可得函数t=ax2﹣x在应是减函数，且函数t大于0，故≥4，且16a﹣4＞0，此时，a无解．【解答】解：当a＞1时，由于函数t=ax2﹣x在是增函数，且函数t大于0，故函数f （x）=log a（ax2﹣x）在是增函数，满足条件．当 1＞a＞0时，由题意可得函数t=ax2﹣x在应是减函数，且函数t大于0，故≥4，且 16a﹣4＞0．即a≤，且 a＞，∴a∈∅．综上，只有当a＞1时，才能满足条件，【点评】本题考查对数函数的单调性和特殊点，二次函数的性质，复合函数的单调性，注意利用函数t=ax2﹣x在上大于0这个条件，这是解题的易错点．11．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值为( )A．4 B．5 C．6 D．7【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题．【分析】在同一坐标系内画出三个函数y=10﹣x，y=x+2，y=2x的图象，以此作出函数f（x）图象，观察最大值的位置，通过求函数值，解出最大值．【解答】解：10﹣x是减函数，x+2是增函数，2x是增函数，令x+2=10﹣x，x=4，此时，x+2=10﹣x=6，如图：y=x+2 与y=2x交点是A、B，y=x+2与 y=10﹣x的交点为C（4，6），由上图可知f（x）的图象如下：C为最高点，而C（4，6），所以最大值为6．故选：C【点评】本题考查了函数的概念、图象、最值问题．利用了数形结合的方法．关键是通过题意得出f（x）的简图．12．已知函数f（x）=，若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是( )A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C．（﹣2，1）D．（﹣1，2）【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据分段函数的表达式，判断函数的单调性，即可得到结论．【解答】解：当x≤0时，f（x）=x≤0，且函数单调递增，当x＞0时，f（x）=ln（x+1）＞0，且函数单调递增，故函数在R上为增函数，则不等式f（2﹣x2）＞f（x），等价为2﹣x2＞x，即x2+x﹣2＜0，解得﹣2＜x＜1，故实数x的取值范围是（﹣2，1），故选：C【点评】本题主要考查不等式的求解，根据分段函数的表达式，判断函数的单调性是解决本题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知tan（α+β）=，tan（α+）=，则tan（β﹣）=．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】三角函数的求值．【分析】由三角函数的公式可得tan（β﹣）=tan=，代入已知数据化简可得．【解答】解：∵tan（α+β）=，tan（α+）=，∴tan（β﹣）=tan===，故答案为：．【点评】本题考查两角差的正切公式，角的整体代入是解决问题的关键，属基础题．14．函数的导数为．【考点】导数的运算．【分析】根据导数的运算法则可得答案．【解答】解：∵∴y'==故答案为：【点评】本题主要考查导数的运算法则．属基础题．求导公式一定要熟练掌握．15．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=．【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的值．【专题】计算题．【分析】由题意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．16．给出四个命题：（1）若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；（2）若sinA=cosB，则△ABC 为直角三角形；（3）若sin2A+sin2B+sin2C＜2，则△ABC为钝角三角形；（4）若cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，则△ABC为正三角形，以上正确命题的是（3）（4）．【考点】正弦定理．【专题】三角函数的图像与性质；简易逻辑．【分析】（1）由sin2A=sin2B，A，B∈（0，π），可得2A=2B，或2A+2B=π，即可判断出正误；（2）由sinA=cosB=，A，B∈（0，π），可得A=﹣B，或A+﹣B=π，即可判断出正误；（3）由sin2A+sin2B+sin2C＜2，利用倍角公式可得：++＜2，化为cos2A+cos2B+cos2C＞﹣1，再利用倍角公式、和差公式化为cosAcosBcosC＜0，即可判断出正误；（4）由cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，利用余弦函数的值域，可得A﹣B=B﹣C=C ﹣A=0，即可判断出正误．【解答】解：（1）若sin2A=sin2B，∵A，B∈（0，π），∴2A=2B，或2A+2B=π，解得A=B，或A+B=，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，因此不正确；（2）若sinA=cosB=，∵A，B∈（0，π），∴A=﹣B，或A+﹣B=π，解得A+B=或，则△ABC为钝角三角形或直角三角形，因此不正确；（3）∵sin2A+sin2B+sin2C＜2，∴++＜2，化为cos2A+cos2B+cos2C＞﹣1，∴2cos2A+2cos（B+C）cos（B﹣C）＞0，∴cosA＞0，∴cosAcosBcosC＜0，因此△ABC为钝角三角形，正确；（4）若cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，∵cos（A﹣B）∈（﹣1，1]，cos（B﹣C）∈（﹣1，1]，cos（C﹣A）∈（﹣1，1]，可知：只有三个都等于1，又A，B，C∈（0，π），∴A﹣B=B﹣C=C﹣A=0，∴A=B=C，则△ABC为正三角形，正确．以上正确的命题是：（3）（4）．故答案为：（3）（4）．【点评】本题考查了三角函数的值域、三角形内角和定理、倍角公式与和差公式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+φ）+b．（1）求这段时间的最大温差；（2）写出这段时间的函数解析式．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）由图象的最高点与最低点易于求出这段时间的最大温差；（2）A、b可由图象直接得出，ω由周期求得，然后通过特殊点求φ，则问题解决．【解答】解：（1）由图示，这段时间的最大温差是30﹣10=20℃，（2）图中从6时到14时的图象是函数y=Asin（ωx+∅）+b的半个周期，∴，解得，由图示，，，这时，，将x=6，y=10代入上式，可取，综上，所求的解析式为，x∈．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）+b的部分图象确定其解析式的基本方法．18．已知命题p：“∀x∈，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0”，若命题“p 且q”是真命题，求实数a的取值范围．【考点】四种命题的真假关系．【分析】已知p且q是真命题，得到p、q都是真命题，若p为真命题，a≤x2恒成立；若q为真命题，即x2+2ax+2﹣a=0有实根，即△≥0，分别求出a的范围后，解出a的取值范围．【解答】解：由“p且q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题．若p为真命题，a≤x2恒成立，∵x∈，∴a≤1 ①；若q为真命题，即x2+2ax+2﹣a=0有实根，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，即a≥1或a≤﹣2 ②，对①②求交集，可得{a|a≤﹣2或a=1}，综上所求实数a的取值范围为a≤﹣2或a=1．【点评】本题是一道综合题，主要利用命题的真假关系，求解关于a的不等式．19．某商店销售洗衣粉，年销售总量为6000包，每包进价2.8元，销售价3.4元．全年分若干次进货，每次进货均为x包．已知每次进货运输劳务费为62.5元，全年保管费为1.5x元．（1）把该店经销洗衣粉一年的利润y（元）表示为每次进货量x（包）的函数，并指出函数的定义域；（2）为了使利润最大化，问每次该进货多少包？【考点】函数最值的应用．【专题】应用题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）由年销售总量为6000包，每次进货均为x包，可得进货次数，进而根据每包进价为2.8元，销售价为3.4元，计算出收入，由每次进货的运输劳务费为62.5元，全年保管费为1.5x元计算出成本，相减可得利润的表达式；（2）由（1）中函数的解析式，由基本不等式，结合x的实际意义，可得使利润最大，每次应进货包数．【解答】解：（1）由题意可知：一年总共需要进货（x∈N*且x≤6000）次，∴y=3.4×6000﹣2.8×6000﹣•62.5﹣1.5x，整理得： y=3600﹣﹣（x∈N*且x≤6000）．（2）y=3600﹣﹣≤3600﹣2=2100（当且仅当=，即x=500时取等号）∴当x=500时，y max=3600﹣1500=2100（元），答：当每次进货500包时，利润最大为2100元．【点评】本题考查的知识点是函数最值的应用，其中根据已知条件计算出利润y（元）元表示为每次进货量x（包）的函数表达式是解答本题的关键．20．已知函数f（x）=（x2+1）（x+a）（a∈R），当f′（﹣1）=0时，求函数y=f（x），在上的最大值和最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】综合题．【分析】由f（x）=x3+ax2+x+a，知f′（x）=3x2+2ax+1，故f′（﹣1）=3﹣2a+1=0，所以a=2．由此能求出函数y=f（x），在上的最大值和最小值．【解答】解：f（x）=x3+ax2+x+a，f′（x）=3x2+2ax+1，f′（﹣1）=3﹣2a+1=0，∴a=2.，由，得x＜﹣1，或x＞﹣；由，得．∴函数的递增区间是；函数的递减区间是．，∴函数f（x）在上的最大值为6，最小值．【点评】本题考查函数在闭区间上的最大值和最小值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的灵活运用，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．21．已知函数y=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，且其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行．（1）求函数的单调区间；（2）求函数的极大值与极小值的差．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（1）根据极值点是导函数对应方程的根，可知x=2为y′=0的根，结合导数的几何意义有k=y′|x=1，列出关于a，b的方程组，求解可得到y的解析式，令y′＞0和y′＜0，即可求得函数的单调区间；（2）根据（1）可得y′=0的根，再结合单调性，即可得到函数的极大值与极小值，从而求得答案．【解答】解：（1）∵函数y=x3+3ax2+3bx+c，∴y'=3x2+6ax+3b，∵函数y=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，∴当x=2时，y′=0，即12+12a+3b=0，①∵函数图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行，∴k=y′|x=1=3+6a+3b=﹣3，②联立①②，解得a=﹣1，b=0，∴y=x3﹣3x2+c，则y'=3x2﹣6x，令y'=3x2﹣6x＞0，解得x＜0或x＞2，令y'=3x2﹣6x＜0，解得0＜x＜2，∴函数的单调递增区间是（﹣∞，0），（2，+∞），单调递减区间是（0，2）；（2）由（1）可知，y'=3x2﹣6x，令y′=0，即3x2﹣6x=0，解得x=0，x=2，∵函数在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∴函数在x=0时取得极大值c，在x=2时取得极小值c﹣4，∴函数的极大值与极小值的差为c﹣（c﹣4）=4．【点评】本题考查了导数的几何意义，导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．考查了利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．考查了利用导数研究函数的极值，求函数极值的步骤是：先求导函数，令导函数等于0，求出方程的根，确定函数在方程的根左右的单调性，根据极值的定义，确定极值点和极值．22．已知函数f（x）=e x﹣ln（x+m）（Ι）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0．【考点】利用导数研究函数的单调性；根据实际问题选择函数类型．【专题】压轴题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，因为x=0是函数f（x）的极值点，由极值点处的导数等于0求出m的值，代入函数解析式后再由导函数大于0和小于0求出原函数的单调区间；（Ⅱ）证明当m≤2时，f（x）＞0，转化为证明当m=2时f（x）＞0．求出当m=2时函数的导函数，可知导函数在（﹣2，+∞）上为增函数，并进一步得到导函数在（﹣1，0）上有唯一零点x0，则当x=x0时函数取得最小值，借助于x0是导函数的零点证出f（x0）＞0，从而结论得证．【解答】（Ⅰ）解：∵，x=0是f（x）的极值点，∴，解得m=1．所以函数f（x）=e x﹣ln（x+1），其定义域为（﹣1，+∞）．∵．设g（x）=e x（x+1）﹣1，则g′（x）=e x（x+1）+e x＞0，所以g（x）在（﹣1，+∞）上为增函数，又∵g（0）=0，所以当x＞0时，g（x）＞0，即f′（x）＞0；当﹣1＜x＜0时，g（x）＜0，f′（x）＜0．所以f（x）在（﹣1，0）上为减函数；在（0，+∞）上为增函数；（Ⅱ）证明：当m≤2，x∈（﹣m，+∞）时，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需证明当m=2时f （x）＞0．当m=2时，函数在（﹣2，+∞）上为增函数，且f′（﹣1）＜0，f′（0）＞0．故f′（x）=0在（﹣2，+∞）上有唯一实数根x0，且x0∈（﹣1，0）．当x∈（﹣2，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，从而当x=x0时，f（x）取得最小值．由f′（x0）=0，得，ln（x0+2）=﹣x0．故f（x）≥=＞0．综上，当m≤2时，f（x）＞0．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了不等式的证明，考查了函数与方程思想，分类讨论的数学思想，综合考查了学生分析问题和解决问题的能力．熟练函数与导数的基础知识是解决该题的关键，是难题．。

2020-2021学年山东省济南市高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知全集为R ，集合1{|()1}2x A x =，2{|680}B x x x =-+，则()(R A B =⋂)A ．{|0}x xB ．{|24}x xC ．{|02x x <或4}x >D ．{|02x x <或4}x2．（5分）已知a 是实数，1a ii-+是纯虚数，则(a = ) A ．1B ．1- CD．3．（5分）“18a =”是“对任意的正数x ，21ax x+的” ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为( ) A ．540B ．300C ．180D ．1505．（5分）设113244342(),(),()433a b c ===，则a ，b ，c 的大小顺序是( )A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a <<6．（5分）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问中间3尺的重量为()A ．6斤B ．9斤C ．9.5斤D ．12斤7．（5分）已知函数,01(),0xx x f x lnx x x⎧⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩，若关于x 的方程()f x x a =+无实根，则实数a 的取值范围为( )A ．(-∞，10)(e ⋃，1)B ．(1,0)-C ．1(0,)eD ．(0,1)8．（5分）我国古代入民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若,AB a AD b ==，E 为BF 的中点，则(AE = )A ．4255a b +B ．2455a b +C ．4233a b +D ．2433a b +二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省济南市第一中学2019-2020学年高三上学期期中数学试题一、单选题：本大题共10个小题.每小题4分；共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数11i -的共轭复数为（ ） A. 1122i + B. 1122i -C. 1122i -- D. 1122i -+ 【答案】B 【解析】 试题分析：复数，共轭复数为，故答案为B ．考点：1、复数的四则运算；2、共轭复数的概念．2.已知全集U =R ，集合{|lg }A x y x ==, 集合{|1}B y y x ==+，那么U A C B ⋂= （ ）A. φB. (]0,1C. ()0,1D. ()1,+∞【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合A 和B,再求U U C B A C B ⋂和.【详解】由题得A={x|x>0},B={y|y ≥1}，所以{|1},(0,1)U U C B y y A C B =<∴⋂=. 故答案为C【点睛】(1)本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 集合的运算要注意灵活运用维恩图和数轴，一般情况下，有限集的运算用维恩图分析，无限集的运算用数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用.3.已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ） A. 12 B. 10C. 122D. 62【答案】A 【解析】由已知24356a a q q +=+=，∴22q =，∴25735()2612a a q a a +=+=⨯=，故选A.4.在ABC 中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ） A.2133b c + B. 5233c b -C.2133b c - D. 1233b c +【答案】A 【解析】【详解】试题分析：，故选A ．5.已知函数()f x 满足：①对任意1x 、()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-；②对定义域内的任意x ，都有()()f x f x =-，则符合上述条件的函数是( )A. ()21f x x x =++B. ()1f x x x=- C. ()ln 1f x x =+ D. ()cos f x x =【答案】A 【解析】 【分析】由题意得知，满足条件的函数()y f x =既是偶函数，又在()0,∞+上是增函数，根据这两条性质得出正确选项.【详解】依题意可知，函数()y f x =既是偶函数，又在()0,∞+上是增函数，A 选项中的函数()21f x x x =++为偶函数，当0x >时，()21f x x x =++为增函数；B 选项中的函数()1f x x x=-为奇函数； C 选项中的函数()ln 1f x x =+为非奇非偶函数；D 选项中的函数()cos f x x =为偶函数，但在()0,∞+上不单调. 故选A.【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的判断，解题的关键要从题中的抽象关系式得出函数的单调性与奇偶性，并结合初等函数的基本性质或定义进行判断，属于基础题.6.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ）A. 49B. 91C. 98D. 182【答案】B 【解析】∵3572a a +=，∴11272(4)a d a d ++=+，即167a d +=，∴13711313(6)13791S a a d ==+=⨯=，故选B ．7.已知函数()sin()3f x x π=-，要得到()cos g x x =的图象，只需将函数()y f x =的图象（ ）A. 向左平移56π个单位 B. 向右平移3π个单位 C. 向左平移3π个单位D. 向右平移56π个单位【答案】A 【解析】函数5()cos sin()sin ()236g x x x x πππ⎡⎤==+=-+⎢⎥⎣⎦，所以将函数()f x 的图象向左平移56π个单位时，可得到()cos g x x =的图象，选A.8.已知向量(1,2)a =，10a b ⋅=，||52a b +=，则||b =（ ）C. 5D. 25【答案】C 【解析】 【分析】先求出a ，再求出2||a b +，问题得以解决. 【详解】解：∵向量(1,2)a =， ∴5a =， ∵10a b ⋅=，2222||252050a b a b a b b ∴+=++⋅=++=， 225b ∴=，5b ∴=.故选：C.【点睛】本题考查向量的模的求法，向量数量积的应用，考查计算能力. 9.函数2sin 2xy x =-的图象大致是 A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数22xy sinx =-的解析式，根据定义在R 上的奇函数图像关于原点对称可以排除A ，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个选项即可得到结果 【详解】当0x =时，0200y sin =-= 故函数图像过原点，排除A 又12cos 2y x =-'，令0y '= 则可以有无数解，所以函数的极值点有很多个，故排除B D ， 故函数在无穷域的单调区间呈周期性变化 结合四个选项，只有C 符合要求 故选C【点睛】本题主要考查了由函数的表达式判断函数图像的大体形状，解决此类问题，主要从函数的定义域，值域，单调性以及奇偶性，极值等方面考虑，有时也用特殊值代入验证．10.已知函数2()2||f x x x =-，()2xe g x x =+（其中e 为自然对数的底数），若函数()[()]h xfg x k =-有4个零点，则k 的取值范围为（ ） A. (0,1) B. 2210,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 221,1e e ⎛⎫-⎪⎝⎭D. 221,1e e ⎛⎤-⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】分别讨论函数(),()f x g x 的性质和画出图象，函数()[()]h x f g x k =-有4个零点，即为[()]f g x k =有四个解，可令(),()t g x k f t ==，通过图象观察，分析即可得到结论. 【详解】解：函数2()2||f x x x =-为偶函数，且()f x 的最大值为1，由()2x e g x x =+的导数为2(1)g ()(2)x e x x x '+=+，可得1x >-时，()g x 递增，2x <-或21x -<<-，()g x 递减，1x =-取得极小值1e，作出()f x ，()g x 的图象，函数()[()]h x f g x k =-有4个零点， 即为[()]f g x k =有四个解， 可令(),()t g x k f t ==， 若10k -<<，则122,2t t <->， 则()t x g =有3解，不符题意；若01k <<，则()k f t =有4解，两个负的，两个正的， 则()t x g =可能有4，6解，不符题意； 若221,1k e e ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则()k f t =有4解，两个负的，两个正的，（一个介于1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，一个大于1），则()t x g =有6解，不符题意；若2210,e e k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()k f t =有4解，两个负的，两个正的（一个介于10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，一个大于1）， 则()t x g =有4解，符合题意.故选：B.【点睛】本题考查复合函数的图象交点问题，以及函数的零点个数，考查数形结合思想方法，以及分类讨论思想方法，属于难度较大的题.二、多选题：本大题共3个小题.每小题4分，漏选得3分，错选不得分，共12分11.设{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，且78S S <，8910S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A. 0d < B. 90a =C. 117S S >D. 8S 、9S 均为n S 的最大值【答案】ABD 【解析】 【分析】利用结论：2n ≥时，1n n n a s s -=-，结合题意易推出89100,0,0a a a >=<，然后逐一分析各选项. 【详解】解：由78S S <得12377812a a a a a a a a +++⋯+<++⋯++，即80a >， 又∵89S S =，1229188a a a a a a a ∴++⋯+=++⋯++， 90a ∴=，故B 正确；同理由910S S >，得100a <，1090d a a =-<，故A 正确；对C ，117S S >，即8910110a a a a +++>，可得(9102)0a a +>， 由结论9100,0a a =<，显然C 是错误的；7898810,,S S S S S S <=>∴与9S 均为n S 的最大值，故D 正确；故选：ABD.【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式和n S 的最值问题，熟练应用公式是解题的关键. 12.下列命题正确的是：（ ） A. 函数1()f x x x=-的图像关于坐标原点对称， B. 若()1,1x e -∈，ln a x =，2ln b x =，3ln c x =，则b a c <<，C. 如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，那么||φ的最小值为6πD. 设a 、b ，c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则()()b c a c a b ⋅-⋅不与c 垂直 【答案】ABC 【解析】 【分析】A.通过函数的奇偶性来判断；B.利用对数函数的性质来判断；C.利用三角函数的对称性来判断；D.通过向量的运算法则来判断.【详解】解：对A ：()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，11()()f x x x f x x x ⎛⎫-=+=--=- ⎪-⎝⎭，则()f x 为奇函数，故A 正确；对B ：由()1,1x e -∈得()ln 1,0x ∈-，则3ln 2ln ,ln ln x x x x >>，故b a c <<，故B 正确；对C ：由题可得43cos(2)03πφ⨯+=，得232k ππφπ+=+，解得6k πφπ=-+，则当0k =时，||φ的最小值为6π，故C 正确； 对D ：()()()()0b c a c a b c b c a c c a b c ⎡⎤⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⎣⎦，则()()b c a c a b ⋅-⋅与c 垂直，故D 错误.故选：ABC.【点睛】本题考查函数的奇偶性，三角函数的性质，对数的性质，向量的运算法则，是基础题. 13.对于函数2()16ln(1)10f x x x x =++-，下列正确的是（ ） A. 3x =是函数()f x 的一个极值点 B. ()f x 的单调增区间是(1,1)-，(2,)+∞ C. ()f x 在区间(1,2)上单调递减D. 直线16ln316y =-与函数()y f x =的图象有3个交点 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导，求出()f x 的单调性，极值点，极值，进而可进行判断.【详解】解：由题得2'16286()210,111x x f x x x x x-+=+-=>-++，令22860x x -+=，可得1,3x x ==，则()f x 在()1,1-，()3,+∞上单调递增，在()1,3上单调递减，3x ∴=是函数()f x 的一个极值点，故AC 正确，B 错误；因为2(1)16ln(11)11016ln 29f =++-=-，2(3)16ln(13)310316ln 421f =++-⨯=-， 又()16ln3162y f =-=，根据()f x 在()1,3上单调递减得()()()123f f f >> 得16ln31616ln 29,16ln31616ln 421-<-->-， 所以直线16ln316y =-与函数()y f x =的图象有3个交点，故D 正确.故选：ACD.【点睛】本题考查函数的单调性，极值的综合应用，是中档题.三、填空题：本大题共4个小题，每小题4分；共16分14.已知函数()()321,1log 1,1xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，则()2f f =⎡⎤⎣⎦__________． 【答案】3 【解析】()()()()()132log 211,21213f f f f =+=∴==+=，故答案为3.【思路点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，属于简单题. 对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清出，思路清晰. 本题解答分两个层次：首先求出()2f 的值，进而得到((2))f f 的值. 15.设i 是虚数单位，复数()1a ia R i-∈+对应的点在直线y x =上，则a =_____ 【答案】0 【解析】 【分析】利用复数的除法运算，求出()1a ia R i-∈+对应的点，代入直线y x =，即可求出a .【详解】解：()()()()11111122a i i a i a a i i i i ----+==-++-，其对应的点为11,22a a -+⎛⎫- ⎪⎝⎭， 代入直线y x =得1122a a -+=-，解得0a =. 故答案：0.【点睛】本题考查复数的除法运算及几何意义，是基础题. 16.已知θ是第四象限角，且sin （θ+π4）=35，则tan （θ–π4）= . 【答案】43- 【解析】 【分析】 由题求得θ4π+的范围，结合已知求得cos （θ4π+），再由诱导公式求得sin （4πθ-）及cos （4πθ-），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan （θ4π-）的值．【详解】解：∵θ是第四象限角， ∴222k k ππθπ-+＜＜，则22444k k k Z ππππθπ-+++∈＜＜，，又sin （θ4π+）35=， ∴cos （θ4π+）45===．∴cos （4πθ-）＝sin （θ4π+）35=，sin （4πθ-）＝cos （θ4π+）45=． 则tan （θ4π-）＝﹣tan （4πθ-）44453354sin cos πθπθ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=-=-⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故答案为43-． 【点睛】本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 17.设函数()()221sin 1x xf x x ++=+的最大值为M ，最小值为m ，则m M +=___________ .【答案】2 【解析】()()2221sin 2sin 111x xx x f x x x +++==+++，令22sin ()1x x g x x +=+，则()g x 为奇函数，所以()g x 的最大值和最小值和为0，又()()1g x f x =-. 有110M m -+-=，即2m M +=. 答案为：2.四、解答题：本大题共6个小题，共82分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.18.已知函数32()f x x ax b =++的图像在点(1,0)P 处的切线与直线320x y ++=平行.（1）求a b 、的值：（2）求函数()f x 的单调区间；【答案】（1）3a =-，2b =（2）()f x 分别在,0，2,上是增函数，在[]0,2上是减函数【解析】 【分析】（1）先对函数进行求导，再根据其图象在1x =处的切线斜率为3-，列出方程即可求出a b 、的值； （2）令()'0fx >，可求出函数的单调增区间，相反的即为单调减区间.【详解】解：（1）∵()1,0P 在()32f x x ax b =++的图像上， ∴01a b =++ 又()232f x x ax '=+， 当1x =时，2323x ax +=-， ∴332a -=+， ∴3a =-，2b =； （2）32()32f x x x =-+，若()2360f x x x '=->，则2x >或0x <，∴()f x 分别在(),0-∞，()2,+∞上是增函数，在[]0,2上是减函数.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调区间，属于基础题. 19.已知函数()2cos sin 6f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()1f C =，sin 2sin B A =，且ABC 的面积为c 的值.【答案】（1）T π=（2）c = 【解析】 【分析】（1）()f x 解析式利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，找出ω的值，即可确定出()f x 的最小正周期；（2）由()1f C =确定出C 的度数，sin 2sin B A =利用正弦定理化简得到2b a =，利用三角形面积公式列出关系式，求出ab 的值，联立求出a 与b 的值，利用余弦定理求出c 的值即可.【详解】解：（1）()112cos cos sin 2262f x x x x x π⎫⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()f x ∴的最小正周期为T π=；（2）()1sin 2162f x C π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，∴1sin 262C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 0C π<<，则132666<+<πππC ， ∴5266C ππ+=，3C π∴= ∵sin 2sin B A =， ∴2b a =，又ABC 的面积为∴1sin 23ab π=， ∴8ab =， 则2a =，4b =，由余弦定理得c ===【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及三角函数的周期性，熟练掌握定理及公式是解本题的关键.20.已知数列{}n a 的前n 项和为11,1,0,1n n n n n S a a a a S λ+=≠=-，其中λ为常数． （1）证明：2n n a a λ+-=；（2）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）4λ=. 【解析】试题分析：（I ）对于含,n n a S 递推式的处理，往往可转换为关于项n a 的递推式或关于n S 的递推式．结合结论，该题需要转换为项n a 的递推式．故由11n n n a a S λ+=-得1211n n n a a S λ+++=-．两式相减得结论；（II ）对于存在性问题，可先探求参数的值再证明．本题由11a =，21a λ=-，31a λ=+，列方程得2132a a a =+，从而求出4λ=．得24n n a a +-=，故数列{}n a 的奇数项和偶数项分别为公差为4的等差数列．分别求通项公式，进而求数列{}n a 的通项公式，再证明等差数列．试题解析：（I ）由题设，11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-．两式相减得，121()n n n n a a a a λ+++-=． 由于10n a +≠，所以2n n a a λ+-=．（II ）由题设，11a =，1211a a S λ=-，可得21a λ=-，由（I ）知，31a λ=+．令2132a a a =+，解得4λ=．故24n n a a +-=，由此可得，{}21n a -是首项为1，公差为4的等差数列，211(1)443n a n n -=+-⋅=-；{}2n a 是首项为3，公差为4的等差数列，23(1)441n a n n =+-⋅=-．所以21n a n =-，12n n a a +-=． 因此存在4λ=，使得{}n a 为等差数列．【考点定位】1、递推公式；2、数列的通项公式；3、等差数列． 21.已知向量a ＝（3cos2x ，3sin 2x ），b ＝（cos 2x ，－sin 2x ），且[0,]2x π∈． （Ⅰ）用cosx 表示a ·b 及|a ＋b |；（Ⅱ）求函数f （x ）＝a ·b ＋2|a ＋b |的最小值．【答案】（Ⅰ）a ·b ＝2cos 2x －1，|a ＋b |＝2cos x ．（Ⅱ）当cos x ＝0时，f （x ）取得最小值－1． 【解析】试题分析：（Ⅰ）a ·b ＝3cos2x cos 2x －3sin 2x sin 2x＝cos2x ＝2cos 2x －1，|a ＋b |2|cos x |，∵[0,]2x π∈，∴cos x ≥0，∴ |a ＋b |＝2cos x ．（Ⅱ）f （x ）＝a ·b ＋2|a ＋b |＝2cos 2x －1＋4cos x ＝2（cos x ＋1）2－3， ∵[0,]2x π∈，∴ 0≤cos x ≤1， ∴ 当cos x ＝0时，f （x ）取得最小值－1．考点：本题考查了三角变换与数量积的坐标运算点评：以向量为背景考查三角函数的化简及性质是近两年考试的热点，既考查了向量的坐标运算，又考查了三角函数的性质及最值．22.在数列{}n a 中，已知10a =，26a =，且对于任意正整数n 都有2156n n n a a a ++=-. （1）令12n n n b a a +=-，求数列{}n b 的通项公式. （2）求{}n a 的通项公式.【答案】（1）23n n b =⋅（2）2332n nn a =⋅-⋅【解析】 【分析】（1）由2156n n n a a a ++=-.化为21123(2)n n n n a a a a +++-=-，利用等比数列的通项公式即可求出；（2）由（1）可得1223nn n a a +-=⋅，可得11232(23)n n n n a a ++-⋅=-⋅，利用等比数列的通项公式即可求出.【详解】解：（1）由已知可得21123(2)n n n n a a a a +++-=-， 即13n n b b +=，则{}n b 是公比为3的等比数列， 又16b =，所以163n n b -=⋅，即23nn b =⋅；（2）由（1）知1223nn n a a +-=⋅，所以11232(23)n n n n a a ++-⋅=-⋅，令23nn n c a =-⋅，有12n n c c +=，则{}n c 是公比为2的等比数列， 又16c =-，所以16232n nn c -=-⋅=-⋅， 所以2332n nn a =⋅-⋅.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.23.已知函数()22ln f x x x =-+．（1）求函数()f x 的最大值； （2）若函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点． ①求实数a 的值；②若对于121,,3x x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦（e 为自然对数的底数），不等式()()1211f xg x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）()11f =-；（Ⅱ）（ⅰ）1； （ⅱ）()34 ,2ln31,3⎛⎤-∞-+⋃+∞ ⎥⎝⎦． 【解析】试题分析：（1）求导函数，确定函数的单调性，从而得函数()f x 的最大值；（2）（ⅰ）求导函数，利用函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点，可得1x =是函数()g x 的极值点，从而求解a 的值；（ⅱ）先求出1[,3]x e ∀∈，min max ()(3)92ln 3,()(1)1f x f f x f ==-+==-，1[,3]x e∀∈，min ()(1)2g x g ==，max 10()(3)3g x g ==，再将对于121,[,3]x x e ∈，不等式12()()11f xg x k -≤-恒成立，等价变形，分类讨论，即可求解实数k 的取值范围． 试题解析：（1）22(1)(1)()2(0)x x f x x x x x+-'=-+=->，由()0{f x x >>'得01x <<，由()0{f x x <>'得1x >，∴()f x 在(0,1)上为增函数，在(1,)+∞上为减函数， ∴函数()f x 的最大值为(1)1f =-； （2）∵()a g x x x =+，∴2()1a g x x=-'， （Ⅰ）由（1）知，1x =是函数()f x 的极值点，又∵函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点， ∴1x =是函数()g x 的极值点，∴(1)10g a =-='，解得1a =， 经检验，当1a =时，函数()g x 取到极小值，符合题意；（ⅱ）∵211()2f ee =--，(1)1f =-，(3)92ln 3f =-+， ∵2192ln 321e-+<--<-， 即1(3)()(1)f f f e <<，∴1[,3]x e∀∈，min max ()(3)92ln 3,()(1)1f x f f x f ==-+==-，由（ⅰ）知1()g x x x =+，∴21()1g x x =-'，当1[,1)x e∈时，()0g x '<，当(1,3]x ∈时，()0g x '>，故()g x 在1[,1)e 为减函数，在(1,3]上为增函数，∵11110(),(1)2,(3)333g e g g e e =+==+=，而11023e e <+<，∴1(1)()(3)g g g e <<，∴1[,3]x e ∀∈，min max 10()(1)2,()(3)3g x g g x g ====，①当10k ->，即1k >时，对于121,[,3]x x e ∀∈，不等式12()()11f xg x k -≤-恒成立 12max 1[()()]k f x g x ⇔-≥-12max [()()]1k f x g x ⇔≥-+，∵12()()(1)(1)123f x g x f g -≤-=--=-，∴312k ≥-+=-，又∵1k >，∴1k >， ②当10k -<，即1k <时，对于121,[,]x x e e ∀∈，不等式12()()11f xg x k -≤-，12min 1[()()]k f x g x ⇔-≤-12min [()()]1k f x g x ⇔≤-+，∵121037()()(3)(3)92ln 32ln 333f x g x f g -≥-=-+-=-+，∴342ln 33k ≤-+，又∵1k <， ∴342ln 33k ≤-+．综上，所求的实数k 的取值范围为34(,2ln 3](1,)3-∞-+⋃+∞． 考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的恒成问题的求解．【方法点晴】本题主要考查了导数在求解函数的最大值、最小值等问题中的应用积极函数的恒成立问题的求解，着重考查了分类讨论的数学思想方法，属于难度较大的试题，本题的第2解答中，求出1[,3]x e∀∈，min max ()92ln 3,()1f x f x =-+=-，min ()2g x =，max 10()3g x =，将对于121,[,3]x x e∈，不等式12()()11f xg x k -≤-恒成立，转化为1k >时，12max [()()]1k f x g x ≥-+；1k <时，12min [()()]1k f x g x ≤-+，分别求解实数k 的取值范围．。

2020-2021学年山东省济南市章丘区高三（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．（5分）已知集合1{|1}A x x=<，2{|280)B x x x =-->，则(A B = )A ．(-∞，2)(4-⋃，)+∞B ．(4,)+∞C ．(2-，0)(1⋃，4)D ．(1,4)2．（5分）设复数122iz i-=-（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）已知2log 3a =，4log 8b =，2c ln =，则实数a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．a b c <<4．（5分）已知平面向量(2,)a m =，(1,2)b =-，且|2||2|a b a b -=+，则||(a b += ) A ．1B ．2C ．3D ．45．（5分）“|3|1x -<”是“311x >-”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件6．（5分）函数2()(1)x x f x ln x x -=+-的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．7．（5分）若0x >，0y >，且47x y +=，则111x y++的最小值为( ) A ．2B ．98C ．94D ．328．（5分）设()f x 是定义在(-∞，0)(0⋃，)+∞上的函数，()f x '为其导函数，(12)(21)f x f x -=-，(2)0f -=，当0x >时，()()xf x f x -'<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是( ) A ．(2-，0)(0⋃，2) B ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞C ．(-∞，2)(0-⋃，2)D ．(0，2)(2⋃，)+∞二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9．（5分）若命题“x R ∃∈，22(1)4(1)30k x k x -+-+”是假命题，则k 的值可能为( ) A ．1-B ．1C ．4D ．710．（5分）函数()sin()(0f x A x ωϕω=+>，0)A >的部分图象如图所示，则( )A ．2πω=B ．6AC ．4πϕ=-D ．(0)3f =-11．（5分）为了研究某种病毒在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到了一些数据，绘制成散点图，发现用模型kx y ce =拟合比较合适，令z lny =，得到 1.3z x a =+，经计算发现x ，z 满足如表：天数x 天2 3 4 5 6 z1.54.55.56.57则( ) A ．0.2c e -=B ． 1.3k =C ．0.2c e =D ． 1.3k =-12．（5分）已知函数2||,0()43,0lnx x f x x x x >⎧=⎨++⎩，若函数2()[()]4()1g x f x f x m =-++恰有8个零点，则( )A ．m 的最小值为1B ．m 的最小值为2C ．m 的最大值为3D ．m 无最大值三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．（5分）已知1sin cos 6αα=-，(0,)απ∈，则cos sin αα-= ．14．（5分）先将函数cos()((0y x ϕϕ=+∈，))π的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度，所得函数图象关于y 轴对称，则ϕ= ． 15．（5分）在ABC ∆中，3AC BC ==，2AB =，点M 和点N 分别是边BC 和边AB 上的点，且满足2MC BM =，AN NB =，则AM CN = ．16．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其外接圆的半径为1．若1cos cos cos 3a Ab Bc C ++=，则ABC ∆的面积为 ． 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17．（10分）在①4C π=，②ABC ∆的面积为，③sin BA BC ac bc A =-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．问题：在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，_____，且sin cos a B A =，ABC ∆的外接圆的半径为4．求ABC ∆的周长．18．（12分）某学校为了了解学生暑假期间学习数学的情况，抽取了人数相等的甲、乙两班进行调查，甲班同学每天学习数学的平均时间的频率分布直方图（将时间分成[0，1)，[1，2)，[2，3)，[3，4)，[4，5)，[5，6]共6组）和乙班同学每天学习数学的平均时间的频数分布表如图所示（单位：小时）． 乙班同学学习数学平均时间的频率分布表[5，6] 3（1）从甲班每天学习数学的平均时间在[0，2)的人中随机选出3人，求3人中恰有1人学习数学的平均时间在[0，1)范围内的概率；（2）从甲、乙两个班每天学习数学平均时间不小于5个小时的学生中随机抽取4人进一步了解其他情况，设4人中乙班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）已知向量(cos ,cos sin )a x x x =+，(3sin b x =，11cos sin )22x x -，且函数()f x a b =．（1）求()f x 的解析式及单调递增区间； （2）若α为锐角，且1()3f α=，求cos2α的值．20．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知(sin cos )0b a C C +-=． （1）求A ；（2）若D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，(222)BC AD =，求sin 2B ． 21．（12分）已知函数2222()(log )2log f x x x a =-+．（1）若对任意(0,)x ∈+∞，()0f x >恒成立，求a 的取值范围；（2）设1m >，若对任意[2x ∈，)+∞，不等式((22))(441)x x x x f m f ---<+-恒成立，求m 的取值范围．22．（12分）已知函数()(1)(0)ax f x e lnx a =->．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在(1，f （1）)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若关于x 的方程2()f x ax ax =-在[1，)+∞上恰有三个不同的实数解，求a 的取值范围．2020-2021学年山东省济南市章丘区高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．（5分）已知集合1{|1}A x x=<，2{|280)B x x x =-->，则(A B = )A ．(-∞，2)(4-⋃，)+∞B ．(4,)+∞C ．(2-，0)(1⋃，4)D ．(1,4)【解答】解：{|1A x x =>或0}x <，{|2B x x =<-或4}x >，(AB ∴=-∞，2)(4-⋃，)+∞．故选：A ． 2．（5分）设复数122iz i-=-（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解答】解：因为12(12)(2)432(2)(2)5i i i i z i i i --+-===--+，复数z 在复平面内对应的点为43(,)55-， 所以复数z 在复平面内对应的点在第四象限． 故选：D ．3．（5分）已知2log 3a =，4log 8b =，2c ln =，则实数a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．a b c <<【解答】解：244log 3log 9log 81a b ==>=>， 21c ln lne =<=，∴实数a ，b ，c 的大小关系为c b a <<．故选：B ．4．（5分）已知平面向量(2,)a m =，(1,2)b =-，且|2||2|a b a b -=+，则||(a b += ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：平面向量(2,)a m =，(1,2)b =-，且|2||2|a b a b -=+， 所以22|2||2|a b a b -=+， 可得0a b =，所以20-=，解得m =所以(3,0)a b +=， 所以22||303a b +=+=． 故选：C ．5．（5分）“|3|1x -<”是“311x >-”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：|3|1x -<，24x ∴<<， 311x >-，14x ∴<<， (2，4)(1，4)，∴ “|3|1x -<”是“311x >-”的充分不必要条件， 故选：B ．6．（5分）函数2()(1)x x f x ln x x -=+-的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：22222()(()1())(1)(1)(1)1x xx x x xf x ln x x ln x x x x x x lnx x----===-+--+++++-+-22()1x x x xf x--+===-，()f x∴为奇函数，排除选项B和D；取1x=，则f（1）11-=<，排除选项A，故选：C．7．（5分）若0x>，0y>，且47x y+=，则111x y++的最小值为() A．2B．98C．94D．32【解答】解：若0x>，0y>，且47x y+=，则(1)48x y++=，所以11111141149[(1)4]()(5)[25] 18181818y xx yx y x y x y x y++=+++=++⨯+= +++，当且仅当47411x yy xx y+=⎧⎪+⎨=⎪+⎩，即5343xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立．故选：B．8．（5分）设()f x是定义在(-∞，0)(0⋃，)+∞上的函数，()f x'为其导函数，(12)(21)f x f x-=-，(2)0f-=，当0x>时，()()xf x f x-'<，则使得()0f x>成立的x的取值范围是()A．(2-，0)(0⋃，2)B．(-∞，2)(2-⋃，)+∞C．(-∞，2)(0-⋃，2)D．(0，2)(2⋃，)+∞【解答】解：由题意设()()g x xf x=，则()()()g x xf x f x'='+，当0x>时，有()()0xf x f x'+>，∴则当0x>时，()0g x'>，∴函数()()g x xf x=在(0,)+∞上为增函数，(12)(21)f x f x-=-，故函数()f x是偶函数，()()()()[()]()()g x x f x x f x xf x g x∴-=--=-=-=-，∴函数()g x为定义域上的奇函数，由(2)0f -=得，(2)g g -=-（2）0=，()0f x >即0x >时，()0g x g >=（2），解得：2x >， 0x <时，()0g x <，解得：2x <-∴使得()0f x >成立的x 的取值范围是：(-∞，2)(2-⋃，)+∞，故选：B ．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9．（5分）若命题“x R ∃∈，22(1)4(1)30k x k x -+-+”是假命题，则k 的值可能为( ) A ．1-B ．1C ．4D ．7【解答】解：由题可知，命题“x R ∀∈，22(1)4(1)30k x k x -+-+>”是真命题， 当210k -=时，1k =或1k =-．若1k =，则原不等式为30>，恒成立，符合题意；若1k =-，则原不等式为830x +>，不恒成立，不符合题意． 当210k -≠时，依题意得22210,16(1)4(1)30k k k ⎧->⎨---⨯<⎩． 即(1)(1)0,(1)(7)0,k k k k +->⎧⎨--<⎩解得17k <<．综上所述，实数k 的取值范围为{|17}k k <， 故选：BC ．10．（5分）函数()sin()(0f x A x ωϕω=+>，0)A >的部分图象如图所示，则( )A ．2πω=B ．6AC ．4πϕ=-D ．(0)3f =-【解答】解：由已知，8.5 6.522T =-=，所以24T πω==，解得2πω=，所以()sin()2f x A x πϕ=+．又(8.5)(0.5)0f f ==，所以sin()04A πϕ+=，则24k πϕπ+=，k Z ∈，即24k πϕπ=-+，k Z ∈①．又(5)f =5sin()2A πϕ+cos A ϕ=②．由①②可得A ()sin()24f x x ππ-．故(0))4f π=-=故选：ABD ．11．（5分）为了研究某种病毒在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到了一些数据，绘制成散点图，发现用模型kx y ce =拟合比较合适，令z lny =，得到 1.3z x a =+，经计算发现x ，z 满足如表：则( ) A ．0.2c e -=B ． 1.3k =C ．0.2c e =D ． 1.3k =-【解答】解：由题意可得2345645x ++++==， 1.5 4.5 5.5 6.5755z ++++==，ˆˆ 1.3zx a =+，结果样本中心(4,5)，可得ˆ5 1.340.2a =-⨯=-， 因为z lny =，kx y ce =，所以z kx lnc =+， 所以 1.3k =，0.2lnc a ==-，即0.2c e -=， 故选：AB ．12．（5分）已知函数2||,0()43,0lnx x f x x x x >⎧=⎨++⎩，若函数2()[()]4()1g x f x f x m =-++恰有8个零点，则( )A ．m 的最小值为1B ．m 的最小值为2C ．m 的最大值为3D ．m 无最大值【解答】解：设()f x t =， 因为()g x 有8个零点，所以方程()f x t =有2个不同的实数根，结合()f x 的图象可得2410t t m -++=在(0，3]内有2个不同的实数根， 即214m t t +=-+在(0，3]内有2个不同的实数根， 则314m +<，故23m <． 故选：BD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．（5分）已知1sin cos 6αα=-，(0,)απ∈，则cos sin αα-= 23 ．【解答】解：因为1sin cos 6αα=-，所以12sin cos 03αα=-<，且(0,)απ∈，可得cos 0α<，sin 0α>，因为24(cos sin )12cos sin 3αααα-=-=， 可得23cos sin αα-=． 故答案为：2314．（5分）先将函数cos()((0y x ϕϕ=+∈，))π的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度，所得函数图象关于y 轴对称，则ϕ= 56π ．【解答】解：先将函数cos()((0y x ϕϕ=+∈，))π的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得1cos()2y x ϕ=+的图象；再向左平移3π个单位长度，可得函数1cos()26y x πϕ=++的图象， 根据所得函数图象关于y 轴对称，可得6k πϕπ+=，k Z ∈，则56πϕ=，故答案为：56π． 15．（5分）在ABC ∆中，3AC BC ==，2AB =，点M 和点N 分别是边BC 和边AB 上的点，且满足2MC BM =，AN NB =，则AM CN = 83- ．【解答】解：在ABC ∆中，3AC BC ==，2AB =，点M 和点N 分别是边BC 和边AB 上的点，且满足2MC BM =，AN NB =，如图： 1233AM AC AB =+，1122CN CA CB =+， 则1211()()3322AM CN AC AB CA CB =++211116363AC AB CA AC CB AB CB =-+++222211113321133233()23633623333+-=-⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯⨯83=-． 故答案为：83-．16．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其外接圆的半径为1．若1cos cos cos 3a A b B c C ++=，则ABC ∆的面积为 16． 【解答】解：设ABC ∆的外接圆的半径为R ，因为cos cos cos 3Ra Ab Bc C ++=， 所以2cos 2cos 2cos 123a Ab Bc C R ++=，所以12sin cos 2sin cos 2sin cos 3A A B B C C ++=，即1sin 2sin 2sin 23A B C ++=，所以1sin[()()]sin[()()]sin 23A B A B A B A B C ++-++--+=， 则12sin()cos()2sin cos 3A B A B C C +-+=，因为A B C π++=，所以sin()sin A B C +=，cos()cos A B C +=-， 所以12sin cos()2sin cos()3C A B C A B --+=，所以12sin [cos()cos()]3C A B A B --+=，所以14sin sin sin 3A B C =，即1sin sin sin 12A B C =，设ABC ∆的面积为S ，则111sin 2sin sin sin 22126S ab C A B C ===⨯=．故答案为：16． 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 17．（10分）在①4C π=，②ABC ∆的面积为，③sin BA BC ac bc A =-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．问题：在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，_____，且sin cos a B A =，ABC ∆的外接圆的半径为4．求ABC ∆的周长．【解答】解：因为sin cos a B A +=，由正弦定理可得sin sin cos A B B A B +， 因为sin 0B ≠，所以sin A Asin()3A π+=，因为(0,)A π∈，(33A ππ+∈，4)3π，所以233A ππ+=，可得3A π=， 由于ABC ∆的外接圆的半径4R =，8=，解得a =若选①：4C π=，可得512B A C ππ=--=，8=，解得ABC ∆的周长为a b c ++=；若选②：ABC ∆的面积为1sin 2bc A ，解得48bc =，又由余弦定理可得222248()3()348b c bc b c bc b c =+-=+-=+-⨯，解得b c +=解得ABC ∆的周长为a b c ++==； 若选③：sin BA BC ac bc A =-，可得cos sin ac B ac bc A =-，即cos sin a B a b A =-， 由正弦定理可得sin cos sin sin sin A B A B A =-，由于3A π=，可得sin cos )14B B B π+=+=，可得sin()42B π+=，因为(44B ππ+∈，5)4π，可得344B ππ+=，解得2B π=，6C A B ππ=--=，由正弦定理可得8sin 8b B ==，8sin 4c C ==，解得ABC ∆的周长为12a b c ++=+18．（12分）某学校为了了解学生暑假期间学习数学的情况，抽取了人数相等的甲、乙两班进行调查，甲班同学每天学习数学的平均时间的频率分布直方图（将时间分成[0，1)，[1，2)，[2，3)，[3，4)，[4，5)，[5，6]共6组）和乙班同学每天学习数学的平均时间的频数分布表如图所示（单位：小时）． 乙班同学学习数学平均时间的频率分布表（1）从甲班每天学习数学的平均时间在[0，2)的人中随机选出3人，求3人中恰有1人学习数学的平均时间在[0，1)范围内的概率；（2）从甲、乙两个班每天学习数学平均时间不小于5个小时的学生中随机抽取4人进一步了解其他情况，设4人中乙班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）易知乙班人数共有50人，即甲班共有50人．甲班在[0，2)中的人数有50(0.040.08)16⨯+⨯=（人)，在[0，1)中的人数有500.042⨯=（人)．令A =事件“3人中恰有1人学习数学“，故P （A ）1224360.6C C C ==． 即3人中恰有1人学习数学的平均时间在[0，1)范围内的概率为0.6．（2）甲班中每天学习数学时间不小5小时的人数为500.084⨯=（人)，乙班有3人． 故甲乙两班每天学习数学不小于5小时的人数共有437+=人．从这7人中任取4人，设4人中乙班学生的人数为ξ，ξ的可能取值为0，1，2，3．44471(0)35C P C ξ===；31434712(1)35C C P C ξ===；22434718(2)35C C P C ξ===；1343474(3)35C C P C ξ===．故ξ的分布列为：0 1 2 3 P13512351835435故期望112184120123353535357E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．（12分）已知向量(cos ,cos sin )a x x x =+，(3sin b x =，11cos sin )22x x -，且函数()f x a b =．（1）求()f x 的解析式及单调递增区间； （2）若α为锐角，且1()3f α=，求cos2α的值．【解答】解：（1）1()3cos sin (cos sin )(cos sin )2f x a b x x x x x x ==++-12cos2sin(2)26x x x π=+=+， 令222262k x k πππππ-+++，k Z ∈，得36k xk ππππ-++，k Z ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为[,]()36k k k Z ππππ-++∈．（2）因为α为锐角，所以72(,)666πππα+∈， 又因为110()sin(2)632f παα<=+=<，所以2(,)62ππαπ+∈，所以cos(2)6πα+=，所以cos2cos[(2)]66ππαα=+-cos(2)cos sin(2)sin 6666ππππαα=+++=． 20．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知(sin cos )0b a C C +-=． （1）求A ；（2）若D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，2)BC AD =，求sin 2B ． 【解答】解：（1）因为(sin cos )0b a C C +-=， 所以sin sin (sin cos )0B A C C +-=，所以sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，即cos sin sin sin 0A C A C +=， 因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以sin cos 0A A +=，则tan 1A =-， 因为0A π<<，所以34A π=． （2）因为AD BC ⊥，所以11sin 22ABC S bc A a AD ∆==a AD =，因为2)BC AD =，所以AD =，所以2(2a bc =+，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，则22(2bc b c +=++，整理可得2()0b c -=，即b c =，可得B C =，因为34A π=，所以8B π=，所以sin 2sin 4B π==．21．（12分）已知函数2222()(log )2log f x x x a =-+．（1）若对任意(0,)x ∈+∞，()0f x >恒成立，求a 的取值范围；（2）设1m >，若对任意[2x ∈，)+∞，不等式((22))(441)x x x x f m f ---<+-恒成立，求m 的取值范围．【解答】解：（1）可令2log t x =，则222y t t a =-+，由0x >，可得t R ∈， 对任意(0,)x ∈+∞，()0f x >恒成立，等价为t R ∈，2220y t t a =-+>恒成立， 则△2440a =-<，解得1a >或1a <-； （2）令2log t x =，因为2x ，则1t ，因为222y t t a =-+的对称轴为1t =，所以222y t t a =-+在[1，)+∞递增，即()f x 在[2，)+∞递增，因为2x ，所以152224x x-->，4412x x -+->， 因为1m >，所以(22)2x x m -->，因为((22))(441)xxxxf m f ---<+-，所以(22)441xxxxm ---<+-，即44122x x x xm --+-<-，因为2441(22)1x x x x --+-=-+，所以12222x x x xm --<-+-，因为15224x x--，所以1154241222241560x x x x ---++=-，故24160m <， 因为1m >，所以m 的取值范围是241(1,)60． 22．（12分）已知函数()(1)(0)ax f x e lnx a =->．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在(1，f （1）)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若关于x 的方程2()f x ax ax =-在[1，)+∞上恰有三个不同的实数解，求a 的取值范围． 【解答】解：（1）当1a =时，()(1)x f x e lnx =-，可得f （1）0=，()f x 的导数1()x xe f x e lnx lnx-'=+， 所以切线的斜率为k f ='（1）1e =-， 则切线的方程为(1)(1)y e x =--，该切线与x 轴的交点为(1,0)，与y 轴的交点为(0,1)e -， 所以所求三角形的面积为111(1)22e e -⨯⨯-=；（2）显然1x =为方程2()f x ax ax =-的根，当0x >且1x ≠时，原方程等价于111ax lnx e x e ax lnx lnx---==， 设1()(0)x e g x x x -=>，2(1)1()x x e g x x -+'=， 设()1(1)(0)x h x x e x =+->，()0x h x xe '=>，可得()h x 在(0,)+∞递增， 则()((0)0h x h >=，即()0g x '>，()g x 在(0,)+∞递增， 原方程等价于()()g ax g lnx =，只需ax lnx =在(1,)+∞上有两个不等实根． 故只需ax lnx =在(1,)+∞上有两个不等的实根． 则(1)lnxa x x=>， 设()(1)lnx k x x x =>，21()lnxk x x-'=， 可得()k x 在(1,)e 递增，在(,)e +∞递减， 则()k x 的最大值为k （e ）1e =，又k （1）0=，所以a 的范围是1(0,)e．。

2020届山东省济南市高三上学期期中数学试题一、单选题1．复数11i -的共轭复数为（ ） A ．1122i + B ．1122i - C ．1122i -- D ．1122i -+【答案】B【解析】试题分析：复数()()2212111111i i i i i i +=+=+-+=-，共轭复数为221i-，故答案为B ．【考点】1、复数的四则运算；2、共轭复数的概念．2．已知全集U =R ，集合{|lg }A x y x ==, 集合{|1}B y y ==，那么U A C B ⋂= （ ）A ．φB ．(]0,1C ．()0,1D ．()1,+∞【答案】C【解析】先化简集合A 和B,再求U U C B A C B ⋂和. 【详解】由题得A={x|x>0},B={y|y≥1}，所以{|1},(0,1)U U C B y y A C B =<∴⋂=. 故答案为：C 【点睛】(1)本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 集合的运算要注意灵活运用维恩图和数轴，一般情况下，有限集的运算用维恩图分析，无限集的运算用数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用. 3．已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ）A ．12B ．10C ．D ．【答案】A【解析】由已知24356a a q q +=+=，∴22q =，∴25735()2612a a q a a +=+=⨯=，故选A.4．在ABC 中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）A ．2133b c + B ．5233c b -C ．2133b c - D ．1233b c +【答案】A【解析】【详解】试题分析：，故选A ．5．已知函数()f x 满足：①对任意1x 、()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-；②对定义域内的任意x ，都有()()f x f x =-，则符合上述条件的函数是( )A ．()21f x x x =++B ．()1f x x x=- C ．()ln 1f x x =+ D ．()cos f x x =【答案】A【解析】由题意得知，满足条件的函数()y f x =既是偶函数，又在()0,∞+上是增函数，根据这两条性质得出正确选项. 【详解】依题意可知，函数()y f x =既是偶函数，又在()0,∞+上是增函数，A 选项中的函数()21f x x x =++为偶函数，当0x >时，()21f x x x =++为增函数；B 选项中的函数()1f x x x=-为奇函数； C 选项中的函数()ln 1f x x =+为非奇非偶函数；D 选项中的函数()cos f x x =为偶函数，但在()0,∞+上不单调. 故选A. 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的判断，解题的关键要从题中的抽象关系式得出函数的单调性与奇偶性，并结合初等函数的基本性质或定义进行判断，属于基础题. 6．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A ．49 B ．91C ．98D ．182【答案】B【解析】∵3572a a +=，∴11272(4)a d a d ++=+，即167a d +=，∴13711313(6)13791S a a d ==+=⨯=，故选B ． 7．已知函数()sin()3f x x π=-，要得到()cos g x x =的图象，只需将函数()y f x =的图象（ ）A ．向左平移56π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移3π个单位D ．向右平移56π个单位【答案】A【解析】函数5()cos sin()sin ()236g x x x x πππ⎡⎤==+=-+⎢⎥⎣⎦，所以将函数()f x 的图象向左平移56π个单位时，可得到()cos g x x =的图象，选A. 8．已知向量(1,2)a =，10a b ⋅=，||52a b +=，则||b =（ ）A ．BC ．5D ．25【答案】C【解析】先求出a ，再求出2||a b +，问题得以解决. 【详解】解：∵向量(1,2)a =， ∴5a =， ∵10a b ⋅=，2222||252050a b a b a b b ∴+=++⋅=++=， 225b ∴=，5b ∴=.故选：C. 【点睛】本题考查向量的模的求法，向量数量积的应用，考查计算能力. 9．函数2sin 2xy x =-的图象大致是A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据函数22xy sinx =-的解析式，根据定义在R 上的奇函数图像关于原点对称可以排除A ，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个选项即可得到结果 【详解】当0x =时，0200y sin =-= 故函数图像过原点，排除A 又12cos 2y x =-'，令0y '= 则可以有无数解，所以函数的极值点有很多个，故排除B D ， 故函数在无穷域的单调区间呈周期性变化 结合四个选项，只有C 符合要求 故选C 【点睛】本题主要考查了由函数的表达式判断函数图像的大体形状，解决此类问题，主要从函数的定义域，值域，单调性以及奇偶性，极值等方面考虑，有时也用特殊值代入验证．10．已知函数2()2||f x x x =-，()2xe g x x =+（其中e 为自然对数的底数），若函数()[()]h x f g x k =-有4个零点，则k 的取值范围为（ ）A ．(0,1)B ．2210,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．221,1e e ⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．221,1e e ⎛⎤-⎥⎝⎦ 【答案】B【解析】分别讨论函数(),()f x g x 的性质和画出图象，函数()[()]h x f g x k =-有4个零点，即为[()]f g x k =有四个解，可令(),()t g x k f t ==，通过图象观察，分析即可得到结论. 【详解】解：函数2()2||f x x x =-为偶函数，且()f x 的最大值为1，由()2x e g x x =+的导数为2(1)g ()(2)x e x x x '+=+，可得1x >-时，()g x 递增，2x <-或21x -<<-，()g x 递减，1x =-取得极小值1e，作出()f x ，()g x 的图象，函数()[()]h x f g x k =-有4个零点， 即为[()]f g x k =有四个解， 可令(),()t g x k f t ==， 若10k -<<，则122,2t t <->， 则()t x g =有3解，不符题意；若01k <<，则()k f t =有4解，两个负的，两个正的， 则()t x g =可能有4，6解，不符题意； 若221,1k e e ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则()k f t =有4解，两个负的，两个正的，（一个介于1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，一个大于1），则()t x g =有6解，不符题意；若2210,e e k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()k f t =有4解，两个负的，两个正的（一个介于10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，一个大于1），则()t x g =有4解，符合题意. 故选：B. 【点睛】本题考查复合函数的图象交点问题，以及函数的零点个数，考查数形结合思想方法，以及分类讨论思想方法，属于难度较大的题.二、多选题11．设{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，且78S S <，8910S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d < B ．90a =C ．117S S >D ．8S 、9S 均为n S 的最大值 【答案】ABD【解析】利用结论：2n ≥时，1n n n a s s -=-，结合题意易推出89100,0,0a a a >=<，然后逐一分析各选项. 【详解】解：由78S S <得12377812a a a a a a a a +++⋯+<++⋯++，即80a >， 又∵89S S =，1229188a a a a a a a ∴++⋯+=++⋯++，90a ∴=，故B 正确；同理由910S S >，得100a <，1090d a a =-<，故A 正确；对C ，117S S >，即8910110a a a a +++>，可得(9102)0a a +>， 由结论9100,0a a =<，显然C 是错误的；7898810,,S S S S S S <=>∴与9S 均为n S 的最大值，故D 正确；故选：ABD.【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式和n S 的最值问题，熟练应用公式是解题的关键. 12．下列命题正确的是：（ ） A ．函数1()f x x x=-的图像关于坐标原点对称， B ．若()1,1x e -∈，ln a x =，2ln b x =，3ln c x =，则b a c <<， C ．如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，那么||φ的最小值为6π D ．设a 、b ，c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则()()b c a c a b ⋅-⋅不与c 垂直【答案】ABC【解析】A.通过函数的奇偶性来判断；B.利用对数函数的性质来判断；C.利用三角函数的对称性来判断；D.通过向量的运算法则来判断. 【详解】解：对A ：()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，11()()f x x x f x x x ⎛⎫-=+=--=- ⎪-⎝⎭，则()f x 为奇函数，故A 正确；对B ：由()1,1x e -∈得()ln 1,0x ∈-，则3ln 2ln ,ln ln x x x x >>，故b a c <<，故B正确；对C ：由题可得43cos(2)03πφ⨯+=，得232k ππφπ+=+，解得6k πφπ=-+，则当0k =时，||φ的最小值为6π，故C 正确； 对D ：()()()()0b c a c a b c b c a c c a b c ⎡⎤⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⎣⎦，则()()b c a c a b ⋅-⋅与c 垂直，故D 错误. 故选：ABC. 【点睛】本题考查函数的奇偶性，三角函数的性质，对数的性质，向量的运算法则，是基础题. 13．对于函数2()16ln(1)10f x x x x =++-，下列正确的是（ ）A ．3x =是函数()f x 的一个极值点B ．()f x 的单调增区间是(1,1)-，(2,)+∞C ．()f x 在区间(1,2)上单调递减D ．直线16ln316y =-与函数()y f x =的图象有3个交点 【答案】ACD【解析】求导，求出()f x 的单调性，极值点，极值，进而可进行判断. 【详解】解：由题得2'16286()210,111x x f x x x x x-+=+-=>-++，令22860x x -+=，可得1,3x x ==，则()f x 在()1,1-，()3,+∞上单调递增，在()1,3上单调递减，3x ∴=是函数()f x 的一个极值点，故AC 正确，B 错误；因为2(1)16ln(11)11016ln 29f =++-=-，2(3)16ln(13)310316ln 421f =++-⨯=-，又()16ln3162y f =-=，根据()f x 在()1,3上单调递减得()()()123f f f >> 得16ln31616ln 29,16ln31616ln 421-<-->-，所以直线16ln316y =-与函数()y f x =的图象有3个交点，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查函数的单调性，极值的综合应用，是中档题.三、填空题14．已知函数()()321,1log 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，则()2f f =⎡⎤⎣⎦__________． 【答案】3【解析】()()()()()132log 211,21213f ff f =+=∴==+=，故答案为3.【思路点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，属于简单题. 对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清出，思路清晰. 本题解答分两个层次：首先求出()2f 的值，进而得到((2))f f 的值. 15．设i 是虚数单位，复数()1a ia R i-∈+对应的点在直线y x =上，则a =_____ 【答案】0【解析】利用复数的除法运算，求出()1a ia R i-∈+对应的点，代入直线y x =，即可求出a . 【详解】 解：()()()()11111122a i i a i a a i i i i ----+==-++-，其对应的点为11,22a a -+⎛⎫- ⎪⎝⎭， 代入直线y x =得1122a a -+=-，解得0a =. 故答案为：0. 【点睛】本题考查复数的除法运算及几何意义，是基础题. 16．已知θ是第四象限角，且sin （θ+π4）=35，则tan （θ–π4）= . 【答案】43-【解析】由题求得θ4π+的范围，结合已知求得cos （θ4π+），再由诱导公式求得sin （4πθ-）及cos （4πθ-），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan（θ4π-）的值． 【详解】解：∵θ是第四象限角， ∴222k k ππθπ-+＜＜，则22444k k k Z ππππθπ-+++∈＜＜，， 又sin （θ4π+）35=，∴cos （θ4π+）45===． ∴cos （4πθ-）＝sin （θ4π+）35=，sin （4πθ-）＝cos （θ4π+）45=．则tan （θ4π-）＝﹣tan （4πθ-）44453354sin cos πθπθ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=-=-⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故答案为43-． 【点睛】本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 17．设函数()()221sin 1x xf x x ++=+的最大值为M ，最小值为m ，则m M +=___________ .【答案】2 【解析】()()2221sin 2sin 111x xx x f x x x +++==+++，令22sin ()1x x g x x +=+，则()g x 为奇函数，所以()g x 的最大值和最小值和为0，又()()1g x f x =-. 有110M m -+-=，即2m M +=. 答案为：2.四、解答题18．已知函数32()f x x ax b =++的图像在点(1,0)P 处的切线与直线320x y ++=平行.（1）求a b 、的值：（2）求函数()f x 的单调区间；【答案】（1）3a =-，2b =（2）()f x 分别在,0，2,上是增函数，在[]0,2上是减函数【解析】（1）先对函数进行求导，再根据其图象在1x =处的切线斜率为3-，列出方程即可求出a b 、的值； （2）令()'0f x >，可求出函数的单调增区间，相反的即为单调减区间.【详解】解：（1）∵()1,0P 在()32f x x ax b =++的图像上，∴01a b =++ 又()232f x x ax '=+， 当1x =时，2323x ax +=-， ∴332a -=+， ∴3a =-，2b =； （2）32()32f x x x =-+，若()2360f x x x '=->，则2x >或0x <，∴()f x 分别在(),0-∞，()2,+∞上是增函数，在[]0,2上是减函数. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调区间，属于基础题. 19．已知函数()2cos sin 6f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()1f C =，sin 2sin B A =，且ABC 的面积为c 的值.【答案】（1）T π=（2）c =【解析】（1）()f x 解析式利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，找出ω的值，即可确定出()f x 的最小正周期；（2）由()1f C =确定出C 的度数，sin 2sin B A =利用正弦定理化简得到2b a =，利用三角形面积公式列出关系式，求出ab 的值，联立求出a 与b 的值，利用余弦定理求出c 的值即可. 【详解】解：（1）()112cos cos sin 22262f x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()f x ∴的最小正周期为T π=；（2）()1sin 2162f x C π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭， ∴1sin 262C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0C π<<，则132666<+<πππC ， ∴5266C ππ+=，3C π∴= ∵sin 2sin B A =， ∴2b a =，又ABC 的面积为23， ∴1sin 2323ab π=， ∴8ab =， 则2a =，4b =，由余弦定理得222212cos 2428232c a b ab C =+-=+-⨯⨯=. 【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及三角函数的周期性，熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 20．已知数列的前项和为，其中为常数．（1）证明：；（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（I ）对于含递推式的处理，往往可转换为关于项的递推式或关于的递推式．结合结论，该题需要转换为项的递推式．故由得．两式相减得结论；（II ）对于存在性问题，可先探求参数的值再证明．本题由，，，列方程得，从而求出．得，故数列的奇数项和偶数项分别为公差为4的等差数列．分别求通项公式，进而求数列的通项公式，再证明等差数列．试题解析：（I ）由题设，，．两式相减得，．由于，所以．（II ）由题设，，，可得，由（I ）知，．令，解得．故，由此可得，是首项为1，公差为4的等差数列，；是首项为3，公差为4的等差数列，．所以，． 因此存在，使得为等差数列．【考点定位】1、递推公式；2、数列的通项公式；3、等差数列．21．（本小题满分12分） 已知向量a ＝（3cos2x ，3sin 2x ），b ＝（cos 2x ，－sin 2x），且[0,]2x π∈． （Ⅰ）用cosx 表示a ·b 及|a ＋b |； （Ⅱ）求函数f （x ）＝a ·b ＋2|a ＋b |的最小值． 【答案】（Ⅰ）a ·b ＝2cos 2x －1，|a ＋b |＝2cos x ． （Ⅱ）当cos x ＝0时，f （x ）取得最小值－1．【解析】试题分析：（Ⅰ）a ·b ＝3cos 2x cos 2x －3sin 2x sin 2x＝cos2x ＝2cos 2x －1，|a ＋b |2233cos cos sin sin 2222x x x x ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22cos 2x +2|cos x |，∵ [0,]2x π∈，∴ cos x ≥0，∴ |a ＋b |＝2cos x ．（Ⅱ）f （x ）＝a ·b ＋2|a ＋b |＝2cos 2x －1＋4cos x ＝2（cos x ＋1）2－3， ∵ [0,]2x π∈，∴ 0≤cos x ≤1， ∴ 当cos x ＝0时，f （x ）取得最小值－1．【考点】本题考查了三角变换与数量积的坐标运算点评：以向量为背景考查三角函数的化简及性质是近两年考试的热点，既考查了向量的坐标运算，又考查了三角函数的性质及最值。