【高中同步测控 优化设计】高中数学选修2-3训练：2章测评B Word版含答案[ 高考]

模块综合测评(B)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．对变量x，y观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(u i，v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断()图1图2A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关2．判断两个分类变量是彼此相关还是相互独立的常用方法中，最为精确的是()A ．三维柱形图B ．二维条形图C ．等高条形图D ．独立性检验3．某地2014年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：数据，就业形势一定是( )A ．计算机行业好于营销行业B ．建筑行业好于物流行业C ．机械行业最紧张D ．营销行业比贸易行业紧张4．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：( ) A ．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 D ．有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 C ．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 D ．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关5．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是( )A ．40B ．74C ．84D ．2006．将二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋124x 8的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法有( )种A ．A 37B ．A 66A 36 C ．A 66A 37 D ．A 77A 377．将三颗骰子各掷一次，设事件A ＝“三个点数都不相同”，B ＝“至少出现一个6点”，则概率P (A |B )等于( )A ．6091B ．12C ．518D ．912168．正态分布N 1(μ1，σ21)，N 2(μ2，σ22)，N 3(μ3，σ23)(其中σ1，σ2，σ3均大于0)所对应的密度函数图象如下图所示，则下列说法正确的是( )A ．μ1最大，σ1最大B ．μ3最大，σ3最大C ．μ1最大，σ3最大D ．μ3最大，σ1最大9．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布B (10,0.6)，则E (η)和D (η)的值分别是( )A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.610．一名篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a ，b ，c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab 的最大值为( )A ．148B ．124C ．112D ．16二、填空题(本大题5个小题，每题5分，共25分)11．有4名男生，3名女生排成一排，若3名女生中有2名站在一起，但3名女生不能全排在一起，则不同的排法种数有________．12．某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为__________．13．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2的观测值k≈3.918，经查临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.则下列结论中，正确结论的序号是______．①在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③这种血清预防感冒的有效率为95%；④这种血清预防感冒的有效率为5%.14．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠．在照射14天后的结果如下表所示：，k＝________，两种剂量对小白鼠的致死作用__________．(填“相同”或“不相同”)15．某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm,170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________ cm.三、解答题(本题共有6个小题，共75分)16．(12分)研究某特殊药物有无副作用(比如服用后恶心)，给50个患者服用此药，给另外50个患者服用安慰剂，记录每类样本中出现恶心的数目如下表：17．(12分)某5名学生的总成绩与数学成绩如下表：(1)(2)求数学成绩对总成绩的回归方程；(3)如果一个学生的总成绩为450分，试预测这个学生的数学成绩(参考数据：4822＋3832＋4212＋3642＋3622＝819 794,482×78＋383×65＋421×71＋364×64＋362×61＝137 760)．18．(12分)带有编号1,2,3,4,5的五个球． (1)全部投入4个不同的盒子里； (2)放进4个不同的盒子里，每盒一个；(3)将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)； (4)全部投入4个不同的盒子里，没有空盒． 各有多少种不同的放法？ 19．(12分)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1241x n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有的有理项．20．(13分)为了调查某生产线上质量监督员甲是否在生产现场对产品质量好坏有无影响，现统计数据如下：甲在生产现场时，990件产品中有合格品982件，次品8件；甲不在生产现场时，510件产品中有合格品493件，次品17件．试分别用列联表、等高条形图、独立性检验的方法分析监督员甲对产品质量好坏有无影响．能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为质量监督员甲在不在生产现场与产品质量好坏有关系？21．(14分)一次小测验共有3道选择题和2道填空题，每答对一道题得20分，答错或不答得0分．某同学答对每道选择题的概率均为0.8，答对每道填空题的概率均为0.5，各道题答对与否互不影响．(1)求该同学恰好答对2道选择题和1道填空题的概率；(2)求该同学至多答对4道题的概率；(3)若该同学已经答对了两道填空题，把他这次测验的得分记为X，求X的分布列及数学期望．参考答案一、1．解析：由散点图可以判断变量x 与y 负相关，u 与v 正相关． 答案：C2．解析：前三种方法只能直观地看出两个分类变量x 与y 是否相关，但看不出相关的程度．独立性检验通过计算得出相关的可能性，较为准确．答案：D 3．答案：B4．解析：根据临界值表，9.643＞7.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关，即有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关．答案：D5．解析：分三类：第一类：前5个题目的3个，后4个题目的3个， 第二类：前5个题目的4个，后4个题目的2个，第三类：前5个题目的5个，后4个题目的1个，由分类加法计数原理，得考生答题的不同选法的种数是C 35C 34＋C 45C 24＋C 55C 14＝74.答案：B6．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x 8展开式的通项公式T r ＋1＝C r 8·(x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫124x r ＝C r 82r ·1634r x -，r ＝0,1,2，…，8.当16－3r4为整数时，r ＝0,4,8.∴展开式共有9项，其中有有理项3项，先排其余6项有A 66种排法，再将有理项插入形成的7个空档中，有A 37种方法．∴共有A 66A 37种排法．答案：C7．解析：P (B )＝1－P (B )＝1－5×5×56×6×6＝91216，P (AB )＝C 13×5×46×6×6＝60216，∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝6091.答案：A8．解析：在正态分布N (μ，σ2)中，x ＝μ为正态曲线的对称轴，结合图象可知，μ3最大；又参数σ确定了曲线的形状：σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”．故由图象知σ1最大．答案：D9．解析：由已知得E (ξ)＝6，D (ξ)＝2.4，所以E (η)＝8－E (ξ)＝2，D (η)＝(－1)2D (ξ)＝2.4.答案：B10．解析：由已知，得3a ＋2b ＋0×c ＝2，即3a ＋2b ＝2， 所以ab ＝16×3a ×2b ≤16⎝⎛⎭⎫3a ＋2b 22＝16.答案：D二、11．解析：先从3名女生中选出2名捆绑，再用插空法，不同的排法种数有A 44·A 23·A 25＝2 880.答案：2 88012．解析：设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A ，B ，C ，显然P (A )＝P (B )＝P (C )＝12，∴该部件的使用寿命超过1 000的事件为(A B ＋A B ＋AB )C .∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为P ＝⎝⎛ 12×12＋12×12＋12×⎭⎫12×12＝38. 答案：3813．解析：K 2的观测值k ≈3.918≥3.841，而P (K 2≥3.841)≈0.05，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．要注意我们检验的是假设是否成立和该血清预防感冒的有效率是没有关系的，不是同一个问题，不要混淆．答案：①14．答案：H 0：小白鼠的死亡与电离辐射的剂量无关 5.33 不相同15．解析：由题意父亲身高x cm 与儿子身高y cm 对应关系如下表：则x ＝173＋170＋1763＝173，y ＝170＋176＋1823＝176，∑3i ＝1(x i －x )(y i －y )＝(173－173)×(170－176)＋(170－173)×(176－176)＋(176－173)×(182－176)＝18，∑3i ＝1(x i －x )2＝(173－173)2＋(170－173)2＋(176－173)2＝18. ∴b ^＝1818＝1.∴a ^＝y －b ^ x ＝176－173＝3.∴线性回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^＝x ＋3.∴可估计该老师他的孙子身高为182＋3＝185(cm)． 答案：185三、16．解：由题意，问题可以归纳为独立检验假设H 1：服该药物与服用后恶心独立．为了检验假设，计算统计量K 2的观测值k ＝100×(15×46－4×35)250×50×19×81≈7.86＞6.635.故拒绝H 1，即不能认为药物无恶心副作用，也可以说，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该药物有恶心的副作用．17．解：(1)散点图如图(2)设回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^， b ^＝∑5i ＝1x i y i －5x y ∑5i ＝1x 2i －5x 2＝137 760－5×3395×2 0125819 794－5×⎝⎛⎭⎫2 01252≈0.132，a ^＝y －b ^x ≈3395－0.132×2 0125＝14.683 2， 所以回归方程为y ^＝14.683 2＋0.132x .(3)当x ＝450时，y ^＝14.683 2＋0.132×450＝74.083 2≈74，即数学成绩大约为74分． 18．解：(1)由分步乘法计数原理知，五个球全部投入4个不同的盒子里共有45种放法．(2)由排列数公式知，五个不同的球放进4个不同的盒子里(每盒一个)共有A 45种放法． (3)将其中的4个球投入一个盒子里共有C 45C 14种放法．(4)全部投入4个不同的盒子里(没有空盒)共有C 25A 44种不同的放法．19．解：∵前三项的系数为1，12C 1n ，14C 2n ，且它们成等差数列， ∴2×12C 1n ＝1＋14C 2n ， 即n 2－9n ＋8＝0.∴n ＝8或n ＝1(舍去)．∴通项为T r ＋1＝C r 8·(x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1241x r ＝⎝⎛⎭⎫12r ·C r 8·344rx -. ∴展开式中的有理项仅在4－3r4为整数时成立，又3与4互质，故r 是4的倍数．又∵0≤r ≤8，∴r ＝0,4,8.∴展开式中的有理项是T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x 2.20．解：(1)2×2列联表如下：“质量监督员甲是否在生产现场与产品质量有关系”．(2)相应的等高条形图如图所示．图中两个深色条的高分别表示甲在生产现场和甲不在生产现场样本中次品数的频率．从图中可以看出，甲不在生产现场样本中次品数的频率明显高于甲在生产现场样本中次品数的频率．因此可以认为质量监督员甲在不在生产现场与产品质量好坏有关系．(3)由2×2列联表中数据，计算得到K 2的观测值为k ＝1 500×(982×17－493×8)2990×510×1 475×25≈13.097＞10.828，因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为质量监督员甲在不在生产现场与产品质量好坏有关系．21．解：(1)P ＝C 23×⎝⎛⎭⎫452×15×C 12×⎝⎛⎭⎫122＝24125.(2)该同学至多答对4道题的概率为1－⎝⎛⎭⎫453×⎝⎛⎭⎫122＝109125.(3)X 的可能取值为40,60,80,100.P (X ＝40)＝⎝⎛⎭⎫153＝1125，P (X ＝60)＝C 13×45×⎝⎛⎭⎫152＝12125， P (X ＝80)＝C 23×⎝⎛⎭⎫452×15＝48125， P (X ＝100)＝⎝⎛⎭⎫453＝64125.所以X 的分布列为E (X )＝40×1125＋60×12125＋80×48125＋100×64125＝88.。

章末检测时间：分钟满分：分一、选择题(本大题共个小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．袋中装有大小相同的只球，上面分别标有，在有放回的条件下依次取出两球，设两球号码之和为随机变量，则所有可能值的个数是 ( )．．．．解析：“有放回”的取和“不放回”的取是不同的，故的所有可能取值有、、、、、、、、共种．答案：．某产品有件，其中有次品件，现从中任取件，则其中至少有一件次品的概率约是( )．．．．解析：＝－≈，故选.答案：．已知离散型随机变量的分布列如下：则其数学期望()等于( )．．．＋．解析：由分布列的性质得＝－－＝，所以()＝×＋×＋×＝.答案：．已知甲投球命中的概率是，乙投球命中的概率是，假设他们投球命中与否相互之间没有影响．如果甲、乙各投球次，则恰有人投球命中的概率为( )解析：记“甲投球次命中”为事件，“乙投球次命中”为事件.根据互斥事件的概率公式和相互独立事件的概率公式，所求的概率为＝()＋()＝()()＋()()＝×＋×＝.答案：．设随机变量ξ～()，又η＝ξ，则(η)和(η)分别为( )和和和和解析：因为随机变量ξ～()，所以(ξ)＝×＝.(ξ)＝××＝，又∵η＝ξ，∴(η)＝(ξ)＝，(η)＝(ξ)＝.答案：．已知离散型随机变量等可能取值，…，，若(≤≤)＝，则的值为( )．．．．解析：由已知的分布列为(＝)＝，＝，…，，所以(≤≤)＝(＝)＋(＝)＋(＝)＝＝，＝.答案：．已知，为随机变量，且＝＋，若()＝，()＝，则，可能的值分别为( )．．．．解析：由()＝(＋)＝()＋＝＋＝，把选项代入验证，可知选项满足．答案：．从中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数之和为偶数”，事件为“取到的两数均为偶数”，()＝( )解析：∵()＝＝，()＝＝，∴()＝＝.答案：．已知随机变量～(，σ)．若(>)＝，则(≤≤)＝( )．．．．解析：因为随机变量～(，σ)，所以正态曲线关于直线＝对称．又(>)＝，所以(≤≤)＝－(>)＝－＝.答案：．盒中有只相同形状的螺丝钉，其中有只是坏的，现从盒中随机地抽取个，那么概率是的事件为( )．恰有只是坏的．只全是好的．恰有只是好的．至多只是坏的解析：设ξ＝表示取出的螺丝钉恰有只为好的，则(ξ＝)＝(＝)，∴(ξ＝)＝，(ξ＝)＝，(ξ＝)＝，(ξ＝)＝.故选.答案：．设样本数据，，…，的均值和方差分别为和，若＝＋(为非零常数，＝，…，)，则，，。

[课时作业][组基础巩固]．已知()＝，()＝，则()等于( )解析：由()＝得()＝()·()＝×＝.答案：．抛掷一枚质地均匀的骰子所得点数的样本空间为Ω＝{}，令事件＝{}，＝{}，则()等于( )解析：∵∩＝{}，∴()＝.又∵()＝，∴()＝＝.答案：．为考察某种药物预防疾病的效果，科研人员进行了动物试验，结果如下表：解析：在服药的前提下，未患病的概率＝＝.答案：．电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了次后还能继续使用的概率是，开关了次后还能继续使用的概率是，则已经开关了次的电视机显像管还能继续使用到次的概率是( )．．．．解析：记“开关了次后还能继续使用”为事件，记“开关了次后还能继续使用”为事件，根据题意，易得()＝，()＝，则()＝，由条件概率的计算方法，可得()＝＝＝.答案：．某种动物活到岁的概率是，活到岁的概率是，则现龄岁的这种动物活到岁的概率是()．．．．解析：记事件表示“该动物活到岁”，事件表示“该动物活到岁”，由于该动物只有活到岁才有活到岁的可能，故事件包含事件，从而有()＝()＝，所以现龄岁的这种动物活到岁的概率为()＝＝＝.答案：．设，为两个事件，若事件和同时发生的概率为，在事件发生的条件下，事件发生的概率为，则事件发生的概率为．解析：∵()＝，()＝，∴()＝.∴()＝.答案：.如图，是以为圆心，半径为的圆内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用表示事件“豆子落在正方形内”，表示事件“豆子落在扇形(阴影部分)内”，则()＝.解析：因为()表示事件“豆子落在正方形内”的概率，为几何概型，所以()＝＝.()＝＝＝.由条件概率计算公式，得()＝＝＝.答案：．从混有张假钞的张百元钞票中任意抽出张，将其中张放在验钞机上检验发现是假钞，则第张也是假钞的概率为．解析：设事件表示“抽到张都是假钞”，事件为“张中至少有一张假钞”．所以为()．而()＝，()＝，∴()＝＝.答案：．设某种动物能活到岁的概率为，能活到岁的概率为，现有一只岁的这种动物，问它能活到岁的概率是多少？解析：设事件为“能活到岁”，事件为“能活到岁”，则()＝，()＝，而所求概率为()，由于⊆，故＝，于是()＝＝＝＝，所以一只岁的这种动物能活到岁的概率是.．任意向轴上()这一区间内掷一个点，问：()该点落在区间内的概率是多少？()在()的条件下，求该点落在内的概率．解析：由题意知，任意向()这一区间内掷一点，该点落在()内哪个位置是等可能的，令＝，。

高中同步测试卷(三)章末检测 推理与证明 (时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面四个推理不是合情推理的是( ) A ．由圆的性质类比推出球的有关性质B ．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C ．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D ．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的2．用反证法证明：“a >b ”，假设为( ) A ．a >b B ．a <b C ．a ＝bD ．a ≤b3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N ＋)，可归纳猜想出S n 的表达式为( )A.2n n ＋1 B ．3n －1n ＋1C.2n ＋1n ＋2D ．2n n ＋24．下列推理正确的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋b c ＝a c ＋b c (c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”5．用数学归纳法证明“5n －2n 能被3整除”的第二步中，n ＝k ＋1时，为了使用假设，应将5k ＋1－2k＋1变形为( )A ．(5k －2k )＋4×5k －2kB ．5(5k －2k )＋3×2kC ．(5－2)(5k －2k )D ．2(5k －2k )－3×5k6．求证：1＋5<2 3.证明：因为1＋5和23都是正数， 所以为了证明1＋5<23， 只需证明(1＋5)2<(23)2， 展开得6＋25<12，即5<3， 只需证明5<9.因为5<9成立． 所以不等式1＋5<23成立． 上述证明过程应用了( ) A ．综合法 B ．分析法 C ．反证法 D ．间接证法7．有以下结论：①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2.用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.下列说法中正确的是( ) A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确；②的假设错误D ．①的假设错误；②的假设正确 8．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式左边的变化情况为( )A ．增加12（k ＋1）B ．增加12k ＋1＋12（k ＋1）C ．增加12k ＋1＋12（k ＋1），减少1k ＋1D ．增加12（k ＋1），减少1k ＋19．将石子摆成如图所示的梯形形状．称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差，即a 2 014－5＝( )A ．2 020×2 014B ．2 020×2 013C ．1 010×2 014D ．1 010×2 01310．已知命题1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1及其证明： (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立；(2)假设n ＝k 时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1成立，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)知，对任意的正整数n 等式都成立． 判断以上评述( ) A ．命题、推理都正确 B ．命题正确、推理不正确 C ．命题不正确、推理正确D ．命题、推理都不正确11．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中下列结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行； ④垂直于同一个平面的两条直线互相平行．其中正确的结论是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④12．已知22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为( )A.nn －4＋8－n （8－n ）－4＝2 B ．n ＋1（n ＋1）－4＋（n ＋1）＋5（n ＋1）－4＝2C.nn －4＋n ＋4（n ＋1）－4＝2 D ．n ＋1（n ＋1）－4＋n ＋5（n ＋5）－4＝2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．对于平面几何中的命题：“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“______________”．14．观察下面的几个算式，找出规律．1＋2＋1＝4；1＋2＋3＋2＋1＝9；1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16；1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝25.利用上面的规律，请你迅速算出1＋2＋3＋…＋99＋100＋99＋…＋3＋2＋1＝________．15．在数列{a n }中，a 1＝1，且S n ，S n ＋1，2S 1成等差数列(S n 表示数列{a n }的前n 项和)，则S 2，S 3，S 4分别为________，由此猜想S n ＝________．16．在计算“1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项：k (k ＋1)＝13[k (k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，…n (n ＋1)＝13[n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1)]．相加，得1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＝13n (n ＋1)(n ＋2)．类比上述方法，请你计算“1×2×3＋2×3×4＋…＋n (n ＋1)(n ＋2)”，其结果为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)用分析法和综合法证明1log 519＋1log 319＋1log 219<2.18.(本小题满分12分)用反证法证明：如果x >12，那么x 2＋2x －1≠0.19．(本小题满分12分)用数学归纳法证明：1sin 2α＋1sin 4α＋…＋1sin 2n α＝1tan α－1tan 2n α.20．(本小题满分12分)自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用x n 表示某鱼群在第n 年年初的总量，n ∈N ＋，且x 1>0.不考虑其他因素，设在第n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x n 成正比，死亡量与x 2n 成正比，这些比例系数依次为正常数a ，b ，c .(1)求x n ＋1与x n 的关系式；(2)猜测：当且仅当x 1，a ，b ，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？(不要求证明)21.(本小题满分12分)设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)．求证：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n ·[f (n )－1](n ≥2，n ∈N ＋)．22．(本小题满分12分)在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N ＋)．(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论； (2)证明：1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n <512.参考答案与解析1．解析：选C.A 是类比推理，B 、D 是归纳推理，C 不是合情推理． 2．解析：选D.“>”的否定是“≤”．3．[导学号68070014] 解析：选A.由a 1＝1，得a 1＋a 2＝22a 2， 所以a 2＝13，S 2＝43；又1＋13＋a 3＝32a 3，所以a 3＝16，S 3＝32＝64；又1＋13＋16＋a 4＝16a 4，得a 4＝110，S 4＝85.由S 1＝22，S 2＝43，S 3＝64，S 4＝85可以猜想S n ＝2n n ＋1.4．解析：选C.对于A ，a ＝1，b ＝－1也可以；对于B ，当a ＝2，b ＝3，c ＝4时推理不正确；对于D ，一般情况下(a ＋b )n ≠a n ＋b n ，故选C.5．[导学号68070015] 解析：选B.5k ＋1－2k ＋1＝5k ·5－2k ·2＝5k ·5－2k ·5＋2k ·5－2k ·2＝5(5k －2k )＋3·2k .6．解析：选B.根据分析法的定义及证明步骤可知，证明过程应用了分析法． 7．解析：选D.用反证法证题时一定要将对立面找全．在①中应假设p ＋q >2.故①的假设是错误的，而②的假设是正确的．8．解析：选C.当n ＝k 时，不等式的左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ，当n ＝k ＋1时，不等式的左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1（k ＋1）＋（k ＋1），所以1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1（k ＋1）＋（k ＋1）－(1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k )＝12k ＋1＋12（k ＋1）－1k ＋1，所以由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式的左边增加12k ＋1＋12（k ＋1），减少1k ＋1.9．[导学号68070016] 解析：选D.a n －5表示第n 个梯形有n －1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n ＋2个．所以a n －5＝（n －1）（n ＋6）2，所以a 2 014－5＝2 013×2 0202＝1 010×2 013.10．解析：选B.推理不正确，错在证明n ＝k ＋1时，没用假设n ＝k 时的结论；命题由等比数列求和公式知正确，故选B.11．解析：选C.因为垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交、异面，故①不正确，应排除A 、D ；因为垂直于同一个平面的两个平面可能平行或相交，故②不正确，应排除B ，易知③④均正确．故选C.12．解析：选A.从各个等式可以看出，等式右端均为2，左端为两个分式的和，且两个式子的分子之和恒等于8，分母则为相应分子减去4，设其中一个分子为n ，另一个分子必为8－n .13．解析：边类比半平面，角类比二面角可得．答案：如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，那么这两个二面角相等或互补 14．解析：观察归纳中间数为2，结果为4＝22；中间数为3，结果为9＝32；中间数为4，结果为16＝42；于是中间数为100，结果应为1002＝10 000.答案：10 00015．[导学号68070017] 解析：由S n ，S n ＋1，2S 1成等差数列，得2S n ＋1＝S n ＋2S 1.因为S 1＝a 1＝1，所以2S n ＋1＝S n ＋2.令n ＝1，则2S 2＝S 1＋2＝1＋2＝3⇒S 2＝32，同理分别令n ＝2，n ＝3，可求得S 3＝74，S 4＝158.由S 1＝1＝21－120，S 2＝32＝22－121，S 3＝74＝23－122，S 4＝158＝24－123，猜想S n ＝2n －12n －1.答案：32，74，158 2n－12n －116．解析：因为n (n ＋1)(n ＋2)＝14[n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)－(n －1)n (n ＋1)(n ＋2)]，所以1×2×3＝14(1×2×3×4－0×1×2×3)，2×3×4＝14(2×3×4×5－1×2×3×4)，…n (n ＋1)(n ＋2)＝14[n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)－(n －1)n (n ＋1)(n ＋2)]，所以1×2×3＋2×3×4＋…＋n (n ＋1)(n ＋2)＝14[1×2×3×4－0×1×2×3＋2×3×4×5－1×2×3×4＋…＋n ×(n ＋1)×(n ＋2)×(n ＋3)－(n －1)×n ×(n ＋1)×(n ＋2)]＝14n (n ＋1)·(n ＋2)(n ＋3)．答案：14n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)17．[导学号68070018] 证明：(分析法)要证1log 519＋1log 319＋1log 219<2，只需证log 1930<log 19192，即证30<192，又因为30<192恒成立，所以原不等式成立．(综合法)1log 519＋1log 319＋1log 219＝log 195＋log 193＋log 192＝log 1930<log 19192＝2.18．证明：假设x 2＋2x －1＝0， 则x ＝－1±2. 容易看出－1－2<12，下面证明－1＋2<12，要证：－1＋2<12，只需证：2<32，只需证：2<94.上式显然成立，故有－1＋2<12.综上，x ＝－1±2<12.而这与已知条件x >12相矛盾，因此假设不成立，也即原命题成立．19．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1sin 2α，右边＝1tan α－1tan 2α＝cos αsin α－cos 2αsin 2α＝2cos 2α－cos 2αsin 2α＝1sin 2α， 左边＝右边，等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥1且k ∈N ＋)时，等式成立， 即1sin 2α＋1sin 4α＋…＋1sin 2kα＝1tan α－1tan 2k α. 当n ＝k ＋1时，1sin 2α＋1sin 4α＋…＋1sin 2kα＋1sin 2k ＋1α. ＝1tan α－1tan 2kα＋1sin 2k ＋1α＝1tan α－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2k αsin 2k α－1sin 2k ＋1α ＝1tan α－2（cos 2k α）2－1sin 2k ＋1α ＝1tan α－1tan 2k ＋1α， 即当n ＝k ＋1时，等式成立．由(1)、(2)得，对任意n ∈N ＋，等式成立．20．[导学号68070019] 解：(1)从第n 年初到第n ＋1年初，鱼群的繁殖量为ax n ，捕捞量为bx n ，死亡量为cx 2n ，x n ＋1－x n ＝ax n －bx n －cx 2n ，n ∈N ＋，(*) x n ＋1＝x n (a －b ＋1－cx n )，n ∈N ＋.(2)若每年年初鱼群总量保持不变，则x n 恒等于x 1，n ∈N ＋，从而由(*)式得x n (a －b －cx n )＝0，n ∈N ＋，a －b －cx 1＝0，x 1＝a －b c.因为x 1>0，所以a >b ，猜测：当且仅当a >b ，且x 1＝a －bc时，每年年初鱼群的总量保持不变．21．证明：(1)当n ＝2时，左边＝f (1)＝1， 右边＝2(1＋12－1)＝1，左边＝右边，等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋)时，结论成立，即 f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1]， 那么，当n ＝k ＋1时， f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k ) ＝k [f (k )－1]＋f (k ) ＝(k ＋1)f (k )－k＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1k ＋1]－k＝(k ＋1)f (k ＋1)－(k ＋1) ＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]，所以当n ＝k ＋1时结论仍然成立． 所以f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1) ＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N ＋)．22．[导学号68070020] 解：(1)由已知得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1，a 1＝2，b 1＝4. 所以a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25. 猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2. 下面用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，结论成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)， b k ＝(k ＋1)2， 那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)， b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2，所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②可知，a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数n 都成立． (2)证明：当n ＝1时，1a 1＋b 1＝16<512.当n ≥2时，由(1)知，a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)>2(n ＋1)n . 所以1a n ＋b n <12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，所以1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n<16＋12⎝⎛⎭⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝16＋12⎝⎛⎭⎫12－1n ＋1<16＋14＝512. 综上所述，对任意n ∈N ＋，1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n <512成立．。

【⾼中同步测控优化设计】⾼中数学选修2-3训练：3章测评BWord版含答案[⾼考]第三章测评B(⾼考体验卷)(时间:90分钟满分:100分)⼀、选择题(本⼤题共10⼩题,每⼩题5分,共50分.在每⼩题给出的四个选项中,只有⼀项是符合题⽬要求的)1.(2014重庆⾼考)已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本平均数=3,=3.5,则由该观测数据算得的线性回归⽅程可能是()A.=0.4x+2.3B.=2x-2.4C.=-2x+9.5D.=-0.3x+4.4解析:由变量x与y正相关,可知x的系数为正,排除C,D.⽽所有的回归直线必经过点(),由此排除B,故选A.答案:A2.(2015福建⾼考)为了解某社区居民的家庭年收⼊与年⽀出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:根据上表可得回归直线⽅程x+,其中=0.76,.据此估计,该社区⼀户年收⼊为15万元家庭的年⽀出为()A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元解析:∵=10,=8,∴-0.76=8-0.76×10=0.4.∴=0. 76x+0.4.当x=15时,=0.76×15+0.4=11.8.答案:B3.(2015湖北武汉调考)得到的回归直线⽅程为x+.若=7.9,则x每增加1个单位,y就()A.增加1.4个单位B.减少1.4个单位C.增加1.2个单位D.减少1.2个单位解析:(3+4+5+6+7)=5,(4.0+2.5-0.5+0.5-2.0)=0.9,所以样本中⼼为(5,0.9),代⼊回归直线⽅程可得0.9=×5+7.9?=-1.4,所以x每增加1个单位,y就减少1.4个单位,故选B.答案:B4.(2012新课标全国⾼考改编)在⼀组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n)(n≥2,x1,x2,…,x n不全相等)的散点图中,若所有样本点(x i,y i)(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上,则这组样本数据的样本相关指数为()A. B.0C. D.1解析:因为所有的点都在直线上,所以就是确定的函数关系,所以相关指数为1.答案:D5.(2014陕西咸阳模拟)某产品在某零售摊位上的零售价x(元)与每天的销售量y(个)的统计如下表:据上表可得回归直线⽅程x+中的=-4,则据此模型预测零售价为15元时,销售量为()A.48B.49C.50D.51解析:=39.∵回归直线⽅程为x+,且=-4,∴39=-4×+a,解得a=109.∴=-4x+109,当x=15时,y=49.答案:B6.(2014河南开封模拟):且最后发现,两个分类变量X和Y没有任何关系,则m的可能值是()A.200B.720C.100D.180解析:∵两个变量没有任何关系,∴200m≈180×800,解得m≈720.答案:B7.四名同学根据各⾃的样本数据研究变量x,y之间的相关关系,并求得回归直线⽅程,分别得到以下四个结论:①y与x负相关,且=2.347x-6.423;②y与x负相关,且=-3.476x+5.648;③y与x正相关,且=5.437x+8.493;④y与x正相关,且=-4.326x-4.578.其中⼀定不正确的结论的序号是()A.①②B.②③C.③④D.①④解析:正相关指的是y随x的增⼤⽽增⼤,负相关指的是y随x的增⼤⽽减⼩,故不正确的为①④,故选D.答案:D8.(2014湖北⾼考)得到的回归⽅程为x+,则( )A .>0,>0B .>0,<0C .<0,>0D .<0,<0解析:由样本数据可知y 值总体上是随x 值的增⼤⽽减少的,故<0.⼜回归直线过第⼀象限,故纵截距>0.故选B . 答案:B9.(2013福建⾼考改编)已知x 与y :假设根据上表数据所得线性回归直线⽅程为x+.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线⽅程为'x+',则以下结论正确的是( ) A.',' B.',' C.',' D.',' 解析:,, , =-,'==2>'=-2<. 答案:C10.(2014江西⾼考)某⼈研究中学⽣的性别与成绩、视⼒、智商、阅读量这4个变量的关系,随机抽查52名中学⽣,得到统计数据如表1⾄表4,则与性别有关联的可能性最⼤的变量是( )表1表2视⼒好差总计表3表4A.成绩B.视⼒C.智商D.阅读量解析:根据K 2=,代⼊题中数据计算得D 选项K 2最⼤.故选D . 答案:D⼆、填空题(本⼤题共5⼩题,每⼩题5分,共25分.把答案填在题中横线上)11.(2015河北唐⼭⼀模)为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律,得如下实验数据,计算得回归直线⽅程为=0.85c 的值为 .解析:∵=5,,∴这组数据的样本中⼼点是.把样本中⼼点代⼊回归直线⽅程中得=0.85×5-0.25,解得c=6. 答案:6 12.(2015辽宁⼤连双基)已知x ,y :如果y 与x 线性相关,且线性回归⽅程为x+,则的值为 . 解析:将=3,=5代⼊到x+中,得=-. 答案:-13.(2011辽宁⾼考)调查了某地若⼲户家庭的年收⼊x(单位:万元)和年饮⾷⽀出y(单位:万元).调查显⽰年收⼊x与年饮⾷⽀出y具有线性相关关系,并由调查数据得到y对x的回归直线⽅程=0.254x+0.321.由回归直线⽅程可知,家庭年收⼊每增加1万元,年饮⾷⽀出平均增加万元.解析:家庭收⼊每增加1万元,对应回归直线⽅程中的x增加1,相应的的值增加0.254,即年饮⾷⽀出平均增加0.254万元.答案:0.25414.(2014⼭东青岛⾼三⽉考试题)已知y与x之间具有很强的线性相关关系,现观测得到(x,y)的四组观测值并制作了如下的对照表,由表中数据粗略地得到线性回归直线⽅程为x+60,其中的值没有写上.当x不⼩于-5时,预测y的最⼤值为.解析:由已知,得=10,=40,所以40=10+60,=-2,=-2x+60.当x≥-5时,≤70.答案:7015.(2011⼴东⾼考)某数学⽼师⾝⾼176 cm,他爷爷、⽗亲和⼉⼦的⾝⾼分别是173 cm、170 cm 和182 cm.因⼉⼦的⾝⾼与⽗亲的⾝⾼有关,该⽼师⽤线性回归分析的⽅法预测他孙⼦的⾝⾼为cm.解析:由题意⽗亲⾝⾼x cm与⼉⼦⾝⾼:则=173,=176,(x i-)(y i-)=(173-173)×(170-176)+(170-173)×(176-176)+(176-173)(182-176)=18,(x i-)2=(173-173)2+(170-173)2+(176-173)2=18.∴=1.∴=176-173=3.∴线性回归直线⽅程x+=x+3.∴可估计孙⼦⾝⾼为182+3=185(cm).答案:185三、解答题(本⼤题共4⼩题,共25分.解答应写出必要的⽂字说明、证明过程或演算步骤)16.(6分)(2014课标全国Ⅱ⾼考)某地区2007年⾄2013年农村居民家庭⼈均纯收⼊y(单位:千元)的数据如下表:(1)求y关于t的线性回归⽅程;(2)利⽤(1)中的回归⽅程,分析2007年⾄2013年该地区农村居民家庭⼈均纯收⼊的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭⼈均纯收⼊.附:回归直线的斜率和截距的最⼩⼆乘估计公式分别为.解:(1)由所给数据计算得(1+2+3+4+5+6+7)=4,(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,(t i-)2=9+4+1+0+1+4+9=28,(t i-)(y i-)=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,=0.5,=4.3-0.5×4=2.3,所求回归⽅程为=0.5t+2.3.(2)由(1)知,=0.5>0,故2007年⾄2013年该地区农村居民家庭⼈均纯收⼊逐年增加,平均每年增加0.5千元.将2015年的年份代号t=9代⼊(1)中的回归⽅程,得=0.5×9+2.3=6.8,故预测该地区2015年农村居民家庭⼈均纯收⼊为6.8千元.17.(6分)(2014安徽⾼考改编)某⾼校共有学⽣15 000⼈,其中男⽣10 500⼈,⼥⽣4 500⼈,为调查该校学⽣每周平均体育运动时间的情况,采⽤分层抽样的⽅法.收集300位学⽣每周平均体育运动时间的样本数据(单位:⼩时).(1)应收集多少位⼥⽣的样本数据?(2)根据这300个样本数据,得到学⽣每周平均体育运动时间的频率分布直⽅图(如图所⽰),其中样本数据的分组区间为[0,2],(2,4], (4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估计该校学⽣每周平均体育运动时间超过4⼩时的概率;(3)在样本数据中,有60位⼥⽣的每周平均体育运动时间超过4⼩时,请完成每周平均体育运动时间与性别列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学⽣的每周平均体育运动时间与性别有关”.附K2=.解:(1)300×=90,所以应收集90位⼥⽣的样本数据.(2)由频率分布直⽅图得1-2×(0.100+0.025)=0.75,所以该校学⽣每周平均体育运动时间超过4⼩时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知,300位学⽣中有300×0.75=225⼈的每周平均体育运动时间超过4⼩时,75⼈的每周平均体育运动时间不超过4⼩时.⼜因为样本数据中有210份是关于男⽣的,90份是关于⼥⽣的.所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下:每周平均体育运动时间与性别列联表男⼥总结合列联表可算得K2的观测值为k=≈4.762>3.841.所以,能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学⽣的每周平均体育运动时间与性别有关”.18.(6分)(2013福建⾼考改编)某⼯⼚有25周岁以上(含25周岁)⼯⼈300名,25周岁以下⼯⼈200名.为研究⼯⼈的⽇平均⽣产量是否与年龄有关,现采⽤分层抽样的⽅法,从中抽取了100名⼯⼈,先统计了他们某⽉的⽇平均⽣产件数,然后按⼯⼈年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,再将两组⼯⼈的⽇平均⽣产件数分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分别加以统计,得到如图所⽰的频率分布直⽅图.25周岁以上组25周岁以下组(1)从样本中⽇平均⽣产件数不⾜60件的⼯⼈中随机抽取2⼈,求⾄少抽到⼀名“25周岁以下组”⼯⼈的概率;(2)规定⽇平均⽣产件数不少于80件者为“⽣产能⼿”,请你根据已知条件完成2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“⽣产能⼿与⼯⼈所在的年龄组有关”? 附:χ2=(注:此公式也可以写成K2=)解:(1)由已知得,样本中有25周岁以上组⼯⼈60名,25周岁以下组⼯⼈40名.所以,样本中⽇平均⽣产件数不⾜60件的⼯⼈中,25周岁以上组⼯⼈有60×0.05=3(⼈),记为A1,A2,A3;25周岁以下组⼯⼈有40×0.05=2(⼈),记为B1,B2.从中随机抽取2名⼯⼈,所有的可能结果共有10种,它们是:(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1), (A3,B2),(B1,B2).其中,⾄少有1名“25周岁以下组”⼯⼈的可能结果共有7种,它们是:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).故所求的概率P=.(2)由频率分布直⽅图可知,在抽取的100名⼯⼈中,“25周岁以上组”中的⽣产能⼿60×0.25=15(⼈),“25),据此可得2×2列联表如下:所以得K2的观测值为k===≈1.79.因为1.79<2.706,所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“⽣产能⼿与⼯⼈所在的年龄组有关”.19.(7分)(2015课标全国Ⅰ⾼考)某公司为确定下⼀年度投⼊某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下⾯的散点图及⼀些统计量的值.表中w i=w i.(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d哪⼀个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归⽅程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建⽴y关于x的回归⽅程;(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题:①年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?②年宣传费x为何值时,年利润的预报值最⼤?附:对于⼀组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(u n,v n),其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最⼩⼆乘估计分别为.解:(1)由散点图可以判断,y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归⽅程类型.(2)令w=,先建⽴y关于w的线性回归⽅程.由于=68,=563-68×6.8=100.6,所以y关于w的线性回归⽅程为=100.6+68w,因此y关于x的回归⽅程为=100.6+68.(3)①由(2)知,当x=49时,年销售量y的预报值=100.6+68=576.6,年利润z的预报值=576.6×0.2-49=66.32.②根据(2)的结果知,年利润z的预报值=0.2(100.6+68)-x=-x+13.6+20.12.所以当=6.8,即x=46.24时,取得最⼤值.故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最⼤.。

高中同步测试卷(六)第二章 概 率(B 卷)【数学】说明：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页． 2．本次考试时间120分钟，满分150分．第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.一个袋中装有质量相等的红、黄、绿、白四种小球各若干个，一次倒出三个小球，下列变量为离散型随机变量的是( )A ．小球滚出的最大距离B ．倒出小球所需的时间C ．倒出的三个小球的质量之和D ．倒出的三个小球的颜色的种数2.设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝a (13)i ，i ＝1，2，3，则a 的值为( )A ．1 B.913 C ．1113D.27133.已知P (B |A )＝13，P (A )＝25，则P (AB )等于( )A.56 B.910 C ．215D.1154.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A.18B.14 C ．25D.125.某一试验中事件A 发生的概率为p ，则在n 次独立重复试验中，A －发生k 次的概率为( )A ．1－p kB ．(1－p )k p n －kC．(1－p)k D．C k n(1－p)k p n－k6.某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为( )A.81125 B.54125C．36125 D.271257.设随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝(1－p)k p1－k(k＝0，1)，则E(X)、D(X)的值分别是( )A．0和1 B．p和p2C．p和1－p D．1－p和p(1－p)8.随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的期望为( )A．0.6 B．1C．3.5 D．29.设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为f(x)＝16πe－x2－4x＋46，则( )A．μ＝2，σ＝3 B．μ＝3，σ＝2C．μ＝2，σ＝ 3 D．μ＝3，σ＝ 310.正态总体N(0，1)取值于区间(－1，1)内的概率约为( )A．0 B．0.841C．0.683 D．1第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11.一批产品的次品率为5%，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量X来描述次品出现的情况，即得分布列(填概率)：(其中X＝0表示产品为合格品，X＝1表示产品为次品)12.已知有两台独立在两地工作的雷达，它们发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，则恰有一台雷达发现飞行目标的概率为________．13.接种某种流感疫苗后，出现发热反应的概率为0.2，现在5人接种该疫苗，恰有2人出现发热反应的概率为________．14.若随机变量X的分布列是P(X＝k)＝C k4·0.1k·0.94－k，k＝0、1、2、3、4.则E(X)＝________．15.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ2＞2)．若ξ在(0，1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0，2)内取值的概率为________．三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题满分12分)某商店搞促销活动，规则如下：木箱内放有5枚白棋子和5枚黑棋子，顾客从中一次性任意取出5枚棋子，如果取出5枚棋子中恰有5枚白棋子或4枚白棋子或3枚白棋子，则有奖品，奖励办法如表：求一顾客从中得到的奖金数ξ的分布列．17.(本小题满分12分)甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是0.6，计算：(1)两人都投中的概率； (2)其中恰有一人投中的概率； (3)至少有一人投中的概率．18.(本小题满分12分)张师傅驾车从公司开往火车站，途径4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个时段，每个时段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟．假设他在各交通岗遇到红灯是相互独立的，并且概率都是13.(1)求张师傅此行程时间不小于16分钟的概率； (2)记张师傅此行程所需时间为Y 分钟，求Y 的分布列．19.(本小题满分12分)某企业招聘中，依次进行A 科、B 科考试，当A 科合格时，才可考B 科，且两科均有一次补考机会，两科都合格方通过．甲参加招聘，已知他每次考A 科合格的概率均为23，每次考B 科合格的概率均为12.假设他不放弃每次考试机会，且每次考试互不影响．(1)求甲恰好3次考试通过的概率；(2)记甲参加考试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望．20.(本小题满分13分)水浒书业在2012年上半年对《优化方案》同步系列丛书，在河南某校调查了1200人，其调查的分数服从(95，52)的正态分布，该书业公司准备在下半年对于评分为85分～95分的人再作详细调查，那么水浒书业应准备多少人的问卷？21.(本小题满分14分)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； (2)求中奖人数ξ的分布列及数学期望E (ξ)．参考答案与解析1.[导学号22400106] 【解析】选D.因为不能明确小球滚动的范围，所以小球滚出的最大距离不是一个随机变量，故A 不正确；因为不能明确所需时间的范围，所以倒出小球所需的时间不是一个随机变量，故B 不正确；三个小球的质量之和为定值，不是随机变量，就更不是离散型随机变量，故C 不正确；倒出的三个小球的颜色的种数是离散型随机变量，故选D.2.[导学号22400107] 【解析】选D.由P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝1， 得(13＋19＋127)a ＝1，∴a ＝2713. 3.[导学号22400108] 【解析】选C.本题主要考查由条件概率公式变形得到的乘法公式， P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝13×25＝215，故选C.4.[导学号22400109] 【解析】选B.P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110，P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝14.5.[导学号22400110] 【解析】选D.A 发生的概率为p ，则A －发生的概率为1－p ，n 次试验中A －发生k 次的概率为C k n (1－p )k pn －k. 6.[导学号22400111] 【解析】选A.两次击中的概率P 1＝C 230.62(1－0.6)＝54125，三次击中的概率P 2＝0.63＝27125，至少两次击中目标的概率P ＝P 1＋P 2＝81125.故选A.7.[导学号22400112] 【解析】选D.随机变量X 的概率分布为P (X ＝k )＝(1－p )k p 1－k (k ＝0，1)，则P (X ＝0)＝p ，P (X ＝1)＝1－p ，E (X )＝0×p ＋1×(1－p )＝1－p ，D (X )＝[0－(1－p )]2×p ＋[1－(1－p )]2×(1－p )＝p (1－p )．8.[导学号22400113] 【解析】选C.抛掷骰子所得点数ξ的分布列为所以，E (ξ)＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×16＋6×16＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×16＝3.5.9.[导学号22400114] 【解析】选C.由f (x )＝12π×3e －（x －2）22（3）2，得μ＝2，σ＝ 3.故选C.10.[导学号22400115] 【解析】选C.设变量ξ～N (0，1)， 则μ＝0，σ＝1，(μ－σ，μ＋σ)＝(－1，1)． 所以ξ取值于区间(－1，1)内的概率约为0.683.11.[导学号22400116] 【解析】X ＝0表示取到一个合格品，其概率为95%，这是一个二点分布问题．【答案】95% 5%12.[导学号22400117] 【解析】所求概率为0.9×(1－0.85)＋(1－0.9)×0.85＝0.22. 【答案】0.2213.[导学号22400118] 【解析】设出现发热反应的人数为X ，则X ～B (5，0.2)，所以P (X ＝2)＝C 25(0.2)2(1－0.2)3＝0.2048.【答案】0.204814.[导学号22400119] 【解析】由题意， X ～B (4，0.1)，E (X )＝4×0.1＝0.4. 【答案】0.415.[导学号22400120] 【解析】因为ξ的概率密度函数曲线关于直线x ＝1对称，所以ξ在(0，1)内取值的概率与ξ在(1，2)内取值的概率相等，故ξ在(0，2)内取值的概率为0.4×2＝0.8.【答案】0.816.[导学号22400121] 【解】ξ可能取的值为50，30，10，0. P (ξ＝50)＝C 55C 510＝1252；P (ξ＝30)＝C 45C 15C 510＝25252；P (ξ＝10)＝C 25C 35C 510＝100252＝2563；P (ξ＝0)＝1－1252－25252－2563＝12.∴ξ的分布列为17.[导学号22400122] 【解】(1)设事件A ＝“甲投篮一次，投中”，B ＝“乙投篮一次，投中”，由题意知，事件A 与B 相互独立，根据公式所求概率为P (A ∩B )＝P (A )·P (B )＝0.6×0.6＝0.36.(2)事件“两人各投篮一次，恰好有一人投中”包括两种情况：一种是甲投中，乙未投中；另一种是甲未投中，乙投中，根据题意，这两种情况在各投篮一次时不可能同时发生，即事件A ∩B －与A －∩B 互斥，并且A 与B －，A －与B 相互独立，因而所求概率为P (A ∩B －)＋P (A －∩B )＝P (A )·P (B －)＋P (A －)·P (B )＝0.6×(1－0.6)＋(1－0.6)×0.6＝0.48.(3)事件“两人各投篮一次，至少有一人投中”的对立事件是“两人各投篮一次，均未投中”，它的概率是P (A －∩B －)＝P (A －)·P (B －) ＝(1－0.6)×(1－0.6)＝0.16. 因此，至少有一人投中的概率为 P (A ∪B )＝1－P (A －∩B －)＝1－0.16＝0.84.18.[导学号22400123] 【解】(1)如果不遇到红灯，全程需要15分钟，否则至少需要16分钟．张师傅此行程时间不小于16分钟的概率P ＝1－⎝⎛⎭⎫1－134＝6581. (2)设此行程遇到红灯的次数为X ，则X ～B ⎝⎛⎭⎫4，13， P (X ＝k )＝C k 4⎝⎛⎭⎫13k ×⎝⎛⎭⎫234－k，k ＝0，1，2，3，4.依题意，Y ＝15＋X ，则Y 的分布列为19.[导学号22400124] 【解】设甲“第一次考A 科成绩合格”为事件A 1，“A 科补考后成绩合格”为事件A 2，“第一次考B 科成绩合格”为事件B 1，“B 科补考后成绩合格”为事件B 2.(1)甲参加3次考试通过的概率为：P ＝P (A 1 B －1 B 2)＋P (A －1 A 2 B 1)＝23×12×12＋13×23×12＝518. (2)由题意知，ξ可能取得的值为：2，3，4. P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＋P (A －1 A －2)＝23×12＋13×13＝49，P (ξ＝3)＝P (A 1 B －1 B 2)＋P (A －1 A 2 B 1)＋P (A 1 B －1 B －2) ＝23×12×12＋13×23×12＋23×12×12＝49， P (ξ＝4)＝P (A －1A 2B －1B 2)＋P (A －1A 2B －1 B 2)＝13×23×12×12＋13×23×12×12＝19.分布列如下表E (ξ)＝2×49＋3×49＋4×19＝83.20.[导学号22400125] 【解】设每人的评分X ～N (95，52)， 得分85～95分的概率为 P (85<X <95)＝P (μ－2σ≤X <μ) ＝12×0.954＝0.477. 故85～95分的人数为0.477×1200≈572.4 故准备573人的问卷．21.[导学号22400126] 【解】(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A 、B 、C ， 那么P (A )＝P (B )＝P (C )＝16，P (A ·B －·C －)＝P (A )P (B －)P (C －)＝16×⎝⎛⎭⎫562＝25216.故甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为25216.(2)ξ的可能取值为0，1，2，3， P (ξ＝k )＝C k 3⎝⎛⎭⎫16k ⎝⎛⎭⎫563－k(k ＝0，1，2，3)，所以中奖人数ξ的分布列为E (ξ)＝0×125216＋1×2572＋2×572＋3×1216＝12.。

[课时作业] [A 组 基础巩固]1．某一试验中事件A 发生的概率为p ，则在n 次独立重复试验中，A 发生k 次的概率为( ) A ．1－p k B ．(1－p )k p n －kC ．(1－p )kD ．C k n (1－p )k pn －k解析：A 发生的概率为p ，则A 发生的概率为1－p ，n 次独立重复试验中A 发生k 次的概率为C k n (1－p )k pn －k. 答案：D2．某人参加一次考试，4道题中答对3道为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率约为( ) A ．0.18 B ．0.28 C ．0.37D ．0.48解析：P ＝C 34×0.43×(1－0.4)＋C 44×0.44＝0.179 2≈0.18.答案：A3．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是( ) A ．0.216 B ．0.36 C ．0.432D ．0.648解析：甲获胜有两种情况，一是甲以2∶0获胜，此时p 1＝0.62＝0.36；二是甲以2∶1获胜，此时p 2＝C 12×0.6×0.4×0.6＝0.288，故甲获胜的概率p ＝p 1＋p 2＝0.648. 答案：D4．若随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，则P (ξ＝k )最大时，k 的值为( ) A ．5 B ．1或2 C ．2或3D ．3或4解析：依题意P (ξ＝k )＝C k 5×⎝⎛⎭⎫13k ×⎝⎛⎭⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5. 可以求得P (ξ＝0)＝32243，P (ξ＝1)＝80243，P (ξ＝2)＝80243， P (ξ＝3)＝40243，P (ξ＝4)＝10243，P (ξ＝5)＝1243.故当k ＝1或2时，P (ξ＝k )最大． 答案：B5．一个学生通过某种英语听力测试的概率是12，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n 的最小值为( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：由1－C 0n⎝⎛⎭⎫1－12n >0.9，得⎝⎛⎭⎫12n <0.1， ∴n ≥4. 答案：C6．连续掷一枚硬币5次，恰好有3次正面向上的概率为________．解析：正面向上的次数ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，12，所以P (ξ＝3)＝C 35·⎝⎛⎭⎫123·⎝⎛⎭⎫122＝10×132＝516. 答案：5167．设X ～B (2，p )，若P (X ≥1)＝59，则p ＝________.解析：∵X ～B (2，p )，∴P (X ＝k )＝C k 2p k (1－p )2－k，k ＝0,1,2. ∴P (X ≥1)＝1－P (X <1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 02p 0(1－p )2＝1－(1－p )2.∴1－(1－p )2＝59，结合0≤p ≤1，解得p ＝13.答案：138．甲、乙两人投篮命中的概率分别为p 、q ，他们各投两次，若p ＝12，且甲比乙投中次数多的概率恰好等于736，则q 的值为________．解析：所有可能情形有：甲投中1次，乙投中0次；甲投中2次，乙投中1次或0次． 依题意有：C 12p (1－p )·C 02(1－q )2＋C 22p 2[C 02(1－q )2＋C 12q (1－q )]＝736，解得q ＝23或q ＝103(舍去)． 答案：239．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是14，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？(结果保留两位有效数字)解析：1小时内5台机床需要照管相当于5次独立重复试验1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率P 5(0)＝⎝⎛⎭⎫1－145＝⎝⎛⎭⎫345,1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率P 5(1)＝C 15×14×⎝⎛⎭⎫1－144，所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为P ＝1－[P 5(0)＋P 5(1)]≈0.37.10．甲、乙两人各射击一次击中目标的概率分别是23和34，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，每次射击是否击中目标，相互之间也没有影响． (1)求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率． 解析：设“甲、乙两人各射击一次目标击中分别记为A 、B ”，则P (A )＝23，P (B )＝34.(1)甲射击4次，全击中目标的概率为 C 44P 4(A )[1－P (A )]0＝⎝⎛⎭⎫234＝1681.所以甲射击4次至少1次未击中目标的概率为 1－1681＝6581. (2)甲、乙各射击4次，甲恰好击中2次，概率为 C 24P 2(A )·[1－P (A )]2＝6×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫132＝827.乙恰好击中3次，概率为C 34P 3(B )·[1－P(B )]1＝2764. 故所求概率为827×2764＝18.[B 组 能力提升]1．10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，直到第n 次才取得k (k ≤n )次红球的概率为( ) A ．(110)2(910)n －kB ．(110)k (910)n －kC ．C k －1n －1(110)k (910)n －kD ．C k －1n －1(110)k －1(910)n －k解析：由题意知10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，每一次的抽取是相互独立的，得到本实验符合独立重复试验，直到第n 次才取得k (k ≤n )次红球，表示前n －1次取到k －1个红球，第n 次一定是红球．根据独立重复试验的公式得到P ＝C k －1n －1(110)k·(910)n －k ，故选C. 答案：C2．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率是( )A ．(12)5B ．C 25(12)5C ．C 35(12)3D ．C 25C 35(12)5解析：质点P 移动5次相当于5次独立重复试验，若移动5次后位于点(2,3)处，则恰有2次向右移动，3次向上移动．故所求概率为C 25(12)3(12)2＝C 25(12)5. 答案：B3．甲、乙、丙三人在同一办公室工作，办公室内只有一部电话机，经该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率分别是12，14，14，在一段时间内共打进三个电话，且各个电话之间相互独立，则这三个电话中恰有两个是打给乙的概率是________．解析：恰有两个打给乙可看成3次独立重复试验中，“打给乙”这一事件发生2次，故其概率为C 23⎝⎛⎭⎫142·34＝964. 答案：9644．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是________．解析：∵P 4(1)≤P 4(2)，∴C 14·p (1－p )3≤C 24p 2(1－p )2,4(1－p )≤6p ，∴0.4≤p ≤1.答案：[0.4,1]5．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2 min.(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率． (2)这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min 的概率．解析：(1)设“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A ，因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为P (A )＝⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－13×13＝427. (2)设“这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min ”为事件B ，“这名学生在上学路上遇到k 次红灯”的事件为B k (k ＝0,1,2)． 则由题意，得P (B 0)＝⎝⎛⎭⎫234＝1681，P (B 1)＝C 14⎝⎛⎭⎫131⎝⎛⎭⎫233＝3281， P (B 2)＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝2481.由于事件B 等价于 “这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”， 所以事件B 的概率为P (B )＝P (B 0)＋P (B 1)＋P (B 2)＝89.6．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{}a n ：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1， 第n 次摸到红球，1， 第n 次摸到白球，如果S n 为数列{}a n 的前n 项和，求S 7＝3的概率．解析：由S 7＝3知，在7次摸球中有2次摸到红球，5次摸到白球，而每次摸到红球的概率为23，摸到白球的概率为13，则S 7＝3的概率为C 27×(23)2×(13)5＝28729.。

章末检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．袋中装有大小相同的5只球，上面分别标有1,2,3,4,5，在有放回的条件下依次取出两球，设两球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能值的个数是 ( ) A ．25 B ．10 C ．9D ．5解析：“有放回”的取和“不放回”的取是不同的，故X 的所有可能取值有2、3、4、5、6、7、8、9、10共9种． 答案：C2．某产品有40件，其中有次品3件，现从中任取2件，则其中至少有一件次品的概率约是( ) A ．0.146 2 B ．0.153 8 C ．0.996 2D ．0.853 8解析：P ＝1－C237C240≈0.146 2，故选A.答案：A3．已知离散型随机变量X 的分布列如下：X 1 3 5 P0.5m0.2则其数学期望E (X )等于( ) A ．1 B ．0.6 C ．2＋3mD ．2.4 解析：由分布列的性质得m ＝1－0.5－0.2＝0.3， 所以E (X )＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4. 答案：D4．已知甲投球命中的概率是12，乙投球命中的概率是35，假设他们投球命中与否相互之间没有影响．如果甲、乙各投球1次，则恰有1人投球命中的概率为( ) A.16 B.14 C.23D.12解析：记“甲投球1次命中”为事件A ，“乙投球1次命中”为事件B .根据互斥事件的概率公式和相互独立事件的概率公式，所求的概率为P ＝P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝12×⎝⎛⎭⎫1－35＋⎝⎛⎭⎫1－12×35＝12. 答案：D5．设随机变量ξ～B (5,0.5)，又η＝5ξ，则E (η)和D (η)分别为( ) A.252和254 B.52和54 C.252和1254D.254和1254解析：因为随机变量ξ～B (5,0.5)， 所以E (ξ)＝5×0.5＝2.5.D (ξ)＝5×0.5×0.5＝1.25，又∵η＝5ξ， ∴E (η)＝5E (ξ)＝252，D (η)＝25D (ξ)＝1254.答案：C6．已知离散型随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，若P (1≤X ≤3)＝15，则n 的值为( )A ．3B ．5C ．10D ．15 解析：由已知X 的分布列为P (X ＝k )＝1n ，k ＝1,2,3，…，n ，所以P (1≤X ≤3)＝P (X ＝1)＋P (X＝2)＋P (X ＝3)＝3n ＝15，n ＝15.答案：D7．已知X ，Y 为随机变量，且Y ＝aX ＋b ，若E (X )＝1.6，E (Y )＝3.4，则a ，b 可能的值分别为( ) A ．2,0.2 B ．1,4 C ．0.5,1.4D ．1.6,3.4解析：由E (Y )＝E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ＝1.6a ＋b ＝3.4，把选项代入验证，可知选项A 满足． 答案：A8．从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，事件A 为“取到的两个数之和为偶数”，事件B 为“取到的两数均为偶数”，P (B |A )＝( ) A.18 B.14 C.25D.12解析：∵P (A )＝C22＋C23C25＝410，P (AB )＝C22C25＝110，∴P (B |A )＝错误!＝错误!. 答案：B9．已知随机变量X ～N (0，σ2)．若P (X >4)＝0.02，则P (0≤X ≤4)＝( ) A ．0.47 B ．0.52 C ．0.48D ．0.98解析：因为随机变量X ～N (0，σ2)，所以正态曲线关于直线x ＝0对称． 又P (X >4)＝0.02，所以P (0≤X ≤4)＝0.5－P (x >4)＝0.5－0.02＝0.48. 答案：C10．盒中有10只相同形状的螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为( )A ．恰有1只是坏的B ．4只全是好的C ．恰有2只是好的D ．至多2只是坏的解析：设ξ＝k 表示取出的螺丝钉恰有k 只为好的，则P (ξ＝k )＝Ck 7C4－k3C410(k ＝1,2,3,4)，∴P (ξ＝1)＝130，P (ξ＝2)＝310，P (ξ＝3)＝12，P (ξ＝4)＝16.故选C.答案：C11．设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( ) A ．1＋a,4 B ．1＋a,4＋a C ．1,4D ．1,4＋a解析：y ＝x1＋a ＋x2＋a ＋x3＋a ＋…＋x10＋a10＝10x ＋10a 10＝x ＋a ＝1＋a .s 2＝110×[x 1＋a －(1＋a )]2＋[x 2＋a －(1＋a )]2＋…＋[x 10＋a －(1＋a )]2＝错误! ＝4.答案：A12．一批电阻的阻值ξ服从正态分布N (1000,52)(单位：Ω)．今从甲、乙两箱出厂成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为1 001 Ω和982 Ω，可以认为( ) A ．甲、乙两箱电阻均可出厂 B ．甲、乙两箱电阻均不可出厂 C ．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂 D ．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂 解析：∵μ＝1 000，σ＝5， ∴(μ－σ，μ＋σ)＝(995,1 005)， (μ－2σ，μ＋2σ)＝(990,1 010)， (μ－3σ，μ＋3σ)＝(985,1 015)，又1 001∈(μ－σ，μ＋σ)，而982不属于任一个区间，故C 正确． 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)13．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p ，若此人未能通过的科目数ξ的均值是2，则p ＝________.解析：因为通过各科考试的概率为p ，所以不能通过考试的概率为1－p ，易知ξ～B (6,1－p )， 所以E (ξ)＝6(1－p )＝2，解得p ＝23.答案：2314．将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k ＋1次正面的概率，那么k 的值为________．解析：由题意，Ck 5·(12)5＝Ck ＋15·(12)5，所以k ＝2.答案：215．某厂生产的灯泡能用1000小时的概率为0.8，能用1500小时的概率为0.4，则已用1000小时的灯泡能用到1 500小时的概率是________．解析：设灯泡能用1 000小时为事件A ，能用1 500小时为事件B ，则P (A )＝0.8，P (AB )＝P (B )＝0.4，∴P (B |A )＝错误!＝错误!＝0.5. 答案：0.5 16.一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上一面出现的数之积的数学期望是________．解析：设ξ表示向上一面出现的数之积(ξ＝0,1,2,4)，则P (ξ＝1)＝13×13＝19，P (ξ＝2)＝C12×13×16＝19，P (ξ＝4)＝16×16＝136，P (ξ＝0)＝C23×12×12＝34，∴E (ξ)＝1×19＋2×19＋4×136＋0×34＝49. 答案：49三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)某跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率是失败的概率的4倍，且每次试跳成功与否相互之间没有影响．(1)求该跳高运动员试跳三次，第三次才成功的概率； (2)求该跳高运动员在三次试跳中恰有两次试跳成功的概率．解析：设该跳高运动员在一次试跳中成功的概率为p ，则失败的概率为1－p .依题意有p ＝4(1－p )，解得p ＝45.(1)由于每次试跳成功与否相互之间没有影响，所以该跳高运动员试跳三次中第三次才成功的概率为(1－p )2p ＝⎝⎛⎭⎫152×45＝4125.(2)该跳高运动员的三次试跳可看成三次独立重复试验，故该跳高运动员在三次试跳中恰有两次成功的概率为p 1＝C23⎝⎛⎭⎫452×15＝48125.18．(12分)实力相当的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛)．试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．解析：甲、乙两队实力相当，所以每局比赛甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为12.记事件A为“甲打完3局就能取胜”，记事件B 为“甲打完4局才能取胜”，记事件C 为“甲打完5局才能取胜”．则甲打完3局取胜的概率为 P (A )＝C33×⎝⎛⎭⎫123＝18.甲打完4局才能取胜的概率为 P (B )＝C23×⎝⎛⎭⎫122×12×12＝316. 甲打完5局才能取胜的概率为P (C )＝C24×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫122×12＝316.19．(12分)一接待中心有A 、B 、C 、D 四部热线电话，已知某一时刻电话A 、B 占线的概率均为0.5，电话C 、D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有ξ部电话占线，试求随机变量ξ的概率分布列和数学期望． 解析：ξ的可能取值为0,1,2,3,4. P (ξ＝0)＝0.52×0.62＝0.09，P (ξ＝1)＝C12×0.52×0.62＋C12×0.52×0.4×0.6＝0.3，P (ξ＝2)＝C22×0.52×0.62＋C12×0.52×C120.4×0.6＋C22×0.52×0.42＝0.37， P (ξ＝3)＝C22×0.52×C120.4×0.6＋C12×0.52×C22×0.42＝0.2， P (ξ＝4)＝0.52×0.42＝0.04.于是得到随机变量ξ的概率分布列为ξ 0 1 2 3 4 P0.090.30.370.20.04所以E (ξ)＝0×0.09＋1×0.3＋2×0.37＋3×0.2＋4×0.04＝1.8.20．(12分)某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X (单位：分)近似服从正态分布N (50,102)，求他在(30,60]分内赶到火车站的概率． 解析：∵X ～N (50,102)， ∴μ＝50，σ＝10.∴P (30<X ≤60)＝P (30<X ≤50)＋P (50<X ≤60) ＝12P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＋12P (μ－σ<X ≤μ＋σ) ＝12×0.954 4＋12×0.682 6＝0.818 5. 即他在(30,60]分内赶到火车站的概率是0.818 5. 21．(13分)(2016年高考全国甲卷)某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出 险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保 费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出01234≥5险次数概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．解析：(1)设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A，P(A)＝1－P(A)＝1－(0.30＋0.15)＝0.55.(2)设续保人保费比基本保费高出60%为事件B，P(B|A)＝错误!＝错误!＝错误!.(3)设本年度所交保费为随机变量X.X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2aP 0.300.150.200.200.100.05平均保费E(X)＝0.85a×0.30＋0.15a＋1.25a×0.20＋1.5a×0.20＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝0.255a＋0.15a＋0.25a＋0.3a＋0.175a＋0.1a＝1.23a，∴平均保费与基本保费比值为1.23.22．(13分)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x 为表中10个命中次数的平均数．从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数．比较E(X)与x的大小．(只需写出结论)解析：(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5. (2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”， 事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”，则C ＝A B ∪A B ，A ，B 独立． 根据投篮统计数据，P (A )＝35，P (B )＝25.P (C )＝P (A B )＋P (A B )＝35×35＋25×25＝1325.所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.(3)E (X )＝x .。

2.3.2离散型随机变量的方差A组1.已知X的分布列为则D(X)的值为()A. B. C. D.解析:∵E(X)=1×+2×+3×+4×,∴D(X)=.答案:C2.已知随机变量X+Y=8,若X~B(10,0.6),则E(Y),D(Y)分别是()A.6,2.4B.2,2.4C.2,5.6D. 6,5.6解析:∵X~B(10,0.6),∴E(X)=10×0.6=6,D(X)=10×0.6×(1-0.6)=2.4.又X+Y=8,∴Y=8-X.∴E(Y)=E(8-X)=8-E(X)=8-6=2,D(Y)=D(-X+8)=D(X)=2.4.答案:B3.由以往的统计资料表明,:现有一场比赛,应派哪位运动员参加较好()A.甲B.乙C.甲、乙均可D.无法确定解析:E(X1)=E(X2)=1.1,D(X1)=1.12×0.2+0.12×0.5+0.92×0.3=0.49,D(X2)=1.12×0.3+0.12×0.3+0.92×0.4=0.69,∴D(X1)<D(X2),即甲比乙得分稳定,甲运动员参加较好.答案:A4.设一随机试验的结果只有A和,且P(A)=m,令随机变量X=则X的方差D(X)等于()A.mB.2m(1-m)C.m(m-1)D.m(1-m)解析:随机变量X的分布列为X01P 1-mm∴E(X)=0×(1-m)+1×m=m.∴D(X)=(0-m)2×(1-m)+(1-m)2×m=m(1-m).答案:D5.设随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=0,1,2,…,n,且E(X)=24,则D(X)的值为()A.8B.12C. D.16解析:由题意可知X~B,∴E(X)=n=24.∴n=36.∴D(X)=36×=8.答案:A6.已知某离散型随机变量X服从的分布列如下,则随机变量X的方差D(X)=.X01P m2m解析:由分布列知m+2m=1,m=.∴E(X)=1×.D(X)=.答案:7.袋中有大小相同的三个球,编号分别为1,2,3,从袋中每次取出一个球,若取到球的编号为奇数,则取球停止,用X表示所有被取到的球的编号之和,则X的方差为.解析:X的分布列为则E(X)=1×+3×+5×,D(X)=.答案:8.有10张卡片,其中8张标有数字2,2张标有数字5,从中随机地抽取3张卡片,设3张卡片上的数字之和为X,求D(X).解:由题知X=6,9,12.P(X=6)=,P(X=9)=,P(X=12)=.∴X的分布列为∴E (X )=6×+9×+12×=7.8.D (X )=(6-7.8)2×+(9-7.8)2×+(12-7.8)2×=3.36.9.根据以往的经验,:历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X 小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,求:(1)工期延误天数Y 的均值与方差;(2)在降水量X 至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率.解:(1)由已知条件和概率的加法公式有P (X<300)=0.3,P (300≤X<700)=P (X<700)-P (X<300)=0.7-0.3=0.4,P (700≤X<900)=P (X<900)-P (X<700)=0.9-0.7=0.2.P (X ≥900)=1-P (X<900)=1-0.9=0.1.所以Y 的分布列为于是,E (Y )=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3,D (Y )=( 0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.故工期延误天数Y 的均值为3,方差为9.8.(2)由概率的加法公式,P (X ≥300)=1-P (X<300)=0.7,又P (300≤X<900)=P (X<900)-P (X<300)=0.9-0.3=0.6.由条件概率,得P (Y ≤6|X ≥300)=P (X<900|X ≥300)=.故在降水量X 至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率是.B 组1.已知随机变量X 的分布列为x m nP a若E (X )=2,则D (X )的最小值等于( )A.0B.2C.4D.6解析:依题意得a=1-,∴E(X)=m+n=2,即m+2n=6.又D(X)=(m-2)2+(n-2)2=2n2-8n+8=2(n-2)2,∴当n=2时,D(X)取得最小值0.答案:A2.已知随机变量X的分布列如下:其中a,b,c成等差数列,若E(X)=,则D(X)=.解析:由题意得2b=a+c①,a+b+c=1②,a+2b+3c=③,以上三式联立解得a=,b=,c=,故D(X)=.答案:3.若p为非负实数,随机变量X则E(X)的最大值是,D(X)的最大值是.解析:由分布列的性质可知p∈,则E(X)=p+1∈,故E(X)的最大值为.∵D(X)=(p+1)2+p(p+1-1)2+(p+1-2)2=-p2-p+1=-,又p∈,∴当p=0时,D(X)取得最大值1.答案: 14.某旅游公司为三个旅游团提供了a,b,c,d四条旅游线路,每个旅游团队可任选其中一条线路,则选择a线路的旅游团数X的方差D(X)=.解析:由题意知X的可能取值有0,1,2,3,并且P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.∴E(X)=0×+1×+2×+3×.D(X)==.答案:5.数字1,2,3,4,5任意排成一列,如果数字k恰好在第k个位置上,则称有一个巧合.(1)求巧合数X的分布列;(2)求巧合数X的均值与方差.解:(1)X的可能取值为0,1,2,3,5,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X的分布列为(2)E(X)=0×+1×+2×+3×+5×=1,D(X)=1×+0+1×+4×+16×=1.6.A,B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析,X1和X2的分布列分别为X15%10%P0.80.2(1)在A,B两个项目上各投资100万元,Y1(万元)和Y2(万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差D(Y1),D(Y2);(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目,(100-x)万元投资B项目,f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求f(x)的最小值,并指出x为何值时,f(x)取到最小值.解:(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为Y1510P0.80.2E(Y1)=5×0.8+10×0.2=6,D(Y1)=(5-6)2×0.8+(10-6)2×0.2=4;E(Y2)=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8,D(Y2)=(2-8)2×0.2+(8-8)2×0.5+(12-8)2×0.3=12.(2)f(x)=D+D=D(Y1)+D(Y2)=[x2+3(100-x)2]=(4x2-600x+3×1002).所以当x==75时,f(x)=3为最小值.。