简单行程问题(三年级培优)教师版(修改)

行程之相遇问题1、通过小组合作、自主探究，使学生知道速度的表示法；理解和掌握行程问题中速度、时间、路程三个数量的关系。

2、通过课堂上的合作学习、汇报展示、互动交流，提高学生分析处理信息的能力，培养学生解决实际问题的能力。

3、让学生通过提出问题、解决问题，感受数学来源于生活，在交流评价中培养学生的自信心，体验到成功的喜悦。

追及问题的地点可以相同(如环形跑道上的追及问题)，也可以不同，但方向一般是相同的。

由于速度不同，就发生快的追及慢的问题。

根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下面的公式：距离差=速度差×追及时间追及时间=距离差÷速度差速度差=距离差÷追及时间速度差=快速-慢速解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的。

1：甲、乙二人在同一条路上前后相距9千米。

他们同时向同一个方向前进。

甲在前，以每小时5千米的速度步行;乙在后，以每小时10千米的速度骑自行车追赶甲。

几小时后乙能追上甲?(适于高年级程度)解：求乙几小时追上甲，先求乙每小时能追上甲的路程，是：10-5=5(千米)再看，相差的路程9千米中含有多少个5千米，即得到乙几小时追上甲。

9÷5=1.8(小时)综合算式：9÷(10-5)=9÷5=1.8(小时)答略。

2：甲、乙二人在相距6千米的两地，同时同向出发。

乙在前，每小时行5千米;甲在后，每小时的速度是乙的1.2倍。

甲几小时才能追上乙?(适于高年级程度)解：甲每小时行：5×1.2=6(千米)甲每小时能追上乙：6-5=1(千米)相差的路程6千米中，含有多少个1千米，甲就用几小时追上乙。

6÷1=6(小时)答：甲6小时才能追上乙。

3：甲、乙二人围绕一条长400米的环形跑道练习长跑。

甲每分钟跑350米，乙每分钟跑250米。

二人从起跑线出发，经过多长时间甲能追上乙?(适于高年级程度)解：此题的运动路线是环形的。

三年级科学第十讲简单的行程问题三年级科学第十讲简单的行程问题
引言
本次课程旨在教授三年级学生如何解决简单的行程问题。

行程问题是指计算在规定的时间内，一个物体根据给定的速度和时间间隔的移动情况。

通过研究本课程，学生将能够理解行程问题的基本概念和解决方法。

目标
本课程的目标是使学生能够：
- 理解行程问题的定义和基本要素
- 学会根据给定速度和时间间隔计算物体的行程
- 解决简单的行程问题
课程内容
1. 行程问题的定义
- 行程是指一个物体在一段时间内的移动距离。

- 行程问题需要知道物体的速度和经过的时间间隔。

2. 计算行程的公式
- 行程等于速度乘以时间间隔。

3. 解决简单的行程问题
- 根据给定的速度和时间间隔计算行程。

- 使用行程公式求解行程问题的一般步骤：
1. 确定已知量，包括速度和时间间隔。

2. 使用行程公式进行计算。

3. 得出行程结果。

4. 例题演练
- 提供几个简单的行程问题的例题，供学生练。

结论
通过本课程的研究，学生已经掌握了解决简单的行程问题的基本方法。

他们能够理解行程的定义和基本要素，并能够使用行程公式计算物体的行程。

接下来，他们可以通过练更多的行程问题来提高他们的解决能力。

行程问题例1.A、B两城相距240千米，一辆汽车计划用6小时从A城开到B城，汽车行驶了一半路程，因故障在中途停留了30分钟，如果按原计划到达B城，汽车在后半段路程时速度应加快多少？分析：对于求速度的题，首先一定是考虑用相应的路程和时间相除得到。

解：后半段路程长：240÷2=120（千米）后半段用时为：6÷2－0.5=2.5（小时）后半段行驶速度应为：120÷2.5=48(千米/时)原计划速度为：240÷6=40（千米/时）汽车在后半段加快了：48－40=8（千米/时）。

答：汽车在后半段路程时速度加快8千米/时。

例2.两码头相距231千米，轮船顺水行驶这段路程需要11小时，逆水每小时少行10千米，问行驶这段路程逆水比顺水需要多用几小时？分析：求时间的问题，先找相应的路程和速度。

解：轮船顺水速度为：231÷11=21（千米/时）轮船逆水速度为：21－10=11（千米/时），逆水比顺水多需要的时间为：21－11=10（小时）答：行驶这段路程逆水比顺水需要多用10小时。

例3.汽车以每小时72千米的速度从甲地到乙地，到达后立即以每小时48千米的速度返回到甲地，求该车的平均速度。

分析：求平均速度，就要考虑用总路程除以总时间。

解：设从甲地到乙地距离为S 千米。

则汽车往返用的时间为：S ÷48＋S ÷72= ＋ = 平均速度为：2S ÷ =144÷5×2=57.6(千米/时) 答：该车的平均速度为57.6千米/时例4.一辆汽车从甲地出发到300千米外的乙地去，在一开始的120千米内平均 速度为每小时40千米，要想使这辆车从甲地到乙地的平均速度为每小时50千米，剩下的路程应以什么速度行驶？分析：求速度，首先找相应的路程和时间，平均速度说明了总路程和总时间的关系。

解：剩下的路程为300－120=180（千米）计划总时间为：300÷50=6（小时）剩下的路程计划用时为：6－120÷40=3（小时）剩下的路程速度应为：180÷3=60（千米/小时）答：剩下的路程应以60千米/时行驶。

完整)三年级奥数行程问题教师讲义：日期：_________ 星期：_________ 时段：_________ 学生签字：_________课题：熟练掌握解题技巧研究目标：掌握解题技巧，提高解题能力研究重点：解题方法和技巧研究方法：启发式教学行程问题：无研究内容与过程：例题1：两车同时从相距860千米的两地出发，汽车每小时行45千米，摩托车每小时行70千米。

6小时后两车相距多少千米？例题2：一列火车长120米，以每秒20米的速度穿过长200米的隧道，从车头进入隧道到车尾离开隧道共需多少秒？例题3：甲、乙两个车队同时从相隔330千米的两地相向而行，甲队每小时行60千米，乙队每小时行50千米，一个人骑摩托车以每小时行80千米的速度在两个车队间不断地往返联络，两车队相遇时，摩托车行驶了多少千米？改写后的教师讲义：日期：_________ 星期：_________ 时段：_________ 学生签字：_________课题：熟练掌握解题技巧研究目标：本课程旨在帮助学生掌握解题技巧，提高解题能力。

研究重点：本课程的重点是解题方法和技巧。

研究方法：本课程采用启发式教学方法，帮助学生更好地理解和掌握解题技巧。

行程问题：本课程无行程问题。

研究内容与过程：例题1：两车同时从相距860千米的两地出发，汽车每小时行45千米，摩托车每小时行70千米。

6小时后两车相距多少千米？例题2：一列火车长120米，以每秒20米的速度穿过长200米的隧道，从车头进入隧道到车尾离开隧道共需多少秒？例题3：甲、乙两个车队同时从相隔330千米的两地相向而行，甲队每小时行60千米，乙队每小时行50千米，一个人骑摩托车以每小时行80千米的速度在两个车队间不断地往返联络，两车队相遇时，摩托车行驶了多少千米？1、甲乙相向而行，第一次相遇在C处，求A、C之间的距离。

甲每分钟行50米，乙每分钟行70米。

根据速度公式，两人相向而行的速度之和为120米/分钟。

速度：每分（每秒、每小时）行的路程叫做速度。

速度的单位是由路程的单位和时间的单位共同组成的复合单位。

路程、速度与时间的关系：路程＝速度×时间；速度＝路程÷时间；时间＝路程÷速度。

相遇问题（1）两个物体以不同的点作为起点作相向运动的问题，称为相遇问题。

（2）相遇问题中的基本数量关系式（常考虑两个物体或人（甲、乙）的速度和）：①相遇路程＝甲走的路程＋乙走的路程＝甲的速度×相遇时间＋乙的速度×相遇时间＝（甲的速度＋乙的速度）×相遇时间＝速度和×相遇时间②相遇时间＝相遇路程÷速度和③速度和＝相遇路程÷相遇时间追及问题（1）两个物体作同向运动的问题，称为追及问题。

（2）追及问题中的基本数量关系式（常考虑两个物体或人的速度差）：①追及路程 =快者走的路程-慢者走的路程=快者的速度×追及时间-慢者的速度×追及时间=（快者的速度-慢者的速度）×追及时间=速度差×追及时间②追及时间=追及路程÷速度差③速度差=追及路程÷追及时间认识行程问题。

写一写，读一读：小轿车每分钟大约行驶1900米，可以表示成（）。

火箭每秒大约行驶8500米，可以表示成（）。

短跑运动员每秒大约跑10米，可以表示成（）。

人步行的速度为5千米/时，读作：（）。

声音在空气中传播的速度是340米/秒，读作：（）。

小明骑自行车的速度是250米/分，读作：（）。

小熊每分钟跑54米。

表示的是（）；小熊跑了54米。

表示的是（）。

算一算：宇宙飞船5秒钟飞行40千米，宇宙飞船的速度是（ ）。

列式：赛车9分钟行63千米，赛车的速度是（ ）。

列式：妈妈从家到大卖场步行480米用了8分钟，妈妈步行的速度是（ ）。

列式：【难度】：A 【知识点】：速度解答：1、速度是1900米/分钟；速度是8500米/秒；速度是10米/秒。

行程之相遇问题1、通过小组合作、自主探究，使学生知道速度的表示法；理解和掌握行程问题中速度、时间、路程三个数量的关系。

2、通过课堂上的合作学习、汇报展示、互动交流，提高学生分析处理信息的能力，培养学生解决实际问题的能力。

3、让学生通过提出问题、解决问题，感受数学来源于生活，在交流评价中培养学生的自信心，体验到成功的喜悦。

甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A,B之间这段路程，如果两人同时出发，那么相遇路程＝甲走的路程+乙走的路程＝甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间＝（甲的速度+乙的速度）×相遇时间＝速度和×相遇时间.一般地，相遇问题的关系式为：速度和×相遇时间=路程和。

解决行程问题，常常要借助于线段图。

1：两列火车同时从相距480千米的两个城市出发，相向而行，甲车每小时行驶40千米，乙车每小时行驶42千米。

5小时后，两列火车相距多少千米?(适于五年级程度)解：此题的答案不能直接求出，先求出两车5小时共行多远后，从两地的距离480千米中，减去两车5小时共行的路程，所得就是两车的距离。

480-(40+42)×5=480-82×5=480-410=70(千米)答：5小时后两列火车相距70千米。

2：两个城市之间的路程是500千米，一列客车和一列货车同时从两个城市相对开出，客车的平均速度是每小时55千米，货车的平均速度是每小时45千米。

两车开了几小时以后相遇?(适于五年级程度)解：已知两个城市之间的路程是500千米，又知客车和货车的速度，可求出两车的速度之和。

用两城之间的路程除以两车的速度之和可以求出两车相遇的时间。

500÷(55+45)=500÷100=5(小时)答略。

3：甲、乙二人以均匀的速度分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A 地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B 地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.解：第二次相遇两人总共走了3个全程，所以甲一个全程里走了4千米，三个全程里应该走4*3=12千米，通过画图，我们发现甲走了一个全程多了回来那一段，就是距B 地的3千米，所以全程是12-3=9千米，所以两次相遇点相距9-(3+4)=2千米。

知识图谱借助线段图解决行程问题知识精讲相遇问题中的数量关系：甲行驶的路程＋乙行驶的路程＝甲乙出发点间的距离典型例题淘气去奶奶家，需要先乘4时的火车，在新站换车，再乘2时的汽车．（1）3位同学通过画图表示题目的意思，你能看懂吗？（2）淘气9:00乘火车出发，2时后火车约行驶到什么位置？在图中标出来．（3）淘气家到奶奶家一共有多少千米？名师学堂（1）左上图中的画法，把火车行驶的轨迹描出，并注明主要信息．图中能直观看出行驶的路线及换乘地点：淘气从家出发经过部分站点后到达新站，然后换乘汽车去奶奶家．中间图的画法，简单画出火车的大致路线，并标明主要信息．可以看出淘气从家出发坐4时火车到达新站，然后换乘汽车2时到达奶奶家．右上图，画线段图表示行驶路线，行驶过程分几部分，就画几段连续的线段，然后在线段图上标明主要信息．可以看出淘气从家出发，先坐4时火车到达新站，然后又坐了2时到达奶奶家．火车每时行驶115千米，汽车每时行驶45千米．对比可发现，画线段图表示行驶路线更简洁，能直观、完整地表示题目信息．（2）因为淘气总共坐了4时火车，所以出发2时后火车大约行驶了一半的距离，即淘气家到新站一半的位置．可以数一数铁路有多少段，然后计算出一半是多少段．（3）根据上图的线段图，要求淘气家到奶奶家一共有多少千米，先分别求出乘火车与乘汽车行驶的路程，再相加即可．（千米）（千米）（千米）答：淘气家到奶奶家一共有550千米．三点剖析重点：在解决问题的过程中，体会借助线段图解决行程问题的便捷与直观． 难点：提高动手操作能力和解决问题的能力． 易错点：列式计算出现错误．借助线段图解决行程问题例题例题1、李叔叔骑自行车旅行，平均每天行125千米． （1）一周（7天）能不能从青岛到北京？（2）李叔叔骑了4天后，距北京还有多少千米？ 【答案】（1）125×7=875（千米），130+335+366=831（千米），875千米>831千米，能从青岛到北京． （2）831-125×4=331（千米） 【解析】（1）125×7=875（千米），130+335+366=831（千米），875千米>831千米，能从青岛到北京． （2）831-125×4=331（千米）例题2、王伯伯家住桂林，春节他从桂林北站乘火车回广州老家，途经永州、韶关东，最后到达广州．（1）永州到韶关东的路程是多少千米？画一画，算一算． （2）桂林北到广州的路程是多少千米？（3）火车从桂林北出发，平均每时行78千米，6时后大约行驶到什么位置？在图中标出来． 【答案】（1）635-199=436（千米）（2）635+221=856（千米） （3）78×6=468（千米），标位置略（提示：大约在永州至韶关东的中间位置） 【解析】（1）635-199=436（千米）（2）635+221=856（千米） （3）78×6=468（千米），标位置略（提示：大约在永州至韶关东的中间位置）随练随练1、元元一家去姥姥家，从江城出发需要先乘6时的火车，在新站换汽车，再乘3时的汽车．（1）你知道了哪些信息？填一填．（2）从江城到新站有多少千米？ （3）元元家到姥姥家共有多少千米？ 【答案】（1）6，3，112，58桂林北—永州199千米 桂林北—韶关东635千米韶关东—广州 221千米火车每时行112千米，汽车每时行58千米．（2）112×6=672（千米）（3）672+3×58=846（千米）【解析】（1）6，3，112，58（2）112×6=672（千米）（3）672+3×58=846（千米）随练2、小丽一家人去花城旅游，从兴旺镇出发需要先乘2时的汽车，在新城换车，再乘4时的火车．（1）你知道哪些数学信息？画一画．（2）从兴旺镇到新城有多少千米？（3）从兴旺镇到花城有多少千米？（4）小丽一家人在新城换火车后，2时大约行到什么位置？在图中标出来．【答案】（1）（2）2×70=140（千米）（3）140+4×135=680（千米）（4）换火车后，2时大约行在新城与花城的中间．（标图略）【解析】（1）（2）2×70=140（千米）（3）140+4×135=680（千米）（4）换火车后，2时大约行在新城与花城的中间．（标图略）拓展拓展1、小明从家走5分到达邮局，再从邮局走7分到达学校．（1）小明每分走多少米？（2）小明7时半从家出发，10分后大约走到什么位置？在图中标出来．（3）小明从家出发，经过邮局到达学校，一共要走多少米？【答案】（1）300÷5=60（米）（2）60×10=600（米），标位置略（3）60×7=420（米），420+300=720（米）【解析】（1）300÷5=60（米）（2）60×10=600（米），标位置略（3）60×7=420（米），420+300=720（米）拓展2、小明住在学校的东面，小强住在学校的西面．小明和小强同时从各自家中出发到学校，小明每分走64.5米，小强每分走75.5米，21分后两人同时到达学校．小明家与小强家相距多少米？【答案】（64.5+75.5）⨯21=2940（米）【解析】（64.5+75.5）⨯21=2940（米）。

小升初专项培优测评卷（十二）参考答案与试题解析一．填一填（共12小题）1．（2019•阆中市）梅花鹿15小时跑32千米，它1小时能跑千米，跑1千米用小时．【分析】1小时跑多少千米就是求它的速度，依据速度=路程÷时间，以及时间=路程÷速度即可解答．【解答】解：3117252÷=（千米）答：它1小时能跑172千米．1217215÷=（小时）答：跑1千米用215小时．故答案为：172，215．【点评】本题主要考查学生依据速度，时间以及路程之间数量关系解决问题的能力．2．（2019•宁波）小明步行去离家10千米远的叔叔家，每小时走3千米，可他走40分钟要休息10分钟，他9:00出发，到叔叔家．【分析】步行速度是每小时3千米，一共是10千米，说明如果不休息步行要3小时20分钟；但是她每40分钟就休息10分钟，所以中间有4次休息时间一共40分钟；所以她一共花了4小时的时间．从而可求其到达的时刻．【解答】解：不休息需要的时间：110333÷=（小时）3=小时20分钟则路上要休息的4次，休息的时间是41040⨯=（分钟）所以共需要时间3小时20分钟40+分钟4=（小时）9:004+小时13:00=答：13:00到叔叔家．故答案为：13:00．【点评】解决此题的关键是能求出路上休息的时间，再加不休息的时间即可求解．3．（2019•长沙）一环形跑道周长为240米，甲与乙同向，两人都从同一地点出发，每秒钟甲跑8米，乙跑5米，出发后，两人第一次相遇时，甲跑了圈．【分析】出发后，两人第一次相遇时，也就是甲第一次追上乙时，甲正好比乙多跑一周即240米，甲每秒比乙多853-=米，根据除法的意义，甲第一次追上乙需要240380÷=秒，根据乘法的意义，此时甲跑了880640⨯=米，然后再除以每圈的米数，即640240÷．【解答】解：240(85)÷-2403=÷80=（秒)880240⨯÷640240=÷83=（圈)答：两人第一次相遇时，甲跑了83圈．【点评】明确两人第一次相遇时，也就是甲第一次追上乙时，甲比乙多跑一圈是完成本题的关键．4．（2019•乐昌市）甲乙两地相距140千米，一辆汽车从甲地到乙地用2.5小时，返回时用1.5小时，这辆汽车往返的平均速度是千米/时．【分析】先用甲乙两地之间的路程乘2，求出往返的总路程，再求出往返需要的时间和，然后用总路程除以时间和即可求解．【解答】解：(1402)(2.5 1.5)⨯÷+2804=÷70=（千米/时）答：这辆汽车往返的平均速度是70千米/时．故答案为：70．【点评】本题考查了速度、路程、时间的关系，注意平均速度=总路程÷总时间，不是速度的平均数．5．（2019•长沙）快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行44千米，相遇时已行了全程的47，已知慢车行完全程需要8小时，则甲乙两地的路程为千米．【分析】把全程看成单位“1”，相遇时快车已行了全程的47，那么慢车就行驶了全程37，慢车的速度一定，慢车行驶的路程和时间成正比例关系，所有慢车行驶全程的37所用的时间也是行完全程时间的37，用8小时乘37即可求出相遇时间，再用快车的速度乘相遇时间，即可求出相遇时快车行驶的路程，也就是全程的47，再根据分数除法的意义，用除法求出全程．【解答】解：4 8(1)7⨯-387=⨯247=（小时）2444477⨯÷24744()74=⨯⨯446=⨯264=（千米）答：甲乙两地的路程为264千米．故答案为：264．【点评】解决本题关键是根据速度一定，时间和路程的正比例关系以及分数乘法的意义得出相遇时间，再根据路程=速度⨯时间，求出快车已经行驶的路程，然后根据分数除法的意义求解．6．（2019•常熟市）一辆汽车以每小时80千米的速度从甲地开往乙，司机估算了一下，如果提速20%，则可以少用0.5小时到达乙地，甲、乙两地之间相距千米．【分析】首先根据速度⨯时间=路程，用提速后的速度乘提速后少行的时间，再用它除以提高的速度，求出汽车原来的行驶时间是多少，然后根据速度⨯时间=路程，用汽车原来的行驶时间乘以原来的速度，求出A、B两地相距多少千米即可．【解答】解：8020%16⨯=（千米）(8016)0.51680+⨯÷⨯960.51680=⨯÷⨯240=（千米）答：甲、乙两地之间相距240千米．故答案为：240．【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度⨯时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间，要熟练掌握；解答此题的关键是求出原来的行驶时间是多少．7．（2019•亳州模拟）在15千米的自行车越野赛中，小强以15千米/时的速度骑完全程的13，再以10千米/时的速度骑完后段路程，则小强到达终点所用的时间为小时．（保留一位小数）【分析】首先根据：路程÷速度=时间，分别用前段路程、后段路程的大小除以小强骑行的速度，求出用的时间各是多少；然后把它们相加，求出小强到达终点所用的时间为多少即可．【解答】解：11553⨯=（千米）515(155)10÷+-÷0.31≈+1.3=（小时）答：小强到达终点所用的时间大约为1.3小时．故答案为：1.3．【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度⨯时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间，要熟练掌握．8．（2019•郑州模拟）早上妈妈步行出发上班，每分钟行70米．6分钟后爸爸发现妈妈忘了带手机，爸爸以每分钟210米的速度骑车去追妈妈．经过分钟后爸爸能追上妈妈．【分析】妈妈早出发6分钟行的路程差就是爸爸要追及的路程，即：706420⨯=（米)，爸爸和妈妈的速度差是：21070140÷=（分钟），据此解答．-=（米)，求追及的时间列式为：4201403【解答】解：(706)(21070)⨯÷-，=÷，420140=（分钟），3答：经过3分钟后爸爸能追上妈妈．故答案为：3．【点评】本题考查了追及问题，给关键是求出追及的路程和速度差，然后根据“追及的路程÷速度差=追及的时间”解答得出结论．9．（2019•攀枝花模拟）一只小船在静水中速度为每小时25千米，在210千米的河流中顺水而行时用了6小时，则返回原处需用小时．【分析】因为返回原处是逆水行使，要求返回原处所用的时间，就要知道逆水行驶的速度，因为逆水速度=船的静水速度-水流速度，因此关键在于求水流速度．根据顺水速度-船的静水速度=水流速度，水流速度为(2106)2510÷-，计算得解．÷-=（千米/时），返回原处所需要的时间：210(2510)【解答】解：水流速度：(2106)25÷-，=-，3525=（千米/时）10返回原处所需要的时间：÷-，210(2510)=÷，21015=（小时）．14答：返回原处需用14小时．故答案为：14．【点评】此题属于流水行船问题，先求出水流速度，然后根据顺流而下的速度，即船速与水速之差求出逆水速度，最后根据路程÷逆水速度=逆水时间，解决即可．10．（2019•东莞市模拟）A、B两地相距470千米，乙车以每小时40千米的速度，甲车以每小时46千米的速度先后从两地出发，相向而行，相遇时甲车行驶了230千米，则乙车比甲车早出发小时．【分析】相遇时乙车行了470230240-=千米，行了240406÷=小时，而相遇时甲车行驶230千米需要-=小时，据此解答即可．230465÷=小时，即甲乙共同行驶了5小时，那么乙车比甲车早出发651【解答】解：(470230)40-÷=÷240406=（小时）÷=（小时）230465-=（小时）651答：乙车比甲车早出发1小时．故答案为：1．【点评】本题考查了相遇问题，关键是根据甲车行驶的路程求出共同行驶的时间．11．（2019•北京模拟）某列火车通过560米的一个隧道用了24秒钟，接着通过一个照明灯用了10秒钟，这列火车的速度是米/秒，火车长是米．【分析】某列火车经过一个照明灯用了10秒钟，即火车行驶与火车长度相等的距离需要10秒．由于火车通过隧道行驶的距离=隧道的长度+火车的长度，通过560米的隧道用了24秒，则火车行驶560米需用÷=米/秒，所以火车的长度为：4010400⨯=米．-=秒，则火车的速度为5601440241014【解答】解：560(2410)÷-=÷56014=（米/秒）；40⨯=（米)；4010400答：这列火车的速度是40米/秒，火车长是400米．故答案为：40，400．【点评】明确火车经过照明灯所行驶的长度等于火车的长度是完成本题的关键．12．（2019春•大田县期末）如图，小红和小丽两个小朋友在一块正方形地上玩游戏．小红在A点，小丽在C 点，她们同时出发，在距离D点3.5米处的E点相遇．已知小红和小丽的速度比是7:5，这个正方形的周长是米．【分析】根据题意，已知小红和小丽的速度比是7:5，设小红行了长和宽的775+，小丽的行了长和宽的575+，在距离D点3.5米处的E点相遇，小红比小丽多行了3.527⨯=米，所对应的分率是752 757512-=++，根据分数除法的意义，即可长和宽，再进一步解答即可．【解答】解：75 3.52()7575⨯÷-++2712=÷42=（米)42284⨯=（米)答：这个正方形的周长是84米．故答案为：84．【点评】此题主要考查按比例分配应用题的特点：已知两个数的比（三个数的比），两个数的和（三个数的和），求这两个数（三个数），用按比例分配解答．二．选一选（共8小题）13．（2019秋•兴国县期末）某人16小时步行67千米，求步行一千米需要多少小时？算式是()A．1667÷B．6176÷C．1667⨯D．6176⨯【分析】用某人步行67千米用的时间除以67，求出步行一千米需要多少小时即可．【解答】解：1676736÷=（小时）答：步行一千米需要736小时．故选：A．【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度⨯时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间，要熟练掌握．14．（2019•利州区）一座桥长2000米，一列火车以每秒20米的速度通过这座桥，火车车身长200米、则火车从上桥到离开桥需要()秒．A．110B．100C．90D．85【分析】从车头上桥到车尾离开桥所走路程为：20002002200+=（米)，于是，我们所行驶的距离除以火车的速度，就是所用时间．【解答】解：(2000200)20+÷=÷220020=（秒)110答：火车从上桥到离开桥需要110秒．故选：A．【点评】解答此题的关键是知道：火车过桥走过的路程=桥长+车身长，再根据基本的数量关系解决问题．15．（2019•湘潭）甲、乙两车从相距450千米的A、B两地同时相向而行，经过3小时相遇，已知甲的速度是乙的1.5倍，则甲的速度是()千米/时．A．60B．80C．90D．120【分析】先用总路程除以相遇时间，求出两车的速度和，已知甲的速度是乙的1.5倍，那么速度和就是乙的速度的(1.51)+倍，用速度和除以这个倍数，即可求出乙车的速度，再乘15就是甲车的速度．【解答】解：4503150÷=（千米/时）150(1.51)÷+=÷150 2.5=（千米/时）6060 1.590⨯=（千米/时）答：甲车的速度是90千米/时．故选：C．【点评】解决本题先根据速度和=总路程÷相遇时间求出速度和，再根据和倍公式：1倍数=两数和÷倍数和求解．16．（2019•长沙校级模拟）甲、乙两人步行的速度比是13:11，如果甲、乙分别由A、B两地同时出发相向而行，0.5小时后相遇，如果他们同向而行，那么甲追上乙需要()小时．A．4.5B．5C．5.5D．6【分析】设甲的速度为每小时行13千米，乙的速度为每小时行11千米，求出A、B两地之间的距离，甲要追上乙，就要比乙多行A、B之间的距离这段路程，用这个路程除以两人的速度差就是它们行走的时间．【解答】解：设甲的速度为每小时行13千米，乙的速度为每小时行11千米，由题意得：两地相距：(1311)0.5+⨯240.5=⨯=（千米）12甲追上乙需：12(1311)÷-=÷122=（小时）6故选：D．【点评】本题考查了相遇问题的数量关系以及追及问题的数量关系，速度和⨯相遇时间=总路程，路程÷速度差=追及时间．17．（2019春•昆明期末）有一艘渡轮在静水中的船速是35公里/时，在流速2公里/时的河流上顺流而下5小时，渡轮共行驶几公里？()A．155公里B．165公里C．175公里D．185公里【分析】根据路程=顺水时间⨯顺水速度，顺水速度=静水中的速度+水流速度，解答即可．【解答】解：顺水速度35237=+=（公里/时），⨯=（公里），375185答：渡轮共行驶185公里．故选：D．【点评】本题考查了流水行船问题，运用了下列关系式：路程=顺水时间⨯顺水速度，顺水速度=静水中的速度+水流速度．18．（2019•重庆模拟）甲、乙两人同时由A地到相距60千米外的B地，甲每小时比乙慢4千米．乙先走到B地后立即返回，在距B地12千米处与甲相遇，甲每小时行()千米．A．10B．8C．12D．16【分析】乙先走到B地后立即返回，在距B地12千米处与甲相遇，则相遇时，乙比甲多行了12224⨯=千米，两人的速度差为每小时4千米，所以相遇时，两人行了2446-÷=÷=小时，所以甲每小时行(6012)68千米．【解答】解：(6012)(1224)-÷⨯÷486=÷，=（千米）．8答：甲每小时行8千米．故选：B．【点评】首先根据相遇时两的距离差及速度差，求出两人相遇时间是完成本题的关键．19．（2019•顺义区）甲乙二人速度比是3:5，他们从一条“健身步道”的AB两点同时出发，如果同向而行，12分钟后乙追上甲；如果相向而行，()分钟后相遇．A．1B．3C．5D．8【分析】甲、乙两人速度比3:5，可以看做甲的速度为3份，乙的速度为5份，则甲、乙两人的速度差为532-=（份)，如果同向而行，12分钟后乙追上甲，那么AB 两地的距离就是21224⨯=份，如果他们相向而行，根据“路程÷速度和=时间”解答即可．【解答】解：(53)12(53)-⨯÷+2128=⨯÷248=÷3=（分钟）答：如果相向而行，3分钟后相遇．故选：B ．【点评】此题采用了假设法，先求出AB 两地的距离，这是解题的关键．20．（2019•郑州校级自主招生）如图长方形ABCD 中，:5:4AB BC =，位于A 点的第一只蚂蚁按A B C D A →→→→方向爬行，位于C 点的第二只蚂蚁按C B A D C →→→→的方向同时出发，分别沿长方形的边爬行，如果两只蚂蚁第一次在B 点相遇，则两只蚂蚁第二次相遇在( )边上．A ．DAB ．BC C ．CD D ．AB【分析】:5:4AB BC =，设5AB =份，4BC =份，这个长方形的周长是：(54)218+⨯=份；如果两只蚂蚁第一次在B 点相遇，说明速度比是5:4，所以把第一只蚂蚁的速度看作5份，第二只蚂蚁的速度看作4份，速度和为：549+=份；在B 点相遇后，两只蚂蚁第二次相遇正好行了一个周长即18份，这时第二只蚂蚁行了41889⨯=份，所以两只蚂蚁第二次相遇在DA 边上，据此解答． 【解答】解：设5AB =份，4BC =份，长方形的周长是：(54)218+⨯=份；41845⨯+， 4189=⨯， 8=份，853-=份；所以两只蚂蚁第二次相遇在DA 边上．故选：A ．【点评】本题的关键是根据“两只蚂蚁第一次在B 点相遇，”求出速度比是多少，注意第二次相遇正好行了一个周长即总路程是18份．三．走进生活，解决问题（共10小题）21．（2019•鄞州区）鄞州院士公园里的一条健身步道全长1500米，张明走完全程要用20分钟，李林走完全程要用30分钟．他们分别从这条健身步道的两端同时出发，相向而行，多长时间能够相遇？【分析】把全长1500米看作单位“1”，那么张明的速度就是120，那么李林就是130，然后用单位“1”除以两人的速度和就是相遇时间．【解答】解：11 1()2030÷+1112=÷12=（分钟）答：相向而行，经过12分钟能够相遇．【点评】本题用工程问题的解答方法比较简单，也可用总路程1500除以速度和(150020150030)÷+÷来解答，即1500(150020150030)÷÷+÷．22．（2019•湘潭模拟）假期里，依依和妈妈每天早晨在环湖路上跑步锻炼身体．环湖路长840米，依依每分跑108米，妈妈每分跑92米．（1）如果两人同时同地出发，相背而跑，多少分后相遇？（2）如果两人同时同地出发，同向而跑，多少分后依依超出妈妈一整圈？【分析】（1）如果两人同时同地出发，相背而跑，那么相遇的时候正好行了环湖路一圈的长度，然后除以两个人的速度和就是相遇时间．（2）如果两人同时同地出发，同向而跑，属于追及问题，依依超出妈妈一整圈正好是840米，然后除以以两个人的速度差就是追及时间．【解答】解：（1）840(10892)÷+840200=÷4.2=（分钟）答：如果两人同时同地出发，相背而跑，4.2分钟后相遇．（2）840(10892)÷-84016=÷52.5=（分钟）答：如果两人同时同地出发，同向而跑，52.5分钟后依依超出妈妈一整圈．【点评】此题主要考查了环形跑道问题中的追及问题和相遇问题的综合应用，关键是明确行驶的方向不同．23．（2019•长沙模拟）实验小学六年级学生去参观科技馆，400人排成两路纵队，相邻两排之间相距1米，队伍每分钟走60米，现在要过一座长41米的桥，从第一排上桥到最后一排离开桥，一共要多少分钟？【分析】400人排成两路纵队，每路纵队4002200÷=人，199个间隔全长=间隔长⨯间隔数1199199=⨯=米，从排头两人上桥到排尾两人离开桥，实际总长=桥长+队伍全长41199240=+=米，再据时间=路程÷速度解答即可．【解答】解：[(40021)141]60÷-⨯+÷，24060=÷，4=（分钟）． 答：从排头两人上桥到排尾两人离开桥，共需要4分钟．【点评】解答此题的关键是根据植树问题，明确200人之间有199个间隔．还要注意计算通过桥长时加上队伍全长．24．（2019•北京模拟）某人乘船由甲地顺流而下到乙地，然后又逆流而上到甲地，共乘船3小时，已知船在静水中的速度为每小时7.5千米，水流速度为每小时2.5千米，求两地的距离．【分析】根据流水行船问题公式：顺水速度=船速+水速，逆水速度=船速-水速．7.5 2.510V =+=顺（千米/小时），7.5 2.55V =-=逆（千米/小时）．根据路程一定的情况下，速度与时间成反比例，则水流所用时间为：531105⨯=+（小时），所以两地路程为：11010⨯=（千米）． 【解答】解：由题可知，7.5 2.510+=（千米/小时）7.5 2.55-=（千米/小时）531105⨯=+（小时） 11010⨯=（千米）答：两地的距离是10千米．【点评】本题主要考查流水行船问题，解答此题的关键是，根据船速，水速，船逆水的速度，船顺水的速度，几者之间的关系，找出对应量，列式解答即可．25．（2019•亳州模拟）小巧以65米/分的速度，步行从家里出发去少年宫．出发16分钟后，妈妈发现小巧把垃圾分类资料忘了，于是骑车以195米/分的速度去追．已知小巧家与少年宫之间的路程是2100米．妈妈能在小巧到达少年宫之前追上她吗？【分析】根据题意，小巧行16分钟所走路程为：65161040⨯=（米)，然后利用追及问题公式：追及时间=路程差÷速度差，求出妈妈追小巧所用时间为：1040(19565)8÷-=（分钟），而此时小巧所行路程为：65(168)1560⨯+=（米)，与小巧家距少年宫的距离相比较，即可得出结论．【解答】解：6516(19565)⨯÷-104030=÷8=（分钟）65(168)⨯+6524=⨯1560=（米)21001560>答：妈妈能在小巧到达少年宫之前追上她．【点评】本题主要考查追及问题，关键利用公式：追及时间=路程差÷速度差．26．（2019秋•隆回县期末）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，相遇时甲车行了320千米，已知甲车的速度是每小时60千米，乙车的速度是甲车速度的34，求A、B两地相距多少千米？【分析】乙车的速度是甲车速度的34，那么时间一定，乙与甲行驶的路程比是3:4，相遇时甲车行了320千米，把A、B两地的距离看作单位“1”，那么320千米就相当于A、B两地距离的434+，然后根据分数除法的意义解答即可．【解答】解：4 32034÷+43207=÷560=（千米）答：A、B两地相距560千米．【点评】解答本题关键是根据“时间一定，速度比就等于路程比”求出甲、乙两车行驶的路程比．27．（2019•郑州模拟）甲车的速度是100千米，是乙车速度的54，两车同时分别从两地相向而行，在距中点180千米处相遇，问两车开出后多少小时相遇？【分析】先用5100804÷=（千米）求出乙车速度，甲车每小时比乙车快1008020-=（千米），两车相遇在距两地中点180千米处，可知路程差是1802360⨯=（千米），所以相遇时间为3602018÷=（小时）．【解答】解：5 1004÷41005=⨯80=（千米）1802(10080)⨯÷-36020=÷18=小时）答：两车开出后18小时相遇．【点评】解题的关键是利用两车所行路程差÷速度差=相遇时间，从而解决问题．28．（2019•郑州）有甲乙两车从A 、B 两地相向而行，甲乙的速度比是7:9，两车相遇后又继续前进，甲到达B 地，乙到达A 地后又返回，甲车在离B 地80千米的地方与乙车相遇，求A 、B 两地的距离．【分析】甲乙的速度比是7:9，那么相遇时甲乙行驶的路程比也是7:9；所以当第二次相遇时，两车共行了3个A 、B 两地间的距离；此时甲车行了A 、B 两地距离的7379⨯+；那么80千米就相当于A 、B 两地距离的7(31)79⨯-+，然后根据分数除法的意义即可求出A 、B 两地的距离． 【解答】解：780(31)79÷⨯-+ 58016=÷ 256=（千米）答：A 、B 两地的距离是256千米．【点评】本题考查了多次相遇问题，关键是明确当第二次相遇时，两车共行了3个A 、B 两地间的距离．29．（2019•青岛模拟）上午8时，张、王两同学分别从A 、B 两地同时骑摩托车出发，相向而行．已知张每小时比王多行2千米，到上午10时，两人仍相距36千米的路程．相遇后，两人停车闲谈了15分钟，再同时按各自的方向以原来的速度继续前进，到中午12时15分，两人又相距36千米的路程．（1）张、王二人的速度分别为多少？（2）A 、B 两地间的路程有多少千米？（3）两人第一次相遇在何时？【分析】（1）由题意可知，从上午10时到中午12时15分共用了2小时15分钟，减去两人闲谈用去的15分，即两人共行363672+=（千米），用了2小时，则两人速度和是每小时(3636)236+÷=（千米）．利用和差问题公式，王的速度为：(362)217-÷=（千米/小时），张的速度为：(362)239+÷=（千米/小时）．（2）由（1）知两人共行36千米需要1小时，到上午十时，两人已共行了2小时，即两人的相遇时间是213+=（小时），所以两地相距363108⨯=（千米）．（3）8311+=（时)即上午11时二人第一次相遇．【解答】解：（1）12时15分10-时15-分2=小时10时8-时2=小时(3636)2+÷722=÷=（千米/小时）36-÷(362)2=÷342=（千米/小时）17+÷(362)2=÷382=（千米/小时）19答：张的速度是每小时19千米，王的速度是每小时17千米．（2）36(36362)⨯÷+=⨯363=（千米）108答：两地相距108千米．（3）36362÷+=+12=（小时）3+=（时)8311答：两人第一次相遇在上午11时．【点评】首先根据题意求出两人的速度和，进而求出两人的相遇时间是完成本题的关键．30．（2019•成都自主招生）两只小爬虫甲和乙，从A点同时出发，沿着长方形ABCD的边按照箭头方向爬行（如图所示）．在距离C点32厘米的E点它们第一次相遇；在离D点16厘米的F点第二次相遇；在离A点18厘米的G点第三次相遇．长方形的边AB长多少厘米？【分析】甲和乙既然是相遇问题，则每次相遇两只小虫都共行一周，所用时间相同．以甲分析为例，甲三次相遇的所走的路程应该是相同的，也就是AB BE EC CF FD DA AG+=+=++，也就是321618AB BE CF AD +=+=++，又已知(32)AD BE EC AD BE =+=+，把1618AB BE AD +=++中的AD 换成32BE +，得到66AB =厘米．【解答】解：由题意可知，AB BE EC CF FD DA AG +=+=++，即321618AB BE CF AD +=+=++，又已知(32)AD BE EC AD BE =+=+，则16321866AB BE BE BE +=+++=+，可得：66AB =厘米．【点评】甲三次相遇的所走的路程应该是相同的列出关系式进行分析是完成本题的关键．。

小学奥数行程问题(教师版)本讲旨在综合训练行程问题，学生需要掌握速度的概念和速度×时间＝路程这组数量关系，并应用它去解决问题。

同时，通过本讲，学生将感受到人类创造交通工具的智慧和自然界的多姿多彩。

行程问题常用的解题方法有以下几种：1.公式法：根据常用的行程问题的公式进行求解，需要熟悉公式的原形和各种变形形式，并能够推知需要的条件；2.图示法：在复杂的行程问题中，常用示意图作为辅助工具，包括线段图和折线图，重点在折返、相遇、追及的地点；3.比例法：在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值；4.分段法：在非匀速即分段变速的行程问题中，通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；5.方程法：在关系复杂、条件分散的题目中，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解。

例题1：甲、乙两人分别从相距35.8千米的两地出发，相向而行。

甲每小时行4千米，但每行30分钟就休息5分钟；乙每小时行12千米，则经过2小时19分的时候两人相遇。

解题思路：经过2小时15分钟的时候，甲实际行了2小时，行了8千米，乙则行了27千米，两人还相距0.8千米，此时甲开始休息，乙再行4分钟就能与甲相遇。

所以经过2小时19分的时候两人相遇。

例题2：龟兔赛跑，全程6千米，兔子每小时跑15千米，乌龟每小时跑3千米，乌龟不停的跑，但兔子边跑边玩。

问它们谁胜利了？胜利者到终点时，另一个距离终点还有多远？解题思路：兔子跑1分钟后玩20分钟，跑2分钟后玩20分钟，跑3分钟后玩20分钟……可以发现，兔子每跑1分钟，乌龟就会跑3分钟，因此兔子跑完全程需要2小时，而乌龟需要6小时。

所以兔子胜利了，当兔子到达终点时，乌龟还有4千米的路程未到达终点。

1.乌龟和兔子比赛，乌龟跑完全程需要2小时，兔子边跑边玩，一共跑了20分钟，跑了5千米。

乌龟胜利了，领先兔子1千米。

2.邮递员走了20千米的上坡路和下坡路，共用时9小时。

与分数有关的之行程问题行程问题基本公式：速度×时间＝路程；路程÷时间＝速度；路程÷速度＝时间相遇问题是行程问题中的一种情况，这类问题的特点是：两个运动的物体，从两地相向而行，越行越近，到一定时候二者可以相遇。

相遇问题的关系式：速度和×相遇时间＝路程和路程和÷速度和＝相遇时间路程和÷相遇时间＝速度和追及问题也是行程问题中的一种情况，这类问题的特点是两个物体同时向同一方向运动，出发的地点不同（或从同一地点，不同时出发向同一方向运动）慢车在前，快车在后，因而快车离慢车越来越近，最后终于可以追上。

追及问题的关系式：速度差×追及时间＝路程差路程差÷追及时间＝速度差路程差÷速度差＝追及时间小时相遇，甲、乙的速例1：两地相距196千米，甲、乙两辆汽车同时从两地相对开出，73度比是4：3，甲、乙两车每小时各行多少千米？【思路点拨】先根据“相遇路程÷相遇时间=速度和”求出甲、乙两辆汽车每小时共行的千米数，再根据“甲、乙的速度比是4：3”，把两辆车每小时共行的千米数按4：3进行分配，分别求出甲、乙两辆汽车每小时各行的千米数。

【思路点拨】速度和是196÷7/3=84（千米）甲速度：84×4/(4+3)=48（千米/时）乙速度：84×3/(4+3)=36（千米/时）答：甲速度是每小时48千米，乙速度是每小时36千米练习：1.甲、乙两地相距475千米，客车和货车同时从两地相对开出，已知货车每小时行45千米，货车与客车的速度比是9：10，经过几小时两车才能相遇？【思路点拨】客车速度45×10/9=50千米/小时经过475/(45+50)=5小时相遇例2．一辆车从甲地到乙地，第一小时行全程的20％，第二小时比第一小时多行30千米，离乙地还有150千米，甲乙两地相距多少千米？【思路点拨】（150+30）/（1-20%-20%）=300（千米）例3、甲、乙两车分别同时从A、B两成相对开出,甲车从A城开往B城,每小时行全程的10%,乙车从B城开往A城，每小时行80千米，当甲车距A城260千米时，乙车距B地320千米。