下载文档原格式
矩阵的运算及其运算规则矩阵是代数中一种重要的数学工具，它由数个数按照规定的行列顺序排列而成。
矩阵的运算包括加法、减法、数乘、乘法以及转置等，这些运算规则在代数中有着重要的应用。
一、矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法规则相同，对应位置的元素进行相加或相减。
具体来说，如果有两个m×n（m行n列）的矩阵A和B，它们的和为C，则A和B之间的加法运算可以表示为：C = A + B。
其中，C的元素cij就是A和B相对应位置元素之和。
同样，矩阵的减法也是对应位置的元素进行相减操作。
例如，对于如下两个矩阵：A=[[1,2],[3,4]]B=[[5,6],[7,8]]则A和B的和、差分别为：A+B=[[1+5,2+6],[3+7,4+8]]=[[6,8],[10,12]]A-B=[[1-5,2-6],[3-7,4-8]]=[[-4,-4],[-4,-4]]二、矩阵的数乘矩阵的数乘是指将矩阵的每个元素都与一个常数k相乘。
具体来说，如果有一个m×n的矩阵A和一个实数k，则矩阵A乘以k的结果为B，可表示为：B = kA。
其中，B的元素bij等于k与A相对应位置元素的乘积。
例如，对于如下矩阵：A=[[1,2],[3,4]]k=2则A乘以k的结果为：B=kA=2A=[[2,4],[6,8]]三、矩阵的乘法矩阵的乘法是指给定两个矩阵A和B，如果A的列数等于B的行数，则可以将它们相乘得到一个新的矩阵C。
具体来说，如果A是一个m×n 的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则矩阵C的大小为m×p。
C的元素cij 可以通过计算A的第i行与B的第j列对应位置元素的乘积之和得到。
例如，对于如下两个矩阵：A=[[1,2],[3,4]]B=[[5,6],[7,8]]则A和B的乘积为：C=AB=[[1×5+2×7,1×6+2×8],[3×5+4×7,3×6+4×8]]=[[19,22], [43,50]]注意，在矩阵乘法中，矩阵的位置很重要，即AB一般不等于BA。
矩阵的运算及其运算规则矩阵是线性代数中的基本概念，也是数学、计算机科学、物理、经济学等领域中广泛运用的工具之一。
矩阵的运算是矩阵代数的重要组成部分，并且矩阵的运算规则是进行代数运算、求解线性方程组、计算特征值和特征向量等的关键。
1.基本矩阵运算矩阵的四则运算：加法、减法、乘法和除法是矩阵运算的基础。
加减法均是对应元素相加减，必须两个矩阵形状相同才可加减。
例如A、B是两个3\*3矩阵，那么它们相加后我们可以表示为C=A+B，C的每个元素都等于A和B对应位置的元素之和。
矩阵的乘法是相乘并对乘积元素求和，而不是元素相乘。
A\*B中A的列数应该等于B的行数，乘积C则应该是A的行数和B的列数构成的矩阵。
例如A是一个3\*2 的矩阵，B是一个2\*4 的矩阵，则将A的每一行和B的每一列依次相乘求和，得到一个3\*4的结果矩阵C。
除法在矩阵中一般不存在，但是可以通过矩阵的逆来实现除法运算。
如果乘积A\*B=C，且B是可逆的，那么我们可以利用B的逆矩阵来得出矩阵A，即A=B^{-1}C。
2.转置和逆矩阵矩阵的转置是将矩阵的行和列交换位置得到的新矩阵。
如果矩阵A的形状是m\*n，则转置后的矩阵形状是n\*m。
例如A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6\end{bmatrix}，则A的转置为A^T=\begin{bmatrix}1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6\end{bmatrix}。
矩阵的逆矩阵是一个矩阵，使得矩阵和它的逆矩阵的乘积为单位矩阵。
只有方阵才有逆矩阵，而且并不是所有的方阵都有逆矩阵。
如果一个矩阵A不能求逆，那么我们称它是奇异矩阵或不可逆矩阵。
如果一个矩阵A可以求逆，那么我们称它是非奇异矩阵或可逆矩阵。
逆矩阵的求解方法有伴随矩阵法、高斯-约旦消元法、矩阵分块法等。
3.矩阵的性质及运算规则矩阵的性质包括转置、对称、正交、幂等、奇异等性质。
线性代数矩阵运算与特征值分解重点复习线性代数是数学中的一个重要分支，研究了向量空间和线性映射的结构、性质和运算法则。
在线性代数中，矩阵运算和特征值分解是两个重要的概念和技巧。
本文将以复习的形式来介绍线性代数中的矩阵运算和特征值分解。
一、矩阵运算1. 矩阵的定义和基本运算- 矩阵是由数域上的元素组成的一个长方形的数组。
- 矩阵的基本运算包括加法、减法、数乘和乘法等。
2. 矩阵的转置和共轭转置- 矩阵的转置是将矩阵的行与列对调得到的新矩阵。
- 对于复数矩阵，还可以进行共轭转置，即将矩阵中的元素取复共轭得到的新矩阵。
3. 矩阵的逆和行列式- 逆矩阵是对于方阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I 是单位矩阵。
- 行列式是一个标量，用于判断矩阵是否可逆。
二、特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的定义- 对于一个矩阵A和一个非零向量v，如果存在一个标量λ，使得Av=λv，那么v就是A的一个特征向量，λ就是A的对应特征值。
2. 特征值和特征向量的性质- 特征值和特征向量具有以下性质：- A的特征值的个数等于A的阶数。
- 特征向量的长度可以归一化，使得其模长为1.- 如果v是A的特征向量，那么对于任意非零标量c，cv也是A的特征向量。
3. 特征值分解- 特征值分解是将一个可对角化的矩阵表示为特征值和特征向量的形式。
- 设A是一个n阶方阵，如果存在一个非奇异矩阵P，使得P^-1AP=D，其中D是一个对角矩阵，那么称D的对角元素为A的特征值，P的列向量为A的特征向量。
4. 特征值分解的应用- 特征值分解在多个领域和问题中有广泛的应用，如主成分分析、图像压缩、物理系统的模态分析等。
总结：线性代数中的矩阵运算和特征值分解是重要的概念和技巧。
矩阵运算包括基本运算、转置和共轭转置、逆和行列式等，而特征值和特征向量的概念则提供了解析矩阵性质和变换的重要工具。
特征值分解是一种重要的矩阵分解形式，可以用于研究和求解各种问题。
矩阵的运算与运算规则矩阵基本运算及应用201700060牛晨晖在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。
矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。
在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。
矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。
将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。
在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。
1矩阵的运算及其运算规则1.1矩阵的加法与减法1.1.1运算规则设矩阵，，则简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．1.1.2运算性质满足交换律和结合律交换律；结合律．1.2矩阵与数的乘法1.2.1运算规则数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．特别地，称称为的负矩阵．1.2.2运算性质满足结合律和分配律结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA．分配律：λ(A+B)=λA+λB．1.2.3典型举例已知两个矩阵满足矩阵方程，求未知矩阵．解由已知条件知1.3矩阵与矩阵的乘法1.3.1运算规则设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵：(1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即．(2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．1.3.2典型例题设矩阵计算解是的矩阵．设它为可得结论1：只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数；结论2在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在与均有意义时，也未必有=成立．可见矩阵乘法不满足交换律；结论3方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即．1.3.3运算性质（假设运算都是可行的）(1) 结合律．(2) 分配律（左分配律）；（右分配律）．(3) ．1.3.4方阵的幂定义：设A是方阵，是一个正整数，规定，显然，记号表示个A的连乘积．1.4矩阵的转置1.4.1定义定义：将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作或．例如，矩阵的转置矩阵为．1.4.2运算性质（假设运算都是可行的）(1)(2)(3)(4) ，是常数．1.4.3典型例题利用矩阵验证运算性质：解；而所以．定义：如果方阵满足，即，则称A为对称矩阵．对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等．1.5方阵的行列式1.5.1定义定义：由方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作或．1.5.2运算性质(1) （行列式的性质）(2) ，特别地：(3) （是常数，A的阶数为n）思考：设A为阶方阵，那么的行列式与A的行列式之间的关系为什么不是，而是？不妨自行设计一个二阶方阵，计算一下和．例如，则．于是，而2光伏逆变器的建模光伏并网逆变器是将光伏组件输出的直流电转化为符合电网要求的交流点再输入电网的关键设备，是光伏系统并网环节中能量转换与控制的核心。
光伏逆变器的性能不仅影响到光伏系统是否运行稳定、安全可靠，也是影响整个系统使用寿命的主要因素。
本节将分析主流光伏逆变器的拓扑结构和建模方法。
2.1系统拓扑结构光伏并网逆变器按照不同的分类方式可分为多种类型。
如按照交流侧接线数可分为单相逆变器和三相逆变器，如按照并网方式可分为隔离型光伏逆变器和非隔离型光伏逆变器。
在欧洲，相关标准要求光伏逆变器可以采用非隔离型；而在美国，光伏逆变器必须采用隔离型的；我国目前尚没有在此方面的明确要求。
按照能量变换级数来分，光伏并网系统主要包括单级变换、两级变换和多级变换三种拓扑结构。
为方面理解后续利用矩阵相关知识建模，下面对这三种拓扑结构的特点做简要介绍。
1) 单级变换拓扑结构单级变换拓扑结构与前者相比，只有DC/AC 逆变部分，该逆变器一般采用单相半桥、全桥电压型逆变器或者三相全桥电压型逆变器。
这种类型的光伏逆变器具有结构简单、成本低廉等优点。
由于该系统只有一级功率转换电路，所有控制目标都要通过这一级功率转换单元实现，因而增加了控制系统的复杂性。
图1为一典型的单极变换单相光伏逆变器的拓扑结构。
这种光伏逆变器一般会安装工频变压器。
变压器可以有效降低输出侧电压，也可以起到有效隔离绝缘的效果，具有可靠性高、维护量少、开关频率低和电磁干扰小等特点。
逆变器变压器光伏组件图1 单级单相光伏逆变器拓扑图2) 两级变换拓扑结构两级变换拓扑结构一般由DC/DC 变换器和DC/AC 逆变器两部分组成。
前者一般采用比较常见的BOOST 电路、BUCK-BOOST 电路或CUK电路等，用来实现光伏阵列输出功率的最大功率跟踪的功能，DC/AC一般采用单相或三相的并网逆变器实现并网、有功调节、无功补偿或者谐波补偿等相关功能。
图2为一典型的两级变换单相光伏逆变器的拓扑结构。
第一级是DC/DC变换环节，其拓扑类型为boost电路，目的是把光伏组件输出的不稳定直流低电压提升到可并网的稳定直流高电压。
第二级是DC/AC逆变环节，由单相全桥的可逆PWM整流器构成，这一级的功率开关可以采用MOSFET或IGBT。
升压变换器逆变器光伏组件图2 两级变换单相光伏逆变器拓扑图3)多级变换拓扑结构采用高频变压器绝缘方式的多级变换拓扑结构通过采用带有整流器的高频率变压器来提升输入电压，具有体积小、重量轻、成本低等优点，常用于并网型太阳能发电设备之中。
图3为一典型的带高频变压器的多级变换单相光伏逆变器的拓扑结构。
这种拓扑结构由于需要经过三级能量变换，通常效率相对较低，并且由于高频电磁干扰严重，必须采用滤波和屏蔽等相关措施。
逆变器逆变器整流器变压器光伏组件图3 带高频变压器的多级式光伏逆变器拓扑图2.2典型光伏逆变器的建模与两级式光伏逆变器相比，单级式光伏逆变器只有一个能量变换环节，结构紧凑、元器件少，能量转换效率更高。
目前，单级式三相光伏并网逆变器在大中型光伏电站的建设中得到了大规模的应用。
本节选取此类光伏逆变器作为典型进行建模分析。
如图4所示，三相光伏逆变器一般由防反冲二极管、直流母线稳压电容、DC/AC 逆变环节、逆变器输出滤波器组成。
o图4 三相光伏并网发电系统电路图假定三相电感且其等效电感、电阻值分别为L 1=L 2=L 3=L 和R 1=R 2=R 3=R 。
三相全桥都是理想的开关管。
光伏发电系统在三相静止坐标系下的数学模型如下：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++⋅=++⋅=++⋅dc c c c cdcb b b b dca a a au S e Ri dt di L u S eRi dt di L u S e Ri dt di L(2.1) 式中：i a 、i b 、i c ——三相并网逆变器的输出电流；e a 、e b 、e c ——三相电网电压；S a 、S b 、S c ——开关函数；u dc ——直流母线电压；考虑直流母线中电流的稳压作用，则有)(b c b b a a pv dci S i S i S i dt du C ++-=(2.2) 式中：C ——直流母线稳压电容；i pv ——光伏阵列输出电流。
将公式2.2进行同步矢量旋转变换，则得到dq 坐标系下的三相光伏并网发电系统的模型为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+---=+-+-=C i S i S C i dt du Lu S L e i L Ri dt di Lu S L e i L Ri dt di q qd d pv dc dcq q d q q dcd d q d d 2)(3ωω(2.3)式中：i d 、i q ——逆变器输出电流d 、q 轴（有功、无功）分量；e d 、e q ——电网电压d 、q 轴分量；S d 、S q ——触发三相逆变桥的开关信号d 、q 轴分量；ω——电网电压的角频率，即dq 坐标系的旋转速度。
公式2.3中两个电流方程写成矩阵形式为：d d d dc d q q q dc q i i S ue R L d L i i S u e L R dt ωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎡⎤=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(2.4) 对公式2.4两边取拉式变换得()()()() ()()()() d d d dc d q q q dc q I s I s S U s E s R L Ls I s I s S U s E s L R ωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎡⎤=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(2.5) 令*()d U s =()d dc S U s ，*()q U s =()q dc S U s ，相应时域中有*d u =d dc S u ，*q u =q dc S u ，则公式2.5可写为**()()()() ()()() ()d d d d q q q q U s I s I s E s R L Ls I s I s E s L R U s ωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(2.6)公式2.6的时域表达式为：** d d d d q q q q u i i e R L d L i i e L R dt u ωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(2.7)3 随机矩阵相关理论3.1 随机矩阵相关理论和要点随机矩阵理论(random matrix theory ，RMT)的研究起源于原子核物理领域。
Wigner 在研究量子系统中得出结论，对于复杂的量子系统，随机矩阵理论的预测代表了所有可能相互作用的一种平均。
偏离预测的那部分属性反映了系统中特殊非随机的性质，这为了解和研究潜在的相互作用和关系提供了理论支撑。
RMT 以矩阵为单位，可以处理独立同分布(independent identically distributed，IID)的数据。
RMT 并不对源数据的分布、特征等做出要求(如满足高斯分布，为Hermitian 矩阵等)，仅要求数据足够大(并非无限)。
故该工具适合处理大多数的工程问题，特别适合用于分析具有一定随机性的海量数据系统。
随机矩阵理论认为当系统中仅有白噪声、小扰动和测量误差时，系统的数据将呈现出一种统计随机特性；而当系统中有信号源(事件)时，在其作用下系统的运行机制和内部机理将会改变，其统计随机特性将会被打破。
单环定律(Ring Law)、Marchenko-Pastur定律(M-P Law)均是RMT 体系的重大突破。
