人教版初二数学上册过河造桥问题.4课题学习 最短路径导学案

新人教版八年级数学上册导学案： 13.4课题学习最短路径问题（第二课时选学）一、设问导读如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）分析：由于河岸宽度是固定的，造的桥要与河垂直，因此路径AMNB中的MN的长度是固定的。

我们可以将点A沿与河垂直的方向平移MN的距离到A1，那么为了使AMNB最短，只需A1B最短。

根据两点之间距离最短，连接A1B，交河岸于点N，在此处造桥MN，所得路径AMNB就是最短路径。

如图2。

证明：如图3，如果在不同于MN的位置造桥M1N1。

由于M1N1=MN=AA1；又根据“两点之间，线段最短”。

可知，AN1+N1B ＞A1N+NB。

所以，路径AMNB要短于AM1N1B。

二、拓展应用拓展1：如图4，如果A、B两地之间有两条平行的河，我们要建的桥都是与河岸垂直的。

我们如何找到这个最短的距离呢？方法1：仿照上例，可以将点A沿与河垂直的方向平移两个河宽分别到到A1、A2，路径中两座桥的长度是固定的。

为了使路径最短，只要A2B最短。

连接A2B，交河流2河岸于N，在此处造桥MN；连接A1M，交河流1河岸于P，在此处造桥PQ。

所得路径AQP MNB最短。

方法2：如图6，将点A沿与第一条河流垂直的方向平移一个河宽到A1，将B沿与第二条河垂直的方向平移一个河宽到B1，连接A1B1，与两条河分别相交于N、P，在N、P两处，分别建桥MN、PQ，所得路径AQPMNB最短。

拓展2：如图7，如果A、B之间有三条平行的河流呢？方法1：仿照拓展二方法1，将点A沿与河垂直的方向平移S三个河宽分别到到A1、A2、A3，路径中三座桥的长度是固定的。

为了使路径最短，只要A3B最短。

连接A3B，交河流3于N，在此处造桥MN；连接A2N，交河流2于P，在此处造桥PQ；连接A1Q，交河流1于R，在此处造桥RS。

所得路径ASRQPMNB最短。

第十三章第四节的《课题学习一一最短路径问题》。

一、内容和内容解析最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短” 为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究 .本节课利用“河边饮马地点的选择”问题，开展对“最短路径问题” 的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题.二、目标和目标解析1.教学目标基于以上分析，本节课我确定的教学目标是：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识.本节课我确定的的教学重点是：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题，培养学生解决实际问题的能力.2.教学目标解析要求学生能将实际问题中的“地点”、“河流”抽象为数学中的“点”、“线”，把实际问题抽象为数学问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想.三、教学问题诊断分析最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手.对于直线异侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，学生很容易想到连接这两点，所连线段与直线的交点就是所求的点.但对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，一些学生会感到茫然，找不到解决问题的思路在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求作的点不重合）证明所连线段和大于所求作的线段和，学生可能想不到，不会用 .所以，本节课我确定的教学难点是：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.教学时，教师可从“直线异侧的两点”过渡到“直线同侧的两点” ：为学生搭建“脚手架”.在证明“最短”时，教师可以告诉学生，证明“最大”、“最小”这类问题，常常要另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明.由于另取的点具有任意性，所以结论对于直线上的每一点（所求作的点除外）都成立.四、教学过程设计1.创设问题情境引入：（课件展示行人践踏茵茵绿草穿越草坪）师：（1）同学们，生活中你见到过这样的现象吗？（2）他为什么选择走红色路线？（3）理由是什么？生：集体回答。

最短路径问题（教师用）一、教学目标(一)知识与技能：通过对最短路径的探素，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短的性质.(二)过程与方法：让学生经历运用所学知识解决问题的过程，培养学生解决问题的能力，掌握探索最短路径的思想方法.(三)情感态度与价值观：在数学学习活动中，获得成功的体验，树立自信心.二、教学重点、难点重点：应用所学知识解决最短路径问题.难点：选择合理的方法解决问题.三、教学过程引言以前我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”及“造桥选址问题”.问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦. 有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地. 牧马人到河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得点C到点A、点B的距离的和最短？连接AB，与直线l相交于一点，根据“两点之间，线段最短”可知这个交点即为所求.现在，要解决的问题是：点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？如图，作出点B关于l的对称点B'，利用轴对称的性质，可以得到CB'=CB. 这样，问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB'的和最小？在连接A，B'两点的线中，线段AB'最短. 因此，线段AB'与直线l的交点C的位置即为所求.你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′.∴ AC+BC=AC+B′C=AB′AC′+BC′=AC′+B′C′在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′∴ AC+BC＜AC′+BC′即AC+BC最短.问题2(造桥选址问题)如图，A和B两地在一条河的两岸，现要河上造一座桥MN. 桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.)我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小. 这样问题就进一步转化为：当点N在直线b 的什么位置时，AM+NB最小？能否通过图形的变化(轴对称、平移等)，把右图的情况转化为左图的情况？如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB. 这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？在连接A′，B两点线中，线段A′B最短. 因此，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的.你能用所学的知识证明AM+MN+NB最短吗？为了证明点N的位置即为所求，我们不妨在直线b上另外任意取一点N′，过N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B，证明AM+MN+NB＜AM′+M′N′+N′B.证明：如图，由平移的性质可知：AM=A′N，AM′=A′N′，MN=M′N′在△A′BN′中，A′B＜A′N′+N′B∴ A′N+NB＜AM′+N′B∴ AM+NB＜AM′+N′B∴ AM+MN+NB＜AM′+M′N′+N′B归纳在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？四、教学反思通过本节课进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值. 在互动交流活动中，学习从不同角度理解问题，寻求解决问题的方法，并有效地解决问题. 体会在解决问题中与他人合作的重要性. 体会运用数学的思维方式观察、分析现实社会，解决日常生活中和其他学科中的问题，增强应用数学的意识.最短路径问题（学生用）一、教学目标(一)知识与技能：通过对最短路径的探素，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短的性质.(二)过程与方法：让学生经历运用所学知识解决问题的过程，培养学生解决问题的能力，掌握探索最短路径的思想方法.(三)情感态度与价值观：在数学学习活动中，获得成功的体验，树立自信心.二、教学重点、难点重点：应用所学知识解决最短路径问题.难点：选择合理的方法解决问题.三、教学过程引言以前我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”及“造桥选址问题”.问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦. 有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地. 牧马人到河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得点C到点A、点B的距离的和最短？连接AB，与直线l相交于一点，根据可知这个交点即为所求.现在，要解决的问题是：点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？如图，作出点B关于l的对称点B'，利用轴对称的性质，可以得到CB'=CB. 这样，问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB'的和最小？你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？问题2(造桥选址问题)如图，A和B两地在一条河的两岸，现要河上造一座桥MN. 桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.)我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？由于河岸宽度是固定的，因此时，AM+MN+NB最小. 这样问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？能否通过图形的变化(轴对称、平移等)，把右图的情况转化为左图的情况？如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB. 这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？你能用所学的知识证明AM+MN+NB最短吗？为了证明点N的位置即为所求，我们不妨在直线b上另外任意取一点N′，过N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B，证明AM+MN+NB＜AM′+M′N′+N′B.归纳在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？四、教学反思通过本节课进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值. 在互动交流活动中，学习从不同角度理解问题，寻求解决问题的方法，并有效地解决问题. 体会在解决问题中与他人合作的重要性. 体会运用数学的思维方式观察、分析现实社会，解决日常生活中和其他学科中的问题，增强应用数学的意识.。

13.4 课题学习 最短路径问题一、 学习目标①能利用轴对称解决简单的最短路径问题. ②体会图形的变化在解决最值问题中的作用； ③能通过逻辑推理证明所求距离最短，感悟转化思想 二、预习内容自学课本85页，完成下列问题：追问1：观察思考，抽象为数学问题 这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 活动1：思考画图、得出数学问题将A ，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？师生活动：学生尝试回答， 并互相补充，最后达成共识：（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A ，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l 上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）．B。

Al三、探究学习1、活动2：尝试解决数学问题问题2 ： 如图，点A ，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？追问1 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B ′吗？ 师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相补充 （2）连接AB ′，与直线l 相交于点C ，则点C 即为所求四、巩固测评(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点A ，B 分别是直线l 异侧的两个点，在l 上找一个点C ，使CA ＋CB 最短，这时点C 是直线l 与AB 的交点．如果学生有困难，教师可作如下提示 作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B ′；（一）基础训练：1、最短路径问题BA lCl(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l 与AB′的交点．2.如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）（二）变式训练：.如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？（三）综合训练：茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？图a 图b五、学习心得。

2020年人教版八年级上册全册课时导学案13.4课题学习 最短路径问题导学案【学习目标】1， 复习轴对称的知识，会画轴对称图形。

2， 能够利用轴对称的知识解决实际问题。

3， 培养同学们自学意思和探究能力。

学习重点：会画轴对称图形。

学习难点：会用轴对称知识解决实际问题。

一、复习导入：（1），同学们以前学过的线段最短问题有哪些？还记得吗？1、2、（2），如何做直线外一点关于这条直线的对称点？1、2、二、导入新课问题1 如图牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边L 饮马，然后到B 地。

牧马人到河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？作点A 或B 关于直线L 的对称点B ′或A ′，再连接A B ′或B A ′与对称轴L 的交点即为所求。

（证明方法为：三角形两边之和大于第三边）问题2 如图，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN ，桥造成在何处可使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）分析引导：我们可以把河岸看成两条平行线，N 为直线b 上一个动点，MN 垂直于直线b ，交直线a 于点M,这样问题可以转化成：当点N 在直线b 的什么位置时AM+MN+NB 最小。

解：将AM 沿与河岸垂直的方向平移，点M 移动到点N ，点A 移动到点A ′,则AA ′=MN,AM+NB=A ′N+NB.连接A ′，B 两点的线中，线段A ′B 最短。

因此线段A ′B 与直线b 的交点N 的位置即为所求。

能力提升：你能证明为什么点N即为所求的点吗？课堂归纳：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。

作业：课本93第15题。

学后反思：小结1.注重备课。

要结合课本和教参，完善每一节课的教学内容，对其重新进行审视，将其取舍、增补、校正、拓展，做到精通教材、驾奴教材，做最好的准备。

2.讲究方法。

根据不同班级学生的不同学习风格，采用不同的教学方法。

人教版初中数学课标版八年级上册第十三章13.4 课题学习最短路径问题教学设计13.4.课题学习《最短路径》教学设计一、教材分析1、地位作用：数学来源于生活并服务于生活，更着眼于解决生活中的问题，于是就出现了为省时、省财力、省物力而希望寻求最短路径的数学问题。

这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”，使学生在不断地质疑中主动地获取知识，初中数学中路径最短问题，体现了数学来源于生活，并用数学解决现实生活问题的数学应用性。

2、目标和目标解析：（1）目标：能利用直线位于两点之间结合轴对称地知识，转移到两点位于直线同侧的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用；（2）目标解析：达成目标的标志是：学生能讲实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最算路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想.3、教学重、难点教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题突破难点的方法：质疑和解决是不是所有的两点位于直线同侧的问题都可以用轴对称来解决二、教学准备：多媒体课件、导学案三、教学过程到饮马地点，再回到B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什A么位置时，AC与CB 的和最小（如图）强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”探究问题是不是所有的两点位于直线同侧的问题都可以用对称来解决，得到最短路径呢？如图，你能猜想在图中的直线L上有几个点距离A,B两点的距离之和是最短的？探究问题是不是所有的两点位于直线同侧的问题都可以用对称来解决，得到最短路径呢？如图，你能猜想在图中的直线L 上有几个点距离A,B 两点的距离之和是最短的？LA BA’C ED a bc a+22()c b a +-方案一：S=AE+BE=方案二：S’=AC+AB=设a=300，b=500，c=600设a=300，b=500，c =1000 最后得到我们选取的最短路径与C 的取值有关，不一定我们由轴对称得到的路径就是最短的，在这里就可以培养学生勇于质疑和敢于探索取得真理的学习品质。

13.4 课题学习最短路径问题(第2课时)
学习目标
1.学会利用平移解决实际问题中“造桥选址”中的路径最短的问题.(重点)
2.通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐.
自主学习
学习任务造桥选址问题
问题情境：如图1所示，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)
图1
1.这是一个实际问题，你打算首先做什么？你能将这个问题抽象为数学问题吗？
2.要研究AM+NB的和最小，但AM和NB不衔接，如何将AM转化到与NB有公共点的位置，且线段长度不变，可以借助哪种几何变化？
答：1.如图2所示，将A，B 两地抽象为两个，将河两岸抽象为两条平行，当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB的和最小？由于河岸宽度是固定的，即将问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB的和最？
图2
图3
2.如图3所示，将桥MN平移到AA′处，且M与A重合，则N与A′重合，由平移性质知AM=NA′.由“两点之间，线段最短”的性质知，要使AM+BN最短(即NA′+BN最短)，只要
点N在线段BA′上即可.
合作探究
图4
小组合作，利用图4完成上面问题的证明.
当堂达标
1.在解决最短路径问题时，我们通常利用、等变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而做出最短路径的选择.
2.如图5所示，幸福小区A和超市B位于公路的两侧，现要在公路上建一座天桥，天桥建在何处可使幸福小区A的人到超市B购物最近？(假定公路的两边是平行的直线，天桥与公路垂直)
图5
反思感悟
我的收获：
我的易错点：。

13.4 课题学习 最短路径问题
学习内容：
最短路径问题．
学习目标：
1．识别并掌握最短路径的几种基本模型．
2．能将生活中的实际情境数学化．
3．借助几何画板直观演示，让学生经历观察、猜想、证明等数学活动的过程． 学习重点：
识别并掌握最短路径的几种基本模型．
一、情境引入
如图所示，从A 地到B 地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？
选 最近，理由是 ．
二、协作探究
问题1 已知点A 、B 在直线l 的两侧，在l 上找一点C ，使AC 与BC 的距离之和最小．
作图理由：
l A
B
问题2 已知点A 、B 在直线l 的同侧，在l 上找一点C ，使AC 与BC 的距离之和最小．
作法：
证法：
问题3 已知：如图，E 、F 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的两个定点，在BC 上求一点M ，使△MEF 的周长最短．
B C l
B A
问题4 如图，P 为∠MON 内一定点，分别在OM 与ON 上找点A 、B ，使△ABP 的周长最小．
三、思维拓展
问题5 如图：牧马人从某地出发，先到草地边某一牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷休息，他怎么走最近呢？请画出最短路径．
N
四、课堂小结
五、课后作业
某公路的同一侧有A、B、C三个村庄，要在公路边建一货栈D，向A、B、C三个村庄送农用物资，路线是D→A→B→C→D或D→C→B→A→D．试问在公路边上是否存在一点D，使送货路程最短？若存在，请画出D点所在的位置；若不存在，请说明理由．
B
A。