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矩阵行列式与可逆矩阵一、n 阶矩阵行列式下面介绍线性代数中另一个基本概念——行列式，由于内容较多，我们主要介绍行列式的定义及其简单的计算，行列式的性质等内容请大家自己学习教材.定义2.9 对任一n 阶矩阵 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211 用式nnn n n n a a a a a a a a a212222111211表示一个与A 相联系的数，称为A 的行列式，记作A . 规定：当n = 1时，1111a a A ==； 当n = 2时，2112221122211211a a a a a a a a A -==；当n > 2时，∑==+++=nj j j n n A a A a A a A a A 1111112121111 ，其中j A 1=j j M 11)1(+-，称j M 1为A 中元素j a 1的余子式，它是A 中划去第一行、第j 列后剩下的元素按原来顺序组成的n – 1阶行列式；j A 1为A 中元素j a 1的代数余子式.（由定义可知，一个n 阶矩阵行列式表示一个数，而这个数可以由第一行的元素与其相应的代数余子式的乘积之和求出.应该指出的是，方阵是一个数表，不能求数值的；而与它相应的行列式则表示一个数，是可以计算数值的.）（下面通过例题简单介绍行列式的计算方法）例1 计算 =A 2112123212230121313231-----解 首先按性质5，从第一行提出公因子31，再从第四行提出21，即=A 12132122301231212131-----⨯⨯ 再利用性质7把第三列的元素尽可能多的化为零，即作“第三行加上第一行的1倍，第四行加上第一行的-2倍”的变换，得12132122301231212131-----⨯⨯=505510013012312161---⨯再利用性质3按第3列展开，即505510013012312161---⨯=555101312)1(16131--⨯-⨯⨯+ 再作“第三列加上第一列的-1倍”的变换，并按第二行展开，即55510131261--⨯=105500111261--⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⨯-⨯⨯+10511)1(16112 =65)510(61=+-⨯-例2 计算 =A 3351110243152113------解 首先交换第一列与第二列，然后作“第二行加上第一行的-1倍，第四行加上第一行的5倍”的变换，得=A 3315112043512131------=72160112064802131-----首先交换第二行与第三行，然后作“第三行加上第二行的4倍，第四行加上第二行的-8倍”的变换，得72160112064802131-----=1510001080011202131----再作“第四行加上第三行的45倍”，化成三角形行列式，其值就是对角线上的元素乘积，即1510001080011202131----=25001080011202131---=4025821=⨯⨯⨯（关于矩阵行列式，有一个重要结论请大家记住.） 定理2.1 对于任意两个方阵A ，B ，总有B A AB = 即方阵乘积的行列式等于行列式的乘积.（在上一讲中，我们介绍了矩阵的加法、减法和乘法运算，那么矩阵是否有除法运算呢？这就是这下面要介绍内容.） 二、逆矩阵定义定义2.11 对于n 阶矩阵A ，如果有n 阶矩阵B ，满足 AB = BA = I （2-5-1）则称矩阵A 可逆，称B 为A 的逆矩阵，记作A -1. （由定义可知：）满足公式（2-5-1）的矩阵A , B 一定是同阶矩阵.例3 设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012211110，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----123124112验证A 是否可逆？解 因为AB =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012211110⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----123124112=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001BA =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----123124112⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012211110=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001即A , B 满足 AB = BA = I .所以矩阵A 可逆，其逆矩阵A -1=B .可以验证：单位矩阵I 是可逆矩阵；零矩阵是不可逆的.(1) 单位矩阵I 是可逆矩阵. 证 因为单位矩阵I 满足： II = I 所以I 是可逆矩阵，且I I -=1. (2)零矩阵是不可逆的. 证 设O 为n 阶零矩阵，因为对任意n 阶矩阵B ，都有 OB = BO = O ≠I 所以零矩阵不是可逆矩阵.可逆矩阵具有以下性质：(1) 若A 可逆，则1-A 是唯一的.证 设矩阵B 1 , B 2都是A 的逆矩阵，则B 1 A = I ，AB 2 = I ，且B 1 =B 1 I = B 1 (AB 2 )= (B 1 A )B 2 = I B 2 = B 2故1-A 是唯一的.(2) 若A 可逆，则A -1也可逆，并且 ()A --11= A若A 可逆，则A -1也可逆，并且 ()A --11= A .证 由公式（2-5-1）可知，A A -1= A -1A = I ，故A -1是A 的逆矩阵，同时A是A -1的逆矩阵，即()A --11= A .(3) 若A 可逆，数k ≠0，则kA 也可逆，且 ()kA -1= 11-A(4) 若n 阶方阵A 和B 都可逆，则AB 也可逆，且()AB B A ---=111证 因为 A 和B 都可逆，即A -1和B -1存在，且(AB )(B -1A -1) = A ( B B -1)A -1= AI A -1= A A -1= I (B -1A -1)(AB ) = B ( A A -1)B -1= B I B -1= B B -1= I根据定义2.11，可知AB 可逆，且()AB B A ---=111.性质(4)可以推广到多个n 阶可逆矩阵相乘的情形，即当n 阶矩阵A 1 , A 2 , … , A m 都可逆时，乘积矩阵A 1A 2…A m 也可逆，且( A 1A 2…A m )-1= A A A m ---12111特别地，当m = 3时，有( A 1A 2A 3)-1= A A A 312111---问题：若n 阶方阵A 和B 都可逆，那么A +B 是否可逆？答：尽管n 阶矩阵A 和B 都可逆，但是A + B 也不一定可逆，即使当A + B 可逆（A B +-)1≠A B --+11，例如A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-200010001， B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200010001都是可逆矩阵，但是A +B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡400000002是不可逆的.而A + A = 2A 可逆，但是（A A +-)1=（21A )-=211--A ≠A A --+11= 2A -1(5) 若A 可逆，则A '也可逆，且 1)(-'A = )(1'-A .若A 可逆，则A '也可逆，且 1)(-'A = )(1'-A . 证 因为矩阵A 可逆，故A -1存在，且 )(1'-A A '=)(1'-AA =I '=IA ')(1'-A =)(1'-A A =I '=I 根据定义2.11，可知A '也是可逆的，且1)(-'A = )(1'-A .三、可逆矩阵的判定若方阵A 可逆，则存在1-A ，使I AA =-1.于是1=11--==A A AA I （定理2.1） 得 0≠A .把满足0≠A 的方阵A 称为非奇异的（或非退化的），否则就称为奇异的（或退化的）.（由此可以得到定理2.2：）定理2.2 方阵A 可逆的必要条件为A 是非奇异的，即0≠A .（定理2.2结论是很重要的，但要注意，它是方阵A 可逆的必要条件，不是充分条件.因此，大家就会想到若0≠A ，方阵A 是否可逆呢？要回答这个问题，需要引进伴随矩阵的概念）定义2.12 对于n 阶方阵 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211，称n 阶方阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n nn n A A A A A A A A A 212221212111 为A 的伴随矩阵，记作*A ，其中ij A 为行列式A 中元素ij a 的代数余子式.（注意：伴随矩阵中各元素的位置秩序与常规的不一样，是由常规秩序经过转置后获得的.）（利用伴随矩阵可以证明：）定理2.3 若方阵A 是非奇异的，即0≠A ，则A 是可逆矩阵，并且有*11A AA =- （定理2.3的证明请看教材.该定理不仅给出了可逆矩阵的一种判别方法，即当方阵A 的行列式0≠A 时，A 是可逆矩阵；若0=A ，则A 不是可逆矩阵.而且还给出了求逆矩阵的一种方法——伴随矩阵法，即若A 可逆，那么只要求出它的伴随矩阵*A ，再除以它对应的行列式A 的值，就能获得逆矩阵*11A AA =-.）例4 设矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=012211110A 判别A 是否可逆？解 因为 012211110-=A =21100)1(112210⨯⨯----⨯⨯+⨯⨯+= 1即 0≠A ，所以A 是可逆矩阵.例5 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A ，问：当a , b , c , d 满足什么条件时，矩阵A 可逆？当A 可逆时，求1-A .解 因为 bc ad d c ba A -==当 0≠-bc ad 时，由0≠A ，（由定理2.3知道）得A 可逆.又 d A =11，c A -=12，b A -=21，a A =22⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a c b d A A A AA 22122111* （问题：2阶矩阵的伴随矩阵与原矩阵中的元素之间有什么联系？）所以，*11A A A =- =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---a c b d bc ad 1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------bc ad a bc ad c bc ad b bc ad d（把定理2.2和定理2.3合在一起，得到判别矩阵A 是否可逆的充分必要条件.）定理2.4 矩阵A 为可逆矩阵的充分必要条件是0≠A ，且有 *11A A A =-.。
矩阵的逆矩阵与行列式计算矩阵是线性代数中的一项重要概念，它在各种领域中都有广泛的应用。
矩阵的逆矩阵和行列式是矩阵理论中的两个关键概念，本文将介绍逆矩阵和行列式的计算方法及其重要性。
一、逆矩阵逆矩阵是矩阵理论中非常重要的一个概念。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I（其中I表示单位阵），那么我们称B为A的逆矩阵，记作A的倒数。
对于可逆矩阵A，它的逆矩阵是唯一的。
逆矩阵的计算方法如下：设A为一个n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB=BA=I，则B为A的逆矩阵。
求矩阵A的逆矩阵的方法有多种，以下是其中两个常用的方法：1. 初等行变换法通过利用矩阵初等行变换，将矩阵A变换成一个特殊形式，然后通过初等行变换得到B，使得AB=I。
具体步骤如下：a) 取A和单位阵I并排组成一个增广矩阵[A|I]；b) 对[A|I]做行变换，将矩阵A变换为n阶单位矩阵；c) 当[A|I]变为[I|B]时，B就是A的逆矩阵。
2. 伴随矩阵法通过伴随矩阵的概念，求解矩阵A的逆矩阵。
设A为n阶方阵，A 的伴随矩阵记作Adj(A)，则A的逆矩阵B的表达式如下：B = (1/det(A)) * Adj(A)其中，det(A)表示矩阵A的行列式，Adj(A)表示A的伴随矩阵。
二、行列式行列式是矩阵理论中用于刻画矩阵性质的一种特殊函数。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)，其计算方法如下：1. 二阶方阵的行列式计算：A = [[a, b], [c, d]]det(A) = ad - bc2. 三阶方阵的行列式计算：A = [[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]]det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh对于高阶方阵，通常使用行列式的性质和展开定理来计算。
行列式的计算过程相对繁琐，但是具有重要的应用价值。
行列式的性质有如下几个：a) 互换行列式的两行，行列式改变符号；b) 行列式某一行的公因子可以提到行列式的外面；c) 若行列式有两行（列）完全相同，则行列式的值为0；d) 行列式的某一行（列）可以表示成其他行（列）的线性组合。
逆矩阵的性质及在考研中的应用矩阵是线性代数中的基本概念之一，而逆矩阵是矩阵理论中的重要组成部分。
在研究生入学考试中，逆矩阵的出现频率较高，是考生必须掌握的重要内容之一。
本文将介绍逆矩阵的基本性质以及在考研中的应用场景，旨在帮助考生更好地理解和掌握这一部分内容。
逆矩阵是矩阵的一种重要性质，其定义如下：设A是一个可逆矩阵，那么存在一个矩阵B，使得$AB=BA=I$，其中I是单位矩阵。
在这个定义中，矩阵B被称为A的逆矩阵。
$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{bmatrix}$计算行列式$det(A)$： $det(A) = |\begin{matrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{matrix}| = 2 \times 2 - 3 \times 1 = 1$计算A的伴随矩阵A*： $A* = \begin{matrix} & -2 & 3 \ -1 & 2 & \end{matrix}$计算A的逆矩阵A-¹： $A-¹ = \frac{1}{det(A)} \times A* =\frac{1}{1} \times \begin{matrix} & -2 & 3 \ -1 & 2 & \end{matrix} = \begin{matrix} 2 & -3 \ -1 & 2 \end{matrix}$在考研中，逆矩阵的应用主要涉及以下几个方面：解方程：逆矩阵可以用来求解线性方程组。
当方程组的系数矩阵是可逆矩阵时，我们可以通过逆矩阵快速求解方程组。
证明不等式：在证明某些矩阵不等式时，可以通过引入逆矩阵来简化证明过程。
求特征值和特征向量：在计算矩阵的特征值和特征向量时，需要先求出矩阵的逆矩阵。
解决优化问题：在数学优化中，逆矩阵往往作为系数矩阵的逆出现，对于一些约束优化问题，可以通过求解线性方程组来得到优化解。
矩阵的逆和行列式的关系一、引言矩阵是线性代数中的基本概念之一，它在各个领域都有着广泛的应用。
在矩阵的运算中，矩阵的逆和行列式是两个重要的概念。
本文将探讨矩阵的逆和行列式之间的关系，以及它们在解线性方程组和计算矩阵的秩等问题中的应用。
二、矩阵的逆2.1 定义对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，则称B为A的逆矩阵，记作A的逆（即A-1）。
2.2 逆矩阵的性质•若A是可逆矩阵，则A-1也是可逆矩阵，且(A-1)-1=A。
•若A是可逆矩阵，且c是一个非零标量，则cA也是可逆矩阵，且(cA)-1=(1/c)A-1。
•若A和B都是可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵，且(AB)-1=B-1A-1。
•若A是可逆矩阵，则A的转置矩阵也是可逆矩阵，且(AT)-1=(A-1)T。
三、行列式3.1 定义对于一个n阶方阵A，它的行列式记作|A|，定义为|A| = a11·A11 + a12·A12 + … + a1n·A1n，其中aij表示A的第i行第j列元素，Aij表示A中的余子式。
3.2 行列式的性质•若A是可逆矩阵，则|A|≠0。
•若A的某行（或某列）全为零，则|A|=0。
•若A的某两行（或某两列）成比例，则|A|=0。
•若A与B是相似矩阵，即存在可逆矩阵P使得B=P-1AP，则|A|=|B|。
四、矩阵的行列式和逆矩阵的关系4.1 逆矩阵的求法设A为一个可逆矩阵，若要求A的逆矩阵A-1，可以使用伴随矩阵法。
首先，计算A的余子式矩阵，然后对其进行转置，得到A的伴随矩阵adj(A)，最后，将adj(A)的每个元素除以|A|，则得到A的逆矩阵A-1。
4.2 行列式和逆矩阵的关系对于一个可逆矩阵A，有以下关系成立：A-1 = (1/|A|)·adj(A)即可通过求A的行列式|A|和伴随矩阵adj(A)来求解A的逆矩阵。
五、应用5.1 解线性方程组假设有一个线性方程组Ax=b，其中A为n阶系数矩阵，x为未知向量，b为已知向量。
矩阵的行列式和逆矩阵矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域的数学中。
在研究矩阵的性质和运算中，行列式和逆矩阵是两个关键的概念。
本文将详细介绍行列式和逆矩阵的定义、性质以及计算方法。
一、行列式的定义和性质行列式是矩阵非常重要的一个属性，它具有许多重要的性质。
一个n×n 矩阵 A 的行列式记作 |A| 或 det(A)，其中 n 表示矩阵的阶数。
行列式的定义有很多种，这里我们主要介绍按行或按列展开的定义方法。
对于 2×2 的矩阵 A，其行列式定义为：|A| = a11*a22 - a12*a21对于 3×3 的矩阵 A，其行列式定义为：|A| = a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31 -a12*a21*a33 - a11*a23*a32行列式具有许多重要的性质，包括：1. 当矩阵的某一行（或某一列）全为零时，行列式的值为零。
2. 若矩阵的两行（或两列）互换，则行列式的值变号。
3. 若矩阵的某一行（或某一列）的元素成比例，则行列式的值为零。
4. 若矩阵的某一行（或某一列）的元素上下对称，那么行列式的值为零。
5. 二阶和三阶矩阵的行列式可以通过定义直接计算，高阶矩阵的行列式计算可以通过展开定理，将矩阵按任意一行（或一列）展开成余子式的乘积再求和来计算。
二、逆矩阵的定义和性质逆矩阵是矩阵论中的重要概念，用于解决线性方程组以及矩阵的运算问题。
对于 n 阶方阵 A，如果存在一个 n 阶方阵 B，使得 AB = BA = I (I 为单位矩阵)，则矩阵 B 称为矩阵 A 的逆矩阵，并记作 A^-1。
逆矩阵的定义表明，如果一个矩阵A 存在逆矩阵，则A 是可逆的；反之，如果矩阵 A 不可逆，则不存在 A 的逆矩阵。
逆矩阵具有一些重要的性质：1. 只有方阵才能有逆矩阵，即非方阵的矩阵不存在逆矩阵。
2. 如果矩阵 A 的逆矩阵存在，则它是唯一的。
矩阵的行列式与逆矩阵矩阵是线性代数中的一种基本概念，它是由数个数按照矩形排列而成的有限集合。
而矩阵的行列式与逆矩阵是矩阵运算中非常重要的概念与方法。
本文将详细介绍矩阵的行列式以及逆矩阵的定义、性质和计算方法。
1. 矩阵的行列式矩阵的行列式是一个标量，它与矩阵的元素及其排列有关。
对于n 阶方阵A=[a_ij]，其中a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素，行列式的定义如下：det(A) = ∑[(-1)^(i+j) * a_ij * det(A_ij)]其中A_ij表示将矩阵A的第i行和第j列剔除后的(n-1)阶矩阵，det(A_ij)表示该(n-1)阶矩阵的行列式。
该定义可以通过递推公式简化计算。
行列式具有很多重要的性质，比如：- 行列式的转置等于行列式本身的值：det(A) = det(A^T)- 行列式相等的矩阵具有相同的行列式：如果A=B，则det(A) = det(B)- 互换矩阵的两行（或两列）会改变行列式的符号：如果B是通过交换A的两行得到的，则det(B) = -det(A)行列式的计算方法包括拉普拉斯展开和三角形展开等，根据矩阵的性质选择最合适的方法进行计算。
2. 逆矩阵对于n阶矩阵A，如果存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为n阶单位矩阵，则称矩阵A为可逆矩阵，矩阵B为矩阵A的逆矩阵，记作A^(-1)。
可逆矩阵一定是方阵。
逆矩阵是矩阵运算中的重要工具，具有以下性质：- 若A为可逆矩阵，则A^(-1)也是可逆矩阵，(A^(-1))^(-1) = A- 若A、B都是可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵，(AB)^(-1) = B^(-1)A^(-1)- 若A是可逆矩阵，则det(A)不等于0，且det(A^(-1)) = 1/det(A)逆矩阵的计算方法一般有初等变换法、伴随矩阵法和矩阵的分块法等。
其中初等变换法是最常用的方法，通过对矩阵A施行一系列初等行变换或初等列变换，将其化为阶梯形矩阵，再通过代换求解出逆矩阵。
矩阵的逆与行列式矩阵是线性代数中重要的概念之一，它用于描述和解决各种数学和工程问题。
在矩阵运算中，矩阵的逆与行列式是两个关键概念。
本文将详细介绍矩阵的逆与行列式的概念、性质以及计算方法。
一、矩阵的逆1.1 概念在线性代数中，设A是一个n阶方阵，如果存在一个n阶方阵B，使得AB = BA = I，其中I是单位矩阵，那么B就被称为矩阵A的逆矩阵，记作A⁻¹。
1.2 逆矩阵的存在条件一个矩阵A存在逆矩阵的条件是其行列式不等于零，即|A| ≠ 0。
如果一个矩阵的行列式为零，则该矩阵不存在逆矩阵。
1.3 逆矩阵的性质(1) 若A存在逆矩阵A⁻¹，则A⁻¹也存在逆矩阵，且其逆矩阵为A。
(2) 对于一个n阶方阵A，如果A存在逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的。
(3) 若A和B都是n阶方阵，且A和B都存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹。
1.4 逆矩阵的计算方法逆矩阵的计算可以使用伴随矩阵的方法。
伴随矩阵的计算方法是：先求出矩阵A的代数余子式，然后将代数余子式按一定顺序放置在原矩阵的转置矩阵上，最后将转置矩阵中的每个元素乘以(-1)^(i+j)，其中i和j分别表示元素在矩阵中的行和列的编号。
最后，将得到的矩阵除以矩阵A的行列式即可得到矩阵A的逆矩阵。
二、矩阵的行列式2.1 概念在线性代数中，对于一个n阶方阵A，记为|A|，被称为矩阵A的行列式。
行列式用于表示矩阵的某些性质，例如矩阵是否可逆、线性方程组是否有唯一解等。
2.2 行列式的性质(1) 若A是n阶方阵，且k是一个常数，则kA的行列式等于k的n次方乘以A的行列式，即|kA| = k^n |A|。
(2) 若A和B都是n阶方阵，则|AB| = |A| * |B|。
(3) 若A是n阶方阵，则|A| = |A^T|，其中A^T表示矩阵A的转置矩阵。
(4) 若A是一个n阶方阵，并且存在某一行或某一列的元素全为零，则|A| = 0。
